5.6 — Fourier ও L²; Convolution¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: ONB for L²(circle), convolution

উৎস (source): Fourier; Riesz–Fischer; Parseval।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

একটা গান রেকর্ড করা হলো। সেই শব্দ-তরঙ্গ $f(t)$-কে যদি ভেঙে দেখি — প্রতিটা সুরের কম্পাঙ্ক আলাদা করি — তাহলে একটা আশ্চর্য জিনিস পাওয়া যায়: প্রতিটা সুর বা কম্পাঙ্ক একটা আলাদা সংখ্যা $\hat{f}(n)$-এ সংকুচিত হয়। এই সংকোচনের নাম Fourier series (ফুরিয়ে সিরিজ)।

কিন্তু প্রশ্ন হলো: এই রূপান্তর কি নিখুঁত? মানে, আমরা কি মূল $f$-টাকে সম্পূর্ণ ফিরিয়ে পেতে পারি? আর যদি পারি, তাহলে কতটা শক্তি (energy) হারিয়ে যাচ্ছে?

এই অধ্যায়ের তিনটা বড় উত্তর:

হ্যাঁ, ONB আছে। $\left\{z^n = e^{in\theta}\right\}_{n \in \mathbb{Z}}$ হলো $L^2(\partial D)$-এর একটা orthonormal basis (অর্থোনর্মাল ভিত্তি)। মানে যেকোনো $f \in L^2$-কে এই তরঙ্গগুলোর সমষ্টি হিসেবে লেখা যায়।
কোনো শক্তি হারায় না। Parseval-এর পরিচয় বলে: $\sum_n \lvert\hat{f}(n)\rvert^2 = \lVert f \rVert_2^2$ — কো-এফিশেন্টগুলোর বর্গের যোগ মূল function-এর মোট শক্তির সমান।
Convolution (কনভোলিউশন) হলো দুটো signal-এর "sliding overlap" — এবং এটা frequency domain-এ শুধু গুণ: $\widehat{f \ast g}(n) = \hat{f}(n)\,\hat{g}(n)$।

এই ধারণাগুলো ছাড়া signal processing, audio engineering, image processing, quantum mechanics — কোনোটাই কাজ করে না।

মূল স্বজ্ঞা

Fourier series হলো একটা function-কে $L^2$-এর "orthogonal coordinates"-এ লেখা — ঠিক যেমন $\mathbb{R}^3$-এ একটা vector-কে $x, y, z$ নির্দেশাঙ্কে লিখি। Parseval বলে এই প্রক্রিয়ায় "দৈর্ঘ্য" সংরক্ষিত হয়।

আগের অধ্যায়গুলোর সাথে যোগসূত্র: 5.1-এ inner product শিখেছিলাম, 5.2-এ orthogonality, 5.3-এ Hilbert space। এই অধ্যায়ে সেই সব কাঠামো একসাথে এসে Fourier analysis তৈরি করে।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

বৃত্তের উপর function — কেন circle?¶

আমরা $\partial D$ মানে একক বৃত্তের বাউন্ডারি ব্যবহার করব। এটা হলো $\{z \in \mathbb{C} : \lvert z \rvert = 1\}$। প্রতিটা বিন্দু $z = e^{i\theta}$ যেখানে $\theta \in (-\pi, \pi]$। পরিমাপ $\sigma$ হলো আর্ক-দৈর্ঘ্য থেকে normalize করা — $\sigma(\partial D) = 1$।

এখন $L^2(\partial D)$ মানে বৃত্তের উপর সেইসব complex-valued function যাদের $\lVert f \rVert_2^2 = \int_{\partial D} \lvert f \rvert^2 \, d\sigma < \infty$।

Fourier coefficient কী?¶

Fourier coefficient (ফুরিয়ে সহগ) $\hat{f}(n)$ হলো $f$-এর $n$-তম "projection" তরঙ্গ $z^n$-এর উপর:

\[\hat{f}(n) = \langle f, z^n \rangle = \int_{\partial D} f(z) \, \overline{z^n} \, d\sigma(z)\]

যেহেতু $\overline{z^n} = z^{-n}$ যখন $\lvert z \rvert = 1$, তাই

\[\hat{f}(n) = \int_{\partial D} f(z)\, z^{-n} \, d\sigma(z) = \int_{-\pi}^{\pi} f(e^{i\theta})\, e^{-in\theta} \, \frac{d\theta}{2\pi}\]

ভাবো: $\hat{f}(n)$ মাপছে $f$-এর মধ্যে $n$-তম কম্পাঙ্কের তরঙ্গ কতটুকু আছে। $n = 0$ মানে DC বা গড়; $n = 1, -1$ মানে মৌলিক কম্পাঙ্ক; $n = \pm 2, \pm 3, \ldots$ মানে উচ্চতর হারমোনিক।

Orthonormality — তরঙ্গরা পরস্পর লম্ব¶

Axler 11.6: $\langle z^m, z^n \rangle = \delta_{mn}$, অর্থাৎ:

\[\int_{\partial D} z^m \overline{z^n} \, d\sigma(z) = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(m-n)\theta} \, \frac{d\theta}{2\pi} = \begin{cases} 1 & m = n \\ 0 & m \neq n \end{cases}\]

$m \neq n$-এর ক্ষেত্রে $e^{i(m-n)\theta}$ একটা পূর্ণ চক্র ঘোরে — যোগফল শূন্য হয়। এটাই তরঙ্গদের orthogonality (লম্বতা)।

$ONB {e^(inθ)} — বৃত্তের harmonic functions$

চিত্র ১: $L^2(\partial D)$-এর ONB এর প্রথম কয়েকটা basis function $e^{in\theta}/\sqrt{2\pi}$, $n = 0, 1, 2, 3$। কঠিন রেখা real part, ড্যাশ imaginary part। প্রতিটা function আলাদা কম্পাঙ্কের তরঙ্গ — পরস্পর $L^2$-orthogonal।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

সংজ্ঞা: Fourier series ও coefficient¶

সংজ্ঞা: Fourier Coefficient ও Fourier Series

$f \in L^1(\partial D)$-এর জন্য, প্রতিটা $n \in \mathbb{Z}$-এ Fourier coefficient (ফুরিয়ে সহগ) সংজ্ঞায়িত:

\[\hat{f}(n) := \langle f, z^n \rangle = \int_{\partial D} f(z)\, z^{-n}\, d\sigma(z)\]

Fourier series (ফুরিয়ে সিরিজ) হলো আনুষ্ঠানিক সমষ্টি:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\, z^n\]

এই সিরিজ pointwise converge করে কিনা সেটা আলাদা প্রশ্ন; কিন্তু $L^2$-এ converge করে — এটাই এই অধ্যায়ের মূল ফলাফল।

উপপাদ্য: $\{z^n\}$ হলো $L^2(\partial D)$-এর ONB¶

এটাই Axler 11.30 এবং 11.31-এর মূল বিষয়।

উপপাদ্য: Orthonormal Basis of $L^2(\partial D)$

পরিবার $\{z^n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ হলো $L^2(\partial D)$-এর একটা orthonormal basis (অর্থোনর্মাল ভিত্তি)।

প্রমাণের স্কেচ (Axler 11.30):

Orthonormality আগেই দেখানো। ONB হওয়ার জন্য দেখাতে হবে যে $\overline{\mathrm{span}\{z^n\}} = L^2(\partial D)$।

ধরো $f \in \mathrm{span}\{z^n\}^{\perp}$, অর্থাৎ $\hat{f}(n) = 0$ সব $n \in \mathbb{Z}$-এর জন্য। যেকোনো $\varepsilon > 0$-এর জন্য একটা দুইবার-মসৃণ $g: \partial D \to \mathbb{C}$ আছে যেখানে $\lVert f - g \rVert_2 < \varepsilon$।

এখন মসৃণ function-গুলোর জন্য Fourier series absolutely converge করে (Axler 11.27), তাই:

\[\lVert g \rVert_2^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \lvert \hat{g}(n) \rvert^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \lvert \widehat{g-f}(n) \rvert^2 \leq \lVert g - f \rVert_2^2 < \varepsilon^2\]

(কারণ $\hat{f}(n) = 0$ মানে $\hat{g}(n) = \widehat{g-f}(n)$, আর Bessel's inequality প্রয়োগ।)

তাই $\lVert f \rVert_2 \leq \lVert f - g \rVert_2 + \lVert g \rVert_2 < 2\varepsilon$। যেহেতু $\varepsilon$ স্বেচ্ছা, তাই $f = 0$। সুতরাং $\mathrm{span}\{z^n\}^{\perp} = \{0\}$, যার মানে $\overline{\mathrm{span}} = L^2(\partial D)$। $\square$

উপপাদ্য: Fourier Series-এর $L^2$-Convergence¶

উপপাদ্য (Axler 11.31): $L^2$ Convergence

প্রতিটা $f \in L^2(\partial D)$-এর জন্য:

\[f = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\, z^n\]

যেখানে সমষ্টি $L^2(\partial D)$-এর norm-এ converge করে, অর্থাৎ:

\[\left\lVert f - \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n)\, z^n \right\rVert_2 \to 0 \quad \text{যখন } N \to \infty\]

এই উপপাদ্য সরাসরি Hilbert space theory থেকে আসে (Axler 8.63a): একটা ONB থাকলে প্রতিটা element তার ONB coefficients দিয়ে expand করা যায়।

গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য: এটা $L^2$-convergence, pointwise convergence নয়। Pointwise convergence হয় কিনা সেটা Carl Friedrich Gauss-কেও অবাক করত — 1966 সালে Lennart Carleson প্রমাণ করেছেন $L^2$-function-এর Fourier series প্রায়-সর্বত্র pointwise converge করে। কিন্তু $L^2$-convergence অনেক বেশি কাজের।

L² convergence of Fourier partial sums

চিত্র ২: $f(\theta) = \theta$ (sawtooth) function-এর Fourier partial sums $S_N$ — $N = 3, 10, 40$। ড্যাশ = $f$, রঙিন = $S_N$। $L^2$ norm error দেখানো হয়েছে — $N$ বাড়লে error দ্রুত শূন্যের দিকে যায়।

উপপাদ্য: Parseval-এর পরিচয়¶

Parseval's identity (পারসেভালের পরিচয়) হলো Hilbert space-এর Pythagoras theorem-এর একটা অসীম মাত্রার রূপ।

উপপাদ্য (Axler 8.63c, 11.31): Parseval's Identity

$f \in L^2(\partial D)$-এর জন্য:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \lvert \hat{f}(n) \rvert^2 = \lVert f \rVert_2^2\]

আরও সাধারণভাবে, $f, g \in L^2(\partial D)$-এর জন্য:

\[\langle f, g \rangle = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\, \overline{\hat{g}(n)}\]

প্রমাণ: ONB expansion $f = \sum_n \hat{f}(n) z^n$ থেকে সরাসরি:

\[\lVert f \rVert_2^2 = \left\langle \sum_m \hat{f}(m) z^m,\; \sum_n \hat{f}(n) z^n \right\rangle = \sum_{m,n} \hat{f}(m)\, \overline{\hat{f}(n)}\, \langle z^m, z^n \rangle = \sum_n \lvert \hat{f}(n) \rvert^2\]

কারণ $\langle z^m, z^n \rangle = \delta_{mn}$। $\square$

ব্যবহার — Euler-এর $\pi^2/6$ (Axler 11.32): $f(e^{i\theta}) = \theta$-এর জন্য $\hat{f}(n) = \frac{(-1)^n i}{n}$ ($n \neq 0$), $\hat{f}(0) = 0$। Parseval দেয়:

\[\sum_{n \neq 0} \frac{1}{n^2} = \lVert f \rVert_2^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \theta^2 \, \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{\pi^2}{3}\]

তাই $2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3}$, অর্থাৎ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ — Euler (1734)-এর বিখ্যাত ফলাফল!

Parseval energy bar chart

চিত্র ৩: বাঁয়ে: $f(\theta)=\theta$-এর Fourier energy spectrum $\lvert\hat{f}(n)\rvert^2$ বনাম $n$। ডানে: partial energy sum $\sum_{\lvert n \rvert \leq N} \lvert\hat{f}(n)\rvert^2$ ধীরে ধীরে $\lVert f \rVert_2^2 = \pi^2/3$ (ড্যাশ)-এর দিকে যাচ্ছে। এটাই Parseval-এর energy conservation।

সংজ্ঞা: Convolution (কনভোলিউশন)¶

Convolution হলো দুটো function-এর একটা নতুন function তৈরির পদ্ধতি — একটাকে "উল্টিয়ে" অপরটার উপর "স্লাইড" করানো হয়।

সংজ্ঞা (Axler 11.36): Convolution $f \ast g$

$f, g \in L^1(\partial D)$-এর জন্য, convolution $f \ast g$ সংজ্ঞায়িত:

\[(f \ast g)(z) := \int_{\partial D} f(w)\, g(z\bar{w})\, d\sigma(w)\]

Real line-এর ভাষায় (transfer করলে):

\[(f \ast g)(e^{i\theta}) = \int_{-\pi}^{\pi} f(e^{is})\, g(e^{i(\theta - s)})\, \frac{ds}{2\pi}\]

এই integral প্রায়-সর্বত্র সংজ্ঞিত এবং $f \ast g \in L^1(\partial D)$ (Axler 11.37)।

স্বজ্ঞা: $g$-কে $\theta$-এর সাপেক্ষে "উল্টিয়ে shift করা হয়" এবং $f$-এর সাথে overlap নেওয়া হয়। Convolution হলো সেই "overlap integral"।

Commutativity (বিনিময়যোগ্যতা): $f \ast g = g \ast f$ — Axler 11.41।

$L^p$ bound (Axler 11.38): $f \in L^1(\partial D)$, $g \in L^p(\partial D)$ হলে:

\[\lVert f \ast g \rVert_p \leq \lVert f \rVert_1 \lVert g \rVert_p\]

Convolution as sliding overlap

চিত্র ৪: Convolution = sliding overlap। বাঁয়ে চওড়া pulse $f$, মাঝে সরু pulse $g$, ডানে $(f \ast g)(\theta) = \int f(\varphi)\,g(\theta-\varphi)\,d\varphi$। Result হলো একটা মসৃণ, চওড়া pulse — convolution সর্বদা original-এর চেয়ে "smooth"।

উপপাদ্য: Convolution Theorem (কনভোলিউশন তত্ত্ব)¶

এটাই Fourier analysis-এর সবচেয়ে শক্তিশালী ফলাফল।

উপপাদ্য (Axler 11.44): Convolution Theorem

$f, g \in L^1(\partial D)$-এর জন্য, প্রতিটা $n \in \mathbb{Z}$-এ:

\[\widehat{f \ast g}(n) = \hat{f}(n)\, \hat{g}(n)\]

অর্থাৎ: space domain-এ convolution = frequency domain-এ গুণ।

প্রমাণ (Axler 11.44):

প্রথমে লক্ষ করি: $w \in \partial D$, $n \in \mathbb{Z}$-এর জন্য rotation invariance থেকে (Axler 11.45):

\[\int_{\partial D} g(zw)\, z^{-n}\, d\sigma(z) = \int_{\partial D} g(\zeta)\, \zeta^{-n}\, w^{-n}\, d\sigma(\zeta) = w^{-n}\, \hat{g}(n)\]

এখন:

\[\widehat{f \ast g}(n) = \int_{\partial D} (f \ast g)(z)\, z^{-n}\, d\sigma(z) = \int_{\partial D} z^{-n} \int_{\partial D} f(w)\, g(z\bar{w})\, d\sigma(w)\, d\sigma(z)\]

Fubini ব্যবহার করে:

\[= \int_{\partial D} f(w) \int_{\partial D} g(zw)\, z^{-n}\, d\sigma(z)\, d\sigma(w) = \int_{\partial D} f(w)\, w^{-n}\, \hat{g}(n)\, d\sigma(w) = \hat{f}(n)\, \hat{g}(n)\]

$\square$

স্বজ্ঞা: Space domain-এ convolution করা কঠিন (integral)। কিন্তু frequency domain-এ শুধু গুণ। তাই engineer-রা: "এগিয়ে যাও Fourier domain-এ, গুণ করো, ফিরে আসো।"

Convolution theorem — frequency multiplication

চিত্র ৫: Convolution theorem চিত্রে। $\hat{f}(n)$ ও $\hat{g}(n)$-এর magnitudes আলাদা। $\widehat{f \ast g}(n) = \hat{f}(n)\hat{g}(n)$ — frequency-wise গুণফল। Space-এ integral করার বদলে frequency-এ গুণ করাই সহজ।

Approximate Identity ও Poisson Kernel¶

Approximate identity (আনুমানিক সত্তা) হলো kernels-এর একটা পরিবার যারা "ক্রমশ delta function-এর মতো" হয়ে যায়।

সংজ্ঞা: Approximate Identity

কার্নেলদের একটা পরিবার $\{K_r\}_{0 \leq r < 1}$ (বা $\{K_\varepsilon\}_{\varepsilon > 0}$) কে approximate identity বলা হয় যদি:

$\int_{\partial D} K_r \, d\sigma = 1$ সব $r$-এর জন্য (normalization)
$K_r \geq 0$
যেকোনো $\delta > 0$-এর জন্য $\lVert K_r \cdot \chi_{[\delta, 2\pi-\delta]} \rVert_1 \to 0$ যখন $r \to 1$

(অর্থাৎ mass মূলবিন্দুর কাছে concentrate হয়।)

Poisson kernel (পয়সোঁ কার্নেল) $P_r(\theta) = \frac{1-r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \cdot \frac{1}{2\pi}$ একটা approximate identity — এবং $P_r f = f \ast P_r$।

মূল ফলাফল (Axler 11.42): $f \in L^p(\partial D)$, $1 \leq p < \infty$ হলে:

\[\lVert f - P_r f \rVert_p \to 0 \quad \text{যখন } r \uparrow 1\]

অর্থাৎ convolution-এর মাধ্যমে approximate identity দিয়ে $f$-এর কাছাকাছি যাওয়া যায়।

আরেকটা ব্যাখ্যা: $f \ast K_r \to f$ মানে "kernel-টা $\delta$-function-এর মতো আচরণ করছে।" যদি $K_r = \delta$, তাহলে $f \ast \delta = f$। Approximate identity হলো $\delta$-function-এর smooth approximation।

Approximate identity — Poisson kernels narrowing to delta

চিত্র ৬: Poisson kernel $P_r(\theta)$ বিভিন্ন $r$-এর জন্য। $r$ বাড়ার সাথে সাথে peak শুধু $\theta=0$-এ তীক্ষ্ণ হয়, integral সর্বদা $1$। $r \to 1$-এ $P_r \to \delta_0$ — approximate identity।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: Fourier কো-এফিশেন্ট যেন "frequency fingerprint"¶

ধরো $f$ একটা সুরের তরঙ্গ। $\hat{f}(n)$ মাপছে সেই তরঙ্গে $n$-তম harmonic কতটা আছে। Parseval বলছে: সব harmonics-এর "শক্তি" যোগ করলে মূল তরঙ্গের মোট শক্তি পাওয়া যায় — কিছু হারিয়ে যায় না।

এটা ঠিক যেমন একটা ভেক্টরকে orthonormal basis-এ প্রকাশ করলে তার দৈর্ঘ্য বর্গ = কো-অর্ডিনেটগুলোর বর্গের যোগ।

Worked Example 1: Parseval থেকে $\pi^2/6$¶

$f(e^{i\theta}) = \theta$, $\theta \in (-\pi, \pi]$।

Integration by parts থেকে ($n \neq 0$):

\[\hat{f}(n) = \int_{-\pi}^{\pi} \theta \, e^{-in\theta} \, \frac{d\theta}{2\pi} = \left[\frac{\theta e^{-in\theta}}{-2\pi in}\right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{in} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-in\theta} \, \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{(-1)^n i}{n}\]

$\hat{f}(0) = 0$।

\[\lVert f \rVert_2^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \theta^2 \, \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}\]

Parseval: $\sum_{n \neq 0} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3}$, তাই $2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3}$, অর্থাৎ

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\]

Worked Example 2: Convolution theorem ব্যবহার¶

ধরো $f$ একটা "box function" (rectangular pulse) — $f(e^{i\theta}) = 1$ যদি $\lvert \theta \rvert < \pi/4$, নইলে $0$।

Space domain-এ $f \ast f$ সরাসরি হিসেব করা কষ্টসাধ্য। কিন্তু frequency domain-এ:

\[\hat{f}(n) = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} e^{-in\theta} \, \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{\sin(n\pi/4)}{n\pi} \quad (n \neq 0), \quad \hat{f}(0) = \frac{1}{4}\]

Convolution theorem: $\widehat{f \ast f}(n) = \hat{f}(n)^2 = \frac{\sin^2(n\pi/4)}{n^2\pi^2}$ — এটা একটা triangular pulse-এর Fourier series!

Worked Example 3: Smoothing by convolution¶

ধরো $f$ একটা noisy signal। একটা "smooth kernel" $g_\varepsilon$ নিই — যেটা $0$-এর কাছে মোটা এবং বড় $\theta$-এ দ্রুত ক্ষীণ হয়। তাহলে:

$\widehat{f \ast g_\varepsilon}(n) = \hat{f}(n)\, \hat{g_\varepsilon}(n)$
$\hat{g_\varepsilon}(n)$-এর magnitude বড় $\lvert n \rvert$-এ ছোট (কারণ $g_\varepsilon$ smooth)
তাই $(f \ast g_\varepsilon)$-এর high-frequency coefficients suppressed হয়

এটাই low-pass filter (নিম্ন-পাস ফিল্টার)!

Smoothing a noisy signal by convolution

চিত্র ৭: বাঁয়ে: noisy signal। মাঝে: Gaussian smoothing kernel। ডানে: convolution-এর ফলে noise দূর হয়েছে, মূল signal প্রায় অক্ষত। High-frequency noise suppressed, low-frequency signal preserved — এটাই Convolution Theorem-এর প্রয়োগ।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"Fourier series pointwise converge করে" মনে করা। $L^2$-convergence মানেই pointwise convergence নয়। অনেক $L^2$-function আছে যাদের Fourier series প্রতিটা বিন্দুতে converge করে না। $L^2$-এ "almost everywhere" convergence হলো Carleson (1966)-এর গভীর ফলাফল।
Parseval-এর দুটো রূপ গুলানো। $\lVert f \rVert_2^2 = \sum \lvert\hat{f}(n)\rvert^2$ (এক function) বনাম $\langle f, g \rangle = \sum \hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}$ (দুই function)। দ্বিতীয়টাকে কখনো কখনো Plancherel-এর পরিচয় বলা হয়।
Convolution-এ factor ভুল করা। Unit circle-এ $(f \ast g)(z) = \int f(w) g(z\bar{w}) d\sigma(w)$, কিন্তু real line-এ $(f \ast g)(x) = \int f(t) g(x-t) dt$। Convolution theorem-এ circle-এ $\widehat{f \ast g}(n) = \hat{f}(n)\hat{g}(n)$, কিন্তু real line-এ $\widehat{f \ast g}(t) = \hat{f}(t)\hat{g}(t)$ (বা $2\pi$-factor আসে, normalization নির্ভর করে)।
"ONB মানেই algebraic basis" মনে করা। $\{z^n\}$ হলো $L^2$-এর ONB, কিন্তু algebraic basis (Hamel basis) নয়। প্রতিটা $f \in L^2$-কে infinite sum হিসেবে লেখা যায়, finite নয়।
$\hat{f}(n)$ ও $\lvert\hat{f}(n)\rvert^2$-এর পার্থক্য। $\hat{f}(n)$ হলো complex number (phase + magnitude)। $\lvert\hat{f}(n)\rvert^2$ হলো energy। Parseval শুধু energy সংরক্ষণ করে, phase information-ও আছে।
Approximate identity-তে pointwise convergence আশা করা। $f \ast K_r \to f$ হয় $L^p$-norm-এ, pointwise নয় (ব্যতিক্রম: continuity point-এ pointwise convergence হয়)।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

$f(e^{i\theta}) = \theta^2$, $\theta \in (-\pi, \pi]$ নাও। (ক) সব $n$-এর জন্য $\hat{f}(n)$ নির্ণয় করো। (খ) Parseval ব্যবহার করে $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}$ নির্ণয় করো। [ইঙ্গিত: $\lVert f \rVert_2^2 = \pi^4/5$।]
দেখাও যে $\{e_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ যেখানে $e_k(e^{i\theta}) = e^{ik\theta}/\sqrt{2\pi}$ এবং inner product $\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\overline{g(\theta)} d\theta$ — এটা একটা ONB of $L^2(-\pi, \pi]$। [ইঙ্গিত: Axler 11B Exercise 1।]
$f, g \in L^2(\partial D)$ হলে দেখাও যে $\widehat{fg}(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}(k)\,\hat{g}(n-k)$ (Axler 11B Exercise 15)। [ইঙ্গিত: Parseval ব্যবহার করো।]
Wirtinger-এর অসমতা প্রমাণ করো: যদি $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continuously differentiable, $2\pi$-periodic, এবং $\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) d\theta = 0$, তাহলে

\[\int_{-\pi}^{\pi} \bigl[f(\theta)\bigr]^2 d\theta \leq \int_{-\pi}^{\pi} \bigl[f'(\theta)\bigr]^2 d\theta\]

সমতা হয় $\iff$ $f(\theta) = a\sin\theta + b\cos\theta$। [ইঙ্গিত: $\hat{f'}(n) = in\hat{f}(n)$; Parseval।]
$f \in L^1(\partial D)$ এবং $\hat{f}(n) = 0$ সব $n$-এর জন্য হলে দেখাও $f = 0$ a.e.। (Axler 11.43 — Fourier coefficients uniquely determine $L^1$ functions।)
$f(e^{i\theta}) = \lvert\theta\rvert$, $\theta \in (-\pi, \pi]$ নাও। (ক) $\hat{f}(n)$ নির্ণয় করো। (খ) Parseval দিয়ে $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ নির্ণয় করো।
ধরো $g_r(e^{i\theta}) = r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta}$ (Poisson kernel-এর $n$-তম coefficient)। দেখাও যে $(f \ast P_r)(e^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \hat{f}(n) e^{in\theta}$। [ইঙ্গিত: Convolution theorem প্রয়োগ করো।]
$f, g \in L^2(\partial D)$ এবং $\lVert f \rVert_2 = \lVert g \rVert_2 = 1$ হলে দেখাও যে $\lvert \langle f, g \rangle \rvert^2 \leq 1$ — এটা Cauchy–Schwarz। এখন Parseval দিয়ে দেখাও: $\left\lvert \sum_n \hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)} \right\rvert \leq 1$।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

(ক) $f(e^{i\theta}) = \theta^2$।

$\hat{f}(0) = \int_{-\pi}^{\pi} \theta^2 \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{\pi^2}{3}$।

$n \neq 0$: integration by parts দুইবার:

\[\hat{f}(n) = \int_{-\pi}^{\pi} \theta^2 e^{-in\theta} \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{2(-1)^n}{n^2}\]

(প্রথম বার: $[\theta^2 e^{-in\theta}/(-2\pi in)]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} 2\theta \cdot e^{-in\theta}/(-2\pi in) d\theta$। দ্বিতীয় বার: এটা $\hat{f_{\text{sawtooth}}}$-এর পরিচিত result।)

(খ) $\lVert f \rVert_2^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \theta^4 \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{\pi^4}{5}$।

Parseval: $\frac{\pi^4}{9} + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^4} = \frac{\pi^4}{5}$।

তাই $8\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9} = \frac{4\pi^4}{45}$।

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}\]

(এটা $\zeta(4)$ — Euler-ই এটা প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন।)

২-নং সমাধান দেখাও

Orthonormality: $n \neq k$ হলে

\[\langle e_n, e_k \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} e^{in\theta} \overline{e^{ik\theta}} \frac{d\theta}{2\pi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-k)\theta} \frac{d\theta}{2\pi} = 0\]

কারণ $e^{i(n-k)\theta}$ একটা পূর্ণ চক্র ঘোরে। $n = k$ হলে integral $= 1$।

ONB হওয়া: যদি $\langle f, e_n \rangle = 0$ সব $n$-এর জন্য, তাহলে $f$-এর সব Fourier coefficients শূন্য। Exercise 5-এর result (Axler 11.43) থেকে $f = 0$।

সুতরাং $\{e_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ হলো $L^2(-\pi, \pi]$-এর ONB।

৩-নং সমাধান দেখাও

$\widehat{fg}(n) = \int_{\partial D} f(z) g(z) z^{-n} d\sigma(z)$।

$f$-এর ONB expansion: $f = \sum_k \hat{f}(k) z^k$ ($L^2$-convergence)।

তাই:

\[\widehat{fg}(n) = \int_{\partial D} \sum_k \hat{f}(k) z^k \cdot g(z) \cdot z^{-n} d\sigma(z) = \sum_k \hat{f}(k) \int_{\partial D} g(z) z^{k-n} d\sigma(z) = \sum_k \hat{f}(k) \hat{g}(n-k)\]

(interchange of sum and integral: Cauchy–Schwarz এবং $g \in L^2$ থেকে জায়েজ।) $\square$

৪-নং সমাধান দেখাও

$\hat{f}(0) = 0$ (শর্ত থেকে)। Differentiation theorem থেকে $\hat{f'}(n) = in\hat{f}(n)$।

Parseval: $\int_{-\pi}^{\pi} [f(\theta)]^2 d\theta = 2\pi \sum_{n \neq 0} \lvert\hat{f}(n)\rvert^2$।

$\int_{-\pi}^{\pi} [f'(\theta)]^2 d\theta = 2\pi \sum_{n \neq 0} \lvert in\hat{f}(n)\rvert^2 = 2\pi \sum_{n \neq 0} n^2 \lvert\hat{f}(n)\rvert^2$।

যেহেতু $n^2 \geq 1$ সব $n \neq 0$-এর জন্য:

\[\int [f']^2 d\theta \geq 2\pi \sum_{n \neq 0} \lvert\hat{f}(n)\rvert^2 = \int [f]^2 d\theta\]

সমতা হয় $\iff$ $n^2 = 1$ সব nonzero $n$-এর জন্য যেখানে $\hat{f}(n) \neq 0$, অর্থাৎ $\hat{f}(n) = 0$ সব $\lvert n \rvert > 1$-এর জন্য। তাই $f(\theta) = \hat{f}(1) e^{i\theta} + \hat{f}(-1) e^{-i\theta} = a\sin\theta + b\cos\theta$। $\square$

৫-নং সমাধান দেখাও

$\hat{f}(n) = 0$ সব $n$-এর জন্য। Poisson integral: $(P_r f)(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \hat{f}(n) z^n = 0$ সব $r \in [0,1)$-এর জন্য।

Axler 11.42 থেকে: $\lVert f - P_r f \rVert_1 \to 0$ যখন $r \uparrow 1$।

তাই $\lVert f \rVert_1 = \lVert f - P_r f \rVert_1 + \lVert P_r f \rVert_1 = \lVert f - P_r f \rVert_1 + 0 \to 0$।

অর্থাৎ $\lVert f \rVert_1 = 0$, তাই $f = 0$ a.e.। $\square$

৬-নং সমাধান দেখাও

(ক) $f(e^{i\theta}) = \lvert\theta\rvert$। $f$ even, তাই $\hat{f}(n) = \overline{\hat{f}(-n)} = \hat{f}(-n)$ (real)।

$\hat{f}(0) = \int_{-\pi}^{\pi} \lvert\theta\rvert \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{\pi}{2}$।

$n \neq 0$ (integration by parts, $f$ even):

\[\hat{f}(n) = \int_{-\pi}^{\pi} \lvert\theta\rvert e^{-in\theta} \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{2}{\pi n^2} \bigl[(-1)^n - 1\bigr]\]

তাই $n$ জোড় হলে $\hat{f}(n) = 0$; $n = 2k+1$ বিজোড় হলে $\hat{f}(n) = -\frac{4}{\pi n^2}$।

(খ) $\lVert f \rVert_2^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \theta^2 \frac{d\theta}{2\pi} = \frac{\pi^2}{3}$।

Parseval: $\frac{\pi^2}{4} + 2\sum_{k=0}^\infty \frac{16}{\pi^2(2k+1)^4} = \frac{\pi^2}{3}$।

$\frac{32}{\pi^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4} = \frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{12}$

\[\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\]

(এটাই $1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}$ — Axler 11B Exercise 2।)

৭-নং সমাধান দেখাও

Poisson kernel: $P_r(e^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta}$ (Axler 11.11)।

Convolution theorem প্রয়োগ:

\[\widehat{f \ast P_r}(n) = \hat{f}(n)\, \hat{P_r}(n) = \hat{f}(n) \cdot r^{\lvert n \rvert}\]

ONB expansion থেকে:

\[(f \ast P_r)(e^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \widehat{f \ast P_r}(n)\, e^{in\theta} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \hat{f}(n)\, e^{in\theta}\]

এটাই Poisson integral-এর Fourier series expansion। $\square$

৮-নং সমাধান দেখাও

Cauchy–Schwarz inner product space-এ: $\lvert\langle f, g\rangle\rvert \leq \lVert f \rVert_2 \lVert g \rVert_2 = 1 \cdot 1 = 1$।

Parseval-এর পরিচয় (Axler 8.63b): $\langle f, g \rangle = \sum_n \hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}$।

তাই:

\[\left\lvert \sum_n \hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)} \right\rvert = \lvert\langle f, g\rangle\rvert \leq \lVert f \rVert_2 \lVert g \rVert_2 = 1\]

এটা Cauchy–Schwarz-এর একটা sequence version: $(a_n) \in \ell^2$, $(b_n) \in \ell^2$ হলে $\lvert\sum a_n \bar{b}_n\rvert \leq \lVert a \rVert_{\ell^2} \lVert b \rVert_{\ell^2}$। $\square$

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

[x] $\{z^n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ হলো $L^2(\partial D)$-এর ONB: যেকোনো $f \in L^2$ Fourier series-এ expand করা যায়
[x] $L^2$-convergence: $\lVert f - S_N f \rVert_2 \to 0$ — partial sums norm-এ $f$-এর কাছে যায়
[x] Parseval: $\sum_{n} \lvert\hat{f}(n)\rvert^2 = \lVert f \rVert_2^2$ — energy conservation
[x] Convolution $(f \ast g)(e^{i\theta}) = \int f(e^{is}) g(e^{i(\theta-s)}) \frac{ds}{2\pi}$ — sliding overlap
[x] Convolution Theorem: $\widehat{f \ast g}(n) = \hat{f}(n)\hat{g}(n)$ — space conv = frequency multiply
[x] Approximate identity: $f \ast K_r \to f$ in $L^p$ — Poisson kernel হলো মূল উদাহরণ
[x] প্রয়োগ: low-pass filter, noise smoothing, Euler-এর $\pi^2/6$ সব এখান থেকে বেরিয়ে আসে

➡️ পরের অধ্যায়: 5.7 — Fourier Transform — বৃত্ত থেকে পুরো real line-এ যাওয়া; $\hat{f}(t) = \int f(x) e^{-2\pi itx} dx$; Riemann–Lebesgue; Plancherel; Fourier Inversion Formula।

5.6 — Fourier ও L²; Convolution¶

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

বৃত্তের উপর function — কেন circle?¶

Fourier coefficient কী?¶

Orthonormality — তরঙ্গরা পরস্পর লম্ব¶

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

সংজ্ঞা: Fourier series ও coefficient¶

উপপাদ্য: \(\{z^n\}\) হলো \(L^2(\partial D)\)-এর ONB¶

উপপাদ্য: Fourier Series-এর \(L^2\)-Convergence¶

উপপাদ্য: Parseval-এর পরিচয়¶

সংজ্ঞা: Convolution (কনভোলিউশন)¶

উপপাদ্য: Convolution Theorem (কনভোলিউশন তত্ত্ব)¶

Approximate Identity ও Poisson Kernel¶

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: Fourier কো-এফিশেন্ট যেন "frequency fingerprint"¶

Worked Example 1: Parseval থেকে \(\pi^2/6\)¶

Worked Example 2: Convolution theorem ব্যবহার¶

Worked Example 3: Smoothing by convolution¶

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶