0.2 — সেট ও তার অপারেশন (Sets)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: set (সেট) কী, membership (∈) ও subset (⊆) কীভাবে কাজ করে, union (∪) / intersection (∩) / complement (পূরক) / power set (পাওয়ার সেট) অপারেশন, set-builder notation, Venn diagram, De Morgan-এর সূত্র — এবং 0.1-এর logic-এর সাথে সেটের গভীর সম্পর্ক।

উৎস (source): Cantor (set theory), De Morgan (set laws) · 0.1-এর logic-এর সম্প্রসারণ।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

গণিতে কথা বলতে হলে আমাদের জিনিস গোছানোর একটা উপায় লাগে। সেই উপায়টার নাম হলো set (সেট) — অর্থাৎ "সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত করা যায় এমন জিনিসের সংগ্রহ।"

রোজকার জীবনে আমরা সেট ব্যবহার করি প্রতিনিয়ত — জানালার বাইরের পাখির দল, একটা ক্লাসের সব ছাত্র, ১ থেকে ১০০-এর মধ্যে সব মৌলিক সংখ্যা — এরা প্রত্যেকেই একেকটা সেট। তফাৎ শুধু এই যে গণিতে আমাদের এটা নিখুঁতভাবে বলতে হয়: কোন জিনিস ভেতরে, কোনটা বাইরে।

0.1-এ আমরা শিখেছিলাম AND (\(\wedge\)), OR (\(\vee\)), NOT (\(\neg\))। এই অধ্যায়ে দেখব:

• AND ↔ intersection (∩): "দুটো সেটের মধ্যে যা কিছু উভয়তে আছে।"
• OR ↔ union (∪): "দুটো সেটের মধ্যে যা কিছু অন্তত একটায় আছে।"
• NOT ↔ complement (পূরক): "যা সেটের বাইরে।"
• Implication (→) ↔ subset (⊆): "\(A \subseteq B\) মানে '\(x \in A \Rightarrow x \in B\)'।"

এই সংযোগটুকু ধরে ফেললে সেট-তত্ত্ব মোটেই নতুন কিছু নয় — এটা logic-এর একটা ভিজুয়াল ভাষা।

মূল কথা

Set theory হলো আধুনিক গণিতের ভিত। Analysis, topology, probability — প্রতিটা শাখা সেটের ভাষায় লেখা। এই ভিতটা এখন শক্ত করলে বাকি পুরো বইটা অনেক মসৃণ হয়ে যাবে।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

Set (সেট) ও Element (উপাদান)

একটা set (সেট) হলো সুনির্দিষ্টভাবে চেনা যায় এমন বস্তুর একটা সংগ্রহ। সেটের ভেতরের প্রতিটা জিনিসকে বলে element (উপাদান)।

লেখার নিয়ম: সেট বড় হাতে — \(A, B, S\) — আর তার উপাদান ছোট হাতে — \(a, b, x\)।

• \(a \in A\) পড়ো: "\(a\) সেট \(A\)-র সদস্য।"
• \(a \notin A\) পড়ো: "\(a\) সেট \(A\)-র সদস্য নয়।"

উদাহরণ:

\[A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\]

তাহলে \(3 \in A\) কিন্তু \(7 \notin A\)।

সেট দুভাবে লেখা যায়:

পদ্ধতি	উদাহরণ	কখন ব্যবহার
Roster notation (তালিকা)	\(\{2, 4, 6, 8\}\)	উপাদান কম হলে
Set-builder notation (শর্ত দিয়ে)	\(\{x \mid x \text{ জোড়, } 1 \le x \le 10\}\)	উপাদান অনেক বা অসীম হলে

Set-builder notation-এ "|" বা ":" মানে "এমন যে"। যেমন:

\[B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ মৌলিক}\} = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots\}\]

Subset (উপসেট) — ছোট সেট বড়টার ভেতরে

\(A \subseteq B\) (পড়ো: "\(A\) হলো \(B\)-র subset") — মানে \(A\)-র প্রত্যেক উপাদানই \(B\)-তে আছে।

\[A \subseteq B \;\iff\; \forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)\]

এটাই 0.1-এর implication! "\(A \subseteq B\)" আর "\(x \in A \to x \in B\)" হুবহু এক কথা।

• \(A \subsetneq B\) (proper subset / প্রকৃত উপসেট): \(A \subseteq B\) কিন্তু \(A \ne B\) (মানে \(B\)-তে অন্তত একটা উপাদান আছে যেটা \(A\)-তে নেই)।

Empty set (শূন্য সেট) ∅

Empty set (শূন্য সেট) হলো সেই সেট যেটায় কোনো উপাদানই নেই। এটাকে \(\emptyset\) বা \(\{\}\) দিয়ে লেখা হয়।

\(\emptyset\) যেকোনো সেটের subset: \(\emptyset \subseteq A\) সবসময় সত্য। কেন? কারণ "\(x \in \emptyset \Rightarrow x \in A\)" হলো একটা vacuously true implication (0.1 মনে আছে? — premise সবসময় মিথ্যা, তাই implication সবসময় সত্য)।

গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য

\(\emptyset\) (শূন্য সেট) আর \(\{\emptyset\}\) এক জিনিস নয়।

• \(\emptyset\): উপাদান নেই — সংগ্রহটা ফাঁকা।
• \(\{\emptyset\}\): একটা উপাদান আছে — সেই উপাদানটা নিজেও একটা (ফাঁকা) সেট।

Venn Diagram

সেট-অপারেশন বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো Venn diagram — যেখানে প্রতিটা সেটকে একটা বৃত্ত দিয়ে দেখানো হয়, আর সব সেটের বাইরের পুরো আয়তক্ষেত্রটা হলো universal set (সার্বজনীন সেট) \(U\)।

নিচের ছবিতে union আর intersection দেখো:

চিত্র ১: বাঁয়ে union \(A \cup B\) — দুটো বৃত্তের যা কিছু আছে সব নীল। ডানে intersection \(A \cap B\) — শুধু ওভারল্যাপ অংশটা (লাল) শেড করা।

আর নিচে complement আর difference:

চিত্র ২: বাঁয়ে complement \(A^c\) — \(A\)-র বাইরের পুরো অংশ নীল। ডানে difference \(A \setminus B\) — \(A\)-তে আছে কিন্তু \(B\)-তে নেই এমন অংশ (কমলা)।

এবং subset containment ও power set:

চিত্র ৩: বাঁয়ে nested circles দিয়ে \(A \subseteq B \subseteq C\) দেখানো। ডানে \(\mathcal{P}(\{1,2\})\)-এর lattice — প্রতিটা node একটা subset, লাইন মানে ⊆।

---

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

মূল সংজ্ঞাগুলো

সংজ্ঞা ১ — Union (সংযোজন):

\[A \cup B = \{x \mid x \in A \;\vee\; x \in B\}\]

\(A\) অথবা \(B\)-তে (বা উভয়তে) আছে এমন সব উপাদানের সেট। এটাই 0.1-এর OR (\(\vee\))।

সংজ্ঞা ২ — Intersection (ছেদ):

\[A \cap B = \{x \mid x \in A \;\wedge\; x \in B\}\]

\(A\) এবং \(B\) উভয়তেই আছে এমন সব উপাদানের সেট। এটাই 0.1-এর AND (\(\wedge\))।

সংজ্ঞা ৩ — Difference (পার্থক্য):

\[A \setminus B = \{x \mid x \in A \;\wedge\; x \notin B\}\]

\(A\)-তে আছে কিন্তু \(B\)-তে নেই। (কখনো \(A - B\)-ও লেখা হয়।)

সংজ্ঞা ৪ — Complement (পূরক):

\[A^c = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}\]

Universal set \(U\)-এর মধ্যে \(A\)-র বাইরে যা কিছু আছে। এটাই 0.1-এর NOT (\(\neg\))।

সংজ্ঞা ৫ — Power set (পাওয়ার সেট):

\[\mathcal{P}(A) = \{S \mid S \subseteq A\}\]

\(A\)-র সব সম্ভাব্য subset-এর সেট। যদি \(|A| = n\) হয়, তাহলে \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\)।

উদাহরণ: \(A = \{1, 2\}\) হলে

\[\mathcal{P}(A) = \bigl\{\emptyset,\, \{1\},\, \{2\},\, \{1,2\}\bigr\}\]

মোট \(2^2 = 4\)টি উপাদান।

মূল পরিচয় (Basic identities)

\(A, B, C\) যেকোনো সেট এবং \(U\) universal set ধরো:

নিয়মের নাম	Union-এর রূপ	Intersection-এর রূপ
Commutativity	\(A \cup B = B \cup A\)	\(A \cap B = B \cap A\)
Associativity	\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)	\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
Distributivity	\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)	\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
Identity	\(A \cup \emptyset = A\)	\(A \cap U = A\)
Complement	\(A \cup A^c = U\)	\(A \cap A^c = \emptyset\)
Idempotency	\(A \cup A = A\)	\(A \cap A = A\)

De Morgan-এর সূত্র — সেটের জন্য

0.1-এ De Morgan ছিল logic-এর জন্য:

\[\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q, \qquad \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q\]

সেটের জন্য ঠিক একই কথা:

De Morgan's Laws (সেটের জন্য)

\[\boxed{(A \cap B)^c = A^c \cup B^c}\]

\[\boxed{(A \cup B)^c = A^c \cap B^c}\]

প্রমাণ (প্রথম সূত্রটির): দেখাতে হবে দুটো সেট সমান, অর্থাৎ প্রত্যেক উপাদান এক দিক থেকে অন্য দিকেও যায়।

ধরো \(x \in (A \cap B)^c\)। তাহলে \(x \notin A \cap B\), অর্থাৎ \(\neg(x \in A \wedge x \in B)\)। De Morgan (logic): \(x \notin A \;\vee\; x \notin B\)। তাই \(x \in A^c \;\vee\; x \in B^c\), অর্থাৎ \(x \in A^c \cup B^c\)। ✓

বিপরীতভাবেও দেখানো যায় (exercise)। তাই \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)। \(\blacksquare\)

লক্ষ করো: proof-টা শুধু logic-এর নিয়ম ব্যবহার করেছে — এটাই সেটের সাথে logic-এর সেতু।

Symmetric difference (প্রতিসম পার্থক্য)

\[A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\]

এটা হলো "\(A\)-তে আছে অথবা \(B\)-তে আছে, কিন্তু দুটোতেই নেই" — exclusive OR-এর সেট-সংস্করণ।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy — লাইব্রেরির বই

ধরো \(A\) = "বাংলা বই-এর সেট" আর \(B\) = "বিজ্ঞান বিষয়ক বই-এর সেট"।

• \(A \cup B\): বাংলায় অথবা বিজ্ঞানের বই — যেকোনো একটা হলেই হয়।
• \(A \cap B\): বাংলায় লেখা বিজ্ঞান বই — দুটো শর্তই পূরণ করতে হবে।
• \(A \setminus B\): বাংলার বই যেটা বিজ্ঞানের না — শুধু সাহিত্য, কবিতা ইত্যাদি।
• \(A^c\): বাংলায় লেখা নয় এমন সব বই।

Worked example ১ — সংখ্যার সেট

\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\), \(U = \{1, 2, \ldots, 10\}\)।

\[A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\]

\[A \cap B = \{3, 4, 5\}\]

\[A \setminus B = \{1, 2\}\]

\[B \setminus A = \{6, 7\}\]

\[A^c = \{6, 7, 8, 9, 10\}\]

\[A \triangle B = \{1, 2, 6, 7\}\]

Worked example ২ — Set-builder দিয়ে প্রমাণ

দেখাও: \(A \setminus B = A \cap B^c\)।

প্রমাণ:

\[x \in A \setminus B \iff x \in A \wedge x \notin B \iff x \in A \wedge x \in B^c \iff x \in A \cap B^c \quad \blacksquare\]

এখানে শুধু সংজ্ঞা প্রতিস্থাপন করা হয়েছে — এটাই সেটের প্রমাণের মূল কৌশল।

Worked example ৩ — Power set গোনা

\(C = \{a, b, c\}\) হলে \(\mathcal{P}(C)\)-এর উপাদান কতগুলো, আর তারা কী কী?

\(|C| = 3\), তাই \(|\mathcal{P}(C)| = 2^3 = 8\)।

\[\mathcal{P}(C) = \bigl\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\bigr\}\]

(0, 1, 2, 3-উপাদানের সব subset — বাইনারি string-এর মতো: \(abc\) মানে কোনটা নাও, কোনটা নাও — প্রতিটার জন্য ২টি choice, তিনটির জন্য \(2^3 = 8\)।)

---

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. \(\in\) আর \(\subseteq\) গুলিয়ে ফেলা। \(\{1\} \in \{\{1\}, \{2\}\}\) (উপাদান হিসেবে) কিন্তু \(\{1\} \subseteq \{1, 2, 3\}\) (subset হিসেবে)। \(\in\) হলো "কোনো একটা বস্তু সেটের অন্তর্গত", \(\subseteq\) হলো "একটা সেট আরেকটার ভেতরে।"

2. \(\emptyset\) আর \(\{\emptyset\}\) গুলিয়ে ফেলা। \(\emptyset\) ফাঁকা, কিন্তু \(\{\emptyset\}\) একটা উপাদান আছে (যদিও সেই উপাদানটা নিজে ফাঁকা সেট)।

3. \(A \subseteq B\) ধরে নেওয়া মানে \(A\) সবসময় ছোট। \(A = B\) হলেও \(A \subseteq B\) সত্য — subset মানে "সম্ভবত সমান বা ছোট।"

4. Complement নির্ধারণে universal set ভুলে যাওয়া। \(A^c\) সবসময় নির্দিষ্ট \(U\)-এর সাপেক্ষে। \(U\) না বললে complement অর্থহীন। যেমন "বাংলাদেশে সব মানুষ" আর "পৃথিবীর সব মানুষ" দুটো \(U\)-তে \(A^c\) সম্পূর্ণ আলাদা।

5. De Morgan ভুল প্রয়োগ। \((A \cap B)^c = A^c \cap B^c\) নয় — বরং \(A^c \cup B^c\)। Complement নিলে \(\cap\) হয় \(\cup\) আর \(\cup\) হয় \(\cap\)।

6. Difference commutativity ধরে নেওয়া। \(A \setminus B \ne B \setminus A\) সাধারণত। Difference commutative নয়। (Symmetric difference \(\triangle\) অবশ্য commutative।)

---

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. \(A = \{1, 3, 5, 7\}\), \(B = \{3, 6, 7, 9\}\), \(U = \{1, 2, \ldots, 10\}\)। হিসাব করো: (ক) \(A \cup B\), (খ) \(A \cap B\), (গ) \(A \setminus B\), (ঘ) \(A^c\), (ঙ) \(A \triangle B\)।

2. \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \le 9\}\) সেটটা roster notation-এ লেখো। এরপর \(\mathcal{P}\)-তে কতগুলো উপাদান?

3. নিচের কোনটা সত্য, কোনটা মিথ্যা? (ক) \(\emptyset \subseteq \{5\}\), (খ) \(\emptyset \in \{5\}\), (গ) \(\{2\} \subseteq \{1, 2, 3\}\), (ঘ) \(\{1, 2\} \in \mathcal{P}(\{1, 2, 3\})\)।

4. Set-builder notation ব্যবহার করে প্রমাণ করো: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) (distributivity)।

5. De Morgan দিয়ে সহজ করো: \((A^c \cap B^c)^c\)।

6. \(A \subseteq B\) হলে দেখাও যে \(A \cup B = B\) এবং \(A \cap B = A\)।

7. \(|A| = 4\) হলে \(|\mathcal{P}(A)|\) কত? এবং \(|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|\) কত?

8. Logic-এর সাথে সম্পর্ক: যদি \(p(x)\) মানে "\(x \in A\)" আর \(q(x)\) মানে "\(x \in B\)" হয়, তাহলে "\(x \in A \cup B\)" কে logic-এ লেখো এবং "\(x \in (A \cap B)^c\)"-এর De Morgan-প্রয়োগ দেখাও।

---

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(A = \{1, 3, 5, 7\}\), \(B = \{3, 6, 7, 9\}\), \(U = \{1, 2, \ldots, 10\}\)।

(ক) \(A \cup B\): \(A\) বা \(B\)-র যেকোনো উপাদান:

\[A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}\]

(খ) \(A \cap B\): উভয়তে আছে:

\[A \cap B = \{3, 7\}\]

(গ) \(A \setminus B\): \(A\)-তে আছে, \(B\)-তে নেই:

\[A \setminus B = \{1, 5\}\]

(ঘ) \(A^c\): \(U\)-এ আছে, \(A\)-তে নেই:

\[A^c = \{2, 4, 6, 8, 9, 10\}\]

(ঙ) \(A \triangle B\): \((A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1,5\} \cup \{6,9\} = \{1, 5, 6, 9\}\)

২-নং সমাধান দেখাও

\(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \le 9\}\): কোন পূর্ণ সংখ্যার বর্গ ≤ 9?

• \(x = 0\): \(0 \le 9\) ✓
• \(x = \pm 1\): \(1 \le 9\) ✓
• \(x = \pm 2\): \(4 \le 9\) ✓
• \(x = \pm 3\): \(9 \le 9\) ✓
• \(x = \pm 4\): \(16 > 9\) ✗

তাই \(A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\), মোট ৭টি উপাদান।

\(|\mathcal{P}(A)| = 2^7 = 128\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

(ক) \(\emptyset \subseteq \{5\}\): ✅ সত্য। Vacuous truth — শূন্য সেট যেকোনো সেটের subset।

(খ) \(\emptyset \in \{5\}\): ❌ মিথ্যা। \(\{5\}\)-এর একমাত্র উপাদান হলো সংখ্যা \(5\), শূন্য সেট নয়।

(গ) \(\{2\} \subseteq \{1, 2, 3\}\): ✅ সত্য। \(2 \in \{1,2,3\}\) — \(\{2\}\)-এর একমাত্র উপাদান ভেতরে আছে।

(ঘ) \(\{1, 2\} \in \mathcal{P}(\{1, 2, 3\})\): ✅ সত্য। \(\mathcal{P}(\{1,2,3\})\)-এর উপাদানগুলো হলো সব subset — এবং \(\{1,2\}\) সত্যিই \(\{1,2,3\}\)-এর একটি subset, তাই \(\mathcal{P}\)-এর অন্তর্গত।

৪-নং সমাধান দেখাও

দেখাতে হবে: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)।

ধরো \(x\) বামদিকের সেটে আছে:

\[x \in A \cap (B \cup C)\]

\[\iff x \in A \;\wedge\; x \in B \cup C\]

\[\iff x \in A \;\wedge\; (x \in B \;\vee\; x \in C)\]

\[\iff (x \in A \wedge x \in B) \;\vee\; (x \in A \wedge x \in C) \quad \text{[AND distributes over OR — 0.1]}\]

\[\iff x \in A \cap B \;\vee\; x \in A \cap C\]

\[\iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \quad \blacksquare\]

মূল চাবিকাঠি: সেটের distributivity হুবহু logic-এর distributivity (\(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\)) থেকে আসে।

৫-নং সমাধান দেখাও

\((A^c \cap B^c)^c\) সহজ করতে হবে।

ধাপ ১: De Morgan (সেট): \((A^c \cap B^c)^c = (A^c)^c \cup (B^c)^c\)

ধাপ ২: Double complement: \((A^c)^c = A\), \((B^c)^c = B\)

ফলাফল:

\[(A^c \cap B^c)^c = A \cup B\]

বিকল্পভাবে: প্রথমে \(A^c \cap B^c = (A \cup B)^c\) (De Morgan), তারপর complement নিলে \(A \cup B\) পাই।

৬-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(A \subseteq B\), অর্থাৎ \(\forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)\)।

দেখাও \(A \cup B = B\):

\(B \subseteq A \cup B\) সবসময় সত্য (যেকোনো \(x \in B\) তো \(A \cup B\)-তেও আছে)।

এখন দেখাই \(A \cup B \subseteq B\): ধরো \(x \in A \cup B\), মানে \(x \in A\) অথবা \(x \in B\)।

• যদি \(x \in B\): সরাসরি শেষ।
• যদি \(x \in A\): তাহলে \(A \subseteq B\) থেকে \(x \in B\)। ✓

তাই \(A \cup B = B\)। \(\blacksquare\)

দেখাও \(A \cap B = A\):

\(A \cap B \subseteq A\) সবসময় সত্য।

এখন দেখাই \(A \subseteq A \cap B\): ধরো \(x \in A\)। তাহলে \(A \subseteq B\) থেকে \(x \in B\)ও। তাই \(x \in A \cap B\)। ✓

তাই \(A \cap B = A\)। \(\blacksquare\)

৭-নং সমাধান দেখাও

\(|A| = 4\) হলে:

\[|\mathcal{P}(A)| = 2^4 = 16\]

\(\mathcal{P}(A)\)-এর \(16\)টি উপাদান আছে। এখন এই ১৬-উপাদানের সেটের power set:

\[|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))| = 2^{16} = 65536\]

এটা অনেক বড়! Power set নেওয়া আকারকে অতি দ্রুত বাড়িয়ে দেয় — এটাই set theory-র একটা গভীর সত্য।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(p(x)\): "\(x \in A\)", \(q(x)\): "\(x \in B\)"।

\(x \in A \cup B\) logic-এ: \(p(x) \vee q(x)\) (OR)।

\(x \in (A \cap B)^c\)-এর De Morgan:

\[x \in (A \cap B)^c \iff x \notin A \cap B \iff \neg(p(x) \wedge q(x))\]

De Morgan (logic): \(\equiv \neg p(x) \vee \neg q(x)\) সেটের ভাষায়: \(x \notin A \;\vee\; x \notin B\), অর্থাৎ \(x \in A^c \cup B^c\)।

তাই \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\) — আবার একই De Morgan সেটের জন্য!

---

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Set কী তা বলতে পারি এবং roster notation ও set-builder notation উভয়ে লিখতে পারি।
• [ ] Membership (\(\in\)) আর subset (\(\subseteq\)) পার্থক্য বুঝি; \(\in\) বনাম \(\subseteq\) ভুল করি না।
• [ ] Empty set (\(\emptyset\)) যেকোনো সেটের subset — এর কারণ (vacuous truth) বলতে পারি।
• [ ] Union (\(\cup\)), intersection (\(\cap\)), difference (\(\setminus\)), complement (\(A^c\))-এর সংজ্ঞা মনে আছে এবং Venn diagram এঁকে দেখাতে পারি।
• [ ] Power set \(\mathcal{P}(A)\) কী, এবং \(|A|=n\) হলে \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) — জানি ও গোনার কারণটাও বলতে পারি।
• [ ] De Morgan's laws সেটের জন্য: \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\) এবং \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) — মুখস্থ নয়, 0.1-এর logic থেকে derive করতে পারি।
• [ ] 0.1-এর logic-এর সাথে সংযোগ মনে আছে: AND↔∩, OR↔∪, NOT↔complement, implication↔subset।
• [ ] Basic identities (commutativity, associativity, distributivity) চিনি এবং set-builder proof কৌশল জানি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 0.3 — সম্পর্ক ও ফাংশন (Relations & Functions) — সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সংযোগ কীভাবে গড়া যায়, function (ফাংশন) কীভাবে সেট-তত্ত্বের ভাষায় সংজ্ঞায়িত হয়, এবং injective / surjective / bijective-এর অর্থ।