3.6 — Measurable Function-এর Convergence¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: pointwise convergence (বিন্দুগত অভিসৃতি) ও uniform convergence (সমরূপ অভিসৃতি)-এর সূক্ষ্ম পার্থক্য; almost everywhere (প্রায় সর্বত্র, a.e.) ধারণা; Egorov-এর theorem (a.e. convergence প্রায়-uniform); Luzin-এর theorem (measurable function প্রায় continuous); এবং simple function (সরল ফাংশন) দিয়ে যেকোনো measurable function-কে approximate করা।

উৎস (source): Egorov ও Luzin।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

Analysis-এ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নগুলোর একটা:limit আর অন্যান্য অপারেশন কি বদলাবদলি করা যায়?

যেমন: \(\lim_{n\to\infty} \int f_n = \int \lim_{n\to\infty} f_n\) কি? এর উত্তর নির্ভর করে \(f_n\) কীভাবে converge করছে তার উপর।

Riemann integration-এর বড় সমস্যা ছিল: function-এর sequence-এর pointwise limit Riemann integrable নাও হতে পারে (অধ্যায় 1.7)। Lebesgue integration এটা ঠিক করে — কিন্তু তার জন্য আগে convergence-এর বিভিন্ন ধরন বুঝতে হবে।

এই অধ্যায়ের দুটো বড় theorem:

Egorov (এগোরভ): Finite measure space-এ almost everywhere convergence "প্রায়" uniform।
Luzin (লুজিন): যেকোনো measurable function "প্রায়" continuous।

দুটোই বলছে: measure theory-তে "প্রায় সব জায়গায়" মানে অনেক কিছু — শুধু ছোট একটা bad set বাদ দিলেই সব ভালো হয়ে যায়।

এই অধ্যায়ের মূল বার্তা

"Almost everywhere" (প্রায় সর্বত্র) ধারণাটা measure theory-কে Riemann-এর চেয়ে অনেক শক্তিশালী করে। ছোট set-এ যা হোক, measure-এর দৃষ্টিতে সেটা অদৃশ্য।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Pointwise vs Uniform: quantifier-এর পার্থক্য¶

চিত্র: f_n=x^n on [0,1]: each x converges but at different speeds — not uniform

মনে করো \(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\)। Pointwise limit \(f(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0,1) \\ 1 & x = 1 \end{cases}\)।

Pointwise (বিন্দুগত): প্রতিটা নির্দিষ্ট \(x\)-এ \(f_n(x) \to f(x)\)। গতির হার \(x\)-ভেদে আলাদা।
Uniform (সমরূপ): \(\sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0\) — সব \(x\)-এ একসাথে, একই গতিতে।

\(f_n(x) = x^n\)-এর ক্ষেত্রে: \(x = 0.999\) তে convergence খুব ধীর, \(x = 0.5\) তে দ্রুত। তাই pointwise কিন্তু NOT uniform।

f_n(x) = x^n on [0,1]: pointwise convergence দেখাচ্ছে, uniform নয় চিত্র ১: \(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\) — ক্রমশ ঘন নীল curves দেখাচ্ছে \(n\) বাড়ার সাথে সাথে limit function \(f\) (লাল)-এর দিকে convergence। ডান panel: \(\sup_x |f_n(x) - f(x)| = 1\) সব \(n\)-এ — uniform convergence নেই। কিন্তু \([0, 1-\varepsilon]\)-এ cut করলে convergence uniform হয় — এটাই Egorov-এর idea।

Almost Everywhere (প্রায় সর্বত্র)¶

চিত্র: a.e. convergence: f_n → 0 everywhere except the measure-zero set N = {0}

Measure theory-তে "ছোট" মানে "measure zero"। তাই:

সংজ্ঞা: Almost Everywhere (a.e.)

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space। একটা property almost everywhere (a.e.) বা প্রায় সর্বত্র সত্য যদি এমন একটা set \(N \in \mathcal{S}\) থাকে যাতে \(\mu(N) = 0\) এবং \(N\)-এর বাইরে property-টা সত্য।

উদাহরণ: \(f_n \to f\) pointwise a.e. মানে এমন একটা \(N\) আছে যেখানে \(\mu(N) = 0\) এবং \(x \notin N\) হলে \(f_n(x) \to f(x)\)।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Pointwise ও Uniform Convergence-এর formal সংজ্ঞা¶

চিত্র: Uniform convergence: entire graph of f_n lies inside an ε-band around f

সংজ্ঞা

\(X\) একটা set, \(f_1, f_2, \ldots : X \to \mathbb{R}\)।

\(f_n\) converges pointwise to \(f\) on \(X\) যদি: প্রতিটা \(x \in X\)-এর জন্য \(\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)\)।
\(f_n\) converges uniformly to \(f\) on \(X\) যদি: \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists N\) এমন যে \(n \geq N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) সব \(x \in X\)-এর জন্য।

পার্থক্য: pointwise-এ \(N\) নির্ভর করতে পারে \(x\)-এর উপর; uniform-এ \(N\) সব \(x\)-এর জন্য একটাই।

মূল ধর্ম: Uniform limit of continuous functions is continuous (কিন্তু pointwise limit সবসময় continuous নয় — উদাহরণ: \(x^n\))।

Egorov's Theorem (এগোরভের উপপাদ্য)¶

চিত্র: Egorov: remove small bad set (measure < δ); uniform convergence on E = [0,1-δ]

উপপাদ্য: Egorov's Theorem

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(\mu(X) < \infty\)। \(f_1, f_2, \ldots : X \to \mathbb{R}\) measurable functions যারা \(f : X \to \mathbb{R}\)-তে pointwise converge করে।

তাহলে: প্রতিটা \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য একটা \(E \in \mathcal{S}\) আছে যাতে:

\(\mu(X \setminus E) < \varepsilon\)
\(f_1, f_2, \ldots\) uniformly converge to \(f\) on \(E\)।

স্বজ্ঞা: Pointwise convergence প্রায়-uniform। শুধু ছোট একটা set (measure \(< \varepsilon\)) বাদ দিলে বাকি সবখানে convergence uniform।

Proof sketch: Fix \(\varepsilon > 0\)। প্রতিটা \(n \in \mathbb{Z}^+\)-এর জন্য define করো:

\[A_{m,n} = \bigcap_{k=m}^{\infty} \left\{x \in X : |f_k(x) - f(x)| < \frac{1}{n}\right\}\]

Pointwise convergence মানে \(\bigcup_{m=1}^{\infty} A_{m,n} = X\)। Continuity from below দিয়ে: \(\mu(A_{m_n, n}) \to \mu(X)\), তাই এমন \(m_n\) পাওয়া যায় যাতে \(\mu(X \setminus A_{m_n,n}) < \varepsilon/2^n\)।

\(E = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{m_n, n}\) নাও। তাহলে:

\[\mu(X \setminus E) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(X \setminus A_{m_n,n}) < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon\]

এবং \(E\)-তে \(f_n \to f\) uniformly। \(\square\)

সতর্কতা: \(\mu(X) < \infty\) শর্ত অপরিহার্য। \(X = \mathbb{R}\), \(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) নাও — pointwise \(\to 0\) কিন্তু কোনো finite-complement set-এ uniform নয়।

Luzin's Theorem (লুজিনের উপপাদ্য)¶

চিত্র: Luzin: measurable g is continuous on closed F = R minus small open G covering Q

উপপাদ্য: Luzin's Theorem

\(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) Borel measurable।

তাহলে: প্রতিটা \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য একটা closed set \(F \subseteq \mathbb{R}\) আছে যাতে:

\(|\mathbb{R} \setminus F| < \varepsilon\)
\(g|_F\) (মানে \(g\) restricted to \(F\)) continuous।

স্বজ্ঞা: যেকোনো measurable function "প্রায়" continuous — ছোট একটা set বাদ দিলে continuous।

গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা: \(g|_F\) continuous মানে \(F\)-এ \(g\) continuous, কিন্তু এর মানে এই নয় যে \(g\) পুরো \(\mathbb{R}\)-এ \(F\)-এর বিন্দুগুলোতে continuous। উদাহরণ: \(\chi_{\mathbb{Q}}|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}\) trivially continuous কিন্তু \(\chi_{\mathbb{Q}}\) নিজে কোথাও continuous নয়।

Proof sketch:

প্রথমে simple functions-এর জন্য prove করো (Borel sets approximate করা যায়, )।
তারপর general measurable function-কে simple functions-এর sequence হিসেবে লেখো।
Egorov-এর theorem ব্যবহার করো: ছোট set বাদ দিলে simple functions uniformly converge করে।
Uniform limit of continuous functions is continuous ব্যবহার করো। \(\square\)

Simple Function দিয়ে Approximation¶

সংজ্ঞা: Simple Function (সরল ফাংশন)

একটা ফাংশন simple যদি এটা শুধুমাত্র finitely many values নেয়।

Standard form: \(f = c_1 \chi_{E_1} + c_2 \chi_{E_2} + \cdots + c_n \chi_{E_n}\) যেখানে \(E_k = f^{-1}(\{c_k\})\)।

উপপাদ্য: Simple Function Approximation

\((X, \mathcal{S})\) measurable space, \(f : X \to [-\infty, \infty]\) measurable।

তাহলে simple measurable functions \(f_1, f_2, \ldots\)-এর একটা sequence আছে যাতে:

(a) প্রতিটা \(f_k\) simple ও measurable।
(b) \(|f_k(x)| \leq |f_{k+1}(x)| \leq |f(x)|\) সব \(x\)-এর জন্য।
(c) \(\lim_{k\to\infty} f_k(x) = f(x)\) প্রতিটা \(x\)-এর জন্য।
(d) যদি \(f\) bounded হয়, তাহলে \(f_k \to f\) uniformly।

গঠন: \([n, n+1)\)-কে \(2^k\) সমান ভাগে ভাগ করো। \(f(x) \in [0,k]\)-এর জন্য যে sub-interval-এ \(f(x)\) পড়ে তার left endpoint = \(f_k(x)\)।

গুরুত্ব: এই theorem বলছে যেকোনো measurable function-কে finite-valued functions দিয়ে approximate করা যায়। Integration theory-র ভিত্তি এখানে।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: Egorov-এর theorem¶

একটা ছাত্রদের ক্লাস। প্রতিটা ছাত্র (= \(x\)) কোনো না কোনো সময় (= \(N(x)\)) পরীক্ষায় ভালো করে। কিন্তু "ভালো করার" সময়টা ছাত্রভেদে আলাদা — এটা pointwise। Egorov বলছে: ক্লাসের এক সামান্য অংশ বাদ দিলে বাকিরা "একসাথে", " একই সময়ে"ভালো করে — এটা uniform।

Worked example ১: \(f_n = x^n\) on \([0,1]\), Egorov¶

\(\mu =\) Lebesgue measure on \([0,1]\), \(\mu([0,1]) = 1 < \infty\)।

\(f_n(x) = x^n \to f(x)\) pointwise, যেখানে \(f(x) = 0\) (\(x < 1\)), \(f(1) = 1\)।

Egorov দিলে: যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য \(E = [0, 1-\delta]\) নাও (উপযুক্ত \(\delta\))। \(\lambda([0,1] \setminus E) = \delta < \varepsilon\) এবং \(x^n \to 0\) uniformly on \([0, 1-\delta]\) (কারণ \(\sup_{x \in [0, 1-\delta]} x^n = (1-\delta)^n \to 0\))।

Worked example ২: Almost everywhere convergence¶

\(f_n = n \chi_{[0, 1/n]}\) on \([0,1]\)।

Pointwise: \(x > 0\)-এর জন্য বড় \(n\)-এ \(f_n(x) = 0\)। \(x = 0\)-এর জন্য \(f_n(0) = n \to \infty\)।

তাই \(f_n \to 0\) a.e. on \([0,1]\) — শুধু \(\{0\}\) (measure zero) তে ভিন্ন।

Worked example ৩: Simple function approximation¶

\(f(x) = \sqrt{x}\) on \([0,4]\)।

\(k=2\)-এর জন্য: \([0,4]\)-কে \(4 \cdot 2^2 = 16\) ভাগে ভাগ করো। যেমন \(f_2(x) = m/4\) যদি \(\sqrt{x} \in [m/4, (m+1)/4)\)।

উদাহরণ: \(x = 2.25\), \(\sqrt{2.25} = 1.5 \in [1.5, 1.75)\), তাই \(f_2(2.25) = 1.5\)। Error: \(|f_2 - f| \leq 1/4\).

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"a.e. convergence মানে uniform convergence" ভাবা। \(f_n = x^n\) on \([0,1]\): a.e. convergence আছে (\(x=1\) ছাড়া) কিন্তু uniform convergence নেই পুরো \([0,1]\)-এ।
Egorov-এ \(\mu(X) < \infty\) শর্ত ভুলে যাওয়া। \(X = \mathbb{R}\), \(f_n = \chi_{[n,n+1]}\): pointwise \(\to 0\) কিন্তু Egorov প্রযোজ্য নয়।
Luzin-এ "continuous on \(F\)" মানে "globally continuous" ভাবা। \(g|_F\) continuous মানে শুধু \(F\)-এর ভেতরে continuous, পুরো real line-এ নয়।
Simple function মানে step function ভাবা। Simple function যেকোনো finite range নিতে পারে — intervals নয়, arbitrary measurable sets।
"a.e. সমান " মানে"সর্বত্র সমান" ভাবা। \(f = g\) a.e. মানে \(f(x) \neq g(x)\) শুধু measure-zero set-এ। Integration-এ তারা একই, কিন্তু pointwise ভিন্ন হতে পারে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

\(f_n(x) = \frac{1}{nx}\) on \((0,1]\)। দেখাও \(f_n \to 0\) pointwise কিন্তু NOT uniformly।
\(f_n(x) = nx(1-x)^n\) on \([0,1]\)। \(f_n \to 0\) pointwise কিনা? Uniformly কিনা? \(\sup_{x} f_n(x)\) হিসাব করো।
\(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) on \(\mathbb{R}\), \(\mu\) = Lebesgue measure। দেখাও \(f_n \to 0\) pointwise। Egorov কেন প্রযোজ্য নয়? এমন \(E\) কি আছে যেখানে \(\mu(\mathbb{R} \setminus E) < 1\) এবং \(f_n \to 0\) uniformly on \(E\)?
\((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(\mu(X) < \infty\)। \(f_n \to f\) a.e. এবং \(f_n \to g\) a.e.। প্রমাণ করো \(f = g\) a.e.।
\(f : [0,1] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\) (Dirichlet function)। Simple functions দিয়ে \(f\)-কে approximate করো। \(f\)-কে simple function হিসেবে express করো।
Egorov-এর theorem ব্যবহার করে: \([0,1]\)-এ \(f_n(x) = x^n\), \(\varepsilon = 0.01\)। এমন \(E \subseteq [0,1]\) বের করো যাতে \(\lambda([0,1] \setminus E) < 0.01\) এবং \(f_n \to 0\) uniformly on \(E\)।
প্রমাণ করো: \(f_n \to f\) uniformly on \(X\) হলে \(f_n \to f\) pointwise on \(X\)। বিপরীত কি সত্য?
Luzin-এর theorem-এর একটা application: \(f(x) = \chi_{\mathbb{Q}}(x)\)। \(\varepsilon = 0.1\) নিলে এমন closed \(F \subseteq \mathbb{R}\) কি আছে যাতে \(|\mathbb{R} \setminus F| < 0.1\) এবং \(f|_F\) continuous? কেমন হবে \(F\)?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Pointwise: যেকোনো \(x \in (0,1]\)-এর জন্য \(f_n(x) = 1/(nx) \to 0\) কারণ \(n \to \infty\)। ✓

NOT uniform: \(\sup_{x \in (0,1]} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in (0,1]} \frac{1}{nx}\)।

\(x \to 0^+\) করলে \(1/(nx) \to \infty\), তাই \(\sup = \infty\) সব \(n\)-এর জন্য।

Uniform convergence-এর জন্য দরকার \(\sup \to 0\) — কিন্তু এখানে \(\sup = \infty\)। তাই NOT uniform।

২-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = nx(1-x)^n\)।

Pointwise: \(x = 0\)-এ \(f_n(0) = 0\)। \(x \in (0,1]\)-এর জন্য: \((1-x)^n \to 0\) exponentially, কিন্তু factor \(nx\) grows polynomially। L'Hôpital বা standard limit: \(n(1-x)^n \to 0\) for \(x \in (0,1)\)। তাই \(f_n \to 0\) pointwise। \(x = 1\)-এ \(f_n(1) = 0\)। ✓

Sup: \(f_n'(x) = n(1-x)^n + nx \cdot n(1-x)^{n-1}(-1) = n(1-x)^{n-1}[(1-x) - nx]\)।

Critical point: \((1-x) - nx = 0 \Rightarrow x^* = 1/(n+1)\)।

\(f_n(1/(n+1)) = n \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \approx \frac{1}{e}\) (যখন \(n \to \infty\))।

তাই \(\sup_x f_n(x) \to 1/e \neq 0\) — NOT uniform। ✓

৩-নং সমাধান দেখাও

Pointwise: যেকোনো \(x \in \mathbb{R}\)-এর জন্য, বড় \(n\)-এ \(x \notin [n, n+1]\), তাই \(f_n(x) = 0\)। ✓

Egorov প্রযোজ্য নয়: \(\mu(\mathbb{R}) = \infty\), শর্ত \(\mu(X) < \infty\) পূরণ হয় না।

এমন \(E\) নেই: \(f_n \to 0\) uniformly on \(E\) মানে \(\sup_{x \in E} f_n(x) \to 0\)। কিন্তু \(E\) infinite হলে \(E \cap [n, n+1] \neq \emptyset\) infinitely often, তাই \(\sup_{E} f_n = 1\) infinitely often। কিন্তু যদি \(E\) finite measure-r হয়, তাহলে \(E \cap [n, n+1] = \emptyset\) বড় \(n\)-এ — তখন uniform। তাই \(E = [-M, M]\) (কোনো \(M\) বড় হলে) কাজ করে, কিন্তু \(\mu(\mathbb{R} \setminus E) = \infty > 1\)।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(f_n \to f\) a.e.: এমন \(N_1\) আছে যাতে \(\mu(N_1) = 0\) এবং \(x \notin N_1 \Rightarrow f_n(x) \to f(x)\)। \(f_n \to g\) a.e.: এমন \(N_2\) আছে যাতে \(\mu(N_2) = 0\) এবং \(x \notin N_2 \Rightarrow f_n(x) \to g(x)\)।

\(N = N_1 \cup N_2\) নাও। \(\mu(N) \leq \mu(N_1) + \mu(N_2) = 0\)।

\(x \notin N\) হলে \(f_n(x) \to f(x)\) এবং \(f_n(x) \to g(x)\)। Limit unique, তাই \(f(x) = g(x)\)।

তাই \(\{x : f(x) \neq g(x)\} \subseteq N\), এবং \(\mu(N) = 0\), অর্থাৎ \(f = g\) a.e.। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

Dirichlet function \(f = \chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}\)।

\(f\) ইতিমধ্যেই একটা simple function! এটা দুটো মান নেয়: \(0\) এবং \(1\)।

Standard form: \(f = 1 \cdot \chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]} + 0 \cdot \chi{([0,1] \setminus \mathbb{Q})}= \chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}\)।

Measurable: \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) countable, তাই Borel (এবং Lebesgue measurable)।

Constant approximation: \(f_k = f\) সব \(k\)-এর জন্য — trivial approximation।

আরো interesting: construction দিলে \(k\)-তম step-এ \(f_k\) হবে \(0\) এবং \(1\) মানের indicator — \(f\) নিজেই।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = x^n \to f(x)\) (যেখানে \(f(x) = 0\) on \([0,1)\), \(f(1) = 1\))।

\(E = [0, 1-\delta]\) নাও যেখানে \(\delta\) ছোট।

\(\lambda([0,1] \setminus E) = \lambda((1-\delta, 1]) = \delta\)।

\(\delta < 0.01\) চাই — তাই \(\delta = 0.005\) নাও, \(E = [0, 0.995]\)।

Uniform convergence on \(E\): \(\sup_{x \in [0, 0.995]} |x^n - 0| = (0.995)^n \to 0\) as \(n \to \infty\)। ✓

\(\lambda([0,1] \setminus E) = 0.005 < 0.01\)। ✓

৭-নং সমাধান দেখাও

Uniform \(\Rightarrow\) Pointwise: Uniform convergence মানে \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists N\) (same for all \(x\)): \(n \geq N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) সব \(x\)-এর জন্য। এই \(N\) বিশেষ \(x\)-এর জন্যও কাজ করে — তাই pointwise। ✓

Pointwise \(\not\Rightarrow\) Uniform: \(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\): pointwise converges কিন্তু NOT uniformly (example ১ থেকে আইডিয়া, \(\sup_{x \in [0,1]} x^n = 1 \not\to 0\))।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f = \chi_{\mathbb{Q}}\), \(\varepsilon = 0.1\)।

Luzin বলছে: হ্যাঁ, এমন closed \(F\) আছে।

কেমন হবে \(F\)? \(F\) মূলত \(\mathbb{R} \setminus G\) যেখানে \(G\) একটা open set, \(|G| < 0.1\)।

একটা explicit construction: \(\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \ldots\}\)। প্রতিটা \(q_n\)-এর চারদিকে interval \((q_n - \varepsilon/2^{n+2}, q_n + \varepsilon/2^{n+2})\) নাও। \(G = \bigcup_n (\ldots)\), \(|G| < \varepsilon/2\)। \(F = \mathbb{R} \setminus G\) closed।

\(F \cap \mathbb{Q} = \emptyset\) (কারণ সব rationals \(G\)-তে)। তাই \(f|_F = 0\) — trivially continuous। ✓

\(|\mathbb{R} \setminus F| = |G| < \varepsilon\)। ✓

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Pointwise vs Uniform convergence — quantifier-এর পার্থক্য বলতে পারি; \(f_n = x^n\) উদাহরণ দিয়ে বোঝাতে পারি।
[ ] Almost everywhere (a.e.) — সংজ্ঞা এবং \(f_n \to f\) a.e. মানে কী বলতে পারি।
[ ] Egorov's theorem — statement, \(\mu(X) < \infty\) শর্ত কেন লাগে, \(x^n\) উদাহরণে প্রয়োগ।
[ ] Luzin's theorem — statement, "continuous on \(F\)" মানে কী আর মানে না।
[ ] Simple function approximation — সংজ্ঞা এবং construction-এর idea বলতে পারি।
[ ] Uniform limit of continuous functions is continuous — কিন্তু pointwise limit নয়।
[ ] \(f = g\) a.e. হলে integration-এ তারা সমান — পরের অধ্যায়ে কাজে লাগবে।

➡️ পরের অধ্যায়: 3.7 — Integral ও Monotone Convergence — Lebesgue integral-এর সংজ্ঞা (নন-নেগেটিভ থেকে শুরু), Monotone Convergence Theorem (MCT), এবং কেন Lebesgue integral limit আর integral বদলাবদলি করতে পারে যেখানে Riemann পারেনি।