6.5 — Spectrum ও Resolvent

এই অধ্যায়ে কী শিখব: spectrum (বর্ণালী) কী — কোন কোন সংখ্যা \(\lambda\) এর জন্য \(T - \lambda I\) উল্টানো যায় না; resolvent (বিভেদক) \(R(\lambda) = (T - \lambda I)^{-1}\) কোথায় বিদ্যমান; point spectrum (eigenvalue), continuous spectrum, residual spectrum-এর পার্থক্য; spectrum কেন nonempty ও compact; spectral radius; finite-dimensional এ spectrum মানেই eigenvalue।

উৎস (source): Hilbert, Riesz (spectrum); Kolmogorov §30 (resolvent)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

Linear algebra-তে তুমি matrix-এর eigenvalue (নিজস্বমান) শিখেছ — এমন সংখ্যা \(\lambda\) যার জন্য \(Av = \lambda v\) হয় কোনো nonzero vector \(v\)-এর জন্য। কিন্তু infinite-dimensional Hilbert বা Banach space-এ operator-এর আচরণ অনেক সূক্ষ্ম। একটা operator \(T\) "কাজ করতে পারে না" মানে শুধু eigenvalue থাকা নয়, আরো নানা কারণ থাকতে পারে।

একটা চেনা উদাহরণ: Hilbert space \(L^2([0,1])\)-এ operator \(Tf(x) = x \cdot f(x)\) (গুণক operator)। এখানে \(Tf = \lambda f\) হলে \((x - \lambda)f(x) = 0\) প্রায় সর্বত্র — অর্থাৎ \(f = 0\)। তাই কোনো eigenvalue নেই! কিন্তু তবুও এই operator-এর spectrum আছে — পুরো \([0, 1]\) interval।

কোথায় কাজে লাগে? - Quantum mechanics (কোয়ান্টাম বলবিদ্যা): শক্তিস্তর (energy levels) হলো Hamiltonian operator-এর spectrum-এর উপাদান — কোথায় system stable, কোথায় oscillate করে। - Differential equations: \(-d^2/dx^2\)-এর spectrum বলে দেয় কোন frequency-তে wave oscillate করতে পারে। - Stability analysis: control theory-তে বলতে হয় system কখন stable — spectrum \(\mathbb{C}\)-এর left half-plane-এ কিনা। - Numerical analysis: linear system solve করার iterative method কতটা দ্রুত converge করবে তা নির্ভর করে spectral radius-এর উপর।

আগের অধ্যায়ে আমরা adjoint \(T^*\) এবং invertibility শিখেছিলাম। এই অধ্যায়ে সেই invertibility-র ধারণাটাকে \(\lambda\)-পরামিতি দিয়ে পরিব্যাপ্ত করব।

মূল স্বজ্ঞা

Spectrum হলো সেই \(\lambda\)-মানগুলোর সংকলন যেখানে \(T - \lambda I\) "ভেঙে পড়ে" — invertible থাকে না। Resolvent হলো যেখানে সে ঠিকঠাক কাজ করে।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

Spectrum — কী ধারণা?

মনে করো \(T\) একটা bounded linear operator (আবদ্ধ রৈখিক অপারেটর) কোনো Banach space (বানাখ স্পেস) \(V\)-এর উপর। প্রশ্ন: কোন \(\lambda \in \mathbb{C}\) (জটিল সংখ্যা)-এর জন্য সমীকরণ

\[ (T - \lambda I)f = g \]

প্রতিটা \(g\)-এর জন্য সমাধানযোগ্য এবং সমাধান uniquely নির্ধারিত?

এই প্রশ্নের উত্তর হলো — যখন \(T - \lambda I\) invertible (উল্টানোযোগ্য)। সেটা যখন সম্ভব নয়, তখনই \(\lambda\) spectrum-এ।

চিত্র ১: জটিল সমতলে \(\sigma(T)\) (লাল blob) এবং resolvent set \(\rho(T)\) (বাইরের অংশ)। \(\sigma(T)\) সর্বদা \(\lVert T\rVert\) ব্যাসার্ধের একটি disk-এর ভেতরে থাকে।

Eigenvalue vs Spectrum — finite vs infinite dim

Finite-dimensional space-এ (যেমন \(\mathbb{R}^n\) বা \(\mathbb{C}^n\)) একটা linear operator invertible হতে না পারার একমাত্র কারণ: kernel nontrivial, মানে eigenvalue আছে। কিন্তু infinite-dimensional space-এ আরো দুটো কারণ থাকতে পারে — range dense কিন্তু closed না, অথবা range dense-ই না।

চিত্র ২: বাঁয়ে \(\lambda \notin \sigma(T)\) — \(T - \lambda I\) injective ও surjective, inverse বিদ্যমান। ডানে \(\lambda \in \sigma(T)\) eigenvalue — kernel nontrivial, একাধিক বিন্দু একই ছবিতে যাচ্ছে।

---

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Spectrum ও Resolvent-এর সংজ্ঞা

সংজ্ঞা (Axler 10.32 / Kolmogorov §30): Spectrum ও Resolvent

ধরো \(T \in \mathcal{B}(V)\) একটা bounded operator একটা Banach space \(V\)-এর উপর।

• \(\lambda \in \mathbb{F}\) কে eigenvalue (নিজস্বমান) বলা হয় যদি \(T - \lambda I\) injective না হয়, অর্থাৎ কোনো nonzero \(f \in V\) এর জন্য \(Tf = \lambda f\)।
• Spectrum (বর্ণালী) হলো:

\[ \sigma(T) = \{\lambda \in \mathbb{F} : T - \lambda I \text{ invertible নয়}\} \]

• Resolvent set (বিভেদক সেট) হলো \(\rho(T) = \mathbb{F} \setminus \sigma(T)\), অর্থাৎ যেখানে \(T - \lambda I\) invertible।
• Resolvent operator (বিভেদক অপারেটর) \(\lambda \in \rho(T)\) এর জন্য:

\[ R(\lambda) = (T - \lambda I)^{-1} \]

স্বজ্ঞা: Kolmogorov §30-এ ঠিক এই ভাষায় বলা হয়েছে — "the totality of those values \(\lambda\) for which the inverse of \(A - \lambda I\) does not exist is called the spectrum." Regular points গঠন করে resolvent set।

Spectrum-এর তিন অংশ

Spectrum-এর ত্রিবিভাজন (Kolmogorov §30)

\(\lambda \in \sigma(T)\) হতে পারে তিনভাবে:

1. Point spectrum (বিন্দু বর্ণালী) \(\sigma_p(T)\): \(T - \lambda I\) injective নয় — অর্থাৎ \(\lambda\) eigenvalue।
2. Continuous spectrum (অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী) \(\sigma_c(T)\): \(T - \lambda I\) injective, কিন্তু \((T-\lambda I)^{-1}\) unbounded, range \(V\)-এ dense।
3. Residual spectrum (অবশিষ্ট বর্ণালী) \(\sigma_r(T)\): \(T - \lambda I\) injective, কিন্তু range \(V\)-এ dense নয়।

উদাহরণ (Kolmogorov §30): \(C[0,1]\)-এ operator \(Af = \mu(t) \cdot f(t)\) যেখানে \(\mu(t) = t\)। তাহলে \(\sigma(A) = [0,1]\) (সমস্ত \(t\)-মান), কিন্তু কোনো eigenvalue নেই — এটা purely continuous spectrum।

Spectrum closed ও compact

উপপাদ্য (Axler 10.36): Spectrum closed

একটা bounded operator-এর spectrum \(\sigma(T)\) একটা closed (আবদ্ধ) subset of \(\mathbb{F}\)।

প্রমাণ-স্কেচ: invertible operators-দের সেট \(\mathcal{B}(V)\)-এ open (Axler 10.25 — Neumann series থেকে)। তাই তাদের complement, non-invertible operators-দের সেট, closed। \(\sigma(T) = \{\lambda : T - \lambda I \text{ non-invertible}\}\) এবং \(\lambda \mapsto T - \lambda I\) continuous — তাই \(\sigma(T)\) closed। \(\square\)

Spectrum ⊆ disk of radius ‖T‖

উপপাদ্য (Axler 10.34 / Kolmogorov §30 Thm 1): Spectrum ও Norm

ধরো \(T \in \mathcal{B}(V)\)। তাহলে:

(a) \(\sigma(T) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{F} : \lvert\lambda\rvert \leq \lVert T\rVert\}\)

(b) \(\lvert\lambda\rvert > \lVert T\rVert\) হলে \(T - \lambda I\) invertible এবং

\[ (T - \lambda I)^{-1} = -\frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{T^k}{\lambda^k} \]

প্রমাণ: যদি \(\lvert\lambda\rvert > \lVert T\rVert\), তাহলে \(\lVert T/\lambda \rVert < 1\)। Neumann series:

\[ T - \lambda I = -\lambda\!\left(I - \frac{T}{\lambda}\right) \]

এবং \(\lVert T/\lambda\rVert < 1\) হওয়ায় \((I - T/\lambda)\) invertible (Neumann series দ্বারা), তাই \(T - \lambda I\) invertible। Kolmogorov §30-এ ঠিক এই argument: "the spectrum of \(A\) is contained in a circle of radius \(\lVert A\rVert\)"। \(\square\)

চিত্র ৩: \(\sigma(T) \subseteq \{\lvert\lambda\rvert \leq \lVert T\rVert\}\)। নীল ড্যাশ বৃত্তের বাইরে সবুজ ত্রিভুজগুলো — সেখানে \(T - \lambda I\) সর্বদা invertible। লাল blob হলো \(\sigma(T)\)।

Finite-dimensional: spectrum = eigenvalues

Finite-dimensional বিশেষ ক্ষেত্র

ধরো \(V\) finite-dimensional। তাহলে \(T - \lambda I\) invertible না হওয়া এবং eigenvalue হওয়া সমতুল্য (equivalent):

\[ \sigma(T) = \sigma_p(T) = \{\text{eigenvalues of } T\} \]

এবং \(\sigma(T) = \{\lambda : \det(T - \lambda I) = 0\}\)।

কারণ: finite-dimensional-এ একটা linear map injective হলেই surjective (rank-nullity theorem)। তাই \(T - \lambda I\) invertible না হওয়া মানেই kernel nontrivial।

চিত্র ৪: \(2\times 2\) এবং \(3\times 3\) matrix-এর eigenvalues-ই তাদের spectrum। \(\det(A - \lambda I) = 0\) সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়।

Resolvent Set is Open

উপপাদ্য: Resolvent set open

\(\rho(T)\) একটা open subset of \(\mathbb{F}\)।

প্রমাণ-স্কেচ: ধরো \(\lambda_0 \in \rho(T)\)। তাহলে \(R(\lambda_0) = (T - \lambda_0 I)^{-1}\) bounded। \(\lambda\) কাছাকাছি হলে:

\[ T - \lambda I = (T - \lambda_0 I)\!\left[I - (\lambda - \lambda_0)(T - \lambda_0 I)^{-1}\right] \]

যদি \(\lvert\lambda - \lambda_0\rvert < 1/\lVert R(\lambda_0)\rVert\), তাহলে Neumann series দিয়ে \([I - (\lambda-\lambda_0)R(\lambda_0)]^{-1}\) বিদ্যমান, তাই \(T - \lambda I\) invertible। \(\square\)

চিত্র ৫: \(\rho(T)\) open — \(\lambda_0 \in \rho(T)\) এর চারপাশে একটা ছোট বল থাকে যা সম্পূর্ণ \(\rho(T)\)-তে। \(\sigma(T)\) তাই closed।

Spectral Radius

সংজ্ঞা: Spectral Radius (বর্ণালী ব্যাসার্ধ)

\[ r(T) = \sup\{\lvert\lambda\rvert : \lambda \in \sigma(T)\} \]

এবং Gelfand formula (গেলফান্ড সূত্র):

\[ r(T) = \lim_{n \to \infty} \lVert T^n\rVert^{1/n} = \inf_{n \geq 1} \lVert T^n\rVert^{1/n} \]

স্বজ্ঞা: spectral radius হলো সেই ছোটতম বৃত্তের ব্যাসার্ধ যা \(\sigma(T)\)-কে সম্পূর্ণ ধারণ করে। সবসময় \(r(T) \leq \lVert T\rVert\)। Self-adjoint operator-এর জন্য \(r(T) = \lVert T\rVert\) (পরের অধ্যায়ে দেখব)।

Kolmogorov §30-এ (comment 2): "Let \(r = \inf\lVert A^n\rVert^{1/n}\); then the spectrum lies in a circle of radius \(r\)" — এটাই Gelfand formula।

চিত্র ৬: Spectral radius \(r(T)\) (কমলা বৃত্ত) বনাম \(\lVert T\rVert\) (নীল ড্যাশ বৃত্ত)। সব eigenvalue তারার চিহ্ন spectral radius-এর ভেতরে। \(r(T) \leq \lVert T\rVert\)।

Shift Operator — spectrum-এর একটা সুন্দর উদাহরণ

\(\ell^2\)-এ right shift operator \(S(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (0, a_1, a_2, \ldots)\)।

• কোনো eigenvalue নেই: \(Sf = \lambda f\) হলে \((0, a_1, a_2, \ldots) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \ldots)\), তাই \(a_1 = 0\), \(a_2 = 0\), ... মানে \(f = 0\)।
• কিন্তু \(\lvert\lambda\rvert < 1\) হলে \(T - \lambda I\) surjective না — residual spectrum।
• তাই \(\sigma(S) = \{\lvert\lambda\rvert \leq 1\}\) — পুরো closed unit disk।

Bilateral shift \(U\) on \(\ell^2(\mathbb{Z})\): spectrum হলো exactly \(\{\lvert\lambda\rvert = 1\}\) — unit circle।

Kolmogorov §30-এর Resolvent Relation

ধরো \(\mu, \lambda \in \rho(T)\)। তাহলে resolvent operators satisfy করে:

\[ R(\mu) - R(\lambda) = (\mu - \lambda) R(\mu) R(\lambda) \]

এবং \(R(\mu)\) ও \(R(\lambda)\) commute করে: \(R(\mu)R(\lambda) = R(\lambda)R(\mu)\)।

এই সূত্রটাকে resolvent identity (বিভেদক পরিচয়) বলে।

চিত্র ৭: বাঁয়ে right shift \(S\) — \(\sigma(S)\) = closed unit disk (কোনো eigenvalue নেই, purely residual spectrum)। ডানে bilateral shift \(U\) — \(\sigma(U)\) = unit circle (purely continuous spectrum)।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: গুণক operator on \(L^2([0,1])\)

\(Tf = \mu \cdot f\) যেখানে \(\mu : [0,1] \to \mathbb{R}\) continuous।

\((T - \lambda I)f = (\mu - \lambda)f\)। এটা invertible ↔ \(\mu(t) - \lambda \neq 0\) সব \(t\)-এর জন্য।

তাই \(\sigma(T) = \{\mu(t) : t \in [0,1]\}\) — function \(\mu\)-এর range।

যদি \(\mu(t) = t\): \(\sigma(T) = [0,1]\)। কোনো eigenvalue নেই (কারণ \(\mu(t) = \lambda\) শুধু একটা point-এ, measure zero)।

উদাহরণ ২: \(2 \times 2\) rotation matrix

\[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

Real field \(\mathbb{R}\)-এ: \(\det(R_\theta - \lambda I) = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0\) → \(\lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta\)।

যদি \(\theta \neq 0, \pi\): কোনো real eigenvalue নেই! \(\sigma(R_\theta) = \emptyset\) in \(\mathbb{R}\)।

কিন্তু complex field \(\mathbb{C}\)-এ: \(\sigma(R_\theta) = \{e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}\) — unit circle-এর দুটো বিন্দু।

এই কারণেই spectrum সাধারণত \(\mathbb{C}\)-তে সংজ্ঞায়িত করা হয় — complex field-এ সর্বদা nonempty।

Analogy: Tuning fork ও resonant frequency

একটা tuning fork (সুর-কাঁটা) শুধু নির্দিষ্ট কিছু frequency-তে কম্পন করে — সেগুলোই তার "spectrum"। বাকি frequency-তে কাঁটা সাড়া দেয় না। Differential operator \(-d^2/dx^2\)-এর spectrum ঠিক এভাবে বলে দেয় কোন frequency-তে wave exist করতে পারে।

---

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. "Spectrum = eigenvalues" ভাবা। Finite-dimensional-এ সত্য, কিন্তু infinite-dimensional-এ নয়। Right shift-এর কোনো eigenvalue নেই, কিন্তু spectrum empty নয়।

2. Real field-এ spectrum empty হতে পারে। Rotation matrix on \(\mathbb{R}^2\) — কোনো real eigenvalue নেই। Complex field-এ spectrum সর্বদা nonempty (Kolmogorov §30)।

3. "\(T - \lambda I\) injective হলেই invertible" ভাবা। Infinite-dimensional-এ injective কিন্তু non-surjective operator থাকে (যেমন right shift)।

4. Spectral radius \(r(T) = \lVert T\rVert\) ভাবা। এটা self-adjoint-এর জন্য সত্য, কিন্তু সাধারণত \(r(T) \leq \lVert T\rVert\) — সমতা না-ও হতে পারে।

5. Resolvent \(R(\lambda)\)-কে সব \(\lambda\)-তে সংজ্ঞায়িত মনে করা। \(R(\lambda) = (T - \lambda I)^{-1}\) শুধু \(\lambda \in \rho(T)\)-এ বিদ্যমান। \(\sigma(T)\)-এ এটা exist করে না।

6. "Spectrum always finite" ভাবা। Compact operator-এর জন্য nonzero eigenvalue-গুলো countable ও একমাত্র accumulation point শূন্য — কিন্তু সাধারণ bounded operator-এর spectrum uncountable হতে পারে।

---

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

1. \(T : \ell^2 \to \ell^2\) সংজ্ঞায়িত \(T(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (a_1, a_2/2, a_3/3, \ldots)\)। \(\sigma(T)\) এবং eigenvalue-গুলো বের করো।

2. \(2 \times 2\) matrix \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)-এর spectrum বের করো। Resolvent \(R(\lambda) = (A - \lambda I)^{-1}\) লেখো \(\lambda \notin \{2, 3\}\)-এর জন্য।

3. ধরো \(T \in \mathcal{B}(V)\) এবং \(p(\lambda) = \sum_{k=0}^n c_k \lambda^k\) একটা polynomial। প্রমাণ করো: \(\sigma(p(T)) = p(\sigma(T)) = \{p(\lambda) : \lambda \in \sigma(T)\}\)। (Spectral Mapping Theorem)

4. ধরো \(T\) nilpotent: \(T^n = 0\) কোনো \(n \geq 1\)-এর জন্য। প্রমাণ করো \(\sigma(T) = \{0\}\)।

5. Gelfand formula ব্যবহার করে \(r(T)\) হিসেব করো: \(T : \ell^2 \to \ell^2\), \(T(a_1, a_2, \ldots) = (0, a_1, 0, a_2, 0, \ldots)\) (প্রতিটা element-এর পরে 0 ঢুকিয়ে দেওয়া)।

6. ধরো \(\lambda \in \sigma(T)\)। প্রমাণ করো \(\bar{\lambda} \in \sigma(T^*)\) — conjugate \(\lambda\)-এর \(\overline{\lambda}\) হলো \(T^*\)-এর spectrum-এ।

7. ধরো \(T\) invertible। প্রমাণ করো \(\sigma(T^{-1}) = \{1/\lambda : \lambda \in \sigma(T)\}\)।

8. \(L^2([0,1])\)-এ \(Tf(x) = xf(x)\) দেখাও \(\sigma(T) = [0,1]\) এবং \(T\)-এর কোনো eigenvalue নেই।

---

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(T(a_1, a_2, \ldots) = (a_1, a_2/2, a_3/3, \ldots)\) মানে \(k\)-তম coordinate \(b_k = a_k/k\)।

Eigenvalues: \(Tf = \lambda f\) মানে \(a_k/k = \lambda a_k\) প্রতিটা \(k\)-এর জন্য। তাই হয় \(a_k = 0\) নয়তো \(\lambda = 1/k\)। যদি \(a_k \neq 0\) শুধু \(k\)-তম স্থানে: \(f = e_k\) (standard basis vector), \(Te_k = (1/k)e_k\)। তাই \(\lambda = 1/k\) (\(k = 1, 2, 3, \ldots\)) eigenvalue।

Spectrum: eigenvalue-গুলো \(\{1, 1/2, 1/3, \ldots\}\)। এছাড়া \(0\) কি spectrum-এ? যদি \(\lambda = 0\): \(Tf = 0\) মানে \(a_k/k = 0\) সব \(k\)-এর জন্য, তাই \(f = 0\)। তাই \(T\) injective, কিন্তু range \(T\) dense কিনা? \((1, 1/2, 1/3, \ldots) \in \ell^2\) কিন্তু এটা range-এর ভেতরে নয় (কারণ \(a_k/k = 1/k\) হলে \(a_k = 1\) সব \(k\)-এ, যা \(\ell^2\)-তে নেই)। তাই \(0 \in \sigma(T)\)।

সুতরাং \(\sigma(T) = \{0, 1, 1/2, 1/3, \ldots\}\) — eigenvalues \(\cup \{0\}\)।

২-নং সমাধান দেখাও

\(\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(2-\lambda) - 0 = (3-\lambda)(2-\lambda)\)। শূন্য হলে \(\lambda = 3\) বা \(\lambda = 2\)।

তাই \(\sigma(A) = \{2, 3\}\)।

Resolvent (\(\lambda \neq 2, 3\)):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \]

\[ R(\lambda) = \frac{1}{(3-\lambda)(2-\lambda)} \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} \]

৩-নং সমাধান দেখাও

Spectral Mapping Theorem প্রমাণ স্কেচ:

\(p(\sigma(T)) \subseteq \sigma(p(T))\): ধরো \(\lambda_0 \in \sigma(T)\)। Factor করি \(p(\lambda) - p(\lambda_0) = (\lambda - \lambda_0) q(\lambda)\) কোনো polynomial \(q\)-এর জন্য। তাহলে:

\[ p(T) - p(\lambda_0)I = (T - \lambda_0 I) q(T) \]

যেহেতু \(T - \lambda_0 I\) invertible নয়, তাই \(p(T) - p(\lambda_0)I\) invertible নয় (কারণ \(q(T)\) bounded operator এবং product-এর invertibility)। তাই \(p(\lambda_0) \in \sigma(p(T))\)।

\(\sigma(p(T)) \subseteq p(\sigma(T))\): ধরো \(\mu \notin p(\sigma(T))\)। তাহলে \(p(\lambda) - \mu \neq 0\) সব \(\lambda \in \sigma(T)\)-এর জন্য। Factor করি \(p(\lambda) - \mu = c\prod_j(\lambda - \alpha_j)\) যেখানে \(\alpha_j \notin \sigma(T)\)। তাই প্রতিটা \((T - \alpha_j I)\) invertible, সুতরাং \(p(T) - \mu I\) invertible। \(\square\)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(T^n = 0\)। Spectral Mapping Theorem: \(\sigma(T^n) = \{\lambda^n : \lambda \in \sigma(T)\}\)।

কিন্তু \(T^n = 0\) মানে \(\sigma(T^n) = \sigma(0) = \{0\}\) (zero operator-এর spectrum শুধু \(\{0\}\))।

তাই \(\{\lambda^n : \lambda \in \sigma(T)\} = \{0\}\), অর্থাৎ \(\lambda^n = 0\) সব \(\lambda \in \sigma(T)\)-এর জন্য — তাই \(\lambda = 0\)।

সুতরাং \(\sigma(T) \subseteq \{0\}\)। Spectrum nonempty (nonzero Banach space-এ), তাই \(\sigma(T) = \{0\}\)। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(T(a_1, a_2, \ldots) = (0, a_1, 0, a_2, 0, \ldots)\) — এটা একটা modified shift।

\(\lVert T\rVert = 1\) (norm-preserving)।

\(T^2(a_1, a_2, \ldots) = T(0, a_1, 0, a_2, \ldots) = (0, 0, 0, a_1, 0, 0, 0, a_2, \ldots)\)।

এই \(T^2\) আসলে right shift operator-এর মতো দুই step-এ। \(\lVert T^2\rVert = 1\)।

সাধারণভাবে \(\lVert T^n\rVert = 1\) সব \(n\)-এর জন্য।

তাই \(r(T) = \lim_{n\to\infty} \lVert T^n\rVert^{1/n} = \lim_{n\to\infty} 1^{1/n} = 1\)।

Spectrum = closed unit disk (right shift-এর মতো আচরণ)।

৬-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(\lambda \in \sigma(T)\), অর্থাৎ \(T - \lambda I\) invertible নয়।

ধরো \(S = (T - \lambda I)^*= T^* - \bar{\lambda}I\)। Adjoint properties: \((AB)^* = B^*A^*\), \((T^*)^* = T\)।

যদি \(T^* - \bar{\lambda}I\) invertible হতো \(S^{-1}\), তাহলে \((T - \lambda I)^{-1} = (S^*)^{-1} = (S^{-1})^*\) পাওয়া যেত। কিন্তু তখন \(T - \lambda I\) invertible হতো — contradiction।

তাই \(T^* - \bar{\lambda}I\) invertible নয়, অর্থাৎ \(\bar{\lambda} \in \sigma(T^*)\)। \(\square\)

৭-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(T\) invertible এবং \(\alpha \in \sigma(T)\), অর্থাৎ \(T - \alpha I\) not invertible।

লক্ষ করো: \(T^{-1} - (1/\alpha)I = -(1/\alpha)(T - \alpha I)T^{-1}\)।

যদি \(T^{-1} - (1/\alpha)I\) invertible হতো, তাহলে উপরের factorization থেকে \(T - \alpha I\) invertible হতো (কারণ \(T^{-1}\) invertible)। Contradiction।

তাই \(1/\alpha \in \sigma(T^{-1})\)। সুতরাং \(\{1/\alpha : \alpha \in \sigma(T)\} \subseteq \sigma(T^{-1})\)।

উল্টোভাবে \(T^{-1}\) সম্পর্কে same argument দিলে \(\sigma(T^{-1}) \subseteq \{1/\alpha : \alpha \in \sigma(T)\}\)।

তাই \(\sigma(T^{-1}) = \{1/\alpha : \alpha \in \sigma(T)\}\)। \(\square\)

৮-নং সমাধান দেখাও

Eigenvalue নেই: \(Tf = \lambda f\) মানে \(xf(x) = \lambda f(x)\) a.e., তাই \((x - \lambda)f(x) = 0\) a.e.। কিন্তু \(\{x = \lambda\}\) একটা single point — measure zero। তাই \(f(x) = 0\) a.e., মানে \(f = 0\)।

\(\sigma(T) = [0,1]\): যদি \(\lambda \notin [0,1]\): \((T - \lambda I)^{-1}f(x) = f(x)/(x - \lambda)\)। যেহেতু \(x \in [0,1]\) এবং \(\lambda \notin [0,1]\), তাই \(\lvert x - \lambda\rvert \geq d > 0\)। তাই \((T - \lambda I)^{-1}\) bounded — \(\lambda \in \rho(T)\)।

যদি \(\lambda \in [0,1]\): \(T - \lambda I\) injective (eigenvalue নেই)। কিন্তু range dense কিনা? যেকোনো \(g \in L^2\) এর জন্য \((T-\lambda I)^{-1}g(x) = g(x)/(x-\lambda)\) — এটা \(L^2[0,1]\)-এ নাও থাকতে পারে (যখন \(g\) \(x = \lambda\)-এর কাছে বড়)। অতএব \((T - \lambda I)^{-1}\) unbounded। তাই \(\lambda \in \sigma_c(T)\)।

সুতরাং \(\sigma(T) = [0,1]\)। \(\square\)

---

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Spectrum \(\sigma(T)\)-এর সংজ্ঞা জানি — \(\lambda \in \sigma(T)\) ↔ \(T - \lambda I\) not invertible।
• [ ] Resolvent \(R(\lambda) = (T - \lambda I)^{-1}\) বুঝি — কোথায় defined, কোথায় নয়।
• [ ] তিন ধরনের spectrum আলাদা করতে পারি: point (eigenvalue), continuous, residual।
• [ ] জানি finite-dimensional-এ \(\sigma(T)\) = eigenvalues, infinite-dimensional-এ নয়।
• [ ] \(\sigma(T) \subseteq \{\lvert\lambda\rvert \leq \lVert T\rVert\}\) এবং \(\sigma(T)\) closed — প্রমাণ জানি।
• [ ] Spectral radius \(r(T) = \lim \lVert T^n\rVert^{1/n}\) এবং Gelfand formula জানি।
• [ ] Right shift-এর spectrum = closed unit disk (কোনো eigenvalue নেই) — কারণ বুঝি।
• [ ] Resolvent identity \(R(\mu) - R(\lambda) = (\mu - \lambda)R(\mu)R(\lambda)\) জানি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 6.6 — Self-adjoint, Normal, Unitary Operator — spectrum কোথায় "বসে" সেটা operator-এর গঠনের উপর নির্ভর করে: self-adjoint হলে শুধু real axis-এ, unitary হলে unit circle-এ — এই গভীর সম্পর্ক দেখব।