4.7 — Lᵖ Space: Hölder ও Minkowski

এই অধ্যায়ে কী শিখব: \(L^p(\mu)\) space কী, \(p\)-norm (পি-নর্ম) কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়, conjugate exponent (যুগ্ম সূচক) \(1/p+1/q=1\) কোথা থেকে আসে, Young's inequality (ইয়াং অসমতা) থেকে শুরু করে Hölder's inequality (হোল্ডারের অসমতা) ও Minkowski's inequality (মিনকাউস্কির অসমতা)-র সম্পূর্ণ প্রমাণ; \(L^\infty\) ও essential supremum (অনিত্য ঊর্ধ্বসীমা); আর finite measure space-এ \(L^p\) space-গুলো কীভাবে পরস্পরের মধ্যে বসে।

উৎস (source): Hölder, Minkowski, Young।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়গুলোতে আমরা দেখেছি Banach space (ব্যানাখ স্পেস) হলো এমন একটা complete normed vector space (সম্পূর্ণ নর্মযুক্ত ভেক্টর স্পেস) যেখানে সব Cauchy sequence (কোশি ক্রম) converge করে। কিন্তু "function space" মানে কী? সব integrable function (সমাকলনযোগ্য ফাংশন) নিয়ে কি একটা Banach space বানানো যায়?

\(L^p(\mu)\) হলো সেই উত্তর — এবং এটা শুধু একটা গাণিতিক কৌতূহল নয়। এই space-গুলো দেখা যায়:

• Fourier analysis (ফুরিয়ে বিশ্লেষণ): \(L^2\) functions-এর Fourier series সবসময় converge করে।
• Probability theory (সম্ভাবনা তত্ত্ব): random variable-এর \(p\)-th moment হলো \(L^p\) norm।
• PDE (আংশিক অবকল সমীকরণ): Sobolev space-গুলো \(L^p\) space-এর উপরে দাঁড়িয়ে।
• Machine learning: regularization (নিয়মিতকরণ)-এ \(L^1\) ও \(L^2\) norm-এর ব্যবহার সর্বজনীন।

এই অধ্যায়ের দুটো মূল অসমতা — Hölder ও Minkowski — হলো সেই ভিত্তি যার উপরে \(L^p\) Banach space-এর পুরো তত্ত্ব দাঁড়িয়ে আছে।

মূল অন্তর্দৃষ্টি

\(L^p\) norm মানে হলো একটা function-এর "শক্তি" বা "আকার" মাপার একটা উপায়। \(p\) যত বড়, তত বেশি emphasis বড় মানগুলোতে। \(p=2\) হলো "energy" (শক্তি), \(p=1\) হলো "total variation" (মোট পরিবর্তন), \(p=\infty\) হলো "maximum size" (সর্বোচ্চ আকার) — measure-zero ব্যতিক্রম বাদে।

২. মূল ধারণা (Core idea)

\(p\)-norm ও Lebesgue space

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space (পরিমাপ স্পেস)। একটা measurable function \(f: X \to \mathbb{R}\) কতটা "বড়"? সহজ উত্তর: \(\int \lvert f \rvert \, d\mu\) হিসাব করো — এটাই \(L^1\) norm। কিন্তু অনেক সময় \(\lvert f \rvert\) এর পরিবর্তে \(\lvert f \rvert^p\) integrate করা বেশি কার্যকর।

স্বজ্ঞা: \(p\) বাড়ালে বড় মানগুলো (\(\lvert f(x) \rvert > 1\) যেখানে) আরও বেশি "ওজন" পায়, ছোট মানগুলো আরও কম ওজন পায়। নিচের ছবিতে একই \(f\)-এর জন্য \(\lvert f \rvert^1\), \(\lvert f \rvert^2\), \(\lvert f \rvert^6\) তুলনা করো:

চিত্র ১: একই \(f\)-এর জন্য \(\lvert f\rvert^p\) integrand — \(p\) বাড়লে peak-গুলো আরো তীক্ষ্ণ হয়, ফলে norm বেশি emphasis দেয় maximum-এর কাছে।

Conjugate exponent (যুগ্ম সূচক) কেন \(1/p + 1/q = 1\)?

দুটো function \(f\) ও \(g\)-এর "product" \(fg\)-এর integral bound করতে হলে কতটা \(f\)-এর norm লাগবে আর কতটা \(g\)-এর? Young's inequality (পরে দেখব) বলে — \(p\) আর \(q\) যদি satisfiy করে

\[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,\]

তাহলে সবচেয়ে "balanced" বণ্টন পাই। এই \(q\)-কে বলে \(p\)-এর dual exponent (দ্বৈত সূচক) বা conjugate exponent।

চিত্র ২: \(1/p + 1/q = 1\) সম্পর্কে conjugate pair-গুলো। \(p=2\) একমাত্র self-dual — নিজের conjugate নিজেই। \(p \to 1\) হলে \(q \to \infty\); \(p \to \infty\) হলে \(q \to 1\)।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

\(p\)-norm ও \(L^p(\mu)\)

সংজ্ঞা 4.7.1: \(p\)-norm ও essential supremum

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space এবং \(f: X \to \mathbb{R}\) হলো \(\mathcal{S}\)-measurable।

\(p\)-norm (\(0 < p < \infty\)-এর জন্য):

\[\lVert f \rVert_p = \left(\int \lvert f \rvert^p \, d\mu\right)^{1/p}\]

Essential supremum (\(\lVert f \rVert_\infty\), \(p = \infty\)-এর জন্য):

\[\lVert f \rVert_\infty = \inf\{ t > 0 : \mu(\{x \in X : \lvert f(x) \rvert > t\}) = 0 \}\]

\(1/p\)-এর exponent দরকার যাতে \(\lVert \alpha f \rVert_p = \lvert \alpha \rvert \lVert f \rVert_p\) হয় (scalar multiplication-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ)।

সংজ্ঞা 4.7.2: Lebesgue space \(L^p(\mu)\)

\[L^p(\mu) = \{ f : X \to \mathbb{R} \mid f \text{ measurable এবং } \lVert f \rVert_p < \infty \}\]

অর্থাৎ \(L^p(\mu)\) হলো সেই measurable function-গুলোর সমষ্টি যাদের \(p\)-norm finite।

Example: \(\mu\) = counting measure (গণনা পরিমাপ) on \(\mathbb{Z}^+\), তাহলে \(L^p(\mu) = \ell^p\) (little el-\(p\)):

\[\ell^p = \left\{(a_1, a_2, \ldots) : \sum_{k=1}^\infty \lvert a_k \rvert^p < \infty \right\}\]

আর \(\ell^\infty = \{(a_1, a_2, \ldots) : \sup_k \lvert a_k \rvert < \infty\}\) — bounded sequences।

\(L^\infty\) ও Essential Supremum

\(L^\infty\) বোঝার চাবিকাঠি: essential supremum measure-zero exception বাদ দিয়ে সর্বোচ্চ মান ধরে। ফলে \(\lVert f \rVert_\infty\) পাল্টায় না যদি \(f\) measure-zero set-এ বদলানো হয়।

চিত্র ৩: \(L^\infty\) ও essential supremum। Measure-zero সেটে spike থাকলেও ess sup সেটা ignore করে — তাই ess sup হলো "effective maximum" (কার্যকর সর্বোচ্চ)।

Young's Inequality (ইয়াং অসমতা)

এটাই Hölder-এর proof-এর মূল হাতিয়ার।

উপপাদ্য 4.7.3: Young's Inequality

ধরো \(1 < p < \infty\) এবং \(q = p/(p-1)\) (তাহলে \(1/p + 1/q = 1\))। সব \(a \geq 0\) ও \(b \geq 0\)-এর জন্য:

\[ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\]

সমতা ঠিক তখনই যখন \(a^p = b^q\)।

প্রমাণ: Fix \(b > 0\), define \(f(a) = a^p/p + b^q/q - ab\)। তাহলে \(f'(a) = a^{p-1} - b\)। \(f'(a) = 0\) হলে \(a = b^{1/(p-1)}\)। এটাই global minimum। \(p/(p-1) = q\) ব্যবহার করে দেখানো যায় \(f(b^{1/(p-1)}) = 0\)। তাই \(f(a) \geq 0\) সব \(a > 0\)-এর জন্য। \(\square\)

চিত্র: Young's inequality একটা সুন্দর geometric interpretation আছে — \(y = x^{p-1}\) curve-এর নিচে দুটো পরস্পর পরিপূরক area:

চিত্র ৪: Young's inequality — নীল area = \(a^p/p\) (curve \(y=x^{p-1}\)-এর নিচে \(x\) থেকে \(0\) থেকে \(a\) পর্যন্ত), লাল area = \(b^q/q\) (একই curve-এর \(y\)-axis পাশে \(0\) থেকে \(b\) পর্যন্ত)। দুটো area মিলে সবসময় \(a \times b\) rectangle-এর চেয়ে বড় বা সমান।

Hölder's Inequality (হোল্ডারের অসমতা)

উপপাদ্য 4.7.4: Hölder's Inequality

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space, \(1 \leq p \leq \infty\), এবং \(q\) হলো \(p\)-এর conjugate exponent। তাহলে \(f, h: X \to \mathbb{R}\) measurable হলে:

\[\lVert fh \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_p \lVert h \rVert_q\]

অর্থাৎ: \(\displaystyle\int \lvert f h \rvert \, d\mu \leq \lVert f \rVert_p \cdot \lVert h \rVert_q\)।

প্রমাণ (\(1 < p < \infty\)): তিনটা ক্ষেত্র:

• যদি \(\lVert f \rVert_p = 0\) বা \(\lVert h \rVert_q = 0\): তাহলে \(fh = 0\) a.e., তাই \(\lVert fh \rVert_1 = 0\) — অসমতা trivially সত্য।
• যদি \(\lVert f \rVert_p = \infty\) বা \(\lVert h \rVert_q = \infty\): ডানদিক \(= \infty\) — অসমতা trivially সত্য।
• মূল ক্ষেত্র (\(0 < \lVert f \rVert_p, \lVert h \rVert_q < \infty\)):

Define \(f_1 = f / \lVert f \rVert_p\) এবং \(h_1 = h / \lVert h \rVert_q\)। তাহলে \(\lVert f_1 \rVert_p = 1\) ও \(\lVert h_1 \rVert_q = 1\)। Young's inequality প্রতিটা \(x\)-এ apply করি:

\[\lvert f_1(x) h_1(x) \rvert \leq \frac{\lvert f_1(x) \rvert^p}{p} + \frac{\lvert h_1(x) \rvert^q}{q}\]

Integrate করলে:

\[\lVert f_1 h_1 \rVert_1 \leq \frac{\lVert f_1 \rVert_p^p}{p} + \frac{\lVert h_1 \rVert_q^q}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\]

তাই \(\lVert fh \rVert_1 = \lVert f \rVert_p \lVert h \rVert_q \cdot \lVert f_1 h_1 \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_p \lVert h \rVert_q\)। \(\square\)

চিত্র ৫: Hölder's inequality — একই \(x\)-এর জন্য \(f\), \(g\), এবং তাদের product \(fg\)। \(\lVert fg \rVert_1\) (সবুজ area) সবসময় \(\lVert f \rVert_p \cdot \lVert g \rVert_q\)-এর চেয়ে ছোট বা সমান।

বিশেষ ক্ষেত্র \(p = q = 2\): এটাই Cauchy-Schwarz inequality (কোশি-শোয়ার্টজ অসমতা):

\[\int \lvert fh \rvert \, d\mu \leq \lVert f \rVert_2 \lVert h \rVert_2\]

Hilbert space-এ এটাই মূল inner product inequality — পরের অধ্যায়ে বিস্তারিত।

Minkowski's Inequality (মিনকাউস্কির অসমতা)

Minkowski's inequality বলে: \(L^p\) norm-এ triangle inequality (ত্রিভুজ অসমতা) সত্য। অর্থাৎ \(\lVert \cdot \rVert_p\) একটা সত্যিকারের norm।

উপপাদ্য 4.7.5: Minkowski's Inequality

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space, \(1 \leq p \leq \infty\), এবং \(f, g \in L^p(\mu)\)। তাহলে:

\[\lVert f + g \rVert_p \leq \lVert f \rVert_p + \lVert g \rVert_p\]

প্রমাণ sketch (\(1 \leq p < \infty\)): প্রথমে দেখাই \(f + g \in L^p(\mu)\) — এটা আসে \(\lvert f + g \rvert^p \leq 2^p(\lvert f \rvert^p + \lvert g \rvert^p)\) থেকে।

মূল inequality-র জন্য: যেকোনো \(h \in L^{p'}(\mu)\) যেখানে \(\lVert h \rVert_{p'} \leq 1\), Hölder apply করি:

\[\int (f+g) h \, d\mu \leq \int \lvert fh \rvert \, d\mu + \int \lvert gh \rvert \, d\mu \leq \lVert f \rVert_p \lVert h \rVert_{p'} + \lVert g \rVert_p \lVert h \rVert_{p'} \leq \lVert f \rVert_p + \lVert g \rVert_p\]

এর পর "duality formula" ব্যবহার করি: \(\lVert f+g \rVert_p = \sup\left\{\int (f+g)h\,d\mu : \lVert h \rVert_{p'} \leq 1\right\}\)। ওই supremum নিলেই desired inequality পাই। \(\square\)

চিত্র ৬: Minkowski's inequality = triangle inequality \(p\)-norm-এর জন্য। \(\lVert f+g \rVert_p\) (সবুজ তীর) সবসময় \(\lVert f \rVert_p + \lVert g \rVert_p\)-এর চেয়ে ছোট বা সমান — ঠিক যেমন triangle-এ এক বাহু অন্য দুই বাহুর যোগফলের চেয়ে ছোট।

\(L^p\) spaces-এর nesting (nested structure)

Finite measure space-এ \(L^p\) spaces পরস্পরের মধ্যে বসে:

উপপাদ্য 4.7.6: \(L^q \subseteq L^p\) যদি \(p < q\) ও \(\mu(X) < \infty\)

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) finite measure space (অর্থাৎ \(\mu(X) < \infty\)) এবং \(0 < p < q < \infty\)। তাহলে:

\[\lVert f \rVert_p \leq \mu(X)^{(q-p)/(pq)} \lVert f \rVert_q\]

তাই \(L^q(\mu) \subseteq L^p(\mu)\) এবং \(L^\infty(\mu) \subseteq \cdots \subseteq L^q(\mu) \subseteq L^p(\mu) \subseteq \cdots \subseteq L^1(\mu)\)।

প্রমাণ sketch: Hölder's inequality apply করি \(r = q/p > 1\) দিয়ে, \(f\) এর জায়গায় \(\lvert f \rvert^p\) এবং \(h = 1\) নিয়ে।

সতর্কতা: এই containment শুধু finite measure space-এর জন্য। \(\mathbb{R}\)-এ Lebesgue measure-এ এই nesting উল্টো হতে পারে! যেমন \(f(x) = \min(1, x^{-1/2})\) হলো \(L^2(\mathbb{R})\)-তে কিন্তু \(L^1(\mathbb{R})\)-তে নয়।

চিত্র ৭: Finite measure space-এ \(L^p\) space-গুলোর containment। বাইরের বৃত্ত বড় space (\(L^1\), সব integrable function), ভেতরের বৃত্ত ছোট space (\(L^\infty\), essentially bounded function)।

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: \(\ell^p\) sequences

\(\mu\) = counting measure on \(\mathbb{Z}^+\), \(a = (1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots)\):

\[\lVert a \rVert_1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \infty \quad \Rightarrow \quad a \notin \ell^1\]

\[\lVert a \rVert_2 = \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\right)^{1/2} = \frac{\pi}{\sqrt{6}} < \infty \quad \Rightarrow \quad a \in \ell^2\]

\[\lVert a \rVert_\infty = \sup_k \frac{1}{k} = 1 < \infty \quad \Rightarrow \quad a \in \ell^\infty\]

তাই harmonic sequence \(\ell^2\)-তে থাকে কিন্তু \(\ell^1\)-তে নয় — nesting এখানে \(p < q\) হলে \(\ell^p \subseteq \ell^q\) (counting measure-এ উল্টো, কারণ measure space infinite!)।

উদাহরণ ২: Hölder প্রয়োগ

\(X = [0,1]\), \(\lambda\) = Lebesgue, \(p = 2\), \(q = 2\)। \(f(x) = \sqrt{x}\), \(h(x) = x^2\)।

\[\lVert f \rVert_2 = \left(\int_0^1 x \, dx\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

\[\lVert h \rVert_2 = \left(\int_0^1 x^4 \, dx\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]

Hölder বলে:

\[\int_0^1 \sqrt{x} \cdot x^2 \, dx = \int_0^1 x^{5/2} \, dx = \frac{2}{7} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316\]

যাচাই: \(2/7 \approx 0.286 < 0.316\) ✓।

উদাহরণ ৩: Unit balls বিভিন্ন \(p\)-এর জন্য

\(\mathbb{R}^2\)-এ \(p\)-norm-এর unit ball \(\{(x_1, x_2) : \lvert x_1 \rvert^p + \lvert x_2 \rvert^p \leq 1\}\) দেখলে:

চিত্র ৮: \(p=1\) — diamond (হীরা আকৃতি); \(p=2\) — circle (বৃত্ত); \(p=\infty\) — square (বর্গ)। \(p\) বাড়ার সাথে সাথে diamond থেকে বৃত্ত হয়ে বর্গের দিকে যায়।

Analogy: "বিভিন্ন রকম গড়"

\(p=1\): সরল অর্থে কতটা বড় (total mass)। \(p=2\): "energy" — এই norm-এই Pythagoras theorem কাজ করে। \(p=\infty\): সর্বোচ্চ একক মান (maximum) — ব্যর্থ হওয়ার সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. \(L^p\) norm মানে \(p\)-th power integral ভাবা। \(\lVert f \rVert_p = (\int \lvert f \rvert^p)^{1/p}\) — \(1/p\)-এর exponent ভুলে যাওয়া সবচেয়ে common bug। \(\lVert f \rVert_p^p\) হলো \(\int \lvert f \rvert^p\)।

2. Conjugate exponent হিসাব ভুল। \(p = 3\) হলে \(q = 3/(3-1) = 3/2\), \(q \neq 2/3\)। সূত্র: \(q = p/(p-1)\), equivalently \(1/p + 1/q = 1\)।

3. Young's inequality-তে সমতার শর্ত ভুলে যাওয়া। \(ab = a^p/p + b^q/q\) ঠিক তখনই যখন \(a^p = b^q\)। Hölder-এ সমতা (equality) হয় ঠিক তখনই যখন \(\lvert f \rvert^p\) ও \(\lvert h \rvert^q\) proportion (আনুপাতিক)।

4. \(L^p\) nesting উল্টো ভাবা। Finite measure space-এ \(q > p\) হলে \(L^q \subseteq L^p\) (বড় \(p\) = ছোট space)। কিন্তু \(\ell^p\) sequences-এ উল্টো: \(p < q\) হলে \(\ell^p \subseteq \ell^q\) (ছোট \(p\) = ছোট space)।

5. Essential supremum মানে actual supremum ভাবা। \(\lVert f \rVert_\infty\) হলো supremum measure-zero exception বাদ দিয়ে। দুটো function a.e. (almost everywhere, প্রায় সর্বত্র) সমান হলে একই \(\lVert \cdot \rVert_\infty\)।

6. Minkowski-তে \(p < 1\) হলে triangle inequality ভাঙে। \(0 < p < 1\)-এর জন্য \(\lVert \cdot \rVert_p\) আসলে norm নয় — triangle inequality fail করে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. Young's inequality verify। \(a = 2\), \(b = 3\), \(p = 3\) (তাহলে \(q = 3/2\))। দুই পাশ হিসাব করো এবং verify করো \(ab \leq a^p/p + b^q/q\)।

2. Conjugate exponent। \(p = 5/4\)-এর conjugate exponent \(q\) হিসাব করো। তারপর \(p = 1\) ও \(p = \infty\)-এর conjugate কত হবে?

3. \(\ell^p\) membership। \(a_k = 1/k\) হলে \(a \in \ell^1\)? \(a \in \ell^2\)? \(a \in \ell^\infty\)? প্রতিটার জন্য কারণ দাও।

4. Hölder প্রয়োগ। \(X = [0, 1]\), \(\lambda\) Lebesgue, \(f(x) = x^{1/3}\), \(h(x) = e^x\)। \(p = 3\), \(q = 3/2\) নিয়ে \(\int_0^1 \lvert fh \rvert \, d\lambda\)-এর upper bound দাও Hölder ব্যবহার করে। Verify করো numerically।

5. Minkowski verify। \(f(x) = x\) ও \(g(x) = 1-x\) on \([0,1]\), \(p = 2\)। \(\lVert f \rVert_2\), \(\lVert g \rVert_2\), \(\lVert f+g \rVert_2\) হিসাব করো। Minkowski সত্য কি?

6. \(L^\infty\) norm। \(f(x) = \sin(x)\) on \([0, \pi]\) এবং \(g(x) = \sin(x)\) on \([0, \pi]\) কিন্তু \(g(0) = 100\)। \(\lVert f \rVert_\infty\) ও \(\lVert g \rVert_\infty\) হিসাব করো। দুটো কি আলাদা?

7. Nesting। \(f(x) = x^{-1/4}\) on \((0, 1]\)। দেখাও \(f \in L^2([0,1], \lambda)\) কিন্তু \(f \in L^4([0,1], \lambda)\) কিনা যাচাই করো।

8. Equality in Hölder। \(f(x) = x^{1/2}\) ও \(h(x) = x^{1/2}\) on \([0,1]\), \(p = q = 2\)। Hölder-এ সমতা হয় কি? কেন?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(a = 2\), \(b = 3\), \(p = 3\), \(q = 3/2\)।

বাঁ পাশ: \(ab = 2 \times 3 = 6\)।

ডান পাশ: \(a^p/p + b^q/q = 2^3/3 + 3^{3/2}/(3/2) = 8/3 + (3\sqrt{3}) \cdot (2/3) = 8/3 + 2\sqrt{3} \approx 2.667 + 3.464 = 6.131\)।

\(6 \leq 6.131\) ✓ — Young's inequality সত্য।

লক্ষ করো: \(a^p = 8 \neq 9 = b^q\) (কারণ \(3^{3/2} = 3\sqrt{3} \approx 5.196\)), তাই সমতা হয়নি।

২-নং সমাধান দেখাও

\(p = 5/4\)। \(1/p + 1/q = 1\) থেকে: \(1/q = 1 - 4/5 = 1/5\), তাই \(q = 5\)।

\(p = 1\) এর জন্য: \(1/1 + 1/q = 1\) দেয় \(1/q = 0\) অর্থাৎ \(q = \infty\)।

\(p = \infty\) এর জন্য: আনুষ্ঠানিকভাবে \(1/\infty + 1/q = 1\) দেয় \(q = 1\)।

তাই \(1\) ও \(\infty\) conjugate pair, \(2\) self-conjugate, \(5/4\) ও \(5\) conjugate pair।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(a_k = 1/k\):

\(\lVert a \rVert_1 = \sum_{k=1}^\infty 1/k = \infty\) (harmonic series diverges)। তাই \(a \notin \ell^1\)।

\(\lVert a \rVert_2^2 = \sum_{k=1}^\infty 1/k^2 = \pi^2/6 < \infty\)। তাই \(a \in \ell^2\)।

\(\lVert a \rVert_\infty = \sup_k 1/k = 1 < \infty\)। তাই \(a \in \ell^\infty\)।

Counting measure-এ \(\ell^2 \subset \ell^\infty\): \(a \in \ell^2\) implies \(a \in \ell^\infty\), ✓। কিন্তু \(a \notin \ell^1\) — counting measure-এ \(\ell^1\) ছোট space (\(\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty\))।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x^{1/3}\), \(h(x) = e^x\), \(p = 3\), \(q = 3/2\), \(X = [0,1]\)।

\(\lVert f \rVert_3 = \left(\int_0^1 x \, dx\right)^{1/3} = (1/2)^{1/3} \approx 0.794\)।

\(\lVert h \rVert_{3/2} = \left(\int_0^1 e^{3x/2} \, dx\right)^{2/3} = \left(\frac{2}{3}(e^{3/2}-1)\right)^{2/3} \approx (1.964)^{2/3} \approx 1.554\)।

Hölder upper bound: \(\lVert f \rVert_3 \cdot \lVert h \rVert_{3/2} \approx 0.794 \times 1.554 \approx 1.234\)।

Direct: \(\int_0^1 x^{1/3} e^x \, dx \approx 0.757\) (numerical)।

\(0.757 \leq 1.234\) ✓।

৫-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x\), \(g(x) = 1-x\) on \([0,1]\), \(p = 2\)।

\(\lVert f \rVert_2 = \left(\int_0^1 x^2 \, dx\right)^{1/2} = (1/3)^{1/2} = 1/\sqrt{3} \approx 0.577\)।

\(\lVert g \rVert_2 = \left(\int_0^1 (1-x)^2 \, dx\right)^{1/2} = (1/3)^{1/2} = 1/\sqrt{3} \approx 0.577\)।

\(f(x) + g(x) = 1\) সব \(x\)-এর জন্য। \(\lVert f+g \rVert_2 = \lVert 1 \rVert_2 = \left(\int_0^1 1 \, dx\right)^{1/2} = 1\)।

Minkowski: \(1 \leq 1/\sqrt{3} + 1/\sqrt{3} = 2/\sqrt{3} \approx 1.155\) ✓।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = \sin(x)\) on \([0,\pi]\)। \(\max_{[0,\pi]} \lvert \sin x \rvert = 1\) এবং এই maximum একটা সাধারণ বিন্দুতে (\(x = \pi/2\)) অর্জিত হয় যার Lebesgue measure শূন্য।

\(\lVert f \rVert_\infty = \text{ess}\sup_{[0,\pi]} \lvert \sin x \rvert = 1\)।

\(g(x) = \sin(x)\) কিন্তু \(g(0) = 100\)। কিন্তু \(\{0\}\) একটা measure-zero set। ess sup এই point ignore করে।

\(\lVert g \rVert_\infty = 1\) — \(f\)-এর মতোই।

উপসংহার: দুটো function-এর \(L^\infty\) norm সমান, কারণ তারা a.e. সমান। \(L^\infty\) নর্ম measure-zero-তে পরিবর্তন দেখে না।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x^{-1/4}\) on \((0, 1]\)।

\(\lVert f \rVert_2^2 = \int_0^1 x^{-1/2} \, dx = [2x^{1/2}]_0^1 = 2 < \infty\)। তাই \(f \in L^2([0,1])\) ✓।

\(\lVert f \rVert_4^4 = \int_0^1 x^{-1} \, dx = [\ln x]_0^1 = \infty\)। তাই \(f \notin L^4([0,1])\)।

এটা কি উপপাদ্য 4.7.6-এর বিরোধী? না — কারণ \(f \in L^2\) implies \(f \in L^1\) (fine — \(\lVert f \rVert_1 \leq \mu([0,1])^{1/2} \lVert f \rVert_2\)), কিন্তু \(f \notin L^4\) তবুও \(f \in L^2\) হতে পারে: উপপাদ্য বলে \(L^4 \subseteq L^2\), কিন্তু \(L^2 \not\subseteq L^4\) সাধারণত।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x^{1/2}\), \(h(x) = x^{1/2}\) on \([0,1]\), \(p = q = 2\)।

Hölder-এ equality condition: \(\lvert f \rvert^p = c \lvert h \rvert^q\) কোনো constant \(c\)-এর জন্য।

এখানে \(\lvert f(x) \rvert^2 = x = \lvert h(x) \rvert^2\) — তাই \(c = 1\), সমতার শর্ত পূরণ।

যাচাই: \(\lVert fh \rVert_1 = \int_0^1 x \, dx = 1/2\)।

\(\lVert f \rVert_2 = \lVert h \rVert_2 = (1/2)^{1/2} = 1/\sqrt{2}\)।

\(\lVert f \rVert_2 \lVert h \rVert_2 = 1/\sqrt{2} \cdot 1/\sqrt{2} = 1/2\)।

\(1/2 = 1/2\) ✓ — সমতা।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] \(L^p(\mu)\) সংজ্ঞা বলতে পারি: \(\lVert f \rVert_p = (\int \lvert f \rvert^p)^{1/p}\) এবং \(L^\infty\)-এর জন্য essential supremum।
• [ ] Conjugate exponent হিসাব করতে পারি: \(1/p + 1/q = 1\); \(p = 2 \Rightarrow q = 2\); \(p = 1 \Rightarrow q = \infty\)।
• [ ] Young's inequality \(ab \leq a^p/p + b^q/q\) বলতে ও geometric ভাবে বুঝতে পারি।
• [ ] Hölder's inequality \(\lVert fh \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_p \lVert h \rVert_q\)-র statement ও proof sketch বলতে পারি।
• [ ] Young থেকে Hölder কীভাবে আসে — normalization trick (\(f_1 = f/\lVert f \rVert_p\)) বুঝি।
• [ ] Minkowski's inequality = \(p\)-norm-এর triangle inequality — duality formula ব্যবহার করে কীভাবে Hölder থেকে আসে জানি।
• [ ] Finite measure space-এ \(L^p\) nesting: \(q > p\) হলে \(L^q \subseteq L^p\); counting measure-এ উল্টো।
• [ ] Unit ball আকৃতি মনে আছে: \(p=1\) diamond, \(p=2\) circle, \(p=\infty\) square।
• [ ] \(p < 1\) হলে \(\lVert \cdot \rVert_p\) আর norm নয় — Minkowski fail করে।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 4.8 — Lᵖ Banach ও Duality — Minkowski দেখাল \(\lVert \cdot \rVert_p\) একটা norm; এবার প্রমাণ করব \(L^p(\mu)\) actually একটা complete space — অর্থাৎ Banach space। তারপর \(L^p\)-এর dual কীভাবে \(L^{p'}\) হয় সেটা দেখব।