2.10 — Stone–Weierstrass Theorem

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Weierstrass approximation theorem (ভাইয়ারস্ট্রাস আসন্নীকরণ উপপাদ্য) — polynomial দিয়ে যেকোনো continuous function ইচ্ছামতো কাছে আনা যায়; subalgebra, separates points — এই দুটো শর্তে Stone–Weierstrass theorem (স্টোন–ভাইয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য); trigonometric polynomial-এর denseness — এবং Fourier series-এর দরজায় কড়া নাড়া।

উৎস (source): Weierstrass ও Stone (approximation)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

একটা engineering ক্যালকুলেটর কীভাবে \(\sin(x)\) হিসাব করে? সে তো শুধু যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ জানে — কোনো "sinusoidal chip" নেই। উত্তর: সে একটা polynomial দিয়ে \(\sin(x)\)-কে approximate করে।

\[\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\]

এটা কাজ করে কারণ গভীরে আছে Weierstrass approximation theorem — যেকোনো continuous function-কে polynomial দিয়ে uniformly (সমভাবে) approximate করা যায়।

Karl Weierstrass ১৮৮৫ সালে এটা প্রমাণ করেন। Marshall Stone ১৯৩৭ সালে একটা বিস্ময়কর generalization দেন: শুধু polynomial নয়, যেকোনো "subalgebra" (উপবীজগণিত) যা "পয়েন্ট আলাদা করতে পারে এবং constant ধারণ করে" — সেটা ঘন (dense)।

কেন গুরুত্বপূর্ণ?

• Numerical analysis-এ function approximation।
• Fourier series (Part 5): trigonometric polynomials dense in \(C[0, 2\pi]\)।
• Functional analysis-এ compact operators।
• Data science-এ: neural networks কেন যেকোনো function approximate করতে পারে (Universal Approximation Theorem-এর আত্মীয়)।

মূল স্বজ্ঞা

Weierstrass বলেন: polynomial-রা \(C[a,b]\)-তে dense। Stone বলেন: কোনো "সুবিধাজনক" function-family dense হওয়ার জন্য দুটো শর্তই যথেষ্ট — constants আছে, আর যেকোনো দুটো বিন্দু আলাদা করতে পারে।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

Uniform Approximation — সমভাবে কাছে আসা

\(f, p : [a, b] \to \mathbb{R}\) দুটো function। Uniform approximation মানে: \(p\) সব জায়গায় সমানভাবে \(f\)-এর কাছে — কোথাও বেশি দূরে নয়।

আনুষ্ঠানিকভাবে: \(\|f - p\|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - p(x)|\) ছোট।

এটা pointwise approximation-এর চেয়ে শক্তিশালী — pointwise মানে প্রতিটা \(x\)-এ আলাদাভাবে, কিন্তু uniform মানে সব \(x\)-এ একসাথে।

চিত্র: \(f\) (লাল) এবং তার Bernstein polynomial \(p\) (নীল ড্যাশ); হলুদ পটি হলো \(f \pm \varepsilon\) band। Uniform approximation মানে \(p\) সর্বত্র এই band-এর মধ্যে থাকে: \(\|f - p\|_\infty < \varepsilon\)।

চিত্র ১: Bernstein polynomial (বার্নস্টাইন বহুপদী) দিয়ে একটা continuous function-এর uniform approximation। degree বাড়ার সাথে সাথে sup-norm \(\|f - p_n\|_\infty \to 0\) — polynomial ক্রমশ \(f\)-এর কাছে আসে, সব জায়গায় সমানভাবে।

Subalgebra এবং Separates Points

Algebra (বীজগণিত): \(C(X)\)-এর subset \(\mathcal{A}\) একটা algebra যদি এটা যোগ, scalar multiple, এবং গুণের ক্ষেত্রে বদ্ধ (closed) হয়:

• \(f, g \in \mathcal{A} \implies f + g \in \mathcal{A}\)
• \(f \in \mathcal{A},\; c \in \mathbb{R} \implies cf \in \mathcal{A}\)
• \(f, g \in \mathcal{A} \implies fg \in \mathcal{A}\)

Separates points (বিন্দু পৃথককারী): \(\mathcal{A}\) separates points of \(X\) যদি: যেকোনো \(x \ne y \in X\)-এর জন্য এমন \(f \in \mathcal{A}\) আছে যেন \(f(x) \ne f(y)\)।

Intuition: \(\mathcal{A}\)-র function দিয়ে \(X\)-এর যেকোনো দুটো বিন্দু আলাদা চেনা যায়।

চিত্র: বাঁয়ে — polynomial \(p(x)=x\) দুটো বিন্দু \(a=0.3\) ও \(b=0.7\)-কে আলাদা করে: \(p(a)\ne p(b)\)। ডানে — even function \(q(x)=x^2\) \(a\) ও \(-a\)-কে আলাদা করতে পারে না: \(q(a)=q(-a)\), তাই Stone–Weierstrass-এর শর্ত ভাঙে।

Contains constants: \(\mathcal{A}\)-তে constant function \(\mathbf{1}\) (সর্বত্র \(1\)) আছে — বা সমতুল্যভাবে, সব constant function আছে।

চিত্র ২: বাঁয়ে — \(C(X)\)-এর মধ্যে subalgebra \(\mathcal{A}\); শর্ত পূরণ হলে closure \(\overline{\mathcal{A}} = C(X)\), অর্থাৎ \(\mathcal{A}\) dense। ডানে — trigonometric polynomials দিয়ে uniform approximation: degree বাড়লে curve কাছে আসে (Fourier series-এর পূর্বাভাস)।

---

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Weierstrass Approximation Theorem

উপপাদ্য: Weierstrass Approximation Theorem (Karl Weierstrass, 1885)

ধরো \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) continuous। তাহলে যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য এমন একটা polynomial \(p\) আছে যেন

\[\|f - p\|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - p(x)| < \varepsilon.\]

অন্যভাবে বললে: polynomials dense in \((C[a,b], \|\cdot\|_\infty)\)।

প্রমাণের sketch (Bernstein polynomials দিয়ে):

\([a,b] = [0,1]\) ধরি (সাধারণ ক্ষেত্রে linear substitution দিয়ে হয়)।

Bernstein polynomial (বার্নস্টাইন বহুপদী) of degree \(n\):

\[B_n(f; x) = \sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}\]

এটা একটা ওজনিত গড় — \(f\)-কে \(n+1\) টা বিন্দুতে নমুনা নিয়ে polynomial দিয়ে মিশ্রণ।

চিত্র: বার্নস্টাইন বহুপদী \(B_n\) (degree \(2, 5, 15, 50\)) ক্রমশ \(f(x)\)-এর কাছে আসছে — বাঁয়ে peaked curve, ডানে \(|x-0.5|\)। degree বাড়লে sup-norm \(\|B_n - f\|_\infty \to 0\): এটাই uniform convergence।

কেন এটা \(f\)-কে approximate করে?

Binomial theorem দিয়ে দেখানো যায়:

\[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = 1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = x\]

অর্থাৎ \(B_n\)-এর "weights" \(x\)-এর আশেপাশে concentrate করে (Law of Large Numbers-এর মতো)। \(f\) uniformly continuous (compact domain বলে), তাই weights concentrate হওয়া মানে \(B_n(f;x) \to f(x)\) uniformly।

আনুষ্ঠানিকভাবে: \(\varepsilon > 0\) দাও। \(f\) uniformly continuous, তাই \(\delta > 0\) আছে যেন \(|x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon/2\)। বড় যথেষ্ট \(n\) নিলে:

\[|B_n(f;x) - f(x)| \le \varepsilon/2 + \frac{2\|f\|_\infty}{n\delta^2}\]

\(n\) যথেষ্ট বড় নিলে এটা \(< \varepsilon\)। তাই \(\|B_n(f; \cdot) - f\|_\infty < \varepsilon\)। \(\blacksquare\)

Stone–Weierstrass Theorem

Weierstrass theorem-এর সাধারণীকরণ Marshall Stone দেন:

উপপাদ্য: Stone–Weierstrass Theorem (Marshall Stone, 1937)

ধরো \(X\) একটা compact Hausdorff space এবং \(\mathcal{A} \subseteq C(X, \mathbb{R})\) একটা subalgebra যা:

1. Constants ধারণ করে: \(\mathbf{1} \in \mathcal{A}\) (বা equivalent: constant functions in \(\mathcal{A}\))।
2. Points পৃথক করে: যেকোনো \(x \ne y \in X\)-এর জন্য এমন \(f \in \mathcal{A}\) আছে যেন \(f(x) \ne f(y)\)।

তাহলে \(\mathcal{A}\) dense in \((C(X), \|\cdot\|_\infty)\), অর্থাৎ \(\overline{\mathcal{A}} = C(X)\)।

প্রমাণ sketch:

ধাপ ১ (Lattice lemma): \(\overline{\mathcal{A}}\) এর \(|f|, \max(f,g), \min(f,g)\) ধারণের ক্ষমতা আছে কারণ \(|f| = \sqrt{f^2}\) এবং \(\sqrt{\cdot}\) কে polynomial দিয়ে uniformly approximate করা যায়। (Weierstrass-ই এটা নিশ্চিত করে।)

ধাপ ২ (Local approximation): যেকোনো \(f \in C(X)\), \(x \in X\), এবং \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য এমন \(g_x \in \mathcal{A}\) আছে যেন:

• \(g_x(x) = f(x)\)
• \(g_x(y) > f(y) - \varepsilon\) সব \(y\)-এর জন্য।

এটা পাওয়া যায় কারণ \(\mathcal{A}\) points পৃথক করে এবং constants আছে — দুটো বিন্দুর মধ্য দিয়ে linear function (যা \(\mathcal{A}\)-তে আছে) টানা যায়।

ধাপ ৩ (Compactness দিয়ে gluing): \(X\) compact, তাই finite many \(g_{x_1}, \ldots, g_{x_m}\) নিয়ে \(p = \max(g_{x_1}, \ldots, g_{x_m}) \in \overline{\mathcal{A}}\) বানানো যায় যা \(f\)-এর \(\varepsilon\)-এর মধ্যে থাকে। \(\blacksquare\)

Compact Hausdorff — জরুরি শর্ত

\(X\) compact না হলে Stone–Weierstrass মিথ্যা হতে পারে। উদাহরণ: \(X = \mathbb{R}\) — polynomials dense in \(C(\mathbb{R})\) নয় কারণ sup-norm unbounded functions-এও দরকার।

গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল

ফলাফল ১: Trigonometric polynomials dense in \(C[0, 2\pi]\)

\(\mathcal{T}\) = trigonometric polynomials, অর্থাৎ \(\left\{\sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} : n \ge 0, c_k \in \mathbb{R}\right\}\) (বা equivalently, span of \(\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}\))।

\(\mathcal{T}\) একটা subalgebra (product formula: \(\cos m x \cos n x = \frac{1}{2}[\cos(m-n)x + \cos(m+n)x]\))। Constants আছে। আর \(\{1, \cos x\}\) দিয়ে points পৃথক করা যায় (periodic ক্ষেত্রে সামান্য সাবধানতা দরকার)।

Stone–Weierstrass \(\Rightarrow\) \(\mathcal{T}\) dense in \(C[0, 2\pi]\)।

চিত্র: triangle wave (লাল) এবং তার trigonometric polynomial আসন্নীকরণ (\(1, 3, 7, 20\) harmonic)। harmonic বাড়লে curve আরও কাছে আসে — Stone–Weierstrass নিশ্চিত করে এটা uniformly converge করে।

এর মানে: Fourier partial sums যেকোনো continuous function uniformly approximate করতে পারে — Part 5-এর Fourier analysis-এর মূল ভিত্তি।

ফলাফল ২: Polynomials dense in \(C^k[a,b]\)?

\(C^k[a,b]\) (k-বার differentiable functions, \(k\)-th derivative continuous) — এখানেও polynomials dense কিন্তু norm পাল্টাতে হয়: \(\|f\|_{C^k} = \sum_{j=0}^{k} \|f^{(j)}\|_\infty\)।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy — ডিজিটাল ছবি

একটা JPEG ছবি মূলত একটা continuous-এর মতো দেখতে রঙিন function \(f(x, y)\)। কিন্তু computer-এ সংরক্ষণ হয় কিছু নির্দিষ্ট "মোড" (cosine functions) দিয়ে — এটাই Fourier/DCT approximation।

যত বেশি mode রাখো, ছবি তত নিখুঁত। Stone–Weierstrass বলে: যদি তোমার basis "points পৃথক করতে পারে" এবং constants ধারণ করে, তাহলে যেকোনো continuous function represent করা যাবে — ডিজিটাল সংকেত প্রক্রিয়াকরণের তাত্ত্বিক ভিত্তি।

Worked Example ১: Bernstein polynomial নিজে হিসাব করো

\(f(x) = x^2\), \(x \in [0,1]\)। \(B_2(f; x)\) বের করো।

\[B_2(f; x) = f(0)\binom{2}{0}x^0(1-x)^2 + f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\binom{2}{1}x^1(1-x)^1 + f(1)\binom{2}{2}x^2(1-x)^0\]

\[= 0 \cdot (1-x)^2 + \frac{1}{4} \cdot 2x(1-x) + 1 \cdot x^2\]

\[= \frac{x(1-x)}{2} + x^2 = \frac{x - x^2}{2} + x^2 = \frac{x + x^2}{2}\]

যাচাই: \(B_2(f; x) = \frac{x + x^2}{2}\) এবং \(f(x) = x^2\)। পার্থক্য \(= \frac{x - x^2}{2} = \frac{x(1-x)}{2} \le \frac{1}{8}\) (maximum at \(x = 1/2\))।

তাই \(\|B_2(f;\cdot) - f\|_\infty = \frac{1}{8}\)। degree বাড়ালে এটা কমবে।

Worked Example ২: Polynomials separate points of \([0,1]\)

দেখাও যে polynomials \(\{1, x, x^2, \ldots\}\) দিয়ে \([0,1]\)-এর যেকোনো দুটো বিন্দু পৃথক করা যায়।

ধরো \(a \ne b \in [0,1]\)। তাহলে polynomial \(p(x) = x\) দিয়ে \(p(a) = a \ne b = p(b)\)। সুতরাং polynomials points separate করে। ✓

Stone–Weierstrass-এর দুটো শর্তই পূরণ: constants আছে (constant polynomial \(1\)), আর points পৃথক হয়। তাই polynomials dense in \(C[0,1]\)। ✓

Worked Example ৩: \(e^{inx}\) family

\(\mathcal{A} = \text{span}\{e^{inx} : n \in \mathbb{Z}\}\) — complex exponentials। এটা \(C([0,2\pi])\)-তে একটা subalgebra (কারণ \(e^{imx} \cdot e^{inx} = e^{i(m+n)x} \in \mathcal{A}\), constants (\(n=0\)) আছে, আর points পৃথক করে)।

Stone–Weierstrass (complex version) \(\Rightarrow\) \(\mathcal{A}\) dense — এটাই বলে যে Fourier series যেকোনো continuous periodic function approximate করতে পারে।

---

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. "Pointwise কাছে হলেই uniform কাছে হয়" — ভুল। \(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\): প্রতিটা \(x \in [0,1)\)-এর জন্য \(f_n(x) \to 0\) কিন্তু \(f_n(1) = 1\) সবসময়। তাই pointwise limit \(0\) কিন্তু convergence uniform নয় (\(\|f_n\|_\infty = 1\))। Weierstrass theorem uniform convergence নিশ্চিত করে।

চিত্র: বাঁয়ে — step function (লাল, discontinuous) এবং Bernstein polynomial-রা: continuous polynomial-রা সবসময় jump-এর কাছে ঢাল তৈরি করতে বাধ্য হয়। ডানে — sup-norm error \(\|B_n - f\|_\infty\) কখনো শূন্যে পৌঁছায় না: Weierstrass theorem-এ continuity অপরিহার্য।

1. "যেকোনো function polynomial দিয়ে approximate হয়" — সীমাবদ্ধতা আছে। Weierstrass এবং Stone–Weierstrass compact domain-এ। \(\mathbb{R}\)-তে sup-norm-এ polynomial approximation সবসময় সম্ভব নয় (যেমন \(f(x) = e^x\) on \(\mathbb{R}\))।

2. "Subalgebra মানে subalgebra of functions" — space গুলিয়ে ফেলা। Stone–Weierstrass-এ \(\mathcal{A} \subseteq C(X)\) এবং \(C(X)\) নিয়ে কাজ করতে হয়, algebraic structure + topology দুটোই দরকার।

3. Complex case-এ extra condition। Complex-valued functions-এর জন্য Stone–Weierstrass-এ আরেকটা শর্ত: \(\mathcal{A}\) conjugation-closed হতে হবে (\(f \in \mathcal{A} \Rightarrow \bar{f} \in \mathcal{A}\))। শুধু algebra + separates points + constants যথেষ্ট নয়।

4. Bernstein polynomial-এ \(f(k/n)\)-এর পরিবর্তে \(f(x)\) ব্যবহার। Bernstein-এর সংজ্ঞায় নমুনা বিন্দু \(k/n\) — \(x\) নয়। \(x\) শুধু weight হিসেবে ব্যবহৃত।

5. "Dense মানে সব function polynomial" — ভুল। Dense মানে arbitrary কাছে আসা যায়, সমান নয়। \(e^x\) কোনো polynomial নয়, কিন্তু যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য \([a,b]\)-তে \(e^x\)-এর \(\varepsilon\)-কাছের polynomial পাওয়া যায়।

---

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. \(f(x) = |x|\), \(x \in [-1, 1]\)। কি এই function-কে polynomial দিয়ে uniformly approximate করা যায়? Weierstrass theorem প্রযোজ্য কিনা বলো।

2. \(B_1(f; x)\) (degree 1 Bernstein polynomial) হিসাব করো \(f(x) = \sqrt{x}\), \(x \in [0,1]\)-এর জন্য।

3. দেখাও: সেট \(\mathcal{A} = \{a + b\cos x : a, b \in \mathbb{R}\}\) \(C([0, \pi])\)-তে একটা subalgebra নয়।

4. দেখাও যে \(\{1, x^2, x^4, x^6, \ldots\}\) (even powers of \(x\)) \(C([-1,1])\)-তে dense নয়। (Hint: \(x\) কি approximate করা যায়?)

5. \(\mathcal{A} =\) polynomials in \(C[0,1]\)। সত্যি বা মিথ্যা (যুক্তিসহ): \(\mathcal{A}\) separates points of \([0,1]\)।

6. Weierstrass theorem ব্যবহার করে দেখাও: continuous function \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) যদি \(\int_0^1 f(x) x^n \, dx = 0\) সব \(n \ge 0\)-এর জন্য হয়, তাহলে \(f \equiv 0\)।

7. চ্যালেঞ্জ: ব্যাখ্যা করো কেন তিনটে শর্ত — algebra, separates points, contains constants — Stone–Weierstrass-এ সব তিনটাই দরকার। প্রতিটার জন্য একটা উদাহরণ দাও যেখানে শুধু সেই শর্তটা missing এবং conclusion fail করে।

8. Trig polynomials \(\mathcal{T}\) কি \(C([0,2\pi])\)-তে dense? Stone–Weierstrass কীভাবে প্রযোজ্য হবে?

---

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = |x|\) on \([-1,1]\)।

হ্যাঁ, Weierstrass theorem প্রযোজ্য।

শর্ত: \(f = |x|\) continuous on closed bounded interval \([-1,1]\)। Weierstrass theorem বলে: যেকোনো continuous \(f\) on closed bounded interval \([a,b]\) polynomial দিয়ে uniformly approximate হয়।

\(f(x) = |x|\) continuous কারণ \(|{-1}| = 1\), \(|0| = 0\), \(|1| = 1\) এবং মাঝে কোনো discontinuity নেই।

সুতরাং হ্যাঁ — polynomial দিয়ে \(|x|\) uniformly approximate করা যায়। (Bernstein polynomial \(B_n(|x|; x) \rightrightarrows |x|\) as \(n \to \infty\)।)

লক্ষ্য করো: \(|x|\) নিজে কোনো polynomial নয় (\(x = 0\)-এ derivative নেই), কিন্তু ইচ্ছামতো কাছের polynomial আছে।

২-নং সমাধান দেখাও

\(B_1(f; x)\) for \(f(x) = \sqrt{x}\) on \([0,1]\):

\[B_1(f; x) = f(0) \binom{1}{0} x^0 (1-x)^1 + f(1) \binom{1}{1} x^1 (1-x)^0\]

\[= \sqrt{0} \cdot (1-x) + \sqrt{1} \cdot x = 0 \cdot (1-x) + 1 \cdot x = x\]

তাই \(B_1(\sqrt{x}; x) = x\)।

Error: \(|\sqrt{x} - x| = \sqrt{x}(1 - \sqrt{x})\)। Maximum at \(x = 1/4\): \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)।

\(\|B_1 - f\|_\infty = \frac{1}{4}\) — এটা কমাতে higher degree Bernstein polynomial দরকার।

৩-নং সমাধান দেখাও

দাবি: \(\mathcal{A} = \{a + b\cos x : a, b \in \mathbb{R}\}\) subalgebra নয়।

প্রমাণ: Product closure চেক করি।

\(f = \cos x \in \mathcal{A}\) (নাও \(a=0, b=1\))।

\(f \cdot f = \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)।

কিন্তু \(\frac{1 + \cos 2x}{2} \notin \mathcal{A}\) — কারণ \(\mathcal{A}\)-তে শুধু \(1\)-frequency cosine আছে (\(\cos x\)), \(\cos 2x\) নেই।

তাই গুণের ক্ষেত্রে \(\mathcal{A}\) closed নয় — subalgebra নয়। \(\checkmark\)

৪-নং সমাধান দেখাও

দাবি: Even powers \(\{1, x^2, x^4, \ldots\}\) \(C([-1,1])\)-তে dense নয়।

যুক্তি: এই family দিয়ে generate করা সব function even (সম): \(f(-x) = f(x)\)।

Linear combinations, limits (in sup-norm) — এগুলো even functions-এর সেট closed করে। তাই এই family-র closure শুধু even functions ধারণ করে।

কিন্তু \(g(x) = x\) একটা odd function এবং \(g \in C([-1,1])\)।

কোনো even function \(p\) দিয়ে \(\|p - x\|_\infty\) কতটা ছোট হতে পারে?

\(p(-1) = p(1)\) (even হওয়ায়), কিন্তু \(g(-1) = -1\) এবং \(g(1) = 1\)। তাই:

\[\|p - g\|_\infty \ge \frac{|p(1) - g(1)| + |p(-1) - g(-1)|}{2} \ge \frac{|p(1) - 1| + |p(1) + 1|}{2} \ge 1\]

(কারণ \(|a-1| + |a+1| \ge |(a-1) - (a+1)| = 2\) — triangle inequality।)

তাই \(x\) কে even functions দিয়ে approximate করা যায় না — family dense নয়। \(\checkmark\)

Stone–Weierstrass সংযোগ: এই family points separate করে না: \(1 \ne -1\) কিন্তু সব even function-এর জন্য \(f(1) = f(-1)\) — তাই শর্ত ব্যর্থ।

৫-নং সমাধান দেখাও

সত্য।

Polynomials \(\mathcal{A}\) of \(C[0,1]\) separates points।

প্রমাণ: ধরো \(a, b \in [0,1]\), \(a \ne b\)। Polynomial \(p(x) = x\) নিই।

\(p(a) = a \ne b = p(b)\) কারণ \(a \ne b\) ধরা হয়েছে।

তাই \(\mathcal{A}\) separates points। \(\checkmark\)

Stone–Weierstrass-এর জন্য: constants আছে (\(p(x) = 1 \in \mathcal{A}\)), points পৃথক হয় — তাই polynomials dense in \(C[0,1]\)। এটাই মূলত Weierstrass theorem।

৬-নং সমাধান দেখাও

দাবি: \(\int_0^1 f(x) x^n \, dx = 0\) সব \(n \ge 0\), continuous \(f\) হলে \(f \equiv 0\)।

প্রমাণ:

প্রথমে, দেওয়া শর্ত extend করি: যেকোনো polynomial \(p(x) = \sum a_k x^k\)-এর জন্য linearity দিয়ে:

\[\int_0^1 f(x) p(x) \, dx = \sum a_k \int_0^1 f(x) x^k \, dx = \sum a_k \cdot 0 = 0\]

এবার Weierstrass theorem প্রয়োগ করি: \(f \in C[0,1]\), তাই polynomials \(p_n \rightrightarrows f\) uniformly।

\[\int_0^1 [f(x)]^2 \, dx = \int_0^1 f(x) \cdot f(x) \, dx = \lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(x) p_n(x) \, dx = 0\]

(uniform convergence allows interchanging limit and integral)।

তাই \(\int_0^1 [f(x)]^2 \, dx = 0\)। কিন্তু \(f\) continuous এবং \([f(x)]^2 \ge 0\) — এর integral \(0\) হওয়া মানে \([f(x)]^2 = 0\) সব \(x \in [0,1]\)-এ, অর্থাৎ \(f \equiv 0\)। \(\blacksquare\)

৭-নং সমাধান দেখাও

তিনটো শর্ত — প্রতিটার জন্য counterexample:

(i) "Algebra" শর্ত missing:

\(\mathcal{A} =\) সব linear functions \(\{a + bx : a, b \in \mathbb{R}\}\) on \([0,1]\)। এটা constants ধারণ করে এবং points পৃথক করে। কিন্তু algebra নয় (কারণ \((bx)^2 = b^2 x^2 \notin \mathcal{A}\))। এবং linear functions dense নয় in \(C[0,1]\) — যেমন \(x^2\) কে \(\varepsilon < 1/8\)-এর মধ্যে linear function দিয়ে approximate করা যায় না (uniformly)।

(ii) "Separates points" শর্ত missing:

\(\mathcal{A} = \{f \in C([-1,1]) : f \text{ even}\}\) — সম ফাংশনের সেট। এটা algebra, constants ধারণ করে। কিন্তু even functions \(-1\) ও \(1\) পৃথক করে না (\(f(-1) = f(1)\) সবসময়)। আর \(g(x) = x\) (odd) কে approximate করা যায় না (Exercise ৪-এর যুক্তি)।

(iii) "Contains constants" শর্ত missing:

\(\mathcal{A} = \{f \in C[0,1] : f(0) = 0\}\) — \(0\)-তে zero হওয়া ফাংশন। এটা algebra (product, sum সব \(0\) রাখে at \(0\)), points পৃথক করে। কিন্তু constant function \(\mathbf{1} \notin \mathcal{A}\)। আর constant function \(1\) কে approximate করা যায় না: \(\|p - 1\|_\infty \ge |p(0) - 1| = 1\) সব \(p \in \mathcal{A}\)-এর জন্য।

৮-নং সমাধান দেখাও

Trig polynomials \(\mathcal{T}\) dense in \(C([0,2\pi])\)।

Stone–Weierstrass প্রযোজ্য করব (periodic version):

Setup: \(X =\) unit circle \(S^1 = \{e^{i\theta} : \theta \in [0,2\pi]\}\) — compact Hausdorff space। \(C(S^1)\) এবং \(C_{\text{per}}([0,2\pi])\) (periodic continuous functions) isometric।

\(\mathcal{T} =\) span of \(\{e^{in\theta} : n \in \mathbb{Z}\}\) হলো \(C(S^1)\)-তে একটা subalgebra:

• Algebra: \(e^{im\theta} \cdot e^{in\theta} = e^{i(m+n)\theta} \in \mathcal{T}\), linear combinations closed।
• Constants: \(n = 0\) দিলে \(e^{0} = 1 \in \mathcal{T}\)।
• Separates points: \(e^{i\theta}\) দিয়ে \(S^1\)-এর যেকোনো দুটো বিন্দু \(e^{i\alpha} \ne e^{i\beta}\) পৃথক হয় (\(e^{i\alpha} \ne e^{i\beta}\) কারণ \(\alpha \ne \beta \pmod{2\pi}\))।

Stone–Weierstrass (complex version, with conjugation-closure: \(e^{in\theta} \in \mathcal{T} \Rightarrow e^{-in\theta} = \overline{e^{in\theta}} \in \mathcal{T}\) ✓) \(\Rightarrow\) \(\mathcal{T}\) dense in \(C(S^1)\)।

ফলাফল: যেকোনো continuous \(2\pi\)-periodic function-কে trigonometric polynomial দিয়ে uniformly approximate করা যায় — Fourier analysis-এর তাত্ত্বিক ভিত্তি। \(\checkmark\)

---

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Uniform approximation কী বুঝি: \(\|f - p\|_\infty < \varepsilon\) — sup-norm-এ কাছে।
• [ ] Weierstrass theorem বলতে পারি: compact \([a,b]\)-তে polynomials dense in \(C[a,b]\)।
• [ ] Bernstein polynomial সংজ্ঞা জানি এবং degree-1 বা degree-2 হিসাব করতে পারি।
• [ ] Subalgebra কী: যোগ, scalar multiple, গুণের ক্ষেত্রে বদ্ধ।
• [ ] Separates points মানে: যেকোনো দুটো বিন্দু আলাদা করতে পারে।
• [ ] Stone–Weierstrass theorem বলতে পারি: compact Hausdorff + subalgebra + contains constants + separates points \(\Rightarrow\) dense।
• [ ] তিনটো শর্তের প্রতিটার counterexample জানি।
• [ ] Trig polynomials dense in \(C[0, 2\pi]\) — Stone–Weierstrass থেকে কীভাবে আসে জানি।
• [ ] Fourier সংযোগ বুঝি: trig polynomial denseness = Fourier approximation-এর ভিত্তি (Part 5-এ বিস্তারিত)।
• [ ] Complex version-এ extra শর্ত: conjugation-closed।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 3.1 — Outer Measure on ℝ — Part 3 শুরু। এবার measure theory — Riemann integral-এর সীমাবদ্ধতা পেরিয়ে Lebesgue-এর জগতে প্রবেশ।