3.9 — Differentiation: Lebesgue Differentiation Theorem¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Hardy–Littlewood maximal function (চরম অপেক্ষক) ও maximal inequality; Vitali Covering Lemma-র স্বজ্ঞা; Lebesgue Differentiation Theorem (লেবেগ অন্তরকলন উপপাদ্য) — প্রায়-সর্বত্র গড় মান \(f\)-এর দিকে যায়; Lebesgue points এবং density (ঘনত্ব)।

উৎস (source): Lebesgue, Hardy, Littlewood, Vitali (differentiation)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আমরা 3.7-এ দেখেছিলাম যে Lebesgue integration অনেক বেশি ক্ষমতাশালী — almost everywhere (প্রায়-সর্বত্র) convergence সহ্য করতে পারে যেটা Riemann পারত না। এখন আসছে আরেকটা গভীর প্রশ্ন।

ধরো \(f \in L^1(\mathbb{R})\), মানে \(f\) একটা summable (যোজনযোগ্য) ফাংশন। কোনো বিন্দু \(b\)-এ \(f\)-এর "local average" হলো

\[\frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f\]

এই average কি \(t \to 0\) করলে \(f(b)\)-এর দিকে যাবে? যদি \(f\) continuous হয়, তাহলে অবশ্যই যাবে — এটা elementary analysis। কিন্তু \(f\) যদি সর্বত্র discontinuous হয়? Lebesgue integration-এর শক্তি দিয়ে এখানেও একটা অসাধারণ উত্তর পাওয়া যায়: almost every \(b\)-এর জন্য local average সত্যিই \(f(b)\)-এ পৌঁছায়।

মূল কথা

Lebesgue Differentiation Theorem বলছে: একটা \(L^1\) ফাংশন প্রায়-সর্বত্র তার নিজের local average-এর limit।

এই theorem-এর proof-এ মূল হাতিয়ার হলো Hardy–Littlewood maximal inequality — G. H. Hardy ও John Littlewood-এর একটা গভীর ফলাফল। সেটা বোঝার জন্য আগে Vitali Covering Lemma লাগে।

বাস্তব প্রয়োগ: signal processing-এ local averaging করা হয়, image analysis-এ pixel neighborhood নেওয়া হয়, probability-তে conditional expectation — সবখানেই এই "shrinking balls"-এর concept কাজে লাগে।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Averaging over shrinking intervals¶

চিত্র: ক্রমহ্রাসমান interval-এ f-এর average → f(b)

ভাবো একটা একমাত্রিক (one-dimensional) function \(f\)। বিন্দু \(b\)-কে কেন্দ্র করে interval \([b-t, b+t]\)-এ \(f\)-এর average হলো

\[A_t f(b) = \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f.\]

যত \(t\) ছোট হয়, interval তত সংকুচিত হয়, এবং average তত \(b\)-এর স্থানীয় তথ্য ধারণ করে।

Averaging balls — shrinking intervals চিত্র ১: বিন্দু \(b\)-কে কেন্দ্র করে তিনটি ক্রমহ্রাসমান interval-এ \(f\)-এর average (horizontal দাগ)। ডানের panel দেখাচ্ছে \(t \to 0\)-এর সাথে average → \(f(b)\) — এটাই Lebesgue Differentiation Theorem।

Hardy–Littlewood maximal function-এর স্বজ্ঞা¶

চিত্র: Hardy–Littlewood চরম অপেক্ষক h(b): বাঁয়ে মূল h, ডানে h যা সর্বত্র h-এর চেয়ে ≥

\(h \in L^1(\mathbb{R})\) দেওয়া। প্রতিটা বিন্দু \(b\)-এর জন্য জিজ্ঞেস করি: "\(b\)-কে কেন্দ্র করে যেকোনো interval-এ \(|h|\)-এর average সর্বোচ্চ কত হতে পারে?" সেই supremum-কে বলা হয় Hardy–Littlewood maximal function (চরম অপেক্ষক) \(h^*\):

\[h^*(b) = \sup_{t > 0} \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} |h|.\]

স্বজ্ঞায় বলতে পারি: \(h^*(b)\) হলো "সবচেয়ে খারাপ-কেস average"— সব সম্ভব interval-এর মধ্যে যেটায় average সর্বোচ্চ।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Markov's Inequality¶

Lebesgue Differentiation Theorem-এর proof-এর প্রথম ইট হলো Markov's inequality:

Markov's Inequality

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space, \(h \in L^1(\mu)\)। তাহলে যেকোনো \(c > 0\)-এর জন্য:

\(\mu\bigl(\{x : |h(x)| \geq c\}\bigr) \leq \frac{1}{c}\|h\|_1.\)

Proof: \(\{|h| \geq c\}\)-এ \(c \leq |h|\) তাই

\[c \cdot \mu(\{|h| \geq c\}) = \int_{\{|h|\geq c\}} c \, d\mu \leq \int_{\{|h|\geq c\}} |h| \, d\mu \leq \|h\|_1. \quad \square\]

স্বজ্ঞা: \(h\) অনেক বড় কোথাও হলে সেখানে \(|h|\) integrate করা অনেক বেশি হয় — তাই সেই set-এর measure বেশি বড় হওয়া সম্ভব নয়।

Vitali Covering Lemma¶

চিত্র: Vitali Covering: overlapping interval → disjoint sub-collection → তিনগুণ সব সর্বত্র cover করে

Hardy–Littlewood inequality-র proof-এ লাগে এই গুরুত্বপূর্ণ covering lemma:

Vitali Covering Lemma

\(I_1, \ldots, I_n\) একটা finite list of bounded nonempty open intervals। তাহলে এদের মধ্যে disjoint subcollection \(I_{k_1}, \ldots, I_{k_m}\) পাওয়া যায় যেন:

\(I_1 \cup \cdots \cup I_n \subseteq (3^*I_{k_1}) \cup \cdots \cup (3^* I_{k_m}),\)

যেখানে \(3^*I\) মানে \(I\)-র সমকেন্দ্রিক কিন্তু তিনগুণ দীর্ঘ interval।

স্বজ্ঞা: কয়েকটা interval দেওয়া আছে যেগুলো পরস্পর overlap করতে পারে। "Greedy algorithm" দিয়ে সবচেয়ে বড় interval নাও, সেটার সাথে যেগুলো overlap করে সেগুলো বাদ দাও, পরের সবচেয়ে বড়টা নাও, এভাবে চলতে থাকো। শেষে যে disjoint list পাবে, সেটাকে তিনগুণ বড় করলে সব interval-কে cover করে।

Proof sketch: সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্যের \(I_{k_1}\) নাও। যেসব \(I_j\) এর সাথে disjoint নয়, তাদের বাদ দিয়ে পরের সর্বোচ্চটা নাও। এই greedy algorithm \(m\) ধাপে শেষ হয়। যেকোনো বাদ-পড়া \(I_j\) অবশ্যই কোনো chosen \(I_{k_\ell}\)-এর সাথে overlap করে এবং \(|I_{k_\ell}| \geq |I_j|\) — এই দুটো থেকে বের হয় \(I_j \subseteq 3^*I_{k_\ell}\)। \(\square\)

Hardy–Littlewood Maximal Inequality¶

Hardy–Littlewood Maximal Inequality

\(h \in L^1(\mathbb{R})\)। তাহলে যেকোনো \(c > 0\)-এর জন্য:

\(|\{b \in \mathbb{R} : h^*(b) > c\}| \leq \frac{3}{c}\|h\|_1.\)

Proof sketch: \(F\) হলো \(\{h^* > c\}\)-এর একটা closed bounded subset। প্রতিটা \(b \in F\)-এর জন্য, সংজ্ঞা অনুযায়ী এমন \(t_b > 0\) আছে যে interval \((b-t_b, b+t_b)\)-এ \(|h|\)-এর average \(> c\)। Heine–Borel দিয়ে finite subcover নাও। Vitali Covering Lemma apply করে disjoint subcollection \(I_{k_1}, \ldots, I_{k_m}\) পাও। তারপর:

\[|F| \leq 3(|I_{k_1}| + \cdots + |I_{k_m}|) < \frac{3}{c}\left(\int_{I_{k_1}} |h| + \cdots + \int_{I_{k_m}} |h|\right) \leq \frac{3}{c}\|h\|_1. \quad \square\]

গুরুত্ব: এই inequality বলছে \(h^*\) যদি অনেক বড় হয়, তাহলে সেই set-এর measure ছোট। এটা Markov inequality-র চেয়ে অনেক গভীর — কারণ এখানে \(h\) ছোট হলেও \(h^*\) বড় হতে পারে।

Lebesgue Differentiation Theorem¶

Lebesgue Differentiation Theorem — প্রথম সংস্করণ

\(f \in L^1(\mathbb{R})\)। তাহলে almost every \(b \in \mathbb{R}\)-এর জন্য:

\(\lim_{t \downarrow 0} \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} |f - f(b)| = 0.\)

মানে কী? \(b\)-কে কেন্দ্র করে ছোট interval-এ \(f\) ও constant \(f(b)\)-এর মধ্যে গড় পার্থক্য শূন্যের দিকে যায় — \(f\) যত irregularই হোক না কেন, almost every point-এ এটা সত্য।

Proof sketch (মূল idea): যেকোনো \(\delta > 0\) নাও। Continuous functions \(L^1(\mathbb{R})\)-তে dense (3.48), তাই \(f\)-কে continuous \(h_k\) দিয়ে approximate করো: \(\|f - h_k\|_1 < \delta/(k \cdot 2^k)\)।

দেখা যায়:

\[\frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t}|f - f(b)| \leq (f-h_k)^*(b) + \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t}|h_k - h_k(b)| + |h_k(b) - f(b)|.\]

তৃতীয় term: Markov inequality দিয়ে control করা যায়।
প্রথম term: Hardy–Littlewood inequality দিয়ে control।
দ্বিতীয় term: \(h_k\) continuous, তাই \(t \to 0\)-এ এটা শূন্য হয়।

সব মিলিয়ে একটা "bad" set \(B_k\) পাওয়া যায় যার measure \(< \delta/2^{k-2}\)। সব \(B_k\)-এর বাইরে limit সত্যিই ০। মোট bad set-এর measure \(< 4\delta\)। যেহেতু \(\delta\) যেকোনো, bad set-এর measure = 0। \(\square\)

দ্বিতীয় সংস্করণ — Integral-এর Derivative¶

Lebesgue Differentiation Theorem — দ্বিতীয় সংস্করণ

\(f \in L^1(\mathbb{R})\)। Define করো \(g(x) = \int_{-\infty}^x f\)। তাহলে almost every \(b \in \mathbb{R}\)-এ:

\(g'(b) = f(b).\)

মানে কী? Integral-এর derivative প্রায়-সর্বত্র মূল function-এর সমান — এটা Fundamental Theorem of Calculus-এর Lebesgue-সংস্করণ। Riemann-এর ক্ষেত্রে এটার জন্য continuity দরকার ছিল; এখন শুধু \(L^1\)-ই যথেষ্ট।

মূল উদাহরণ: Dirichlet function \(f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\)। \(f \in L^1\), এবং \(g(x) = 0\) সর্বত্র (কারণ \(\mathbb{Q}\) measure-zero)। তাই \(g' = 0\) সর্বত্র। এবং \(f(b) = 0\) for almost every \(b\) — consistent!

Lebesgue Points¶

চিত্র: Lebesgue বিন্দু b=0.5: (1/2t)∫|f−f(b)| → 0 যজন t → 0

সংজ্ঞা: Lebesgue Point (লেবেগ বিন্দু)

\(f \in L^1(\mathbb{R})\)। \(b\) একটা Lebesgue point যদি:

\(\lim_{t \downarrow 0} \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t}|f - f(b)| = 0.\)

Lebesgue Differentiation Theorem বলছে: প্রায়-সব (almost every) বিন্দু \(f\)-এর Lebesgue point।

স্বজ্ঞা: Lebesgue point মানে \(b\)-র কাছাকাছি \(f\)"average sense"-এ \(f(b)\)-এর মতোই। এটা continuity-র চেয়ে দুর্বল শর্ত।

Local Average Theorem¶

Theorem

\(f \in L^1(\mathbb{R})\) হলে almost every \(b\)-এ:

\(f(b) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f.\)

এই corollary প্রথম সংস্করণ থেকে সরাসরি বের হয়।

Density (ঘনত্ব)¶

চিত্র: E=[0,1]-এ তিন বিন্দুতে density: interior→1, endpoint→1/2, exterior→0

সংজ্ঞা: Density

\(E \subseteq \mathbb{R}\)। \(b \in \mathbb{R}\)-তে \(E\)-এর density (ঘনত্ব) হলো:

\(\lim_{t \downarrow 0}\frac{|E \cap (b-t, b+t)|}{2t},\)

যদি এই limit থাকে।

উদাহরণ: \([0,1]\)-এর density: interior-এ \(b \in (0,1)\)-তে density = 1; endpoints \(b=0\) ও \(b=1\)-এ density = \(1/2\); বাইরে density = 0।

Lebesgue Density Theorem

\(E \subseteq \mathbb{R}\) একটা Lebesgue measurable set। তাহলে:

almost every \(b \in E\)-তে density of \(E\) = 1,
almost every \(b \in \mathbb{R} \setminus E\)-তে density of \(E\) = 0।

Proof: \(\chi_E \in L^1\) হলে (i.e. \(|E| < \infty\)) Local Average Theorem থেকে সরাসরি বের হয়। সাধারণ ক্ষেত্রে \(E_k = E \cap (-k,k)\) দিয়ে approximate করো। \(\square\)

মানে কী? কোনো measurable set তার বেশিরভাগ বিন্দুতে "locally solid"— ওই বিন্দুর কাছের ছোট interval-এর প্রায় পুরোটাই set-এর অংশ। একইভাবে, set-এর বাইরে বেশিরভাগ বিন্দু " locally outside"।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: পাড়ার Temperature¶

ধরো \(f(x)\) হলো শহরের \(x\) অবস্থানে temperature। কোনো বিন্দু \(b\)-এর আশেপাশে ছোট এলাকায় তাপমাত্রার average নেও। এলাকা যত ছোট করো, average তত \(b\)-এর নিজস্ব temperature-এর দিকে যায় — যদিও শহরে কিছু outlier spot থাকতে পারে (measure-zero exceptional set)।

Worked Example: Maximal Function of \(\chi_{[0,1]}\)¶

\(h = \chi_{[0,1]}\) নাও। তাহলে:

\[h^*(b) = \begin{cases} 1 & \text{যদি } 0 < b < 1, \\ \frac{1}{2(1-b)} & \text{যদি } b \leq 0, \\ \frac{1}{2b} & \text{যদি } b \geq 1. \end{cases}\]

Check: \(b = 0\)-এর জন্য: interval \((0-t, 0+t)\)-এ \(h\)-এর integral = \(\min(t, 1)\)। Average = \(\min(t,1)/(2t)\)। \(t \leq 1\)-এ এটা \(1/2\); \(t > 1\)-এ \(1/(2t) \to 0\)। supremum = \(1/2\)। এটা formula-র সাথে মেলে।

Worked Example: Density Theorem Application¶

ধরো \(E = \mathbb{Q} \cap [0,1]\)। তাহলে \(|E| = 0\)। Lebesgue Density Theorem বলছে: density of \(E\) at almost every \(b\) হবে 0 — এমনকি যেসব \(b \in E\)-তেও! কারণ \(|E| = 0\), তাই "almost every \(b \in E\)"-র set আসলে empty (measure-0 set)।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"সব বিন্দুতে সত্য" ভাবা। Lebesgue Differentiation Theorem শুধু almost every \(b\)-তে সত্য — একটা measure-zero exceptional set সবসময় থাকতে পারে। Continuous function-এর জন্য সব \(b\)-তে সত্য।
\(h^*\) আর \(h\)-কে গুলিয়ে ফেলা। \(h^*(b)\) হলো সব interval-এর average-এর supremum — এটা \(|h(b)|\)-এর চেয়ে সবসময় \(\geq\)। Markov আর Hardy–Littlewood দুটো আলাদা inequality।
Vitali Covering-এর "3" ভুলে যাওয়া। \(3^*I\) মানে triple interval — factor 3 এড়ানো যায় না।
Density = 1 মানে \(b \in E\) ভাবা। Density হলো local proportion। Density 1 at \(b\) মানে locally \(E\) ভরপুর, কিন্তু এর থেকে \(b \in E\) মানে হয় না সবসময়।
Lebesgue Differentiation = FTC ভাবা। FTC বলে \(g' = f\) যখন \(f\) continuous। Lebesgue Differentiation বলে \(g' = f\) almost everywhere, \(f\) শুধু \(L^1\) হলেই।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

Markov's inequality ব্যবহার করে দেখাও: যদি \(\|h\|_1 = 1\), তাহলে \(|\{|h| \geq 10\}| \leq 1/10\)।
\(h = \chi_{[a,b]}\) (characteristic function of \([a,b]\)) এর জন্য \(h^*(x)\) সংজ্ঞা থেকে বের করো। \(b-a = 2\) ধরো।
Lebesgue Differentiation Theorem (প্রথম সংস্করণ) থেকে দেখাও যে \(f(b) = \lim_{t\downarrow 0} \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f\) almost everywhere।
\(E = [0, 1/2]\)। \(b = 0, 1/2, 1\) তিনটা বিন্দুতে \(E\)-এর density বের করো। Lebesgue Density Theorem-এর সাথে মিলাও।
\(f(x) = |x|^{-1/2}\) (for \(x \neq 0\), \(f(0) = 0\)) — এটা \(L^1([-1,1])\)-তে আছে কি? যদি থাকে, \(b = 0\)-তে Lebesgue Differentiation Theorem কী বলে?
Hardy–Littlewood maximal inequality থেকে বুঝিয়ে দাও: \(h \in L^1(\mathbb{R})\) হলে \(|\{h^* = \infty\}| = 0\)।
(চিন্তার প্রশ্ন) Density Theorem-এ "density = 1 a.e. in \(E\)" আর "density = 0 a.e. outside \(E\)"— এই দুটো কি একে অপর থেকে বের হয়? নাকি আলাদা করে প্রমাণ করতে হয়?
একটা bounded function \(f:[0,1] \to \mathbb{R}\) দাও যেটা Riemann integrable নয়, কিন্তু Lebesgue Differentiation Theorem তবুও প্রযোজ্য। কেন প্রযোজ্য?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Markov's inequality: \(|\{|h| \geq c\}| \leq \frac{1}{c}\|h\|_1\)।

\(c = 10\), \(\|h\|_1 = 1\) রাখলে:

\(|\{|h| \geq 10\}| \leq \frac{1}{10} \cdot 1 = \frac{1}{10}. \quad \checkmark\)

২-নং সমাধান দেখাও

\(h = \chi_{[a,b]}\), \(b - a = 2\)। \(h^*(x) = \sup_{t>0} \frac{1}{2t}\int_{x-t}^{x+t} |\chi_{[a,b]}|\)।

Interior (\(a < x < b\)): interval \([x-t, x+t]\) পুরোপুরি \([a,b]\)-এ থাকলে average = 1। সুতরাং \(h^*(x) \geq 1\)। আবার \(h \leq 1\), তাই \(h^*(x) = 1\)।

\(x \leq a\): সেরা interval হলো \(x\) থেকে শুরু করে \(b\)-পর্যন্ত extend করা। \([x-t, x+t]\)-এ \(h\)-এর integral = \(\min(x+t, b) - a\) (যখন \(x+t > a\))। Optimal \(t\) বের করলে \(h^*(a) = 1/2\) পাওয়া যায়।

সাধারণভাবে \(x \leq a\)-এর জন্য: \(h^*(x) = \frac{b-a}{2(a-x) + (b-a)} = \frac{1}{1 + 2(a-x)/(b-a)}\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

প্রথম সংস্করণ বলছে almost every \(b\)-তে: \(\lim_{t\downarrow 0} \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t}|f - f(b)| = 0\)।

এখন:

\(\left|\frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f - f(b)\right| = \left|\frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t}(f - f(b))\right| \leq \frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t}|f - f(b)|.\)

শেষের expression → 0 (almost every \(b\)-তে)। সুতরাং \(\frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f \to f(b)\) almost everywhere। \(\square\)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(E = [0, 1/2]\), তাই \(\chi_E = \mathbf{1}_{[0,1/2]}\)।

\(b = 0\): \(\frac{|E \cap (-t,t)|}{2t} = \frac{t}{2t} = 1/2 \to 1/2\)। ✓ (boundary point)

\(b = 1/2\): \(\frac{|E \cap (1/2-t, 1/2+t)|}{2t} = \frac{t}{2t} = 1/2 \to 1/2\)। ✓ (boundary point)

\(b = 1\): \(\frac{|E \cap (1-t, 1+t)|}{2t}\)। \(t < 1/2\) হলে \(E \cap (1-t,1+t) = [1-t, 1/2]\), length = \(t-1/2\)। \(\frac{t-1/2}{2t} \to 0\)। ✓ (outside \(E\))

Lebesgue Density Theorem: \(b = 0, 1/2\) boundary-তে density = \(1/2\) (exceptional set — measure zero); \(b=1\) outside \(E\)-তে density = 0। সব মিলে consistent।

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\int_{-1}^1 |x|^{-1/2} dx = 2\int_0^1 x^{-1/2} dx = 2[2\sqrt{x}]_0^1 = 4 < \infty\)। হ্যাঁ, \(f \in L^1([-1,1])\)।

\(b = 0\)-তে: \(f(0) = 0\)। তাই \(\frac{1}{2t}\int_{-t}^t |f - f(0)| = \frac{1}{2t}\int_{-t}^t x^{-1/2} = \frac{1}{2t} \cdot 4\sqrt{t} = \frac{2}{\sqrt{t}} \to \infty\)!

সুতরাং \(b = 0\) একটা Lebesgue point নয়। Theorem বলছে almost every \(b\)-তে কাজ করে, এবং শুধু ব্যতিক্রম একটা measure-zero set-এ হতে পারে। \(b=0\) সেই exceptional set-এর একটা point।

৬-নং সমাধান দেখাও

Hardy–Littlewood: \(|\{h^* > c\}| \leq \frac{3}{c}\|h\|_1\) for all \(c > 0\)।

\(|\{h^* = \infty\}| = |\bigcap_{n=1}^\infty \{h^* > n\}| = \lim_{n\to\infty} |\{h^* > n\}| \leq \lim_{n\to\infty} \frac{3}{n}\|h\|_1 = 0. \quad \square\)

৭-নং সমাধান দেখাও

না, দুটো আলাদা statement। একটা \(E\)-এর ভেতরের বিন্দু নিয়ে কথা বলছে, অন্যটা \(E\)-এর বাইরের বিন্দু নিয়ে।

পার্থক্য বোঝার জন্য: Density = 1 a.e. in \(E\) মানে — \(|E \cap (b-t,b+t)| / (2t) \to 1\) a.e. \(b \in E\)। এতে বাইরের বিন্দু নিয়ে কিছু বলা হচ্ছে না।

Proof: উভয়ই Local Average Theorem (\(f = \chi_E\)) থেকে বের হয়। \(b \in E \Rightarrow \chi_E(b) = 1\) এবং \(b \notin E \Rightarrow \chi_E(b) = 0\)। Local Average → \(\chi_E(b)\) a.e.। প্রথমটা \(E\)-তে, দ্বিতীয়টা \(\mathbb{R}\setminus E\)-তে apply।

৮-নং সমাধান দেখাও

Dirichlet function \(f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) নাও: Riemann integrable নয়।

কিন্তু \(f \in L^1([0,1])\) কারণ \(\int_0^1 \mathbf{1}_{\mathbb{Q}} d\lambda = \lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0 < \infty\)।

তাই Lebesgue Differentiation Theorem প্রযোজ্য। এবং almost every \(b \in [0,1]\)-এ:

\(\lim_{t\downarrow 0}\frac{1}{2t}\int_{b-t}^{b+t} f = f(b).\)

\(b\) irrational হলে \(f(b) = 0\) এবং integral = 0 (কারণ irrationals-এ \(f = 0\) a.e.)। সুতরাং limit = 0 = f(b)। ✓ Riemann integrability লাগে না।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Markov's inequality বলতে ও proof দিতে পারি।
[ ] Hardy–Littlewood maximal function \(h^*\)-এর সংজ্ঞা জানি এবং \(\chi_{[0,1]}\)-এর জন্য বলতে পারি।
[ ] Vitali Covering Lemma — statement ও স্বজ্ঞা বোঝাতে পারি।
[ ] Hardy–Littlewood Maximal Inequality — \(|\{h^*>c\}| \leq \frac{3}{c}\|h\|_1\) মুখস্থ ও proof-এর আইডিয়া বলতে পারি।
[ ] Lebesgue Differentiation Theorem (দুটো version) statement ও মূল proof idea বলতে পারি।
[ ] Lebesgue point সংজ্ঞা এবং প্রায়-সব বিন্দু Lebesgue point — এই কথার মানে বুঝি।
[ ] Density সংজ্ঞা ও Lebesgue Density Theorem বলতে পারি।
[ ] পার্থক্য বুঝি: Lebesgue Differentiation vs. FTC (continuity vs. \(L^1\))।

➡️ পরের অধ্যায়: 3.10 — Product Measure; Fubini ও Tonelli — দুটো measure space-এর গুণফল বানাব এবং দ্বিগুণ integral-এর ক্রম পাল্টানোর শর্ত দেখব।