Skip to content

4.3 — Bounded Linear Map

এই অধ্যায়ে কী শিখব: linear map (রৈখিক বিন্যাস) কী এবং bounded (পরিবদ্ধ) linear map কাকে বলে; operator norm (অপারেটর নর্ম) \(\lVert T \rVert\) কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়; মূল উপপাদ্য — linear map bounded হলে এবং কেবল তখনই continuous; \(B(X, Y)\) space; matrix, integral operator, shift operator — উদাহরণ; এবং unbounded operator হিসেবে differentiation।

উৎস (source): Banach, Riesz (bounded operator)।

১. কেন শিখব? (Motivation)

অধ্যায় 4.1–4.2-এ আমরা normed space এবং Banach space তৈরি করলাম। এখন প্রশ্ন: দুটো normed space-এর মধ্যে একটা "ভালো" ফাংশন কেমন হওয়া উচিত?

Metric space-এ আমরা দেখেছিলাম: ভালো ফাংশন = continuous ফাংশন। কিন্তু normed space-গুলো শুধু metric space নয় — এগুলো vector spaceও। তাই ফাংশনকে এই structure টাও মানতে হবে: \(T(ax + by) = aT(x) + bT(y)\)। এই শর্তটাই linearity (রৈখিকতা)।

কিন্তু linearity আর continuity কি এক? না। Infinite-dimensional space-এ এমন linear map আছে যা continuous নয়। এই অধ্যায়ের সবচেয়ে সুন্দর ফলটা হলো: linear map continuous হওয়া আর bounded হওয়া একই জিনিস।

এই ধারণাটা ছাড়া functional analysis-এর পরের সব বিষয় — Hahn–Banach theorem, dual space, spectral theory — কোনোটাই শেখা যাবে না।

মূল স্বজ্ঞা

Linear map ধরো একটা রাবার শিটের stretch (প্রসারণ)। Bounded মানে: যতটুকুই stretch করো, একটা নির্দিষ্ট সীমার বাইরে যাবে না। Unbounded মানে: কিছু দিক ধরে টানলে stretch অসীম হয়ে যায় — continuity নষ্ট।

২. মূল ধারণা (Core idea)

Linear Map — স্বজ্ঞাগত ছবি

একটা linear map \(T: X \to Y\) মূলত grid-কে grid-এ পাঠায়। সমান্তরাল রেখা সমান্তরাল থাকে, origin যায় origin-এ, আর scaling আর addition এর ক্রম বদলানো যায়।

alt

চিত্র ১: Linear map \(T\) একটা grid কে deform করে। বাঁয়ে — domain X-এর সমান ঘরের grid। ডানে — T প্রয়োগের পর codomain Y-তে transformed grid। Basis vector e1, e2 চলে যায় Te1, Te2-তে। Grid-এর সরলরেখা সরলরেখাই থাকে — এটাই linearity।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

সংজ্ঞা: Linear Map (রৈখিক বিন্যাস)

সংজ্ঞা: Linear Map

ধরো \(X\) ও \(Y\) দুটো normed vector space (same scalar field \(\mathbb{R}\) বা \(\mathbb{C}\))। \(T: X \to Y\) বলা হয় linear (রৈখিক) যদি সব \(x, y \in X\) ও scalar \(a, b\)-এর জন্য:

\[T(ax + by) = aT(x) + bT(y)\]

অর্থাৎ \(T\) additivity (\(T(x+y) = Tx + Ty\)) ও homogeneity (\(T(ax) = aTx\)) মানে।

এই শর্ত থেকে কিছু তাৎক্ষণিক ফলাফল:

  • \(T(0) = 0\) (কারণ \(T(0) = T(0 \cdot x) = 0 \cdot Tx = 0\))।
  • \(T(-x) = -Tx\)।
  • \(T\!\left(\sum_{k=1}^n a_k x_k\right) = \sum_{k=1}^n a_k Tx_k\)।

সংজ্ঞা: Bounded Linear Map (পরিবদ্ধ রৈখিক বিন্যাস)

সংজ্ঞা: Bounded Linear Map

\(T: X \to Y\) linear বলা হয় bounded (পরিবদ্ধ) যদি কোনো constant \(M \geq 0\) থাকে যেন:

\[\lVert Tx \rVert_Y \leq M \lVert x \rVert_X \quad \forall\, x \in X\]

সবচেয়ে ছোট এমন \(M\)-কে বলা হয় operator norm (অপারেটর নর্ম):

\[\lVert T \rVert = \sup_{\lVert x \rVert_X = 1} \lVert Tx \rVert_Y = \sup_{x \neq 0} \frac{\lVert Tx \rVert_Y}{\lVert x \rVert_X}\]

alt

চিত্র ২: Bounded linear map \(T\): domain-এর unit ball \(B(0,1)\) (নীল) সম্পূর্ণ codomain-এর \(B(0, \lVert T \rVert)\) ball-এর (ড্যাশড নীল) ভেতরে map হয়। লাল ellipse = \(T(B(0,1))\)-এর actual image। এটাই boundedness-এর geometric অর্থ।

Operator Norm — সর্বোচ্চ stretch

alt

চিত্র ৩: \(\lVert T \rVert\) = unit sphere-এর উপর \(\lVert Tx \rVert\)-এর supremum। নীল = unit sphere; লাল curve = \(T\)-এর image। লাল তারকা চিহ্নিত বিন্দুতে stretch সর্বোচ্চ — সেটাই \(\lVert T \rVert\)।

Operator norm-এর সমতুল্য সংজ্ঞাগুলো:

\[\lVert T \rVert = \sup_{\lVert x \rVert = 1} \lVert Tx \rVert = \sup_{x \neq 0} \frac{\lVert Tx \rVert}{\lVert x \rVert} = \inf\{M \geq 0 : \lVert Tx \rVert \leq M \lVert x \rVert\ \forall x\}\]

এই সংজ্ঞা থেকে: \(\lVert Tx \rVert \leq \lVert T \rVert \cdot \lVert x \rVert\) সব \(x\)-এর জন্য।

মূল উপপাদ্য: Bounded ⇔ Continuous

alt

চিত্র ৪: বাঁয়ে — bounded (পরিবদ্ধ) linear map: \(x_n \to x\) হলে \(Tx_n \to Tx\) (sequence picture)। ডানে — unbounded map: \(\lVert x_n \rVert \to 0\) হলেও \(\lVert Tx_n \rVert\) blow up করে — continuity ভাঙে।

উপপাদ্য: Linear Map Bounded ⇔ Continuous

\(T: X \to Y\) linear হলে নিচের তিনটা statement সমতুল্য:

  1. \(T\) bounded (\(\exists M : \lVert Tx \rVert \leq M \lVert x \rVert\))।
  2. \(T\) continuous সব \(x \in X\)-এ।
  3. \(T\) continuous at \(0\) (শুধু origin-এ)।

প্রমাণ:

\((1) \Rightarrow (2)\): ধরো \(x_n \to x\)। তাহলে

\[\lVert Tx_n - Tx \rVert = \lVert T(x_n - x) \rVert \leq M \lVert x_n - x \rVert \to 0\]

সুতরাং \(Tx_n \to Tx\), অর্থাৎ \(T\) continuous।

\((2) \Rightarrow (3)\): Trivial — সব জায়গায় continuous হলে origin-এও continuous।

\((3) \Rightarrow (1)\): ধরো \(T\) continuous at \(0\) কিন্তু bounded নয়। তাহলে প্রতিটি \(n\)-এর জন্য \(x_n\) আছে যেন \(\lVert Tx_n \rVert > n \lVert x_n \rVert\)। তাহলে \(z_n = \frac{x_n}{n \lVert x_n \rVert}\) নিলে:

\[\lVert z_n \rVert = \frac{1}{n} \to 0, \quad \text{কিন্তু} \quad \lVert Tz_n \rVert = \frac{\lVert Tx_n \rVert}{n \lVert x_n \rVert} > 1\]

অর্থাৎ \(z_n \to 0\) অথচ \(Tz_n \not\to 0 = T(0)\) — \(T\) origin-এ continuous নয়। Contradiction। \(\blacksquare\)

এটা কেন গুরুত্বপূর্ণ? সাধারণ ফাংশনের জন্য continuity এবং boundedness এক কথা নয়। কিন্তু linear map-এর ক্ষেত্রে এটা একই। তাই functional analysis-এ "bounded linear map" আর "continuous linear map" প্রায় সমার্থক।

Space \(B(X, Y)\) — Bounded Linear Map-দের Space

সংজ্ঞা: \(B(X, Y)\)

\(B(X, Y)\) (বা \(\mathcal{L}(X, Y)\)) হলো \(X\) থেকে \(Y\)-তে সমস্ত bounded linear map-এর সেট, operator norm \(\lVert \cdot \rVert\) দিয়ে।

উপপাদ্য: \(B(X, Y)\) নিজেই একটা normed vector space। বিশেষত: \(Y\) Banach হলে \(B(X, Y)\)-ও Banach।

এটা প্রমাণ করতে Cauchy sequence ধরো \(\{T_n\}\) in \(B(X, Y)\)। প্রতিটা \(x\)-এর জন্য \(\{T_n x\}\) Cauchy in \(Y\)। \(Y\) complete বলে সীমা \(Tx = \lim_{n\to\infty} T_n x\) আছে। এই \(T\) linear আর bounded — এবং \(T_n \to T\) in \(B(X, Y)\)। \(\blacksquare\)

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: Matrix on \(\mathbb{R}^n\) (পরিবদ্ধ operator)

\(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), \(T(x) = Ax\) (যেখানে \(A\) একটা \(m \times n\) matrix)।

  • Linearity: \(A(ax + by) = aAx + bAy\) — স্পষ্ট।
  • Boundedness: Cauchy-Schwarz ব্যবহার করে \(\lVert Ax \rVert \leq \lVert A \rVert_F \lVert x \rVert\) (Frobenius norm)।

Finite-dimensional space-এ সব linear map bounded — তাই সব linear map continuous। Infinite-dimensional-এ এটা সত্য নয়।

উদাহরণ ২: Integral Operator on \(C[0, 1]\)

\(K: C[0,1] \to C[0,1]\) সংজ্ঞায়িত:

\[Kf(t) = \int_0^1 k(t, s)\, f(s)\, ds\]

যেখানে \(k: [0,1]^2 \to \mathbb{R}\) continuous kernel।

  • Linearity: \(K(af + bg)(t) = \int_0^1 k(t,s)(af(s)+bg(s))\,ds = a\cdot Kf(t) + b\cdot Kg(t)\) ✓
  • Boundedness: \(\sup\)-norm ব্যবহার করে:
\[\lVert Kf \rVert_\infty \leq \left(\sup_{t} \int_0^1 \lvert k(t,s) \rvert \, ds\right) \lVert f \rVert_\infty =: M \lVert f \rVert_\infty\]

সুতরাং \(\lVert K \rVert \leq M\)।

উদাহরণ ৩: Right Shift Operator on \(\ell^2\)

\(S: \ell^2 \to \ell^2\) সংজ্ঞায়িত: \(S(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (0, x_1, x_2, x_3, \ldots)\)।

  • Linearity: তাৎক্ষণিক।
  • Boundedness: \(\lVert Sx \rVert^2 = 0 + x_1^2 + x_2^2 + \cdots = \lVert x \rVert^2\), তাই \(\lVert S \rVert = 1\)।

\(S\) আসলে একটা isometry (\(\lVert Sx \rVert = \lVert x \rVert\)) — দূরত্ব অক্ষুণ্ণ রাখে।

উদাহরণ ৪: Differentiation — UNBOUNDED Operator

alt

চিত্র ৫: \(D = d/dt\) unbounded-এর উদাহরণ। বাঁয়ে: \(f_n(t) = \sin(n\pi t)/n\) — এর sup-norm \(1/n \to 0\)। ডানে: \(Df_n(t) = \pi \cos(n\pi t)\) — এর sup-norm \(\pi\), কখনো ছোট হয় না। Ratio \(\lVert Df_n \rVert / \lVert f_n \rVert = n\pi \to \infty\) — তাই \(D\) bounded নয়।

\(D: C^1[0,1] \to C[0,1]\), \(Df = f'\) নিই।

\(f_n(t) = \frac{\sin(n\pi t)}{n}\) ধরো। তাহলে:

\[\lVert f_n \rVert_\infty = \frac{1}{n} \to 0, \quad \lVert Df_n \rVert_\infty = \lVert \pi \cos(n\pi t) \rVert_\infty = \pi\]

সুতরাং:

\[\frac{\lVert Df_n \rVert}{\lVert f_n \rVert} = \frac{\pi}{1/n} = n\pi \to \infty\]

এই ratio-এর supremum \(= \infty\), তাই \(\lVert D \rVert = \infty\) — \(D\) bounded নয়, তাই continuous নয়।

Analogy: একটা rubber band-কে খুব দ্রুত oscillate করালে derivative বড় হয়ে যায়, যদিও function নিজে ছোট থাকে। Differentiation "oscillation"-কে amplify করে।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

  1. Finite-dim থেকে infinite-dim-এ সাধারণীকরণ। \(\mathbb{R}^n\)-এ সব linear map bounded — কিন্তু \(C[0,1]\) বা \(\ell^2\)-তে এটা সত্য নয়। Differentiation operator মনে রাখো।

  2. Operator norm-কে সর্বোচ্চ eigenvalue ভাবা। \(\lVert T \rVert\) সব direction-এ সর্বোচ্চ stretch — eigenvalue শুধু নির্দিষ্ট direction-এ। Symmetric matrix-এ মিলে, সাধারণত মেলে না।

  3. \(\lVert Tx \rVert \leq \lVert T \rVert \lVert x \rVert\)-কে ভুলে যাওয়া। এই inequality সবসময় ব্যবহার করা হয়। ড্রাফটে এটাই boundedness-এর ব্যবহারিক রূপ।

  4. Bounded operator মানে bounded range ভাবা। \(T\) bounded মানে শুধু norm-ratio bounded, range-এর সেট bounded নয় (যেমন shift operator সব \(\ell^2\)-তে যায়)।

  5. \(B(X, Y)\) complete ভুলে যাওয়া। \(Y\) Banach হলে \(B(X, Y)\) Banach — এটা পরে dual space, Hahn–Banach-এ কাজে লাগবে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

  1. \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(T(x_1, x_2) = (2x_1 + x_2,\; x_1 - x_2)\)। দেখাও \(T\) linear এবং \(\lVert T \rVert\) খোঁজো (sup-norm বা Euclidean norm ব্যবহার করো)।

  2. \(T: \ell^1 \to \ell^1\) সংজ্ঞায়িত: \(T(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_1, x_2/2, x_3/3, \ldots)\)। দেখাও \(T\) bounded এবং \(\lVert T \rVert = 1\)।

  3. \(T: C[0,1] \to \mathbb{R}\), \(Tf = f(1/2)\) (evaluation at \(1/2\))। দেখাও \(T\) linear ও bounded; \(\lVert T \rVert\) খোঁজো।

  4. Left shift operator \(L: \ell^2 \to \ell^2\): \(L(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_2, x_3, x_4, \ldots)\)। \(L\) কি isometry? \(\lVert L \rVert\) কত?

  5. ধরো \(T: X \to Y\) ও \(S: Y \to Z\) উভয়ই bounded linear। দেখাও \(S \circ T\) bounded linear এবং \(\lVert S \circ T \rVert \leq \lVert S \rVert \lVert T \rVert\)।

  6. \(T: C^1[0,1] \to C[0,1]\), \(Tf = tf'\) (multiplication by \(t\) after differentiation)। \(T\) কি bounded? (\(C^1[0,1]\)-এ norm হিসেবে \(\lVert f \rVert = \lVert f \rVert_\infty + \lVert f' \rVert_\infty\) ব্যবহার করো।)

  7. (চ্যালেঞ্জ) যদি \(T: X \to Y\) linear এবং \(\dim X < \infty\), দেখাও \(T\) সবসময় bounded।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

Linearity: \(T(ax + by) = (2(ax_1 + by_1) + (ax_2 + by_2),\; (ax_1+by_1) - (ax_2+by_2))\) \(= a(2x_1+x_2, x_1-x_2) + b(2y_1+y_2, y_1-y_2) = aT(x) + bT(y)\)। ✓

Operator norm (Euclidean): Matrix হলো \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}\)।

\(\lVert T \rVert = \lVert A \rVert_2 = \sigma_{\max}(A)\) (largest singular value)।

\(A^T A = \begin{pmatrix}5&1\\1&2\end{pmatrix}\)। Eigenvalues: \(\lambda^2 - 7\lambda + 9 = 0\), \(\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}\)।

\(\lVert T \rVert = \sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} \approx \sqrt{5.30} \approx 2.30\)।

২-নং সমাধান দেখাও

Linearity: Component-wise স্পষ্ট।

Boundedness: \(\lVert Tx \rVert_1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{\lvert x_k \rvert}{k} \leq \sum_{k=1}^\infty \lvert x_k \rvert = \lVert x \rVert_1\)।

সুতরাং \(\lVert T \rVert \leq 1\)।

Tight: \(e_1 = (1, 0, 0, \ldots)\) নিলে \(Te_1 = e_1\), তাই \(\lVert Te_1 \rVert / \lVert e_1 \rVert = 1\)।

অতএব \(\lVert T \rVert = 1\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

Linearity: \(T(af+bg) = (af+bg)(1/2) = af(1/2)+bg(1/2) = aTf + bTg\)। ✓

Boundedness: \(\lvert Tf \rvert = \lvert f(1/2) \rvert \leq \sup_{t \in [0,1]} \lvert f(t) \rvert = \lVert f \rVert_\infty\)।

সুতরাং \(\lVert T \rVert \leq 1\)। Tight: constant \(f \equiv 1\) নিলে \(\lVert f \rVert_\infty = 1\) এবং \(Tf = 1\)। তাই \(\lVert T \rVert = 1\)।

৪-নং সমাধান দেখাও

Linearity: স্পষ্ট।

\(\lVert L \rVert\): \(\lVert Lx \rVert^2 = x_2^2 + x_3^2 + \cdots \leq x_1^2 + x_2^2 + \cdots = \lVert x \rVert^2\)।

সুতরাং \(\lVert L \rVert \leq 1\)। \(e_2 = (0,1,0,\ldots)\) নিলে \(Le_2 = e_1\), তাই ratio = 1। \(\lVert L \rVert = 1\)।

Isometry? না। \(e_1 = (1,0,0,\ldots)\) ধরো: \(\lVert Le_1 \rVert = \lVert (0,0,\ldots) \rVert = 0 \neq 1 = \lVert e_1 \rVert\)।

\(L\) isometry নয় — right shift \(S\) হলো isometry (\(\lVert Sx \rVert = \lVert x \rVert\)), কিন্তু left shift information "ফেলে" দেয়।

৫-নং সমাধান দেখাও

Linearity: \((ST)(ax+by) = S(T(ax+by)) = S(aTx+bTy) = aSTx + bSTy\)। ✓

Boundedness: \(\lVert (ST)x \rVert_Z = \lVert S(Tx) \rVert_Z \leq \lVert S \rVert \lVert Tx \rVert_Y \leq \lVert S \rVert \lVert T \rVert \lVert x \rVert_X\)।

সুতরাং \(\lVert ST \rVert \leq \lVert S \rVert \lVert T \rVert\)। ✓

এই inequality-কে submultiplicativity বলে — \(B(X)\) কে একটা Banach algebra বানায়।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\lVert f \rVert = \lVert f \rVert_\infty + \lVert f' \rVert_\infty\) norm ব্যবহার করা হচ্ছে।

\(\lVert Tf \rVert_\infty = \lVert tf'(t) \rVert_\infty \leq 1 \cdot \lVert f' \rVert_\infty \leq \lVert f \rVert_\infty + \lVert f' \rVert_\infty = \lVert f \rVert\)।

সুতরাং \(\lVert T \rVert \leq 1\) — \(T\) bounded। ✓

(তুলনা করো: যদি শুধু sup-norm \(\lVert f \rVert_\infty\) ব্যবহার করতাম, তাহলে \(\lVert tf' \rVert_\infty \leq \lVert f' \rVert_\infty\) কিন্তু \(f'\)-এর norm-control নেই — \(T\) unbounded হত।)

৭-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(\{e_1, \ldots, e_n\}\) \(X\)-এর একটা basis।

\(x = \sum_{k=1}^n a_k e_k\) ধরো। তাহলে \(Tx = \sum_{k=1}^n a_k Te_k\)।

\(\lVert Tx \rVert \leq \sum_{k=1}^n \lvert a_k \rvert \lVert Te_k \rVert \leq \max_k \lVert Te_k \rVert \cdot \sum_k \lvert a_k \rvert\)।

Finite-dim-এ সব norm equivalent, তাই \(\sum \lvert a_k \rvert \leq C \lVert x \rVert\) কোনো constant \(C\) দিয়ে।

সুতরাং \(\lVert Tx \rVert \leq C \cdot \max_k \lVert Te_k \rVert \cdot \lVert x \rVert = M \lVert x \rVert\)।

\(T\) bounded। \(\blacksquare\)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

  • [ ] Linear map \(T(ax+by)=aTx+bTy\) — সংজ্ঞা ও তাৎক্ষণিক ফলাফল (T(0)=0, ইত্যাদি) বলতে পারি।
  • [ ] Bounded linear map: \(\lVert Tx \rVert \leq M \lVert x \rVert\) — সংজ্ঞা ও geometric অর্থ (unit ball ↦ ball of radius \(\lVert T \rVert\)) বুঝেছি।
  • [ ] Operator norm \(\lVert T \rVert = \sup_{\lVert x \rVert=1} \lVert Tx \rVert\) — তিনটো সমতুল্য সংজ্ঞা লিখতে পারি।
  • [ ] মূল উপপাদ্য: Linear map bounded ⟺ continuous ⟺ continuous at 0 — তিনটো দিকই প্রমাণ করতে পারি।
  • [ ] \(B(X,Y)\): সব bounded linear map-এর space; \(Y\) Banach হলে \(B(X,Y)\)ও Banach।
  • [ ] Matrix ও integral operator bounded, কিন্তু differentiation (\(d/dt\)) \(C^\infty\)-এ unbounded — উদাহরণ দিতে পারি।
  • [ ] \(\lVert ST \rVert \leq \lVert S \rVert \lVert T \rVert\) (submultiplicativity)।

➡️ পরের অধ্যায়: 4.4 — Linear Functional ও Dual Space — যখন codomain \(Y = \mathbb{R}\) (বা \(\mathbb{C}\)), তখন bounded linear map-কে বলে linear functional — এবং তাদের সমস্ত সংগ্রহ তৈরি করে dual space \(X^*\), যা functional analysis-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কাঠামোগুলোর একটা।