0.5 — সংখ্যা পদ্ধতি (Number Systems ℕ, ℤ, ℚ, ℝ)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে শুরু করে বাস্তব সংখ্যা পর্যন্ত — প্রতিটা বিস্তার কেন দরকার হলো, কোন অপারেশন আগের সংখ্যাস্তরে "আটকে যায়", আর শেষে ℝ কীভাবে সংখ্যারেখার সব ফাঁক পূরণ করে।

উৎস (source): নতুন (foundation) · সংখ্যার গঠন: Peano, Dedekind, Cantor।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

গণিতের যাত্রা শুরু হয়েছিল গণনা থেকে — আঙুলে আঙুল মিলিয়ে, দলে দলে ভাগ করে। তখন "সংখ্যা" মানেই ছিল \(1, 2, 3, \ldots\) — এর বাইরে কিছু ভাবার দরকারই পড়েনি।

কিন্তু একটু এগোতেই মুশকিল। পাওনাদার বলল: "তোমার ৫ টাকা ছিল, ৮ টাকা খরচ করেছ — বাকি কত?" উত্তর \(5 - 8 = -3\)। কিন্তু আদিম গণনা-সংখ্যায় \(-3\) বলে কিছু নেই! তাই দরকার হলো পূর্ণসংখ্যা (integer)।

তারপর এলো ভাগের সমস্যা: "৭টা রুটি ৩ জনে সমান ভাগ করো।" \(7 \div 3 = ?\) — পূর্ণ সংখ্যায় এর কোনো উত্তর নেই। চাই মূলদ সংখ্যা (rational number) \(\frac{7}{3}\)।

আর যখন প্রশ্ন উঠল "বর্গক্ষেত্রের কর্ণ কত?" অথবা "বৃত্তের পরিধি ব্যাসার্ধের কত গুণ?" — তখন মূলদ সংখ্যাও হার মানল। \(\sqrt{2}\) আর \(\pi\) মূলদ নয়। তখন দরকার হলো বাস্তব সংখ্যা (real number)।

এই অধ্যায়ে আমরা এই পুরো যাত্রাটা দেখব — প্রতিটা বিস্তার কেন জরুরি ছিল, আর সংখ্যারেখার "ফাঁকা" জায়গাগুলো কীভাবে পূরণ হলো। এই ভিত না থাকলে Part 1-এর সীমা (limit), ধারাবাহিকতা (continuity), আর সম্পূর্ণতা (completeness)-এর কথা বোঝা যাবে না।

মূল কথা

প্রতিটা নতুন সংখ্যার ধরন তৈরি হয়েছে একটাই কারণে — আগের ধরনে কোনো গুরুত্বপূর্ণ অপারেশন সম্ভব ছিল না। প্রতিটা বিস্তারই একটা নির্দিষ্ট "প্রয়োজন"-এর জবাব।

২. মূল ধারণা (Core idea)

চারটা সংখ্যার স্তর — একটা চিত্রে

নিচের ছবিতে দেখো: প্রতিটা নতুন সংখ্যার সেট আগেরটাকে পুরোপুরি ধারণ করে।

চিত্র ১: সংখ্যার চারটা স্তর — ভেতরের সেট বাইরেরটার অংশ। ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ।

আর সংখ্যারেখায় দেখলে:

চিত্র ২: একটাই সংখ্যারেখায় চারটা সেটের প্রতিনিধিত্বকারী সংখ্যা। লক্ষ্য করো, মূলদ (orange) আর অমূলদ (purple) সংখ্যাগুলো মিলে পুরো রেখাটা ঢেকে ফেলে।

বিস্তারের যুক্তি একটু বিশদে

ধাপ ১ → ধাপ ২ (ℕ → ℤ): বিয়োগ (subtraction) সবসময় সম্ভব করতে। \(3 - 5 = -2\) — এই উত্তর ℕ-তে নেই।

ধাপ ২ → ধাপ ৩ (ℤ → ℚ): ভাগ (division) সবসময় সম্ভব করতে। \(7 \div 4 = \frac{7}{4}\) — এটা ℤ-তে নেই।

ধাপ ৩ → ধাপ ৪ (ℚ → ℝ): "ফাঁক" পূরণ করতে — এমন সংখ্যা থাকা দরকার যেগুলো মূলদ নয় কিন্তু সংখ্যারেখায় ঠিকঠাক একটা জায়গায় আছে।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers) — \(\mathbb{N}\)

\[\mathbb{N} = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, \ldots\}\]

(কেউ কেউ \(0\)-কেও ℕ-তে ধরেন; এই বইয়ে \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)।)

স্বাভাবিক সংখ্যায় যোগ ও গুণ সবসময় সম্ভব — যোগ বা গুণের ফল সবসময় আবার ℕ-তেই থাকে (একে বলে closure অর্থাৎ আবদ্ধতা)।

কিন্তু বিয়োগ সবসময় সম্ভব নয়: \(3 - 5 = ?\) — এর উত্তর ℕ-তে নেই।

সংজ্ঞা: বদ্ধতা (Closure)

একটা সেট \(S\) একটা অপারেশন \(*\)-এর অধীনে বদ্ধ (closed) যদি: যেকোনো \(a, b \in S\) হলে \(a * b \in S\)। ℕ যোগ ও গুণের অধীনে বদ্ধ, কিন্তু বিয়োগের অধীনে নয়।

পূর্ণ সংখ্যা (Integers) — \(\mathbb{Z}\)

\[\mathbb{Z} = \{\ldots,\, -3,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \ldots\}\]

ℤ-তে যোগ, বিয়োগ, গুণ — তিনটাই সবসময় সম্ভব এবং ফলাফল ℤ-তেই থাকে।

কিন্তু ভাগ সবসময় সম্ভব নয়: \(7 \div 4 = ?\) — এর উত্তর ℤ-তে নেই।

মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers) — \(\mathbb{Q}\)

\[\mathbb{Q} = \left\{\, \frac{p}{q} \;\Big|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{Z},\; q \ne 0 \,\right\}\]

অর্থাৎ যেকোনো দুটো পূর্ণ সংখ্যার ভাগফল (ভাজক শূন্য নয়)।

উদাহরণ: \(\frac{1}{2},\; \frac{-3}{7},\; \frac{22}{7},\; 5 = \frac{5}{1},\; 0 = \frac{0}{1}\)।

লক্ষ্য করো: \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) — প্রতিটা পূর্ণ সংখ্যাই মূলদ (হর = 1)।

দশমিক বিস্তার (decimal expansion): মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার সর্বদা হয়

• সাম্ত (terminating): যেমন \(\frac{3}{4} = 0.75\), বা
• আবর্তনশীল (repeating/recurring): যেমন \(\frac{1}{3} = 0.\overline{3}\), \(\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}\)।

ℚ-তে কী নেই? মূলদ সংখ্যার মধ্যে "ফাঁক" আছে। উদাহরণস্বরূপ, এমন কোনো মূলদ সংখ্যা নেই যার বর্গ ঠিক ২-এর সমান। এটাই অধ্যায় 0.4-এর মূল প্রমাণ ছিল।

উপপাদ্য (Theorem — 0.4 থেকে)

\(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — অর্থাৎ এমন কোনো \(p, q \in \mathbb{Z}\) নেই যেখানে \(\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2\)।

এই ফাঁকটাই দেখায় যে ℚ "অসম্পূর্ণ" — সংখ্যারেখায় অনেক জায়গাই মূলদ সংখ্যা দিয়ে ভরা নেই।

বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) — \(\mathbb{R}\)

\[\mathbb{R} = \mathbb{Q} \;\cup\; \text{(সব অমূলদ সংখ্যা)}\]

অমূলদ সংখ্যা (irrational number): যে সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে লেখা যায় না। এদের দশমিক বিস্তার অসাম্ত এবং অনাবর্তনশীল (non-terminating, non-repeating)।

উদাহরণ: \(\sqrt{2} = 1.41421356\ldots\), \(\pi = 3.14159265\ldots\), \(e = 2.71828182\ldots\)।

ℝ কীভাবে "ফাঁক পূরণ" করে? সংখ্যারেখার প্রতিটা বিন্দুর সাথে ঠিক একটা বাস্তব সংখ্যা মেলে। ℚ-তে যে ফাঁক ছিল, ℝ সেটা পূরণ করে একটা মৌলিক ধর্মের মাধ্যমে:

সম্পূর্ণতার অনুমান (Completeness Axiom — সংক্ষেপে)

\(\mathbb{R}\)-এর যেকোনো উপরে-ঘেরা (bounded above) খালি-নয় উপসেটের একটি সর্বোচ্চ নিম্নসীমা (least upper bound) \(\mathbb{R}\)-তেই আছে। এর মানে: \(\mathbb{R}\)-এ কোনো "ছিদ্র" নেই — কোনো ক্রমবর্ধমান ধারা একটা লক্ষ্যের দিকে গেলে সেই লক্ষ্যটাও ℝ-তেই থাকে।

এই completeness-ই ℚ আর ℝ-এর আসল পার্থক্য। Part 1-এ এটা বিশদে আলোচনা হবে।

সংখ্যাস্তরের সারণি

সেট	সংকেত	উদাহরণ	নতুন কী যোগ হলো
স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural)	\(\mathbb{N}\)	\(1, 2, 3, \ldots\)	গণনার শুরু
পূর্ণ সংখ্যা (Integer)	\(\mathbb{Z}\)	\(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\)	ঋণাত্মক সংখ্যা, শূন্য
মূলদ সংখ্যা (Rational)	\(\mathbb{Q}\)	\(\frac{1}{2},\, \frac{-3}{4},\, 0.75, \ldots\)	ভগ্নাংশ
বাস্তব সংখ্যা (Real)	\(\mathbb{R}\)	\(\sqrt{2},\, \pi,\, e,\, -1.7320\ldots\)	অমূলদ সংখ্যা, সম্পূর্ণতা

সম্পর্ক: \(\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}\)।

(প্রতিটা অন্তর্ভুক্তিই কঠোর — অর্থাৎ পরের সেটে এমন উপাদান আছে যা আগের সেটে নেই।)

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy — মাপের যন্ত্রের উন্নতি

ভাবো তুমি ক্রমশ উন্নত মাপার যন্ত্র পাচ্ছ:

• ℕ: শুধু পুরো সংখ্যা গুনতে পারে — মুঠো মুঠো চাল মাপতে পারো, কিন্তু আধা মুঠো? না।
• ℤ: তাপমাত্রার থার্মোমিটার — শূন্যের নিচেও যেতে পারে।
• ℚ: রান্নাঘরের মাপকাঠি — \(\frac{3}{4}\) কাপ মাপতে পারো।
• ℝ: অসীম সূক্ষ্ম মাপযন্ত্র — সংখ্যারেখার প্রতিটা বিন্দু স্পর্শ করতে পারে।

Worked Example ১: কোন সেটে আছে?

নিচের প্রতিটা সংখ্যা কোন কোন সেটে আছে তা নির্ধারণ করো:

সংখ্যা	ℕ	ℤ	ℚ	ℝ
\(7\)	✅	✅	✅	✅
\(-4\)	❌	✅	✅	✅
\(\frac{2}{3}\)	❌	❌	✅	✅
\(\sqrt{5}\)	❌	❌	❌	✅
\(\pi\)	❌	❌	❌	✅

লক্ষ্য করো: ℝ-তে সব কটাই আছে। ℕ-তে শুধু ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।

Worked Example ২: দশমিক বিস্তার চিনে নাও

• \(0.333\ldots = 0.\overline{3} = \frac{1}{3}\) → মূলদ (আবর্তনশীল)।
• \(0.142857142857\ldots = 0.\overline{142857} = \frac{1}{7}\) → মূলদ (আবর্তনশীল)।
• \(0.125 = \frac{1}{8}\) → মূলদ (সাম্ত)।
• \(1.41421356\ldots\) (কোনো pattern নেই, কখনো শেষ হয় না) → অমূলদ (\(= \sqrt{2}\))।

কীভাবে বুঝব \(0.\overline{3} = \frac{1}{3}\)? ধরো \(x = 0.\overline{3}\)।

\[10x = 3.\overline{3} \implies 10x - x = 3.\overline{3} - 0.\overline{3} = 3 \implies 9x = 3 \implies x = \frac{1}{3}\]

Worked Example ৩: ℚ-তে ফাঁকের প্রমাণ

দেখাও যে \(\sqrt{2}\) আর \(\sqrt{3}\)-এর মাঝে এমন একটা মূলদ সংখ্যা আছে।

\(\sqrt{2} \approx 1.414\) এবং \(\sqrt{3} \approx 1.732\)। তাহলে \(q = \frac{3}{2} = 1.5\) একটা মূলদ সংখ্যা এবং \(1.414 < 1.5 < 1.732\) — সুতরাং \(\sqrt{2} < \frac{3}{2} < \sqrt{3}\)।

(এই ধর্মকে বলে ঘনত্ব (density) — যেকোনো দুটো বাস্তব সংখ্যার মাঝে সবসময় একটা মূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়। তবুও মূলদ সংখ্যা সংখ্যারেখার সব বিন্দু ঢাকে না — এটাই cardinality অধ্যায়ের মূল রহস্য।)

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. "সব ভগ্নাংশ মূলদ" — ঠিক, কিন্তু "সব দশমিক সংখ্যা মূলদ" — ভুল। \(0.101001000100001\ldots\) (pattern আছে কিন্তু আবর্তনশীল নয়) এটা অমূলদ। মূলদের দশমিক বিস্তারে অবশ্যই হয় সাম্ত হতে হবে, নয়তো আবর্তনশীল।

2. "ℚ আর ℝ প্রায় একই, শুধু কিছু 'বিশেষ' সংখ্যা বাদে" — বিপজ্জনক ভুল। বাস্তবে \(\sqrt{2}, \pi, e\)-র মতো অগণিত অমূলদ সংখ্যা আছে। পরের অধ্যায়ে দেখব ℝ আর ℚ-এর "আকার" আসলে সম্পূর্ণ আলাদা।

3. \(0\) কে ℕ-এ ধরা না ধরা নিয়ে বিভ্রান্তি। কিছু বই \(0 \in \mathbb{N}\) ধরে, কিছু ধরে না। সবসময় লেখকের convention দেখো। এই বইয়ে \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)।

4. "\(\frac{p}{q}\) যেকোনো ফর্মে আসতে পারে" — হ্যাঁ, কিন্তু সরলীকৃত রূপ একটাই। \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) — এগুলো একই মূলদ সংখ্যার আলাদা প্রকাশ।

5. \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) (অমূলদ সংখ্যা) কোনো "সেট" হিসেবে গণ্য না করা। অমূলদ সংখ্যারা ℝ-এর একটা অংশ, এবং এদের নিজস্ব ধর্ম আছে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. নিচের প্রতিটা সংখ্যা ℕ, ℤ, ℚ, ℝ-এর মধ্যে কোন কোন সেটে আছে তা বলো: (ক) \(-9\) (খ) \(\frac{5}{1}\) (গ) \(\sqrt{9}\) (ঘ) \(\sqrt{7}\) (ঙ) \(0\)।

2. দেখাও যে \(0.\overline{142857} = \frac{1}{7}\)। (ইঙ্গিত: ধরো \(x = 0.\overline{142857}\), তারপর \(10^6 x\) হিসাব করো।)

3. কোন সমীকরণটার সমাধান ℕ-তে নেই কিন্তু ℤ-তে আছে? কোনটার সমাধান ℤ-তে নেই কিন্তু ℚ-তে আছে? কোনটার সমাধান ℚ-তে নেই কিন্তু ℝ-তে আছে? উদাহরণসহ বলো।

4. প্রমাণ করো যে \(\sqrt{3}\) অমূলদ। (ইঙ্গিত: অধ্যায় 0.4-এর \(\sqrt{2}\)-এর প্রমাণের মতো।)

5. দুটো অমূলদ সংখ্যার যোগফল কি সবসময় অমূলদ? হয় প্রমাণ করো, নয়তো counterexample দাও।

6. ℚ-তে "ঘনত্ব (density)"-এর মানে কী? \(\sqrt{5}\) আর \(\sqrt{6}\)-এর মাঝে একটা মূলদ সংখ্যা খুঁজে দাও।

7. দেখাও যে কোনো মূলদ সংখ্যা ও কোনো অমূলদ সংখ্যার যোগফল সবসময় অমূলদ।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

প্রতিটা সংখ্যাকে nested সেটের মধ্যে চিহ্নিত করি।

• (ক) \(-9\): ঋণাত্মক, তাই \(\mathbb{N}\)-তে নেই। \(-9 \in \mathbb{Z}\), এবং \(-9 = \frac{-9}{1} \in \mathbb{Q}\), এবং \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), তাই \(-9 \in \mathbb{R}\)। সেট: ℤ, ℚ, ℝ।
• (খ) \(\frac{5}{1} = 5\): ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। সেট: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ — সব চারটাতেই।
• (গ) \(\sqrt{9} = 3\): \(9 = 3^2\), তাই বর্গমূল \(3\) একটা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। সেট: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ।
• (ঘ) \(\sqrt{7}\): \(7\) কোনো পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয় (\(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\)), এবং অধ্যায় 0.4-এর যুক্তি দিয়ে দেখানো যায় \(\sqrt{7} \notin \mathbb{Q}\)। তাই \(\sqrt{7} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)। সেট: শুধু ℝ।
• (ঙ) \(0\): \(\mathbb{N}\)-তে নেই (এই বইয়ের convention অনুযায়ী)। \(0 \in \mathbb{Z}\), \(0 = \frac{0}{1} \in \mathbb{Q}\), \(0 \in \mathbb{R}\)। সেট: ℤ, ℚ, ℝ।

২-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(x = 0.\overline{142857} = 0.142857142857\ldots\)

তাহলে:

\[10^6 x = 142857.\overline{142857} = 142857 + x\]

সুতরাং:

\[10^6 x - x = 142857\]

\[999999\, x = 142857\]

\[x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}\]

(শেষ ধাপে: \(142857 \times 7 = 999999\) যাচাই করা যায়।) ✓

উপলব্ধি: যেকোনো আবর্তনশীল দশমিককেই এভাবে ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায় — তাই আবর্তনশীল দশমিক = মূলদ।

৩-নং সমাধান দেখাও

• ℕ-তে নেই কিন্তু ℤ-তে আছে: \(x + 5 = 2\), সমাধান \(x = -3\)। \(-3 \notin \mathbb{N}\) কিন্তু \(-3 \in \mathbb{Z}\)।
• ℤ-তে নেই কিন্তু ℚ-তে আছে: \(3x = 2\), সমাধান \(x = \frac{2}{3}\)। \(\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\) কিন্তু \(\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}\)।
• ℚ-তে নেই কিন্তু ℝ-তে আছে: \(x^2 = 2\), সমাধান \(x = \sqrt{2}\)। অধ্যায় 0.4 অনুযায়ী \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\), কিন্তু \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\)।

এই তিনটা উদাহরণই দেখায় — প্রতিটা বিস্তার কোনো না কোনো সমীকরণের সমাধান সম্ভব করতে।

৪-নং সমাধান দেখাও

প্রমাণ (contradiction দ্বারা): ধরো \(\sqrt{3} = \frac{p}{q}\) যেখানে \(p, q \in \mathbb{Z}\), \(q \ne 0\), এবং \(\gcd(p, q) = 1\) (সরলীকৃত ভগ্নাংশ)।

তাহলে:

\[3 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 3q^2\]

সুতরাং \(p^2\) তিন দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে \(p\) নিজেও তিন দিয়ে বিভাজ্য (কারণ \(3\) মৌলিক)। ধরো \(p = 3k\)।

তাহলে:

\[9k^2 = 3q^2 \implies q^2 = 3k^2\]

এখন \(q^2\) তিন দিয়ে বিভাজ্য, তাই \(q\)-ও তিন দিয়ে বিভাজ্য।

কিন্তু এতে \(\gcd(p, q) \ge 3\) হয়ে যায়, যা \(\gcd(p, q) = 1\) ধারণার বিরোধী। Contradiction। সুতরাং \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\)। \(\blacksquare\)

৫-নং সমাধান দেখাও

না, সবসময় অমূলদ নয় — counterexample দাও:

ধরো \(a = \sqrt{2}\) (অমূলদ) এবং \(b = -\sqrt{2}\) (অমূলদ)।

তাহলে \(a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \in \mathbb{Q}\) — এটা মূলদ।

তাই দুটো অমূলদ সংখ্যার যোগফল মূলদ হতে পারে। দাবিটা মিথ্যা।

(তবে একটা মূলদ ও একটা অমূলদের যোগফল সবসময় অমূলদ — এক্সারসাইজ ৭ দেখো।)

৬-নং সমাধান দেখাও

Density (ঘনত্ব): ℚ-এর ঘনত্ব বলতে বোঝায় যেকোনো দুটো বাস্তব সংখ্যা \(a < b\)-এর মাঝে অন্তত একটা মূলদ সংখ্যা \(q\) আছে: \(a < q < b\)।

\(\sqrt{5} \approx 2.236\) এবং \(\sqrt{6} \approx 2.449\)।

একটা মূলদ সংখ্যা যা মাঝে পড়ে: \(q = \frac{12}{5} = 2.4\)।

যাচাই: \(2.236 < 2.4 < 2.449\) ✓ এবং \(\frac{12}{5} \in \mathbb{Q}\) ✓।

৭-নং সমাধান দেখাও

প্রমাণ (contradiction দ্বারা): ধরো \(r \in \mathbb{Q}\) এবং \(x \notin \mathbb{Q}\)।

আমরা দাবি করি \(r + x \notin \mathbb{Q}\)।

ধরো \(r + x = s \in \mathbb{Q}\) (অর্থাৎ যোগফল মূলদ)।

তাহলে:

\[x = s - r\]

কিন্তু দুটো মূলদ সংখ্যার পার্থক্য সবসময় মূলদ (ℚ বিয়োগের অধীনে বদ্ধ)।

তাই \(x = s - r \in \mathbb{Q}\) — কিন্তু এটা আমাদের ধারণার বিরোধী যে \(x \notin \mathbb{Q}\)।

Contradiction। সুতরাং \(r + x \notin \mathbb{Q}\)। \(\blacksquare\)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] চারটা সংখ্যার সেট ℕ, ℤ, ℚ, ℝ-এর সংজ্ঞা এবং \(\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}\) সম্পর্ক জানি।
• [ ] প্রতিটা বিস্তার কেন দরকার হলো — কোন অপারেশন "আটকে যায়" — সেটা নিজে বলতে পারি।
• [ ] মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার সর্বদা সাম্ত বা আবর্তনশীল — এবং উল্টোটাও সত্য।
• [ ] \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — এবং এর contradiction-proof-এর মূল কাঠামো বলতে পারি।
• [ ] অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার অসাম্ত এবং অনাবর্তনশীল।
• [ ] ℝ ℚ-এর চেয়ে "বড়" — এতে অমূলদ সংখ্যাও আছে, আর এটা completeness axiom মেনে চলে।
• [ ] মূলদ + অমূলদ = অমূলদ — এর proof দিতে পারি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 0.6 — গণনযোগ্যতা ও Cardinality (Countability) — এই অধ্যায়ে দেখব ℕ, ℤ, ℚ "একই আকারের" আর ℝ কীভাবে তাদের সবাইকে ছাড়িয়ে যায় — Cantor-এর অসাধারণ diagonal argument দিয়ে।