5.3 — Riesz Representation Theorem¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: bounded functional ↔ inner product
উৎস (source): F. Riesz, Fréchet (Riesz representation theorem)।
৫.৩.১ কেন শিখব? (Motivation)¶
পূর্ববর্তী অধ্যায়গুলোতে আমরা Hilbert space (হিলবার্ট স্পেস) শিখেছি — inner product (অন্তঃগুণন) সমৃদ্ধ একটি complete (সম্পূর্ণ) normed space। আর আমরা জানি, bounded linear functional (সীমাবদ্ধ রৈখিক অপেক্ষক) \(\varphi : H \to \mathbb{F}\) হলো সেই map যেটা প্রতিটা vector \(f\)-কে একটা scalar-এ পাঠায় এবং কখনো "লাফ" দেয় না।
এই অধ্যায়ের প্রশ্নটা হলো: এই সব bounded linear functional কোথা থেকে আসে?
ভাবো \(\mathbb{R}^3\)-এ। একটা row vector \(\mathbf{h}^T = [h_1, h_2, h_3]\) দিয়ে তুমি যেকোনো column vector \(\mathbf{f}\)-এর উপর একটি কাজ করতে পারো:
এটা clearly একটা bounded linear functional। Riesz Representation Theorem (রিয়েজ প্রতিনিধিত্ব উপপাদ্য) বলে: এটাই একমাত্র পথ। যেকোনো Hilbert space-এ যেকোনো bounded linear functional-কে ঠিক এইভাবে লেখা যায় — একটি নির্দিষ্ট vector \(h\)-এর সাথে inner product নিয়ে।
এটা অনেক গভীর কথা। এর মানে: Hilbert space \(H\) আর তার dual space (দ্বৈত স্পেস) \(H^*\) (সব bounded linear functional-এর সংগ্রহ) আসলে একই জিনিস — শুধু দৃষ্টিভঙ্গির ফারাক।
চিত্র ১: Bounded linear functional \(\varphi : H \to \mathbb{F}\) — Hilbert space-এর প্রতিটি vector \(f\)-কে একটি scalar-এ পাঠায়। Riesz theorem বলে এই map সবসময় কোনো fixed \(h\)-এর সাথে inner product।
মূল স্বজ্ঞা
প্রতিটি bounded linear functional = "কোনো একটা নির্দিষ্ট দিকে projection নাও।" সেই "দিক"টাই হলো representing vector (প্রতিনিধি ভেক্টর) \(h\)।
৫.৩.২ Functional ও Projection — স্বজ্ঞা¶
\(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\) কথাটার geometric অর্থ কী?
Inner product \(\langle f, h \rangle\) হলো \(f\)-এর \(h\)-এর দিকে projection-এর পরিমাপ — বলা ভালো, projection-এর দৈর্ঘ্য \(\times \lVert h \rVert\)। তাই \(\varphi(f)\) হলো: \(f\)-কে \(h\)-এর দিকে "ছায়া ফেললে" কতটুকু পড়ে।
কিছু বিশেষ ক্ষেত্র:
- \(f \parallel h\) (একই দিকে): \(\lvert \varphi(f) \rvert = \lVert f \rVert \lVert h \rVert\) — সর্বোচ্চ।
- \(f \perp h\) (লম্ব): \(\varphi(f) = 0\) — shadow নেই।
- \(f = h\): \(\varphi(h) = \lVert h \rVert^2\)।
চিত্র ২: \(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\) হলো \(f\)-এর \(h\)-অক্ষে "ছায়া"। লাল ভেক্টর \(f\) থেকে সবুজ ভেক্টর \(h\)-এর উপর লম্ব নামালে যে দৈর্ঘ্য পাওয়া যায় (নীল), সেটাই \(\varphi(f)\)।
এখান থেকে functional-এর norm-টাও স্পষ্ট:
Cauchy–Schwarz (অধ্যায় 5.1) বলে \(\lvert \langle f, h \rangle \rvert \leq \lVert f \rVert \lVert h \rVert\), তাই supremum-টা \(\lVert h \rVert\)-এ পৌঁছায় যখন \(f = h / \lVert h \rVert\)। অর্থাৎ \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert\) — functional-এর norm আর representing vector-এর norm সমান।
৫.৩.৩ Kernel-এর জ্যামিতি — Hyperplane ⊥ h¶
\(\ker \varphi\) (অথবা null \(\varphi\)) হলো সেই সব \(f\)-এর সমষ্টি যেখানে \(\varphi(f) = 0\), অর্থাৎ \(\langle f, h \rangle = 0\)। কিন্তু এটাই হলো \(h\)-এর orthogonal complement (লম্ব পূরক) \(\{h\}^\perp\)!
তাই:
এটা একটা closed hyperplane (আবদ্ধ অতিতল) — \(H\)-এর codimension-1 subspace। \(h\) এই hyperplane-এর উপর লম্ব, আর \(h\) থেকে দূরত্ব বাড়লে \(\varphi\)-এর মান বাড়ে।
চিত্র ৩: \(\ker\varphi\) হলো \(h\)-এর সাথে লম্ব একটি hyperplane। লাল তীরগুলো \(\ker\varphi\)-এর ভেক্টর — এদের সবার \(h\)-এর সাথে inner product শূন্য। \(h\) (সবুজ) এই hyperplane-কে ৯০° কোণে ছেদ করে।
Axler (MIRA, 6.52) প্রমাণ করেছেন যে \(\varphi\) bounded হওয়ার সমতুল্য শর্ত হলো \(\ker\varphi\) closed হওয়া। এই geometric চিত্রটা সেটাই দেখাচ্ছে।
৫.৩.৪ মূল উপপাদ্য ও সম্পূর্ণ প্রমাণ¶
উপপাদ্য: Riesz Representation Theorem (Axler MIRA 8.47)
ধরো \(\varphi\) একটি Hilbert space \(V\)-এর উপর bounded linear functional। তাহলে এমন একটি এবং কেবল একটি \(h \in V\) আছে যেন
সব \(f \in V\)-এর জন্য। এছাড়া \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert\)।
প্রমাণ (Axler 8.47 অনুসরণে):
ধাপ ১: trivial case। যদি \(\varphi = 0\) হয়, তাহলে \(h = 0\) নিলে \(\langle f, 0 \rangle = 0 = \varphi(f)\) সব \(f\)-এর জন্য। তখন \(\lVert \varphi \rVert = 0 = \lVert 0 \rVert\)। সুতরাং \(\varphi = 0\) ক্ষেত্র সমাপ্ত।
ধাপ ২: \(\varphi \neq 0\) ক্ষেত্র। যেহেতু \(\varphi \neq 0\), তাই \(\ker\varphi \neq V\)। Axler 6.52 থেকে \(\ker\varphi\) একটি closed subspace। তাহলে \((\ker\varphi)^\perp \neq \{0\}\) (কারণ closed proper subspace-এর orthogonal complement সবসময় nontrivial — Axler 8.42)।
সুতরাং এমন \(g \in (\ker\varphi)^\perp\) আছে যেন \(\lVert g \rVert = 1\)। এখন লেটাই:
তাহলে \(\lVert h \rVert = \lvert \varphi(g) \rvert \cdot \lVert g \rVert = \lvert \varphi(g) \rvert\)। বিশেষভাবে:
(এখানে \(\varphi(g)\) একটি scalar, তাই বের হয়ে আসে।)
ধাপ ৩: \(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\) সব \(f\)-এর জন্য। যেকোনো \(f \in V\) নাও। দেখাই যে \(f - \dfrac{\varphi(f)}{\lVert h \rVert^2} h \in \ker\varphi\):
সুতরাং \(f - \dfrac{\varphi(f)}{\lVert h \rVert^2} h \in \ker\varphi\)। যেহেতু \(h \in (\ker\varphi)^\perp\), তাই \(h\) এই vector-এর সাথে orthogonal। তাই:
এই inner product বিস্তার করি:
ধাপ ৪: uniqueness (অদ্বিতীয়তা)। ধরো \(\tilde{h} \in V\)-ও একইভাবে কাজ করে: \(\varphi(f) = \langle f, \tilde{h} \rangle\) সব \(f\)-এর জন্য। তাহলে সব \(f\)-এর জন্য \(\langle f, h \rangle = \langle f, \tilde{h} \rangle\), অর্থাৎ \(\langle f, h - \tilde{h} \rangle = 0\)। বিশেষভাবে \(f = h - \tilde{h}\) নিলে:
ধাপ ৫: \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert\)।
- Cauchy–Schwarz: \(\lvert \varphi(f) \rvert = \lvert \langle f, h \rangle \rvert \leq \lVert f \rVert \lVert h \rVert\), তাই \(\lVert \varphi \rVert \leq \lVert h \rVert\)।
- কিন্তু \(\varphi(h) = \langle h, h \rangle = \lVert h \rVert^2\), তাই \(\lVert \varphi \rVert \geq \dfrac{\lvert \varphi(h) \rvert}{\lVert h \rVert} = \lVert h \rVert\)।
- মিলিয়ে: \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert\)। \(\square\)
৫.৩.৫ অদ্বিতীয়তা ও নর্মের সমতা — চিত্রসহ¶
উপরের প্রমাণের দুটো পরিণতি চিত্রে দেখা যাক।
নর্মের সমতা:
চিত্র ৪: \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert\) — functional-এর "strength" আর representing vector-এর দৈর্ঘ্য হুবহু সমান। দুটো বার একই উচ্চতার।
Dual space-এর সমরূপতা:
Riesz theorem বলছে: \(h \mapsto \varphi_h\) যেখানে \(\varphi_h(f) = \langle f, h \rangle\), এই correspondence টি একটি antilinear isometric isomorphism (প্রতিরৈখিক সমদূরত্ব সমরূপতা) \(H \to H^*\)। অর্থাৎ:
- প্রতিটি \(\varphi \in H^*\)-এর জন্য ঠিক একটি \(h \in H\) আছে।
- \(\lVert \varphi_{h_1 + h_2} \rVert = \lVert h_1 + h_2 \rVert\) (norm preserve)।
- "Antilinear": \(\varphi_{\alpha h} = \bar{\alpha} \varphi_h\) (\(\mathbb{C}\)-এ complex conjugate আসে)।
চিত্র ৫: \(H \cong H^*\) — Riesz theorem-এর মাধ্যমে Hilbert space আর তার dual space একে অপরের সাথে সমরূপ। বাঁ দিকে \(H\)-এর vector \(h\), ডান দিকে \(H^*\)-এর functional \(\varphi_h = \langle \cdot, h \rangle\)।
৫.৩.৬ উদাহরণ ও Analogy¶
উদাহরণ ১: \(\mathbb{R}^n\) — Row vector ↔ Column vector¶
উদাহরণ ১: \(\mathbb{R}^n\)-এ Riesz theorem
\(H = \mathbb{R}^n\), inner product \(\langle \mathbf{f}, \mathbf{h} \rangle = \sum_{k=1}^n f_k h_k\)।
যেকোনো bounded linear functional \(\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)-কে একটি row vector (সারি ভেক্টর) \([h_1, \ldots, h_n]\) হিসেবে লেখা যায়:
Riesz theorem নিশ্চিত করে যে এই \(\mathbf{h} = (h_1, \ldots, h_n)\) unique এবং \(\lVert \varphi \rVert = \lVert \mathbf{h} \rVert_2\)।
সুনির্দিষ্ট উদাহরণ: \(n = 2\), \(\varphi(f_1, f_2) = 3f_1 - 2f_2\)। তাহলে \(h = (3, -2)\) এবং \(\lVert \varphi \rVert = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)।
চিত্র ৬: \(\mathbb{R}^2\)-এ Riesz correspondence। বাঁয়ে column vector \(h\) এবং \(f\); ডানে একই তথ্য row-column গুণনে। Row vector (functional) আর column vector (Riesz representative) একই সত্তার দুই রূপ।
উদাহরণ ২: \(L^2(\mu)\)-এ Riesz theorem¶
উদাহরণ ২: \(L^2([0,1])\)-এ একটি functional
\(H = L^2([0,1])\), inner product \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x) \overline{g(x)}\, dx\)।
ধরো \(\varphi : L^2([0,1]) \to \mathbb{C}\) এভাবে সংজ্ঞায়িত:
(এটা Fourier coefficient \(\hat{f}(1)\)।) Riesz theorem বলে এর representing vector হলো \(h(x) = e^{2\pi i x}\), কারণ:
লক্ষ করো: \(\lVert \varphi \rVert = \lVert e^{2\pi i \cdot} \rVert_{L^2} = 1\) (কারণ \(\int_0^1 \lvert e^{2\pi i x} \rvert^2\, dx = 1\))।
উদাহরণ ৩: Point evaluation functional
\(H = \mathbb{R}^n\) (বা \(\ell^2\))। ধরো \(\delta_k : \ell^2 \to \mathbb{R}\) যেখানে \(\delta_k((a_1, a_2, \ldots)) = a_k\) (\(k\)-তম coordinate নাও)।
তাহলে representing vector হলো \(e_k = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)\) (standard basis vector), কারণ:
আর \(\lVert \delta_k \rVert = \lVert e_k \rVert = 1\)।
৫.৩.৭ Level Set — একটি সুন্দর চিত্র¶
Functional \(\varphi\)-এর level set (সমতলতার সমষ্টি) হলো \(\{f \in H : \varphi(f) = c\}\) প্রতিটি \(c \in \mathbb{R}\)-এর জন্য।
যেহেতু \(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\), এই level set-গুলো হলো \(h\)-এর সাথে লম্ব hyperplane-এর সমান্তরাল পরিবার — ঠিক এমনভাবে সাজানো যে \(h\)-এর দিকে এগোলে \(c\)-এর মান বাড়ে।
চিত্র ৭: \(\varphi\)-এর level set-গুলো \(h\)-এর সাথে লম্ব সমান্তরাল রেখার পরিবার। \(\varphi=0\) (ker \(\varphi\)) মূলবিন্দু দিয়ে যায়; \(h\)-এর দিকে এগোলে মান সমানভাবে বাড়ে।
৫.৩.৮ সাধারণ ভুল (Common Mistakes)¶
সতর্কতা ১: দ্বিতীয় slot-এ antilinearity
Riesz-এর \(h\) হলো দ্বিতীয় slot-এ: \(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\)। \(\mathbb{C}\)-তে দ্বিতীয় slot antilinear, তাই \(\varphi_{\alpha h} = \bar{\alpha} \varphi_h\), \(\alpha \varphi_h\) নয়। অনেক বই প্রথম slot antilinear রাখে — সেক্ষেত্রে \(h\) প্রথম slot-এ থাকে। Axler-এর convention সবসময় দ্বিতীয় slot antilinear।
সতর্কতা ২: Hilbert space না হলে
Riesz theorem শুধুমাত্র Hilbert space-এ কাজ করে — completeness (সম্পূর্ণতা) অত্যাবশ্যক। \(C([0,1])\) inner product space কিন্তু Hilbert space নয় (complete নয়)। সেখানে এমন bounded linear functional আছে যার representing vector নেই।
সতর্কতা ৩: \(\varphi = 0\) ক্ষেত্র
\(\varphi = 0\) হলে \(h = 0\)। এটা trivial মনে হলেও প্রমাণের প্রথমেই আলাদা করে ধরা জরুরি — কারণ \(h \neq 0\) ধরে \(h\)-এর normalized version দিয়ে argument চলে।
৫.৩.৯ এক্সারসাইজ (Exercises)¶
১. \(H = \mathbb{R}^3\), \(\varphi(x_1, x_2, x_3) = 2x_1 - x_2 + 4x_3\)। Riesz-এর representing vector \(h\) খুঁজে বের করো এবং \(\lVert \varphi \rVert\) হিসাব করো।
২. \(H = \ell^2\), \(\varphi((a_k)) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{a_k}{2^k}\)। দেখাও \(\varphi\) bounded। Riesz representative \(h = (h_k)\) কী? \(\lVert \varphi \rVert\) কত?
৩. \(H = L^2([0,1])\)। ধরো \(\varphi(f) = \int_0^1 f(x) \cos(2\pi x)\, dx\)। Riesz representative \(h\) কী? \(\lVert \varphi \rVert\) কত?
৪. দেখাও: যদি \(\varphi : H \to \mathbb{F}\) bounded এবং nonzero linear functional হয়, তাহলে \((\ker\varphi)^\perp\) exactly 1-dimensional।
৫. ধরো \(V\) একটি inner product space (complete নয়)। \(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\) আকারের map সবসময় bounded — এটা প্রমাণ করো। (এটা Riesz-এর "সহজ অর্ধেক"।)
৬. \(H = \mathbb{C}^2\), \(\varphi(z_1, z_2) = 3z_1 + (1+i)z_2\)। Riesz representative \(h \in \mathbb{C}^2\) নির্ণয় করো। মনে রেখো inner product \(\mathbb{C}^2\)-তে \(\langle z, w \rangle = z_1 \bar{w}_1 + z_2 \bar{w}_2\)।
১-নং সমাধান দেখাও
\(\varphi(x) = 2x_1 - x_2 + 4x_3 = \langle x, h \rangle = x_1 h_1 + x_2 h_2 + x_3 h_3\)।
তুলনা করলে: \(h_1 = 2, h_2 = -1, h_3 = 4\)।
তাই \(h = (2, -1, 4)\) এবং
২-নং সমাধান দেখাও
Bounded: \(\lvert \varphi(a) \rvert = \left\lvert \sum \frac{a_k}{2^k} \right\rvert \leq \sum \frac{\lvert a_k \rvert}{2^k} \leq \lVert a \rVert_2 \left(\sum \frac{1}{4^k}\right)^{1/2}\) (Cauchy–Schwarz)।
\(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}\), তাই \(\lvert \varphi(a) \rvert \leq \frac{1}{\sqrt{3}} \lVert a \rVert_2\) — bounded।
Riesz representative: \(\varphi(a) = \sum \frac{a_k}{2^k} = \sum a_k \overline{(1/2^k)} = \langle a, h \rangle\)
যেখানে \(h = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\right) = \left(\frac{1}{2^k}\right)_{k=1}^\infty\)।
Norm: \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert_2 = \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k}\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)।
৩-নং সমাধান দেখাও
\(\varphi(f) = \int_0^1 f(x) \cos(2\pi x)\, dx = \int_0^1 f(x) \overline{\cos(2\pi x)}\, dx = \langle f, h \rangle\)
(কারণ \(\cos(2\pi x)\) বাস্তব, তাই \(\overline{\cos(2\pi x)} = \cos(2\pi x)\)।)
সুতরাং \(h(x) = \cos(2\pi x)\)।
(কারণ \(\int_0^1 \cos^2(2\pi x)\, dx = 1/2\) — standard result।)
৪-নং সমাধান দেখাও
\(\varphi \neq 0\) তাই \(\ker\varphi \neq H\)। Riesz theorem থেকে unique \(h \neq 0\) আছে যেন \(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\)।
সুতরাং \(\ker\varphi = h^\perp = \{f : \langle f, h \rangle = 0\}\)।
তাই \((\ker\varphi)^\perp = (h^\perp)^\perp\)। Closed subspace \(U\)-এর জন্য \((U^\perp)^\perp = U\) (Hilbert space-এ)। সুতরাং \((\ker\varphi)^\perp = \overline{\text{span}\{h\}} = \text{span}\{h\}\) (কারণ \(h \neq 0\)), যা exactly 1-dimensional। \(\square\)
৫-নং সমাধান দেখাও
\(\varphi(f) = \langle f, h \rangle\) ধরো। Inner product axiom থেকে \(\varphi\) linear। Boundedness: Cauchy–Schwarz (inner product space-এ সবসময় প্রযোজ্য):
তাই \(\lVert \varphi \rVert \leq \lVert h \rVert < \infty\), অর্থাৎ \(\varphi\) bounded। \(\square\)
(Completeness-এর প্রয়োজন নেই — এই "সহজ অর্ধেক" সব inner product space-এ কাজ করে।)
৬-নং সমাধান দেখাও
\(\mathbb{C}^2\)-তে inner product: \(\langle z, w \rangle = z_1 \bar{w}_1 + z_2 \bar{w}_2\)।
\(\varphi(z) = 3z_1 + (1+i)z_2 = z_1 \bar{h}_1 + z_2 \bar{h}_2 = \langle z, h \rangle\)।
তুলনা: \(\bar{h}_1 = 3 \implies h_1 = 3\) (বাস্তব, তাই conjugate একই)।
\(\bar{h}_2 = 1+i \implies h_2 = \overline{1+i} = 1-i\)।
তাই \(h = (3, 1-i)\) এবং
৫.৩.১০ সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের মূল বার্তা:
Hilbert space-এ functional = inner product। প্রতিটি bounded linear functional \(\varphi\) আসলে একটি নির্দিষ্ট vector \(h\)-এর সাথে inner product মাত্র। আর এই \(h\) unique এবং \(\lVert \varphi \rVert = \lVert h \rVert\)।
- [x] Bounded linear functional কী এবং \(H^*\) (dual space) কী তা বুঝেছি।
- [x] Riesz theorem-এর statement মুখস্থ নয়, বুঝে বলতে পারি।
- [x] Axler 8.47-এর proof ধাপে ধাপে follow করতে পারি।
- [x] \(\ker\varphi = h^\perp\) — geometric অর্থ বুঝেছি।
- [x] \(\mathbb{R}^n\)-এ row vector ↔ column vector সংযোগ বুঝেছি।
- [x] \(L^2\)-তে Fourier coefficient উদাহরণ বুঝেছি।
- [x] Antilinearity (\(\mathbb{C}\)-এ) কেন আসে এবং কোথায় সতর্ক থাকতে হবে জানি।
- [x] Completeness কেন দরকার তা বলতে পারি।
➡️ পরের অধ্যায়: 5.4 — Orthonormal Basis — Hilbert space-এ orthonormal basis (লম্বসমতুল্য ভিত্তি), Parseval's identity, এবং Fourier series-এর algebraic ভিত্তি।