1.4 — সিরিজ (Series)¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: অসীম সংখ্যক পদের যোগফল কখন একটা নির্দিষ্ট সংখ্যায় পরিণত হয় আর কখন হয় না — আংশিক সমষ্টি, অভিসারিতা, এবং চারটি গুরুত্বপূর্ণ পরীক্ষা।

উৎস (source): নতুন · convergence test: Cauchy, d'Alembert, Leibniz।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

ধরো কেউ তোমাকে বলল: "আমি একটা রুম পার হতে চাই। প্রথমে অর্ধেক পার হব, তারপর বাকি অর্ধেকের অর্ধেক, তারপর আবার অর্ধেক..."। এভাবে অসীম অনেক ধাপে কি পুরো রুম পার হওয়া যাবে? গ্রিক দার্শনিক Zeno মনে করতেন — না। কিন্তু গণিত বলে — হ্যাঁ, কারণ

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1.\]

এটাই series (শ্রেণি)-র মূল প্রশ্ন: অসীম অনেক পদের যোগফল কি finite (পরিমিত)?

Series-এর ধারণা ছাড়া আধুনিক বিজ্ঞান চলত না। Taylor series দিয়ে \(\sin x\), \(e^x\) হিসাব করা হয়; Fourier series দিয়ে সংকেত বিশ্লেষণ; power series দিয়ে differential equation সমাধান। এই অধ্যায়ে আমরা ভিত গড়ব।

আগের অধ্যায় 1.2-এ আমরা sequence (অনুক্রম) শিখেছিলাম। Series হলো সেই sequence-এর একটা বিশেষ limit — partial sum (আংশিক সমষ্টি)-এর sequence-এর limit। তাই পুরো theory আসলে sequence-এরই প্রতিফলন।

মূল চিন্তা

Series মানে অসীম যোগফল — কিন্তু "অসীম যোগ করা" মানে সরাসরি সব পদ যোগ নয়। এর মানে হলো: যত পদ নিই, ততই কি একটা নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে এগোচ্ছি?

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Partial sum দিয়ে series বোঝা¶

একটা sequence \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) নাও। তার partial sum (আংশিক সমষ্টি) হলো:

\[S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=1}^{N} a_n.\]

এখন এই \(\{S_N\}\) নিজেই একটা নতুন sequence। যদি এই sequence converge (অভিসারী) করে কোনো সীমা \(S\)-এ, তাহলে বলি:

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S \quad \text{(series converges)}.\]

যদি \(\{S_N\}\) diverge (অপসারী) করে, তাহলে বলি series diverge (অপসারী) করেছে।

নিচের ছবিতে দেখো, \(\sum \frac{1}{2^n}\)-এর partial sum কীভাবে ধাপে ধাপে \(1\)-এর দিকে এগোয়:

Geometric series partial sums converging to 1 চিত্র ১: বাঁয়ে — \(S_N\) বনাম \(N\): প্রতিটি বিন্দু একটু একটু করে \(1\)-এর (লাল রেখা) কাছে আসছে। ডানে — প্রতিটি পদ \(\frac{1}{2^n}\) একটা রেখাকে ঠিক \(1\)-এ পূর্ণ করে ফেলছে।

Geometric series — সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ¶

Geometric series (গুণোত্তর শ্রেণি) হলো \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots\)।

এর \(N\)-তম partial sum একটু বীজগণিত করলেই পাওয়া যায়:

\[S_N = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{N-1} = \frac{1 - r^N}{1-r} \quad (r \ne 1).\]

এখন \(|r| < 1\) হলে \(r^N \to 0\) কারণ \(N \to \infty\) হলে, তাই:

\[\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1.\]

\(|r| \ge 1\) হলে series diverge করে।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

সংজ্ঞা: Series convergence (অভিসারিতা)¶

সংজ্ঞা

\(\{a_n\}\) একটা sequence হোক। Infinite series (অসীম শ্রেণি) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) converge করে \(S\)-এ যদি এবং কেবল যদি partial sum sequence \(S_N \to S\)। অন্যথায় series diverge করে।

Theorem 1 — \(n\)-th Term Test (বৃহৎ পদ পরীক্ষা)¶

উপপাদ্য (n-th Term Test)

\(\displaystyle\sum a_n\) converge করলে অবশ্যই \(a_n \to 0\)।

সমতুল্য contrapositive: \(a_n \not\to 0\) হলে series অবশ্যই diverge করে।

প্রমাণ (sketch): যদি \(\sum a_n = S\) হয়, তাহলে \(a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0\)। \(\square\)

সতর্কতা: উল্টোটা সত্য নয়। \(a_n \to 0\) হলেও series diverge করতে পারে (harmonic series এর উদাহরণ)।

Harmonic series — diverges সত্ত্বেও \(a_n \to 0\)¶

Harmonic series (হারমোনিক শ্রেণি) হলো \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots\)।

এখানে \(a_n = \frac{1}{n} \to 0\), তবু series diverge করে। প্রমাণ (Nicole Oresme, c. 1350):

\[1 + \frac12 + \underbrace{\frac13 + \frac14}_{>\frac12} + \underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{>\frac12} + \cdots\]

প্রতিটি গ্রুপের যোগফল \(> \frac{1}{2}\), আর অসীম অনেক গ্রুপ আছে। তাই \(S_N \to \infty\)।

Harmonic series diverges চিত্র ২: হারমোনিক শ্রেণির আংশিক সমষ্টি \(S_N\) (নীল) — কোনো আনুভূমিক সীমারেখা নেই। লাল রেখাটি \(\ln N + \gamma\) (Euler–Mascheroni ধ্রুবক \(\gamma \approx 0.577\)) — partial sum এই রেখা ধরে অসীমে যায়।

Theorem 2 — Comparison Test (তুলনা পরীক্ষা)¶

উপপাদ্য (Comparison Test)

\(0 \le a_n \le b_n\) সব \(n\)-এর জন্য ধরো।

\(\sum b_n\) converge করলে \(\sum a_n\)-ও converge করে।
\(\sum a_n\) diverge করলে \(\sum b_n\)-ও diverge করে।

স্বজ্ঞা: ছোট series কে বড় convergent series দিয়ে "ঢেকে" রাখা যায়।

উদাহরণ: \(\sum \frac{1}{n^2 + 1}\): যেহেতু \(\frac{1}{n^2+1} \le \frac{1}{n^2}\) এবং \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge করে (p-series, \(p=2>1\)), তাই এটিও converge করে।

Theorem 3 — Ratio Test (অনুপাত পরীক্ষা)¶

উপপাদ্য (Ratio Test)

\(a_n > 0\) হোক এবং \(\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\) বিদ্যমান হোক।

\(L < 1\) হলে \(\sum a_n\) converge করে।
\(L > 1\) (বা \(L = \infty\)) হলে \(\sum a_n\) diverge করে।
\(L = 1\) হলে পরীক্ষাটি অনির্ণায়ক (inconclusive)।

স্বজ্ঞা: যদি প্রতিটি পদ আগেরটির থেকে একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে ছোট হয় (অর্থাৎ \(L < 1\)), তাহলে পুরো series geometric series-এর মতো আচরণ করে।

উদাহরণ: \(\sum \frac{n!}{2^n}\)-এ \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2} \to \infty > 1\), তাই diverge।

Theorem 4 — Integral Test (সমাকল পরীক্ষা)¶

উপপাদ্য (Integral Test — সংক্ষিপ্ত)

\(f\) যদি \([1, \infty)\)-তে ধনাত্মক, হ্রাসমান, এবং সর্বত্র continuous হয়, এবং \(a_n = f(n)\) হয়, তাহলে:

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge} \iff \int_1^\infty f(x)\,dx \text{ converge}.\]

উদাহরণ (p-series): \(\sum \frac{1}{n^p}\)-এ \(f(x)=\frac{1}{x^p}\)। \(\int_1^\infty x^{-p}\,dx\) converge করে \(\iff p > 1\)। তাই:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \;\text{ converge করে} \iff p > 1.\]

Absolute (পরম) ও Conditional (শর্তাধীন) Convergence¶

Absolute convergence (পরম অভিসারিতা): \(\sum |a_n|\) converge করলে \(\sum a_n\)-কে absolutely convergent বলে।

Conditional convergence (শর্তাধীন অভিসারিতা): \(\sum a_n\) converge করে কিন্তু \(\sum |a_n|\) diverge করে।

উপপাদ্য

Absolute convergence \(\Rightarrow\) convergence (কিন্তু বিপরীত সবসময় সত্য নয়)।

Alternating Series Test (পর্যায়ক্রমিক শ্রেণি পরীক্ষা)¶

Alternating series (পর্যায়ক্রমিক শ্রেণি): \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - \cdots\) যেখানে \(b_n > 0\)।

Leibniz Test

যদি \(b_n\) হ্রাসমান এবং \(b_n \to 0\) হয়, তাহলে alternating series converge করে।

উদাহরণ: \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \ln 2\)।

এটি conditionally convergent — converge করে, কিন্তু \(\sum \frac{1}{n}\) diverge করে।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: Series যেন একটা journey¶

কল্পনা করো তুমি একটা রাস্তায় হাঁটছ। প্রতি পদক্ষেপে কতটুকু এগোবে তা আগে থেকেই নির্ধারিত। Series convergence মানে হলো — তুমি কি কোনো নির্দিষ্ট গন্তব্যে পৌঁছাবে, নাকি অসীমে চলে যাবে?

Geometric series (\(|r|<1\)): প্রতি পদক্ষেপ আগেরটার একটি নির্দিষ্ট অংশ — তুমি নির্দিষ্ট গন্তব্যে পৌঁছাও।
Harmonic series: পদক্ষেপ ছোট হচ্ছে, কিন্তু যথেষ্ট দ্রুত নয় — গন্তব্য নেই।
Alternating series: এগো-পিছো করতে করতে একটা জায়গায় স্থির হও।

Worked Example 1 — Geometric series (সুস্পষ্ট উদাহরণ)¶

সমস্যা: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n}\) কি converge করে? যদি করে, যোগফল কত?

সমাধান:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n} = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac14\right)^n = 3 \cdot \frac{1/4}{1 - 1/4} = 3 \cdot \frac{1/4}{3/4} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.\]

(Geometric series সূত্র: \(\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}\) যখন \(|r|<1\)।)

Worked Example 2 — n-th Term Test¶

সমস্যা: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\) কি converge করে?

সমাধান: \(a_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0\)। n-th term test-এ — series diverge করে। আর কোনো পরীক্ষার দরকার নেই।

Worked Example 3 — Ratio Test¶

সমস্যা: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\) কি converge করে?

সমাধান: Ratio test:

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1.\]

তাই series converge করে (যোগফল \(= e^2 - 1\), যা Taylor series থেকে আসে)।

Worked Example 4 — Absolute vs Conditional¶

সমস্যা: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\) কি absolutely converge করে?

সমাধান: \(\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\right| = \sum \frac{1}{n^2}\) — এটি p-series (\(p=2>1\)), তাই converge করে। অতএব মূল series absolutely convergent।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"\(a_n \to 0\) হলেই converge করে" ভাবা। এটা সবচেয়ে কমন ভুল। Harmonic series-এ \(a_n = 1/n \to 0\) তবু diverge করে। \(a_n \to 0\) শুধু convergence-এর প্রয়োজনীয় শর্ত, যথেষ্ট নয়।
Ratio test \(L=1\)-এ সিদ্ধান্ত নেওয়া। \(L=1\) হলে ratio test কোনো তথ্য দেয় না — অন্য পরীক্ষা ব্যবহার করতে হবে।
Geometric series-এ \(n\)-এর শুরু গুলিয়ে ফেলা। \(\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}\) কিন্তু \(\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}\)। \(n=0\) থেকে শুরু হলে সূত্র আলাদা।
Alternating series-কে সবসময় convergent ভাবা। শুধু Leibniz test-এর শর্ত (\(b_n\) হ্রাসমান, \(b_n\to 0\)) পূরণ হলে তবেই।
Conditional convergence মানে "weakly converge" মনে করা। এটা সম্পূর্ণ convergent — কিন্তু Riemann rearrangement theorem বলে পদগুলো সাজানোর ক্রম বদলালে যোগফলও বদলে যেতে পারে!
Comparison test-এ চিহ্ন ভুলে যাওয়া। শুধুমাত্র \(a_n \ge 0\) হলে কাজ করে। ঋণাত্মক পদ থাকলে আগে absolute value নাও।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান দেখো।

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n\) কি converge করে? যোগফল বের করো।
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 + 1}\) converge করে কি না ঠিক করো।
Ratio test ব্যবহার করে ঠিক করো: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}\) converge করে কি না।
Comparison test ব্যবহার করে দেখাও: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}\) converge করে।
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\) কি converge করে? পরম অভিসারী কি?
p-series পরীক্ষায় ঠিক করো: কোন \(p\)-এর জন্য \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\) converge করে?
\(\displaystyle S = 0.999\ldots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots\) — এটি কোন geometric series? যোগফল কত? এর অর্থ কী?
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + 3^n}{6^n}\) কে দুটো geometric series-এ ভেঙে যোগফল বের করো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

\(r = \frac{2}{3}\), \(|r| < 1\), তাই converge করে।

\[\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac23\right)^n = \frac{1}{1 - \frac23} = \frac{1}{\frac13} = 3.\]

(\(n=0\) থেকে শুরু, তাই সূত্র \(\frac{1}{1-r}\) সরাসরি।)

২-নং সমাধান দেখাও

\(a_n = \frac{n^2}{n^2+1} \to 1 \ne 0\)।

n-th term test: যেহেতু \(a_n \not\to 0\), series diverge করে। আর কোনো পরীক্ষার দরকার নেই।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(a_n = \frac{n}{3^n}\)। Ratio test:

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{3n} = \frac{1}{3}\cdot\frac{n+1}{n} \to \frac{1}{3} < 1.\]

তাই series converge করে।

৪-নং সমাধান দেখাও

লক্ষ করো: \(\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} \le \frac{1}{n \cdot n} = \frac{1}{n^2}\)।

এবং \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge করে (p-series, \(p=2>1\))।

Comparison test অনুযায়ী \(\sum \frac{1}{n^2+n}\)-ও converge করে।

(বোনাস: Partial fraction দিয়ে: \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\), এটা telescoping series, যোগফল \(= 1\)।)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\)। এটা হ্রাসমান এবং \(b_n \to 0\)। Leibniz test-এ series converge করে।

তবে \(\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right| = \sum \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum \frac{1}{n^{1/2}}\) — এটা p-series, \(p = \frac12 < 1\), তাই diverge করে।

অতএব series conditionally convergent (শর্তাধীন অভিসারী) — converge করে কিন্তু absolutely convergent নয়।

৬-নং সমাধান দেখাও

Integral test: \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^\infty\) (\(p \ne 1\))।

\(p > 1\): \(x^{1-p} \to 0\) (\(1-p < 0\)), সমাকল converge → series converge।
\(p < 1\): \(x^{1-p} \to \infty\) (\(1-p > 0\)), সমাকল diverge → series diverge।
\(p = 1\): harmonic series — diverge।

উত্তর: \(\sum \frac{1}{n^p}\) converge করে \(\iff\) \(p > 1\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(0.999\ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = \frac{9}{10}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^n = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9} = 1.\)

অর্থ: \(0.999\ldots = 1\) — এটা কোনো "প্রায়" বা "কাছাকাছি" নয়, সত্যিকারের সমান। Geometric series-ই এটা প্রমাণ করে।

৮-নং সমাধান দেখাও

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + 3^n}{6^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{6^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{6^n} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac13\right)^n + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac12\right)^n.\]

\[= \frac{1/3}{1-1/3} + \frac{1/2}{1-1/2} = \frac{1/3}{2/3} + \frac{1/2}{1/2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.\]

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Series কী — partial sum sequence-এর limit হিসেবে বুঝতে পারি।
[ ] Geometric series সূত্র \(\frac{1}{1-r}\) (\(|r|<1\)) মুখস্থ নয়, বুঝে বলতে পারি।
[ ] Harmonic series diverge করে জানি, আর ব্যাখ্যা করতে পারি কেন \(a_n \to 0\) হলেও convergence গ্যারান্টি নেই।
[ ] n-th Term Test প্রয়োগ করতে পারি — শুধু divergence প্রমাণে কাজে আসে।
[ ] Comparison Test জানি — smaller ≤ convergent হলে smaller converges।
[ ] Ratio Test প্রয়োগ করতে পারি; \(L=1\) হলে অনির্ণায়ক বলতে পারি।
[ ] p-series convergence মানদণ্ড (\(p>1\) ↔ converges) বলতে পারি।
[ ] Absolute vs conditional convergence পার্থক্য বুঝি।
[ ] Alternating series (Leibniz test) প্রয়োগ করতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 1.5 — ফাংশনের সীমা ও ধারাবাহিকতা (Continuity) — এবার sequence ও series-এর ধারণা ব্যবহার করে ফাংশনের সীমা ও ধারাবাহিকতা বুঝব।