Skip to content

3.7 — Integral ও Monotone Convergence

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Lebesgue integral (লেবেগ সমাকলন) কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয় — simple function (সরল ফাংশন) থেকে শুরু করে সাধারণ real-valued ফাংশন পর্যন্ত; "horizontal slicing" স্বজ্ঞা; আর Monotone Convergence Theorem (একঘাতী অভিসৃতি উপপাদ্য, MCT) — যে উপপাদ্য limit আর integral-কে অদলবদল করার অনুমতি দেয়।

উৎস (source): Lebesgue; Monotone Convergence — Beppo Levi।

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়ে (1.7) দেখলাম Riemann integral কোথায় হোঁচট খায়। সবচেয়ে বড় সমস্যা দুটো:

  1. Dirichlet function সমাকলনযোগ্য নয়। \(f(x) = \chi_\mathbb{Q}(x)\) — rational-এ 1, irrational-এ 0। Riemann-এর চোখে upper sum সবসময় 1, lower sum সবসময় 0 — তাই integral অস্তিত্ব রাখে না।

  2. Limit আর integral অদলবদল করা যায় না। এমন sequence \(f_1, f_2, \ldots\) আছে যেখানে \(f_n \to f\) pointwise কিন্তু \(\int f_n \not\to \int f\)। Fourier analysis, probability, PDE — সব জায়গায় এই অদলবদলটা দরকার।

Lebesgue integration (লেবেগ সমাকলন) দুটো সমস্যাই সমাধান করে। মূল কারণ একটাই ধারণার পার্থক্যে: Riemann domain ভাগ করে (vertical strips), Lebesgue range ভাগ করে (horizontal layers)।

মূল অন্তর্দৃষ্টি

Lebesgue integral-কে Henri Lebesgue নিজে ব্যাখ্যা করেছিলেন এভাবে: রিমান পকেট থেকে যে নোট আসে সে ক্রমে দেয় (domain-ভিত্তিক)। আমি সব নোট বের করে মূল্য অনুসারে সাজিয়ে (range-ভিত্তিক) একগুচ্ছ একগুচ্ছ করে দিই। — এটাই Lebesgue integration-এর দর্শন।

২. মূল ধারণা (Core idea)

"Horizontal Slicing"— Lebesgue-এর দর্শন

কল্পনা করো \(f:[0,1] \to [0,1]\) একটা ফাংশন। ক্ষেত্রফল মাপতে চাই।

Riemann বলে: \(x\)-axis ভাগ করো। প্রতিটা ছোট interval \([x_{j-1}, x_j]\)-এ একটা করে আয়তক্ষেত্র বসাও — উচ্চতা ঐ interval-এর কাছের \(f\)-মান। এটাই vertical strips।

Lebesgue বলে: \(y\)-axis (range) ভাগ করো। প্রতিটা ছোট height-band \([y_{k-1}, y_k]\)-এর জন্য জিজ্ঞেস করো —"\(f(x)\) ঠিক এই height-এ কতটুকু \(x\)-এর জন্য থাকে?" সেই measure গুণ height — এটাই একটা horizontal layer। সব layer যোগ করলে integral।

\[\int f\, d\mu \approx \sum_k y_{k-1} \cdot \mu\!\bigl(\{x : y_{k-1} \le f(x) < y_k\}\bigr)\]

Riemann vertical strips বনাম Lebesgue horizontal layers চিত্র ১: বাঁয়ে Riemann পদ্ধতি — domain \(x\) ভাগ করে vertical strips; ডানে Lebesgue পদ্ধতি — range \(y\) ভাগ করে horizontal layers। Lebesgue-এ প্রতিটা layer-এর "প্রস্থ" হলো একটা measure — যা interval ছাড়াও যেকোনো measurable set হতে পারে।

কেন এটা শক্তিশালী? কারণ \(\{x : f(x) \ge y\}\) হলো একটা measurable set — এবং measure theory (অধ্যায় 3.1–3.6) আমাদের সেই set-এর "আকার" মাপতে শিখিয়েছে, সে set যত জটিলই হোক।

Simple function দিয়ে শুরু

Simple function (সরল ফাংশন) হলো এমন \(\phi: X \to [0,\infty)\) যা কেবল finitely many নন-নেগেটিভ মান নেয়:

\[\phi = \sum_{k=1}^n c_k \chi_{E_k}\]

যেখানে \(E_1, \ldots, E_n \in \mathcal{S}\) disjoint (বিচ্ছিন্ন) measurable sets আর \(c_k \ge 0\)। এর integral সহজ:

\[\int \phi\, d\mu = \sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k)\]

মানে: প্রতিটা "সমতল অংশের" উচ্চতা \(\times\) ক্ষেত্রের measure — যোগ করো।

সরল ফাংশনের ক্রমবর্ধমান sequence nearrow f চিত্র ২: তিনটা simple function \(\phi_1 \le \phi_2 \le \phi_3 \le \cdots\) ক্রমশ \(f\)-এর দিকে এগোচ্ছে। MCT বলে তাদের integral-ও \(\int f\, d\mu\)-এর দিকে বাড়তে থাকে।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Nonnegative function-এর integral

মনে রাখো আমাদের পুরো framework: \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space।

সংজ্ঞা: Lower Lebesgue sum

\(f: X \to [0,\infty]\) measurable, \(P = \{A_1, \ldots, A_m\}\) একটা \(\mathcal{S}\)-partition। তাহলে lower Lebesgue sum:

\(L(f, P) = \sum_{j=1}^m \mu(A_j) \inf_{A_j} f\)

এটা ঠিক lower Riemann sum-এর মতো — কিন্তু \(A_j\) যেকোনো measurable set হতে পারে, শুধু interval নয়।

সংজ্ঞা: Integral of a nonnegative function

\(f: X \to [0,\infty]\) \(\mathcal{S}\)-measurable হলে:

\(\int f\, d\mu = \sup\{L(f,P) : P \text{ একটা } \mathcal{S}\text{-partition}\}\)

অর্থাৎ সব সম্ভাব্য partition-এর lower sum-এর supremum।

∫f = sup{∫φ : φ ≤ f, φ সরল}: নিচ থেকে si চিত্র: ∫f = sup{∫φ : φ ≤ f, φ সরল}: নিচ থেকে simple function দিয়ে f ধরা

লক্ষ্য করো: \(\int \chi_E\, d\mu = \mu(E)\)। তাই \(\int \chi_\mathbb{Q}\, d\lambda = |\mathbb{Q}| = 0\)। Dirichlet function-এর integral এখন সুন্দরভাবে 0 — Riemann-এ যা অসম্ভব ছিল।

∫χ_E dμ = μ(E): indicator function-এর in চিত্র: ∫χ_E dμ = μ(E): indicator function-এর integral = level set-এর measure

Simple function-এর integral

\(E_1, \ldots, E_n \in \mathcal{S}\) disjoint এবং \(c_k \in [0,\infty]\):

\[\int \left(\sum_{k=1}^n c_k \chi_{E_k}\right) d\mu = \sum_{k=1}^n c_k\, \mu(E_k)\]

সরল ফাংশনের সমাকলন: প্রতিটা স্ল্যাবের উচ চিত্র: সরল ফাংশনের সমাকলন: প্রতিটা স্ল্যাবের উচ্চতা × measure = integral

এটা সত্যিই সুন্দর: counting measure-এ এটা হয়ে যায় সিরিজের sum \(\sum b_k\) — তাই Lebesgue integration হলো integration-এর সাধারণীকরণ (generalization), শুধু ক্ষেত্রফলের নয়।

Real-valued function: \(f = f^+ - f^-\)

সাধারণ \(f: X \to [-\infty, \infty]\)-এর জন্য লিখি:

\[f^+(x) = \max(f(x), 0), \quad f^-(x) = \max(-f(x), 0)\]

তাহলে \(f = f^+ - f^-\) এবং \(|f| = f^+ + f^-\)। দুটোই nonnegative।

f = f+ - f-: ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশ আলাদা চিত্র: f = f+ - f-: ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশ আলাদা করে শেড করা

সংজ্ঞা: General integral

\(f\) measurable এবং \(\int f^+\, d\mu\) বা \(\int f^-\, d\mu\)-এর মধ্যে অন্তত একটা finite হলে:

\(\int f\, d\mu = \int f^+\, d\mu - \int f^-\, d\mu\)

\(f\) integrable (সমাকলনযোগ্য) যদি \(\int |f|\, d\mu < \infty\), অর্থাৎ \(\int f^+\) ও \(\int f^-\) দুটোই finite।

Monotone Convergence Theorem (একঘাতী অভিসৃতি উপপাদ্য)

এটাই এই অধ্যায়ের মূল রত্ন।

উপপাদ্য: Monotone Convergence Theorem — MCT

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space এবং

\(0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots\)

nonneg measurable functions-এর একটা বর্ধমান sequence। ধরো \(f(x) = \lim_{k\to\infty} f_k(x)\)। তাহলে:

\(\lim_{k\to\infty} \int f_k\, d\mu = \int f\, d\mu\)

বাংলায়: বর্ধমান nonneg sequence-এর ক্ষেত্রে, limit আর integral অদলবদল করা যায়।

MCT-এর proof sketch

দুটো দিক প্রমাণ করতে হয়:প্রথম দিক (\(\le\)): \(f_k \le f\) সবার জন্য, তাই \(\int f_k\, d\mu \le \int f\, d\mu\) (integration is order-preserving, )। সুতরাং \(\lim_k \int f_k \le \int f\)।

দ্বিতীয় দিক (\(\ge\)): এটাই কঠিন অংশ। ধরো একটা simple function \(\phi \le f\) আছে। \(t \in (0,1)\) নাও। Define করো \(E_k = \{x : f_k(x) \ge t\phi(x)\}\)। তাহলে \(E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots\) এবং \(\bigcup_k E_k = X\)। Measure-এর continuity দিয়ে দেখানো যায়:

\[\int f_k\, d\mu \ge t \sum_j c_j \mu(A_j \cap E_k) \xrightarrow{k\to\infty} t \sum_j c_j \mu(A_j)\]

\(t \to 1\) করলে \(\lim_k \int f_k \ge \int \phi\)। সব simple \(\phi \le f\)-এর উপর supremum নিলে \(\lim_k \int f_k \ge \int f\)। \(\square\)

MCT: বর্ধমান f_n-দের ক্ষেত্রফল একঘাতীভাব চিত্র: MCT: বর্ধমান f_n-দের ক্ষেত্রফল একঘাতীভাবে ∫f-এর দিকে বাড়ে

Linearity (রৈখিকতা) — MCT-এর ফল

MCT থেকে প্রমাণ হয়:

\[\int (f + g)\, d\mu = \int f\, d\mu + \int g\, d\mu\]
\[\int (c f)\, d\mu = c \int f\, d\mu \quad (c \in \mathbb{R})\]

কেন MCT লাগে: \(f\) আর \(g\)-কে simple functions-এর increasing sequence দিয়ে approximate করো (\(\phi_k \nearrow f\), \(\psi_k \nearrow g\))। Simple functions-এর জন্য linearity সহজে দেখানো যায়। তারপর MCT apply করলে limit নেওয়া যায়।

একটা সুন্দর ফল: Riemann integral-এ lower integral additive নয় — \(L(\chi_\mathbb{Q}) + L(\chi_{[0,1]\setminus\mathbb{Q}}) = 0 \ne 1\)। কিন্তু Lebesgue integral সবসময় additive।

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: Dirichlet function-এর integral

\(f = \chi_\mathbb{Q}\) on \([0,1]\), \(\lambda =\) Lebesgue measure।

\(f^+ = f\), \(f^- = 0\)। \(\int f\, d\lambda = \lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0\)।

কারণ \(\mathbb{Q}\) countable, তাই Lebesgue measure শূন্য। Riemann-এ এটা অসম্ভব ছিল, Lebesgue-এ trivial।

উদাহরণ ২: MCT in action — escaping indicator

\(f_n = \chi_{[0,n]}\) on \([0,\infty)\), \(\lambda\) Lebesgue। \(f_1 \le f_2 \le \cdots\) এবং \(f_n \nearrow \mathbf{1}\) (constant function 1)।

\[\int f_n\, d\lambda = \lambda([0,n]) = n \to \infty = \int \mathbf{1}\, d\lambda\]

MCT নিশ্চিত করে — limit আর integral একসাথে \(\infty\)-তে যায়।

উদাহরণ ৩: Counting measure ও series

\(\mu\) = counting measure on \(\mathbb{Z}^+\), \(f(k) = b_k \ge 0\)। \(f_n(k) = b_k \chi_{\{1,\ldots,n\}}(k)\) নাও। MCT:

\[\int f\, d\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^\infty b_k\]

নন-নেগেটিভ series-এর সাথে interchange of limit and sum আসলে MCT-এরই একটা বিশেষ ক্ষেত্র।

Analogy: "জমানো টাকার হিসাব" ভাবো প্রতি মাসে বেতনের অংশ জমাচ্ছ (\(f_k\)), প্রতি মাসে জমানো বাড়ছে (\(f_k\) increasing)। মোট জমানো = \(\int f_k\, d\mu\)-ও বাড়ছে। শেষে সর্বোচ্চ জমানো হলো \(\int f\, d\mu\)। MCT বলছে — ফাংশনের limit আর integral-এর limit একসাথে যায়।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

  1. MCT-এ nonneg ভুলে যাওয়া। MCT শুধু nonneg ফাংশনের জন্য। নেগেটিভ থাকলে ব্যর্থ হতে পারে। উদাহরণ: \(f_n = -\chi_{[n, n+1]}\) তাহলে \(f_n \to 0\) কিন্তু \(\int f_n = -1\) সবার জন্য।

  2. MCT-এ increasing শর্ত ভুলে যাওয়া। \(f_n\) decreasing হলে MCT কাজ করে না

  3. \(\int f^+ - \int f^-\) কখন undefined। যদি \(\int f^+ = \infty\) এবং \(\int f^- = \infty\) দুটোই হয়, তাহলে \(\int f\) undefined (\(\infty - \infty\))। Integrable মানে \(\int |f| < \infty\)।

  4. Simple function-এর representation uniqueness। \(\phi = \sum c_k \chi_{E_k}\)-এর representation unique নয়, কিন্তু integral unique — সব representation-এ একই মান আসে।

  5. "Lebesgue integral শুধু Lebesgue measure-এর জন্য।" না — এটা যেকোনো measure \((X, \mathcal{S}, \mu)\)-এর জন্য। Counting measure-এও Lebesgue integral হয় — সেক্ষেত্রে সেটা সিরিজের sum।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

  1. Simple function integral। \(\phi = 3\chi_{[0,1]} + 5\chi_{(1,2]} + 2\chi_{(2,4]}\) on \(\mathbb{R}\), \(\lambda\) Lebesgue। \(\int \phi\, d\lambda\) হিসাব করো।

  2. Dirichlet function। \(f = \chi_\mathbb{Q}\) on \([0,1]\)। দেখাও \(\int f\, d\lambda = 0\)। Riemann integral কেন exist করে না তা এক বাক্যে বলো।

  3. MCT প্রয়োগ। \(f_n(x) = \frac{\sin^2(nx)}{n}\) on \([0,\pi]\)। দেখাও \(f_n \to 0\) pointwise। \(\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi f_n\, d\lambda\) কত? সরাসরি MCT apply কি হয়?

  4. MCT এবং series। MCT ব্যবহার করে দেখাও counting measure-এ \(\int f\, d\mu = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\) যেখানে \(f(k) = 1/k^2\)।

  5. MCT fail করার উদাহরণ। \(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) on \(\mathbb{R}\)। দেখাও \(f_n \to 0\) pointwise কিন্তু \(\int f_n\, d\lambda = 1\) সবার জন্য। MCT-এর কোন শর্ত ভাঙছে?

  6. \(f^+\), \(f^-\) decomposition। \(f(x) = x - 1\) on \([0,2]\)। \(f^+\) ও \(f^-\) লেখো। \(\int f\, d\lambda\) হিসাব করো।

  7. Linearity ব্যবহার। \(\int_{[0,1]} (3x^2 + 5)\, d\lambda\) MCT ও linearity ব্যবহার করে হিসাব করো।

  8. Decreasing sequence। \(f_n = \frac{1}{n}\chi_{[0,n]}\) on \([0,\infty)\)। \(f_n \to 0\) pointwise দেখাও। \(\int f_n\, d\lambda\) কত? এই উদাহরণে MCT apply হয় কি?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\phi = 3\chi_{[0,1]} + 5\chi_{(1,2]} + 2\chi_{(2,4]}\)। Sets গুলো disjoint, measures: \(\lambda([0,1]) = 1\), \(\lambda((1,2]) = 1\), \(\lambda((2,4]) = 2\)।

\(\int \phi\, d\lambda = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 3 + 5 + 4 = \mathbf{12}\)

২-নং সমাধান দেখাও

\(f = \chi_\mathbb{Q}\)। \(\int \chi_\mathbb{Q}\, d\lambda = \lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0\) কারণ \(\mathbb{Q}\) countable এবং countable set-এর Lebesgue measure শূন্য।

Riemann fail কারণ: যেকোনো partition-এ প্রতিটা sub-interval-এ rational ও irrational দুটোই থাকে, তাই lower sum সবসময় 0, upper sum সবসময় 1 — কখনো মেলে না।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(0 \le \sin^2(nx) \le 1\) তাই \(0 \le f_n(x) \le \frac{1}{n} \to 0\)। তাই \(f_n \to 0\) uniformly।

\(f_n\) increasing নয় — MCT সরাসরি apply হয় না। তবে সরাসরি:

\(\int_0^\pi \frac{\sin^2(nx)}{n}\, dx = \frac{1}{n} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2n} \to 0 = \int_0^\pi 0\, dx \checkmark\)

পরের অধ্যায়ে DCT এই ধরনের সমস্যা সুন্দরভাবে সামলাবে।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\mu\) = counting measure on \(\mathbb{Z}^+\)। \(f_n(k) = \frac{1}{k^2} \chi_{\{1,\ldots,n\}}(k)\)। তাহলে \(0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots \nearrow f\) যেখানে \(f(k) = 1/k^2\)।

MCT: \(\int f\, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int f_n\, d\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\)।

৫-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) \to 0\): যেকোনো নির্দিষ্ট \(x\)-এর জন্য \(f_n(x) = 0\) যখন \(n > x\)। ✓

কিন্তু \(\int f_n\, d\lambda = \lambda([n, n+1]) = 1\) সবার জন্য।

তাহলে \(\lim \int f_n = 1 \ne 0 = \int \lim f_n\) — MCT fail।

কারণ: \(f_n\)-রা increasing নয়। \(f_1\) আর \(f_2\) disjoint support-এ থাকে — কোনো \(f_n \le f_{n+1}\) relation নেই।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x - 1\) on \([0, 2]\)।

\(f^+(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0,1] \\ x-1 & x \in (1,2] \end{cases}, \quad f^-(x) = \begin{cases} 1-x & x \in [0,1] \\ 0 & x \in (1,2] \end{cases}\)

\(\int f^+\, d\lambda = \int_1^2 (x-1)\, dx = \tfrac{1}{2}, \quad \int f^-\, d\lambda = \int_0^1 (1-x)\, dx = \tfrac{1}{2}\)

\(\int f\, d\lambda = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = \mathbf{0}\)

(Reasonable — \(f(x) = x-1\) on \([0,2]\)-এ positive ও negative অংশ symmetric।)

৭-নং সমাধান দেখাও

Linearity: \(\int (3x^2 + 5)\, d\lambda = 3\int x^2\, d\lambda + 5\int 1\, d\lambda\)।

\(f_n(x) = x^2 \chi_{[0,1-1/n]}(x)\) নাও। \(f_n \nearrow x^2\) on \([0,1)\)। MCT:

\(\int_{[0,1]} x^2\, d\lambda = \lim_{n\to\infty} \int_0^{1-1/n} x^2\, dx = \lim_{n\to\infty} \frac{(1-1/n)^3}{3} = \frac{1}{3}\)

\(\int_{[0,1]} 1\, d\lambda = \lambda([0,1]) = 1\)।

\(\int (3x^2 + 5)\, d\lambda = 3 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = \mathbf{6}\)

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = \frac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)\)। যেকোনো \(x\)-এর জন্য \(n > x\) হলে \(f_n(x) = 1/n \to 0\)। তাই \(f_n \to 0\) pointwise। ✓

\(\int f_n\, d\lambda = \frac{1}{n} \cdot n = 1\) সবার জন্য।

কিন্তু \(\int 0\, d\lambda = 0 \ne 1 = \lim \int f_n\) — আবার fail।

MCT apply হয় না কারণ \(f_n\) increasing নয়। তুলনা করো: \(f_1 = \chi_{[0,1]}\) এর maximum value 1, কিন্তু \(f_2 = \frac{1}{2}\chi_{[0,2]}\) এর maximum value \(\frac{1}{2}\) — বরং decreasing।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

  • [ ] Horizontal slicing স্বজ্ঞা বলতে পারি: Riemann domain ভাগ করে, Lebesgue range ভাগ করে।
  • [ ] Simple function চিনতে পারি এবং \(\int \sum c_k \chi_{E_k}\, d\mu = \sum c_k \mu(E_k)\) হিসাব করতে পারি।
  • [ ] Nonneg function-এর integral = lower Lebesgue sum-এর supremum — এবং \(A_j\) যেকোনো measurable set হতে পারে।
  • [ ] \(f = f^+ - f^-\) decomposition করতে পারি; integrable মানে \(\int|f| < \infty\) জানি।
  • [ ] MCT statement বলতে পারি: nonneg increasing \(f_k \nearrow f\) হলে \(\int f_k \to \int f\)।
  • [ ] MCT-এর দুটো শর্ত মনে আছে:(i) nonnegative এবং (ii) increasing।
  • [ ] MCT fail করার উদাহরণ দিতে পারি (escaping bump — non-increasing sequence)।
  • [ ] Counting measure-এ Lebesgue integral = series sum — MCT-এর বিশেষ ক্ষেত্র।
  • [ ] Linearity \(\int(f+g)\,d\mu = \int f\,d\mu + \int g\,d\mu\) জানি এবং MCT থেকে কীভাবে আসে বুঝি।

➡️ পরের অধ্যায়: 3.8 — Fatou, Bounded ও Dominated Convergence — MCT-কে আরো শক্তিশালী করা: increasing না হলেও কীভাবে limit আর integral অদলবদল করা যায়।