0.3 — সম্পর্ক ও ফাংশন (Relations & Functions)¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: ordered pair, Cartesian product (\(A \times B\)), relation (সম্পর্ক) ও তার ধর্ম, equivalence relation (সমতুল্যতা সম্পর্ক) ও partition, function (ফাংশন/অপেক্ষক) কী — আর injective, surjective, bijective, composition ও inverse function।
উৎস (source): Cantor, Dedekind (relation ও function) · 0.2-এর set-এর উপর।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
০.২-এ আমরা set শিখলাম — জিনিসের সংগ্রহ। কিন্তু গণিত শুধু "কোন কোন জিনিস আছে" জানলেই চলে না, জানতে হয় জিনিসগুলো একে অপরের সাথে কীভাবে সংযুক্ত।
কয়েকটা উদাহরণ ভাবো:
- "ঢাকা থেকে সিলেট যাওয়া যায়" — দুটো শহরের মধ্যে সম্পর্ক।
- "\(3 < 7\)" — দুটো সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক।
- "\(f(x) = x^2\)" — প্রতিটা সংখ্যা \(x\) থেকে একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা \(x^2\)-এ যাওয়া।
এই তিনটা জিনিসই গণিতে একটাই ধারণা দিয়ে ধরা যায়: relation (সম্পর্ক)। আর function (অপেক্ষক) হলো সেই relation-এর একটা বিশেষ ভালো ধরনের — যেখানে প্রতিটা input-এর জন্য ঠিক একটাই output থাকে।
পুরো বিশ্লেষণ (analysis), সংখ্যা-তত্ত্ব, বীজগণিত — সবকিছুর মূলে আছে function। সমতুল্যতা সম্পর্ক (equivalence relation) ছাড়া modular arithmetic, quotient space, ভাগশেষ শ্রেণি — কিছুই বোঝা সম্ভব না। আর bijection (একৈক-ও-সর্বগ্রাসী ফাংশন) হলো 0.6-এ যে "দুটো set-এর আকার সমান" বলব — তার একমাত্র সঠিক সংজ্ঞা।
এক কথায়
Relation = "সংযোগের নিয়ম"; function = "প্রতিটা input-এর ঠিক একটা output"। এই দুটো ছাড়া আধুনিক গণিত লেখাই যায় না।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Ordered pair ও Cartesian product¶
দুটো জিনিস \(a\) আর \(b\) দিয়ে আমরা একটা ordered pair (ক্রম-জোড়া) বানাতে পারি: \((a, b)\)। "Ordered" কারণ ক্রম গুরুত্বপূর্ণ — \((a, b) \neq (b, a)\) যদি \(a \neq b\)। ঠিক যেমন "ঢাকা থেকে সিলেট" আর "সিলেট থেকে ঢাকা" আলাদা।
দুটো set \(A\) আর \(B\) থেকে Cartesian product (কার্তেসীয় গুণফল) হলো সব সম্ভব ordered pair-এর set:
উদাহরণ: \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{\text{লাল}, \text{নীল}\}\) হলে
মোট \(|A| \times |B| = 2 \times 2 = 4\) টা জোড়া। (তাই নামটা "গুণফল"!)
পরিচিত \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) হলো সেই Cartesian plane — যা Descartes-ই আবিষ্কার করেছিলেন।
Relation কী?¶
\(A\) থেকে \(B\)-তে একটা relation \(R\) হলো \(A \times B\)-এর একটা subset (উপসেট):
\((a, b) \in R\) হলে আমরা বলি "\(a\) এবং \(b\)-এর মধ্যে \(R\) সম্পর্ক আছে" বা লিখি \(a \, R \, b\)।
উদাহরণ: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{1,2,3\}\)। "\(<\)" relation হলো \(R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}\)। আমরা লিখি \(1 < 2\), \(1 < 3\), \(2 < 3\) — ঠিক এই তিনটা পেয়ারই আছে।
Function — বিশেষ relation¶
একটা relation \(f \subseteq A \times B\) হলো function (ফাংশন / অপেক্ষক) যদি:
\(A\)-র প্রতিটা উপাদানের জন্য \(B\)-তে ঠিক একটা짝 থাকে।
অর্থাৎ প্রতিটা \(a \in A\)-র জন্য এমন একটিমাত্র \(b \in B\) আছে যাতে \((a, b) \in f\)। তখন আমরা লিখি \(b = f(a)\), এবং function-টাকে লিখি \(f: A \to B\)।
চিত্র ১-এ দেখো — প্রতিটা নীল বিন্দু থেকে ঠিক একটা তীর বেরিয়েছে:
চিত্র ১: \(f: A \to B\) একটি arrow diagram হিসেবে। \(A\)-র প্রতিটি উপাদান থেকে \(B\)-তে ঠিক একটি তীর। এখানে \(b\) ও \(c\) দুজনেই \(3\)-এ যায় (একৈক নয়); আর \(1\) ও \(4\) কেউ ধরেনি (সর্বগ্রাসী নয়)।
Domain, Codomain, Range:
- Domain (সংজ্ঞা-এলাকা): \(A\) — function-এর "input set"।
- Codomain (সহডোমেইন): \(B\) — যেখানে output যেতে পারে।
- Range / Image (পরিসর): \(f(A) = \{f(a) \mid a \in A\}\) — যেখানে output আসলেই গেছে। সবসময় \(f(A) \subseteq B\)।
চিত্র ১-এ domain = \(\{a,b,c\}\), codomain = \(\{1,2,3,4\}\), range = \(\{2,3\}\)।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
সংজ্ঞা: Relation-এর ধর্ম¶
\(A\)-র উপর একটা relation \(R \subseteq A \times A\)-কে (নিজের উপর relation) আমরা কয়েকটা ধর্ম দিয়ে বিচার করি। ধরো \(a, b, c \in A\):
| ধর্ম | সংজ্ঞা | উদাহরণ |
|---|---|---|
| Reflexive (প্রতিফলনশীল) | \(\forall a:\; a\,R\,a\) | "\(\leq\)" reflexive (\(a \leq a\)); "\(<\)" নয় |
| Symmetric (প্রতিসম) | \(a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a\) | "সমান বয়স" symmetric; "\(<\)" নয় |
| Antisymmetric (অপ্রতিসম) | \(a\,R\,b\) ও \(b\,R\,a\) \(\Rightarrow\) \(a=b\) | "\(\leq\)" antisymmetric |
| Transitive (সংক্রামক) | \(a\,R\,b\) ও \(b\,R\,c\) \(\Rightarrow\) \(a\,R\,c\) | "\(<\)", "\(\leq\)", "বন্ধু" নয় |
সংজ্ঞা: Equivalence relation (সমতুল্যতা সম্পর্ক)¶
\(A\)-র উপর relation \(\sim\) হবে equivalence relation (সমতুল্যতা সম্পর্ক) যদি সে একসাথে reflexive + symmetric + transitive হয়।
সংক্ষেপে
\(\sim\) একটা equivalence relation \(\Leftrightarrow\)
- \(a \sim a\) (reflexive)
- \(a \sim b \Rightarrow b \sim a\) (symmetric)
- \(a \sim b\) ও \(b \sim c \Rightarrow a \sim c\) (transitive)
উদাহরণ: \(\mathbb{Z}\)-এ "mod 3 সমান" মানে \(a \sim b \Leftrightarrow 3 \mid (a - b)\)। যাচাই: \(a - a = 0\), \(3 \mid 0\) ✓ (reflexive); \(3 \mid (a-b) \Rightarrow 3 \mid (b-a)\) ✓ (symmetric); \(3 \mid (a-b)\) ও \(3 \mid (b-c) \Rightarrow 3 \mid (a-c)\) ✓ (transitive)।
সংজ্ঞা: Equivalence class ও Partition¶
\(a \in A\) হলে তার equivalence class (সমতুল্যতা শ্রেণি) হলো:
অর্থাৎ \(a\)-এর সাথে "সমান" সব উপাদানের set।
মূল উপপাদ্য: Equivalence class = Partition
\(A\)-র উপর equivalence relation \(\sim\) দিলে তার সব equivalence class মিলে \(A\)-এর একটা partition (বিভাজন) তৈরি করে — মানে:
- প্রতিটা \(a \in A\) ঠিক একটা class-এ পড়ে (\([a] \neq \emptyset\), আর classes disjoint)।
- সব class মিলে পুরো \(A\) ঢাকে: \(\bigcup_{a \in A} [a] = A\)।
প্রমাণ-স্কেচ: \(a \in [a]\) (reflexive থেকে)। যদি \([a] \cap [b] \neq \emptyset\) হয়, মানে কোনো \(c \in [a] \cap [b]\), তাহলে \(c \sim a\) ও \(c \sim b\), সুতরাং \(a \sim b\) (symmetric+transitive), তাই \([a] = [b]\)। সুতরাং দুটো class হয় সম্পূর্ণ আলাদা, নয়তো হুবহু এক।
চিত্র ২-এ mod 3 partition দেখো — তিনটা class \([0], [1], [2]\) পুরো set-টাকে ঢেকে ফেলেছে:
চিত্র ২: \(\{0, 1, \ldots, 8\}\) set-টি mod 3 equivalence relation-এ তিনটি disjoint শ্রেণিতে ভাগ হয়ে গেছে। এই তিনটি oval-ই একটা partition — পরস্পর-বিচ্ছিন্ন, আর মিলে পুরো set।
সংজ্ঞা: Injective, Surjective, Bijective¶
\(f: A \to B\) function-এর তিনটা গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ধরন:
Injective (একৈক / one-to-one):
অর্থাৎ আলাদা input সবসময় আলাদা output দেয়। Contrapositive রূপে: \(a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2)\)।
Surjective (সর্বগ্রাসী / onto):
অর্থাৎ codomain-এর কোনো উপাদানই বাদ পড়ে না — range = codomain।
Bijective (একৈক-ও-সর্বগ্রাসী / one-to-one correspondence):
Bijection মানে \(A\) ও \(B\)-এর মধ্যে নিখুঁত এক-এক মিলন — প্রতিটা \(b \in B\)-র জন্য ঠিক একটা \(a \in A\) আছে। এই ধারণাটাই 0.6-এ দুটো set "একই আকারের" কিনা বলার একমাত্র সঠিক উপায়।
চিত্র ৩-এ তিনটা ধরনের তুলনা:
চিত্র ৩: বাঁ প্যানেল — injective (একৈক): প্রতিটা output আলাদা, কিন্তু ৪ ধরা পড়েনি। মাঝ প্যানেল — surjective (সর্বগ্রাসী): সব output ধরা পড়েছে, কিন্তু ৩-এ দুজন গেছে। ডান প্যানেল — bijective: নিখুঁত এক-এক মিলন।
সংজ্ঞা: Composition ও Inverse¶
Composition (সংযোজন): \(f: A \to B\) এবং \(g: B \to C\) হলে তাদের composition হলো:
প্রথমে \(f\) প্রয়োগ, তারপর \(g\)। পড়তে হয় ডান থেকে বাঁয়ে: "\(g\) after \(f\)"।
ক্রম সাবধান
\(g \circ f \neq f \circ g\) সাধারণত। \(g \circ f\) মানে আগে \(f\), তারপর \(g\)।
Inverse function (প্রতিলোম ফাংশন): \(f: A \to B\) bijective হলে তার inverse \(f^{-1}: B \to A\) আছে, যেখানে:
এবং: \(f^{-1} \circ f = \text{id}_A\) (identity on \(A\)), \(f \circ f^{-1} = \text{id}_B\) (identity on \(B\))।
গুরুত্বপূর্ণ
Inverse function তখনই থাকে যখন \(f\) bijective। Injective কিন্তু surjective নয় — তখন inverse শুধু range-এর উপর সংজ্ঞায়িত (partial inverse)।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Analogy: ফাংশন = মেশিন¶
ফাংশনকে ভাবো একটা মেশিন হিসেবে — একদিকে input দাও, অন্যদিকে output বেরোয়। Domain হলো "মেশিনটা কোন input নিতে পারে", codomain হলো "output কোথায় যাবে বলে দাবি করা হয়েছে", range হলো "আসলে কোথায় গেল"।
- Injective = প্রতিটা unique input-এ unique output — মেশিনটা "ঘুলিয়ে ফেলে না"।
- Surjective = codomain-এর কোনো output অব্যবহৃত থাকে না — মেশিনটা "সব output cover করে"।
- Bijective = দুটোই — একটা নিখুঁত এনকোডার/ডিকোডার।
Worked example 1: কোনটা function, কোনটা নয়?¶
\(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a,b,c\}\)। নিচের কোনটা \(A\) থেকে \(B\)-তে function?
(i) \(R_1 = \{(1,a),(2,b),(3,c)\}\) — প্রতিটা \(A\)-উপাদানের একটাই pair → function ✓ (ii) \(R_2 = \{(1,a),(1,b),(2,c)\}\) — \(1\) দুটো output পেয়েছে, \(3\)-এর কোনো output নেই → function নয় ✗ (iii) \(R_3 = \{(1,a),(2,a),(3,a)\}\) — প্রতিটা input-এর ঠিক একটা output → function ✓ (তবে injective নয়)
Worked example 2: Equivalence class¶
\(\mathbb{Z}\)-এ \(a \sim b \Leftrightarrow 2 \mid (a - b)\) (জোড়/বিজোড় সমতা):
- \([0] = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}\) — সব জোড় পূর্ণসংখ্যা
- \([1] = \{\ldots, -3, -1, 1, 3, 5, \ldots\}\) — সব বিজোড় পূর্ণসংখ্যা
এই দুটো class মিলে \(\mathbb{Z}\)-কে দুভাগে ভাগ করেছে। Quotient set \(\mathbb{Z}/{\sim} = \{[0],[1]\}\), যা essentially \(\mathbb{Z}_2\) (mod 2 arithmetic)।
Worked example 3: Composition¶
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x+1\) এবং \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\)।
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2\)।
\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2+1\)।
স্পষ্টতই \((g \circ f) \neq (f \circ g)\) — ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।
Worked example 4: Inverse খোঁজা¶
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 5\)। Bijective কিনা? \(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 3x_1-5 = 3x_2-5 \Rightarrow x_1=x_2\) → injective। \(y = 3x-5 \Rightarrow x = \frac{y+5}{3}\) সব \(y \in \mathbb{R}\)-র জন্য সমাধানযোগ্য → surjective। তাই bijective।
Inverse: \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+5}{3}\)।
যাচাই: \(f^{-1}(f(x)) = \dfrac{(3x-5)+5}{3} = x\) ✓।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
"Relation" ও "Function" গুলিয়ে ফেলা। প্রতিটা function একটা relation, কিন্তু উল্টোটা সত্য নয়। Relation-এ একটা input থেকে একাধিক output যেতে পারে; function-এ পারে না।
-
Range ও Codomain এক মনে করা। \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)-এর codomain \(\mathbb{R}\), কিন্তু range হলো \([0, \infty)\)। Surjective নয় (কোনো \(a \in \mathbb{R}\) দিয়ে \(f(a) = -1\) পাওয়া যায় না)।
-
Injective মানে Bijective ভাবা। \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = n\) — injective, কিন্তু surjective নয় (ঋণাত্মক integers ধরা পড়েনি)। Bijective হতে গেলে surjective-ও হতে হবে।
-
\(f^{-1}\) সবসময় আছে মনে করা। \(f(x) = x^2\) (\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))-এর পূর্ণ inverse নেই — কারণ injective নয় (\(f(2) = f(-2) = 4\))। Domain সীমিত করলে (যেমন \([0,\infty)\)) তখন আংশিক inverse পাওয়া যায়।
-
Composition-এ ক্রম উল্টানো। \(g \circ f\) মানে আগে \(f\), তারপর \(g\) — নাম পড়তে ডান থেকে বাঁয়ে। অনেকে বাঁ থেকে ডানে পড়তে গিয়ে উল্টে ফেলে।
-
Reflexive ধর্ম না দেখে equivalence relation বলা। "Strictly less than" (\(<\)) transitive ও antisymmetric, কিন্তু reflexive নয় — equivalence relation নয়।
-
Equivalence class-কে শুধু একটা উপাদান ভাবা। \([a]\) একটা set — যাতে \(a\)-র মতো সব উপাদান আছে। \([0]_{\text{mod }3} = \{\ldots,-3,0,3,6,\ldots\}\), শুধু \(\{0\}\) নয়।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।
-
\(A = \{1,2,3,4\}\), \(B = \{a,b,c\}\)। নিচের relation-গুলোর মধ্যে কোনটা \(A\) থেকে \(B\)-তে function? কেন? (ক) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)\}\) (খ) \(\{(1,a),(2,b),(2,c),(4,a)\}\) (গ) \(\{(1,a),(3,b),(4,c)\}\)
-
\(\mathbb{R}\)-এ নিচের relation-গুলো reflexive, symmetric, transitive — কোনটা কোনটা? সেগুলো কি equivalence relation? (ক) \(a \sim b \Leftrightarrow |a - b| < 1\) (খ) \(a \sim b \Leftrightarrow a - b \in \mathbb{Z}\) (পার্থক্য একটা পূর্ণসংখ্যা)
-
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) নিচের কোনটা injective? কোনটা surjective? কোনটা bijective? (ক) \(f(x) = 2x - 3\) (খ) \(f(x) = x^3\) (গ) \(f(x) = x^2 + 1\)
-
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5x + 2\) এবং \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = \frac{x-2}{5}\) হলে \(f \circ g\) এবং \(g \circ f\) বের করো। কী লক্ষ করছ?
-
প্রমাণ করো: \(f: A \to B\) injective \(\Leftrightarrow\) যেকোনো set \(C\) ও functions \(h, k: C \to A\)-এর জন্য \(f \circ h = f \circ k \Rightarrow h = k\)।
-
\(\mathbb{Z}\)-এ \(a \sim b \Leftrightarrow 5 \mid (a - b)\)। এই equivalence relation-এ \([0]\), \([1]\), \([7]\), \([-3]\) বের করো। মোট কতটা আলাদা equivalence class আছে?
-
\(f: A \to B\) bijective হলে প্রমাণ করো যে \(f^{-1}: B \to A\)-ও bijective।
-
(চ্যালেঞ্জ) \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \times \mathbb{N}\) এমন একটা bijection বের করো বা স্কেচ করো। এটা কি সম্ভব? (ইঙ্গিত: 0.6-এ Cantor-এর diagonal trick এভাবেই কাজ করে।)
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
Function হওয়ার শর্ত: domain-এর প্রতিটা উপাদানের জন্য ঠিক একটা output থাকা।
- (ক) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)\}\) — প্রতিটা \(1,2,3,4\)-এর ঠিক একটা image আছে। ✅ function। (\(a\) দুবার এলেও সমস্যা নেই — output-এর পুনরাবৃত্তি ঠিক আছে।)
- (খ) \(\{(1,a),(2,b),(2,c),(4,a)\}\) — \(2\)-এর দুটো image (\(b\) এবং \(c\)), আর \(3\)-এর কোনো image নেই। ❌ function নয়।
- (গ) \(\{(1,a),(3,b),(4,c)\}\) — \(2\)-এর কোনো image নেই। ❌ function নয়।
২-নং সমাধান দেখাও
(ক) \(a \sim b \Leftrightarrow |a-b| < 1\):
- Reflexive: \(|a - a| = 0 < 1\) ✓
- Symmetric: \(|a-b| < 1 \Rightarrow |b-a| < 1\) ✓ (কারণ \(|b-a| = |a-b|\))
- Transitive: \(|a-b| < 1\) ও \(|b-c| < 1\) হলে কি \(|a-c| < 1\)? না! পাল্টা উদাহরণ: \(a=0\), \(b=0.8\), \(c=1.5\)। \(|a-b|=0.8 < 1\), \(|b-c|=0.7 < 1\), কিন্তু \(|a-c|=1.5 \not< 1\)। ✗
তাই (ক) equivalence relation নয়।
(খ) \(a \sim b \Leftrightarrow a - b \in \mathbb{Z}\):
- Reflexive: \(a - a = 0 \in \mathbb{Z}\) ✓
- Symmetric: \(a-b \in \mathbb{Z} \Rightarrow b-a = -(a-b) \in \mathbb{Z}\) ✓
- Transitive: \(a-b \in \mathbb{Z}\) ও \(b-c \in \mathbb{Z} \Rightarrow a-c = (a-b)+(b-c) \in \mathbb{Z}\) ✓
(খ) equivalence relation ✓। (এটা \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) — বৃত্তের উপর কোণের arithmetic।)
৩-নং সমাধান দেখাও
(ক) \(f(x) = 2x-3\):
- Injective: \(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow 2x_1-3=2x_2-3 \Rightarrow x_1=x_2\) ✓
- Surjective: \(y = 2x-3 \Rightarrow x = \frac{y+3}{2}\) সব \(y \in \mathbb{R}\)-র জন্য আছে ✓
- Bijective ✓। Inverse: \(f^{-1}(y) = \frac{y+3}{2}\)।
(খ) \(f(x) = x^3\):
- Injective: \(x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow x_1 = x_2\) (cube root একমুখী) ✓
- Surjective: \(y = x^3 \Rightarrow x = y^{1/3}\) সব \(y\)-র জন্য real ✓
- Bijective ✓।
(গ) \(f(x) = x^2 + 1\):
- Injective: \(f(2) = 5 = f(-2)\) কিন্তু \(2 \neq -2\) ✗ — injective নয়।
- Surjective: \(y = x^2 + 1 \geq 1\) সবসময়, তাই \(y = 0\)-এর কোনো preimage নেই ✗ — surjective নয়।
- Bijective নয়।
৪-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = 5x+2\), \(g(x) = \frac{x-2}{5}\)।
\((f \circ g)(x) = f\!\left(\frac{x-2}{5}\right) = 5 \cdot \frac{x-2}{5} + 2 = (x-2)+2 = x\)।
\((g \circ f)(x) = g(5x+2) = \frac{(5x+2)-2}{5} = \frac{5x}{5} = x\)।
দুটোই identity function! লক্ষ করো: \(g = f^{-1}\) — তারা পরস্পরের inverse। Bijective function-এর এটাই চরিত্র।
৫-নং সমাধান দেখাও
(\(\Rightarrow\)): ধরো \(f\) injective। \(f \circ h = f \circ k\) মানে \(\forall c \in C\): \(f(h(c)) = f(k(c))\)। \(f\) injective বলে \(h(c) = k(c)\)। এটা সব \(c\)-র জন্য সত্য, তাই \(h = k\)। ✓
(\(\Leftarrow\)): Contrapositive। ধরো \(f\) injective নয় — মানে কোনো \(a_1 \neq a_2 \in A\) আছে যাতে \(f(a_1) = f(a_2)\)। \(C = \{*\}\) (one-element set) নিই। \(h(*) = a_1\), \(k(*) = a_2\) define করলে \(h \neq k\), কিন্তু \(f(h(*)) = f(a_1) = f(a_2) = f(k(*))\), তাই \(f \circ h = f \circ k\)। সুতরাং শর্তটা ভেঙে যায়। ✓
৬-নং সমাধান দেখাও
\(a \sim b \Leftrightarrow 5 \mid (a-b)\)।
- \([0] = \{\ldots,-10,-5,0,5,10,\ldots\}\) — সব \(5k\) (\(k \in \mathbb{Z}\))
- \([1] = \{\ldots,-9,-4,1,6,11,\ldots\}\) — সব \(5k+1\)
- \([7]\): \(7 = 5 \cdot 1 + 2\), তাই \(7 \sim 2\) (কারণ \(5 \mid 7-2=5\))। সুতরাং \([7] = [2] = \{\ldots,-8,-3,2,7,12,\ldots\}\)
- \([-3]\): \(-3 = 5 \cdot (-1) + 2\), তাই \(-3 \sim 2\)। সুতরাং \([-3] = [2]\)।
মোট ৫টা আলাদা equivalence class: \([0],[1],[2],[3],[4]\)। (এটাই \(\mathbb{Z}_5 = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\)।)
৭-নং সমাধান দেখাও
\(f: A \to B\) bijective। দেখাতে হবে \(f^{-1}: B \to A\) bijective।
\(f^{-1}\) injective: ধরো \(f^{-1}(b_1) = f^{-1}(b_2) = a\)। তাহলে \(f(a) = b_1\) এবং \(f(a) = b_2\) (definition of \(f^{-1}\))। সুতরাং \(b_1 = b_2\)। ✓
\(f^{-1}\) surjective: যেকোনো \(a \in A\) নাও। \(b = f(a) \in B\) নিলে \(f^{-1}(b) = a\)। তাই \(A\)-র প্রতিটা উপাদান \(f^{-1}\)-এর range-এ আছে। ✓
সুতরাং \(f^{-1}\) bijective। ✓
৮-নং সমাধান দেখাও
হ্যাঁ, \(\mathbb{N}\) থেকে \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\)-এ bijection সম্ভব!
ধারণা: pairs \((m,n)\)-কে "diagonal" অনুযায়ী সাজাই — যোগফল \(m+n = 0, 1, 2, \ldots\) অনুসারে:
"Diagonal zigzag" পড়ার ক্রম: \((0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2), \ldots\) — প্রতিটা pair একবার, সব pair cover। এটাই 0.6-এ Cantor-এর আইডিয়া। এর মানে হলো \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}|\) — countably infinite set-এর নিজের সাথে গুণফলও countably infinite!
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Ordered pair \((a,b)\)-এর ক্রম-নির্ভরতা বুঝি; Cartesian product \(A \times B = \{(a,b) \mid a\in A, b\in B\}\) লিখতে পারি।
- [ ] Relation মানে \(A \times B\)-এর একটা subset — এটা মনে আছে।
- [ ] Relation-এর চারটা ধর্ম (reflexive, symmetric, antisymmetric, transitive) সংজ্ঞা ও উদাহরণ দিয়ে বলতে পারি।
- [ ] Equivalence relation = reflexive + symmetric + transitive; মোট তিনটা শর্ত একসাথে চাই।
- [ ] Equivalence class \([a]\) কী — এবং যে কোনো দুটো class হয় disjoint, নয়তো সম্পূর্ণ এক। Partition কী সেটা বুঝি।
- [ ] Function \(f: A \to B\) কী — domain, codomain, range আলাদা করতে পারি।
- [ ] Injective (একৈক): \(f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\); surjective (সর্বগ্রাসী): প্রতিটা \(b \in B\) ধরা পড়ে; bijective = দুটোই।
- [ ] Composition \(g \circ f\) মানে আগে \(f\), তারপর \(g\) — ক্রম মনে রাখি।
- [ ] Inverse \(f^{-1}\) তখনই আছে যখন \(f\) bijective।
- [ ] জানি যে bijection = "দুটো set একই আকারের" — 0.6-এ এই ধারণাটাই countability-র ভিত।
➡️ পরের অধ্যায়: 0.4 — প্রমাণের কৌশল (Proof Techniques) — এবার এই function ও set-এর ভাষা ব্যবহার করে সত্যিকারের গাণিতিক প্রমাণ লেখা শিখব: direct proof, contradiction, induction, আর contrapositive।