1.6 — অন্তরকলন (Differentiation)¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: derivative (অন্তরজ) কী — ছবি থেকে limit পর্যন্ত; differentiability কীভাবে continuity নিশ্চিত করে; sum/product/chain rule; Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য) ও Rolle's theorem-এর স্বজ্ঞা ও প্রমাণ; derivative দেখে function কোথায় বাড়ছে/কমছে তা বোঝা।
উৎস (source): নতুন · derivative: Newton, Leibniz; MVT: Lagrange, Rolle।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
গতির প্রশ্ন দিয়ে শুরু করা যাক। ধরো একটা গাড়ি \(t\) সেকেন্ডে \(s(t)\) মিটার দূরে আছে। \(t=2\) থেকে \(t=3\) পর্যন্ত গড় বেগ কত? সহজ —
কিন্তু ঠিক \(t=2\) মুহূর্তে বেগ কত? \(3\) কে \(2\)-এর দিকে ঠেলে দিতে থাকলে গড় বেগ কোথায় গিয়ে থামে? সেই সীমা (limit)-ই হলো derivative (অন্তরজ)।
এই ধারণাটা শুধু পদার্থবিজ্ঞানে নয় — economics-এ marginal cost, geometry-তে tangent line (স্পর্শক রেখা), optimization-এ maximum/minimum — সবখানেই derivative কাজে লাগে। আর আগের অধ্যায়ে (1.5) আমরা limit ও continuity শিখেছিলাম — এই অধ্যায় ঠিক সেই সূত্রের পরবর্তী পদক্ষেপ। পরের অধ্যায়ে (1.7) Riemann integral শিখব — derivative আর integral একসাথে মিলে Fundamental Theorem of Calculus গড়বে।
মূল কথা
Derivative মানে পরিবর্তনের হার — "ঠিক এই মুহূর্তে কত দ্রুত বদলাচ্ছে?"
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Secant থেকে Tangent — ছবিতে বোঝা¶
নিচের চিত্রে \(f(x) = x^2\) ফাংশনটা নেওয়া হয়েছে। \(x=1\) বিন্দুতে আমরা tangent line (স্পর্শক রেখা) বের করতে চাই।
প্রথমে secant line (ছেদক রেখা) আঁকো — \(x=1\) আর \(x=1+h\) বিন্দু দুটো জোড়া লাগাও। এর slope (ঢাল):
এখন \(h \to 0\) করতে থাকো — secant line ক্রমে tangent line-এর দিকে যায়:
চিত্র ১: \(f(x)=x^2\)-এ \(x=1\) বিন্দুতে secant line (ছেদক রেখা) ক্রমে tangent line (স্পর্শক রেখা)-এর দিকে এগোচ্ছে। \(h\) কমার সাথে সাথে slope \(2+h\) থেকে \(2\)-এ পরিণত হয়।
সীমায়: \(\lim_{h\to 0}(2+h) = 2\) — এটাই \(f'(1)\), অর্থাৎ \(x=1\) বিন্দুতে \(f\)-এর derivative।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Derivative (অন্তরজ) — সংজ্ঞা¶
সংজ্ঞা: Derivative
মনে করো \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) এবং \(x_0 \in (a,b)\)। \(f\)-এর \(x_0\) বিন্দুতে derivative (অন্তরজ) হলো:
যদি এই limit বিদ্যমান থাকে। তখন বলি \(f\), \(x_0\) বিন্দুতে differentiable (অন্তরকলনযোগ্য)।
বিকল্প notation: \(\frac{df}{dx}\big|_{x=x_0}\), \(Df(x_0)\)।
উদাহরণ: \(f(x) = x^2\) হলে:
উদাহরণ: \(f(x) = \sqrt{x}\) (\(x > 0\)) হলে:
Differentiability ⇒ Continuity¶
উপপাদ্য (Theorem)
\(f\) যদি \(x_0\) বিন্দুতে differentiable হয়, তাহলে \(f\) সেখানে continuous।
প্রমাণ: ধরো \(f'(x_0)\) বিদ্যমান। তাহলে:
সুতরাং \(\lim_{h\to 0}f(x_0+h) = f(x_0)\) — অর্থাৎ \(f\) continuous। \(\square\)
সতর্কতা: বিপরীতটা সত্য নয়! \(f(x) = |x|\) বিন্দু \(x=0\)-এ continuous, কিন্তু সেখানে differentiable নয়:
দুই দিকের limit আলাদা, তাই derivative নেই।
Differentiation Rules (অন্তরকলনের নিয়ম)¶
ধরো \(f, g\) উভয়ই \(x\)-এ differentiable। তাহলে:
| নিয়ম | সূত্র |
|---|---|
| Sum rule (যোগের নিয়ম) | \((f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)\) |
| Constant multiple | \((cf)'(x) = c\,f'(x)\) |
| Product rule (গুণের নিয়ম) | \((fg)'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)\) |
| Quotient rule (ভাগের নিয়ম) | \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}\), যদি \(g(x)\ne 0\) |
| Power rule | \((x^n)' = n\,x^{n-1}\), সব \(n\in\mathbb{Z}\)-এর জন্য |
Chain Rule (শৃঙ্খল নিয়ম): সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম:
Chain Rule
\(g\) যদি \(x\)-এ differentiable হয় এবং \(f\) যদি \(g(x)\)-এ differentiable হয়, তাহলে:
স্মৃতিসহায়ক: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\) (outside derivative × inside derivative)।
উদাহরণ: \(h(x) = (x^2+1)^{50}\) হলে \(h'(x) = 50(x^2+1)^{49} \cdot 2x = 100x(x^2+1)^{49}\).
Rolle's Theorem ও Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য)¶
এই দুটো উপপাদ্য calculus-এর সবচেয়ে শক্তিশালী ফলাফলের মধ্যে একটি।
Rolle's Theorem
মনে করো \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) continuous, \((a,b)\)-তে differentiable, এবং \(f(a)=f(b)\)। তাহলে এমন \(c\in(a,b)\) বিদ্যমান যেখানে \(f'(c)=0\)।
স্বজ্ঞা: \(f(a)=f(b)\) হলে curve-টা একই উচ্চতায় শুরু ও শেষ হয়। মাঝপথে অবশ্যই একটা "শীর্ষ" বা "তলা" আসবে — সেখানে tangent line অনুভূমিক (slope = 0)।
Mean Value Theorem — মধ্যমান উপপাদ্য (গড়-মান)
মনে করো \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) continuous, \((a,b)\)-তে differentiable। তাহলে এমন \(c\in(a,b)\) বিদ্যমান যেখানে:
স্বজ্ঞা: ডান দিকটা হলো \(a\) থেকে \(b\) পর্যন্ত secant line-এর slope। উপপাদ্যটা বলছে: এই slope-এর সমান কোনো একটা বিন্দুতে tangent line (অর্থাৎ instantaneous slope) অবশ্যই পাওয়া যায়।
বাস্তব উদাহরণ: গাড়ি যদি ২ ঘণ্টায় ১৬০ কিমি যায়, তাহলে কোনো না কোনো মুহূর্তে তার বেগ ঠিক \(\frac{160}{2} = 80\) কিমি/ঘণ্টা ছিল।
চিত্র ২: বাঁয়ে Mean Value Theorem — secant (লাল) ও parallel tangent (নীল) মাঝে কোথাও একটা বিন্দু \(c\) আছে যেখানে slope সমান। ডানে Rolle's Theorem — \(f(a)=f(b)\) হলে মাঝে অনুভূমিক tangent থাকে।
MVT-এর প্রমাণ (sketch): Rolle's Theorem প্রয়োগ করে। নতুন function \(h(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]\) বানাও। তাহলে \(h(a) = h(b) = 0\), তাই Rolle's theorem দিয়ে \(c\in(a,b)\) পাই যেখানে \(h'(c)=0\), অর্থাৎ \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)। \(\square\)
Derivative ও Function-এর আচরণ¶
উপপাদ্য: Monotonicity (একদিকমুখিতা)
মনে করো \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) continuous, \((a,b)\)-তে differentiable।
- \(f'(x) > 0\) সব \(x\in(a,b)\)-তে ⟹ \(f\) strictly increasing (কঠোরভাবে বর্ধমান)।
- \(f'(x) < 0\) সব \(x\in(a,b)\)-তে ⟹ \(f\) strictly decreasing (কঠোরভাবে হ্রাসমান)।
- \(f'(x) = 0\) সব \(x\in(a,b)\)-তে ⟹ \(f\) constant (ধ্রুবক)।
Extrema (চরম মান): \(f'(c)=0\) হলে \(x=c\) একটা critical point (সংকট বিন্দু)। এখানে local maximum (স্থানীয় সর্বোচ্চ) বা local minimum (স্থানীয় সর্বনিম্ন) থাকতে পারে — কিন্তু শুধু \(f'(c)=0\) দিয়ে বলা যায় না, দ্বিতীয় derivative বা sign change দেখতে হয়।
Second Derivative Test: যদি \(f'(c)=0\) এবং \(f''(c)>0\) হয় তাহলে local minimum; \(f''(c)<0\) হলে local maximum।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Worked Example ১: \(f(x) = x^3 - 3x\)¶
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)\).
- \(f'(x) > 0\) যখন \(x < -1\) বা \(x > 1\) → বর্ধমান (increasing)।
- \(f'(x) < 0\) যখন \(-1 < x < 1\) → হ্রাসমান (decreasing)।
- \(f'(-1) = 0\): local maximum, \(f(-1) = -1+3 = 2\)।
- \(f'(1) = 0\): local minimum, \(f(1) = 1-3 = -2\)।
\(f''(x) = 6x\): \(f''(1) = 6 > 0\) (minimum ✓); \(f''(-1) = -6 < 0\) (maximum ✓)।
Worked Example ২: Chain Rule প্রয়োগ¶
\(y = \sin(x^2)\) হলে \(\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)\).
Inner function \(u = x^2\), outer function \(\sin(u)\): \(\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos(u)\cdot 2x\).
Analogy: Derivative = Speedometer¶
Function \(s(t)\) যদি গাড়ির অবস্থান হয়, তাহলে:
- \(s(t)\) → speedometer-এ কতদূর এসেছ।
- \(s'(t)\) → speedometer-এ এই মুহূর্তের বেগ।
- \(s''(t)\) → acceleration (ত্বরণ) — বেগ কতটা দ্রুত বাড়ছে।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
"Differentiable মানেই continuous"- র উল্টো ধরা। Differentiable ⟹ Continuous সত্য, কিন্তু Continuous ⟹ Differentiable মিথ্যা। \(|x|\) বিন্দু \(0\)-এ continuous কিন্তু differentiable নয়।
-
Product rule ভুলে যাওয়া। \((fg)' \ne f' \cdot g'\)। সঠিক: \((fg)' = f'g + fg'\)। অনেকেই দুটো derivative গুণ করে ফেলেন।
-
Chain rule-এ inner function-এর derivative না নেওয়া। \(\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\) লেখা ভুল — ভেতরের \(x^2\)-এর derivative \(2x\) গুণ করতে হবে।
-
\(f'(c) = 0\) মানেই local extremum ভাবা। \(f(x) = x^3\)-এ \(f'(0) = 0\), কিন্তু \(x=0\) একটা inflection point (বাঁক বিন্দু) — extremum নয়।
-
MVT-এর hypotheses উপেক্ষা করা। MVT ব্যবহার করতে \([a,b]\)-এ continuity এবং \((a,b)\)-এ differentiability উভয়ই লাগবে।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
- সংজ্ঞা (limit) ব্যবহার করে \(f(x) = x^3\)-এর derivative বের করো।
- \(f(x) = \frac{1}{x}\) (\(x \ne 0\))-এর derivative সংজ্ঞা থেকে বের করো। তারপর Power rule দিয়ে মিলিয়ে দেখো।
- \(h(x) = (2x^2 + 5x)^4\)-এর derivative বের করো (chain rule ব্যবহার করো)।
- প্রমাণ করো: \(f(x)\) যদি \([a,b]\)-তে differentiable এবং \(f'(x) = 0\) সব \(x\)-এ হয়, তাহলে \(f\) constant।
- \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)-এর critical points বের করো এবং local extrema নির্ধারণ করো।
- Rolle's Theorem ব্যবহার করে দেখাও যে \(f(x) = x^4 - 2x^2\)-এ অন্তরাল \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)-এ অন্তত দুটো বিন্দু আছে যেখানে \(f'=0\)।
- MVT ব্যবহার করে প্রমাণ করো: সব \(x > 0\)-এর জন্য \(|\sin x| \le x\)।
- \(f(x) = x^2\sin\frac{1}{x}\) (\(x \ne 0\)), \(f(0) = 0\) — \(f'(0)\) বের করো।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\((x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\) expand করলে:
অর্থাৎ \((x^3)' = 3x^2\) ✓ (Power rule-এর সাথে মিলছে)।
২-নং সমাধান দেখাও
Power rule থেকে: \(f(x) = x^{-1}\) হলে \(f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\) ✓।
৩-নং সমাধান দেখাও
\(u = 2x^2 + 5x\) ধরলে \(h = u^4\)।
\(\frac{du}{dx} = 4x + 5\), \(\frac{dh}{du} = 4u^3\)।
Chain rule: \(h'(x) = 4u^3 \cdot (4x+5) = 4(2x^2+5x)^3 \cdot (4x+5)\)।
৪-নং সমাধান দেখাও
ধরো \(x_1, x_2 \in [a,b]\) এবং \(x_1 < x_2\)। \(f\) সেই অন্তরালে differentiable, তাই Mean Value Theorem প্রয়োগ করা যায়:
এমন \(c \in (x_1, x_2)\) আছে যেখানে \(f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)\)।
কিন্তু \(f'(c) = 0\) সব \(c\)-এর জন্য (hypothesis)। তাই \(f(x_2) - f(x_1) = 0\), অর্থাৎ \(f(x_1) = f(x_2)\)।
এটা যেকোনো \(x_1, x_2 \in [a,b]\)-এর জন্য সত্য, তাই \(f\) constant। \(\square\)
৫-নং সমাধান দেখাও
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\)।
Critical points: \(f'(x) = 0\) ⟹ \(x = 1\) বা \(x = 3\)।
\(f''(x) = 6x - 12\):
- \(f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0\) → \(x=1\) একটা local maximum। \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6\)।
- \(f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0\) → \(x=3\) একটা local minimum। \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)।
৬-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = x^4 - 2x^2\)।
\(f(-\sqrt{2}) = 4 - 4 = 0 = f(\sqrt{2})\)। এবং \(f(0) = 0 = f(-\sqrt{2})\)।
তাই Rolle's theorem প্রয়োগ করা যায়:
- \([-\sqrt{2}, 0]\)-এ: \(f(-\sqrt{2}) = f(0) = 0\) → কোনো \(c_1 \in (-\sqrt{2}, 0)\) আছে যেখানে \(f'(c_1) = 0\)।
- \([0, \sqrt{2}]\)-এ: \(f(0) = f(\sqrt{2}) = 0\) → কোনো \(c_2 \in (0, \sqrt{2})\) আছে যেখানে \(f'(c_2) = 0\)।
সরাসরি: \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1)\) → শূন্য হয় \(x \in \{-1, 0, 1\}\) — তিনটে বিন্দু। \(\square\)
৭-নং সমাধান দেখাও
\(x = 0\)-এ \(|\sin 0| = 0 \le 0 = 0\) ✓।
\(x > 0\)-এর জন্য: \(g(t) = \sin t\) ধরো, \([0, x]\)-এ MVT প্রয়োগ করি:
এমন \(c \in (0, x)\) আছে যেখানে \(g'(c) = \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \frac{\sin x}{x}\)।
\(g'(c) = \cos c\) এবং \(|\cos c| \le 1\) তাই \(\left|\frac{\sin x}{x}\right| = |\cos c| \le 1\)।
সুতরাং \(|\sin x| \le x\)। \(\square\)
৮-নং সমাধান দেখাও
সংজ্ঞা থেকে:
এখন \(|h\sin\frac{1}{h}| \le |h| \cdot 1 = |h| \to 0\) (Squeeze theorem)।
তাই \(f'(0) = 0\)।
মনে রাখো: \(f'\) কিন্তু \(x \ne 0\)-এ continuous নয় (oscillation করে), এটা differentiability-আর-continuity-র একটা সূক্ষ্ম উদাহরণ।
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Derivative (অন্তরজ)-কে difference quotient-এর limit হিসেবে লিখতে পারি: \(f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)।
- [ ] Differentiable ⟹ Continuous — proof দিতে পারি, বিপরীত মিথ্যা — counterexample দিতে পারি (\(|x|\))।
- [ ] Sum, product, quotient, chain rule মুখস্থ আর প্রয়োগ করতে পারি।
- [ ] Rolle's Theorem বলতে পারি এবং স্বজ্ঞা ব্যাখ্যা করতে পারি।
- [ ] Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য) বলতে পারি, Rolle's theorem থেকে proof-এর sketch জানি।
- [ ] \(f' > 0\) ⟹ increasing, \(f' < 0\) ⟹ decreasing, \(f' = 0\) ⟹ constant।
- [ ] Critical point থেকে local extrema নির্ধারণ করতে পারি (second derivative test)।
➡️ পরের অধ্যায়: 1.7 — Riemann সমাকলন ও তার সীমাবদ্ধতা — এবার derivative-এর বিপরীত অপারেশন integral শিখব, আর দেখব কেন Riemann integral সবসময় যথেষ্ট নয়।