3.4 — Measure ও তার ধর্ম

এই অধ্যায়ে কী শিখব: measure (পরিমাপ) কী, σ-algebra-র উপর countable additivity (গণনাযোগ্য যোজ্যতা) দিয়ে কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়; counting measure, Dirac measure, Lebesgue measure-এর মতো মূল উদাহরণ; monotonicity, countable subadditivity, continuity from below/above — এই ধর্মগুলোর স্বজ্ঞা ও প্রমাণ; এবং measure space (পরিমাপ স্পেস) ধারণাটার পূর্ণ ছবি।

উৎস (source): Lebesgue ও Carathéodory (measure)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়গুলোতে (3.1 – 3.3) আমরা outer measure (বাহ্যিক পরিমাপ) দেখলাম, Borel set ও σ-algebra বানালাম, measurable function (পরিমাপযোগ্য ফাংশন) চিনলাম। এখন প্রশ্ন হলো — এই "measure" জিনিসটার সংজ্ঞা আসলে কী, যেটা দিয়ে দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, আয়তন, এমনকি সম্ভাবনা (probability) — সব এক ছাদের নিচে আসে?

উত্তর হলো: একটাই শর্ত — countable additivity (গণনাযোগ্য যোজ্যতা)। আলাদা আলাদা টুকরোর পরিমাপ যোগ করলে পুরো জিনিসের পরিমাপ পাওয়া যায়। এই একটা শর্ত থেকেই বাকি সব সুন্দর ধর্ম বের হয়।

একটা দৈনন্দিন analogy: কাপড়ের দোকানে পাঁচটা আলাদা কাপড়ের টুকরোর দৈর্ঘ্য মাপলে, একসাথে জুড়লে মোট দৈর্ঘ্য হয় তাদের সমষ্টি — এটাই additivity। measure theory বলছে: যেকোনো "আকার"-ধারণা যদি এই নিয়ম মানে, তাহলে সব theorem-ই একবারে সব ক্ষেত্রে কাজ করবে।

এই অধ্যায়ের মূল বার্তা

Measure = "আকার"-এর abstraction। সংজ্ঞায় মাত্র দুটো শর্ত: (১) খালি সেটের measure শূন্য, (২) disjoint সেটের countable union-এর measure = তাদের measure-গুলোর যোগফল।

২. মূল ধারণা (Core idea)

ধরো তোমার কাছে একটা set \(X\) আছে, আর তাতে একটা σ-algebra (সিগমা-অ্যালজেব্রা) \(\mathcal{S}\) — অর্থাৎ একটা collection of "measurable" sets। এখন আমরা চাই প্রতিটা set \(E \in \mathcal{S}\)-কে একটা সংখ্যা দিতে — তার "আকার"।

স্বাভাবিক প্রত্যাশা:

• খালি set \(\emptyset\)-এর আকার \(0\)।
• দুটো disjoint (বিচ্ছিন্ন) set জোড়া লাগালে মোট আকার = দুটোর আকারের যোগফল।
• আরো generalize: গণনাযোগ্য অনেক (countably many) disjoint set জোড়া লাগালেও এই নিয়ম চলে।

এটাই measure-এর সংজ্ঞার মূল আইডিয়া।

চিত্র: Measure = দৈর্ঘ্য / ক্ষেত্রফল / সম্ভাবনা — একই ধারণা

চিত্র ১: তিনটা disjoint set \(E_1, E_2, E_3\)-এর আলাদা measure যোগ করলে union-এর measure পাওয়া যায়। ডানের bar chart দেখাচ্ছে \(\mu(E_1)+\mu(E_2)+\mu(E_3) = \mu(E_1 \sqcup E_2 \sqcup E_3)\) — অংশের পরিমাপের সমষ্টিই পুরো জিনিসের পরিমাপ।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Measure-এর সংজ্ঞা

সংজ্ঞা: Measure (পরিমাপ)

ধরো \(X\) একটা set এবং \(\mathcal{S}\) হলো \(X\)-এর উপর একটা σ-algebra। \((X, \mathcal{S})\)-এর উপর একটা measure হলো একটা ফাংশন \(\mu : \mathcal{S} \to [0, \infty]\) যেখানে:

1. \(\mu(\emptyset) = 0\)
2. যেকোনো disjoint sequence \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{S}\)-এর জন্য:

\(\mu\!\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k)\)

এই দ্বিতীয় শর্তটিকে বলে countable additivity (গণনাযোগ্য যোজ্যতা)।

লক্ষ করো: \(\mu\)-এর range হলো \([0, \infty]\) — অর্থাৎ measure \(\infty\) হতে পারে (যেমন গোটা real line-এর Lebesgue measure)।

Countable additivity থেকে finite additivity (সসীম যোজ্যতা) সরাসরি বের হয়: \(E_1, \ldots, E_n\) disjoint হলে

\[\mu(E_1 \cup \cdots \cup E_n) = \mu(E_1) + \cdots + \mu(E_n).\]

(বাকি terms-এ \(\emptyset\) বসাও, \(\mu(\emptyset) = 0\) ব্যবহার করো।)

চিত্র: Countable additivity: disjoint টুকরোর measure যোগ = সমগ্র

Measure Space (পরিমাপ স্পেস)

সংজ্ঞা: Measure Space

একটা measure space হলো একটা ordered triple \((X, \mathcal{S}, \mu)\), যেখানে:

• \(X\) = যেকোনো set
• \(\mathcal{S}\) = \(X\)-এর উপর একটা σ-algebra
• \(\mu\) = \((X, \mathcal{S})\)-এর উপর একটা measure

মূল উদাহরণ

১. Counting measure (গণনা পরিমাপ): \(X\) যেকোনো set, \(\mathcal{S}\) = সব subsets।

\[\mu(E) = \begin{cases} n & \text{যদি } E \text{ ঠিক } n \text{ টা উপাদানের finite set হয়} \\ \infty & \text{যদি } E \text{ infinite হয়} \end{cases}\]

উদাহরণ: \(X = \mathbb{Z}^+\), \(\mu(\{1, 2, 3\}) = 3\), \(\mu(\mathbb{Z}^+) = \infty\)।

২. Dirac measure (ডিরাক পরিমাপ): \(c \in X\) একটা নির্দিষ্ট বিন্দু। \(\delta_c : \mathcal{S} \to \{0, 1\}\) যেখানে

\[\delta_c(E) = \begin{cases} 1 & \text{যদি } c \in E \\ 0 & \text{যদি } c \notin E \end{cases}\]

এটা "point mass at \(c\)"— পুরো ওজন বিন্দু \(c\)-তে কেন্দ্রীভূত। Probability theory-তে অপরিহার্য।

চিত্র: Counting measure: \(|E|\); Dirac: বিন্দু \(c\)-তে সব ভর

৩. Weighted measure: \(w : X \to [0, \infty]\) যেকোনো ফাংশন। তাহলে \(\mu(E) = \sum_{x \in E} w(x)\) একটা measure। Counting measure হলো বিশেষ ক্ষেত্র \(w \equiv 1\)।

৪. Lebesgue measure (লেবেগ পরিমাপ): \(X = \mathbb{R}\), \(\mathcal{S}\) = Borel sets (বা Lebesgue measurable sets)। \(\mu(E) = |E|\) (outer measure হিসেবে)। পরের অধ্যায়ে বিস্তারিত।

Measure-এর মৌলিক ধর্মসমূহ

ধর্ম ১: Monotonicity (একঘেয়েতা)

উপপাদ্য

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(D, E \in \mathcal{S}\), \(D \subseteq E\)। তাহলে \(\mu(D) \leq \mu(E)\)।

প্রমাণ: \(E = D \cup (E \setminus D)\) এটা disjoint union। Countable additivity দিলে:

\[\mu(E) = \mu(D) + \mu(E \setminus D) \geq \mu(D)\]

কারণ \(\mu(E \setminus D) \geq 0\)। \(\square\)

স্বজ্ঞা: বড় set-এর measure ছোট set-এর চেয়ে কম হতে পারে না — এটাই "আকার"-এর সবচেয়ে স্বাভাবিক ধর্ম।

চিত্র: Monotonicity: \(D \subseteq E \Rightarrow \mu(D) \leq \mu(E)\)

ধর্ম ২: Set difference-এর measure

উপপাদ্য

\(D \subseteq E\) এবং \(\mu(D) < \infty\) হলে: \(\mu(E \setminus D) = \mu(E) - \mu(D)\)।

(\(\mu(D) < \infty\) শর্ত লাগে যাতে \(\infty - \infty\) এড়ানো যায়।)

ধর্ম ৩: Countable subadditivity (গণনাযোগ্য উপ-যোজ্যতা)

উপপাদ্য

\(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{S}\) — disjoint হোক বা না হোক। তাহলে:

\(\mu\!\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k)\)

প্রমাণ sketch: \(D_k = E_1 \cup \cdots \cup E_{k-1}\) নাও। \(E_k \setminus D_k\) গুলো disjoint এবং তাদের union = \(\bigcup E_k\)। Countable additivity ও monotonicity (\(\mu(E_k \setminus D_k) \leq \mu(E_k)\)) ব্যবহার করলে \(\leq\) আসে। \(\square\)

ধর্ম ৪: Continuity from below (নিম্ন থেকে সাতত্য)

উপপাদ্য

\(E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots\) একটা increasing sequence। তাহলে:

\(\mu\!\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \lim_{k \to \infty} \mu(E_k)\)

প্রমাণ sketch: \(F_1 = E_1\), \(F_k = E_k \setminus E_{k-1}\) (\(k \geq 2\)) নাও — এগুলো disjoint। \(\bigcup E_k = \bigsqcup F_k\), তাই

\[\mu\!\left(\bigcup E_k\right) = \sum_{j=1}^{\infty} \mu(F_j) = \lim_{k\to\infty} \sum_{j=1}^{k} \mu(F_j) = \lim_{k\to\infty} \mu(E_k)\]

(Telescoping: \(\sum_{j=1}^{k} \mu(F_j) = \mu(E_k)\)।) \(\square\)

চিত্র: \(E_n \nearrow E\) হলে \(\mu(E_n) \to \mu(E)\) (continuity from below)

ধর্ম ৫: Continuity from above (উপর থেকে সাতত্য)

উপপাদ্য

\(E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots\) decreasing sequence এবং \(\mu(E_1) < \infty\)। তাহলে:

\(\mu\!\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \lim_{k \to \infty} \mu(E_k)\)

সতর্কতা: \(\mu(E_1) < \infty\) শর্ত বাদ দিলে ফলাফলটা মিথ্যা হতে পারে। উদাহরণ: \(E_k = [k, \infty)\), Lebesgue measure। \(\bigcap E_k = \emptyset\) কিন্তু \(\mu(E_k) = \infty\) সব \(k\)-তে।

ধর্ম ৬: Union-এর measure

উপপাদ্য

\(D, E \in \mathcal{S}\), \(\mu(D \cap E) < \infty\)। তাহলে:

\(\mu(D \cup E) = \mu(D) + \mu(E) - \mu(D \cap E)\)

স্বজ্ঞা: inclusion-exclusion principle (অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি) — ভেন ডায়াগ্রামে দুবার গোনা অংশটা একবার বাদ দাও।

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy: পানির পাত্র

Countable additivity কল্পনা করো এভাবে: একটা বড় পাত্রকে \(n\)টা অংশে ভাগ করো। প্রতিটা অংশের পানির পরিমাণ আলাদাভাবে মেপে যোগ করো — মোট পরিমাণ পাবে। Subadditivity মানে: ভাগগুলো overlap করলেও মোট যোগফল \(\leq\) সব অংশের যোগ (কারণ overlapping অংশ দুবার গোনা হয়)।

Worked example ১: Dirac measure check

\(X = \mathbb{R}\), \(\delta_0\) = Dirac measure at \(0\)। Verify: \(\delta_0([0,1]) + \delta_0([2,3]) = \delta_0([0,1] \cup [2,3])\)।

• \(0 \in [0,1]\) তাই \(\delta_0([0,1]) = 1\)।
• \(0 \notin [2,3]\) তাই \(\delta_0([2,3]) = 0\)।
• \(0 \in [0,1] \cup [2,3]\) তাই \(\delta_0([0,1] \cup [2,3]) = 1\)।
• \(1 + 0 = 1\) ✓

Worked example ২: Continuity from below

Counting measure on \(\mathbb{Z}^+\), \(E_k = \{1, 2, \ldots, k\}\)। তাহলে:

\[\mu(E_k) = k, \quad \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k = \mathbb{Z}^+, \quad \lim_{k \to \infty} \mu(E_k) = \infty = \mu(\mathbb{Z}^+) \quad \checkmark\]

Worked example ৩: Continuity from above কেন \(\mu(E_1) < \infty\) দরকার?

Lebesgue measure on \(\mathbb{R}\), \(E_k = (k, \infty)\)। \(\bigcap E_k = \emptyset\), \(\mu(\emptyset) = 0\)। কিন্তু \(\mu(E_k) = \infty\) প্রতিটায়, \(\lim = \infty \neq 0\)। শর্ত ছাড়া theorem ভেঙে পড়ে।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. "Countable additivity = finite additivity" ভাবা। Finite additivity থেকে countable additivity আসে না। Outer measure \(|\cdot|\) on all subsets of \(\mathbb{R}\) finitely additive নয় (Vitali set) — তাই সেটা measure নয়।

2. \(\mu(E_1) < \infty\) শর্ত ভুলে যাওয়া। Continuity from above-এ এই শর্ত অপরিহার্য — example ৩ দেখো।

3. Subadditivity মানে equality ভাবা। \(\mu(\bigcup E_k) \leq \sum \mu(E_k)\) — সমতা শুধু disjoint হলে।

4. Measure সবসময় finite ভাবা। \(\mu(E) = \infty\) সম্পূর্ণ বৈধ। Lebesgue measure-এ \(\mu(\mathbb{R}) = \infty\)।

5. σ-algebra ছাড়া measure define করার চেষ্টা। সব subsets-এ measure define করা impossible (Vitali set — পরের অধ্যায়ে প্রমাণ)। σ-algebra বেছে নেওয়াই কৌশলের অংশ।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

1. \(X = \{a, b, c\}\), \(\mathcal{S} = 2^X\), counting measure \(\mu\)। \(\mu(\{a, b\})\), \(\mu(\emptyset)\), \(\mu(X)\) বের করো এবং দেখাও \(\mu(\{a, b\}) + \mu(\{c\}) = \mu(X)\)।

2. \(\delta_5\) = Dirac measure at \(5\) on \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\)। হিসাব করো: \(\delta_5([3, 7])\), \(\delta_5((5, 10])\), \(\delta_5(\{5\})\), \(\delta_5(\mathbb{Q})\)।

3. \((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(E_1, E_2 \in \mathcal{S}\), \(\mu(E_1 \cup E_2) = \mu(E_1) + \mu(E_2)\)। এর মানে কী?

4. Counting measure on \(\mathbb{Z}^+\), \(E_k = \{k, k+1, k+2, \ldots\}\)। \(\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\) কী? \(\lim \mu(E_k)\) কত? Continuity from above প্রযোজ্য কেন নয়?

5. \(\mu, \nu\) দুটো measure on \((X, \mathcal{S})\)। দেখাও \(\mu + \nu\) এবং \(2\mu\) উভয়ই measure।

6. \((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(A \subseteq B \subseteq C \in \mathcal{S}\), \(\mu(A) = \mu(C) < \infty\)। প্রমাণ করো \(\mu(A) = \mu(B) = \mu(C)\)।

7. Lebesgue measure \(\lambda\) on \(\mathbb{R}\)। Continuity from below ব্যবহার করে হিসাব করো \(\lambda\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[0, 1 - \tfrac{1}{n}\right]\right)\)।

8. একটা counterexample দাও যেখানে \(E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots\), \(\mu(E_1) = \infty\), এবং \(\lim \mu(E_k) \neq \mu\!\left(\bigcap E_k\right)\)।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(X = \{a, b, c\}\), counting measure \(\mu\)।

• \(\mu(\{a, b\}) = 2\) (দুটো উপাদান)।
• \(\mu(\emptyset) = 0\) (কোনো উপাদান নেই)।
• \(\mu(X) = 3\) (তিনটা উপাদান)।

Check: \(\mu(\{a, b\}) + \mu(\{c\}) = 2 + 1 = 3 = \mu(X)\) ✓।

\(\{a, b\}\) ও \(\{c\}\) disjoint, তাই finite additivity সরাসরি প্রযোজ্য।

২-নং সমাধান দেখাও

Dirac measure \(\delta_5\): \(E\)-তে \(5\) থাকলে \(1\), না থাকলে \(0\)।

• \(\delta_5([3, 7]) = 1\) — কারণ \(5 \in [3, 7]\)।
• \(\delta_5((5, 10]) = 0\) — কারণ \(5 \notin (5, 10]\) (open endpoint, \(5\) বাদ!)।
• \(\delta_5(\{5\}) = 1\) — কারণ \(5 \in \{5\}\)।
• \(\delta_5(\mathbb{Q}) = 1\) — কারণ \(5 \in \mathbb{Q}\)।

মূল কথা: শুধু দেখতে হবে \(5\) আছে কিনা, বাকি সব অপ্রাসঙ্গিক।

৩-নং সমাধান দেখাও

Union formula: \(\mu(D \cup E) = \mu(D) + \mu(E) - \mu(D \cap E)\)।

তাই \(\mu(E_1) + \mu(E_2) = \mu(E_1 \cup E_2)\) মানে \(\mu(E_1 \cap E_2) = 0\)।

অর্থাৎ \(E_1 \cap E_2\)-এর measure শূন্য — sets দুটো "almost disjoint"। তারা সত্যিকার disjoint না হলেও, intersection-এর measure \(0\) হলে additivity মেলে।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(E_k = \{k, k+1, k+2, \ldots\}\)।

\(\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k = \emptyset\) — কারণ কোনো positive integer সব \(E_k\)-তে নেই: \(n \notin E_{n+1}\)।

\(\mu(E_k) = \infty\) প্রতিটায় (infinite set), তাই \(\lim_{k \to \infty} \mu(E_k) = \infty \neq 0 = \mu(\emptyset)\)।

Continuity from above প্রযোজ্য নয় কারণ \(\mu(E_1) < \infty\) শর্তটা পূরণ হয়নি (\(\mu(E_1) = \infty\))।

৫-নং সমাধান দেখাও

\((\mu + \nu)\) measure কিনা:

• \((\mu + \nu)(\emptyset) = \mu(\emptyset) + \nu(\emptyset) = 0 + 0 = 0\) ✓।
• Disjoint \(E_1, E_2, \ldots\) এর জন্য:

\((\mu + \nu)\!\left(\bigcup E_k\right) = \mu\!\left(\bigcup E_k\right) + \nu\!\left(\bigcup E_k\right) = \sum \mu(E_k) + \sum \nu(E_k) = \sum (\mu + \nu)(E_k)\)

নন-নেগেটিভ terms হলে series reorder করা যায়। ✓

\(2\mu\)-এর জন্য: \(2\mu(\emptyset) = 0\) এবং \(2\mu\!\left(\bigcup E_k\right) = 2\sum \mu(E_k) = \sum 2\mu(E_k)\)। ✓

৬-নং সমাধান দেখাও

\(A \subseteq B \subseteq C\), \(\mu(A) = \mu(C) < \infty\)।

Monotonicity: \(\mu(A) \leq \mu(B) \leq \mu(C)\)।

কিন্তু \(\mu(A) = \mu(C)\), তাই squeeze করলে \(\mu(A) = \mu(B) = \mu(C)\)। \(\square\)

গভীর অর্থ: \(\mu(B \setminus A) = 0\) এবং \(\mu(C \setminus B) = 0\) — মাঝের set \(B\) আর দুটো প্রান্তের মধ্যে শুধু measure-zero অংশে পার্থক্য।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(F_n = [0, 1 - \frac{1}{n}]\), increasing। \(\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n = [0, 1)\) — কারণ যেকোনো \(x \in [0,1)\)-এর জন্য \(n\) বড় নিলে \(x \leq 1 - \frac{1}{n}\)।

Continuity from below:

\(\lambda\!\left(\bigcup F_n\right) = \lim_{n \to \infty} \lambda(F_n) = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \tfrac{1}{n}\right) = 1\)

তাই \(\lambda([0,1)) = 1\) — সংগতিপূর্ণ।

৮-নং সমাধান দেখাও

Counting measure on \(\mathbb{Z}^+\), \(E_k = \{k, k+1, k+2, \ldots\}\)।

Decreasing: \(E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots\)। \(\mu(E_1) = \infty\) (শর্ত ভঙ্গ!)।

\(\bigcap E_k = \emptyset\), তাই \(\mu(\bigcap E_k) = 0\)।

কিন্তু \(\lim \mu(E_k) = \infty \neq 0\) — counterexample সিদ্ধ।

\(\mu(E_1) = \infty\) হলে continuity from above ব্যর্থ হয় এবং এই উদাহরণ সেটাই দেখায়।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Measure-এর সংজ্ঞা বলতে পারি: \(\mu(\emptyset) = 0\) এবং countable additivity — মাত্র দুটো শর্ত।
• [ ] Measure space \((X, \mathcal{S}, \mu)\)-এর তিনটা উপাদান চিনি।
• [ ] Counting measure, Dirac measure — দুটো মূল উদাহরণ বুঝি এবং যেকোনো set-এ হিসাব করতে পারি।
• [ ] Monotonicity — \(D \subseteq E \Rightarrow \mu(D) \leq \mu(E)\) — proof জানি।
• [ ] Countable subadditivity — \(\mu(\bigcup E_k) \leq \sum \mu(E_k)\) — disjoint না হলেও।
• [ ] Continuity from below/above — increasing/decreasing sequence-এ limit নেওয়া যায়; above-এর জন্য \(\mu(E_1) < \infty\) শর্ত কেন লাগে counterexample দিয়ে বোঝাতে পারি।
• [ ] Outer measure সব subsets-এ measure কেন নয় — সেটার কারণটা বুঝি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 3.5 — Lebesgue Measure; Cantor Set — Borel sets-এ outer measure কীভাবে measure হয়, Lebesgue measurable set-এর সংজ্ঞা, Cantor set-এর অদ্ভুত সৌন্দর্য (measure শূন্য অথচ uncountable!), এবং non-measurable set-এর অস্তিত্ব।