2.1 — Metric Space: সংজ্ঞা ও উদাহরণ¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: metric (দূরত্ব-অপেক্ষক) কী এবং তার তিনটা স্বীকার্য; metric space (মেট্রিক স্পেস) সংজ্ঞা; ℝ, ℝⁿ, taxicab, discrete, function space C[a,b], sequence space — বহু কংক্রিট উদাহরণ; open ball (মুক্ত বল); মেট্রিকের মাধ্যমে গণিতের বিশাল এলাকা এক ছাদের নিচে আনার ধারণা।

উৎস (source): Fréchet (metric space), Hausdorff।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

Part 1-এ আমরা বাস্তব সংখ্যার উপর কাজ করেছিলাম। সেখানে "দূরত্ব" বলতে বুঝতাম \(|x - y|\) — দুটো সংখ্যার ব্যবধান। এই দূরত্বের উপর ভিত্তি করেই সংজ্ঞা দিয়েছিলাম: ধারার limit, open set, continuous function।

এখন একটু বড় করে ভাবি। গণিত আর প্রায়োগিক বিজ্ঞানে "দূরত্ব" বা "কাছাকাছি" ধারণাটা অনেক জায়গায় লাগে — কিন্তু সেই দূরত্ব সবসময় \(|x-y|\) নয়:

শহরের রাস্তায় (Manhattan) দূরত্ব মাপো: বস্তু A থেকে B যেতে হলে শুধু আনুভূমিক + উল্লম্ব পথ — কর্ণ বরাবর যাওয়া যায় না।
Function space-এ: দুটো function \(f, g\) কতটা "কাছাকাছি"? হয়তো বলো \(\max_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|\)।
Probability আর Statistics-এ: দুটো distribution-এর "দূরত্ব" কীভাবে মাপবে?
DNA sequencing-এ: দুটো string কতটা আলাদা — edit distance।

এত বৈচিত্র্যময় পরিস্থিতিতে প্রতিবার নতুন করে theory তৈরি করা অপচয়। সমাধান: "দূরত্ব"-এর মূল গুণগুলো আলাদা করে নিয়ে একটা abstract structure বানাও — নাম metric space। একবার এই কাঠামোতে একটা theorem প্রমাণ করলে সে theorem স্বয়ংক্রিয়ভাবে ওপরের সব উদাহরণে সত্য!

এটাই modern analysis-এর শক্তি।

মূল স্বজ্ঞা

Metric space মানে: একটা সেট যেখানে যেকোনো দুটো উপাদানের মধ্যে "দূরত্ব" পরিমাপ করার একটা ফাংশন আছে — যে ফাংশন আমাদের স্বাভাবিক দূরত্বের তিনটা মূল বৈশিষ্ট্য মেনে চলে।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

দূরত্বের স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য কোনগুলো?¶

ধরো শহরে দুটো বাড়ি \(A\) আর \(B\)। আমরা স্বাভাবিকভাবেই কিছু জিনিস ধরে নিই:

দূরত্ব সবসময় অঋণাত্মক: \(A\) থেকে \(B\)-এর দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক না। একই জায়গায় থাকলে দূরত্ব শূন্য।
দূরত্ব সিমেট্রিক: \(A\) থেকে \(B\)-এর দূরত্ব = \(B\) থেকে \(A\)-এর দূরত্ব।
ত্রিভুজ অসমতা (triangle inequality): \(A\) থেকে \(C\)-এ সরাসরি যাওয়া, মাঝে \(B\) দিয়ে যাওয়ার চেয়ে কম বা সমান সময় নেয়।

এই তিনটাই metric-এর axiom।

Unit balls in Euclidean, taxicab, and sup metric চিত্র ১: তিনটি ভিন্ন metric-এ \(\mathbb{R}^2\)-এর "unit ball" \(B(0,1)\)। বাঁয়ে Euclidean (বৃত্ত), মাঝে taxicab (হীরার আকার), ডানে sup/Chebyshev metric (বর্গ)। একই set-এ তিনটে আলাদা metric দিলে "কাছাকাছি" ধারণা আলাদা হয়ে যায়।

Open ball and triangle inequality চিত্র ২: বাঁয়ে — Euclidean metric-এ open ball \(B(x_0, r)\): কেন্দ্র \(x_0\) থেকে \(r\)-এর কম দূরত্বে সব বিন্দু। ডানে — triangle inequality: সরাসরি পথ \(d(x,z)\) কখনো \(d(x,y) + d(y,z)\)-এর বেশি না।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Metric (দূরত্ব-অপেক্ষক) — আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা: Metric

একটা nonempty set \(X\)-এর উপর একটা ফাংশন \(d: X \times X \to \mathbb{R}\) কে metric (দূরত্ব-অপেক্ষক) বলা হয় যদি সব \(x, y, z \in X\)-এর জন্য নিচের তিনটা শর্ত পূরণ হয়:

(M1) Non-negativity (অঋণাত্মকতা):

\[d(x, y) \ge 0, \quad \text{এবং } d(x, y) = 0 \iff x = y\]

(M2) Symmetry (প্রতিসাম্য):

\[d(x, y) = d(y, x)\]

(M3) Triangle inequality (ত্রিভুজ অসমতা):

\[d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)\]

এই তিনটা axiom মিলিয়েই metric। যদি শুধু M1-এর প্রথম অংশ (\(d \ge 0\)) এবং \(d(x,x) = 0\) মানে কিন্তু \(d(x,y)=0 \Rightarrow x=y\) না মানে, তাহলে তাকে বলে pseudometric।

সংজ্ঞা: Metric Space (মেট্রিক স্পেস)

একটা জোড় \((X, d)\)-কে metric space বলে যেখানে \(X\) একটা nonempty set এবং \(d\) তার উপর একটা metric।

যখন metric স্পষ্ট থেকে বোঝা যায়, তখন শুধু \(X\) লিখি।

একটা সহজ পরিণতি: M1 ও M3 থেকে বেরিয়ে আসে "reverse triangle inequality":

\[|d(x, z) - d(y, z)| \le d(x, y)\]

প্রমাণ স্কেচ: M3 দুভাবে লাগাও — \(d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)\) এবং \(d(y,z) \le d(y,x)+d(x,z)\)। দুটো মিলিয়ে নাও।

Triangle inequality: 3 points x, y, z চিত্র: Triangle inequality (M3) — তিনটি বিন্দু \(x, y, z\)-এ সরাসরি পথ \(d(x,z)\) সর্বদা \(d(x,y)+d(y,z)\)-এর চেয়ে কম বা সমান।

Open Ball (মুক্ত বল)¶

সংজ্ঞা: Open Ball

Metric space \((X, d)\)-তে, কেন্দ্র \(x_0 \in X\) ও ব্যাসার্ধ \(r > 0\)-এর open ball (মুক্ত বল) হলো:

\[B(x_0,\, r) \;=\; \{x \in X : d(x_0, x) < r\}\]

কখনো \(B_r(x_0)\) বা \(B(x_0; r)\)ও লেখা হয়।

এটাই metric space-এর "পাড়া" বা neighbourhood-এর মূল ধারণা। পরের অধ্যায়ে open set, convergence — সবকিছু এই ball দিয়ে তৈরি।

Open ball in R^2 with centre x0, radius r, and sample interior point p চিত্র: \(\mathbb{R}^2\)-এ open ball \(B(x_0, r)\) — কেন্দ্র \(x_0\), ব্যাসার্ধ \(r\); নমুনা বিন্দু \(p\) ভেতরে কারণ \(d(x_0,p)<r\)। সীমানা (ড্যাশ) বলের অন্তর্ভুক্ত নয়।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

এখন বহু উদাহরণ দেখি। প্রতিটায় verify করব: M1, M2, M3 পূরণ হচ্ছে কি?

উদাহরণ ১: বাস্তব রেখা \((\mathbb{R},\, |x-y|)\)¶

\[d(x, y) = |x - y|, \quad x, y \in \mathbb{R}\]

M1: \(|x-y| \ge 0\), এবং \(|x-y| = 0 \iff x = y\)। ✓
M2: \(|x-y| = |y-x|\)। ✓
M3: \(|x-z| = |x-y+y-z| \le |x-y| + |y-z|\) (standard absolute value inequality)। ✓

এটাই সবচেয়ে পরিচিত metric।

উদাহরণ ২: Euclidean Space \((\mathbb{R}^n,\, d_2)\)¶

\(\mathbb{R}^n\)-এর দুটো বিন্দু \(\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)\) ও \(\mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n)\)-এর জন্য:

\[d_2(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}\]

M1, M2 সহজে দেখা যায়। M3 প্রমাণ করতে লাগে Cauchy-Schwarz inequality:

\[\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)\]

এই inequality থেকে \(d_2\) triangle inequality মেনে চলে। (Part 3-তে vector space-এর সাথে এটা আবার দেখব।)

\(n=2\), \(n=3\): সাধারণ Euclidean দূরত্ব — পিথাগোরাসের সূত্র।

উদাহরণ ৩: Taxicab বা Manhattan Metric \(d_1\)¶

\[d_1(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|\]

নামটা এসেছে Manhattan শহরের ব্লক-গ্রিড থেকে: সেখানে কর্ণাকারে হাঁটা যায় না, শুধু আনুভূমিক বা উল্লম্ব। তাই \(A(0,0)\) থেকে \(B(3,4)\)-এর taxicab দূরত্ব \(= 3+4 = 7\), Euclidean দূরত্ব \(= 5\)।

সব axiom verify করা সহজ (absolute value-এর properties থেকে)।

Taxicab vs Euclidean path on a grid চিত্র: Grid-এ Taxicab path (লাল) ও Euclidean সরলপথ (নীল) — একই বিন্দু \(A\) থেকে \(B\)-তে, কিন্তু দূরত্ব ভিন্ন (\(d_1=7\), \(d_2=5\))।

উদাহরণ ৪: Discrete Metric (বিচ্ছিন্ন মেট্রিক)¶

যেকোনো nonempty set \(X\)-এ:

\[d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{যদি } x = y \\ 1 & \text{যদি } x \ne y \end{cases}\]

M1: স্পষ্টত। ✓
M2: স্পষ্টত। ✓
M3: তিনটা ক্ষেত্র — যদি \(x = z\): \(d(x,z) = 0 \le d(x,y)+d(y,z)\)। যদি \(x \ne z\): \(d(x,z) = 1\)। কিন্তু যেহেতু \(x \ne z\), তাই হয় \(x \ne y\) বা \(y \ne z\) (অথবা দুটোই) — তাই \(d(x,y)+d(y,z) \ge 1\)। ✓

এই metric-এ যেকোনো set একটা metric space হতে পারে। একটু "চরম" উদাহরণ — discrete metric-এ ball \(B(x, r)\):

\(r \le 1\) হলে: \(B(x, r) = \{x\}\) (শুধু কেন্দ্র)
\(r > 1\) হলে: \(B(x, r) = X\) (পুরো set)

Discrete metric: all pairwise distances equal 1 চিত্র: Discrete metric-এ সব বিন্দু পরস্পর থেকে দূরত্ব ঠিক \(1\) — কাছের বা দূরের কোনো ধারণা নেই।

উদাহরণ ৫: Function Space \(C[a,b]\) with Sup Metric¶

\(C[a,b]\) = সব continuous function \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\)-এর সেট। এটা বিশাল এক সেট!

\[d_\infty(f, g) = \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)| = \max_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|\]

(Closed bounded interval-এ continuous function maximum নেয় — Extreme Value Theorem।)

M1: \(|f(x)-g(x)| \ge 0\) সব \(x\)-এ, তাই sup \(\ge 0\)। Sup \(= 0 \iff |f(x)-g(x)| = 0\) সব \(x\)-এ \(\iff f \equiv g\)। ✓
M2: \(|f-g| = |g-f|\), তাই sup-ও সমান। ✓
M3: সব \(x\)-এ \(|f(x)-h(x)| \le |f(x)-g(x)| + |g(x)-h(x)| \le d_\infty(f,g) + d_\infty(g,h)\)। Sup নিলে: \(d_\infty(f,h) \le d_\infty(f,g) + d_\infty(g,h)\)। ✓

স্বজ্ঞা: \(d_\infty(f,g)\) মানে দুটো function-এর graph-এর "সর্বোচ্চ উল্লম্ব ফারাক"। এই metric-এ "কাছাকাছি" মানে uniformly close — সব \(x\)-এ একসাথে কাছাকাছি।

Sup metric on C[a,b]: max vertical gap between f and g চিত্র: \(C[a,b]\)-এ Sup metric — \(d_\infty(f,g)\) হলো দুটি function-এর graph-এর সর্বোচ্চ উল্লম্ব দূরত্ব (সবুজ তীর)।

উদাহরণ ৬: Sequence Space \(\ell^\infty\)¶

Bounded real sequences-এর সেট: \(\ell^\infty = \{(x_n) : \sup_n |x_n| < \infty\}\)।

\[d((x_n), (y_n)) = \sup_{n \ge 1} |x_n - y_n|\]

Axiom-গুলো verify করা \(C[a,b]\)-এর মতোই।

উদাহরণ ৭: Sup Metric বা Chebyshev Metric on \(\mathbb{R}^n\)¶

\[d_\infty(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|\]

\(n=2\)-এ unit ball হলো বর্গ (চিত্র ১ দেখো)। Chess-এ king কত moves-এ পৌঁছাবে — সেটাই এই metric দেয়।

উদাহরণ তুলনা¶

Metric	Set	\(d(x,y)\)	Unit ball-এর আকার (\(n=2\))
Euclidean \(d_2\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}\)	বৃত্ত
Taxicab \(d_1\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(\sum\lvert x_i-y_i \rvert\)	হীরা (diamond)
Chebyshev \(d_\infty\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(\max\lvert x_i-y_i \rvert\)	বর্গ (square)
Discrete	যেকোনো \(X\)	\(0\) বা \(1\)	হয় \(\{x_0\}\) বা \(X\)
Sup	\(C[a,b]\)	\(\max\lvert f-g \rvert\)	function-space-এ "সিলিন্ডার"

গুরুত্বপূর্ণ সত্য: \(\mathbb{R}^n\)-এ এই তিনটা metric equivalent (সমতুল্য) — তারা একই open set, একই convergent sequence তৈরি করে। কিন্তু \(C[a,b]\)-তে অন্য metric (\(d_1(f,g) = \int|f-g|\)) দিলে আলাদা topology পাই।

Analogy: দূরত্বের metaphor¶

Metric-কে ভাবো "নিয়মের সাথে খেলার মাঠ" হিসেবে। সব বলের মাঠের মতো কিছু নিয়ম আছে (M1–M3), কিন্তু বলটা কতটা গোলাকার বা কোন আকার — সেটা মাঠের নিজস্ব। তিনটা metric-এ "unit ball"-এর আকার ভিন্ন (চিত্র ১), কিন্তু সব মাঠেই নিয়মগুলো মানা হয়।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

M1-এর দ্বিতীয় অংশ ভুলে যাওয়া। শুধু "\(d(x,y) \ge 0\)" মুখস্থ করা হয়, কিন্তু "\(d(x,y) = 0 \iff x = y\)" — এই "শূন্য দূরত্ব মানে একই বিন্দু" অংশটা না লেখাই সবচেয়ে কমন ভুল।
"Metric" আর "norm"-কে গুলিয়ে ফেলা। Norm (দৈর্ঘ্য-অপেক্ষক) থেকে metric তৈরি হয় (\(d(x,y) = \|x-y\|\)), কিন্তু সব metric কোনো norm থেকে আসে না (যেমন discrete metric)।
Triangle inequality ভুলভাবে লেখা। \(d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)\) — মাঝের বিন্দু \(z\) (বা \(y\)) সবসময় মাঝে থাকে; দুই পাশে \(x\) ও \(y\) থাকবে। সাজানো এলোমেলো হয়ে গেলে ভুল হয়।
Open ball-এ "less than" বনাম "less than or equal to"। \(B(x_0, r)\)-তে শর্ত হলো \(d(x_0, x) < r\) (strictly less than) — এটা open ball। \(\overline{B}(x_0, r) = \{x: d(x_0,x) \le r\}\) হলো closed ball।
Discrete metric-এ ball-এর আকার। অনেকে ভাবে discrete metric-এ সব ball একই। আসলে \(r \le 1\) আর \(r > 1\)-এ ball-এর আকার মৌলিকভাবে আলাদা।
Function space-এ উপাদান "সংখ্যা" না। \(C[a,b]\)-এ \(d(f,g)\) মানে "দুটো function-এর দূরত্ব" — function নিজেই একটা "বিন্দু" এই space-এ। এটা মাথায় না থাকলে ধারণা গুলিয়ে যায়।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

দেখাও যে \(d(x,y) = \sqrt{|x-y|}\) (\(x, y \in \mathbb{R}\)) একটা metric। [ইঙ্গিত: triangle inequality-র জন্য দেখাও \(\sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\)।]
\(X = \{a, b, c\}\) set-এর উপর নিচের \(d\)-গুলোর মধ্যে কোনটা metric? (ক) \(d(a,b) = 1, d(b,c) = 1, d(a,c) = 3\) (এবং \(d(x,x) = 0\), symmetric) (খ) \(d(a,b) = 1, d(b,c) = 1, d(a,c) = 2\) (এবং \(d(x,x) = 0\), symmetric)
\((\mathbb{R}^2, d_1)\)-তে (taxicab metric) \(B\bigl((0,0),\, 1\bigr)\) set-টা describe করো এবং আঁকো। এর সীমানায় কোন বিন্দুগুলো আছে?
\((C[0,1],\, d_\infty)\)-তে \(f(x) = x\) এবং \(g(x) = x^2\)-এর মধ্যে দূরত্ব কত? কোন \(x\)-এ সর্বোচ্চ ব্যবধান হয়?
Discrete metric-এ \((X, d)\)-তে যেকোনো \(x_0 \in X\) এবং যেকোনো \(r \in (0,1)\) নিলে \(B(x_0, r)\) কী? আর \(r = 1\) নিলে কী?
Metric \((X, d)\)-তে দেখাও: যেকোনো দুটো open ball \(B(x, r)\) ও \(B(y, s)\) যদি \(z \in B(x,r) \cap B(y,s)\) থাকে, তাহলে এমন একটা \(t > 0\) পাওয়া যাবে যাতে \(B(z, t) \subseteq B(x,r) \cap B(y,s)\)।
\(\mathbb{R}^2\)-এ \(d_1\) এবং \(d_2\) metric দুটো নিয়ে দেখাও: \(d_2(\mathbf{x},\mathbf{y}) \le d_1(\mathbf{x},\mathbf{y}) \le \sqrt{2}\, d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})\)। [এটাই দুটো metric-এর "equivalence"-এর প্রমাণ।]
\((C[-1,1], d_\infty)\)-তে \(B(0, 1)\) (কেন্দ্র zero function, ব্যাসার্ধ \(1\)) ball-টা কোন function-গুলো নিয়ে তৈরি? একটা function কি সেখানে আছে যার \(f(0) = 0.99\)?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

\(d(x,y) = \sqrt{|x-y|}\) metric কিনা verify:

M1: \(|x-y| \ge 0\) তাই \(\sqrt{|x-y|} \ge 0\)। আর \(\sqrt{|x-y|} = 0 \iff |x-y| = 0 \iff x = y\)। ✓

M2: \(|x-y| = |y-x|\) তাই \(\sqrt{|x-y|} = \sqrt{|y-x|}\)। ✓

M3 (Triangle inequality): দেখাতে হবে \(\sqrt{|x-z|} \le \sqrt{|x-y|} + \sqrt{|y-z|}\)।

ধরো \(a = |x-y| \ge 0\) এবং \(b = |y-z| \ge 0\)। দেখাতে হবে \(\sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\)।

উভয় পক্ষ non-negative, তাই বর্গ করা যায়:

\[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \ge a + b\]

কারণ \(2\sqrt{ab} \ge 0\)। তাই \(\sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}\)।

আর \(|x-z| \le |x-y|+|y-z| = a+b\) (standard) তাই \(\sqrt{|x-z|} \le \sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}\)। ✓

সুতরাং \(d(x,y) = \sqrt{|x-y|}\) একটা valid metric।

২-নং সমাধান দেখাও

(ক) \(d(a,c) = 3\): metric নয়। Triangle inequality পরীক্ষা করি:

\[d(a,c) = 3, \quad d(a,b) + d(b,c) = 1 + 1 = 2\]

কিন্তু \(3 > 2\) — triangle inequality ভাঙছে! ❌

(খ) \(d(a,c) = 2\): metric। সব পেয়ার check: \(d(a,b)=1, d(b,c)=1, d(a,c)=2\)। Triangle inequality:

\(d(a,c) = 2 \le d(a,b)+d(b,c) = 2\) ✓
\(d(a,b) = 1 \le d(a,c)+d(c,b) = 3\) ✓
\(d(b,c) = 1 \le d(b,a)+d(a,c) = 3\) ✓

M1, M2 স্পষ্টত। সুতরাং (খ) একটা metric। ✓

স্বজ্ঞা: \(\{a,b,c\}\)-কে একটা সরলরেখায় বসাও: \(a - b - c\), সমান ব্যবধানে। তাহলে \(d(a,c) = 2\) স্বাভাবিক।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(d_1\) metric-এ \((0,0)\)-কেন্দ্রিক unit ball: \(\{(x,y) : |x| + |y| < 1\}\)।

চারটা quadrant-এ সীমানা: \(|x|+|y| = 1\) মানে চারটা রেখাংশ:

\(x+y = 1\) (প্রথম quadrant: \(x,y \ge 0\))
\(-x+y = 1\) (দ্বিতীয় quadrant: \(x \le 0, y \ge 0\))
\(x+y = -1\) (তৃতীয় quadrant: \(x,y \le 0\)) অর্থাৎ \(-x-y=1\)
\(x-y = 1\) (চতুর্থ quadrant: \(x \ge 0, y \le 0\))

মিলিয়ে: হীরার (diamond/rhombus) আকার, শীর্ষ \((1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)\) — কিন্তু এই শীর্ষগুলো open ball-এ নেই (কারণ \(|x|+|y| < 1\), strictly)।

সীমানার বিন্দু (boundary): \(|x|+|y| = 1\)-এর পয়েন্ট। Open ball-এ সেগুলো নেই।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x\), \(g(x) = x^2\) on \([0,1]\)।

\[d_\infty(f,g) = \max_{x \in [0,1]} |f(x) - g(x)| = \max_{x \in [0,1]} |x - x^2| = \max_{x \in [0,1]} (x - x^2)\]

(\(x - x^2 \ge 0\) সব \(x \in [0,1]\)-এ কারণ \(x(1-x) \ge 0\)।)

Maximum খুঁজি: \(h(x) = x - x^2\)। Derivative: \(h'(x) = 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{1}{2}\)।

\[h(1/2) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}\]

তাই \(d_\infty(f, g) = \dfrac{1}{4}\), সর্বোচ্চ ব্যবধান \(x = \tfrac{1}{2}\)-এ।

৫-নং সমাধান দেখাও

Discrete metric-এ: \(d(x_0, x) = 0\) যদি \(x = x_0\), আর \(d(x_0, x) = 1\) যদি \(x \ne x_0\)।

\(r \in (0,1)\)-এর জন্য: \(B(x_0, r) = \{x \in X : d(x_0, x) < r\}\)। যেহেতু \(r \le 1\) এবং \(x \ne x_0\) হলে \(d(x_0,x) = 1 \not< r\), তাই শুধু \(x_0\) নিজেই ball-এ আছে: \(B(x_0, r) = \{x_0\}\)।

\(r = 1\)-এর জন্য: \(B(x_0, 1) = \{x: d(x_0,x) < 1\}\)। \(x \ne x_0\) হলে \(d = 1 \not< 1\)। তাই আবার \(B(x_0, 1) = \{x_0\}\)।

\(r > 1\)-এর জন্য: \(x \ne x_0\) হলেও \(d(x_0,x) = 1 < r\) — সব বিন্দুই ball-এ। তাই \(B(x_0, r) = X\)।

লক্ষ্যণীয়: \(r = 1\) "threshold" — এখানে ball শুধু কেন্দ্র, \(r > 1\) হলেই পুরো set।

৬-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(z \in B(x, r) \cap B(y, s)\)। তাহলে \(d(x, z) < r\) এবং \(d(y, z) < s\)।

ধরো \(t = \min(r - d(x,z),\; s - d(y,z)) > 0\) (দুটোই positive)।

দাবি: \(B(z, t) \subseteq B(x, r)\)।

যেকোনো \(w \in B(z, t)\)-এর জন্য: \(d(z, w) < t\)। Triangle inequality: \(d(x, w) \le d(x, z) + d(z, w) < d(x,z) + t \le d(x,z) + (r - d(x,z)) = r\)। তাই \(w \in B(x, r)\)। ✓

একইভাবে \(B(z, t) \subseteq B(y, s)\)। তাই \(B(z, t) \subseteq B(x,r) \cap B(y,s)\)। ✓

এই ফলাফলটাই পরের অধ্যায়ে open set-এর সংজ্ঞার ভিত্তি।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{x} = (x_1, x_2)\), \(\mathbf{y} = (y_1, y_2)\)। ধরো \(a = |x_1-y_1|, b = |x_2-y_2|\) (\(a,b \ge 0\))।

\(d_2 \le d_1\):

\[d_2 = \sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{a^2+2ab+b^2} = \sqrt{(a+b)^2} = a+b = d_1\]

\(d_1 \le \sqrt{2}\, d_2\): Cauchy-Schwarz: \((a+b)^2 = (1 \cdot a + 1 \cdot b)^2 \le (1^2+1^2)(a^2+b^2) = 2(a^2+b^2)\)। তাই \(a+b \le \sqrt{2(a^2+b^2)} = \sqrt{2}\,d_2\)।

মিলিয়ে: \(d_2(\mathbf{x},\mathbf{y}) \le d_1(\mathbf{x},\mathbf{y}) \le \sqrt{2}\, d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})\)। ✓

তাৎপর্য: দুটো metric-এর ratio \([1, \sqrt{2}]\)-এ বাঁধা — তাই convergence, open set, continuity — সব একই।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(B(0, 1) = \{f \in C[-1,1] : d_\infty(0, f) < 1\} = \{f : \max_{x \in [-1,1]} |f(x)| < 1\}\)।

অর্থাৎ এই ball-এ আছে সেসব continuous function যাদের graph পুরোটাই \(-1\) থেকে \(1\)-এর মধ্যে থাকে।

\(f(0) = 0.99\) হতে পারে? হ্যাঁ! যেমন constant function \(f \equiv 0.99\): \(\max |f| = 0.99 < 1\), তাই \(f \in B(0,1)\)।

আর \(f(0) = 1\) হলে? তখন \(\max |f| \ge |f(0)| = 1 \not< 1\), তাই \(f \notin B(0,1)\)।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Metric-এর তিনটা axiom (M1: non-negativity + \(d=0 \iff x=y\); M2: symmetry; M3: triangle inequality) মুখে বলতে পারি।
[ ] Metric space \((X, d)\)-এর সংজ্ঞা জানি — \(X\) set, \(d\) metric।
[ ] Open ball \(B(x_0, r) = \{x : d(x_0,x) < r\}\) সংজ্ঞা এবং কয়েকটা উদাহরণ বলতে পারি।
[ ] অন্তত পাঁচটা উদাহরণ জানি: \((\mathbb{R}, |\cdot|)\), \((\mathbb{R}^n, d_2)\), taxicab \(d_1\), discrete metric, \((C[a,b], d_\infty)\)।
[ ] Discrete metric-এ ball-এর আকার (\(r \le 1\) বনাম \(r > 1\)) জানি।
[ ] \(\mathbb{R}^2\)-এ \(d_1, d_2, d_\infty\)-তে unit ball-এর আকার (হীরা, বৃত্ত, বর্গ) জানি।
[ ] Reverse triangle inequality \(|d(x,z) - d(y,z)| \le d(x,y)\) বুঝি।
[ ] Metric আর norm-এর পার্থক্য বলতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 2.2 — Convergence, Open ও Closed Set — এবার metric দিয়ে limit, open ও closed set সংজ্ঞায়িত করব।