Skip to content

3.5 — Lebesgue Measure; Cantor Set

এই অধ্যায়ে কী শিখব: outer measure Borel sets-এ কীভাবে একটা সত্যিকার measure হয়; Lebesgue measurable set (লেবেগ পরিমাপযোগ্য সেট)-এর সংজ্ঞা — Borel set থেকে সামান্য বড়; Lebesgue measure (লেবেগ পরিমাপ) \(\lambda\)-এর পূর্ণ রূপ; Cantor set-এর অদ্ভুত সৌন্দর্য — measure শূন্য অথচ uncountable; Cantor function (শয়তানের সিঁড়ি); এবং Vitali-র non-measurable set-এর সংক্ষিপ্ত sketch।

উৎস (source): Lebesgue, Carathéodory; non-measurable set — Vitali।

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়ে (3.4) আমরা measure-এর abstract সংজ্ঞা শিখলাম। এখন প্রশ্ন: \(\mathbb{R}\)-এর উপর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ measure — যেটা interval-এর দৈর্ঘ্যকে সাধারণীকরণ করে — সেটা কীভাবে বানাই?

এটাই Lebesgue measure \(\lambda\) — আধুনিক analysis-এর মেরুদণ্ড।

কিন্তু একটা ধাঁধা আছে: Chapter 3.1-এ দেখেছিলাম outer measure সব subsets-এ measure নয় (disjoint additivity মানে না)। তাহলে কোন class of sets-এ outer measure সত্যিকার measure হয়?

উত্তর দুই ধাপে আসে:

  1. Borel sets-এ outer measure একটা measure — এটা প্রমাণ করা যায়।
  2. Lebesgue measurable sets — Borel sets-এর চেয়ে সামান্য বড় একটা σ-algebra — সেখানেও outer measure measure।

এই অধ্যায়ে আরো একটা চমৎকার জিনিস:Cantor set — এমন একটা set যার Lebesgue measure শূন্য, অথচ সেটা uncountable (অগণনীয়)! Measure theory-র intuition ভাঙার এটাই সেরা উদাহরণ।

এই অধ্যায়ের মূল বার্তা

Lebesgue measure = outer measure, কিন্তু শুধু measurable sets-এ সীমাবদ্ধ। Cantor set প্রমাণ করে "measure শূন্য" আর "ছোট" এক কথা নয়।

২. মূল ধারণা (Core idea)

Outer measure কেন সব sets-এ measure নয়?

3.1 অধ্যায় থেকে মনে আছে: outer measure \(|A| = \inf\left\{\sum_k \ell(I_k) : A \subseteq \bigcup_k I_k\right\}\)। এটা countably subadditive কিন্তু disjoint sets-এ additive নয় — Vitali set-এর জন্য।

সমাধান: শুধু "ভালো" sets-এ outer measure ব্যবহার করো।

Cantor set এর স্বজ্ঞা

\([0,1]\) থেকে বারবার মাঝের এক-তৃতীয়াংশ বাদ দাও:

  • Stage 1: \((1/3, 2/3)\) বাদ। বাকি \([0,1/3] \cup [2/3,1]\)।
  • Stage 2: প্রতিটা অবশিষ্ট interval-এর মাঝের এক-তৃতীয়াংশ বাদ।
  • চলতে থাকো অসীমবার।

যা বাকি থাকে তাই Cantor set \(C\)।

Cantor Set: পর্যায়ক্রমে মাঝের এক-তৃতীয়াংশ বাদ দেওয়া হচ্ছে; মোট removed measure 1-এর দিকে যাচ্ছে চিত্র ১: Cantor set-এর গঠন। নীল = অবশিষ্ট অংশ (\(C_n\)), লাল = বাদ দেওয়া open intervals। প্রতিটা stage-এ নীলের মোট দৈর্ঘ্য \((2/3)^n\) — শূন্যের দিকে যাচ্ছে। নিচের bar chart দেখাচ্ছে cumulative removed measure 1-এর দিকে converge করছে।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Borel Sets-এ Outer Measure একটা Measure

Carathéodory splitting criterion: E meas চিত্র: Carathéodory splitting criterion: E measurable iff |T| = |T∩E| + |T∩E^c| for every test set T

উপপাদ্য

\(\mathcal{B}\) = \(\mathbb{R}\)-এর Borel σ-algebra। তাহলে outer measure \(|\cdot|\) হলো \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\)-তে একটা measure।

Proof sketch: Disjoint Borel sets \(B_1, B_2, \ldots\)-এর জন্য দেখাতে হবে \(|\bigcup B_k| = \sum |B_k|\)।

মূল পদক্ষেপ:

  • প্রথমে দেখাও: যদি \(A\) এবং \(G\) (open) disjoint হয়, তাহলে \(|A \cup G| = |A| + |G|\)।
  • তারপর: যদি \(A\) এবং \(F\) (closed) disjoint হয়, তাহলে \(|A \cup F| = |A| + |F|\)।
  • এগুলো দিয়ে Borel sets-এর জন্য additivity প্রমাণ হয়। \(\square\)

Lebesgue Measurable Set-এর সংজ্ঞা

Lebesgue measurable set = Borel set unio চিত্র: Lebesgue measurable set = Borel set union measure-zero null set; Vitali set outside L

Outer measure Borel sets-এর বাইরেও একটু measure হতে পারে — এই বড় class হলো Lebesgue measurable sets।

সংজ্ঞা: Lebesgue Measurable Set (লেবেগ পরিমাপযোগ্য সেট)

\(A \subseteq \mathbb{R}\) হলো Lebesgue measurable যদি নিচের সমতুল শর্তগুলোর যেকোনো একটা পূরণ হয়:

(a) প্রতিটা \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য একটা open set \(G \supseteq A\) আছে যাতে \(|G \setminus A| < \varepsilon\)। (b) প্রতিটা \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য একটা closed set \(F \subseteq A\) আছে যাতে \(|A \setminus F| < \varepsilon\)। (c) \(A = B \cup N\) যেখানে \(B\) Borel set এবং \(|N| = 0\)। (d) \(A = B \setminus N\) যেখানে \(B\) Borel set এবং \(|N| = 0\)।

স্বজ্ঞা: Lebesgue measurable set = Borel set + measure-zero "ধুলো"। Borel sets-এর চেয়ে সামান্য বড় কিন্তু সব practical কাজে যথেষ্ট।

Lebesgue Measure-এর পূর্ণ সংজ্ঞা

সংজ্ঞা: Lebesgue Measure (লেবেগ পরিমাপ)

\(\mathcal{L}\) = \(\mathbb{R}\)-এর সব Lebesgue measurable subsets-এর σ-algebra। তাহলে:

  • \(\mathcal{L}\) একটা σ-algebra on \(\mathbb{R}\)।
  • Lebesgue measure \(\lambda : \mathcal{L} \to [0,\infty]\) যেখানে \(\lambda(A) = |A|\) (outer measure)।
  • \((\mathbb{R}, \mathcal{L}, \lambda)\) একটা measure space।

এটাই আমাদের standard measure on \(\mathbb{R}\)।

মূল বৈশিষ্ট্য:

  • প্রতিটা interval \([a,b]\), \((a,b)\), \([a,b)\), \((a,b]\)-এর Lebesgue measure = \(b - a\)।
  • প্রতিটা countable set-এর Lebesgue measure = \(0\) (যেমন \(\mathbb{Q}\))।
  • \(\lambda\) translation-invariant (স্থানান্তর-অপরিবর্তনীয়): \(\lambda(A + t) = \lambda(A)\) যেকোনো \(t \in \mathbb{R}\)।

Cantor Set-এর সংজ্ঞা ও ধর্ম

Cantor construction stages 0–4: removed চিত্র: Cantor construction stages 0–4: removed length → 1, remaining length → 0

সংজ্ঞা: Cantor Set

\(G_1 = (1/3, 2/3)\) এবং \(G_n\) (\(n > 1\)) হলো \([0,1] \setminus \bigcup_{j=1}^{n-1} G_j\)-এর সব intervals-এর middle-third open intervals-এর union।

Cantor set \(C = [0,1] \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n\)।

মূল ধর্মসমূহ:

  1. \(C\) closed — open sets \(G_n\)-এর union-এর complement, তাই closed।

  2. \(\lambda(C) = 0\) — বাদ দেওয়া intervals-এর মোট দৈর্ঘ্য:

\[\lambda\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} G_n\right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \cdots = \frac{1/3}{1 - 2/3} = 1\]

তাই \(\lambda(C) = \lambda([0,1]) - 1 = 0\)।

  1. \(C\) uncountable — base-3 representation ব্যবহার করে দেখানো যায়: \(C\) = সেই সব \(x \in [0,1]\) যাদের base-3 representation-এ শুধু \(0\) এবং \(2\) থাকে। এই set \([0,1]\)-এর সাথে bijection আছে — তাই uncountable।

Cantor Set-এর paradox

\(C\)-এর Lebesgue measure শূন্য — মানে \(C\)"পরিমাপের দিক থেকে নগণ্য"। কিন্তু \(C\) uncountable — মানে গণনীয় নয়! Measure এবং cardinality (গণনা ক্ষমতা) এখানে সম্পূর্ণ আলাদা ধারণা।

Cantor Function (শয়তানের সিঁড়ি)

Devil's staircase Λ: flat on each remove চিত্র: Devil's staircase Λ: flat on each removed interval, rises only on Cantor set

সংজ্ঞা: Cantor Function

Cantor function \(\Lambda : [0,1] \to [0,1]\) এভাবে সংজ্ঞায়িত:

  • \(x \in C\) হলে: \(x\)-এর base-3 representation (শুধু 0 এবং 2)-এ প্রতিটা 2-কে 1 দিয়ে বদলাও, তারপর base-2 সংখ্যা হিসেবে পড়ো।
  • \(x \in [0,1] \setminus C\) হলে: প্রথম 1-এর পর truncate করো, আগের মতো।

ধর্ম: \(\Lambda\) continuous, increasing, \(\Lambda(C) = [0,1]\)।

অদ্ভুততা: \(\Lambda\) প্রতিটা removed interval-এ constant — একটা "flat staircase"। অথচ \([0,1]\) থেকে \([0,1]\)-এ surjective। সব variation Cantor set-এর উপর ঘটে, যার measure শূন্য!

Non-measurable Set-এর অস্তিত্ব (Vitali, sketch)

Vitali set: Q-translates of V cannot be চিত্র: Vitali set: Q-translates of V cannot be assigned a consistent Lebesgue measure

উপপাদ্য (Vitali)

এমন একটা set \(V \subseteq [0,1]\) আছে যা Lebesgue measurable নয়।

Proof sketch: \([0,1]\)-এ equivalence relation সংজ্ঞায়িত করো: \(x \sim y\) যদি \(x - y \in \mathbb{Q}\)। Axiom of Choice ব্যবহার করে প্রতিটা equivalence class থেকে একটা করে representative নিয়ে set \(V\) বানাও।

Translation-invariance ব্যবহার করলে দেখা যায়: \(\lambda(V) > 0\) ধরলে contradiction, \(\lambda(V) = 0\) ধরলেও contradiction। তাই \(V\) measurable হতে পারে না। \(\square\)

গুরুত্ব: এই result প্রমাণ করে যে σ-algebra বেছে নেওয়া অপরিহার্য — সব subsets-এ "ভালো" measure সম্ভব নয়।

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy: Cantor set = ধুলোর মেঘ

কল্পনা করো একটা লাঠি থেকে বারবার মাঝখান কেটে ফেলা হচ্ছে। শেষে যা থাকে তা গুঁড়া গুঁড়া — দৈর্ঘ্য শূন্য। কিন্তু গুঁড়াগুলোর সংখ্যা অসীম, এবং সেগুলো এমনভাবে ছড়িয়ে আছে যে কোনো interval-ই \(C\)-মুক্ত নয়।

Worked example ১: Cantor set-এ \(1/4\) আছে কিনা?

\(1/4 = 0.02020202\ldots_{3}\) (base 3)। শুধু \(0\) এবং \(2\) — তাই \(1/4 \in C\)!

Worked example ২: Lebesgue measure, interval সরালে পরিবর্তন নেই

\(\lambda([2, 5]) = 3\) এবং \(\lambda([2 + t, 5 + t]) = 3\) যেকোনো \(t\)-এর জন্য — translation invariance।

Worked example ৩: \(\mathbb{Q}\)-এর Lebesgue measure

\(\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \ldots\}\) countable। প্রতিটা singleton \(\{q_n\}\)-এর measure \(0\)। Countable subadditivity দিলে:

\[\lambda(\mathbb{Q}) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(\{q_n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0\]

এবং \(\lambda(\mathbb{Q}) \geq 0\), তাই \(\lambda(\mathbb{Q}) = 0\)।

অর্থাৎ \([0,1]\)-এ rational সংখ্যার "আয়তন" শূন্য — তারা "সর্বত্র ঘন" হলেও।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

  1. "Measure zero মানে empty set " ভাবা। \(\mathbb{Q}\), Cantor set — উভয়ই non-empty এবং"বড়" (uncountable-ও হতে পারে), কিন্তু measure শূন্য।

  2. "Uncountable মানে positive measure" ভাবা। Cantor set uncountable অথচ measure শূন্য — এই দুটো ধারণা সম্পূর্ণ আলাদা।

  3. Borel ≠ Lebesgue measurable ভুলে যাওয়া। সব Borel sets Lebesgue measurable, কিন্তু উল্টোটা সত্য নয়। Lebesgue measurable sets কিছুটা বড়।

  4. Cantor function সম্পর্কে "everywhere zero derivative" থেকে ভুল সিদ্ধান্ত। \(\Lambda' = 0\) a.e. (almost everywhere) কিন্তু \(\Lambda(0) = 0\), \(\Lambda(1) = 1\) — Fundamental Theorem of Calculus-এর Riemann version এখানে fail করে!

  5. Vitali set = "ভুল সংজ্ঞার" ফল ভাবা। Vitali set-এর অস্তিত্ব Axiom of Choice-এর উপর নির্ভর করে। এটা measure theory-র কোনো ত্রুটি নয়, বরং একটা গভীর সীমাবদ্ধতার স্বীকৃতি।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

  1. দেখাও \(\lambda(\{x\}) = 0\) যেকোনো \(x \in \mathbb{R}\)-এর জন্য। এরপর দেখাও যেকোনো countable set-এর Lebesgue measure শূন্য।

  2. \(A = [0,1] \setminus \mathbb{Q}\)। \(\lambda(A)\) কত? কেন?

  3. Cantor set-এর stage-\(n\) approximation \(C_n = [0,1] \setminus \bigcup_{j=1}^{n} G_j\)-তে কতটা interval আছে? প্রতিটার দৈর্ঘ্য কত? \(\lambda(C_n)\) হিসাব করো।

  4. Prove: \(\lambda([a,b]) = \lambda((a,b)) = \lambda([a,b)) = b - a\) — চারটা interval-type-এর measure সমান।

  5. \(E \subseteq \mathbb{R}\), \(\lambda(E) = 0\)। দেখাও \(\lambda(E + t) = 0\) যেকোনো \(t\)-এর জন্য।

  6. \(1/4\) কি Cantor set-এ আছে? Base-3 representation ব্যবহার করে যাচাই করো।

  7. \(A \subseteq \mathbb{R}\) Lebesgue measurable এবং \(B \subseteq A\), \(\lambda(A) = 0\)। দেখাও \(B\)-ও Lebesgue measurable এবং \(\lambda(B) = 0\)। (এটাই Lebesgue measure-এর completeness!)

  8. Cantor function \(\Lambda\)-এর জন্য: \(\Lambda(1/3)\) এবং \(\Lambda(2/3)\) হিসাব করো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

যেকোনো \(n \in \mathbb{Z}^+\)-এর জন্য \(\{x\} \subseteq (x - 1/n, x + 1/n)\)। তাই:

\(\lambda(\{x\}) \leq \lambda\!\left((x - 1/n, x + 1/n)\right) = \frac{2}{n}\)

এটা সব \(n\)-এর জন্য সত্য, তাই \(\lambda(\{x\}) \leq 0\), অর্থাৎ \(\lambda(\{x\}) = 0\)।

Countable set \(\{q_1, q_2, \ldots\}\)-এর জন্য: countable subadditivity দিলে

\(\lambda\!\left(\{q_1, q_2, \ldots\}\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(\{q_n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0.\)

২-নং সমাধান দেখাও

\(A = [0,1] \setminus \mathbb{Q}\)। \([0,1] = A \sqcup (\mathbb{Q} \cap [0,1])\) (disjoint union)।

Finite additivity: \(\lambda([0,1]) = \lambda(A) + \lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1])\)।

\(\lambda([0,1]) = 1\) এবং \(\lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0\) (countable set)।

তাই \(\lambda(A) = 1 - 0 = 1\)।

অর্থাৎ \([0,1]\)-এ "প্রায় সব" সংখ্যাই irrational — পরিমাপের দিক থেকে rational সংখ্যা "নেই বললেই চলে"।

৩-নং সমাধান দেখাও

Stage \(n\)-এ:

  • Intervals-এর সংখ্যা: \(2^n\)।
  • প্রতিটার দৈর্ঘ্য: \((1/3)^n\)।
  • মোট দৈর্ঘ্য: \(2^n \cdot (1/3)^n = (2/3)^n\)।

তাই \(\lambda(C_n) = (2/3)^n\)।

\(n \to \infty\) করলে \(\lambda(C_n) \to 0\), এবং continuity from above দিলে \(\lambda(C) = 0\)। \(\square\)

৪-নং সমাধান দেখাও

\([a,b] = (a,b) \cup \{a\} \cup \{b\}\) (disjoint union)।

\(\lambda(\{a\}) = \lambda(\{b\}) = 0\), তাই \(\lambda([a,b]) = \lambda((a,b))\)।

এবং \(\lambda((a,b)) = b - a\) (outer measure-এর সংজ্ঞা থেকে সরাসরি)।

একইভাবে \([a,b) = (a,b) \cup \{a\}\), তাই \(\lambda([a,b)) = b - a\)। সব চারটাই সমান। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\lambda(E) = 0\) এবং \(\lambda(E + t) = \lambda(E)\) (translation invariance)।

তাই \(\lambda(E + t) = 0\)। \(\square\)

৬-নং সমাধান দেখাও

\(1/4\)-কে base 3-এ লিখি: \(1/4 = 0/3 + 1/4 - 0 = ?\)

\(3 \times 1/4 = 3/4 < 1\), তাই প্রথম digit = \(0\)। বাকি \(3/4\)। \(3 \times 3/4 = 9/4 > 1\), তাই দ্বিতীয় digit = \(2\)। বাকি \(9/4 - 2 = 1/4\)। Pattern পুনরাবৃত্তি: \(1/4 = 0.020202\ldots_3\)।

শুধু \(0\) এবং \(2\) আছে — তাই \(1/4 \in C\)! ✓

৭-নং সমাধান দেখাও

\(B \subseteq A\) এবং \(\lambda(A) = 0\)।

Monotonicity: \(0 \leq \lambda^*(B) \leq \lambda^*(A) = \lambda(A) = 0\)।

তাই outer measure \(\lambda^*(B) = 0\)।

Lebesgue measurability: \(\lambda(A) = 0\) হলে \(A\) এবং \(A\)-এর সব subsets Lebesgue measurable (সংজ্ঞার শর্ত (c): \(B = \emptyset \cup B\), যেখানে \(\emptyset\) Borel set)।

তাই \(B\) measurable এবং \(\lambda(B) = 0\)। এটাই completeness (সম্পূর্ণতা) of Lebesgue measure। \(\square\)

৮-নং সমাধান দেখাও

\(1/3 \in G_1 = (1/3, 2/3)\)? না — \(1/3\)-এর base-3 representation হলো \(0.1_3\)। এটা Cantor set-এ নেই কারণ \(1\)-digit আছে। কিন্তু \(1/3\) হলো removed interval \(G_1\)-এর বাম endpoint — \(C\)-তে boundary points থাকে।

আসলে \(1/3 = 0.0222\ldots_3\) (শুধু 0 এবং 2) — তাই \(1/3 \in C\)।

\(\Lambda(1/3)\): \(0.0222\ldots_3 \to 0.0111\ldots_2 = 0.1_2 = 1/2\)। তাই \(\Lambda(1/3) = 1/2\)।

\(\Lambda(2/3)\): \(2/3 = 0.2_3\)। \(\Lambda(2/3) = 0.1_2 = 1/2\)। তাই \(\Lambda(2/3) = 1/2\)।

এই দুটো ভিন্ন বিন্দুতে \(\Lambda\) সমান — এটাই "staircase" আচরণ: removed interval \((1/3, 2/3)\)-এ \(\Lambda\) constant।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

  • [ ] Outer measure Borel sets-এ measure কেন — proof-এর মূল idea (disjoint additivity for closed/open sets) বলতে পারি।
  • [ ] Lebesgue measurable set সংজ্ঞার চারটা সমতুল শর্ত জানি; বুঝি এটা "Borel + measure-zero dust"।
  • [ ] Lebesgue measure \(\lambda\)-এর মূল বৈশিষ্ট্য: interval-এর দৈর্ঘ্য, countable sets-এর measure শূন্য, translation-invariance।
  • [ ] Cantor set গঠন বলতে পারি; জানি \(\lambda(C) = 0\) কিন্তু \(C\) uncountable।
  • [ ] "Measure শূন্য" এবং "uncountable" আলাদা ধারণা — Cantor set উদাহরণ দিয়ে বোঝাতে পারি।
  • [ ] Vitali set অস্তিত্বের মূল আইডিয়া বলতে পারি — Axiom of Choice + translation-invariance = contradiction।
  • [ ] Lebesgue measure complete — measure-zero set-এর সব subset measurable।

➡️ পরের অধ্যায়: 3.6 — Measurable Function-এর Convergence — pointwise ও uniform convergence-এর পার্থক্য, almost everywhere (প্রায় সর্বত্র) ধারণা, Egorov-এর theorem (প্রায়-সব জায়গায় uniform), Luzin-এর theorem (measurable ≈ continuous), এবং simple function দিয়ে approximation।