6.7 — Compact Operator; Fredholm Alternative¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: compact operator (পূর্ণাঙ্গ-অবিচ্ছিন্ন অপারেটর) কী — bounded set কে relatively compact set-এ নিয়ে যায়; finite-rank operator-দের limit হিসেবে compact operator-এর চরিত্র; compact operator-এর spectrum-এ eigenvalue-গুলো কীভাবে শুধু 0-এর দিকেই জড়ো হয়; Fredholm alternative — \((I - T)x = y\) সমীকরণের দুটো পরস্পর-বিরোধী সম্ভাবনা; integral operator compact কেন; এবং infinite-dimensional space-এ identity কেন compact নয়।
উৎস (source): Fredholm, Riesz, Schauder।
৬.৭.১ কেন শিখব? (Motivation)¶
আগের অধ্যায়ে আমরা spectrum (বর্ণালি) ও self-adjoint operator দেখেছিলাম। কিন্তু সেখানে একটা বড় প্রশ্ন ঝুলে ছিল: infinite-dimensional Hilbert space-এ কি eigenvalue (স্বমান) থাকাটা নিশ্চিত করা যায়? সাধারণ bounded operator-এর জন্য উত্তর: না, সবসময় নয়। কিন্তু compact operator (পূর্ণাঙ্গ-অবিচ্ছিন্ন অপারেটর)-এর জন্য উত্তর অনেকটাই হ্যাঁ-এর দিকে।
Compact operator-রা অসাধারণ কারণ এরা "infinite-dimensional"-কে "এক অর্থে finite-dimensional"-এর মতো ব্যবহার করতে দেয়। এর সবচেয়ে বড় নিদর্শন হলো Fredholm alternative: \((I - T)x = y\) হয় প্রতিটি \(y\)-এর জন্য unique solution দেয়, নয়তো homogeneous equation \((I-T)x = 0\)-এর নontrivial solution থাকে — এই দুটোর ঠিক একটা সত্য।
কোথায় কাজে লাগে?
- Integral equation: Physics, engineering-এর অজস্র সমস্যা — heat equation, vibration, quantum mechanics — শেষ পর্যন্ত integral equation-এ দাঁড়ায়। Fredholm integral equation \(\varphi(t) = f(t) + \lambda \int K(s,t)\varphi(s)\,ds\)-এর সমাধান কখন থাকে তা Fredholm alternative সরাসরি বলে।
- Differential equation: Sturm-Liouville problem-এ compact inverse operator থাকে।
- Data compression: Matrix-এর compact analog হলো finite-rank approximation — SVD-র পরের অধ্যায়েই দেখব।
মূল স্বজ্ঞা
Compact operator = "প্রায় finite-rank।" Bounded ball-কে সংকুচিত করে ছোট, compact set-এ পাঠায়। Identity operator-ও এটা পারে না infinite-dim-এ।
৬.৭.২ মূল ধারণা (Core idea)¶
Compact Set — পূর্বজ্ঞান¶
Metric space-এ একটা set \(K\) কে compact বলি যদি প্রতিটি sequence থেকে convergent subsequence বের করা যায়। \(\mathbb{R}^n\)-এ: closed + bounded \(\Leftrightarrow\) compact (Heine-Borel)। কিন্তু infinite-dimensional space-এ শুধু closed + bounded হলেই compact হয় না!
\(\ell^2\)-এ unit ball \(\{x : \lVert x\rVert \leq 1\}\) compact নয় — কারণ orthonormal sequence \(e_1, e_2, e_3, \ldots\)-এ \(\lVert e_i - e_j\rVert = \sqrt{2}\), কোনো convergent subsequence নেই।
Compact Operator-এর স্বজ্ঞা¶
\(T : V \to V\) হলো compact যদি প্রতিটি bounded sequence \(\{f_n\}\)-এর জন্য \(\{Tf_n\}\)-এর একটি convergent subsequence থাকে। অথবা সমতুল্যভাবে: \(T\) bounded ball-কে পাঠায় এমন একটা set-এ যার closure compact।
চিত্র ১: বামে \(V\)-এর একক ball \(B(0,1)\) — bounded set। ডানে \(T\)-এর image \(T(B)\) — ছোট, compact closure-যুক্ত set। T "squeezes" করে তোলে।
তুলনা: Identity \(I\) on \(\ell^2\) — \(I(B) = B\), এবং \(B\)-এর closure compact নয়। তাই \(I\) compact নয়।
সহজ class — finite-rank operator: ধরো \(Tf = \sum_{k=1}^{n} \langle f, e_k \rangle h_k\) যেখানে শুধু \(n\)টা vector দিয়ে image তৈরি। এর image \(n\)-dimensional subspace-এ — finite-dimensional, তাই closed bounded subset compact। সুতরাং প্রতিটি finite-rank operator compact।
৬.৭.৩ সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Compact Operator-এর সংজ্ঞা¶
সংজ্ঞা ১০.৬৬ (Axler): Compact Operator
একটা Hilbert space \(V\)-এ operator \(T \in \mathcal{B}(V)\) কে compact বলা হয় যদি প্রতিটি bounded sequence \(f_1, f_2, \ldots \in V\)-এর জন্য \(Tf_1, Tf_2, \ldots\)-এর একটি convergent subsequence থাকে।
\(V\)-এর সকল compact operator-এর collection-কে \(\mathcal{C}(V)\) লেখা হয়।
Compact = Limit of Finite-rank Operators¶
উপপাদ্য (Axler 10.69): \(\mathcal{C}(V)\) একটা closed two-sided ideal
(a) প্রতিটি finite-rank operator compact।
(b) Compact operator-দের operator norm-এ limit-ও compact।
(c) \(T \in \mathcal{C}(V)\) এবং \(S \in \mathcal{B}(V)\) হলে \(ST, TS \in \mathcal{C}(V)\)।
স্বজ্ঞা (b): যদি \(\lVert T - T_n\rVert \to 0\) এবং প্রতিটি \(T_n\) compact, তাহলে \(T\)-ও compact। এই কারণেই compact operator-কে "finite-rank-এর limit" বলা যায়।
চিত্র ২: Rank-\(n\) approximation \(T_n f = \sum_{k=1}^n \langle f, e_k\rangle Te_k\)। \(n\) বাড়ার সাথে operator norm error \(\lVert T - T_n\rVert \to 0\)। প্রতিটি \(T_n\) finite-rank এবং তাই compact।
প্রমাণ-স্কেচ (a): Finite-rank \(T\)-এর image finite-dimensional। Finite-dimensional closed bounded set compact (Heine-Borel)। তাই bounded sequence \(\{f_n\}\) থেকে \(\{Tf_n\}\) compact set-এ থাকে — convergent subsequence পাওয়া যায়।
Integral Operator Compact (Axler 10.70)¶
উপপাদ্য ১০.৭০ (Axler): Integral Operator
ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা \(\sigma\)-finite measure space এবং \(K \in L^2(\mu \times \mu)\)। তাহলে integral operator \(I_K : L^2(\mu) \to L^2(\mu)\):
একটি compact operator।
স্বজ্ঞা: \(K \in L^2(\mu \times \mu)\) মানে kernel square-integrable। এই condition নিশ্চিত করে যে \(I_K\) finite-rank operator-দের limit।
প্রমাণ-স্কেচ: প্রথমে rank-1 kernel \(K(x,y) = g(x)h(y)\)-এর জন্য দেখাও \(I_K f = \langle f, \bar{h}\rangle g\) একটি rank-1 operator, তাই compact। তারপর \(L^2\) orthonormal basis \(\{e_j\}\) দিয়ে \(K = \sum_{j,k} c_{jk} e_j \otimes \bar{e}_k\) লিখো — finite partial sum compact, এবং limit = \(I_K\) compact।
চিত্র ৩: বামে kernel \(K(x,y)\) — smooth function on unit square। ডানে \(I_K\)-এর action: \(f(y) \mapsto \int K(x,y)f(y)\,dy\)। \(K \in L^2\) হলেই operator compact।
Identity Infinite-dim-এ Compact নয়¶
Identity-র failure
Infinite-dimensional Hilbert space-এ identity operator \(I\) compact নয়।
প্রমাণ: \(\{e_n\}\) orthonormal sequence নিই। তাহলে \(Ie_n = e_n\) এবং \(\lVert e_m - e_n\rVert = \sqrt{2}\) (\(m \neq n\) হলে)। তাই \(\{Ie_n\}\) থেকে কোনো convergent subsequence নেই। সুতরাং \(I \notin \mathcal{C}(V)\)। \(\square\)
চিত্র ৪: বামে \(\mathbb{R}^2\)-এ identity compact — unit ball-এর image compact। ডানে \(\ell^2\)-এ orthonormal basis vectors \(e_1, e_2, \ldots\) সবাই unit sphere-এ, পরস্পর দূরত্ব \(\sqrt{2}\) — কোনো convergent subsequence নেই।
Spectrum of a Compact Operator¶
Compact operator-এর spectrum-এ একটা সুন্দর structure থাকে:
উপপাদ্য ১০.৯৩ (Axler): Spectrum of Compact Operator
ধরো \(T\) একটা Hilbert space \(V\)-এ compact operator। তাহলে:
(a) \(0 \in \text{sp}(T)\) যদি \(V\) infinite-dimensional হয়।
(b) \(\alpha \neq 0\) এবং \(\alpha \in \text{sp}(T)\) হলে \(\alpha\) একটা eigenvalue — অর্থাৎ \(\text{null}(T - \alpha I) \neq \{0\}\)।
(c) প্রতিটি nonzero eigenvalue-এর geometric multiplicity finite।
(d) Nonzero eigenvalue-গুলো গণনাযোগ্য (countable), এবং একমাত্র accumulation point হলো \(0\): যদি nonzero eigenvalue অসীম সংখ্যক থাকে, তাহলে সেগুলো \(0\)-এর দিকে converge করে।
স্বজ্ঞা: Finite-dimensional operator-এর মতো: কিন্তু এখানে eigenvalue-গুলো ক্রমশ ছোট হয়ে \(0\)-এ জমে।
চিত্র ৫: বামে real eigenvalue sequence \(\lambda_n = 1/n \to 0\)। ডানে complex plane-এ spectrum — eigenvalue-গুলো মূলবিন্দু \(0\)-এর কাছে জমা হয়। \(0\) হলো একমাত্র accumulation point।
প্রমাণ-স্কেচ (d): ধরো \(|\alpha_n| \geq \epsilon > 0\) এমন eigenvalue অসীম সংখ্যক আছে। তাহলে corresponding eigenvectors \(\{e_n\}\) linearly independent, এবং তাদের span-গুলো দিয়ে একটা strictly increasing chain subspace বানানো যায়। Compact থেকে contradiction পাওয়া যায় (Riesz-এর lemma ব্যবহার করে)। \(\square\)
Fredholm Alternative¶
এটাই এই অধ্যায়ের মুকুট-মণি।
Fredholm Alternative (Axler 10.85): দুটো সম্ভাবনা
ধরো \(T\) Hilbert space \(V\)-এ compact এবং \(\alpha \in \mathbb{F}\), \(\alpha \neq 0\)। তাহলে নিচের তিনটা condition সমতুল্য:
(a) \(\alpha \in \text{sp}(T)\) (মানে \(T - \alpha I\) invertible নয়)
(b) \(\alpha\) একটা eigenvalue of \(T\) (মানে \(Tf = \alpha f\)-এর nontrivial solution আছে)
(c) \(T - \alpha I\) surjective নয়
পুনরায় লেখা "Alternative" ভাষায়: \(T\) compact, \(\alpha \neq 0\) হলে ঠিক একটা holds:
Case A এবং Case B পরস্পর-বিরোধী (exactly one holds)।
চিত্র ৬: Fredholm Alternative-এর দুটো case। Case A (সবুজ): \((I-T)\) invertible — প্রতিটি \(y\)-এর জন্য unique \(x\)। Case B (লাল): null space nontrivial — \((I-T)x=0\)-এর \(x \neq 0\) solution আছে এবং \((I-T)x=y\) সব \(y\)-তে solve করা যায় না।
প্রমাণ-স্কেচ: মূল পদক্ষেপ: \(T\) compact হলে \(T - \alpha I\) "almost invertible" — closed range থাকে (Axler 10.77)।
(b) \(\Rightarrow\) (a): যদি \(\alpha\) eigenvalue হয়, তাহলে \(T - \alpha I\) injective নয়, তাই invertible নয়, তাই \(\alpha \in \text{sp}(T)\)।
(a) \(\Rightarrow\) (c): \(\alpha \in \text{sp}(T)\) মানে \(T - \alpha I\) invertible নয়। Compact operator-এর জন্য: closed range + বড় null space থেকে surjectivity ব্যর্থ।
(c) \(\Rightarrow\) (b): \(T - \alpha I\) surjective না হলে, dimension argument (finite geometric multiplicity) দিয়ে দেখানো যায় null space nontrivial। \(\square\)
৬.৭.৪ উদাহরণ ও Analogy¶
উদাহরণ ১: Volterra Operator¶
\(V : L^2([0,1]) \to L^2([0,1])\) সংজ্ঞা করি:
এটি একটি integral operator, kernel হলো \(K(x,t) = \mathbf{1}_{t \leq x}\)। \(K \in L^2([0,1]^2)\) (verify করো)। তাই Theorem 10.70 থেকে \(V\) compact।
Fredholm Alternative: \(\alpha \neq 0\)-এর জন্য \((V - \alpha I)f = g\) সমীকরণটা দেখি। - যদি \(Vf = \alpha f\) হয়, তাহলে differentiate করে পাই \(f(x) = \frac{1}{\alpha}(Vf)'(x)\)... এই ODE-র সমাধান \(f(x) = Ce^{x/\alpha}\)। কিন্তু তখন \(Vf = \alpha f\) check করলে দেখা যায় \(C = 0\) ছাড়া কাজ করে না। তাই \(V\)-এর কোনো nonzero eigenvalue নেই। - Fredholm alternative থেকে: Case B হলো না (কোনো nonzero eigenvalue নেই), তাই Case A: প্রতিটি \(\alpha \neq 0\)-এর জন্য \(V - \alpha I\) invertible।
উদাহরণ ২: Diagonal Operator on \(\ell^2\)¶
\(T : \ell^2 \to \ell^2\), \(T(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (\frac{x_1}{1}, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots)\)।
এটি compact কারণ finite-rank \(T_n(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots) = (x_1, x_2/2, \ldots, x_n/n, 0, 0, \ldots)\) এবং \(\lVert T - T_n\rVert = 1/(n+1) \to 0\)।
Eigenvalues: \(\lambda_k = 1/k\) এবং \(\lambda_k \to 0\) — Theorem 10.93 verify।
Analogy: ক্যামেরার ছবি কম্প্রেস করা¶
Compact operator হলো ক্যামেরার lens-এর মতো: সব দিকের আলো (bounded set) collect করে, সংকুচিত করে sensor-এ ফেলে (compact image)। Identity হলো সব আলো সমান সাইজে রাখা — সেটা sensor-এ ধরে না।
৬.৭.৫ সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
"Compact = bounded" ভাবা। Compact \(\Rightarrow\) bounded, কিন্তু bounded \(\not\Rightarrow\) compact (infinite-dim-এ)। Compact operator অবশ্যই bounded, কিন্তু সব bounded operator compact নয় (identity দেখো)।
-
Fredholm Alternative-এ "\(\alpha = 0\)" apply করা। Theorem-টা শুধু \(\alpha \neq 0\)-এর জন্য। \(\alpha = 0\)-এর জন্য \(T\) injective না হলেও Case A/B-এর guarantee নেই।
-
"Compact \(\Rightarrow\) finite-rank" মনে করা। Compact = limit of finite-rank, কিন্তু নিজে finite-rank নাও হতে পারে। Diagonal operator \((x_k) \mapsto (x_k/k)\) compact কিন্তু infinite-rank।
-
Eigenvalue 0-এর geometric multiplicity। Theorem 10.93 বলে nonzero eigenvalue-দের finite geometric multiplicity। কিন্তু \(\lambda = 0\)-এর geometric multiplicity infinite হতে পারে।
-
Integral operator-এ \(K \in L^\infty\) শর্ত দিয়ে compactness দেখানো। \(K \in L^\infty\) শুধু boundedness দেয়, compactness নয়। Compactness-এর জন্য \(K \in L^2(\mu\times\mu)\) দরকার।
-
"\(T\) compact \(\Rightarrow\) \(T^*\) compact নয়"। ভুল: \(T^*\) সবসময় compact যদি \(T\) compact হয় (Axler 10.73)।
৬.৭.৬ এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।
১. \(\{e_n\}\) orthonormal sequence একটা Hilbert space \(V\)-এ। দেখাও যে \(\lim_{n\to\infty} Te_n = 0\) যদি \(T\) compact হয়।
২. \(T\) compact এবং \(\{f_n\}\) weakly convergent to \(0\) (অর্থাৎ \(\langle f_n, g\rangle \to 0\) সব \(g\)-এর জন্য)। প্রমাণ করো \(\lVert Tf_n\rVert \to 0\)।
৩. \(T\) finite-rank দেখাও — যদি \(T = \sum_{k=1}^n \langle \cdot, e_k\rangle h_k\) হয় তাহলে \(T\) compact।
৪. Diagonal operator \(D : \ell^2 \to \ell^2\), \(De_k = \lambda_k e_k\) compact \(\Leftrightarrow\) \(\lambda_k \to 0\) প্রমাণ করো।
৫. \(T\) compact এবং \(\alpha \neq 0\)। দেখাও যে \(T - \alpha I\) closed range রাখে। [ইঙ্গিত: Axler 10.77-র claim প্রমাণ করো: \(\lVert f\rVert \leq r\lVert (T-\alpha I)f\rVert\) for all \(f \in \text{null}(T-\alpha I)^\perp\)।]
৬. \(V = L^2([0,1])\) এবং \(K(x,y) = xy\)। Integral operator \(I_K\)-এর সব eigenvalue বের করো এবং verify করো যে nonzero eigenvalue \(\to 0\)।
৭. Fredholm alternative ব্যবহার করে দেখাও যে integral equation \(f(x) = g(x) + \lambda \int_0^1 xy f(y)\,dy\) প্রতিটি \(g \in L^2([0,1])\)-এর জন্য unique solution \(f\) রাখে — শুধু সেই \(\lambda\) বাদে যেগুলো eigenvalue।
৮. \(T\) compact এবং \(S = I + T\)। দেখাও যে \(S\) injective \(\Leftrightarrow\) \(S\) surjective। [এটাই Fredholm alternative-এর মূল রূপ।]
৬.৭.৭ সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\(\{e_n\}\) orthonormal, তাই bounded: \(\lVert e_n\rVert = 1\)।
\(T\) compact, তাই \(\{Te_n\}\) থেকে convergent subsequence বের করা যায়: \(Te_{n_k} \to v\) কোনো \(v\)-এর জন্য।
এখন দেখাই \(v = 0\): যেকোনো \(g \in V\)-এর জন্য:
\(T^*g \in V\) fixed, এবং \(\{e_n\}\) orthonormal basis (বা orthonormal sequence) হলে Bessel inequality থেকে \(\langle e_{n_k}, T^*g\rangle \to 0\)। তাই \(\langle v, g\rangle = 0\) সব \(g\)-এর জন্য, মানে \(v = 0\)।
এটা প্রতিটি convergent subsequence-এর জন্য সত্য, তাই সম্পূর্ণ sequence \(Te_n \to 0\)। \(\square\)
২-নং সমাধান দেখাও
Suppose \(\lVert Tf_n\rVert \not\to 0\)। তাহলে \(\epsilon > 0\) এবং subsequence \(\{f_{n_k}\}\) আছে যার জন্য \(\lVert Tf_{n_k}\rVert \geq \epsilon\)।
Weakly convergent \(\Rightarrow\) bounded: \(\lVert f_n\rVert \leq M\)।
\(T\) compact, তাই \(\{Tf_{n_k}\}\) থেকে convergent subsequence \(Tf_{n_{k_j}} \to w\)।
কিন্তু দেখাও \(w = 0\): যেকোনো \(g\)-এর জন্য \(\langle w, g\rangle = \lim_j \langle Tf_{n_{k_j}}, g\rangle = \lim_j \langle f_{n_{k_j}}, T^*g\rangle = 0\) (weak convergence থেকে)। তাই \(w = 0\), কিন্তু \(\lVert Tf_{n_{k_j}}\rVert \to \lVert w\rVert = 0 \geq \epsilon\) — contradiction। \(\square\)
৩-নং সমাধান দেখাও
\(T = \sum_{k=1}^n \langle \cdot, e_k\rangle h_k\) একটা finite-rank operator — range \(\subseteq \text{span}\{h_1, \ldots, h_n\}\), যা \(n\)-dimensional।
\(\{f_m\}\) bounded, \(\lVert f_m\rVert \leq M\)। তাহলে \(Tf_m = \sum_{k=1}^n \langle f_m, e_k\rangle h_k\) এবং \(\lvert\langle f_m, e_k\rangle\rvert \leq \lVert f_m\rVert \lVert e_k\rVert \leq M\)।
Bolzano-Weierstrass: \(n\) বার diagonal argument করে convergent subsequence পাওয়া যায়। তাই \(T\) compact। \(\square\)
৪-নং সমাধান দেখাও
(\(\Rightarrow\)): ধরো \(D\) compact। Orthonormal basis \(\{e_k\}\)-এ \(De_k = \lambda_k e_k\)। Exercise 1 থেকে: \(De_k \to 0\) (যদি \(\lambda_k \not\to 0\) হয়, তাহলে \(\lVert De_k\rVert = \lvert\lambda_k\rvert \geq \epsilon\) কোনো subsequence-এ — contradiction)। তাই \(\lambda_k \to 0\)।
(\(\Leftarrow\)): \(\lambda_k \to 0\) ধরো। Define finite-rank \(D_n e_k = \lambda_k e_k\) for \(k \leq n\), \(0\) otherwise।
Limit of compact operators compact। \(\square\)
৫-নং সমাধান দেখাও
Closed range দেখাতে হবে: \(\{(T-\alpha I)f_n\} \to y\) হলে \(y \in \text{range}(T - \alpha I)\)।
Claim: \(c > 0\) আছে যেন \(\lVert f\rVert \leq c\lVert(T-\alpha I)f\rVert\) for all \(f \in \text{null}(T-\alpha I)^\perp\)।
Proof by contradiction: \(f_n \in \text{null}(T-\alpha I)^\perp\), \(\lVert f_n\rVert = 1\), \(\lVert(T-\alpha I)f_n\rVert \to 0\)।
\(T\) compact: \(\{Tf_n\}\) থেকে convergent subsequence \(Tf_{n_k} \to v\)।
\(f_{n_k} = \frac{1}{\alpha}(Tf_{n_k} - (T-\alpha I)f_{n_k}) \to \frac{v}{\alpha} =: f\)।
তাহলে \(Tf = \alpha f\), মানে \(f \in \text{null}(T - \alpha I)\)। কিন্তু \(f_{n_k} \in \text{null}(T-\alpha I)^\perp\), তাই limit \(f \in \text{null}(T-\alpha I)^\perp\) — সুতরাং \(f = 0\)। কিন্তু \(\lVert f_{n_k}\rVert = 1 \to \lVert f\rVert = 0\) — contradiction। \(\square\)
৬-নং সমাধান দেখাও
\(K(x,y) = xy\)। \((I_K f)(x) = \int_0^1 xy f(y)\,dy = x \int_0^1 yf(y)\,dy = x \cdot c\) যেখানে \(c = \langle f, y\rangle_{L^2}\)।
তাই \(I_K f = c \cdot \text{id}(x)\) — এটা rank-1 operator: \(I_K = \langle \cdot, y\rangle \cdot x\) (inner product with \(h(y)=y\), output \(g(x)=x\))।
Eigenvalue equation: \(I_K f = \lambda f\) মানে \(cx = \lambda f(x)\), তাই \(f(x) = cx/\lambda\) (কোনো constant \(c\))।
\(c = \int_0^1 y \cdot \frac{cy}{\lambda}\,dy = \frac{c}{\lambda}\int_0^1 y^2\,dy = \frac{c}{3\lambda}\)।
\(c \neq 0\) হলে: \(1 = \frac{1}{3\lambda}\), তাই \(\lambda = 1/3\)। একমাত্র nonzero eigenvalue।
তাই \(\text{sp}(I_K) = \{0, 1/3\}\) — এবং nonzero eigenvalue শুধু \(1/3\), যা finite (trivially \(\to 0\) as sequence)। \(\square\)
৭-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = g(x) + \lambda \int_0^1 xy f(y)\,dy\), পুনর্লিখি: \((I - \lambda I_K) f = g\)।
\(I_K\) compact (rank-1)। Fredholm alternative: হয় \((I - \lambda I_K)\) invertible, নয়তো \(I_K f = \frac{1}{\lambda} f\) এর nontrivial solution আছে।
Exercise 6 থেকে: \(I_K\)-এর একমাত্র nonzero eigenvalue \(1/3\)। তাই \(\lambda I_K\)-এর eigenvalue \(\lambda/3\)।
\((I - \lambda I_K)f = 0 \Leftrightarrow f = \lambda I_K f \Leftrightarrow \lambda I_K f = f \Leftrightarrow \lambda = 3\)।
সুতরাং \(\lambda \neq 3\) হলে Case A: প্রতিটি \(g\)-এর জন্য unique solution। \(\square\)
৮-নং সমাধান দেখাও
\(S = I + T = I - (-T)\)। \(-T\) compact যদি \(T\) compact (\((-1) \cdot T\) compact)।
Fredholm alternative \(\alpha = -1\), operator \(-T\) apply করি (অথবা সরাসরি \(T\) নিয়ে \(\alpha = 1\)):
Case A: \(S\) injective (null space = \(\{0\}\)) \(\Leftrightarrow\) \(S\) surjective।
এটা Fredholm alternative-র সরাসরি restatement: (b) \(\Leftrightarrow\) (c) — null space nontrivial \(\Leftrightarrow\) surjective নয়। Contrapositive নিলে: injective \(\Leftrightarrow\) surjective। \(\square\)
৬.৭.৮ সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Compact operator (পূর্ণাঙ্গ-অবিচ্ছিন্ন অপারেটর)-এর সংজ্ঞা জানি: bounded sequence থেকে convergent subsequence।
- [ ] Finite-rank operator compact — এবং compact = operator-norm limit of finite-rank।
- [ ] Integral operator \(I_K\) compact যখন \(K \in L^2(\mu \times \mu)\)।
- [ ] Identity infinite-dim Hilbert space-এ compact নয় — orthonormal sequence counter-example।
- [ ] Compact operator-এর spectrum: nonzero \(\alpha \in \text{sp}(T)\) \(\Leftrightarrow\) eigenvalue; accumulation point শুধু \(0\)।
- [ ] Fredholm Alternative: \(T\) compact, \(\alpha \neq 0\) হলে \((T-\alpha I)\) হয় invertible, নয়তো null space nontrivial — ঠিক একটা।
- [ ] Volterra operator compact, কিন্তু কোনো nonzero eigenvalue নেই।
- [ ] \(T\) compact \(\Rightarrow\) \(T^*\) compact।
➡️ পরের অধ্যায়: 6.8 — Spectral Theorem (Compact) ও SVD — Compact self-adjoint operator-এর জন্য সম্পূর্ণ eigenvector basis পাওয়া যায় (\(T = \sum \lambda_n \langle\cdot, e_n\rangle e_n\)); সাধারণ compact operator-এর জন্য singular value decomposition \(T = \sum \sigma_n \langle\cdot, v_n\rangle u_n\); SVD geometry ও image compression।