7.4 — Haar Measure¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Haar measure — locally compact topological group-এর উপর একটি translation-invariant (অনুবাদ-অপরিবর্তনীয়) measure; left-invariance \(\mu(gE)=\mu(E)\); existence (অস্তিত্ব) ও uniqueness (একক-ত্ব) up to a positive scalar; উদাহরণ — \(\mathbb{R}\)-এ Lebesgue measure, \(\mathbb{Z}\)-এ counting measure, \(S^1\)-এ arc-length \(d\theta\), matrix groups; unimodular group-এর সংক্ষিপ্ত আলোচনা।

উৎস (source): Alfréd Haar; von Neumann, Weil।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

গণিতে symmetry (সাম্যাবস্থা) একটা গভীর ধারণা। যখন কোনো space-এ "সব জায়গা সমান" — অর্থাৎ যেকোনো জায়গায় গেলেও মাপের নিয়ম বদলায় না — তখন আমরা বলি সেই measure translation-invariant (অনুবাদ-অপরিবর্তনীয়)।

\(\mathbb{R}\)-এ Lebesgue measure \(\lambda\) এরকম: \([1, 3]\)-এর দৈর্ঘ্য ২, \([4, 6]\)-এরও দৈর্ঘ্য ২ — শুধু translate করা হয়েছে, measure বদলায়নি।

Alfred Haar ১৯৩৩ সালে প্রশ্ন করলেন: এই ধারণাটাকে অনেক বেশি সাধারণ করা যায় কি? শুধু \(\mathbb{R}\) নয়, যেকোনো locally compact topological group — যেমন matrix group, circle group, ইত্যাদি — এদের উপরেও কি এরকম একটা "ন্যায্য" measure আছে?

Haar-এর উত্তর: হ্যাঁ, সবসময় আছে, এবং একমাত্র (up to scalar)।

কোথায় কাজে লাগে?

Harmonic analysis (সুরেলা বিশ্লেষণ): Fourier analysis-কে circle বা compact group-এ generalize করতে।
Representation theory (প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব): group representation-এর integration Haar measure ব্যবহার করে।
Number theory: \(p\)-adic numbers-এর উপর analysis Haar measure দিয়ে।
Physics: gauge theories-এ group-এর উপর integration Haar measure দিয়ে define করা হয়।

মূল স্বজ্ঞা

Haar measure হলো group-এর সাথে মানানসই measure — group-এর symmetry (left-translation) measure-টিকে অপরিবর্তিত রাখে। যেমন শাসক দিয়ে মাপলে মাপের জায়গা বদলায় না, Haar measure-ও group-এর যেকোনো element দিয়ে translate করলে বদলায় না।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Topological Group — সংক্ষেপে¶

একটি topological group (টপোলজিকাল গ্রুপ) \(G\) হলো এমন একটি set যা একই সাথে:

একটি group — অর্থাৎ binary operation \(\cdot\), identity \(e\), inverse \(g^{-1}\) আছে
একটি topological space — অর্থাৎ open sets-এর ধারণা আছে

এবং group operation \((g,h) \mapsto gh\) এবং inverse \(g \mapsto g^{-1}\) উভয়ই continuous।

Group \(G\) locally compact (স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট) বলা হয় যদি প্রতিটি point-এর একটি compact neighborhood থাকে।

Left Translation¶

\(a \in G\) fixed রাখলে left translation (বাম অনুবাদ) হলো:

\[\ell_a : G \to G, \quad \ell_a(x) = ax\]

এটি একটি homeomorphism (continuous bijection with continuous inverse)।

Left-invariant measure (বাম-অপরিবর্তনীয় পরিমাপ): measure \(\mu\) কে left-invariant বলা হয় যদি:

\[\mu(\ell_a(E)) = \mu(aE) = \mu(E) \quad \forall a \in G, \; E \in \mathcal{B}(G)\]

অর্থাৎ যেকোনো measurable set \(E\)-কে যেকোনো group element \(a\) দিয়ে left-translate করলেও measure বদলায় না।

Group translation and left invariance

চিত্র ১: বাঁয়ে: group \(G\)-এ subset \(E\) (orange)। ডানে: \(\ell_g\) map করে \(E\)-কে \(gE\)-এ নিয়ে যায় (green)। Left invariance মানে \(\mu(gE) = \mu(E)\)।

Bar chart — Invariance দেখাই¶

Left invariance bar chart

চিত্র ২: যেকোনো \(g_i \in G\)-এর জন্য \(\mu(g_i E)\) একই থাকে — left invariance-এর সরাসরি illustration।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Haar Measure-এর সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা ৮.১ (Haar Measure)

ধরো \(G\) একটি locally compact Hausdorff topological group। একটি regular Borel measure (নিয়মিত বোরেল পরিমাপ) \(\mu\) কে left Haar measure (বাম Haar পরিমাপ) বলা হয় যদি:

(a) \(\mu \neq 0\) (trivial নয়)

(b) Left-invariant: \(\mu(aE) = \mu(E)\) সব \(a \in G\) এবং সব Borel set \(E\)-এর জন্য

(c) Outer regular: \(\mu(E) = \inf\{\mu(U) : E \subseteq U,\, U \text{ open}\}\)

(d) Inner regular: compact set \(K\)-এর জন্য \(\mu(K) = \sup\{\mu(C) : C \subseteq K,\, C \text{ compact}\}\)

(e) Compact sets-এর measure finite: \(\mu(K) < \infty\) সব compact \(K\)-এর জন্য

Haar-এর মূল উপপাদ্য¶

উপপাদ্য ৮.১ (Haar, ১৯৩৩)

\(G\) একটি locally compact Hausdorff topological group হলে:

(Existence) একটি non-zero left Haar measure \(\mu\) অবশ্যই আছে।

(Uniqueness) যদি \(\mu\) এবং \(\nu\) উভয়ই left Haar measure হয়, তাহলে \(\nu = c\,\mu\) কোনো constant \(c > 0\)-এর জন্য।

প্রমাণ-কৌশল (Haar-এর মূল idea): দুটো non-zero continuous functions \(f, g \in L^+(G)\) (compact support, non-negative) নাও। Define করো:

\[(f : g) = \inf\left\{\sum_i c_i : f(x) \leq \sum_i c_i\, g(a_i x) \;\forall x\right\}\]

এটা "how many translates of \(g\) cover \(f\)"-এর ধারণা। তারপর একটি reference function \(f_0\) fix করে define করো:

\[I_g(f) = \frac{(f : g)}{(f_0 : g)}\]

\(g\)-কে identity-র কাছে concentrate করতে থাকলে (support ছোট করতে থাকলে) \(I_g(f)\) একটি limit \(I(f)\)-এ converge করে। Tychonoff compactness ব্যবহার করে এই limit-এর existence প্রমাণ করা হয়। এই \(I\) হলো Haar integral।

Uniqueness-এর স্বজ্ঞা

কেন uniqueness? কারণ group-এর symmetry এত শক্তিশালী যে translation-invariant হওয়ার শর্তটাই measure-টাকে essentially determine করে — শুধু total mass (normalization constant) choose করার স্বাধীনতা থাকে।

৪. উদাহরণ (Examples)¶

উদাহরণ ১: \((\mathbb{R}, +)\) — Lebesgue Measure¶

\(\mathbb{R}\)-এ group operation হলো addition, \(e = 0\)। Lebesgue measure \(\lambda\) clearly left-invariant:

\[\lambda([a+c,\, b+c]) = b - a = \lambda([a,b]) \quad \forall c \in \mathbb{R}\]

তাই \(\lambda\) হলো \(\mathbb{R}\)-এর Haar measure।

Lebesgue measure as Haar measure on R

চিত্র ৩: উপরে: \(E = [1,3]\), দৈর্ঘ্য ২। নিচে: \(E + 2 = [3,5]\), দৈর্ঘ্যও ২। Shift-invariance = Haar property।

উদাহরণ ২: \((\mathbb{Z}, +)\) — Counting Measure¶

\(\mathbb{Z}\)-এ discrete topology দিলে Haar measure হলো counting measure (গণনা পরিমাপ):

\[\mu(E) = |E| = \text{(number of elements in } E)\]

Translation invariance: \(\mu(E + n) = \mu(E)\) সব \(n \in \mathbb{Z}\)-এর জন্য, কারণ translate করলে elements-এর সংখ্যা বদলায় না।

Counting measure on Z

চিত্র ৪: \(\mathbb{Z}\)-এ \(E = \{-2,-1,0,1\}\) (orange bars, count = 4)। \(E+3 = \{1,2,3,4\}\) (green bars, count = 4)। সংখ্যা অপরিবর্তিত — counting measure = Haar।

উদাহরণ ৩: \((S^1, \cdot)\) — Arc-length \(d\theta\)¶

Unit circle (এককবৃত্ত) \(S^1 = \{e^{i\theta} : \theta \in [0, 2\pi)\}\) complex multiplication-এর অধীনে একটি group। Haar measure হলো arc-length (চাপ-দৈর্ঘ্য):

\[\mu(E) = \int_E d\theta\]

Rotation invariance: \(E\)-কে \(\alpha\)-কোণে rotate করলে arc-length বদলায় না। Normalized: \(\mu(S^1) = 2\pi\)।

\[\mu\bigl(e^{i\alpha} E\bigr) = \mu(E) \quad \forall \alpha\]

Circle arc-length as Haar measure

চিত্র ৫: বাঁয়ে: arc \(E\) (orange)। ডানে: rotated arc \(r_\alpha E\) (green)। Arc-length অপরিবর্তিত — \(d\theta\) হলো \(S^1\)-এর Haar measure।

উদাহরণ ৪: Lie Groups¶

\(GL_n(\mathbb{R})\) (invertible \(n \times n\) matrices) এর Haar measure। Lie group theory বলে: left-invariant \(n\)-form \(\Omega\) খুঁজে নাও। Matrix-valued left-invariant 1-form হলো Maurer-Cartan form (মাওরের-কার্তান রূপ):

\[M^{-1} dM\]

যেখানে \(M : G \to GL(d)\) একটি homomorphism। \(ax+b\) group-এর জন্য (Sternberg-এর উদাহরণ):

\[\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} d\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{-1}da & a^{-1}db \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

তাই Haar measure: \(\frac{da\, db}{a^2}\) (proportional)।

৫. Uniqueness ও Unimodular Group¶

Uniqueness Up to Scale¶

যেকোনো দুটো left Haar measure একটি positive constant-এর multiple:

Uniqueness: two Haar measures differ by a constant

চিত্র ৬: \(\mu\) ও \(c\mu\) (\(c = 2.5\)) উভয়ই valid Haar measures। যেকোনো দুটো Haar measure-এর ratio constant — এই ratio-ই normalize করার choice।

Left vs Right Invariance — Unimodular Group¶

Left Haar measure \(\mu\) সবসময় right-invariant নাও হতে পারে। Define করো:

\[\Delta(a) := \frac{\mu(Ea)}{\mu(E)} \quad (\text{independent of } E)\]

\(\Delta : G \to (0,\infty)\) কে modular function (মডুলার ফাংশন) বলে। এটি একটি continuous group homomorphism।

\(G\)-কে unimodular (একমডুলীয়) বলে যদি \(\Delta \equiv 1\) — অর্থাৎ left = right Haar measure।

কোন groups unimodular?

Abelian (আবেলীয়) groups: সবসময় unimodular (\(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Z}\), \(S^1\))
Compact groups: সবসময় unimodular
Discrete groups: সবসময় unimodular (counting measure = both left and right)
\(ax+b\) group: not unimodular (left \(\neq\) right Haar measure)

৬. Finite Group-এর উদাহরণ¶

Finite group \(G\) (discrete topology) তে Haar measure হলো uniform measure (সমরূপ পরিমাপ):

\[\mu(\{g\}) = \frac{1}{|G|} \quad \forall g \in G\]

(or counting measure; both work — differ by \(\lvert G \rvert\))।

\(G = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{0,1,2,3,4,5\}\) এর জন্য:

Finite group Z/6Z with uniform Haar measure

চিত্র ৭: \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) hexagon — প্রতিটি element-এর Haar measure \(\frac{1}{6}\)। Group addition দিয়ে যেকোনো দিকে translate করলে একই uniform distribution থাকে।

Finite group-এ Haar measure normalize করা সহজ: \(\mu(G) = 1\) রাখলে প্রতিটি element-এর measure \(\frac{1}{\lvert G \rvert}\)।

৭. সাধারণ ভুল (Common Mistakes)¶

৪টি সাধারণ ভুল

১. Left ও Right Haar measure একই মনে করা। Abelian group বা compact group-এ সত্য, কিন্তু সাধারণভাবে নয়। \(ax+b\) group-এ left এবং right Haar measure আলাদা।

২. Locally compact শর্ত উপেক্ষা করা। Infinite-dimensional Banach space \(L^2[0,1]\)-তে Haar measure exist করে না — locally compact নয়!

৩. Haar measure মানে probability measure ভাবা। Haar measure প্রায়ই infinite হতে পারে — যেমন \(\mathbb{R}\)-এ Lebesgue measure। Normalize করে probability measure বানানো যায় শুধু compact group-এ।

৪. Uniqueness মানে সম্পূর্ণ নির্দিষ্ট মনে করা। Haar measure positive scalar multiple পর্যন্ত unique — আমরা normalization choose করি (যেমন compact group-এ \(\mu(G) = 1\))।

৮. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

সমস্যা ১. দেখাও যে \(\mathbb{R}^n\)-এ Lebesgue measure \(\lambda\) হলো \((\mathbb{R}^n, +)\)-এর left Haar measure।

সমস্যা ২. \(S^1\)-এ arc-length measure \(\mu(E) = \int_E d\theta\) verify করো: \(\mu(e^{i\alpha} E) = \mu(E)\)।

সমস্যা ৩. \(ax+b\) group-এ \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)। Compute করো \(M^{-1} dM\) এবং দেখাও Haar measure \(\frac{da\,db}{a^2}\)।

সমস্যা ৪. Finite group \(G = \{e, g, g^2\}\) (\(\lvert G \rvert = 3\), cyclic)। Haar measure নির্ধারণ করো এবং দেখাও এটি left-invariant।

সমস্যা ৫. ধরো \(G\) compact এবং \(\mu\) left Haar measure। দেখাও \(\mu\) তখন right-invariantও — অর্থাৎ compact group unimodular।

সমস্যা ৬. \(G = (\mathbb{R}^*, \cdot)\) (nonzero real numbers under multiplication)। Haar measure হলো \(\frac{dx}{\lvert x \rvert}\) — এটি verify করো।

৯. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

সমস্যা ১: \(\mathbb{R}^n\)-এ Lebesgue measure left Haar।

চেক করি শর্তগুলো:

(a) \(\lambda \neq 0\): যেকোনো nonempty open set-এর measure > 0। ✓

(b) Left invariance: যেকোনো Borel set \(E\) এবং \(a \in \mathbb{R}^n\)-এর জন্য,

\[\lambda(E + a) = \lambda(E)\]

এটি Lebesgue measure-এর স্বতসিদ্ধ বৈশিষ্ট্য — change of variables \(x \mapsto x - a\) দিয়ে সহজেই দেখানো যায়। ✓

(c) Outer/inner regularity: Lebesgue measure regular — এটি standard measure theory-র ফল। ✓

(d) Compact sets-এর measure finite: \(K \subset \mathbb{R}^n\) compact হলে \(K\) bounded, তাই \(K \subseteq [-R,R]^n\) কোনো \(R\)-এর জন্য, এবং \(\lambda(K) \leq (2R)^n < \infty\)। ✓ \(\square\)

২-নং সমাধান দেখাও

সমস্যা ২: \(\mu(e^{i\alpha} E) = \mu(E)\)।

\(E \subseteq S^1\) measurable। \(e^{i\alpha} E = \{e^{i\alpha} e^{i\theta} : e^{i\theta} \in E\} = \{e^{i(\theta + \alpha)} : e^{i\theta} \in E\}\)।

Substitution \(\phi = \theta + \alpha\) (modulo \(2\pi\)):

\[\mu(e^{i\alpha} E) = \int_{e^{i\alpha} E} d\phi = \int_E d(\phi - \alpha) = \int_E d\phi = \mu(E). \quad \square\]

৩-নং সমাধান দেখাও

সমস্যা ৩: \(ax+b\) group Haar measure।

\(M^{-1} = \begin{pmatrix} a^{-1} & -a^{-1}b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)।

\(dM = \begin{pmatrix} da & db \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)।

\[M^{-1}dM = \begin{pmatrix} a^{-1} & -a^{-1}b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} da & db \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{-1}da & a^{-1}db \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Left-invariant 1-forms: \(a^{-1}da\) এবং \(a^{-1}db\)।

Left-invariant 2-form (volume form): \(a^{-1}da \wedge a^{-1}db = \frac{da \wedge db}{a^2}\)।

তাই Haar measure \(\propto \frac{da\,db}{a^2}\)। \(\square\)

৪-নং সমাধান দেখাও

সমস্যা ৪: \(G = \{e, g, g^2\}\), \(\lvert G \rvert = 3\)।

Uniform measure: \(\mu(\{e\}) = \mu(\{g\}) = \mu(\{g^2\}) = \frac{1}{3}\)।

Left invariance check: \(g \cdot \{e\} = \{g\}\), \(g \cdot \{g\} = \{g^2\}\), \(g \cdot \{g^2\} = \{e\}\)।

\(\mu(\{g\}) = \frac{1}{3} = \mu(\{e\})\) ✓, \(\mu(\{g^2\}) = \frac{1}{3} = \mu(\{g\})\) ✓, \(\mu(\{e\}) = \frac{1}{3} = \mu(\{g^2\})\) ✓।

তাই uniform measure left-invariant। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

সমস্যা ৫: Compact group unimodular।

\(G\) compact, \(\mu\) left Haar measure। Define \(\nu(E) = \mu(Ea)\) some fixed \(a \in G\)।

\(\nu\) কি left Haar measure? \(\nu(bE) = \mu(bEa) = \mu(Ea) = \nu(E)\) (left invariance of \(\mu\))। তাই \(\nu\) left-invariant। ✓

\(\nu\) compact: \(\nu(G) = \mu(Ga) = \mu(G)\) (since \(G\) compact, \(Ga = G\))। তাই \(\nu(G) = \mu(G) < \infty\)।

Uniqueness: \(\nu = c\mu\) কোনো \(c > 0\)-এর জন্য।

\(c = \frac{\nu(G)}{\mu(G)} = \frac{\mu(G)}{\mu(G)} = 1\)।

তাই \(\nu = \mu\), অর্থাৎ \(\mu(Ea) = \mu(E)\) — right invariance। \(\square\)

৬-নং সমাধান দেখাও

সমস্যা ৬: \(G = (\mathbb{R}^*, \cdot)\), Haar measure \(\frac{dx}{\lvert x \rvert}\)।

Left invariance: group operation \(a \cdot x = ax\)। For \(E \subseteq \mathbb{R}^*\):

\[\int_{aE} \frac{dx}{\lvert x \rvert}\]

Substitution \(x = ay\), \(dx = \lvert a \rvert dy\):

\[= \int_E \frac{\lvert a \rvert dy}{\lvert ay \rvert} = \int_E \frac{\lvert a \rvert dy}{\lvert a \rvert \cdot \lvert y \rvert} = \int_E \frac{dy}{\lvert y \rvert}\]

তাই \(\mu(aE) = \mu(E)\) — left invariant। \(\square\)

১০. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

[ ] Topological group-এর সংজ্ঞা জানি: group + topological space, operations continuous
[ ] Left Haar measure-এর পাঁচটি শর্ত বুঝি: non-zero, left-invariant, outer/inner regular, locally finite
[ ] Haar-এর উপপাদ্য: locally compact Hausdorff group-এ left Haar measure exists এবং unique up to positive scalar
[ ] উদাহরণ জানি: \(\mathbb{R} \to \lambda\), \(\mathbb{Z} \to\) counting, \(S^1 \to d\theta\), compact group \(\to\) normalized Haar
[ ] Modular function \(\Delta\) কী: \(\Delta(a) = \mu(Ea)/\mu(E)\); unimodular মানে \(\Delta \equiv 1\)
[ ] Compact group ও abelian group সবসময় unimodular
[ ] \(ax+b\) group-এ Haar measure \(\frac{da\,db}{a^2}\) এবং এটি non-unimodular

➡️ পরের অধ্যায়: 7.5 — Banach Algebra ও Spectral Theorem — Banach algebra, spectrum, spectral radius; commutative Banach algebra ও Gelfand transform; operator spectral theorem-এর Haar measure-ভিত্তিক applications।