6.4 — Adjoint ও Invertibility¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Hilbert space-এ bounded operator T-এর adjoint (সংলগ্ন) T কীভাবে inner product দিয়ে সংজ্ঞায়িত হয়; Riesz representation-এর মাধ্যমে existence ও uniqueness; matrix case-এ conjugate transpose; মূল properties — T = T, (ST) = TS; null space-range duality: ker T = (ran T)⊥; invertibility (বিপরীতযোগ্যতা)* — bijective bounded operator-এর bounded inverse; Bounded Inverse Theorem।

উৎস (source): Hilbert; Hellinger–Toeplitz।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

Matrix algebra-তে আমরা "transpose" চিনি। Hilbert space-এ সেই ধারণাটাই প্রসারিত হয় অসীম মাত্রায় — এটাই adjoint।

একটা চেনা উদাহরণ। ধরো \(A\) একটা \(m \times n\) real matrix এবং \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) হলো \(T\mathbf{x} = A\mathbf{x}\)। তাহলে যেকোনো \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) ও \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m\)-এর জন্য:

\[\langle A\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = (A\mathbf{x})^T \mathbf{y} = \mathbf{x}^T A^T \mathbf{y} = \langle \mathbf{x}, A^T \mathbf{y} \rangle\]

তাই transpose matrix \(A^T\) হলো \(A\)-এর adjoint। Complex matrix-এর ক্ষেত্রে conjugate transpose \(A^*= \bar{A}^T\) কাজ করে। Hilbert space-এ এই ধারণাটাই abstract আকারে নেওয়া হয়।

কেন adjoint দরকার?

Spectral theory: self-adjoint operator (T* = T) গণিতের সবচেয়ে সুন্দর operators — তাদের eigenvalue সবসময় real, spectral theorem তাদের জন্য সম্পূর্ণ।
Physics: Quantum mechanics-এ observable-গুলো self-adjoint operator হিসেবে মডেল করা হয়। Hermitian (self-adjoint) matrix পরিমাপযোগ্য।
Null/range duality: ker T* = (ran T)⊥ — এই সম্পর্ক PDE সমাধানের existence জানতে কাজে লাগে।
Invertibility: Bounded Inverse Theorem বলে bijective bounded operator-এর inverse স্বয়ংক্রিয়ভাবে bounded।

মূল স্বজ্ঞা

Adjoint T হলো T-এর "mirror image" — inner product সংরক্ষণ করে ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, Ty⟩। Matrix-এ এটা conjugate transpose। Invertibility মানে bijective + bounded inverse।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Adjoint — Inner Product দিয়ে¶

একটা bounded linear map \(T: V \to W\) (V, W Hilbert space)-এর জন্য adjoint \(T^*: W \to V\) হলো সেই operator যেটা satisfies করে:

\[\langle T f, g \rangle_W = \langle f, T^* g \rangle_V \quad \forall f \in V, g \in W\]

সহজভাবে: T ডানদিক থেকে inner product-এ কাজ করলে, T* বামদিকে "চলে আসে"।

Adjoint-এর defining relation: V→W এবং W→V, inner product দিয়ে সংজ্ঞা

চিত্র ১: T: V→W এবং T: W→V। Inner product-এ ⟨Tx, y⟩_W = ⟨x, Ty⟩_V — এটাই adjoint-এর defining equation।

Existence কেন? Fix g ∈ W। ফাংশনাল f ↦ ⟨Tf, g⟩ bounded linear। Riesz Representation Theorem (8.47) বলে: V-তে unique একটা element আছে যা এই functional represent করে — সেটাই T*g।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Adjoint-এর সংজ্ঞা ও Existence¶

সংজ্ঞা ১০.১ (Axler): Adjoint T*

ধরো \(V\) ও \(W\) Hilbert space এবং \(T \in \mathcal{B}(V, W)\) (bounded linear map)।

Adjoint (সংলগ্ন) \(T^*: W \to V\) হলো সেই unique function যাতে:

\[\langle Tf, g \rangle = \langle f, T^*g \rangle\]

প্রতিটা \(f \in V\) এবং \(g \in W\)-এর জন্য।

Existence ও Uniqueness: Fixed \(g \in W\)-এর জন্য, \(f \mapsto \langle Tf, g \rangle\) হলো V-এর উপর bounded linear functional (norm ≤ ‖T‖·‖g‖)। Riesz Representation Theorem (8.47) থেকে unique \(T^*g \in V\) পাওয়া যায়। এভাবে প্রতিটা g-এর জন্য T*g define হয়।

Norm bound: ‖T*g‖ ≤ ‖T‖·‖g‖ (Riesz থেকে সরাসরি)।

উপপাদ্য ১০.১১ (Axler): T* is Bounded Linear

ধরো \(T \in \mathcal{B}(V, W)\)। তাহলে \(T^* \in \mathcal{B}(W, V)\) এবং:

\[(T^*)^* = T, \quad \|T^*\| = \|T\|\]

প্রমাণ: Linearity: ⟨f, T(g₁+g₂)⟩ = ⟨Tf, g₁+g₂⟩ = ⟨Tf, g₁⟩ + ⟨Tf, g₂⟩ = ⟨f, Tg₁+Tg₂⟩। তাই T(g₁+g₂) = Tg₁+Tg₂।

T=T: ⟨(T) f, g⟩ = ⟨g, (T) f⟩ = ⟨Tg, f⟩ = ⟨f, Tg⟩ = ⟨Tf, g⟩ সব g-এর জন্য। তাই Tf = Tf।

‖T‖ = ‖T‖: ‖T‖ ≤ ‖T‖ (norm bound থেকে); ‖T‖ = ‖T*‖ ≤ ‖T‖। তাই সমতা। ☐

Matrix Case — Conjugate Transpose¶

উদাহরণ ১০.১০ (Axler): Matrix Adjoint

ধরো \(K\) একটা \(m \times n\) matrix-এর উপর induced operator \(I_K: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\)। তাহলে:

\[I_K^* = I_{K^*}\]

যেখানে \(K^*\) হলো \(K\)-এর conjugate transpose (সংযুগ স্থানান্তর): \(K^*(j,i) = \overline{K(i,j)}\)।

স্বজ্ঞা: Real matrix-এর জন্য conjugate transpose = সাধারণ transpose \(A^T\)। Complex matrix-এর জন্য: rows ও columns বদলাও, তারপর সব entry-র complex conjugate নাও।

Matrix K (3x2) এবং conjugate transpose K* (2x3)

চিত্র ২: বাঁয়ে K (3×2 matrix), ডানে K = conjugate transpose (2×3)। Rows ↔ columns এবং complex conjugate।*

Properties of Adjoint¶

উপপাদ্য ১০.১২ (Axler): Properties of Adjoint

ধরো V, W, U Hilbert space। তাহলে:

(a) \((S + T)^* = S^* + T^*\) সব \(S, T \in \mathcal{B}(V,W)\)-এর জন্য।

(b) \((\alpha T)^* = \bar{\alpha} T^*\) সব \(\alpha \in \mathbb{F}\) এবং \(T \in \mathcal{B}(V,W)\)-এর জন্য।

(c) \(I^* = I\)।

(d) \((S \circ T)^* = T^* \circ S^*\) সব \(T \in \mathcal{B}(V,W)\) এবং \(S \in \mathcal{B}(W,U)\)-এর জন্য।

স্বজ্ঞা (d): Composition-এর adjoint নেওয়া মানে order উল্টে যায় — ঠিক যেমন matrix-এ \((AB)^T = B^T A^T\)।

প্রমাণ (d): \(\langle f, (ST)^* g \rangle = \langle STf, g \rangle = \langle Tf, S^*g \rangle = \langle f, T^*(S^*g) \rangle\)। তাই \((ST)^* g = T^*S^*g\)। ☐

তিনটি space U, V, W: T: U→V, S: V→W; (ST)*=T*S*

চিত্র ৩: তিনটা space-এ T (নীল) এবং S (সবুজ) — forward direction। ST (কমলা) এবং তার adjoint (ST)=TS (বেগুনি) — order reversed।*

Null Space ও Range-এর Duality¶

উপপাদ্য ১০.১৩ (Axler): ker T* = (ran T)⊥

ধরো \(V\) ও \(W\) Hilbert space এবং \(T \in \mathcal{B}(V, W)\)। তাহলে:

(a) \(\ker T^* = (\operatorname{ran} T)^\perp\)

(b) \(\overline{\operatorname{ran} T^*} = (\ker T)^\perp\)

(c) \(\ker T = (\operatorname{ran} T^*)^\perp\)

(d) \(\overline{\operatorname{ran} T} = (\ker T^*)^\perp\)

প্রমাণ (a): \(g \in \ker T^*\) \(\Leftrightarrow\) \(T^*g = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\langle f, T^*g \rangle = 0\) সব \(f \in V\)-এর জন্য \(\Leftrightarrow\) \(\langle Tf, g \rangle = 0\) সব \(f\)-এর জন্য \(\Leftrightarrow\) \(g \in (\operatorname{ran} T)^\perp\)। ☐

(b), (c), (d) উপপাদ্য (a) থেকে orthogonal complement নিয়ে এবং T → T* replace করে পাওয়া যায়।

ker T* = (ran T)⊥: W-এ দুটো orthogonal অংশ

চিত্র ৪: বাঁয়ে W = ran(T)⊥⊥ ⊕ ker T। ডানে: g ∈ ker T মানে g ⊥ ran T — সব Tf-এর সাথে perpendicular।

Corollary (Dense range): T-এর range dense in W \(\Leftrightarrow\) T injective। প্রমাণ: ran T dense \(\Leftrightarrow\) (ran T)⊥ = {0} \(\Leftrightarrow\) ker T = {0} \(\Leftrightarrow\) T* injective।

Invertibility (বিপরীতযোগ্যতা)¶

সংজ্ঞা ১০.১৮ (Axler): Invertible Operator

একটা operator \(T\) on a vector space \(V\)-কে invertible (বিপরীতযোগ্য) বলা হয় যদি \(T\) one-to-one এবং onto।

Equivalently: \(T^{-1}: V \to V\) আছে যাতে \(T^{-1} \circ T = T \circ T^{-1} = I\)।

Banach space-এ: যদি \(V\) Banach space হয় এবং T bounded invertible, তাহলে Bounded Inverse Theorem (6.83) থেকে \(T^{-1}\) automatically bounded।

Invertible T: bijective + bounded inverse; বিপরীতে right shift: not surjective

চিত্র ৫: বাঁয়ে invertible T — V এবং W-এর মধ্যে bijection, T এবং T⁻¹ দুটোই bounded। ডানে right shift — injective কিন্তু not surjective, তাই not invertible।

Geometric Series for Operators¶

উপপাদ্য ১০.২২ (Axler): Neumann Series

ধরো \(V\) একটা Banach space এবং \(T \in \mathcal{B}(V)\) with \(\|T\| < 1\)। তাহলে \(I - T\) invertible এবং:

\[(I - T)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} T^k\]

স্বজ্ঞা: ঠিক সাধারণ geometric series \(\frac{1}{1-r} = \sum r^k\) for |r| < 1-এর operator analog। এটাকে Neumann series (নয়মান শ্রেণী) বলে।

প্রমাণ-স্কেচ: \(\sum \|T^k\| \leq \sum \|T\|^k = \frac{1}{1-\|T\|} < \infty\)। তাই series converges in \(\mathcal{B}(V)\)। তারপর:

\[( I - T)\sum_{k=0}^n T^k = I - T^{n+1} \xrightarrow{n\to\infty} I\]

কারণ \(\|T^{n+1}\| \leq \|T\|^{n+1} \to 0\)। ☐

Corollary (Invertible operators form open set): যদি T invertible এবং \(\|T - S\| < 1/\|T^{-1}\|\), তাহলে S-ও invertible। তাই invertible operators-এর set হলো \(\mathcal{B}(V)\)-এ open।

Left ও Right Invertibility¶

সংজ্ঞা ১০.২৬ (Axler)

T left invertible যদি ∃ S ∈ B(V): ST = I।
T right invertible যদি ∃ S ∈ B(V): TS = I।

উদাহরণ (Shift on ℓ²):

Right shift T(a₁,a₂,...) = (0,a₁,a₂,...): left invertible (left shift S-এর সাথে ST = I) কিন্তু right invertible নয়।

Left shift S(a₁,a₂,...) = (a₂,a₃,...): right invertible কিন্তু left invertible নয়।

এটা দেখায়: infinite-dimensional space-এ left ≠ right invertibility।

উপপাদ্য ১০.২৯ (Axler): Left Invertibility Characterization

ধরো \(V\) Hilbert space এবং \(T \in \mathcal{B}(V)\)। নিচের শর্তগুলো সমতুল্য:

(a) T left invertible।

(b) ∃ α > 0: \(\|f\| \leq \alpha \|Tf\|\) সব f ∈ V-এর জন্য।

(c) T injective এবং closed range আছে।

(d) T*T invertible।

স্বজ্ঞা (b): T একটা "lower bound" দেয় — f-এর norm কখনো Tf-এর norm-এর চেয়ে অনেক বড় হয় না। এটাই "T distort করে না বেশি"।

Shift operators: right shift left-invertible only; left shift right-invertible only

চিত্র ৬: Right shift (নীল): injective, NOT surjective। Left shift (লাল): surjective, NOT injective। ℓ² sequence-এর উপর কাজ দেখানো হয়েছে।

Adjoint ও Invertibility-র সম্পর্ক¶

উপপাদ্য ১০.১৯ (Axler): (T)⁻¹ = (T⁻¹)

একটা bounded operator T on Hilbert space invertible হয় যদি এবং কেবল যদি T* invertible হয়। আর সেক্ষেত্রে:

\[(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*\]

প্রমাণ: T invertible ধরো। T⁻¹T = TT⁻¹ = I-এর adjoint নিলে: T(T⁻¹) = (T⁻¹)T = I। তাই T invertible এবং (T)⁻¹ = (T⁻¹)। বিপরীতদিকে: T invertible হলে T = (T) invertible। ☐

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১: Multiplication Operator¶

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) একটা measure space এবং \(h \in L^\infty(\mu)\)। Multiplication operator \(M_h: L^2(\mu) \to L^2(\mu)\) হলো \(M_h f = fh\)।

\[\langle M_h f, g \rangle = \int fh\bar{g} \, d\mu = \int f \overline{\bar{h}g} \, d\mu = \langle f, M_{\bar{h}} g \rangle\]

তাই \(M_h^* = M_{\bar{h}}\)। Real h-এর জন্য: \(M_h^* = M_h\) (self-adjoint)!

উদাহরণ ২: Volterra Operator¶

\(V: L^2([0,1]) \to L^2([0,1])\) defined by \((Vf)(x) = \int_0^x f(y)\,dy\)। তাহলে kernel \(K(x,y) = \mathbf{1}_{x > y}\) এবং:

\[(V^* f)(x) = \int_x^1 f(y)\,dy\]

(kernel \(K^*(y,x) = K(x,y) = \mathbf{1}_{y > x}\)।)

V injective কারণ: Vf = 0 ⟹ differentiation দিয়ে f = 0। তাই V dense range আছে। কিন্তু V invertible নয় (range-এ শুধু continuous functions যারা 0-তে vanish করে)।

উদাহরণ ৩: Diagonal Operator on ℓ²¶

T(a₁, a₂, ...) = (b₁a₁, b₂a₂, ...) where \((b_n)\) bounded।

\[T^*(a_1, a_2, \ldots) = (\bar{b}_1 a_1, \bar{b}_2 a_2, \ldots)\]

T invertible ↔ inf |bₙ| > 0। T injective ↔ সব bₙ ≠ 0।

Analogy: Matrix Transpose আর Adjoint¶

Finite dimensional-এ: transpose \(A \mapsto A^T\) হলো "flip along diagonal"। Complex-এ: conjugate transpose \(A \mapsto A^* = \bar{A}^T\) — diagonal-এ flip + complex conjugate।

Infinite dimensional Hilbert space-এ এটাই adjoint — "inner product দিয়ে defined transpose"।

Analogy (Physics): Quantum mechanics-এ একটা observable যেমন position বা momentum হলো self-adjoint operator। Measurement দিলে real eigenvalue পাওয়া যায় (কারণ self-adjoint-এর spectrum ⊆ ℝ)। Adjoint operation হলো "যে operator-এ measurement করা যায় তার symmetry condition।"

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

Real-এ adjoint = transpose, complex-এ conjugate transpose। Complex-এর জন্য শুধু transpose নয় — conjugate নিতে হবে। \((\alpha T)^* = \bar{\alpha} T^*\) — scalar-এর complex conjugate হয়।
T* = T মানে symmetric নয় সাধারণত। Infinite dimensional-এ "symmetric" (⟨Tf,g⟩=⟨f,Tg⟩ everywhere defined-এ) আর "self-adjoint" (T*=T বলতে domain condition-ও আছে unbounded operator-এর জন্য) আলাদা। Bounded operator-এর ক্ষেত্রে same।
Injective মানেই invertible নয়। Right shift injective কিন্তু not surjective → not invertible। Left shift surjective কিন্তু not injective → not invertible।
Bounded inverse exists মানে bounded inverse theorem। যদি Banach space-এ T bijective bounded, তাহলে T⁻¹ bounded — এটা prove করতে হয়, assume করা যায় না।
(ST) = ST* ভাবা। সঠিক: \((ST)^* = T^*S^*\) — order উল্টে যায়। Matrix-এ \((AB)^T = B^T A^T\) মনে রেখো।
ker T* = ker T ভাবা। সঠিক: ker T* = (ran T)⊥ — T-এর range-এর orthogonal complement, T-এর kernel নয়।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

\(T: \ell^2 \to \ell^2\) defined by \(T(a_1, a_2, \ldots) = (0, a_1, a_2, \ldots)\) (right shift)। T* বের করো। [ইঙ্গিত: ⟨Te_n, e_m⟩ হিসেব করো যেখানে e_k standard basis।]
ধরো V Hilbert space এবং \(g, h \in V\)। Define \(Tf = \langle f, g \rangle h\)। (ক) T বের করো। (খ) TT এবং T*T বের করো।
ধরো \(T \in \mathcal{B}(V, W)\)। প্রমাণ করো: \(\|T^*T\| = \|T\|^2\)। [ইঙ্গিত: একদিকে \(\|Tf\|^2 = \langle T^*Tf, f \rangle\); অন্যদিকে Cauchy–Schwarz।]
ধরো T self-adjoint (T*=T) on Hilbert space V। দেখাও: সব \(f \in V\)-এর জন্য \(\langle Tf, f \rangle \in \mathbb{R}\)।
ধরো T injective এবং dense range আছে। T injective? T dense range আছে? প্রমাণ করো অথবা counterexample দাও।
ধরো \(\|T - I\| < 1\)। দেখাও T invertible এবং T⁻¹-এর series representation লেখো।
ধরো V, W Hilbert space এবং \(T \in \mathcal{B}(V,W)\)। প্রমাণ করো: T invertible হয় যদি এবং কেবল যদি T T এবং T T উভয়ই invertible হয়।
ধরো diagonal operator \(T(a_1, a_2, \ldots) = (b_1 a_1, b_2 a_2, \ldots)\) on \(\ell^2\) where \((b_n)\) bounded। (ক) T* বের করো। (খ) T কখন self-adjoint? (গ) T কখন invertible?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

\(T(a_1, a_2, \ldots) = (0, a_1, a_2, \ldots)\)।

Standard basis \(\{e_k\}\)-এর জন্য \(Te_n = e_{n+1}\) (n-th বেসিস vector shifted up)।

T*-এর জন্য: \(\langle Te_n, e_m \rangle = \langle e_{n+1}, e_m \rangle = \delta_{n+1,m}\)।

তাই \(\langle e_n, T^*e_m \rangle = \delta_{n+1,m}\), যার মানে:

\[T^*e_m = e_{m-1} \quad \text{for } m \geq 2, \quad T^*e_1 = 0\]

সুতরাং \(T^*(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (a_2, a_3, a_4, \ldots)\) — এটাই left shift!

স্বজ্ঞা: right shift-এর adjoint হলো left shift। ⟨right shift x, y⟩ = ⟨x, left shift y⟩ verify করা যায়।

২-নং সমাধান দেখাও

\(Tf = \langle f, g \rangle h\)।

(ক) T* বের করো:

\(\langle Tf, k \rangle = \langle \langle f, g \rangle h, k \rangle = \langle f, g \rangle \langle h, k \rangle\)।

আর \(\langle f, T^*k \rangle\) দেখতে চাই: \(\langle f, g \rangle \langle h, k \rangle = \langle f, \overline{\langle h, k \rangle} g \rangle = \langle f, \langle k, h \rangle g \rangle\)।

তাই \(T^*k = \langle k, h \rangle g\)।

(খ) \(TT^*k = T(\langle k, h \rangle g) = \langle k, h \rangle \langle g, g \rangle h = \langle k, h \rangle \|g\|^2 h\)।

\(T^*Tf = T^*(\langle f, g \rangle h) = \langle f, g \rangle \langle h, h \rangle g = \|h\|^2 \langle f, g \rangle g\)।

লক্ষ করো: TT ও TT উভয়ই rank-1 operators।

৩-নং সমাধান দেখাও

উপরের দিকে: যেকোনো \(f\) এর জন্য:

\[\|Tf\|^2 = \langle Tf, Tf \rangle = \langle T^*Tf, f \rangle \leq \|T^*Tf\| \|f\| \leq \|T^*T\| \|f\|^2\]

তাই \(\|T\|^2 \leq \|T^*T\|\)।

নিচের দিকে: \(\|T^*T\| \leq \|T^*\| \|T\| = \|T\|^2\) (‖T*‖ = ‖T‖ ব্যবহার করে)।

দুটো মিলিয়ে: \(\|T^*T\| = \|T\|^2\)। ☐

স্বজ্ঞা: এই formula C-algebra-র ভিত্তি — "C-identity" নামে পরিচিত।

৪-নং সমাধান দেখাও

T self-adjoint: T* = T, তাই ⟨Tf, g⟩ = ⟨f, Tg⟩।

\[\overline{\langle Tf, f \rangle} = \langle f, Tf \rangle = \langle Tf, f \rangle\]

(শেষ সমতা: T=T, তাই ⟨Tf, f⟩ = ⟨f, Tf⟩ = ⟨f, Tf⟩ = ⟨Tf, f⟩̄ → ⟨Tf,f⟩ = ⟨f,Tf⟩।)

অপেক্ষা করো: \(\langle Tf, f \rangle = \overline{\langle Tf, f \rangle}\) মানে ⟨Tf, f⟩ ∈ ℝ। ☐

Converse (complex Hilbert)-ও সত্য: ⟨Tf,f⟩ ∈ ℝ সব f-এর জন্য ⟹ T self-adjoint (Axler Theorem 10.48)।

৫-নং সমাধান দেখাও

T injective এবং ran T dense ধরো।

T* injective: Theorem 10.14 বলে: ran T dense ↔ T injective। তাই T injective। ✓

T* dense range: ker T = (ran T)⊥। T injective: ker T = {0}। Theorem 10.13(b): ran T closed হলে (ran T)⊥⊥ = ran T। কিন্তু (ran T)⊥ = ker T = {0}। তাই (ran T)⊥ = {0} → ran T* dense। ✓

সারসংক্ষেপ: T injective + dense range ⟹ T* injective + dense range।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\|T - I\| < 1\) ধরো। লেখো T = I - (I - T), set S = I - T, তাহলে ‖S‖ < 1।

Theorem 10.22 (Neumann series) থেকে: \(I - S = T\) invertible এবং:

\[T^{-1} = (I - S)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} S^k = \sum_{k=0}^{\infty} (I - T)^k\]

এই series converges কারণ \(\sum \|(I-T)^k\| \leq \sum \|I-T\|^k < \infty\)।

Bound: \(\|T^{-1}\| \leq \frac{1}{1 - \|T - I\|}\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

(\(\Rightarrow\)) T invertible ধরো।

TT invertible: Theorem 10.29 (equivalence (a) ↔ (d)) প্রযোজ্য। T invertible ⟹ T left invertible (T⁻¹ হলো left inverse) ⟹ TT invertible।
TT invertible: T invertible ⟹ T right invertible ⟹ Theorem 10.31 (c) থেকে TT invertible।

(\(\Leftarrow\)) TT ও TT উভয়ই invertible ধরো।

TT invertible ⟹ (Theorem 10.29, d→a) T left invertible। TT invertible ⟹ (Theorem 10.31, c→a) T right invertible।

T both left and right invertible ⟹ T invertible। ☐

৮-নং সমাধান দেখাও

\(T(a_1, a_2, \ldots) = (b_1 a_1, b_2 a_2, \ldots)\)।

(ক) T*: ⟨Te_n, e_m⟩ = bₙ δₙₘ = ⟨e_n, Te_m⟩ ⟹ Te_m = b̄_m e_m।

তাই \(T^*(a_1, a_2, \ldots) = (\bar{b}_1 a_1, \bar{b}_2 a_2, \ldots)\)।

(খ) T self-adjoint ↔ T* = T ↔ b̄_n = bₙ সব n-এর জন্য ↔ bₙ ∈ ℝ সব n-এর জন্য।

(গ) T invertible ↔ T bijective ↔ বিপরীত T⁻¹(a₁,a₂,...) = (a₁/b₁, a₂/b₂,...) bounded ↔ inf_{n} |bₙ| > 0।

কারণ: T injective ↔ সব bₙ ≠ 0। T closed range ↔ inf{|bₙ| : bₙ≠0} > 0। T invertible ↔ দুটোই + inf > 0।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Adjoint T* সংজ্ঞা: ⟨Tf, g⟩ = ⟨f, T*g⟩ — Riesz দিয়ে existence ও uniqueness বুঝি।
[ ] Properties: T = T; (ST) = TS (order reversal); ‖T‖ = ‖T‖; (αT) = ᾱT।
[ ] Matrix case: adjoint = conjugate transpose। Real: transpose।
[ ] Null/range duality: ker T = (ran T)⊥; ran T dense ↔ T injective।
[ ] Invertibility: bijective + Bounded Inverse Theorem ⟹ T⁻¹ bounded।
[ ] Neumann series: ‖T‖ < 1 ⟹ (I−T)⁻¹ = Σ Tᵏ।
[ ] Left/right invertibility: finite-dimensional-এ equivalent, infinite-dimensional-এ আলাদা (shift examples)।
[ ] T invertible ↔ T* invertible এবং (T)⁻¹ = (T⁻¹)।
[ ] ‖T*T‖ = ‖T‖² — C*-identity।

➡️ পরের অধ্যায়: 6.5 — Spectrum ও Resolvent — eigenvalue (eigenমান) আর spectrum-এর পার্থক্য; Hilbert space-এ operator-এর spectrum compact; self-adjoint operator-এর spectrum ⊆ ℝ।