1.7 — Riemann সমাকলন ও তার সীমাবদ্ধতা¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: partition (বিভাজন) দিয়ে upper/lower sums (ঊর্ধ্ব/নিম্ন সমষ্টি) বানাতে শিখব; Riemann integral (রিমান সমাকলন)-এর সংজ্ঞা ও Fundamental Theorem of Calculus (ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য); তারপর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন — Riemann integral কোথায় ব্যর্থ হয়? Dirichlet function আর limit-এর সমস্যা — এটাই এই পুরো বইয়ের প্রেরণা।
উৎস (source): Riemann (Riemann integral); Dirichlet (counterexample)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
আগের অধ্যায়ে (1.6) আমরা derivative শিখলাম —"ঠিক এই মুহূর্তে কত দ্রুত বদলাচ্ছে"। এখন উল্টো প্রশ্ন:মোট কত পরিবর্তন হলো? বা — একটা curve-এর নিচে মোট কতটুকু ক্ষেত্রফল?
এই প্রশ্নের উত্তর হলো integral (সমাকলন)। এবং এই দুটো ধারণা — derivative ও integral — গভীরভাবে সংযুক্ত, সেটা দেখাবে Fundamental Theorem of Calculus।
কিন্তু এই অধ্যায়ের আসল উদ্দেশ্য আরো গভীর। আমরা দেখব যে Riemann integral, calculus-এর standard পদ্ধতি, কোথায় কোথায় হোঁচট খায়। সেই হোঁচটগুলোই এই পুরো বইয়ের — Part 3 পর্যন্ত — মূল চালিকাশক্তি। Riemann-এর সীমা বুঝলেই বোঝা যাবে Lebesgue integral কেন দরকার।
এই অধ্যায়ের আসল প্রশ্ন
Riemann integral কোথায় কাজ করে, আর কোথায় করে না? এবং সেই ব্যর্থতা থেকে Part 3-এর Lebesgue theory কীভাবে জন্ম নিল?
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
আয়তক্ষেত্র দিয়ে ক্ষেত্রফল¶
মনে করো \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\)। \([0,1]\)-এ curve-এর নিচের ক্ষেত্রফল মাপতে চাই।
সবচেয়ে সহজ উপায়: \([0,1]\)-কে কয়েকটা ছোট ভাগে ভাগ করো — এটাই partition (বিভাজন)। প্রতিটা ভাগে একটা করে আয়তক্ষেত্র বসাও। দুটো স্বাভাবিক পছন্দ:
- Lower sum (নিম্ন সমষ্টি): প্রতিটা sub-interval-এ সবচেয়ে ছোট উচ্চতার আয়তক্ষেত্র — area-কে under-estimate করে।
- Upper sum (ঊর্ধ্ব সমষ্টি): প্রতিটা sub-interval-এ সবচেয়ে বড় উচ্চতার আয়তক্ষেত্র — area-কে over-estimate করে।
partition যত সূক্ষ্ম হয়, এই দুটো estimate একে অপরের কাছে আসে। যদি শেষ পর্যন্ত মিলে যায় — সেটাই integral।
চিত্র ১: \(f(x)=x^2\)-এ \(n=6\) partition-এ lower sum (নীল, ছোট আয়তক্ষেত্র) ও upper sum (লাল, বড় আয়তক্ষেত্র)। সবুজ রং = true area। partition সূক্ষ্ম হলে দুটো sum-ই \(\frac{1}{3}\)-এর দিকে এগোয়।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Partition (বিভাজন) ও Riemann Sums¶
সংজ্ঞা: Partition
\(a, b \in \mathbb{R}\), \(a < b\)। \([a,b]\)-এর একটা partition হলো:
\(P = x_0, x_1, \ldots, x_n \quad \text{যেখানে } a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.\)
সংজ্ঞা: Lower ও Upper Riemann Sum
\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) bounded (পরিবদ্ধ) এবং \(P = x_0,\ldots,x_n\) একটা partition। তাহলে:
\(L(f,P,[a,b]) = \sum_{j=1}^{n}(x_j - x_{j-1})\inf_{[x_{j-1},x_j]} f\)
\(U(f,P,[a,b]) = \sum_{j=1}^{n}(x_j - x_{j-1})\sup_{[x_{j-1},x_j]} f.\)
এখানে প্রতিটা term = (প্রস্থ) × (নিম্নতম/সর্বোচ্চ উচ্চতা) = একটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
মূল বৈশিষ্ট্য: সবসময়
এবং partition সূক্ষ্ম করলে lower sum বাড়ে, upper sum কমে (কারণ আরো নির্ভুল estimate পাওয়া যায়)।
Lower ও Upper Riemann Integral¶
সব partition-এর উপর supremum/infimum নিলে:
সংজ্ঞা: Lower ও Upper Riemann Integral
\(L(f,[a,b]) = \sup_{P} L(f,P,[a,b])\)
\(U(f,[a,b]) = \inf_{P} U(f,P,[a,b]).\)
এবং সবসময় \(L(f,[a,b]) \le U(f,[a,b])\)।
Riemann Integrable ও Riemann Integral¶
সংজ্ঞা: Riemann Integrable (রিমান সমাকলনযোগ্য)
\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) bounded হলে \(f\) Riemann integrable (রিমান সমাকলনযোগ্য) যদি:
\(L(f,[a,b]) = U(f,[a,b]).\)
সেক্ষেত্রে Riemann integral (রিমান সমাকলন):
\(\int_a^b f = \int_a^b f(x)\,dx = L(f,[a,b]) = U(f,[a,b]).\)
উদাহরণ: \(f(x) = x^2\), \([0,1]\)। \(n\)-সমান ভাগের partition \(P_n\)-এর জন্য:
\(n\to\infty\) করলে দুটোই \(\frac{1}{3}\)-এ যায়। তাই \(\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}\).
Continuous ফাংশন Riemann Integrable¶
উপপাদ্য
প্রতিটা closed bounded interval-এ প্রতিটা continuous real-valued function Riemann integrable।
Proof sketch: \(f\) uniformly continuous (বদ্ধ অন্তরালে continuous ফাংশন সবসময়)। যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য, এমন সূক্ষ্ম partition পাওয়া যায় যে upper ও lower sum-এর পার্থক্য \(< (b-a)\varepsilon\)। তাই \(L = U\)। \(\square\)
Fundamental Theorem of Calculus (ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য)¶
এটা calculus-এর সবচেয়ে গভীর ফলাফল — derivative আর integral-কে একসাথে বাঁধে:
Fundamental Theorem of Calculus — Part 1
\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) Riemann integrable। Define করো \(F(t) = \int_a^t f(x)\,dx\)। যদি \(f\) কোনো \(t_0 \in [a,b]\)-এ continuous হয়, তাহলে \(F\) সেখানে differentiable এবং \(F'(t_0) = f(t_0)\)।
Fundamental Theorem of Calculus — Part 2
\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) continuous এবং \(G\) যদি \(f\)-এর কোনো antiderivative (পূর্ব-অন্তরজ) হয় (অর্থাৎ \(G' = f\)), তাহলে:
\(\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a).\)
স্বজ্ঞা: Part 1 বলছে "integral-এর derivative = মূল function"। Part 2 বলছে " definite integral গণনা করতে antiderivative খুঁজে বের করো।"---
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Worked Example: \(\int_0^\pi \sin x\,dx\)¶
\(\sin x\)-এর antiderivative হলো \(-\cos x\)। তাই:
মানে হলো \([0,\pi]\)-এ \(\sin\) curve-এর নিচের মোট ক্ষেত্রফল \(2\) বর্গ একক।
Analogy: জমির মাপ¶
একটা অনিয়মিত আকৃতির জমির ক্ষেত্রফল মাপতে চাইলে জমিটাকে ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রে ভাগ করো। কিছু আয়তক্ষেত্র একটু বেশি, কিছু একটু কম হবে। partition সূক্ষ্ম করলে error কমে। Riemann integral হলো এই process-এর mathematical limit।
Riemann Integral-এর সীমাবদ্ধতা — বইয়ের মূল প্রশ্ন¶
এতক্ষণ Riemann integral-এর শক্তি দেখলাম। এবার দেখি এটা কোথায় ব্যর্থ হয়।
সমস্যা ১: অনেক discontinuity থাকলে।
Dirichlet function (ডিরিখলেট ফাংশন) সংজ্ঞা করা হয়:
এই function \([0,1]\)-এ Riemann integrable নয়। কেন?
যেকোনো sub-interval \([x_{j-1}, x_j]\)-এ:
- একটা rational number আছে (কারণ rationals সর্বত্র ঘন — dense), তাই \(\sup f = 1\)।
- একটা irrational number আছে (কারণ irrationals-ও সর্বত্র ঘন), তাই \(\inf f = 0\)।
তাই যেকোনো partition \(P\)-এর জন্য:
সুতরাং \(L(f,[0,1]) = 0 \ne 1 = U(f,[0,1])\) — Riemann integrable নয়!
চিত্র ২: Dirichlet function-এর schematic। নীল বিন্দু = rational (f=1), লাল বিন্দু = irrational (f=0)। প্রতিটা sub-interval-এ upper sum = 1, lower sum = 0 — তাই integral সংজ্ঞায়িত হয় না।
কিন্তু এটা "disturbing" কারণ আসলে \([0,1]\)-এ rationals "অনেক কম"— irrationals-ই প্রায় সব। স্বজ্ঞায় মনে হয় integral \(0\) হওয়া উচিত। Riemann integral সেটা বলতে পারে না — এটা একটা বড় ব্যর্থতা।
সমস্যা ২: Limit-এর সাথে ভালো কাজ করে না।
মনে করো \(r_1, r_2, \ldots\) হলো \([0,1]\)-এর সব rational সংখ্যার একটা তালিকা। সংজ্ঞা করো:
প্রতিটা \(f_k\) Riemann integrable এবং \(\int_0^1 f_k = 0\) (কারণ finite number of points)।
কিন্তু \(f_k \to f\) pointwise, যেখানে \(f\) হলো Dirichlet function — যা Riemann integrable নয়!
Analysis-এ limit interchange (সীমা পরিবর্তন) একটা মৌলিক চাহিদা। Riemann integral সেটা পূরণ করতে পারে না।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
\(\int_a^b f\) সবসময় = "ক্ষেত্রফল" ভাবা। \(f\) যদি কোথাও ঋণাত্মক হয়, Riemann integral signed area দেয় — geometrical area পেতে \(\int_a^b |f|\) নিতে হয়।
-
Lower = Upper সবসময় ভাবা। Dirichlet function দেখাচ্ছে এটা মিথ্যা। Lower ≤ Upper সবসময়, কিন্তু সমান তখনই যখন function Riemann integrable।
-
Riemann integrable মানে continuous ভাবা। Monotone (একদিকমুখী) functions — এমনকি countably infinite discontinuities সহ — Riemann integrable হতে পারে। Continuous না হলেও integrable হওয়া যায়।
-
FTC Part 2 ব্যবহারে antiderivative ভুল করা। \(\int_a^b f = G(b) - G(a)\)-এ \(G' = f\) হওয়া চাই সব \([a,b]\)-এ। Discontinuous \(f\)-এর জন্য সতর্ক থাকো।
-
Riemann integral-এর সীমাবদ্ধতা না জানা। অনেকেই Riemann integral-কে "সব সমস্যার সমাধান" মনে করেন। Dirichlet function এবং limit-এর উদাহরণ মনে রাখলে এই ভুল হবে না।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
- \(f:[0,2]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3\)। যেকোনো partition \(P\)-এর জন্য \(L(f,P,[0,2])\) ও \(U(f,P,[0,2])\) বের করো। Riemann integrable কি? \(\int_0^2 f\) কত?
- \(f(x) = x\) ধরো, \([0,1]\)-এ। \(n\)-সমান partition \(P_n\) ব্যবহার করে lower ও upper sum বের করো এবং দেখাও \(\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}\)।
- সংজ্ঞা থেকে (FTC ব্যবহার না করে) দেখাও: \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) bounded হলে \(L(f,[a,b]) \le U(f,[a,b])\)।
- FTC Part 2 ব্যবহার করে গণনা করো: \(\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)।
- Explain করো: Dirichlet function-এ যেকোনো partition-এর জন্য upper sum = 1 এবং lower sum = 0 কেন?
- \(f(x) = |x|\) ধরো, \([-1, 2]\)-এ। \(\int_{-1}^2 |x|\,dx\) গণনা করো। ক্ষেত্রফলের স্বজ্ঞার সাথে মেলাও।
- মনে করো \(f,g:[a,b]\to\mathbb{R}\) উভয়ই Riemann integrable এবং \(f(x) \le g(x)\) সব \(x\)-এ। প্রমাণ করো \(\int_a^b f \le \int_a^b g\)।
- Riemann integral-এর দুটো মূল সীমাবদ্ধতা নিজের ভাষায় ব্যাখ্যা করো — কেন এই বইয়ের Part 3-এ Lebesgue theory দরকার?
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = 3\) constant function। যেকোনো sub-interval \([x_{j-1}, x_j]\)-এ \(\inf f = \sup f = 3\)।
তাই যেকোনো partition \(P\)-এর জন্য:
\(L(f,P,[0,2]) = \sum_{j=1}^n (x_j - x_{j-1}) \cdot 3 = 3 \cdot (2-0) = 6.\)
\(U(f,P,[0,2]) = 6 \text{ (একই কারণে)}.\)
\(L = U = 6\) → Riemann integrable। \(\int_0^2 3\,dx = 6\) ✓ (আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = প্রস্থ × উচ্চতা = 2 × 3)।
২-নং সমাধান দেখাও
\(P_n = 0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \ldots, 1\)। প্রতিটা sub-interval \([\frac{j-1}{n}, \frac{j}{n}]\)-এ \(f(x) = x\) একদিকমুখী (increasing)।
\(\inf_{[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}]} x = \frac{j-1}{n}, \quad \sup_{[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}]} x = \frac{j}{n}.\)
\(L(f,P_n,[0,1]) = \sum_{j=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{j-1}{n} = \frac{1}{n^2}\sum_{j=0}^{n-1} j = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}{2} = \frac{n-1}{2n}.\)
\(U(f,P_n,[0,1]) = \sum_{j=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{j}{n} = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n}.\)
\(n\to\infty\): \(L \to \frac{1}{2}\), \(U \to \frac{1}{2}\)। তাই \(\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}\) ✓।
৩-নং সমাধান দেখাও
যেকোনো partition \(P\) ও \(P'\)-এর জন্য, merged partition \(P'' = P \cup P'\) বানাও।
(সূক্ষ্ম partition ছোট upper sum, বড় lower sum দেয়) থেকে:
\(L(f,P,[a,b]) \le L(f,P'',[a,b]) \le U(f,P'',[a,b]) \le U(f,P',[a,b]).\)
তাই \(L(f,P,[a,b]) \le U(f,P',[a,b])\) যেকোনো দুটো partition \(P, P'\)-এর জন্য।
Supremum ও infimum নিয়ে: \(L(f,[a,b]) = \sup_P L(\cdot) \le \inf_{P'} U(\cdot) = U(f,[a,b])\)। \(\square\)
৪-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = x^{-1/2}\)-এর antiderivative: \(G(x) = 2\sqrt{x}\) (কারণ \(G'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\))।
\(\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = G(4) - G(1) = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2.\)
৫-নং সমাধান দেখাও
যেকোনো partition-এ যেকোনো sub-interval \([x_{j-1}, x_j]\)-এ (\(x_{j-1} < x_j\)):
-
Rationals dense (মূলদ সংখ্যা ঘন): প্রতিটা nonempty open interval-এ একটা rational আছে। তাই \([x_{j-1}, x_j]\)-এ একটা rational \(q\) আছে, এবং \(f(q) = 1\)। সুতরাং \(\sup_{[x_{j-1},x_j]} f \ge 1\)। কিন্তু \(f \le 1\) সর্বত্র, তাই \(\sup = 1\)।
-
Irrationals dense (অমূলদ সংখ্যা ঘন): একইভাবে একটা irrational \(q'\) আছে, \(f(q') = 0\)। তাই \(\inf = 0\)।
\(U(f,P,[0,1]) = \sum_j (x_j - x_{j-1}) \cdot 1 = 1.\)
\(L(f,P,[0,1]) = \sum_j (x_j - x_{j-1}) \cdot 0 = 0.\)
সব partition-এ এটাই হয়। তাই \(L = 0 \ne 1 = U\) → not Riemann integrable। \(\square\)
৬-নং সমাধান দেখাও
\(|x| = -x\) যখন \(x < 0\), এবং \(|x| = x\) যখন \(x \ge 0\)।
\(\int_{-1}^2 |x|\,dx = \int_{-1}^0 (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx.\)
\(\int_{-1}^0 (-x)\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.\)
\(\int_0^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2 - 0 = 2.\)
মোট: \(\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)।
স্বজ্ঞা: \([-1,0]\)-এ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}\); \([0,2]\)-এ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = 2\)। মোট \(\frac{5}{2}\) ✓।
৭-নং সমাধান দেখাও
\(f \le g\) তাই যেকোনো \(A \subseteq [a,b]\)-এ \(\inf_A f \le \inf_A g\) এবং \(\sup_A f \le \sup_A g\)।
তাই যেকোনো partition \(P\)-এর জন্য:
\(L(f,P,[a,b]) \le L(g,P,[a,b]).\)
Supremum নিলে: \(L(f,[a,b]) \le L(g,[a,b])\)।
\(f\) ও \(g\) উভয়ই Riemann integrable, তাই \(\int_a^b f = L(f,[a,b]) \le L(g,[a,b]) = \int_a^b g\)। \(\square\)
৮-নং সমাধান দেখাও
সীমাবদ্ধতা ১: অনেক discontinuity। Riemann integral কাজ করে মূলত "কম discontinuity"-র functions-এ। Dirichlet function (প্রতিটা বিন্দুতে discontinuous) Riemann integrable নয়। অথচ irrational-সংখ্যার " বেশিরভাগ"-এর উপর \(f = 0\) তাই integral \(0\) হওয়া উচিত — Riemann সেটা বলতে পারে না।
সীমাবদ্ধতা ২: Limit-এর সাথে সমস্যা। Riemann integrable functions-এর pointwise limit Riemann integrable নাও হতে পারে। Analysis-এ সীমা পরিবর্তন (\(\lim \int f_k = \int \lim f_k\)) একটা মৌলিক চাহিদা — Riemann সেটা guarantee করে না।
Part 3-এ সমাধান: Lebesgue measure (লেবেশগ পরিমাপ) দিয়ে আমরা "measure-zero" set-কে ignore করতে পারব। Dirichlet function Lebesgue integrable হবে এবং তার integral = 0। Lebesgue theory limit-এর সাথেও নিখুঁতভাবে কাজ করে — Dominated Convergence Theorem সেটা নিশ্চিত করে।
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Partition (বিভাজন) কী — formal definition বলতে পারি।
- [ ] Lower sum (নিম্ন সমষ্টি) ও Upper sum (ঊর্ধ্ব সমষ্টি)-এর সূত্র লিখতে পারি।
- [ ] Riemann integrable: \(L = U\) — এই সংজ্ঞা বলতে পারি এবং \(\int_a^b f\) কীভাবে define হয় জানি।
- [ ] Continuous functions Riemann integrable — কেন, একটু বলতে পারি।
- [ ] Fundamental Theorem of Calculus Part 1 ও Part 2 বলতে পারি এবং simple integral গণনা করতে পারি।
- [ ] Dirichlet function (ডিরিখলেট ফাংশন) কেন Riemann integrable নয় — ব্যাখ্যা দিতে পারি।
- [ ] Riemann integral-এর দুটো সীমাবদ্ধতা বলতে পারি (discontinuity, limit)।
- [ ] কেন এই সীমাবদ্ধতা থেকে Lebesgue theory দরকার — এটা বোঝাতে পারি।
Part 1 (Real Numbers & Analysis) শেষ। এই পর্বে আমরা দেখলাম বাস্তব সংখ্যার completeness থেকে শুরু করে derivative ও integral পর্যন্ত elementary analysis-এর মূল কাঠামো। কিন্তু শেষে এসে বুঝলাম Riemann integral একটা গুরুত্বপূর্ণ সীমা টেনে দেয়।
Part 3-এ আমরা এর সমাধান Lebesgue measure দিয়ে পাব — সেই যাত্রার আগে Part 2-এ আমরা শিখব Metric Space, যা আরো বিমূর্ত ও শক্তিশালী ভিত্তি তৈরি করবে।
➡️ পরের অধ্যায়: 2.1 — Metric Space: সংজ্ঞা ও উদাহরণ — Part 2 শুরু।