2.4 — Continuous Mapping, Homeomorphism, Isometry¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: continuous mapping (অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস) কী — epsilon-delta সংজ্ঞা এবং "preimage of open is open" সমতুল্য রূপ; sequential continuity; homeomorphism (সমাকৃতিক বিন্যাস) ও topological equivalence; isometry (সমদূরত্ব বিন্যাস) ও দূরত্ব-সংরক্ষণকারী বিন্যাস।
উৎস (source): Cauchy, Weierstrass (continuity); Poincaré (homeomorphism)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
অধ্যায় 2.1–2.3-এ আমরা শিখেছিলাম metric space কী, open ও closed set কী। এখন স্বাভাবিক প্রশ্ন: দুটো metric space-এর মধ্যে একটা ভালো ফাংশন কেমন হবে?
Calculus-এ আমরা দেখেছিলাম: \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continuous মানে গ্রাফে কোনো "লাফ" নেই — \(x\) সামান্য নড়লে \(f(x)\) সামান্যই নড়বে। এই ধারণাটাই metric space-এ সাধারণভাবে লেখা হয় epsilon-delta দিয়ে।
কিন্তু শুধু continuity-ই যথেষ্ট নয়। কখনো কখনো জানতে চাই: দুটো space কি "একই আকৃতির" (topologically)? তখন দরকার homeomorphism। আর কখনো দরকার দূরত্বও অক্ষুণ্ণ থাকুক — তখন দরকার isometry।
এই তিনটা ধারণা মিলে গণিতের মানচিত্রে metric space-গুলোর মধ্যে সম্পর্ক বোঝার পুরো ভাষাটা তৈরি হয়।
মূল স্বজ্ঞা
Continuous mapping (অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস) মানে: কাছের বিন্দুগুলোকে কাছেই পাঠানো হয়। Homeomorphism মানে: দুটো space "টপোলজিক্যালি এক" — একটাকে অন্যটায় পরিণত করা যায় কোনো ছিঁড়ে না ফেলে। Isometry মানে: সব দূরত্বও অপরিবর্তিত থাকে।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Continuity — স্বজ্ঞাগত ছবি¶
কল্পনা করো দুটো শহরের মানচিত্র (metric space)। একটা ফাংশন \(f\) যেন প্রথম মানচিত্রের প্রতিটি বিন্দু দ্বিতীয় মানচিত্রে সরিয়ে দেয়। \(f\) continuous হওয়া মানে: প্রথম মানচিত্রে পাশাপাশি থাকা বিন্দু দ্বিতীয় মানচিত্রেও পাশাপাশিই থাকবে। কোনো বিন্দু আচমকা দূরে চলে যাবে না।
আরেকটা ছবি: একটা রাবার শিট ভাবো। Continuous mapping মানে শিটটাকে যেভাবে ইচ্ছা টানতে ও বাঁকাতে পারো, কিন্তু ছিঁড়তে পারবে না। ছেঁড়া হলে continuity নষ্ট।
চিত্র ১: বাঁয়ে — epsilon-delta সংজ্ঞা: \(x_0\)-এর \(\delta\)-বলের সব বিন্দু \(f(x_0)\)-এর \(\varepsilon\)-বলে যায়। ডানে — সমতুল্য রূপ: \(Y\)-এর যেকোনো open set \(V\)-এর preimage \(f^{-1}(V)\) \(X\)-এ open।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Continuous Mapping — সংজ্ঞা¶
চিত্র: বাঁয়ে — domain \((X, d_X)\); ডানে — codomain \((Y, d_Y)\)। \(x_0\)-এর চারদিকে \(\delta\)-ball (নীল) এবং \(f(x_0)\)-এর চারদিকে \(\varepsilon\)-ball (লাল)। \(f\) continuous হওয়া মানে: সঠিক \(\delta\) বেছে নিলে পুরো \(\delta\)-ball টি \(\varepsilon\)-ball-এর মধ্যে map হয়।
সংজ্ঞা: Continuous Mapping (অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস)
ধরো \((X, d_X)\) ও \((Y, d_Y)\) দুটো metric space এবং \(f: X \to Y\) একটা ফাংশন।
\(f\) বলা হয় \(x_0\)-তে continuous যদি:
\(f\) বলা হয় \(X\)-এ continuous (বা শুধু "continuous") যদি এটা প্রতিটা \(x_0 \in X\)-এ continuous।
এটাই calculus-এর epsilon-delta সংজ্ঞার স্বাভাবিক সাধারণীকরণ — \(|x - x_0| < \delta\) এবং \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\)-এর জায়গায় metric এসেছে।
Sequential Continuity — অনুক্রমিক সংজ্ঞা¶
অনেক সময় sequence দিয়ে continuity বোঝা সহজ:
উপপাদ্য: Sequential Characterisation of Continuity
\(f: X \to Y\) বিন্দু \(x_0\)-তে continuous যদি এবং কেবল যদি:
প্রমাণ (সংক্ষিপ্ত):
\((\Rightarrow)\) ধরো \(f\) continuous এবং \(x_n \to x_0\)। দেওয়া \(\varepsilon > 0\), continuity থেকে \(\exists \delta > 0\) পাই যেন \(d_X(x, x_0) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon\)। যেহেতু \(x_n \to x_0\), বড় যথেষ্ট \(n\)-এর জন্য \(d_X(x_n, x_0) < \delta\), সুতরাং \(d_Y(f(x_n), f(x_0)) < \varepsilon\)।
\((\Leftarrow)\) Contrapositive: ধরো \(f\) continuous নয় \(x_0\)-তে। তাহলে \(\exists \varepsilon_0 > 0\) এবং \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(\exists x_n\) যেন \(d_X(x_n, x_0) < 1/n\) কিন্তু \(d_Y(f(x_n), f(x_0)) \geq \varepsilon_0\)। তাহলে \(x_n \to x_0\) কিন্তু \(f(x_n) \not\to f(x_0)\)। \(\blacksquare\)
Open-Set Characterisation — সবচেয়ে শক্তিশালী রূপ¶
এটা topology-র সবচেয়ে সুন্দর ফলাফলগুলোর একটা:
চিত্র: তিনটা ধাপে দেখানো হচ্ছে — (১) \(Y\)-তে open set \(V\) বাছো; (২) \(f^{-1}(V)\) তৈরি করো; (৩) প্রতিটি \(x_0 \in f^{-1}(V)\)-এর জন্য একটা \(\delta\)-ball সম্পূর্ণ \(f^{-1}(V)\)-এ আছে — তাই \(f^{-1}(V)\) open।
উপপাদ্য: Preimage Characterisation (Continuity = Preimage of Open is Open)
\(f: X \to Y\) continuous যদি এবং কেবল যদি:
প্রমাণ:
\((\Rightarrow)\) ধরো \(f\) continuous এবং \(V \subseteq Y\) open। \(x_0 \in f^{-1}(V)\) ধরো, অর্থাৎ \(f(x_0) \in V\)। \(V\) open বলে \(\exists \varepsilon > 0\) যেন \(B(f(x_0), \varepsilon) \subseteq V\)। \(f\)-এর continuity থেকে \(\exists \delta > 0\) যেন \(d_X(x, x_0) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon\), অর্থাৎ \(f(x) \in V\), অর্থাৎ \(x \in f^{-1}(V)\)। সুতরাং \(B(x_0, \delta) \subseteq f^{-1}(V)\) — \(f^{-1}(V)\) open।
\((\Leftarrow)\) ধরো \(x_0 \in X\) এবং \(\varepsilon > 0\)। তাহলে \(V = B(f(x_0), \varepsilon)\) open in \(Y\)। hypothesis থেকে \(f^{-1}(V)\) open in \(X\)। যেহেতু \(x_0 \in f^{-1}(V)\), \(\exists \delta > 0\) যেন \(B(x_0, \delta) \subseteq f^{-1}(V)\), অর্থাৎ \(d_X(x, x_0) < \delta \Rightarrow f(x) \in V \Rightarrow d_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon\)। \(\blacksquare\)
কেন এটা সুন্দর? Epsilon-delta সংজ্ঞায় দূরত্বের মান দরকার। কিন্তু "open set" ধারণা শুধু topological — দূরত্বের নির্দিষ্ট মান ছাড়াই continuity বোঝা যায়। Topology-র পুরো বিষয়টাই এই ধারণার উপর দাঁড়িয়ে।
Composition of Continuous Mappings¶
উপপাদ্য: Continuous-এর Composition
\(f: X \to Y\) ও \(g: Y \to Z\) উভয়ই continuous হলে \(g \circ f: X \to Z\)-ও continuous।
প্রমাণ: \(W \subseteq Z\) open ধরো। তাহলে \(g\) continuous বলে \(g^{-1}(W)\) open in \(Y\)। আবার \(f\) continuous বলে \(f^{-1}(g^{-1}(W))\) open in \(X\)। কিন্তু \(f^{-1}(g^{-1}(W)) = (g \circ f)^{-1}(W)\)। সুতরাং \((g \circ f)\) continuous। \(\blacksquare\)
Homeomorphism — টপোলজিক্যাল সমতা¶
সংজ্ঞা: Homeomorphism (সমাকৃতিক বিন্যাস)
\(f: X \to Y\) একটা homeomorphism যদি:
- \(f\) bijective (একচৈত্য ও আচ্ছাদনকারী)
- \(f\) continuous
- \(f^{-1}: Y \to X\)-ও continuous ("bicontinuous")
এমন \(f\) বিদ্যমান হলে \(X\) ও \(Y\) homeomorphic (সমাকৃতিক), লেখা \(X \cong Y\)।
Homeomorphic space-গুলো topology-র দৃষ্টিতে "একই" — open set, closed set, convergence, continuity — সব ধারণা একে অপরের সাথে মিলে যায়।
উদাহরণ:
- \((0, 1) \cong \mathbb{R}\): \(f(x) = \tan\!\left(\pi(x - \tfrac{1}{2})\right)\) একটা homeomorphism।
- যেকোনো দুটো open interval \((a,b) \cong (c,d)\): linear map \(f(x) = c + \frac{(d-c)(x-a)}{b-a}\)।
- একটা circle \(S^1 \cong\) একটা open arc: মাথায় রাখো, circle বনাম line homeomorphic নয় (circle থেকে এক বিন্দু সরালে সংযুক্ত থাকে, line থেকে সরালে বিচ্ছিন্ন হয়)।
চিত্র ২: বাঁয়ে — homeomorphism: open interval \((−1,1)\) এবং একটা circular arc টপোলজিক্যালি এক, কিন্তু দূরত্ব আলাদা। ডানে — isometry: দুটো congruent triangle যেখানে সব দূরত্ব অক্ষুণ্ণ।
চিত্র: \(f(x) = \tan(\pi(x-1/2))\) — open interval \((0,1)\)-কে সম্পূর্ণ real line \(\mathbb{R}\)-এ bijectively map করে। বাঁয়ে: graph (দুই প্রান্তে \(\pm\infty\)-এ যায়)। ডানে: \((0,1)\) এবং \(\mathbb{R}\) টপোলজিক্যালি এক — homeomorphism।
Isometry — দূরত্ব-সংরক্ষণকারী বিন্যাস¶
চিত্র: Isometry \(f: X \to Y\) — বাঁয়ে triangle \(A\) (\(X\)-এ), ডানে \(f(A)\) (\(Y\)-এ)। তিনটি বাহু একই দৈর্ঘ্যের — triangle দুটো congruent। Rotation, reflection ও translation isometry; scaling isometry নয়।
সংজ্ঞা: Isometry (সমদূরত্ব বিন্যাস)
\(f: X \to Y\) একটা isometry যদি:
\(f\) bijective isometry হলে \(X\) ও \(Y\) isometric, লেখা \(X \cong_{\text{iso}} Y\)।
লক্ষ করো: isometry সবসময় injective (একচৈত্য) — কারণ \(f(x) = f(y) \Rightarrow d_Y(f(x), f(y)) = 0 \Rightarrow d_X(x, y) = 0 \Rightarrow x = y\)। Bijective isometry সবচেয়ে শক্তিশালী: সব metric ধর্ম অক্ষুণ্ণ।
Isometry বনাম Homeomorphism:
| Homeomorphism | Isometry | |
|---|---|---|
| Bijective | হ্যাঁ | হ্যাঁ (bijective isometry) |
| Continuous | হ্যাঁ (উভয় দিকে) | হ্যাঁ (distance থেকে আসে) |
| Distances preserved | না (শুধু "shape") | হ্যাঁ (ঠিক সমান) |
| শক্তি | Topology সংরক্ষণ | Metric structure সংরক্ষণ |
Isometry \(\Rightarrow\) Homeomorphism, কিন্তু বিপরীত সত্য নয়। \((0,1)\) এবং \((0,2)\) homeomorphic কিন্তু isometric নয় (দৈর্ঘ্য আলাদা)।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Analogy: রাবার শিট ও কঠিন খাঁচা¶
- Homeomorphism = রাবার শিটের রূপান্তর: টানো, বাঁকাও, কিন্তু ছিঁড়ো না বা আঠা দিয়ে জুড়ো না। দুটো shape homeomorphic মানে একটা শিটকে ছেঁড়া ছাড়াই একটা থেকে অন্যটায় নিয়ে যাওয়া যায়।
- Isometry = কঠিন ধাতু রূপান্তর: শুধু সরাতে বা ঘোরাতে পারো, কিন্তু আকৃতি বদলাতে পারো না। সব দূরত্ব অক্ষুণ্ণ।
Worked Example ১: \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + 1\) কি continuous?¶
সমাধান: ধরো \(x_0 \in \mathbb{R}\) এবং \(\varepsilon > 0\) দেওয়া। তাহলে
\(\delta = \varepsilon / 3\) নিলে: \(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| = 3|x - x_0| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon\)।
সুতরাং \(f\) continuous। (আসলে \(f\) একটা bijective isometry — দূরত্ব \(3\) গুণ বাড়ে, তাই isometry নয়, কিন্তু homeomorphism।)
Worked Example ২: \(f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0 \end{cases}\) কি \(x_0 = 0\)-তে continuous?¶
চিত্র: Step function \(f\) — \(x=0\)-তে লাফ (jump)। বাঁয়ে: function-এর graph। ডানে: যেকোনো \(\delta\)-ball-এ (নীল) \(x < 0\)-এর value \(0\), যা \(\varepsilon\)-band (লাল, \(f(x_0)=1\) এর চারদিকে) এর বাইরে — তাই কোনো \(\delta\) কাজ করে না।
সমাধান: \(\varepsilon = 0.5\) নাও। যেকোনো \(\delta > 0\)-এর জন্য \(x = -\delta/2 < 0\) নিলে \(|x - 0| = \delta/2 < \delta\), কিন্তু \(|f(x) - f(0)| = |0 - 1| = 1 \geq \varepsilon\)। সুতরাং \(f\) \(0\)-তে continuous নয়।
Worked Example ৩: \(d_1(x,y) = |x - y|\) এবং \(d_2(x,y) = \min(|x-y|, 1)\) — এই দুটো metric কি homeomorphic?¶
সমাধান: \((\mathbb{R}, d_1)\) এবং \((\mathbb{R}, d_2)\)-এ identity map \(\text{id}: x \mapsto x\) নাও।
- \(\text{id}: (\mathbb{R}, d_1) \to (\mathbb{R}, d_2)\): \(d_2(x, y) \leq d_1(x, y)\), তাই \(d_1\)-এ কাছের বিন্দু \(d_2\)-এও কাছে থাকে — continuous।
- \(\text{id}^{-1}: (\mathbb{R}, d_2) \to (\mathbb{R}, d_1)\): ধরো \(y - x = n \in \mathbb{N}\)। তাহলে \(d_2(x, y) = \min(n, 1) = 1\), কিন্তু \(d_1(x, y) = n\)। এর মানে \(d_2\)-তে "কাছের" বিন্দু \(d_1\)-তে অনেক দূরে হতে পারে — continuous নয়।
সুতরাং এই দুটো homeomorphic নয় এই particular mapping-এ। (আসলে এই দুই metric-এর তৈরি topology একই — open ball দিয়ে একই open set পাওয়া যায় — তাই \((\mathbb{R}, d_1) \cong (\mathbb{R}, d_2)\); কিন্তু identity map homeomorphism নয়।)
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
Bijective + continuous = homeomorphism ভাবা। এটা ভুল! \(f^{-1}\)-কেও continuous হতে হবে। Counterexample: \(f: [0, 2\pi) \to S^1\) (circle), \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) — bijective ও continuous, কিন্তু \(f^{-1}\) continuous নয় (circle-এ \(t = 0\) ও \(t = 2\pi^-\) কাছে, কিন্তু তাদের preimage \(0\) ও \(2\pi\)-এর কাছ দূরে)।
-
Homeomorphic মানে একই metric ভাবা। \((0,1)\) ও \(\mathbb{R}\) homeomorphic, কিন্তু তাদের metric সম্পূর্ণ আলাদা।
-
"Preimage of closed is closed" ভুলে যাওয়া। \(f\) continuous হলে closed set-এর preimage-ও closed। (Proof: complement নাও।)
-
Sequential continuity \(\Rightarrow\) continuity শুধু metric space-এ। General topological space-এ sequential continuity থেকে continuity আসে না। কিন্তু metric space-এ এই দুটো সমতুল্য।
-
Isometry সবসময় surjective ভাবা। Isometry মানে distance-preserving — এটা injective কিন্তু surjective নাও হতে পারে। উদাহরণ: \(\mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z}\), \(n \mapsto n\)।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।
-
\(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(f(x, y) = x + y\) (Euclidean metric ব্যবহার)। \(f\) কি continuous?
-
\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\)। \(g\) কি continuous? Sequential characterisation ব্যবহার করো।
-
দেখাও: metric space-এ distance function \(d: X \times X \to \mathbb{R}\) continuous (product metric ব্যবহার করো, অথবা triangle inequality দিয়ে সরাসরি)।
-
\(X = \{0, 1\}\) with \(d(0, 1) = 1\), \(Y = \{0, 1\}\) with \(d'(0, 1) = 2\)। এই দুটো space isometric কি না? Homeomorphic কি না? কারণ দাও।
-
ধরো \(f: X \to Y\) continuous এবং \(A \subseteq X\) closed। কি \(f(A)\) সবসময় \(Y\)-তে closed? প্রমাণ বা counterexample দাও।
-
প্রমাণ করো: যদি \(f: X \to Y\) isometry হয় এবং \(\{x_n\}\) Cauchy sequence in \(X\) হয়, তাহলে \(\{f(x_n)\}\) Cauchy sequence in \(Y\)।
-
\(f: (0, \infty) \to (0, \infty)\), \(f(x) = 1/x\)। \(f\) কি homeomorphism? Isometry?
-
(চ্যালেঞ্জ) \(f: [0,1] \to [0,1]\) continuous এবং \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\)। প্রমাণ করো যে \(f\) এর range সংযুক্ত — অর্থাৎ \(f\) কোনো \(c \in (0,1)\) ধারণ করে (Intermediate Value Theorem-এর metric space version)।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\(f(x, y) = x + y\)। \(\mathbb{R}^2\)-এ Euclidean metric \(d_2((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}\)।
ধরো \((x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2\) এবং \(\varepsilon > 0\)।
Cauchy-Schwarz বা সরল bound থেকে:
সুতরাং \(|f(x,y) - f(x_0,y_0)| \leq 2 \cdot d_2((x,y),(x_0,y_0))\)।
\(\delta = \varepsilon/2\) নিলে: \(d_2 < \delta \Rightarrow |f - f_0| < 2\delta = \varepsilon\)।
\(f\) continuous। ✓
২-নং সমাধান দেখাও
Sequential characterisation ব্যবহার করি। ধরো \(x_n \to x_0\) in \(\mathbb{R}\)।
\(x_n \to x_0\) বলে \(x_n\) bounded — ধরো \(|x_n|, |x_0| \leq M\) কোনো \(M > 0\)-এর জন্য। তাহলে:
সুতরাং \(|g(x_n) - g(x_0)| \leq 2M \cdot |x_n - x_0| \to 0\)।
অতএব \(g(x_n) \to g(x_0)\) — \(g\) continuous। ✓
৩-নং সমাধান দেখাও
দেখাতে হবে: \((x_n, y_n) \to (x_0, y_0)\) হলে \(d(x_n, y_n) \to d(x_0, y_0)\)।
Triangle inequality ব্যবহার করি:
দুটো মিলিয়ে:
যেহেতু \((x_n, y_n) \to (x_0, y_0)\), উভয় \(d(x_n, x_0) \to 0\) এবং \(d(y_n, y_0) \to 0\)। সুতরাং \(d(x_n, y_n) \to d(x_0, y_0)\)। \(d\) continuous। ✓
৪-নং সমাধান দেখাও
Homeomorphic: \(f: X \to Y\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\) ধরো। \(f\) bijective ✓।
\(d_X(0,1) = 1\), \(d_Y(0,1) = 2\)। \(f\)-এর continuity: প্রতিটা finite metric space-এ যেকোনো ফাংশন continuous (সব set open), তাই \(f\) ও \(f^{-1}\) continuous ✓।
সুতরাং \(X \cong Y\) homeomorphic। ✓
Isometric নয়: \(d_X(0,1) = 1 \neq 2 = d_Y(f(0), f(1))\) — দূরত্ব সংরক্ষিত হয়নি। অতএব isometric নয়। ✗
৫-নং সমাধান দেখাও
না, \(f(A)\) সবসময় closed নয়।
Counterexample: \(X = \mathbb{R}\), \(Y = \mathbb{R}\), \(A = [1, \infty)\) (closed in \(\mathbb{R}\)), \(f(x) = e^{-x}\)।
\(f\) continuous ✓। কিন্তু \(f([1, \infty)) = (0, e^{-1}]\) — যা closed নয় (\(0\) limit point কিন্তু \(0 \notin f(A)\))।
তবে যদি \(A\) compact হয়, তাহলে \(f(A)\) compact, তাই closed।
৬-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(\{x_n\}\) Cauchy in \(X\) হলে \(\{f(x_n)\}\) Cauchy in \(Y\)।
ধরো \(\varepsilon > 0\)। \(\{x_n\}\) Cauchy বলে \(\exists N\) যেন \(m, n > N \Rightarrow d_X(x_m, x_n) < \varepsilon\)।
\(f\) isometry বলে:
সুতরাং \(\{f(x_n)\}\) Cauchy in \(Y\)। \(\blacksquare\)
উপলব্ধি: Isometry Cauchy sequence সংরক্ষণ করে — এটাই পরের অধ্যায়ে completion-এর জন্য কাজে লাগবে।
৭-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = 1/x\), \(f: (0, \infty) \to (0, \infty)\)।
Homeomorphism: \(f\) bijective ✓ (\(f(f(x)) = x\), তাই \(f^{-1} = f\) নিজেই)। \(f\) continuous on \((0,\infty)\) ✓। \(f^{-1} = f\) continuous ✓। সুতরাং homeomorphism। ✓
Isometry নয়: \(d(1, 2) = 1\), কিন্তু \(d(f(1), f(2)) = d(1, 1/2) = 1/2 \neq 1\)। সুতরাং isometry নয়। ✗
৮-নং সমাধান দেখাও
Intermediate Value Theorem — sketch:
ধরো \(c \in (0,1)\)। দেখাতে হবে \(\exists x \in [0,1]\) যেন \(f(x) = c\)।
\(S = \{x \in [0,1] : f(x) \leq c\}\) ধরো। \(S\) nonempty (\(0 \in S\) কারণ \(f(0) = 0 \leq c\)) এবং bounded above।
\(x^* = \sup S\) নাও। \(f\) continuous বলে \(f(x^*) = \lim f(x_n)\) যেখানে \(x_n \to x^*\) in \(S\) — সুতরাং \(f(x^*) \leq c\)। অন্যদিকে \(x^*\)-এর ডানে কোনো উপাদান \(S\)-এ নেই, তাই \(f(x^*) \geq c\) (sequence থেকে)।
সুতরাং \(f(x^*) = c\)। \(\blacksquare\)
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Continuous mapping (অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস)-এর epsilon-delta সংজ্ঞা মুখে বলতে ও উদাহরণে প্রয়োগ করতে পারি।
- [ ] Sequential continuity: \(x_n \to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0)\) — epsilon-delta-এর সমতুল্য।
- [ ] Preimage of open is open: \(f\) continuous \(\Leftrightarrow\) \(f^{-1}(V)\) open for every open \(V\) — এটা প্রমাণ করতে পারি।
- [ ] Continuous-এর composition continuous — জানি ও ব্যবহার করতে পারি।
- [ ] Homeomorphism (সমাকৃতিক বিন্যাস): bijective + continuous + inverse continuous — topology সংরক্ষণ।
- [ ] Isometry (সমদূরত্ব বিন্যাস): \(d_Y(f(x), f(y)) = d_X(x, y)\) — metric ঠিক সংরক্ষণ।
- [ ] Isometry \(\Rightarrow\) Homeomorphism কিন্তু বিপরীত নয় — উদাহরণ দিতে পারি।
- [ ] জানি: continuous image of closed set closed নাও হতে পারে।
➡️ পরের অধ্যায়: 2.5 — Completeness ও Completion — এবার জানব metric space কখন "পূর্ণ" (কোনো Cauchy sequence তার সীমা হারায় না) এবং অপূর্ণ space-কে কীভাবে পূর্ণ করা যায়।