0.1 — গণিতের যুক্তি ও বিবৃতি (Logic & Statements)¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: statement (বিবৃতি) কী, AND / OR / NOT / implication দিয়ে কীভাবে বড় বিবৃতি বানাই, truth table, আর quantifier (∀, ∃) — পুরো গণিতের ভাষার বর্ণমালা।

উৎস (source): নতুন (foundation) · logic-এর ভিত্তি: Boole, De Morgan, Frege।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

গণিত আসলে একটা ভাষা। আর সব ভাষার মতো এরও ব্যাকরণ আছে। সেই ব্যাকরণটাই হলো logic (যুক্তিবিদ্যা)।

ভাবো, কেউ তোমাকে বলল — "সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।" এটা কি সত্য? একটু ভাবলেই মনে পড়বে: 2 একটা মৌলিক সংখ্যা, কিন্তু জোড়। তাহলে কথাটা মিথ্যা। কিন্তু এই "সত্য/মিথ্যা" বিচার করতে গিয়ে তুমি না জেনেই কয়েকটা যন্ত্র ব্যবহার করলে: "সব" (quantifier), "মৌলিক হলে বিজোড় হবে" (implication), আর একটা counterexample দিয়ে পুরো দাবিটা ভেঙে দিলে।

এই অধ্যায়ের যন্ত্রগুলো ছাড়া সামনে এক পাও এগোনো যাবে না — কারণ পুরো বইটাই দাঁড়িয়ে আছে সংজ্ঞা (definition), উপপাদ্য (theorem) আর প্রমাণ (proof)-এর উপর, আর এই তিনটাই logic দিয়ে লেখা। এখানে ভিতটা শক্ত করলে পরে "যদি \(f\) continuous হয়, তবে..." টাইপ বাক্য দেখে আর ভয় লাগবে না।

মূল কথা

Logic শেখা মানে নতুন কিছু মুখস্থ করা নয় — তুমি প্রতিদিন যেভাবে যুক্তি দাও, সেটাকেই নিখুঁত আর দ্ব্যর্থহীন করে লেখা শেখা।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

বিবৃতি (Statement / Proposition)¶

Statement হলো এমন একটা বাক্য যেটা হয় সত্য (True) নয়তো মিথ্যা (False) — দুটোর ঠিক একটা, কখনো দুটোই নয়, কখনো কোনোটাই নয়।

বাক্য	statement?	কেন
"2 + 3 = 5"	✅ হ্যাঁ (সত্য)	পরিষ্কার সত্য
"7 একটা জোড় সংখ্যা"	✅ হ্যাঁ (মিথ্যা)	পরিষ্কার মিথ্যা
"\(x > 3\)"	⚠️ এখনো না	\(x\) না জানা পর্যন্ত সত্য/মিথ্যা বলা যায় না (একে বলে open sentence)
"এই বাক্যটা মিথ্যা।"	❌ না	সত্য ধরলে মিথ্যা, মিথ্যা ধরলে সত্য — paradox
"জানালাটা বন্ধ করো।"	❌ না	আদেশ, সত্য/মিথ্যা হয় না

আমরা statement-গুলোকে ছোট অক্ষরে নাম দিই: \(p\), \(q\), \(r\) ...। যেমন \(p\) = "আজ বৃষ্টি হচ্ছে।"

সংযোজক (Logical connectives)¶

ছোট statement জোড়া দিয়ে বড় statement বানানোর "আঠা"-গুলোই connective:

NOT — \(\neg p\) ("\(p\) নয়") — \(p\)-এর উল্টো।
AND — \(p \wedge q\) ("\(p\) এবং \(q\)") — দুটোই সত্য হলে তবেই সত্য।
OR — \(p \vee q\) ("\(p\) অথবা \(q\)") — অন্তত একটা সত্য হলেই সত্য।
IMPLIES — \(p \to q\) ("\(p\) হলে \(q\)") — শর্ত।
IFF — \(p \leftrightarrow q\) ("\(p\) যদি এবং কেবল যদি \(q\)") — দুদিকেই শর্ত।

প্রতিটা connective আসলে একটা নিয়ম: input statement-গুলোর সত্য/মিথ্যা থেকে output-এর সত্য/মিথ্যা ঠিক করে। এই নিয়মটা ছবিতে দেখলে সবচেয়ে পরিষ্কার:

NOT, AND, OR, IMPLIES-এর truth table চিত্র ১: চারটা মূল connective-এর truth table। সবুজ = True (T), লাল = False (F)। সারি = \(p\)-এর মান, কলাম = \(q\)-এর মান।

লক্ষ করো:

\(p \wedge q\) — শুধু একটাই সবুজ ঘর (দুটোই T হলে)।
\(p \vee q\) — শুধু একটাই লাল ঘর (দুটোই F হলে)। মানে গণিতের "অথবা" হলো inclusive or — "\(p\), নয় \(q\), নয় দুটোই"।
\(p \to q\) — শুধু একটাই লাল ঘর: \(p\) সত্য অথচ \(q\) মিথ্যা। এটাই সবচেয়ে চমকপ্রদ; নিচে আলাদা করে বুঝব।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Truth table আনুষ্ঠানিকভাবে¶

একই কথা টেবিলে (এটাই সংজ্ঞা — মুখস্থ নয়, বুঝে নাও):

\(p\)	\(q\)	\(\neg p\)	\(p \wedge q\)	\(p \vee q\)	\(p \to q\)	\(p \leftrightarrow q\)
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

Implication (\(p \to q\)) — কেন "মিথ্যা হলে সত্য"?¶

এটাই শিক্ষার্থীদের সবচেয়ে অদ্ভুত লাগে: \(p\) মিথ্যা হলে \(p \to q\) সবসময় সত্য — তা \(q\) যা-ই হোক। একে বলে vacuously true (ফাঁকা-সত্য)।

স্বজ্ঞাটা একটা প্রতিশ্রুতি দিয়ে বোঝা যায়। ধরো আমি বললাম:

"যদি তুমি পরীক্ষায় A পাও (\(p\)), আমি তোমাকে একটা সাইকেল দেব (\(q\))।"

আমি কখন মিথ্যাবাদী প্রমাণিত হব? শুধু একটাই ক্ষেত্রে — তুমি A পেলে (\(p\) সত্য) অথচ আমি সাইকেল দিলাম না (\(q\) মিথ্যা)। এটাই truth table-এর একমাত্র লাল ঘর।

আর যদি তুমি A-ই না পাও (\(p\) মিথ্যা)? তখন আমি সাইকেল দিই বা না দিই — প্রতিশ্রুতি ভাঙিনি। তাই \(p \to q\) সত্য থাকে।

ছবিতে implication-কে "অন্তর্ভুক্তি" (containment) হিসেবে ভাবলে আরও পরিষ্কার:

Implication-কে P এর ভেতরে Q হিসেবে দেখা চিত্র ২: "\(p \to q\)" মানে যেন "\(P\) পুরোটা \(Q\)-এর ভেতরে" — যা কিছু \(p\) পূরণ করে, তা-ই \(q\) পূরণ করে। \(P\)-এর বাইরের বিন্দুগুলোর উপর কোনো শর্ত নেই (সেখানেই vacuous truth)।

Converse, Inverse, Contrapositive¶

\(p \to q\) থেকে তিনটে আত্মীয় বিবৃতি বানানো যায় — এদের গুলিয়ে ফেলা মস্ত ভুল:

নাম	রূপ	\(p \to q\)-এর সমান?
মূল (implication)	\(p \to q\)	—
Converse (বিপরীত)	\(q \to p\)	❌ না
Inverse	\(\neg p \to \neg q\)	❌ না
Contrapositive	\(\neg q \to \neg p\)	✅ হ্যাঁ, সমান

মূল উপপাদ্য (logical equivalence)

\[p \to q \;\equiv\; \neg q \to \neg p\]

অর্থাৎ একটা বিবৃতি আর তার contrapositive সবসময় একই সত্য-মান রাখে। প্রমাণে প্রায়ই \(p \to q\)-এর বদলে এর contrapositive প্রমাণ করা সহজ — Part 0.4-এ এটা কাজে লাগবে।

উদাহরণ: "বৃষ্টি হলে রাস্তা ভেজে" (\(p \to q\))। Contrapositive: "রাস্তা না ভিজলে বৃষ্টি হয়নি" — একই কথা ✓। কিন্তু converse: "রাস্তা ভিজলে বৃষ্টি হয়েছে" — ভুল হতে পারে (কেউ পানি ঢালতেও পারে)।

Quantifier (পরিমাপক): ∀ আর ∃¶

এতক্ষণ একেকটা নির্দিষ্ট statement নিয়ে কাজ করলাম। কিন্তু গণিতে আমরা প্রায়ই অসংখ্য জিনিস নিয়ে একসাথে কথা বলি — "সব", "কোনো একটা"। সেজন্যই quantifier:

\(\forall\) (for all) — "সব", "প্রত্যেক"। \(\forall x\, P(x)\) মানে "প্রত্যেক \(x\)-এর জন্য \(P(x)\) সত্য"।
\(\exists\) (there exists) — "অন্তত একটা আছে"। \(\exists x\, P(x)\) মানে "এমন অন্তত একটা \(x\) আছে যার জন্য \(P(x)\) সত্য"।

for-all বনাম exists চিত্র ৩: বাঁয়ে \(\forall x\, P(x)\) — সবগুলো নীল (সবার জন্য সত্য)। ডানে \(\exists x\, P(x)\) — অন্তত একটা নীল হলেই যথেষ্ট।

উদাহরণ (\(x\) বাস্তব সংখ্যার উপর):

\(\forall x\,(x^2 \ge 0)\) — "প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক" → সত্য।
\(\exists x\,(x^2 = 2)\) — "এমন একটা সংখ্যা আছে যার বর্গ 2" → সত্য (\(x=\sqrt2\))।
\(\forall x\,(x^2 = 2)\) → মিথ্যা (যেমন \(x=1\) হলে \(1 \ne 2\))।

Quantifier-এর negation (অস্বীকার) — সবচেয়ে কাজের নিয়ম¶

\[\neg\,(\forall x\, P(x)) \;\equiv\; \exists x\,\neg P(x)\]

\[\neg\,(\exists x\, P(x)) \;\equiv\; \forall x\,\neg P(x)\]

বাংলায়: "সবাই ভালো"-র উল্টো "সবাই খারাপ" নয় — উল্টো হলো "অন্তত একজন খারাপ"। ঠিক একটা counterexample দিয়েই একটা "সব"-দাবি ভেঙে দেওয়া যায় — শুরুর সেই 2-এর উদাহরণ মনে আছে?

আর connective-এর জন্য বিখ্যাত De Morgan's laws:

\[\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q, \qquad \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q\]

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy — connective যেন বৈদ্যুতিক সুইচ:

\(p \wedge q\) = series-এ দুটো সুইচ — দুটোই অন না হলে বাতি জ্বলবে না।
\(p \vee q\) = parallel-এ দুটো সুইচ — যেকোনো একটা অন হলেই বাতি জ্বলে।
\(\neg p\) = একটা উল্টো সুইচ (অন↔অফ)।

Worked example: "\(p \to q\)" আর "\(\neg p \vee q\)" কি একই?

\[\begin{array}{cc|c|c} p & q & p\to q & \neg p \vee q \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & F \\ F & T & T & T \\ F & F & T & T \end{array}\]

দুটো কলাম হুবহু মিলে গেছে — তাই \(p \to q \equiv \neg p \vee q\)। (এটাই implication-এর "লুকানো" রূপ; প্রায়ই প্রমাণে ব্যবহার হয়।)

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

Inclusive vs exclusive "or"। দৈনন্দিন "চা না কফি?" বললে সাধারণত একটাই বোঝায়। কিন্তু গণিতের \(\vee\) সবসময় inclusive — "দুটোই" ক্ষেত্রেও সত্য।
Converse-কে মূলের সমান ভাবা। "\(p\to q\) সত্য" থেকে "\(q\to p\) সত্য" — এটা ধরে নেওয়া সবচেয়ে কমন bug। সমান হলো contrapositive, converse নয়।
"সব"-এর উল্টো "কোনোটাই না" ভাবা। \(\neg(\forall x\,P(x))\) হলো \(\exists x\,\neg P(x)\) — একটা ব্যতিক্রমই যথেষ্ট, সবাইকে উল্টাতে হয় না।
Vacuous truth-কে "ভুল" ভাবা। \(p\) মিথ্যা হলে \(p\to q\) সত্য — এটা নিয়মেরই অংশ, কোনো ফাঁকি নয়।
Open sentence-কে statement ভাবা। "\(x>3\)" নিজে সত্য/মিথ্যা নয় যতক্ষণ না \(x\) ঠিক হয় বা quantifier বসে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

নিচের কোনগুলো statement? (ক) "\(5\) একটা মৌলিক সংখ্যা।" (খ) "\(x + 1 = 4\)।" (গ) "ভাত খেয়েছ?" (ঘ) "\(\sqrt2\) অমূলদ।"
\(p\) = "আজ রবিবার", \(q\) = "ছুটি"। বাংলায় লেখো: (ক) \(p \wedge q\) (খ) \(\neg q\) (গ) \(p \to q\)।
\(p \wedge (\neg p)\)-এর truth table বানাও। এটা কখন সত্য?
"যদি একটা সংখ্যা \(6\) দিয়ে বিভাজ্য হয়, তবে তা \(3\) দিয়ে বিভাজ্য।" — এর converse আর contrapositive লেখো। কোনটা সবসময় সত্য?
প্রতীকে লেখো: "প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক।" তারপর এর negation প্রতীকে ও বাংলায় লেখো।
truth table দিয়ে দেখাও: \(\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\) (De Morgan)।
"\(\exists x\,(x^2 < 0)\)" (\(x\) বাস্তব) — সত্য না মিথ্যা? এর negation লেখো ও তার সত্য-মান বলো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Statement = যা সত্য বা মিথ্যা হতে পারে।

(ক) ✅ statement, সত্য (\(5\) সত্যিই মৌলিক)।
(খ) ❌ এটা open sentence — \(x\) না জানলে সত্য/মিথ্যা বলা যায় না।
(গ) ❌ প্রশ্ন, সত্য-মান নেই।
(ঘ) ✅ statement, সত্য (\(\sqrt2\) সত্যিই অমূলদ — Part 0.4-এ প্রমাণ করব)।

২-নং সমাধান দেখাও

(ক) \(p \wedge q\) = "আজ রবিবার এবং ছুটি।"
(খ) \(\neg q\) = "ছুটি নয়।"
(গ) \(p \to q\) = "যদি আজ রবিবার হয়, তবে ছুটি।"

৩-নং সমাধান দেখাও

\(p\)	\(\neg p\)	\(p \wedge \neg p\)
T	F	F
F	T	F

\(p \wedge \neg p\) কখনোই সত্য নয় — সবসময় মিথ্যা। এমন বিবৃতিকে বলে contradiction (স্ববিরোধ)। (উল্টোটা, সবসময় সত্য যেমন \(p \vee \neg p\), তাকে বলে tautology।)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(p\) = "\(6\) দিয়ে বিভাজ্য", \(q\) = "\(3\) দিয়ে বিভাজ্য"। মূল: \(p \to q\) (সত্য)।

Converse \(q \to p\): "যদি \(3\) দিয়ে বিভাজ্য হয়, তবে \(6\) দিয়ে বিভাজ্য।" → মিথ্যা (যেমন \(9\): \(3\) দিয়ে যায়, \(6\) দিয়ে যায় না)।
Contrapositive \(\neg q \to \neg p\): "যদি \(3\) দিয়ে বিভাজ্য না হয়, তবে \(6\) দিয়েও বিভাজ্য নয়।" → সত্য (মূলের সমান)।

তাই সবসময় সত্য: মূল ও contrapositive।

৫-নং সমাধান দেখাও

বিবৃতি: \(\forall x\,(x^2 \ge 0)\)। সত্য।

Negation: \(\neg \forall x\,(x^2 \ge 0) \equiv \exists x\,(x^2 < 0)\)। বাংলায়: "এমন একটা বাস্তব সংখ্যা আছে যার বর্গ ঋণাত্মক।" → মিথ্যা (যেমনটা হওয়া উচিত, কারণ মূলটা সত্য)।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(p\)	\(q\)	\(p\wedge q\)	\(\neg(p\wedge q)\)	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\(\neg p \vee \neg q\)
T	T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	T	T	T	T

৪র্থ ও শেষ কলাম হুবহু এক → \(\neg(p\wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\) ✓ (De Morgan)।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(\exists x\,(x^2 < 0)\): কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হয় না, তাই এটা মিথ্যা।

Negation: \(\neg \exists x\,(x^2<0) \equiv \forall x\,(x^2 \ge 0)\) — "প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক।" → সত্য। (একটা মিথ্যা বিবৃতির negation সত্য হবেই — সঙ্গতিপূর্ণ।)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Statement চিনতে পারি — যা ঠিক সত্য বা ঠিক মিথ্যা; open sentence বা প্রশ্নকে আলাদা করতে পারি।
[ ] চারটা connective (\(\neg, \wedge, \vee, \to\))-এর truth table চোখ বন্ধ করে বলতে পারি।
[ ] "\(\vee\) মানে inclusive or" — মনে আছে।
[ ] Implication কেন \(p\) মিথ্যা হলে সত্য (vacuous truth) — প্রতিশ্রুতির analogy দিয়ে বোঝাতে পারি।
[ ] Converse / inverse / contrapositive আলাদা করতে পারি; জানি contrapositive-ই মূলের সমান।
[ ] \(\forall\) ও \(\exists\) ব্যবহার করতে পারি, আর তাদের negation (∀↔∃ অদলবদল) লিখতে পারি।
[ ] De Morgan's laws বলতে ও truth table দিয়ে দেখাতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 0.2 — সেট ও তার অপারেশন (Sets) — এবার এই যুক্তি দিয়েই গণিতের সবচেয়ে মৌলিক বস্তু set গড়ব।