4.4 — Linear Functional ও Dual Space¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: linear functional (রৈখিক ফাংশনাল) কী — \(f: X \to \mathbb{R}\); bounded functional ও তার norm; dual space (দ্বৈত স্পেস) \(X^* = B(X, \mathbb{R})\); \(X^*\) সবসময় Banach; geometric অর্থ — level set হলো hyperplane (অধিতল); উদাহরণ — evaluation functional, integral \(\int f\,d\mu\), coordinate functionals; \(\mathbb{R}^n\)-এর dual এবং \(\ell^p\)-এর dual সংক্ষেপ।
উৎস (source): Riesz, Hahn, Banach (dual space)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
অধ্যায় 4.3-এ আমরা শিখলাম: bounded linear map \(T: X \to Y\) হলো normed space-এর "ভালো" ফাংশন। এখন একটা বিশেষ ক্ষেত্র ধরো: \(Y = \mathbb{R}\)। তাহলে \(T\) একটা scalar-valued function — একে বলে linear functional (রৈখিক ফাংশনাল)।
এটা কেন বিশেষ?
প্রথমত, scalar হওয়া মানে এর "মান" একটা সংখ্যা — এটা measure করা, তুলনা করা, optimize করা সহজ। Linear programming থেকে quantum mechanics, সর্বত্র আমরা vector-এর উপর scalar function এর সাথে কাজ করি।
দ্বিতীয়ত, সব bounded linear functional-এর সংগ্রহ নিজেই একটা সুন্দর space তৈরি করে — এই space-কে বলা হয় dual space \(X^*\)। অবিশ্বাস্য ব্যাপার: \(X\) যদি Banach হয়, \(X^*\)-ও সবসময় Banach — এমনকি \(X\) complete না হলেও।
তৃতীয়ত, dual space-এর geometric অর্থ অত্যন্ত সুন্দর: প্রতিটা functional-এর level set হলো একটা hyperplane (অধিতল) — অনেকটা \(\mathbb{R}^n\)-এ একটা সমতলের মতো, কিন্তু infinite dimension-এও।
মূল স্বজ্ঞা
Linear functional হলো space-কে একটা নির্দিষ্ট "দিক"-এ project করা। Dual space হলো সব এরকম projection-এর সংগ্রহ — space-টার structure-কে "বাইরে থেকে" দেখার একটা আয়না।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Functional = Projection¶
\(\mathbb{R}^n\)-এ একটা linear functional লেখা যায় \(f(x) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = \langle a, x \rangle\) (inner product)। এটা মূলত \(x\)-কে direction \(a\)-তে project করে।
চিত্র ১: Linear functional \(f(x) = \langle a, x \rangle\): প্রতিটা বিন্দু \(x\) (রঙিন বিন্দু) direction \(a\) (লাল তীর)-এর উপর project হয়। ড্যাশড রেখা = projection line। \(\times\) চিহ্ন = projected foot। নিচের সংখ্যা = \(f(x)\)-এর মান।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
সংজ্ঞা: Linear Functional (রৈখিক ফাংশনাল)¶
সংজ্ঞা: Linear Functional
\(X\) একটা normed vector space। \(f: X \to \mathbb{R}\) (বা \(f: X \to \mathbb{C}\)) বলা হয় linear functional যদি \(f\) linear হয়, অর্থাৎ:
\(f\) বলা হয় bounded যদি কোনো \(M \geq 0\) থাকে যেন:
এবং তার norm সংজ্ঞায়িত:
এটা ঠিক operator norm-এর বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে \(Y = \mathbb{R}\)।
Dual Space (দ্বৈত স্পেস) \(X^*\)¶
সংজ্ঞা: Dual Space
\(X\) normed vector space-এর dual space (দ্বৈত স্পেস) হলো:
\(\lVert f \rVert_{X^*}\) দিয়ে norm-এ।
চিত্র ২: Dual space \(X^*\) schematic। বাঁয়ে — Banach space \(X\); ডানে — \(\mathbb{R}\)। তিনটো আলাদা functional \(f, g, h \in X^*\) (রঙিন তীর) \(X\)-এর বিভিন্ন "দিক" measure করে। নিচের বাক্স = \(X^* = B(X, \mathbb{R})\) নিজেও একটা Banach space।
মূল উপপাদ্য: \(X^*\) সবসময় Banach¶
উপপাদ্য: \(X^*\) is Always Banach
যেকোনো normed space \(X\)-এর জন্য \(X^*\) একটা Banach space (সম্পূর্ণ normed space) — \(X\) নিজে complete না হলেও।
প্রমাণ: \(\{f_n\}\) Cauchy in \(X^*\) ধরো: \(\lVert f_m - f_n \rVert_{X^*} \to 0\)। তাহলে প্রতিটা \(x \in X\)-এর জন্য:
তাই \(\{f_n(x)\}\) Cauchy in \(\mathbb{R}\)। \(\mathbb{R}\) complete বলে সীমা আছে: \(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)\)।
- Linearity: \(f(ax+by) = \lim f_n(ax+by) = \lim (af_n(x)+bf_n(y)) = af(x)+bf(y)\)। ✓
- Boundedness: যথেষ্ট বড় \(N\)-এর জন্য \(\lVert f_N \rVert \leq C\) (Cauchy sequence bounded)। তাহলে \(\lvert f(x) \rvert = \lim \lvert f_n(x) \rvert \leq C \lVert x \rVert\)। ✓
- \(f_n \to f\) in \(X^*\): \(\lvert f_n(x) - f(x) \rvert = \lim_{m\to\infty} \lvert f_n(x) - f_m(x) \rvert \leq \lim_{m\to\infty} \lVert f_n - f_m \rVert \lVert x \rVert \to 0\)। ✓
সুতরাং \(X^*\) complete, তাই Banach। \(\blacksquare\)
কেন এটা সুন্দর? \(X = \mathbb{Q}\) (rational numbers, incomplete) নিলেও \(X^*\) সম্পূর্ণ। Dual নিলে "completeness পাওয়া যায়"।
Geometric অর্থ: Level Sets = Hyperplanes (অধিতল)¶
চিত্র ৩: \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) functional-এর level set। প্রতিটা রঙিন রেখা = \(\{x: f(x) = c\}\) (constant \(c\)-এর জন্য) — এগুলো সবই parallel সরলরেখা (hyperplane in \(\mathbb{R}^2\))। লাল তীর = \(\text{grad}\,f = a\) direction, hyperplane-এর উপর লম্ব।
উপপাদ্য: Level Sets are Hyperplanes
\(f: X \to \mathbb{R}\) nonzero bounded linear functional হলে প্রতিটা level set
একটা closed hyperplane (বন্ধ অধিতল) in \(X\)।
বিশেষত kernel \(H_0 = \ker f = f^{-1}(\{0\})\) একটা closed subspace of codimension 1।
প্রমাণ (sketch): \(H_c = x_0 + \ker f\) যেখানে \(f(x_0) = c\)। \(\ker f\) linear subspace (সরলভাবে পরীক্ষা করো)। \(f\) bounded বলে \(\ker f = f^{-1}(\{0\})\) closed (continuous function-এর closed set-এর preimage closed)। \(\blacksquare\)
চিত্র ৪: \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\)-এর kernel = একটা plane (নীল)। লাল তীর = normal direction \(a\)। Plane হলো \(a\)-এর লম্ব দিক জুড়ে বিস্তৃত। সব \(f\)-এর level set এই plane-এর parallel।
Bounded Functional Norm: Geometric View¶
চিত্র ৫: বাঁয়ে — unit circle-এ \(f(x)\) মান (color map)। লাল তারা = যে দিকে \(\lvert f \rvert\) সর্বোচ্চ — সেটাই \(\lVert f \rVert_*\)। ডানে — \(X^*\)-এ বিভিন্ন functional vector হিসেবে; তাদের "length" = functional norm।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
উদাহরণ ১: \(\mathbb{R}^n\)-এর Dual¶
\(X = \mathbb{R}^n\) (Euclidean norm)। প্রতিটা linear functional \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) লেখা যায়:
কোনো vector \(a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n\)-এর জন্য। Norm: \(\lVert f \rVert_* = \lVert a \rVert_2\)।
তাই \((\mathbb{R}^n)^* \cong \mathbb{R}^n\) — dual space মূল space-এর isomorphic copy।
এটা finite dimension-এর বিশেষত্ব। Infinite dimension-এ \(X^*\) অনেক সময় \(X\)-এর চেয়ে "বড়" বা "ছোট"।
উদাহরণ ২: Evaluation Functional on \(C[0, 1]\)¶
\(X = C[0, 1]\) (sup-norm)। \(t_0 \in [0,1]\) fix করো। তাহলে:
Linearity: \(\delta_{t_0}(af+bg) = (af+bg)(t_0) = af(t_0)+bg(t_0)\) ✓। Boundedness: \(\lvert \delta_{t_0}(f) \rvert = \lvert f(t_0) \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty\), তাই \(\lVert \delta_{t_0} \rVert_* = 1\)।
এই functional-টাই Dirac delta measure \(\delta_{t_0}\)-এর algebraic মূল।
উদাহরণ ৩: Integral Functional¶
\(X = C[0, 1]\) (sup-norm)। \(\mu\) একটা finite Borel measure। তাহলে:
Linearity: integral-এর linearity থেকে। Boundedness: \(\lvert I_\mu(f) \rvert \leq \int_0^1 \lvert f \rvert \, d\mu \leq \lVert f \rVert_\infty \cdot \mu([0,1])\)। তাই \(\lVert I_\mu \rVert_* \leq \mu([0,1])\) (আসলে equality)।
Riesz Representation Theorem বলে: \(C[0,1]^*\) ঠিক এই Borel measure-দের দিয়েই তৈরি।
উদাহরণ ৪: Coordinate Functional on \(\ell^1\)¶
\(X = \ell^1 = \{(x_k) : \sum \lvert x_k \rvert < \infty\}\)। \(n\)-তম coordinate functional:
Boundedness: \(\lvert e_n^*(x) \rvert = \lvert x_n \rvert \leq \sum_k \lvert x_k \rvert = \lVert x \rVert_1\), তাই \(\lVert e_n^* \rVert_* \leq 1\)।
Tight: \(e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots)\) নিলে \(e_n^*(e_n) = 1\) এবং \(\lVert e_n \rVert_1 = 1\)। তাই \(\lVert e_n^* \rVert_* = 1\)।
Dual of \(\ell^p\) (সংক্ষিপ্ত): \(1 \leq p < \infty\), \(1/p + 1/q = 1\) হলে \((\ell^p)^* \cong \ell^q\) (Hölder inequality দিয়ে প্রমাণ করা হয়)। বিশেষত \((\ell^1)^* \cong \ell^\infty\) এবং \((\ell^2)^* \cong \ell^2\) (Hilbert space নিজের dual)।
Analogy: Dual Space যেন "পরিমাপ যন্ত্রের সংগ্রহ"¶
ভাবো \(X\) হলো সব possible physical state-এর space। একটা linear functional হলো একটা measurement apparatus — যে প্রতিটা state থেকে একটা সংখ্যা বের করে। \(X^*\) হলো সব possible measurement-এর সংগ্রহ।
Quantum mechanics-এ ঠিক এটাই: state space \(\mathcal{H}\) (Hilbert space), observable-রা হলো \(\mathcal{H}^*\)-এর elements (বা self-adjoint operator)।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
\(X^*\) ভাবা মানে "\(X\)-এর subset।" \(X^*\) আলাদা space — এর elements হলো function (\(X \to \mathbb{R}\)), \(X\)-এর elements vector। \(X^* \neq X\) সাধারণত।
-
Algebraic dual বনাম topological dual গুলিয়ে ফেলা। Algebraic dual = সব linear map (unbounded-ও)। Topological dual \(X^* = B(X, \mathbb{R})\) = শুধু bounded। Infinite dimension-এ এরা আলাদা।
-
\((\ell^1)^* = \ell^1\) ভাবা। সঠিক: \((\ell^1)^* \cong \ell^\infty\), \((\ell^\infty)^*\) strictly larger than \(\ell^1\)।
-
\(X^{**} = X\) সব space-এ ভাবা। Banach space-এ canonical embedding \(X \hookrightarrow X^{**}\) আছে। \(X = X^{**}\) (reflexive) হলে যেমন \(\ell^p\) (\(1 < p < \infty\)) — কিন্তু \(\ell^1, \ell^\infty, L^1, C[0,1]\) reflexive নয়।
-
Kernel hyperplane "বন্ধ" কি না ভাবতে ভুলে যাওয়া। \(f\) bounded হলে \(\ker f\) closed। কিন্তু algebraic dual-এর element দিয়ে \(\ker f\) dense হতে পারে — closed নয়।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
-
\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\), \(f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1 - x_2 + 3x_3\)। \(\lVert f \rVert_*\) খোঁজো (Euclidean norm ব্যবহার করো)।
-
\(g: C[0,1] \to \mathbb{R}\), \(g(f) = \int_0^1 t \cdot f(t)\, dt\)। দেখাও \(g\) bounded এবং \(\lVert g \rVert_*\) খোঁজো।
-
\(h: \ell^2 \to \mathbb{R}\), \(h((x_k)) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{k}\)। \(h\) কি well-defined এবং bounded? \(\lVert h \rVert_*\) কত?
-
দেখাও: \(X\) normed space, \(f \in X^*\) এবং \(f \neq 0\) হলে \(\ker f\) একটা proper closed subspace of codimension 1।
-
\(X = \ell^1\) এবং \(\phi \in (\ell^1)^* \cong \ell^\infty\) সংজ্ঞায়িত: \(\phi(x) = \sum_k b_k x_k\) যেখানে \(b = (b_k) \in \ell^\infty\)। দেখাও \(\lVert \phi \rVert_* = \lVert b \rVert_\infty\)।
-
ধরো \(f, g \in X^*\) এবং \(\ker f = \ker g\) (একই kernel)। দেখাও \(f = \lambda g\) কোনো scalar \(\lambda\)-এর জন্য।
-
(চ্যালেঞ্জ) \(X = C[0,1]\) এবং \(T: X \to X^*\) সংজ্ঞায়িত: \((Tf)(g) = \int_0^1 f(t) g(t)\, dt\)। দেখাও \(T\) bounded linear এবং \(\lVert T \rVert \leq 1\)।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = \langle a, x \rangle\) যেখানে \(a = (2, -1, 3)\)।
Cauchy-Schwarz থেকে: \(\lvert f(x) \rvert = \lvert \langle a, x \rangle \rvert \leq \lVert a \rVert_2 \lVert x \rVert_2\)।
Tight: \(x = a / \lVert a \rVert\) নিলে \(f(x) = \lVert a \rVert_2\)।
সুতরাং:
২-নং সমাধান দেখাও
Linearity: \(g(af + bh) = \int_0^1 t(af(t)+bh(t))\,dt = ag(f) + bg(h)\)। ✓
Boundedness:
সুতরাং \(\lVert g \rVert_* \leq 1/2\)।
Tight: constant \(f \equiv 1\) নিলে \(g(1) = 1/2\), \(\lVert 1 \rVert_\infty = 1\)। Ratio = \(1/2\)।
অতএব \(\lVert g \rVert_* = 1/2\)।
৩-নং সমাধান দেখাও
Well-defined: Cauchy-Schwarz (বা Hölder \(p=q=2\)):
সুতরাং \(h\) well-defined এবং \(\lVert h \rVert_* \leq \pi/\sqrt{6}\)।
Tight: Riesz representation — \(h((x_k)) = \langle b, x \rangle_{\ell^2}\) যেখানে \(b = (1/k)_{k=1}^\infty \in \ell^2\) (কারণ \(\sum 1/k^2 < \infty\))।
\(\lVert h \rVert_* = \lVert b \rVert_2 = \sqrt{\sum 1/k^2} = \frac{\pi}{\sqrt{6}}\)।
৪-নং সমাধান দেখাও
Subspace: \(\ker f = \{x: f(x) = 0\}\)। \(x, y \in \ker f\) এবং scalar \(a, b\) নিলে \(f(ax+by) = af(x)+bf(y) = 0\) — তাই \(ax+by \in \ker f\)। ✓
Closed: \(f\) bounded, তাই continuous। \(\{0\}\) closed in \(\mathbb{R}\), তাই \(\ker f = f^{-1}(\{0\})\) closed। ✓
Proper: \(f \neq 0\) বলে \(\exists x_0: f(x_0) \neq 0\) — তাই \(x_0 \notin \ker f\), \(\ker f \neq X\)। ✓
Codimension 1: যেকোনো \(x \in X\) লেখা যায় \(x = \frac{f(x)}{f(x_0)} x_0 + \left(x - \frac{f(x)}{f(x_0)} x_0\right)\)। দ্বিতীয় অংশ \(\ker f\)-এ (যাচাই করো)। সুতরাং \(X = \ker f \oplus \text{span}\{x_0\}\) — codimension 1। ✓
৫-নং সমাধান দেখাও
Upper bound: \(\lvert \phi(x) \rvert = \lvert \sum_k b_k x_k \rvert \leq \sum_k \lvert b_k \rvert \lvert x_k \rvert \leq \lVert b \rVert_\infty \sum_k \lvert x_k \rvert = \lVert b \rVert_\infty \lVert x \rVert_1\)।
তাই \(\lVert \phi \rVert_* \leq \lVert b \rVert_\infty\)।
Lower bound: \(M = \lVert b \rVert_\infty = \sup_k \lvert b_k \rvert\)। যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য \(n\) আছে যেন \(\lvert b_n \rvert > M - \varepsilon\)।
\(x = e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots)\) নিলে \(\lVert e_n \rVert_1 = 1\) এবং \(\lvert \phi(e_n) \rvert = \lvert b_n \rvert > M - \varepsilon\)।
\(\varepsilon \to 0\) করলে \(\lVert \phi \rVert_* \geq M\)।
অতএব \(\lVert \phi \rVert_* = \lVert b \rVert_\infty\)। ✓
৬-নং সমাধান দেখাও
\(f \neq 0\) বলে \(\exists x_0 \notin \ker f\), i.e., \(f(x_0) \neq 0\)।
যেকোনো \(x \in X\) লেখো: \(x = \underbrace{\left(x - \frac{f(x)}{f(x_0)} x_0\right)}_{\in \ker f} + \frac{f(x)}{f(x_0)} x_0\)।
\(g\)-এ প্রয়োগ: \(g(x) = g\!\left(x - \frac{f(x)}{f(x_0)} x_0\right) + \frac{f(x)}{f(x_0)} g(x_0)\)।
প্রথম অংশ \(\ker f = \ker g\)-এ, তাই \(g\)-তে \(0\):
যেখানে \(\lambda = g(x_0)/f(x_0)\)। অতএব \(g = \lambda f\)। \(\blacksquare\)
৭-নং সমাধান দেখাও
\(Tf \in X^*\) well-defined: \((Tf)(g) = \int_0^1 f(t)g(t)\,dt\)।
\(\lvert (Tf)(g) \rvert \leq \int_0^1 \lvert f(t) \rvert \lvert g(t) \rvert\, dt \leq \lVert f \rVert_\infty \lVert g \rVert_\infty\)।
সুতরাং \(\lVert Tf \rVert_{X^*} \leq \lVert f \rVert_\infty\) — \(Tf\) bounded। ✓
\(T\) linear: \((T(af+bh))(g) = \int_0^1 (af+bh)g\,dt = a(Tf)(g) + b(Th)(g)\)। ✓
\(T\) bounded: \(\lVert Tf \rVert_{X^*} \leq \lVert f \rVert_\infty\) থেকে \(\lVert T \rVert \leq 1\)। ✓
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Linear functional \(f: X \to \mathbb{R}\) — সংজ্ঞা; bounded হওয়ার শর্ত ও norm \(\lVert f \rVert_* = \sup_{\lVert x \rVert=1} \lvert f(x) \rvert\)।
- [ ] Dual space \(X^* = B(X, \mathbb{R})\) — সংজ্ঞা ও মৌলিক উদাহরণ।
- [ ] \(X^*\) সবসময় Banach — \(X\) complete না হলেও — প্রমাণের ধাপ বলতে পারি।
- [ ] Geometric অর্থ: প্রতিটা bounded nonzero functional-এর level set = closed hyperplane; \(\ker f\) = codimension-1 subspace।
- [ ] উদাহরণ: evaluation \(\delta_{t_0}\), integral \(I_\mu\), coordinate \(e_n^*\), inner product functional।
- [ ] \((\mathbb{R}^n)^* \cong \mathbb{R}^n\); \((\ell^p)^* \cong \ell^q\) (\(1/p + 1/q = 1\)) — জানি, বিশেষত \((\ell^2)^* \cong \ell^2\)।
- [ ] \(X \hookrightarrow X^{**}\) canonical embedding — reflexive space (\(X = X^{**}\)) ধারণা জানি।
➡️ পরের অধ্যায়: 4.5 — Hahn–Banach Theorem — dual space-এর সবচেয়ে শক্তিশালী হাতিয়ার: Hahn–Banach theorem বলে যেকোনো subspace-এ defined bounded functional কে সমগ্র space-এ extend করা যায় norm না বাড়িয়ে — এবং এর geometric version থেকে separating hyperplane পাওয়া যায়।