2.8 — Arzelà–Ascoli Theorem¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: \(C[a,b]\) space সম্পর্কে জানব (sup metric সহ); pointwise boundedness (বিন্দুভিত্তিক সীমাবদ্ধতা) এবং uniform boundedness (সমান সীমাবদ্ধতা)-র পার্থক্য; equicontinuity (সমঅবিচ্ছিন্নতা) কী এবং কেন দরকার; Arzelà–Ascoli theorem-এর সম্পূর্ণ বিবৃতি ও প্রমাণ-রূপরেখা; এবং কেন এই theorem ODE, PDE ও functional analysis-এর জন্য অপরিহার্য।

উৎস (source): Arzelà ও Ascoli।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আগের অধ্যায়ে দেখলাম: \(\mathbb{R}^n\)-এ "closed + bounded" মানেই compact। কিন্তু function-দের space-এ এই সরল নিয়ম ভেঙে পড়ে।

ধরো \(C[0,1]\) — \([0,1]\)-এ সব continuous function-এর সেট। এখানে \(f_n(x) = \sin(n\pi x)\) নাও। তাহলে:

প্রতিটা \(\|f_n\|_\infty = 1\) — তাই "bounded" (সীমাবদ্ধ)।
এই sequence-এর কোনো uniformly convergent subsequence নেই!

তার মানে \(C[0,1]\)-এ শুধু bounded হওয়া compact হওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়। তাহলে কী লাগবে?

উত্তর দিলেন দুজন Italian গণিতবিদ: Giulio Ascoli (১৮৮৩) এবং Cesare Arzelà (১৮৯৫)। তাঁরা দেখালেন function-দের একটা পরিবার \(C[a,b]\)-এ compact হতে হলে শুধু "bounded" না হয়ে equicontinuous (সমঅবিচ্ছিন্ন) ও হতে হবে।

এই theorem ছাড়া আধুনিক analysis কার্যত অচল:

ODE (সাধারণ অবকল সমীকরণ) existence: Peano theorem-এর প্রমাণ Arzelà–Ascoli ব্যবহার করে।
PDE (আংশিক অবকল সমীকরণ): Schauder fixed-point theorem-এ ব্যবহার।
Functional analysis: কোনো operator compact কিনা তা বুঝতে।
Numerical methods: approximate solution-এর convergence প্রমাণ।

মূল স্বজ্ঞা

\(C[a,b]\)-এ compact হওয়ার জন্য চাই: (১) function-গুলো সীমাবদ্ধ থাকুক, এবং (২) কোথাও হঠাৎ লাফ না দিক — পুরো পরিবার জুড়ে "smoothness"-এর একটা uniform নিয়ন্ত্রণ থাকুক।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

\(C[a,b]\) Space এবং Sup Metric¶

\(C[a,b]\) হলো \([a,b]\)-এ সব continuous function \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\)-এর সেট। এখানে metric হিসেবে আমরা ব্যবহার করি sup metric (supremum norm):

\[d_\infty(f, g) = \|f - g\|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|\]

স্বজ্ঞা: দুটো function-এর "দূরত্ব" হলো তাদের গ্রাফ-এর সর্বোচ্চ উল্লম্ব ব্যবধান। \(d_\infty(f, g) < \varepsilon\) মানে দুটো গ্রাফ একটা \(\varepsilon\)-চওড়া "করিডোর"-এ একসাথে আছে।

এই metric-এ convergence হলো uniform convergence (সুষম অভিসরণ) — এটাই এখানে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

Sup-metric distance between two functions: maximum vertical gap চিত্র ১ (আপডেট): Sup-metric \(d_\infty(f,g) = \sup_x |f(x)-g(x)|\) — দুটো function-এর মধ্যে সর্বোচ্চ উল্লম্ব ব্যবধান। লাল double-headed arrow দেখাচ্ছে কোথায় gap সবচেয়ে বড় — এটাই তাদের "দূরত্ব।" ছোট vertical bar-গুলো অন্য বিন্দুর gap দেখাচ্ছে।

Pointwise vs Uniform Boundedness¶

একটা function পরিবার \(\mathcal{F} \subseteq C[a,b]\) নিই।

Pointwise bounded (বিন্দুভিত্তিক সীমাবদ্ধ): প্রতিটা \(x \in [a,b]\)-এর জন্য \(\sup_{f \in \mathcal{F}} |f(x)| < \infty\)। (Bound টা \(x\)-এর উপর নির্ভর করতে পারে।)
Uniformly bounded (সমভাবে সীমাবদ্ধ): এমন একটা \(M > 0\) আছে যেন \(|f(x)| \leq M\) সব \(f \in \mathcal{F}\) ও সব \(x \in [a,b]\)-এর জন্য।

অর্থাৎ: uniform boundedness মানে পুরো পরিবারের জন্য একটাই bound কাজ করে।

Uniformly bounded family: all curves inside the band [-M, M] চিত্র ২: Uniformly bounded পরিবার — সব function-এর graph একটা অনুভূমিক band \([-M, M]\)-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ। একটাই ধ্রুবক \(M\) পুরো পরিবারকে নিয়ন্ত্রণ করে।

Equicontinuity (সমঅবিচ্ছিন্নতা) — মূল ধারণা¶

একটা পরিবার \(\mathcal{F}\) equicontinuous হওয়ার অর্থ হলো: যেকোনো ছোট্ট \(\varepsilon\)-এর জন্য একটাই \(\delta\) বেছে নিলে পুরো পরিবারের সব function-ই সেই \(\delta\)-শর্ত মানে।

সংজ্ঞা: Equicontinuity

\(\mathcal{F} \subseteq C[a,b]\) equicontinuous (সমঅবিচ্ছিন্ন) যদি:

\[\forall\, \varepsilon > 0,\; \exists\, \delta > 0 \;\text{ যেন }\; \forall\, f \in \mathcal{F},\; \forall\, x, y \in [a,b]:\]

\[|x - y| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - f(y)| < \varepsilon\]

পার্থক্য লক্ষ করো:

Uniform continuity (সুষম অবিচ্ছিন্নতা) একটা একক function-এর জন্য: একটা \(\delta\) পুরো domain-এ কাজ করে।
Equicontinuity একটা পরিবার-এর জন্য: একটাই \(\delta\) পরিবারের সব function-এর জন্য একযোগে কাজ করে।

Equicontinuous family: shared delta-epsilon box at each point works for all curves চিত্র ৩: Equicontinuity — দুটো ভিন্ন বিন্দুতে (\(x_0 = 0.3\) এবং \(x_0 = 0.7\)) একই \((\delta, \varepsilon)\)-box পরিবারের সব curve-কে ধারণ করে। এটাই "shared \(\delta\)"-এর অর্থ।

উদাহরণ: \(\mathcal{F} = \{f_n\}\) যেখানে \(f_n(x) = x + \frac{1}{n}\)। এখানে \(|f_n(x) - f_n(y)| = |x - y|\) — পুরোপুরি Lipschitz constant \(1\) দিয়ে সীমাবদ্ধ। \(\delta = \varepsilon\) পুরো পরিবারের জন্য কাজ করে — equicontinuous।

Counter-example: \(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\)। \(n\) বাড়লে \(f_n\) ক্রমশ \(x=1\)-এর কাছে স্টিপ হয়ে যায়। \(x=1\)-এর কাছে equicontinuity ভেঙে পড়ে — কোনো একটা \(\delta\) সব \(n\)-এর জন্য কাজ করে না।

Not equicontinuous: x^n gets steeper near x=1 চিত্র ৪: \(f_n(x) = x^n\) — equicontinuous নয়। বাঁয়ে দেখা যাচ্ছে \(n\) বাড়ার সাথে \(x=1\)-এর কাছে slope বাড়ছে। ডানে zoom করলে স্পষ্ট: একই \(\delta\)-window-এ ভিন্ন \(n\)-এর জন্য \(\varepsilon\) আলাদা — কোনো uniform \(\delta\) নেই।

Equicontinuous vs non-equicontinuous families চিত্র ১: বাঁয়ে — একটা equicontinuous পরিবার: সব curve মসৃণ, যেকোনো বিন্দুতে একই \(\delta\)-window কাজ করে (সবুজ শেডিং)। ডানে — \(f_n(x) = x^n\): \(x=1\)-এর কাছে ক্রমশ steeper — কোনো uniform \(\delta\) সম্ভব নয়; pointwise limit ভিন্ন (discontinuous)।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা পুনরায়¶

সংজ্ঞা: Relatively Compact

একটা সেট \(\mathcal{F} \subseteq X\) relatively compact (অপেক্ষাকৃত সংবদ্ধ) যদি এর closure \(\overline{\mathcal{F}}\) compact হয়।

সমতুল্যভাবে (metric space-এ): \(\mathcal{F}\)-এর যেকোনো sequence-এর একটা convergent subsequence \(X\)-এ আছে (limit \(\mathcal{F}\)-এ নাও থাকতে পারে, কিন্তু \(X\)-এ থাকতে হবে)।

Arzelà–Ascoli Theorem¶

Arzelà–Ascoli Theorem

\((C[a,b],\, d_\infty)\) space-এ একটা পরিবার \(\mathcal{F}\) relatively compact যদি এবং কেবল যদি:

(i) \(\mathcal{F}\) uniformly bounded: \(\exists\, M > 0\) যেন \(|f(x)| \leq M\) সব \(f \in \mathcal{F}\), সব \(x \in [a,b]\)-এর জন্য।

(ii) \(\mathcal{F}\) equicontinuous: \(\forall\, \varepsilon > 0,\; \exists\, \delta > 0\) যেন সব \(f \in \mathcal{F}\) ও সব \(x,y \in [a,b]\)-এর জন্য \(|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)।

ইতিহাস: Giulio Ascoli ১৮৮৩ সালে ফলটা প্রথম প্রমাণ করেন (শুধু sequence-এর ভাষায়)। Cesare Arzelà ১৮৯৫ সালে আরও সাধারণ রূপ দেন। তাঁদের যৌথ নামে এই theorem।

প্রমাণ-রূপরেখা¶

⟸ দিক (uniformly bounded + equicontinuous ⟹ relatively compact):

এটাই কঠিন এবং গুরুত্বপূর্ণ দিক।

ধাপ ১ (Diagonal argument): \(\mathbb{Q} \cap [a,b]\)-এর একটা countable dense sequence \(\{q_1, q_2, \ldots\}\) নাও (যেমন সব rational number গুলো list করো)।

\(\mathcal{F}\) থেকে যেকোনো sequence \((f_n)\) নাও।

\((f_n(q_1))\) uniformly bounded, তাই Bolzano–Weierstrass-এ একটা convergent subsequence \(f_{n_k^{(1)}}\) আছে।
\((f_{n_k^{(1)}}(q_2))\) আবার bounded, তাই আরেকটা convergent subsequence।
Diagonal: \(g_n = f_{n_n^{(n)}}\) নাও — এটা প্রতিটা \(q_i\)-তে converge করে।

ধাপ ২ (Uniform convergence): Equicontinuity ব্যবহার করে দেখাও যে \(g_n\) পুরো \([a,b]\)-এ uniformly converge করে।

যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য equicontinuity থেকে \(\delta\) নাও। \([a,b]\)-কে \(\delta\)-এর চেয়ে ছোট ব্যবধানে ভেটো \(q_1, \ldots, q_m\) দিয়ে cover করো। তাহলে যেকোনো \(x \in [a,b]\)-এর কাছে কোনো \(q_i\) আছে। ত্রিভুজ অসমতায়:

\[|g_n(x) - g_m(x)| \leq |g_n(x) - g_n(q_i)| + |g_n(q_i) - g_m(q_i)| + |g_m(q_i) - g_m(x)|\]

প্রথম ও তৃতীয় term \(< \varepsilon\) (equicontinuity); মাঝের term \(< \varepsilon\) (\(q_i\)-তে pointwise convergence)। সুতরাং \(\|g_n - g_m\|_\infty < 3\varepsilon\) বড় \(n,m\)-এর জন্য — Cauchy, তাই convergent in \(C[a,b]\)।

⟹ দিক (relatively compact ⟹ uniformly bounded + equicontinuous):

Relatively compact হলে \(\overline{\mathcal{F}}\) compact, তাই bounded — সহজেই uniform bound পাওয়া যায়।

Equicontinuity: যদি না হতো, তাহলে এমন sequence বানানো যেত যার কোনো uniformly convergent subsequence থাকত না — relatively compact-এর সংজ্ঞার সাথে contradiction।

EVT এবং ODE-তে প্রয়োগ¶

EVT generalization: \(\mathcal{F} \subseteq C[a,b]\) equicontinuous ও uniformly bounded হলে \(\mathcal{F}\) relatively compact, অর্থাৎ \(\mathcal{F}\)-এর যেকোনো sequence থেকে uniformly convergent subsequence বের করা যায়।

Peano's Existence Theorem (স্কেচ): \(y' = f(x, y)\), \(y(x_0) = y_0\) ODE সমীকরণে \(f\) continuous হলে solution আছে। প্রমাণ: Euler's method-এ approximate solutions বানাও — এরা uniformly bounded ও equicontinuous (কারণ \(f\) bounded ও continuous)। Arzelà–Ascoli-তে একটা convergent subsequence পাও, যার limit হলো actual solution।

A sequence of functions with a uniformly convergent subsequence চিত্র ৫: Arzelà–Ascoli সক্রিয় — \(f_n(x) = e^{-x} + \frac{\sin(nx)}{n}\) পরিবার bounded ও equicontinuous। বাঁয়ে পুরো পরিবার; ডানে একটা subsequence (নির্বাচিত \(n_k\)) uniformly \(e^{-x}\)-এ converge করছে, sup-metric দূরত্ব ক্রমশ শূন্যের দিকে যাচ্ছে।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: "দলগত শৃঙ্খলা"¶

কল্পনা করো একদল নৃত্যশিল্পী মঞ্চে একযোগে নাচছেন। প্রতিটা শিল্পী নিজেই "continuous" — হঠাৎ লাফ দেন না। কিন্তু equicontinuity মানে পুরো দলের শৃঙ্খলা: একটা beat-এর মধ্যে কতটুকু সরা যাবে — সেই সীমা সবার জন্য একই।

যদি একজন শিল্পী আস্তে নাচেন আর আরেকজন ঝড়ের বেগে — তাহলে দলটা equicontinuous নয়।

Worked Example: Uniformly Bounded + Equicontinuous পরিবার¶

ধরো \(\mathcal{F} = \{f_c : c \in [0, 1]\}\) যেখানে \(f_c(x) = c \cdot \sin(x)\) on \([0, 2\pi]\)।

Uniformly bounded: \(|f_c(x)| = |c||\sin(x)| \leq 1 \cdot 1 = 1\) — সুতরাং \(M = 1\)।
Equicontinuous: \(|f_c(x) - f_c(y)| = |c||\sin(x) - \sin(y)| \leq |\sin(x) - \sin(y)| \leq |x - y|\) (mean value theorem)। তাই \(\delta = \varepsilon\) পুরো পরিবারের জন্য কাজ করে।
Conclusion: Arzelà–Ascoli-তে \(\mathcal{F}\) relatively compact।

Worked Example: Equicontinuous নয়¶

\(\mathcal{F} = \{f_n : f_n(x) = nx\cdot e^{-nx}\}\) on \([0,1]\)।

\(f_n(0) = 0\) সবসময়।
\(f_n'(x) = n(1-nx)e^{-nx}\), \(f_n'(0) = n\) — derivative at \(0\) অসীম হয়ে যাচ্ছে।
\(n \to \infty\) হলে \(|f_n(0) - f_n(1/n)| = f_n(1/n) = 1/e \approx 0.37\) — কিন্তু \(|0 - 1/n| \to 0\)।
সুতরাং কোনো fixed \(\delta\)-তে \(\varepsilon = 0.1\)-এর নিচে রাখা অসম্ভব — not equicontinuous।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"Pointwise bounded হলেই uniformly bounded" ভাবা। প্রতিটা বিন্দুতে bound থাকলেই পুরো পরিবারে uniform bound নেই। উদাহরণ: \(f_n(x) = nx\) on \([0,1]\): \(f_n(x) \to \infty\) হলে পরিবার uniform bound নেই।
Equicontinuity আর uniform continuity গুলিয়ে ফেলা। Uniform continuity একটা function-এর ধর্ম। Equicontinuity পুরো পরিবারের ধর্ম — অনেক বেশি শক্তিশালী।
"\(C[a,b]\)-এ bounded ⟹ relatively compact" ভাবা। এটা ভুল — \(\sin(nx)\) bounded কিন্তু relatively compact নয়।
Arzelà–Ascoli শুধু \(C[0,1]\)-এ সীমাবদ্ধ মনে করা। এটা আসলে অনেক সাধারণীকরণ আছে: \(C(K, Y)\) যেখানে \(K\) compact metric space ও \(Y\) complete metric space।
Diagonal argument-এর ভূমিকা ভুলে যাওয়া। Countable dense subset থেকে diagonal subsequence বের করার কৌশলটা প্রমাণের হৃদয় — এটা বাদ দিলে প্রমাণ অসম্পূর্ণ।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

নিচের প্রতিটা পরিবার \(C[0,1]\)-এ equicontinuous কিনা বলো: (ক) \(\{f_n : f_n(x) = \frac{x}{n}\}\) (খ) \(\{f_n : f_n(x) = x^n\}\) (গ) \(\{f_c : f_c(x) = cx^2,\; c \in [-1,1]\}\)।
দেখাও যে Lipschitz constant \(L\)-সহ Lipschitz function-দের পরিবার equicontinuous।
\(\mathcal{F} = \{f_n\}\) যেখানে \(f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}\) on \([0, 2\pi]\)। এই পরিবার uniformly bounded ও equicontinuous কিনা যাচাই করো। তারপর Arzelà–Ascoli apply করো।
ব্যাখ্যা করো কেন \(\{x^n\}_{n=1}^\infty\) in \(C[0,1]\) relatively compact নয়। এই পরিবারের কোনো uniformly convergent subsequence কি আছে?
ধরো \(\mathcal{F} = \{f : [0,1] \to \mathbb{R} : |f(x)| \leq 1 \text{ এবং } |f'(x)| \leq 5 \text{ সব } x\text{-এর জন্য}\}\)। দেখাও \(\mathcal{F}\) relatively compact in \(C[0,1]\)।
Peano's theorem-এর স্কেচে Euler approximations কেন equicontinuous? \(y' = f(x,y)\), \(f\) bounded by \(M\) — mean value theorem দিয়ে argument দাও।
চ্যালেঞ্জ: দেখাও \((C[a,b], d_\infty)\) complete (অর্থাৎ Cauchy sequence সবসময় \(C[a,b]\)-এ converge করে)।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

(ক) \(f_n(x) = x/n\): \(|f_n(x) - f_n(y)| = |x-y|/n \leq |x-y|\)। তাই \(\delta = \varepsilon\) সব \(n\)-এর জন্য কাজ করে — equicontinuous।

(খ) \(f_n(x) = x^n\): \(x=1\)-এর কাছে derivative \(nx^{n-1} \to \infty\)। নির্দিষ্ট \(\delta\)-তে \(|f_n(1-\delta/2) - f_n(1)| = 1 - (1-\delta/2)^n\) যা \(n \to \infty\)-তে \(1\)-এর কাছে যায়। কোনো uniform \(\delta\) নেই — equicontinuous নয়।

(গ) \(f_c(x) = cx^2\), \(c \in [-1,1]\): \(|f_c(x) - f_c(y)| = |c||x^2-y^2| = |c||x+y||x-y| \leq 2|x-y|\) (কারণ \(|x|, |y| \leq 1\))। তাই \(\delta = \varepsilon/2\) সব \(c\)-এর জন্য কাজ করে — equicontinuous।

২-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(\mathcal{F}\) হলো সব function \(f\) যারা Lipschitz constant \(L\) মানে: \(|f(x) - f(y)| \leq L|x-y|\) সব \(x, y\)-এর জন্য।

যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য \(\delta = \varepsilon/L\) নাও। তাহলে \(|x-y| < \delta\) হলে:

\[|f(x) - f(y)| \leq L|x-y| < L \cdot \frac{\varepsilon}{L} = \varepsilon\]

এই \(\delta\) পরিবারের সব function-এর জন্য কাজ করে (Lipschitz constant সবার জন্য \(L\))। সুতরাং \(\mathcal{F}\) equicontinuous।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}\)।

Uniformly bounded: \(|f_n(x)| = \frac{|\sin(nx)|}{n} \leq \frac{1}{n} \leq 1\) — সুতরাং \(M = 1\)। ✓

Equicontinuous: \(|f_n(x) - f_n(y)| = \frac{|\sin(nx) - \sin(ny)|}{n}\)। Mean value theorem: \(|\sin(nx) - \sin(ny)| \leq n|x-y|\) (derivative = \(n\cos(n\xi) \leq n\))। তাই \(|f_n(x) - f_n(y)| \leq |x-y|\)। \(\delta = \varepsilon\) সব \(n\)-এর জন্য কাজ করে — equicontinuous। ✓

Arzelà–Ascoli: দুটো শর্তই পূরণ, তাই \(\{f_n\}\) relatively compact in \(C[0,2\pi]\)। অর্থাৎ একটা uniformly convergent subsequence আছে। (আসলে \(f_n \to 0\) uniformly — একটু ভাবলেই বোঝা যায়।)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\)।

Pointwise limit: \(\lim_{n\to\infty} x^n = 0\) if \(x < 1\), কিন্তু \(= 1\) if \(x = 1\)। তাই pointwise limit discontinuous।

No uniform convergence: Uniform limit of continuous functions must be continuous। কিন্তু pointwise limit এখানে discontinuous, তাই কোনো uniformly convergent subsequence নেই (যা \([0,1]\)-এ কোনো continuous function-এ converge করে)।

Not relatively compact: Relatively compact হলে প্রতিটা sequence-এর একটা uniformly convergent subsequence থাকত। কিন্তু \(\{x^n\}\)-এর কোনো uniformly convergent subsequence নেই। তাই relatively compact নয়।

(Arzelà–Ascoli দিয়েও দেখা যায়: equicontinuous নয়, তাই relatively compact নয়।)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\mathcal{F} = \{f : |f(x)| \leq 1,\; |f'(x)| \leq 5\}\)।

Uniformly bounded: \(|f(x)| \leq 1\) সবার জন্য — \(M = 1\)। ✓

Equicontinuous: Mean value theorem: \(|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)||x-y| \leq 5|x-y|\) কোনো \(\xi\)-এর জন্য। সুতরাং \(\delta = \varepsilon/5\) সব \(f \in \mathcal{F}\)-এর জন্য কাজ করে। ✓

Conclusion: Arzelà–Ascoli-তে \(\mathcal{F}\) relatively compact in \(C[0,1]\)।

৬-নং সমাধান দেখাও

Euler approximation \(y_h\): ধরো step size \(h\), \(y'(x) = f(x, y(x))\), \(|f| \leq M\)।

Euler step: \(y_h(x+h) - y_h(x) = h \cdot f(x, y_h(x))\)।

যেকোনো \(x_1, x_2 \in [a,b]\)-এর জন্য (\(|x_1 - x_2| < \delta\)):

\[|y_h(x_1) - y_h(x_2)| \leq M \cdot |x_1 - x_2|\]

(Lipschitz with constant \(M\), কারণ Euler slope \(|f| \leq M\)।)

তাই \(\delta = \varepsilon/M\) নিলে পুরো Euler family equicontinuous। আর \(y_h\) bounded কারণ initial condition bounded এবং slope bounded। Arzelà–Ascoli-তে convergent subsequence পাওয়া যায় — এটাই Peano theorem-এর মূল।

৭-নং সমাধান দেখাও

ধরো \((f_n)\) একটা Cauchy sequence in \((C[a,b], d_\infty)\): \(\|f_n - f_m\|_\infty \to 0\)।

Pointwise convergence: প্রতিটা \(x \in [a,b]\)-এর জন্য \(|f_n(x) - f_m(x)| \leq \|f_n - f_m\|_\infty \to 0\)। তাই \((f_n(x))\) Cauchy in \(\mathbb{R}\), তাই convergent। Define \(f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)\)।

Uniform convergence: \(\varepsilon > 0\) দাও। \(N\) নাও যেন \(n,m \geq N\) হলে \(\|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon/2\)। তাহলে যেকোনো \(x\)-এর জন্য:

\[|f_n(x) - f(x)| = \lim_{m\to\infty}|f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon/2 < \varepsilon\]

সুতরাং \(\|f_n - f\|_\infty \leq \varepsilon/2 < \varepsilon\) সব \(n \geq N\)-এর জন্য — \(f_n \to f\) uniformly।

\(f\) continuous: Uniform limit of continuous functions is continuous (standard theorem)।

সুতরাং \(f \in C[a,b]\) এবং \(f_n \to f\) in \(d_\infty\) — \((C[a,b], d_\infty)\) complete। \(\square\)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] \(C[a,b]\) space এবং sup metric \(d_\infty\) সংজ্ঞা জানি।
[ ] Pointwise boundedness ও uniform boundedness-এর পার্থক্য বলতে পারি।
[ ] Equicontinuity সংজ্ঞা বলতে পারি এবং uniform continuity-র সাথে পার্থক্য জানি।
[ ] Arzelà–Ascoli Theorem বিবৃতি জানি: relatively compact ⟺ uniformly bounded + equicontinuous — এবং Arzelà ও Ascoli-র নাম মনে আছে।
[ ] Diagonal argument-এর মূল ধাপ বুঝি (countable dense subset + diagonal subsequence)।
[ ] \(\sin(nx)\) বা \(x^n\) পরিবার কেন relatively compact নয় ব্যাখ্যা করতে পারি।
[ ] Lipschitz family equicontinuous — এটা দেখাতে পারি।
[ ] Arzelà–Ascoli কোথায় লাগে (Peano theorem, ODE existence) বলতে পারি।
[ ] \((C[a,b], d_\infty)\) complete — প্রমাণ দিতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 2.9 — Separability ও Baire Category Theorem — separable space (গণনাযোগ্য ঘন উপসেট) কী; Baire category theorem কেন বলে "complete metric space-কে countably many nowhere-dense set দিয়ে ঢাকা যায় না"; এবং এর অবিশ্বাস্য applications।