6.1 — Real ও Complex Measure; Total Variation¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: signed/complex measure কী — কীভাবে একটা পরিমাপ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুই ধরনের মান নিতে পারে; total variation measure |μ| এবং total variation norm ‖μ‖ = |μ|(X); পরিমাপের space কীভাবে একটা Banach space হয়ে ওঠে; এবং density থেকে কীভাবে signed measure তৈরি হয়।

উৎস (source): Jordan, Lebesgue (signed measure); Radon (total variation)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

এতদিন আমরা measure (পরিমাপ) বলতে বুঝেছি এমন একটা ফাংশন যা প্রতিটা measurable set-কে একটা ধনাত্মক সংখ্যা দেয় — আয়তন, দৈর্ঘ্য, ভর। কিন্তু বাস্তব জীবনে অনেক পরিমাপ আছে যেগুলো ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক — দুটোই নিতে পারে।

একটা চেনা উদাহরণ ভাবো: physics-এ কোনো তারের উপর charge distribution (আধান বিতরণ)। কোথাও ধনাত্মক আধান (+), কোথাও ঋণাত্মক আধান (−)। কোনো অংশের "মোট আধান" নেগেটিভও হতে পারে। এই "চিহ্নিত আধান মাপার" ব্যবস্থাটাই হলো signed measure (চিহ্নিত পরিমাপ)।

আর complex measure (জটিল পরিমাপ) হলো সেই ধারণার আরো সম্প্রসারণ — measure-এর মান হতে পারে complex number, অর্থাৎ real ও imaginary দুটো অংশ।

এই ধারণাগুলো কোথায় কাজে লাগে?

Fourier analysis: Fourier coefficient \(\hat{f}(n) = \int f(x) e^{-inx} dx\) আসলে একটা complex measure-এর integral।
Probability: signed measure দিয়ে দুটো probability distribution-এর "পার্থক্য" বা contrast মাপা যায়।
Functional analysis: দুটো finite measure-এর বিয়োগফল signed measure — এই কারণে measure-এর একটা vector space তৈরি হয়।
Physics (electrodynamics): charge density ঋণাত্মক হতে পারে — electrons negative charge বহন করে।

আগের অধ্যায়ে আমরা \(L^p\) space ও Hilbert space শিখেছিলাম। এই অধ্যায়ে আমরা দেখব measures-এর নিজস্ব একটা Banach space আছে — total variation norm দিয়ে।

মূল স্বজ্ঞা

Signed measure = ধনাত্মক measure − আরেকটা ধনাত্মক measure। ঠিক যেমন পূর্ণসংখ্যা = ধনাত্মক − ধনাত্মক। Total variation হলো দুটোকে যোগ করা — "মোট পরিমাণ" চিহ্ন ছাড়া।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Signed Measure — স্বজ্ঞা¶

কল্পনা করো \(X = [-1, 1]\) এবং \(\lambda\) হলো Lebesgue measure। সংজ্ঞা করি:

\[\nu(E) = \lambda\bigl(E \cap [0,1]\bigr) - \lambda\bigl(E \cap [-1, 0)\bigr)\]

এই \(\nu\) measure-টি: - \([0,1]\) এর যেকোনো subset-কে ধনাত্মক মান দেয় - \([-1, 0)\) এর যেকোনো subset-কে ঋণাত্মক মান দেয় - গোটা \([-1, 1]\) কে দেয় \(1 - 1 = 0\)

এটাই একটা signed measure-এর সহজ উদাহরণ। Space \(X\) দুটো ভাগে ভাগ হয়ে যায় — positive part আর negative part।

Signed measure: X বিভক্ত ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশে

চিত্র ১: Signed measure-এ \(X\) দুটো ভাগে বিভক্ত — \(A\) (সবুজ) যেখানে \(\nu \geq 0\), এবং \(B\) (লাল) যেখানে \(\nu \leq 0\)। এটাই Hahn decomposition-এর মূল ছবি।

Charge Distribution — সহজ analogy¶

Physics-এ কোনো wire বা surface-এ charge distribution থাকলে কিছু জায়গায় positive charge, কিছু জায়গায় negative charge। কোনো region \(E\)-এর "মোট charge" হলো সেই region-এর signed measure।

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক আধানের বিতরণ

চিত্র ২: Charge distribution analogy। সবুজ "+" চিহ্নগুলো ধনাত্মক আধান (positive charge), লাল "−" চিহ্নগুলো ঋণাত্মক আধান। কোনো section \(E\)-এর \(\nu(E)\) হলো সেখানকার net charge — ধনাত্মকও হতে পারে, ঋণাত্মকও।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Signed Measure ও Complex Measure-এর সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা ৯.১ (Axler): Real Measure ও Complex Measure

ধরো \((X, \mathcal{S})\) একটা measurable space (পরিমাপযোগ্য স্পেস)।

একটা ফাংশন \(\nu : \mathcal{S} \to \mathbb{F}\) কে countably additive (গণনীয়ভাবে যোজ্য) বলা হয় যদি প্রতিটা disjoint sequence \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{S}\)-এর জন্য:

\[\nu\!\Bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\Bigr) = \sum_{k=1}^{\infty} \nu(E_k)\]

Real measure (বাস্তব পরিমাপ): \(\nu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}\) countably additive।
Complex measure (জটিল পরিমাপ): \(\nu : \mathcal{S} \to \mathbb{C}\) countably additive।

স্বজ্ঞা: সংজ্ঞাটা আগের (positive) measure-এর মতোই — শুধু মান এখন \([0, \infty]\) নয়, হতে পারে \(\mathbb{R}\) বা \(\mathbb{C}\)। কিন্তু একটা গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য: \(\pm\infty\) অনুমোদিত নয়। Real বা complex measure সবসময় finite।

উপপাদ্য ৯.৩: Absolute Convergence

ধরো \(\nu\) একটা complex measure। তাহলে:

(a) \(\nu(\emptyset) = 0\)

(b) যেকোনো disjoint sequence \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{S}\)-এর জন্য:

\[\sum_{k=1}^{\infty} \lvert \nu(E_k) \rvert < \infty\]

অর্থাৎ series টা absolutely convergent।

প্রমাণ-স্কেচ (a): \(\emptyset, \emptyset, \ldots\) একটা disjoint sequence যার union \(\emptyset\)। তাই \(\nu(\emptyset) = \sum_{k=1}^\infty \nu(\emptyset)\) — এটা শুধু তখনই সম্ভব যখন \(\nu(\emptyset) = 0\)।

প্রমাণ-স্কেচ (b): Real case-এ: positive আর negative Ek-গুলো আলাদা করলে দুটো finite sum পাওয়া যায়। Complex case-এ: Re \(\nu\) আর Im \(\nu\) উভয়ই real measure, তাই তাদের জন্য (b) প্রযোজ্য। তখন:

\[\sum_{k=1}^{\infty} \lvert \nu(E_k) \rvert \leq \sum_{k=1}^{\infty} \lvert (\operatorname{Re}\nu)(E_k) \rvert + \lvert (\operatorname{Im}\nu)(E_k) \rvert < \infty \qquad \square\]

Density থেকে Measure: \(d\nu = h\,d\mu\)¶

উপপাদ্য ৯.৪ (Axler): \(L^1\)-function থেকে Complex Measure

ধরো \(\mu\) একটা (positive) measure এবং \(h \in L^1(\mu)\)। তাহলে \(\nu : \mathcal{S} \to \mathbb{F}\) সংজ্ঞায়িত করি:

\[\nu(E) = \int_E h \, d\mu\]

এই \(\nu\) একটা real measure (যদি \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\)) বা complex measure (যদি \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\))।

Notation: \(d\nu = h\,d\mu\) বা \(\nu = h\mu\)।

স্বজ্ঞা: density \(h\) ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মানই নিতে পারে। যেখানে \(h > 0\), সেখানে \(\nu\) positive; যেখানে \(h < 0\), সেখানে \(\nu\) negative। এটাই চিহ্নিত পরিমাপের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ।

প্রমাণ-স্কেচ: Dominated Convergence Theorem ব্যবহার করে দেখানো যায় \(\nu\) countably additive।

Total Variation Measure¶

Signed measure-এর একটা গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন: সব চিহ্ন উপেক্ষা করলে মোট "পরিমাণ" কত? এর উত্তর দেয় total variation measure (মোট পরিবর্তন পরিমাপ)।

সংজ্ঞা ৯.৮ (Axler): Total Variation Measure \(\lvert\nu\rvert\)

ধরো \(\nu\) একটা complex measure। Total variation measure \(\lvert\nu\rvert : \mathcal{S} \to [0, \infty]\) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[\lvert\nu\rvert(E) = \sup\!\Bigl\{ \lvert\nu(E_1)\rvert + \cdots + \lvert\nu(E_n)\rvert : n \in \mathbb{Z}^+,\; E_1, \ldots, E_n \in \mathcal{S} \text{ disjoint},\; E_1 \cup \cdots \cup E_n \subseteq E \Bigr\}\]

স্বজ্ঞা: \(\lvert\nu\rvert(E)\) হলো \(E\)-কে যতভাবে ছোট ছোট অংশে ভাগ করা যায়, সব ভাগের \(\lvert\nu\rvert\)-এর যোগের সর্বোচ্চ মান। সমস্ত চিহ্ন মুছে মোট "ওজন" বের করা।

Total variation: E-কে partition করে সর্বোচ্চ নেওয়া

চিত্র ৩: \(E\) কে চারটা disjoint অংশে ভাগ করা হয়েছে — \(E_1, E_2, E_3, E_4\)। Total variation হলো \(\lvert\nu(E_1)\rvert + \lvert\nu(E_2)\rvert + \lvert\nu(E_3)\rvert + \lvert\nu(E_4)\rvert\)-এর সর্বোচ্চ মান সমস্ত সম্ভব partition-এর মধ্যে।

Total Variation ও Density-এর সম্পর্ক¶

উপপাদ্য ৯.১০ (Axler): \(d\nu = h\,d\mu\) হলে \(d\lvert\nu\rvert = \lvert h\rvert\,d\mu\)

ধরো \(h \in L^1(\mu)\) এবং \(d\nu = h\,d\mu\)। তাহলে প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য:

\[\lvert\nu\rvert(E) = \int_E \lvert h \rvert \, d\mu\]

স্বজ্ঞা: density \(h\)-এর absolute value নিলে signed measure-এর total variation পাওয়া যায়। \(h\) ধনাত্মক হোক বা ঋণাত্মক — \(\lvert h \rvert\) সবসময় ধনাত্মক। সেটাই total variation-এর density।

প্রমাণ-স্কেচ:

Upper bound (\(\lvert\nu\rvert(E) \leq \int_E \lvert h\rvert\,d\mu\)): যেকোনো finite partition \(E_1, \ldots, E_n \subseteq E\)-এর জন্য:

\[\sum_{k=1}^n \lvert\nu(E_k)\rvert = \sum_{k=1}^n \left\lvert\int_{E_k} h\,d\mu\right\rvert \leq \sum_{k=1}^n \int_{E_k} \lvert h\rvert\,d\mu = \int_E \lvert h\rvert\,d\mu\]

Lower bound (real case): \(A = \{x \in E : h(x) \geq 0\}\) এবং \(B = \{x \in E : h(x) < 0\}\) নিলে:

\[\lvert\nu(A)\rvert + \lvert\nu(B)\rvert = \int_A h\,d\mu - \int_B h\,d\mu = \int_E \lvert h\rvert\,d\mu\]

তাই \(\lvert\nu\rvert(E) \geq \int_E \lvert h\rvert\,d\mu\)। দুদিক মিলিয়ে সমতা পাওয়া যায়। \(\square\)

Signed measure এবং তার total variation — density দিয়ে উদাহরণ

চিত্র ৪: বামে signed measure \(d\nu = \sin(x)\,d\lambda\): ধনাত্মক অংশ (সবুজ) ও ঋণাত্মক অংশ (লাল)। ডানে total variation \(d\lvert\nu\rvert = \lvert\sin(x)\rvert\,d\lambda\): সব চিহ্ন ধনাত্মক করা হয়েছে। মোট ক্ষেত্রফল = \(\lVert\nu\rVert\)।

Total Variation একটা Measure¶

উপপাদ্য ৯.১১ (Axler): Total Variation Measure is a Measure

ধরো \(\nu\) একটা complex measure। তাহলে \(\lvert\nu\rvert\) একটা (positive) measure।

প্রমাণ-স্কেচ: \(\lvert\nu\rvert(\emptyset) = 0\) সহজ। Countable additivity-র জন্য \(A_1, A_2, \ldots\) disjoint নাও। দুই দিকেই bound দেখানো যায়:

\(\sum_k \lvert\nu\rvert(A_k) \leq \lvert\nu\rvert(\bigcup_k A_k)\): যেকোনো finite partition of \(A_k\) একসাথে \(\bigcup A_k\)-এর একটা partition তৈরি করে।
\(\lvert\nu\rvert(\bigcup_k A_k) \leq \sum_k \lvert\nu\rvert(A_k)\): যেকোনো partition of \(\bigcup A_k\) কে প্রতিটা \(A_k\) দিয়ে intersect করলে ছোট ছোট partition পাওয়া যায়।

\(\square\)

Complex Measure-এর গঠন¶

Complex Measure = Real + Imaginary

ধরো \(\nu\) একটা complex measure। তাহলে \(\operatorname{Re}\nu\) এবং \(\operatorname{Im}\nu\) উভয়ই real measure, এবং:

\[\nu = \operatorname{Re}\nu + i \cdot \operatorname{Im}\nu\]

এছাড়া:

\[\lvert\nu\rvert(E) \leq \lvert\operatorname{Re}\nu\rvert(E) + \lvert\operatorname{Im}\nu\rvert(E)\]

Complex measure: real ও imaginary অংশ আলাদাভাবে

চিত্র ৫: Complex measure \(d\nu = (\cos x + i\sin x)\,d\lambda\)-এর বিশ্লেষণ। বামে real part \(d(\operatorname{Re}\nu) = \cos(x)\,d\lambda\) (নীল), ডানে imaginary part \(d(\operatorname{Im}\nu) = \sin(x)\,d\lambda\) (লাল)। প্রতিটা নিজেই একটা real (signed) measure।

Measures-এর Banach Space¶

সংজ্ঞা ৯.১৪–৯.১৫ (Axler): \(\mathcal{M}^\mathbb{F}(\mathcal{S})\) এবং Total Variation Norm

\((X, \mathcal{S})\) measurable space-এ complex measures-এর set \(\mathcal{M}^\mathbb{C}(\mathcal{S})\) (বা real measures-এর জন্য \(\mathcal{M}^\mathbb{R}(\mathcal{S})\)) একটা vector space (ভেক্টর স্পেস):

\[(\nu + \mu)(E) = \nu(E) + \mu(E), \quad (\alpha\nu)(E) = \alpha\,\nu(E)\]

এই space-এ total variation norm (মোট পরিবর্তন নর্ম) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert(X)\]

উপপাদ্য ৯.১৭: Total Variation Norm সর্বদা Finite

ধরো \(\nu \in \mathcal{M}^\mathbb{F}(\mathcal{S})\)। তাহলে \(\lVert\nu\rVert < \infty\)।

প্রমাণ-স্কেচ (Real case): Suppose \(\lVert\nu\rVert = \infty\)। তাহলে inductively একটা decreasing sequence \(E_0 \supseteq E_1 \supseteq \cdots\) তৈরি করা যায় যেখানে \(\lvert\nu\rvert(E_n) = \infty\) এবং \(\lvert\nu(E_n)\rvert \geq n\)। কিন্তু তাহলে \(\lim_{n\to\infty} \nu(E_n)\) exist করে না — এটা countable additivity-র সাথে contradiction। \(\square\)

উপপাদ্য ৯.১৮ (Axler): Measures-এর Space একটা Banach Space

\((X, \mathcal{S})\) measurable space-এ \(\mathcal{M}^\mathbb{F}(\mathcal{S})\) total variation norm সহ একটা Banach space (বানাখ স্পেস) — অর্থাৎ এটা complete।

প্রমাণ-স্কেচ: ধরো \(\nu_1, \nu_2, \ldots\) একটা Cauchy sequence। প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য \(\lvert \nu_j(E) - \nu_k(E) \rvert \leq \lVert \nu_j - \nu_k \rVert \to 0\)। তাই প্রতিটা \(E\)-তে \(\nu_j(E)\) একটা Cauchy sequence in \(\mathbb{F}\) — convergent। এই pointwise limit \(\nu(E) = \lim_{j\to\infty} \nu_j(E)\) একটা complex measure এবং \(\lVert \nu - \nu_k \rVert \to 0\)। \(\square\)

মেজার স্পেস একটা Banach space, total variation norm সহ

চিত্র ৬: \(\mathcal{M}^\mathbb{F}(\mathcal{S})\) space-এ কিছু measure-এর বিন্দু এবং তাদের মধ্যে total variation distance। এই space টা complete (Banach space) — প্রতিটা Cauchy sequence converge করে।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১: Lebesgue Measure-এর পার্থক্য¶

ধরো \(\lambda\) Lebesgue measure on \([0, 2]\), এবং সংজ্ঞা করি:

\[\nu(E) = \lambda(E \cap [0, 1]) - \lambda(E \cap [1, 2])\]

তাহলে: - \(\nu([0, 0.5]) = 0.5 - 0 = 0.5\) (ধনাত্মক) - \(\nu([1, 1.5]) = 0 - 0.5 = -0.5\) (ঋণাত্মক) - \(\nu([0, 2]) = 1 - 1 = 0\) - \(\lvert\nu\rvert([0, 2]) = 1 + 1 = 2 = \lVert\nu\rVert\)

এখানে \(\nu = \mu_1 - \mu_2\) যেখানে \(\mu_1, \mu_2\) finite positive measures।

উদাহরণ ২: Density \(h = 2x\) on \([-1, 1]\)¶

ধরো \(\mu = \lambda\) (Lebesgue) এবং \(h(x) = 2x\)। তাহলে:

\[\nu(E) = \int_E 2x \, d\lambda(x)\]

\(\nu([0, 1]) = \int_0^1 2x\,dx = 1\) (ধনাত্মক, কারণ \(h > 0\) ওখানে)
\(\nu([-1, 0]) = \int_{-1}^0 2x\,dx = -1\) (ঋণাত্মক, কারণ \(h < 0\) ওখানে)
\(\lvert\nu\rvert(E) = \int_E \lvert 2x\rvert\,d\lambda\)
\(\lVert\nu\rVert = \int_{-1}^1 \lvert 2x\rvert\,d\lambda = 2\int_0^1 2x\,dx = 2\)

Density উদাহরণ: h=2x থেকে signed measure এবং total variation

চিত্র ৭: বামে density \(h(x) = 2x\), মাঝে signed measure \(d\nu = 2x\,d\lambda\) (ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশ), ডানে total variation \(d\lvert\nu\rvert = \lvert 2x\rvert\,d\lambda\) (সব ধনাত্মক)। \(\lVert\nu\rVert = \int\lvert 2x\rvert\,d\lambda = 2\)।

উদাহরণ ৩: Dirac Delta-র পার্থক্য¶

ধরো \(b, c \in X\) দুটো আলাদা বিন্দু এবং \(\delta_b, \delta_c\) হলো point masses। তাহলে \(\nu = \delta_b - \delta_c\) একটা real measure:

\[\nu(E) = \mathbf{1}_{b \in E} - \mathbf{1}_{c \in E}\]

\(\lvert\nu\rvert(\{b\}) = 1\), \(\lvert\nu\rvert(\{c\}) = 1\), \(\lvert\nu\rvert(\{b, c\}) = 2\)
\(\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert(X) = 2\)

Analogy: Bank Account Balance¶

Signed measure টা ভাবো একটা bank account-এর মতো: কিছু time interval-এ জমা (positive), কিছুতে উত্তোলন (negative)। Total variation norm হলো মোট transaction-এর পরিমাণ — জমা ও উত্তোলন সব যোগ করে — balance নয়, gross activity।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"\(\pm\infty\) নিতে পারে" ভাবা। Real বা complex measure-এর সংজ্ঞায় \(\pm\infty\) অনুমোদিত নয়। এটা Lebesgue measure থেকে পার্থক্য। তাই infinite Lebesgue measure একটা real measure নয়।
\(\lvert\nu\rvert \neq \nu\)-এর ভুল। Signed measure \(\nu\) negative হতে পারে; \(\lvert\nu\rvert\) সবসময় nonnegative। \(\lvert\nu(E)\rvert \leq \lvert\nu\rvert(E)\) — কিন্তু সমতা নয় সাধারণত।
Total variation-কে "supremum over two sets" মনে করা। Real measure-এর জন্য শুধু দুটো disjoint set \(A, B\) যথেষ্ট (Theorem 9.9)। কিন্তু complex measure-এর জন্য এটা সত্য নয়।
\(\lVert\nu\rVert = 0\) মানে \(\nu = 0\) — কিন্তু কেন? \(\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert(X) = 0\) মানে প্রতিটা partition-এর \(\sum\lvert\nu(E_k)\rvert = 0\), তাই প্রতিটা \(E\)-তে \(\nu(E) = 0\)।
\(dnu = h\,d\mu\) হলে \(\nu\)-র total variation \(\int\lvert h\rvert\,d\mu\) — এটা সবসময় সত্য। কিন্তু \(\nu(E) \neq \int_E \lvert h\rvert\,d\mu\) — absolute value নেওয়ার আগে integrate করা আর পরে করা আলাদা।
Banach space-টা inner product space নয়। Total variation norm কোনো inner product থেকে আসে না (Axler Exercise 9A.10) — Parallelogram law ব্যর্থ হয়।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

ধরো \(\nu\) একটা real measure এবং \(A, B \in \mathcal{S}\) disjoint। যদি \(\nu(A) \geq 0\) এবং \(\nu(B) \geq 0\), তাহলে কি সর্বদা \(\nu(A \cup B) \geq 0\)? — প্রমাণ করো অথবা counterexample দাও।
\(\mu\) একটা finite positive measure এবং \(h \in L^1(\mu)\) real-valued। দেখাও যে \(d\nu = h\,d\mu\) একটা real measure, এবং \(\lVert\nu\rVert = \lVert h\rVert_1 = \int\lvert h\rvert\,d\mu\)।
ধরো \(\nu\) একটা complex measure। প্রমাণ করো: \(\lvert\nu\rvert(X) = \nu(X)\) যদি এবং কেবল যদি \(\nu\) একটা finite positive measure।
ধরো \(\mu_1, \mu_2\) দুটো finite positive measure। দেখাও যে \(\nu = \mu_1 - \mu_2\) একটা real measure, এবং \(\lVert\nu\rVert \leq \mu_1(X) + \mu_2(X)\)।
\([0, 2\pi]\)-এ \(h(x) = e^{ix} = \cos x + i\sin x\) এবং \(\mu = \lambda\) (Lebesgue)। \(d\nu = h\,d\lambda\) complex measure-এর জন্য \(\lVert\nu\rVert\) বের করো। [ইঙ্গিত: \(\lvert e^{ix}\rvert = 1\)।]
ধরো \(\nu\) একটা real measure এবং \(E \in \mathcal{S}\)। প্রমাণ করো যে \(\lvert\nu(E)\rvert \leq \lVert\nu\rVert\)। [ইঙ্গিত: \(\lvert\nu(E)\rvert \leq \lvert\nu\rvert(E) \leq \lvert\nu\rvert(X)\)।]
দেখাও যে \(\mathcal{M}^\mathbb{R}(\mathcal{S})\) হলো \(\mathcal{M}^\mathbb{C}(\mathcal{S})\)-এর একটা closed subspace।
\(X = \{1, 2, 3\}\), \(\mathcal{S} = 2^X\) (সব subsets)। \(\nu(\{1\}) = 2\), \(\nu(\{2\}) = -1\), \(\nu(\{3\}) = 1\) সংজ্ঞা করো। \(\lvert\nu\rvert(X)\) এবং \(\lVert\nu\rVert\) বের করো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

হ্যাঁ, \(\nu(A \cup B) \geq 0\)।

Countable additivity থেকে (finite version): \(\nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B) \geq 0 + 0 = 0\)।

Counterexample দেওয়ার চেষ্টা করলে দেখা যাবে — disjoint হলে additivity সরাসরি দেয়, তাই counterexample সম্ভব নয়।

লক্ষ করো: যদি \(A, B\) disjoint না হয়, তাহলে \(\nu(A) \geq 0\) এবং \(\nu(B) \geq 0\) থেকে \(\nu(A \cup B) \geq 0\) নাও হতে পারে — কারণ তখন inclusion-exclusion লাগে।

২-নং সমাধান দেখাও

\(d\nu = h\,d\mu\) real measure: Theorem 9.4 থেকে সরাসরি। \(h\) real-valued তাই \(\nu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}\)।

\(\lVert\nu\rVert = \lVert h\rVert_1\): Theorem 9.10 প্রযোগ করি:

\[\lvert\nu\rvert(E) = \int_E \lvert h\rvert\,d\mu\]

তাই:

\[\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert(X) = \int_X \lvert h\rvert\,d\mu = \lVert h\rVert_1 \qquad \square\]

এই ফলাফলটা গুরুত্বপূর্ণ: \(\{h\,d\mu : h \in L^1(\mu)\}\) একটা isometric embedding of \(L^1(\mu)\) into \(\mathcal{M}^\mathbb{F}(\mathcal{S})\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

(\(\Leftarrow\)): যদি \(\nu\) finite positive measure, তাহলে \(\nu(E) \geq 0\) সর্বত্র, তাই \(\lvert\nu(E)\rvert = \nu(E)\)। যেকোনো partition \(E_1, \ldots, E_n \subseteq X\)-এর জন্য:

\[\sum_k \lvert\nu(E_k)\rvert = \sum_k \nu(E_k) = \nu\!\Bigl(\bigcup_k E_k\Bigr) \leq \nu(X)\]

এবং \(E_1 = X\) নিলে supremum \(= \nu(X)\)। তাই \(\lvert\nu\rvert(X) = \nu(X)\)।

(\(\Rightarrow\)): যদি \(\lvert\nu\rvert(X) = \nu(X)\)। যেকোনো \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য, \(\{E, X\setminus E\}\) একটা partition। তাই:

\[\lvert\nu(E)\rvert + \lvert\nu(X\setminus E)\rvert \leq \lvert\nu\rvert(X) = \nu(X) = \nu(E) + \nu(X\setminus E)\]

এটা সম্ভব শুধু যদি \(\nu(E) \geq 0\) এবং \(\nu(X\setminus E) \geq 0\)। কারণ \(\lvert a\rvert + \lvert b\rvert \leq a + b\) তখনই যখন \(a, b \geq 0\)।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\nu = \mu_1 - \mu_2\) real measure: প্রতিটা \(E\)-তে \(\nu(E) = \mu_1(E) - \mu_2(E) \in \mathbb{R}\)। Countable additivity: linearity থেকে সরাসরি।

\(\lVert\nu\rVert \leq \mu_1(X) + \mu_2(X)\): যেকোনো finite disjoint partition \(E_1, \ldots, E_n \subseteq X\)-এর জন্য:

\[\sum_k \lvert\nu(E_k)\rvert = \sum_k \lvert\mu_1(E_k) - \mu_2(E_k)\rvert \leq \sum_k \mu_1(E_k) + \sum_k \mu_2(E_k) \leq \mu_1(X) + \mu_2(X)\]

Supremum নিলে \(\lVert\nu\rVert \leq \mu_1(X) + \mu_2(X)\)। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(h(x) = e^{ix}\) এবং \(d\nu = e^{ix}\,d\lambda\) on \([0, 2\pi]\)।

Theorem 9.10 প্রযোগ করি:

\[\lvert\nu\rvert(E) = \int_E \lvert e^{ix}\rvert\,d\lambda = \int_E 1\,d\lambda = \lambda(E)\]

তাই \(\lvert\nu\rvert = \lambda\) এবং:

\[\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert([0, 2\pi]) = \lambda([0, 2\pi]) = 2\pi\]

স্বজ্ঞা: \(e^{ix}\) সবসময় unit circle-এর উপর — modulus সর্বদা ১। তাই total variation ঠিক Lebesgue measure-এর মতো।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\{E\}\) হলো \(E\)-এর একটা (single-element) partition। তাই:

\[\lvert\nu\rvert(E) \geq \lvert\nu(E)\rvert\]

(সংজ্ঞা থেকে: supremum ওই একটা partition সহ।)

এছাড়া \(\lvert\nu\rvert\) countably additive (Theorem 9.11) এবং nonnegative। \(E \subseteq X\) হলে:

\[\lvert\nu\rvert(E) \leq \lvert\nu\rvert(X) = \lVert\nu\rVert\]

দুটো মিলিয়ে: \(\lvert\nu(E)\rvert \leq \lvert\nu\rvert(E) \leq \lVert\nu\rVert\)। \(\square\)

৭-নং সমাধান দেখাও

Subspace: Real measure-গুলো \(\mathcal{M}^\mathbb{C}(\mathcal{S})\)-এর একটা subspace — কারণ real + real = real, এবং real scalar × real = real।

Closed: ধরো \(\nu_n \in \mathcal{M}^\mathbb{R}(\mathcal{S})\) এবং \(\lVert\nu_n - \nu\rVert \to 0\)। প্রতিটা \(E\)-তে:

\[\lvert\nu_n(E) - \nu(E)\rvert \leq \lVert\nu_n - \nu\rVert \to 0\]

তাই \(\nu_n(E) \to \nu(E)\) (Exercise 6 ব্যবহার করে)। যেহেতু \(\nu_n(E) \in \mathbb{R}\) এবং limit সংজ্ঞিত, তাই \(\nu(E) \in \mathbb{R}\)। তাই \(\nu \in \mathcal{M}^\mathbb{R}(\mathcal{S})\)।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(X = \{1, 2, 3\}\), \(\nu(\{1\}) = 2\), \(\nu(\{2\}) = -1\), \(\nu(\{3\}) = 1\)।

Countable additivity থেকে \(\nu\) পুরোপুরি নির্ধারিত। \(\nu(X) = 2 + (-1) + 1 = 2\)।

Total variation: \(X = \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\}\) partition নিলে:

\[\lvert\nu(\{1\})\rvert + \lvert\nu(\{2\})\rvert + \lvert\nu(\{3\})\rvert = 2 + 1 + 1 = 4\]

এটাই maximum (finer partition নেই কারণ atoms)। তাই:

\[\lvert\nu\rvert(X) = \lVert\nu\rVert = 4\]

এছাড়া \(\lvert\nu\rvert(\{1\}) = 2\), \(\lvert\nu\rvert(\{2\}) = 1\), \(\lvert\nu\rvert(\{3\}) = 1\)।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Real measure (signed measure) এবং complex measure-এর সংজ্ঞা জানি — countable additivity, finite values, \(\nu(\emptyset) = 0\)।
[ ] Positive measure থেকে পার্থক্য বুঝি: signed measure ঋণাত্মক মান নিতে পারে, কিন্তু \(\pm\infty\) নেয় না।
[ ] \(d\nu = h\,d\mu\) ফর্মটা বুঝি — \(h \in L^1(\mu)\) থেকে signed বা complex measure তৈরি।
[ ] Total variation measure \(\lvert\nu\rvert\)-এর সংজ্ঞা জানি — supremum over finite partitions।
[ ] Theorem 9.10 জানি: \(d\nu = h\,d\mu\) হলে \(d\lvert\nu\rvert = \lvert h\rvert\,d\mu\)।
[ ] Total variation norm \(\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert(X)\) এবং এটা কেন finite।
[ ] \(\mathcal{M}^\mathbb{F}(\mathcal{S})\) একটা Banach space — প্রমাণের মূল step (Cauchy sequence → pointwise limit → norm convergence)।
[ ] Real measure \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) ধারণাটা বুঝি (Jordan decomposition-এর preview)।

➡️ পরের অধ্যায়: 6.2 — Decomposition: Hahn, Jordan, Lebesgue — প্রতিটা real measure-কে দুটো positive measure-এর বিয়োগফল হিসেবে লেখা যায় (Jordan decomposition); Hahn decomposition X-কে positive ও negative অংশে ভাগ করে; Lebesgue decomposition দুটো measure-কে absolutely continuous ও singular ভাগে বিভক্ত করে।