1.2 — অনুক্রম ও সীমা (Sequences & Limits)¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: sequence (অনুক্রম) কী, ε–N সংজ্ঞা দিয়ে convergence (অভিসৃতি) বোঝা, limit (সীমা)-এর অদ্বিতীয়তা, bounded sequence, limit-এর বীজগাণিতিক নিয়ম, আর monotone sequence (একঘাতী অনুক্রম)-এর Monotone Convergence Theorem।
উৎস (source): নতুন · limit-এর ε–N: Cauchy, Weierstrass।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
ধরো তুমি একটা ক্যালকুলেটরে বারবার \(\sqrt{\cdot}\) চাপছ — প্রথমে \(x_1 = \sqrt{2} \approx 1.414\), তারপর \(x_2 = \sqrt{1.414} \approx 1.189\), তারপর \(x_3 \approx 1.090\), ... এটা কি কোথাও গিয়ে "থামে"? থামলে কোথায়?
এই "ক্রমাগত কাছে আসা"-র ধারণাটাই হলো convergence (অভিসৃতি), আর যেখানে থামে সেটাই limit (সীমা)। Calculus-এর প্রতিটা বড় জিনিস — derivative, integral, series — শেষ পর্যন্ত এই একটাই ধারণার উপর দাঁড়িয়ে:
"সংখ্যারা কি ক্রমশ কোনো নির্দিষ্ট মানের দিকে যাচ্ছে?"
কিন্তু "কাছে আসা" মানে ঠিক কী? রোজকার ভাষায় এটা ঝাপসা — দুটো শহর "কাছে" মানে ৫০ কিমি, দুটো পরমাণু "কাছে" মানে ন্যানোমিটার। গণিতে আমাদের দরকার একটা সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা, যেটা দিয়ে নিঃসন্দেহে বলা যাবে "হ্যাঁ, এটা converge করে" বা "না, করে না"। সেই সংজ্ঞাটাই আসছে এই অধ্যায়ে।
আগের অধ্যায়ের সাথে যোগসূত্র
Part 1.1-এ দেখেছিলাম বাস্তব সংখ্যা (real numbers) complete — কোনো "ফাঁক" নেই। এই অধ্যায়ে সেই completeness-কে সরাসরি কাজে লাগাবো: Monotone Convergence Theorem-এর প্রমাণ completeness ছাড়া সম্ভবই নয়।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Sequence (অনুক্রম) — সংখ্যার একটা সারি¶
Sequence মানে সহজ ভাষায়: প্রতিটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জায়গায় একটা বাস্তব সংখ্যা বসানো। যেমন:
আনুষ্ঠানিকভাবে: একটা function \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), যেখানে \(a(n)\) কে লিখি \(a_n\)। পুরো sequence-টাকে লিখি \((a_n)\) বা \((a_n)_{n=1}^{\infty}\)।
উদাহরণ:
| Sequence | সূত্র | প্রথম কয়েকটা পদ |
|---|---|---|
| \((1/n)\) | \(a_n = 1/n\) | \(1,\; 1/2,\; 1/3,\; 1/4,\; \ldots\) |
| \((n/(n+1))\) | \(a_n = n/(n+1)\) | \(1/2,\; 2/3,\; 3/4,\; 4/5,\; \ldots\) |
| \(((-1)^n)\) | \(a_n = (-1)^n\) | \(-1,\; 1,\; -1,\; 1,\; \ldots\) |
| \((n^2)\) | \(a_n = n^2\) | \(1,\; 4,\; 9,\; 16,\; \ldots\) |
Convergence-এর স্বজ্ঞা — ε-band দিয়ে বোঝা¶
ধরো \((a_n) = (n/(n+1))\)। পদগুলো: \(1/2, 2/3, 3/4, \ldots\) — স্পষ্টই \(1\)-এর কাছে যাচ্ছে।
কিন্তু "কাছে যাচ্ছে" কে গণিতের ভাষায় বলব কীভাবে? ধারণাটা হলো:
যদি আমি \(L\)-এর চারপাশে যত ছোট একটা "ফিতা" (band) টানি — \(\varepsilon > 0\) প্রশস্ততার, অর্থাৎ \((L - \varepsilon,\; L + \varepsilon)\) — তবে sequence-টা একসময় সেই ফিতার ভেতরে ঢুকে যায় এবং আর বেরোয় না।
নিচের ছবিটায় এটা পরিষ্কার দেখা যাচ্ছে:
চিত্র ১: \(a_n = n/(n+1) \to 1\)। নীল ফিতাটা হলো \(\varepsilon\)-band। লাল বিন্দুগুলো ফিতার বাইরে (\(n < N\)), সবুজগুলো ভেতরে। \(N\)-এর পর সব বিন্দু সবুজ — ফিতার মধ্যে থাকে।
এই "\(N\)-এর পর সবাই ভেতরে" কথাটাই formal definition-এর হৃদয়।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
সংজ্ঞা ১ — Convergence (অভিসৃতি) ও Limit (সীমা)¶
সংজ্ঞা (Convergence)
Sequence \((a_n)\) বলা হয় converge করে \(L \in \mathbb{R}\)-এ যদি:
তখন লিখি \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\), অথবা \(a_n \to L\)।
পড়ার উপায়: "যেকোনো \(\varepsilon > 0\) নাও (যত ছোটই হোক) — আমি এমন একটা \(N\) খুঁজে দেব যে \(n > N\) হলেই \(a_n\) আর \(L\)-এর দূরত্ব \(\varepsilon\)-এর চেয়ে কম।"
\(|a_n - L| < \varepsilon\) মানে হলো \(L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\), অর্থাৎ \(a_n\) ঠিক সেই \(\varepsilon\)-band-এর ভেতরে।
Divergence (অপসৃতি): যে sequence converge করে না সে diverge করে।
উপপাদ্য ১ — Limit-এর অদ্বিতীয়তা¶
উপপাদ্য (Uniqueness of Limit)
যদি \(a_n \to L\) এবং \(a_n \to M\), তাহলে \(L = M\)।
প্রমাণ: ধরো \(L \ne M\)। তাহলে \(|L - M| = d > 0\)। \(\varepsilon = d/2\) নাও।
- \(a_n \to L\) থেকে: \(\exists N_1\) such that \(n > N_1 \Rightarrow |a_n - L| < d/2\)।
- \(a_n \to M\) থেকে: \(\exists N_2\) such that \(n > N_2 \Rightarrow |a_n - M| < d/2\)।
\(n > \max(N_1, N_2)\) নিলে triangle inequality দিয়ে:
অর্থাৎ \(d < d\) — contradiction। তাই \(L = M\)। \(\square\)
সংজ্ঞা ২ — Bounded Sequence (সীমাবদ্ধ অনুক্রম)¶
সংজ্ঞা (Bounded)
Sequence \((a_n)\) bounded above যদি \(\exists M\) s.t. \(a_n \le M\) \(\forall n\)। Bounded below যদি \(\exists m\) s.t. \(a_n \ge m\) \(\forall n\)। Bounded যদি উভয়ই হয়, অর্থাৎ \(\exists B > 0\) s.t. \(|a_n| \le B\) \(\forall n\)।
উপপাদ্য: প্রতিটা convergent sequence bounded।
প্রমাণ: ধরো \(a_n \to L\)। \(\varepsilon = 1\) নাও। তাহলে \(\exists N\) s.t. \(n > N \Rightarrow |a_n - L| < 1\), অর্থাৎ \(|a_n| < |L| + 1\)। প্রথম \(N\) পদের জন্য \(M_0 = \max(|a_1|, \ldots, |a_N|)\) নাও। তাহলে \(B = \max(M_0, |L|+1)\) হলে \(|a_n| \le B\) সব \(n\)-এর জন্য। \(\square\)
সতর্কতা: উল্টোটা সত্য নয় — bounded মানেই convergent নয়। \(a_n = (-1)^n\) bounded কিন্তু divergent।
উপপাদ্য ২ — Algebra of Limits (সীমার বীজগণিত)¶
উপপাদ্য (Limit Laws)
ধরো \(a_n \to L\) এবং \(b_n \to M\)। তাহলে:
- \(a_n + b_n \to L + M\) (sum rule)
- \(a_n \cdot b_n \to L \cdot M\) (product rule)
- \(c \cdot a_n \to c \cdot L\) (scalar multiple, \(c \in \mathbb{R}\))
- \(a_n / b_n \to L/M\) (quotient rule), যদি \(M \ne 0\) এবং \(b_n \ne 0\) সব \(n\)-এর জন্য।
এই নিয়মগুলো দিয়ে জটিল sequence-এর limit সহজেই বের করা যায়।
Sum rule-এর প্রমাণ (স্কেচ): \(|(a_n + b_n) - (L + M)| \le |a_n - L| + |b_n - M|\)। \(\varepsilon > 0\) দেওয়া হলে প্রতিটা অংশকে \(\varepsilon/2\)-এর নিচে আনো (যা সংজ্ঞা থেকে সম্ভব)।
সংজ্ঞা ৩ — Monotone Sequence (একঘাতী অনুক্রম)¶
সংজ্ঞা (Monotone)
\((a_n)\) monotone increasing (একঘাতী বর্ধনশীল) যদি \(a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots\) অর্থাৎ \(a_n \le a_{n+1}\) সব \(n\)-এর জন্য।
Monotone decreasing (একঘাতী হ্রাসমান) যদি \(a_n \ge a_{n+1}\) সব \(n\)-এর জন্য।
উপপাদ্য ৩ — Monotone Convergence Theorem (MCT)¶
উপপাদ্য (Monotone Convergence Theorem)
প্রতিটা bounded monotone sequence converge করে।
বিস্তারিত:
- যদি \((a_n)\) increasing এবং bounded above হয়, তাহলে \(a_n \to \sup_n a_n\)।
- যদি \((a_n)\) decreasing এবং bounded below হয়, তাহলে \(a_n \to \inf_n a_n\)।
প্রমাণ (increasing case): যেহেতু \((a_n)\) bounded above, completeness axiom (Part 1.1) থেকে \(L = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) বিদ্যমান।
\(\varepsilon > 0\) নাও। \(L - \varepsilon\) কোনো upper bound নয় (কারণ \(L\) supremum), তাই \(\exists N\) s.t. \(a_N > L - \varepsilon\)। যেহেতু \((a_n)\) increasing, \(n > N \Rightarrow a_n \ge a_N > L - \varepsilon\)। আবার \(a_n \le L\) (কারণ \(L\) upper bound)। তাই:
অতএব \(a_n \to L\)। \(\square\)
এই ছবিতে ধারণাটা স্পষ্ট:
চিত্র ২: \(a_n = 1 - 1/n\) একঘাতী বর্ধনশীল ও bounded above by \(1\)। Sequence ক্রমশ supremum \(L = 1\)-এ পৌঁছায়।
কেন completeness লাগে? \(\mathbb{Q}\)-তে \(a_n = \lfloor\sqrt{2}\cdot 10^n\rfloor / 10^n\) (দশমিকে \(\sqrt{2}\)-এর rational approximation) increasing ও bounded, কিন্তু limit \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — তাই \(\mathbb{Q}\)-তে MCT সত্য নয়।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Worked Example 1: \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) (ε–N প্রমাণ)¶
দেখাতে হবে: \(\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N}\) s.t. \(n > N \Rightarrow \left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon\)।
স্ক্র্যাচওয়ার্ক (আগে ভাবি): \(|1/n - 0| = 1/n < \varepsilon \iff n > 1/\varepsilon\)। তাহলে \(N = \lceil 1/\varepsilon \rceil\) নিলেই হবে।
আনুষ্ঠানিক প্রমাণ: \(\varepsilon > 0\) দেওয়া হলো। Archimedean property (Part 1.1) থেকে \(N \in \mathbb{N}\) নাও যেন \(N > 1/\varepsilon\)। তাহলে \(n > N\) হলে:
Worked Example 2: \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1\) (ε–N প্রমাণ)¶
স্ক্র্যাচওয়ার্ক: \(\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon} - 1\)।
প্রমাণ: \(N \in \mathbb{N}\) নাও যেন \(N > 1/\varepsilon\)। তাহলে \(n > N\) হলে:
Worked Example 3: Algebra of Limits ব্যবহার¶
(উপরে-নিচে \(n^2\) দিয়ে ভাগ করে \(1/n \to 0\) ব্যবহার করেছি।)
Analogy — ম্যাপে জুম করা¶
Convergence-কে ভাবো Google Maps-এ জুম করার মতো। \(L\) হলো একটা শহর। প্রতিটা \(a_n\) হলো একটা GPS location। Convergence মানে: যত জুম করো (ε ছোট করো), একটা সময়ের পর (N খুঁজে পেলে) সব location-ই সেই শহরের ভেতরে।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
\(N\) একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা নয় — এটা \(\varepsilon\)-এর উপর নির্ভরশীল। \(\varepsilon\) ছোট হলে \(N\) বড় হবে। সংজ্ঞায় বলা হয়েছে "\(\exists N\)" — মানে \(\varepsilon\) দেওয়ার পর সেই \(\varepsilon\)-এর জন্য একটা \(N\) পাওয়া যাবে।
-
"\(a_n\) কখনো \(L\)-এর সমান হতে হবে" — এটা ভুল। Convergence মানে \(L\)-এর কাছে যাওয়া, স্পর্শ করা নয়। \(a_n = 1/n \to 0\) কিন্তু কোনো \(n\)-এর জন্যই \(a_n = 0\) নয়।
-
Bounded মানে Convergent ভাবা। \((-1)^n\) bounded (\(|a_n| \le 1\)) কিন্তু divergent — দুটো limit-point (\(+1\) ও \(-1\)) আছে, কোনো একটায় থামে না।
-
Divergent মানে "অসীমে যাওয়া" ভাবা। \((-1)^n\) divergent কিন্তু bounded — oscillate করে। "অসীম"-এ যাওয়া হলো বিশেষ ধরনের divergence।
-
Algebra of limits-এ \(\lim(a_n/b_n)\) ব্যবহার করা যখন \(b_n \to 0\)। Quotient rule বলে \(M \ne 0\) লাগবে। \(b_n \to 0\) হলে L'Hôpital বা অন্য পদ্ধতি।
-
Monotone Convergence Theorem-এ "bounded" শর্ত ভুলে যাওয়া। \(a_n = n\) increasing কিন্তু unbounded — diverges।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
-
ε–N সংজ্ঞা ব্যবহার করে প্রমাণ করো: \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n+1}{n} = 2\)।
-
দেখাও যে \(a_n = (-1)^n\) diverge করে। (Hint: উপপাদ্য ১ ব্যবহার করো।)
-
Algebra of limits ব্যবহার করে বের করো:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 3n}{2n^3 + n^2 + 1}.\)
-
ε–N সংজ্ঞা ব্যবহার করে প্রমাণ করো: \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2 + 1} = 1\)।
-
দেখাও \(a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-1}\) monotone decreasing এবং bounded below। MCT ব্যবহার করে বলো limit কত।
-
Squeeze Theorem: যদি \(a_n \le b_n \le c_n\) সব \(n\)-এর জন্য এবং \(a_n \to L\) ও \(c_n \to L\), তাহলে \(b_n \to L\)। এটা ব্যবহার করো \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sin n}{n}\) বের করতে।
-
ε–N সংজ্ঞা দিয়ে দেখাও: যদি \(a_n \to L\) তাহলে \(|a_n| \to |L|\)।
-
Sequence \(a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\)-এর limit বের করো। (Hint: রাশিকরণ করো।)
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
দেখাতে হবে: \(\forall \varepsilon > 0,\; \exists N\) s.t. \(n > N \Rightarrow \left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| < \varepsilon\)।
স্ক্র্যাচওয়ার্ক: \(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\frac{2n+1-2n}{n}\right| = \frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}\)।
প্রমাণ: \(\varepsilon > 0\) দাও। \(N \in \mathbb{N}\) নাও যেন \(N > 1/\varepsilon\)। তাহলে \(n > N\) হলে:
২-নং সমাধান দেখাও
Suppose (বিপরীত ধরো) \((-1)^n \to L\) কোনো \(L\)-এর জন্য।
\(\varepsilon = 1\) নাও। তাহলে \(\exists N\) s.t. \(n > N \Rightarrow |(-1)^n - L| < 1\)।
\(n > N\) এবং \(n\) জোড় হলে: \(|1 - L| < 1\), তাই \(0 < L < 2\)। \(n > N\) এবং \(n\) বিজোড় হলে: \(|-1 - L| < 1\), তাই \(-2 < L < 0\)।
কিন্তু \(L > 0\) এবং \(L < 0\) একসাথে সম্ভব নয়। Contradiction। অতএব \((-1)^n\) diverge করে। \(\square\)
৩-নং সমাধান দেখাও
উপরে-নিচে \(n^3\) দিয়ে ভাগ করি:
\(n \to \infty\) হলে \(1/n \to 0\), \(1/n^2 \to 0\), \(1/n^3 \to 0\)। Algebra of limits:
৪-নং সমাধান দেখাও
স্ক্র্যাচওয়ার্ক: \(\left|\frac{n^2}{n^2+1} - 1\right| = \frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}\)। তাই \(n > 1/\varepsilon\) নিলেই হবে।
প্রমাণ: \(N \in \mathbb{N}\), \(N > 1/\varepsilon\) নাও। \(n > N\) হলে:
৫-নং সমাধান দেখাও
\(a_n = (1 + 1/n)^{-1} = n/(n+1)\)।
Monotone decreasing: \(a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\)।
অপেক্ষা — এটা তো positive, মানে \(a_{n+1} > a_n\), তাই \(a_n\) actually increasing। আর \(a_n = n/(n+1) < 1\) সব \(n\)-এর জন্য — bounded above by \(1\)।
MCT থেকে: \(a_n \to \sup_n a_n\)। যেহেতু \(a_n < 1\) এবং \(a_n \to 1\) (Example 2 থেকে), সুতরাং \(\sup_n a_n = 1\)।
অতএব \(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1\)। \(\square\)
৬-নং সমাধান দেখাও
\(|\sin n| \le 1\) থেকে: \(-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}\)।
\(\lim_{n\to\infty}(-1/n) = 0\) এবং \(\lim_{n\to\infty}(1/n) = 0\) (Example 1 থেকে)।
Squeeze Theorem প্রয়োগ করে: \(\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0\)। \(\square\)
৭-নং সমাধান দেখাও
Reverse triangle inequality: \(\big||a_n| - |L|\big| \le |a_n - L|\)।
\(a_n \to L\): \(\forall \varepsilon > 0,\; \exists N\) s.t. \(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\)।
তাহলে \(n > N \Rightarrow \big||a_n| - |L|\big| \le |a_n - L| < \varepsilon\)।
তাই \(|a_n| \to |L|\)। \(\square\)
৮-নং সমাধান দেখাও
রাশিকরণ (rationalize) করি:
\(\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \ge 2\sqrt{n} \to \infty\) তাই:
Squeeze Theorem (নিচের বাউন্ড \(0\)): \(\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = 0\)। \(\square\)
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Sequence কী — function \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) হিসেবে চিনতে পারি।
- [ ] ε–N সংজ্ঞা মুখস্থ নয়, অর্থ বুঝে বলতে পারি: "যত ছোট ε নাও, একটা N আছে..."
- [ ] দেওয়া sequence-এর জন্য scratch work করে N খুঁজে formal proof লিখতে পারি।
- [ ] Limit-এর অদ্বিতীয়তা প্রমাণ করতে পারি।
- [ ] Bounded ও convergent-এর পার্থক্য জানি; convergent ⟹ bounded কিন্তু উল্টো নয়।
- [ ] Algebra of limits (sum, product, quotient rule) ব্যবহার করে জটিল limit বের করতে পারি।
- [ ] Monotone Convergence Theorem বলতে ও completeness-এর সাথে যোগসূত্র বোঝাতে পারি।
- [ ] Squeeze Theorem ব্যবহার করতে পারি।
- [ ] Divergence মানে যে শুধু "অসীম" নয়, oscillation-ও হতে পারে — উদাহরণ দিতে পারি।
➡️ পরের অধ্যায়: 1.3 — Cauchy ও Bolzano–Weierstrass — এবার জানব কখন একটা sequence converge করে তা limit না জেনেও বলা যায় (Cauchy criterion), এবং প্রতিটা bounded sequence-এ লুকিয়ে থাকা convergent subsequence (Bolzano–Weierstrass theorem)।