6.6 — Self-adjoint, Normal, Unitary Operator¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: self-adjoint (স্বসহবর্তী) operator $T = T^*$ এবং তার spectrum কেন শুধু real line-এ থাকে; normal (স্বাভাবিক) operator $TT^* = T^*T$; unitary (একক) operator $U^*U = UU^* = I$ এবং তার spectrum unit circle-এ; isometry (সমদূরত্ব); কেন self-adjoint ও unitary উভয়ই normal-এর বিশেষ ক্ষেত্র; এবং এই ত্রিস্তরীয় শ্রেণিবিন্যাসের গভীর কারণ।

উৎস (source): Hilbert, von Neumann।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আগের অধ্যায়ে দেখলাম spectrum $\sigma(T)$ complex plane $\mathbb{C}$-এর যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে — শুধু একটা disk-এর ভেতরে সীমাবদ্ধ। কিন্তু বাস্তবে physics ও mathematics-এ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ operators-গুলোর spectrum অনেক বেশি সুনির্দিষ্ট জায়গায় বসে।

কিছু চেনা উদাহরণ:

Quantum mechanics: Hamiltonian operator energy eigenvalue দেয় — সবসময় real (বাস্তব সংখ্যা)। কারণ Hamiltonian self-adjoint।
Rotation: কোনো rotation (ঘূর্ণন) vector-এর length (দৈর্ঘ্য) বদলায় না। Spectrum unit circle-এ। কারণ rotation unitary।
Signal processing (সংকেত প্রক্রিয়াকরণ): Fourier transform একটা unitary operator — energy conserve করে।
Symmetric matrices: real symmetric matrix-এর eigenvalue সর্বদা real — কারণ এটা self-adjoint।
Differential equations: Hermitian differential operators-এর spectrum real → stable oscillation modes।

এই অধ্যায়ে আমরা দেখব: operator-এর "গঠন" (adjoint-এর সাথে সম্পর্ক) নির্ধারণ করে তার spectrum কোথায় বসে।

মূল স্বজ্ঞা

$T = T^*$ (self-adjoint) → spectrum $\subseteq \mathbb{R}$ — পরিমাপের মান বাস্তব
$U^*U = I$ (unitary) → spectrum $\subseteq$ unit circle — ঘূর্ণন, শক্তি অক্ষুণ্ণ
$TT^* = T^*T$ (normal) → সবচেয়ে সাধারণ "ভালো" শ্রেণি

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Self-adjoint কী?¶

$T = T^*$ মানে $\langle Tf, g\rangle = \langle f, Tg\rangle$ সব $f, g \in V$-এর জন্য। এটা inner product (অন্তঃগুণ)-এ $T$-কে "উভয় পাশে সমান" করে তোলে।

Real symmetric matrix হলো finite-dim self-adjoint-এর সহজতম উদাহরণ: $A = A^T$।

Complex Hermitian matrix: $A = A^\dagger$ (conjugate transpose)।

Normal operator — সাধারণ শর্ত¶

$TT^* = T^*T$ মানে $T$ তার নিজের adjoint-এর সাথে commute করে। এটা self-adjoint ও unitary উভয়কেই ধারণ করে।

Normal হলে একটা মূল সম্পত্তি পাওয়া যায়: $\lVert Tf\rVert = \lVert T^*f\rVert$ সব $f$-এর জন্য।

Unitary কী?¶

$U^*U = UU^* = I$ মানে $U$ bijective এবং norm-preserving: $\lVert Uf\rVert = \lVert f\rVert$ সব $f$-এর জন্য। এটা inner product-ও preserve করে: $\langle Uf, Ug\rangle = \langle f, g\rangle$।

self-adjoint operator: spectrum on real line

চিত্র ১: Self-adjoint $T = T^*$-এর spectrum শুধু real axis-এ। উপরের ও নিচের অংশ (Im $\lambda \neq 0$) সম্পূর্ণ নিষিদ্ধ।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Self-adjoint Operator-এর সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা (Axler 10.44): Self-adjoint

একটা bounded operator $T \in \mathcal{B}(V)$ কে self-adjoint (স্বসহবর্তী) বলা হয় যদি $T^* = T$, অর্থাৎ সব $f, g \in V$-এর জন্য:

\[ \langle Tf, g\rangle = \langle f, Tg\rangle \]

উদাহরণ (Axler 10.45): $T : \ell^2 \to \ell^2$ সংজ্ঞায়িত $T(a_1, a_2, \ldots) = (b_1 a_1, b_2 a_2, \ldots)$ যেখানে $b_k$ real। তাহলে $T^* = T$ (কারণ $\langle Te_k, e_j\rangle = b_k \delta_{kj} = \langle e_k, Te_j\rangle$ real $b_k$-এর জন্য)।

Self-adjoint-এর Spectrum Real¶

উপপাদ্য (Axler 10.48): $\langle Tf, f\rangle \in \mathbb{R}$ ↔ Self-adjoint

$T$ একটা bounded operator একটা complex Hilbert space $V$-তে। তাহলে $T$ self-adjoint যদি ও কেবল যদি সব $f \in V$-এর জন্য $\langle Tf, f\rangle \in \mathbb{R}$।

প্রমাণ:

\[ \langle Tf, f\rangle - \overline{\langle Tf, f\rangle} = \langle Tf, f\rangle - \langle f, Tf\rangle = \langle (T - T^*)f, f\rangle \]

যদি $\langle Tf, f\rangle \in \mathbb{R}$: বামপক্ষ $= 0$, তাই $\langle (T - T^*)f, f\rangle = 0$ সব $f$-এর জন্য → $T - T^* = 0$ (Lemma 10.46) → $T = T^*$।

উল্টো দিক সহজ: $T = T^*$ হলে $\langle Tf, f\rangle = \langle f, Tf\rangle = \overline{\langle Tf, f\rangle}$, তাই real। $\square$

উপপাদ্য: Self-adjoint → Spectrum ⊆ ℝ

ধরো $T \in \mathcal{B}(V)$ self-adjoint এবং $\lambda = a + ib \in \sigma(T)$ যেখানে $a, b \in \mathbb{R}$। তাহলে $b = 0$।

প্রমাণ: ধরো $b \neq 0$। তাহলে:

\[ \lVert(T - \lambda I)f\rVert^2 = \lVert(T - aI)f\rVert^2 + b^2\lVert f\rVert^2 \geq b^2\lVert f\rVert^2 \]

(কারণ $T - aI$ self-adjoint, তাই $\langle (T-aI)f, ibf\rangle = ib\langle (T-aI)f, f\rangle \in i\mathbb{R}$ — cross term real part শূন্য।)

তাই $\lVert(T - \lambda I)f\rVert \geq \lvert b\rvert \lVert f\rVert$ — $T - \lambda I$ bounded below, তাই injective ও closed range। একইভাবে $(T - \lambda I)^*$ সম্পর্কে, $T - \lambda I$ surjective। অতএব invertible — $\lambda \notin \sigma(T)$। Contradiction। $\square$

Normal Operator¶

সংজ্ঞা (Axler 10.51): Normal

$T \in \mathcal{B}(V)$ normal (স্বাভাবিক) যদি $TT^* = T^*T$।

উপপাদ্য (Axler 10.53): Normal → ‖Tf‖ = ‖T*f‖

$T$ normal যদি ও কেবল যদি সব $f \in V$-এর জন্য:

\[ \lVert Tf\rVert = \lVert T^*f\rVert \]

প্রমাণ:

\[ \lVert Tf\rVert^2 - \lVert T^*f\rVert^2 = \langle T^*Tf, f\rangle - \langle TT^*f, f\rangle = \langle (T^*T - TT^*)f, f\rangle \]

$T$ normal → $T^*T - TT^* = 0$ → উভয় norm সমান। উল্টো: norm সমান → $\langle (T^*T - TT^*)f, f\rangle = 0$ সব $f$-এর জন্য, এবং $T^*T - TT^*$ self-adjoint, তাই শূন্য। $\square$

উপপাদ্য (Axler 10.56): Normal-এর eigenvector প্রপার্টি

ধরো $T$ normal এবং $Tf = \alpha f$ ($f \neq 0$)। তাহলে $T^*f = \bar{\alpha}f$।

প্রমাণ:

\[ \lVert (T^* - \bar{\alpha}I)f\rVert = \lVert (T - \alpha I)^* f\rVert = \lVert (T - \alpha I)f\rVert = 0 \]

প্রথম সমতা: $(T - \alpha I)^* = T^* - \bar{\alpha}I$। দ্বিতীয় সমতা: normal হলে $\lVert Sf\rVert = \lVert S^*f\rVert$ যেখানে $S = T - \alpha I$। তৃতীয়: $Tf = \alpha f$। $\square$

উপপাদ্য (Axler 10.57): Normal → Orthogonal eigenvectors

Normal operator-এর ভিন্ন eigenvalue-র eigenvectors orthogonal (লম্ব)।

প্রমাণ: ধরো $Tf = \alpha f$, $Tg = \beta g$, $\alpha \neq \beta$। তাহলে $T^*f = \bar{\alpha}f$ (উপরের result)।

\[ (\beta - \alpha)\langle g, f\rangle = \langle \beta g, f\rangle - \langle g, \alpha f\rangle = \langle Tg, f\rangle - \langle g, T^*f\rangle = 0 \]

$\alpha \neq \beta$ → $\langle g, f\rangle = 0$। $\square$

Unitary Operator ও Isometry¶

সংজ্ঞা (Axler 10.58): Isometry ও Unitary

Isometry (সমদূরত্ব অপারেটর): $T \in \mathcal{B}(V)$ isometry যদি $\lVert Tf\rVert = \lVert f\rVert$ সব $f$-এর জন্য। সমতুল্য: $T^*T = I$।
Unitary (একক অপারেটর): $T$ unitary যদি $T^*T = TT^* = I$। সমতুল্য: bijective isometry।

unitary operator: spectrum on unit circle

চিত্র ২: Unitary $U$-এর spectrum শুধু unit circle $\{\lvert\lambda\rvert = 1\}$-এ। ভেতরের অংশ ($\lvert\lambda\rvert < 1$) ও বাইরের অংশ ($\lvert\lambda\rvert > 1$) — দুটোই নিষিদ্ধ।

উপপাদ্য (Axler 10.60): Isometry equivalences

$T$ isometry হলে নিম্নলিখিত সমতুল্য:

(a) $T$ isometry: $\lVert Tf\rVert = \lVert f\rVert$

(b) $\langle Tf, Tg\rangle = \langle f, g\rangle$ সব $f, g$-এর জন্য

(c) $T^*T = I$

(d) প্রতিটা orthonormal family $\{e_k\}$-এর জন্য $\{Te_k\}$ orthonormal

প্রমাণ ((a)↔(b)):

\[ \langle Tf, Tg\rangle = \frac{1}{4}\left[\lVert T(f+g)\rVert^2 - \lVert T(f-g)\rVert^2 + i\lVert T(f+ig)\rVert^2 - i\lVert T(f-ig)\rVert^2\right] \]

(Polarization identity।) $T$ isometry হলে প্রতিটা norm সংরক্ষিত → $\langle Tf, Tg\rangle = \langle f, g\rangle$। $\square$

উপপাদ্য (Axler 10.62): Unitary → σ(U) ⊆ unit circle

ধরো $U$ unitary। তাহলে $\sigma(U) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{F} : \lvert\lambda\rvert = 1\}$।

প্রমাণ: ধরো $\lvert\alpha\rvert \neq 1$। তাহলে:

\[ (U - \alpha I)^*(U - \alpha I) = (1 + \lvert\alpha\rvert^2)I - (\alpha U^* + \bar{\alpha} U) \]

এবং

\[ \left\lVert \frac{\alpha U^* + \bar{\alpha} U}{1 + \lvert\alpha\rvert^2}\right\rVert \leq \frac{2\lvert\alpha\rvert}{1 + \lvert\alpha\rvert^2} < 1 \]

কারণ $\lvert\alpha\rvert \neq 1$ হলে $\frac{2\lvert\alpha\rvert}{1 + \lvert\alpha\rvert^2} < 1$ (AM-GM inequality)।

Neumann series থেকে $(U - \alpha I)^*(U - \alpha I)$ invertible, তাই $U - \alpha I$ invertible। $\square$

normal operator: spectrum general in C

চিত্র ৩: Normal operator-এর spectrum সাধারণভাবে $\mathbb{C}$-তে যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে (শুধু $\lVert T\rVert$-bounded)। Self-adjoint ও unitary হলো বিশেষ সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র।

শ্রেণিবিন্যাস: Venn চিত্র¶

Self-adjoint ও Unitary উভয়ই Normal

$T = T^*$ → $TT^* = TT = T^2 = T^*T$ → $T$ normal।
$U^*U = UU^* = I$ → $UU^* = I = U^*U$ → $U$ normal।
কিন্তু normal → না necessarily self-adjoint বা unitary।

Venn diagram: self-adjoint, unitary subset of normal

চিত্র ৪: Normal operators-এর বৃহৎ পরিবারের মধ্যে self-adjoint (বাঁয়ে, লাল) ও unitary (ডানে, নীল) দুটো বিশেষ উপপরিবার। Self-adjoint এবং unitary একসাথে হওয়া সম্ভব (যেমন $\pm I$)।

Unitary ও Rotation¶

Unitary-এর Geometric অর্থ

Finite-dimensional real space $\mathbb{R}^n$-এ unitary = orthogonal matrix — rotation এবং reflection-এর সমন্বয়। Complex space $\mathbb{C}^n$-এ unitary matrix = inner product preserving bijection।

Key: $\langle Uf, Ug\rangle = \langle f, g\rangle$ মানে angle ও length সংরক্ষিত।

unitary preserves norms and angles: rotation example

চিত্র ৫: Unitary rotation $45°$ ও $90°$ — vectors $f, g$ ঘুরে $Uf, Ug$ হয়। Length ($\lVert Uf\rVert = \lVert f\rVert$) ও angle ($\langle Uf, Ug\rangle = \langle f, g\rangle$) অপরিবর্তিত থাকে।

Isometry ≠ Unitary (infinite dim-এ)¶

Finite-dimensional space-এ: isometry = unitary (injective linear map → surjective)।

Infinite-dimensional-এ: right shift $S : \ell^2 \to \ell^2$, $S(a_1, a_2, \ldots) = (0, a_1, a_2, \ldots)$।

$\lVert Sf\rVert = \lVert f\rVert$ — norm preserve করে।
কিন্তু $(1, 0, 0, \ldots)$ range-এ নেই — surjective নয়।
তাই $S^*S = I$ কিন্তু $SS^* \neq I$ — isometry কিন্তু unitary নয়।

isometry vs unitary: right shift is isometry but not unitary

চিত্র ৬: বাঁয়ে isometry — norm preserve করে কিন্তু codomain-এর কিছু অংশ range-এর বাইরে (সবুজ ×)। ডানে unitary — সম্পূর্ণ bijection, কোনো অংশ unused থাকে না।

Spectrum Location Summary¶

Operator class	সংজ্ঞা	Spectrum কোথায়?
Self-adjoint	$T = T^*$	$\sigma(T) \subseteq \mathbb{R}$
Positive	$T = T^*$, $\langle Tf,f\rangle \geq 0$	$\sigma(T) \subseteq [0,\infty)$
Unitary	$U^U = UU^ = I$	$\sigma(U) \subseteq \{\lvert\lambda\rvert = 1\}$
Normal	$TT^* = T^*T$	$\sigma(T) \subseteq$ disk $\lVert T\rVert$
General bounded	—	$\sigma(T) \subseteq$ disk $\lVert T\rVert$

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১: Diagonal multiplication operator¶

$T : \ell^2 \to \ell^2$, $T(a_k) = (\lambda_k a_k)$ যেখানে $(\lambda_k)$ bounded sequence।

$T^*(a_k) = (\bar{\lambda}_k a_k)$।
$T$ self-adjoint ↔ $\lambda_k \in \mathbb{R}$ সব $k$-এর জন্য।
$T$ normal সর্বদা (diagonal operators সবসময় normal — $TT^* = T^*T$ trivially)।
$T$ unitary ↔ $\lvert\lambda_k\rvert = 1$ সব $k$-এর জন্য।
$\sigma(T) = \overline{\{\lambda_k : k \geq 1\}}$ (closure)।

উদাহরণ ২: Symmetric Matrix — real eigenvalues ও orthogonal eigenvectors¶

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = A^T \]

Eigenvalues: $\lambda = (5 \pm \sqrt{5})/2$ — উভয়ই real।

Eigenvectors: different eigenvalue-র জন্য orthogonal।

Spectral Theorem (পরের অধ্যায়ে বিস্তারিত): $A = Q\Lambda Q^T$ যেখানে $Q$ orthogonal, $\Lambda$ diagonal real।

symmetric matrix: real eigenvalues and orthogonal eigenvectors

চিত্র ৭: বাঁয়ে $A = [[3,1],[1,2]]$ symmetric matrix-এর eigenvalues complex plane-এ — দুটোই real axis-এ। ডানে eigenvectors $v_1, v_2$ পরস্পর লম্ব ($\langle v_1, v_2\rangle \approx 0$)।

উদাহরণ ৩: Fourier transform unitary¶

$\mathcal{F} : L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$, $(\mathcal{F}f)(\xi) = \int f(x) e^{-2\pi i x\xi} dx$।

Parseval theorem: $\lVert \mathcal{F}f\rVert_2 = \lVert f\rVert_2$ — Fourier transform একটা unitary operator।

Spectrum: $\sigma(\mathcal{F}) \subseteq \{1, -1, i, -i\}$ (fourth roots of unity)।

Analogy: Mirror vs Rotation¶

Self-adjoint operator টা ভাবো একটা আয়না (mirror)-র মতো — যা দেখায় তা real, imaginary অংশ নেই। Unitary operator টা ভাবো rotation-র মতো — দূরত্ব ও কোণ অটুট রাখে। Normal operator হলো এই দুটোর সাধারণ পরিবার।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"Self-adjoint → positive definite" ভাবা। Self-adjoint মানে spectrum real, কিন্তু negative real-ও হতে পারে। Positive definite হলে spectrum $\subseteq [0, \infty)$ — এটা অতিরিক্ত শর্ত।
"$TT^* = T^*T$ মানে $T = T^*$" ভাবা। Normal হলেই self-adjoint নয়। $T = iI$ normal ($TT^* = I = T^*T$) কিন্তু self-adjoint নয় ($T^* = -iI \neq T$)।
"Isometry = Unitary" ভাবা (infinite dim-এ)। Right shift isometry কিন্তু unitary নয়। Finite-dimensional-এ সত্য, infinite-dimensional-এ সতর্ক থাকতে হবে।
"Real spectrum → self-adjoint" ভাবা। Converse সত্য নয়। যেমন $T$ nilpotent: $T^2 = 0$, তাই $\sigma(T) = \{0\} \subseteq \mathbb{R}$, কিন্তু $T$ self-adjoint নাও হতে পারে।
"Normal → eigenvectors form basis" ভাবা। Finite-dimensional complex space-এ সত্য (Spectral Theorem), কিন্তু infinite-dimensional-এ সাধারণত নয় — continuous spectrum-এর জন্য eigenvectors নাও থাকতে পারে।
Unitary eigenvalue ভাবতে গিয়ে বিভ্রান্তি। Unitary-এর eigenvalue unit circle-এ — কিন্তু unit circle-এর সব বিন্দু eigenvalue নাও হতে পারে (যেমন bilateral shift-এর কোনো eigenvalue নেই, spectrum = unit circle)।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

$T : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ সংজ্ঞায়িত $T(z_1, z_2) = (z_2, -z_1)$। $T^*$ বের করো। $T$ কি self-adjoint? Normal? Unitary?
ধরো $T$ self-adjoint এবং $T^2 = I$। প্রমাণ করো $\sigma(T) \subseteq \{-1, 1\}$। এরকম একটা operator-এর উদাহরণ দাও।
ধরো $U$ unitary এবং $T$ self-adjoint, উভয়ই Hilbert space $V$-এ। প্রমাণ করো $UTU^*$ self-adjoint। (Unitary similarity transforms self-adjoint to self-adjoint।)
$T : \ell^2 \to \ell^2$, $T(a_1, a_2, \ldots) = (ia_1, 2ia_2, 3ia_3, \ldots)$ (bounded restriction: $\lvert k\rvert \leq$ constant)। এটা কি normal? Self-adjoint? Unitary?
ধরো $T$ self-adjoint। দেখাও $e^{iT} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(iT)^n}{n!}$ unitary। [ইঙ্গিত: $(e^{iT})^* = e^{-iT}$ এবং $e^{iT}e^{-iT} = I$।]
Parseval identity প্রমাণ করো: $T$ unitary হলে $\sum_k \lvert\langle f, Te_k\rangle\rvert^2 = \lVert f\rVert^2$ যেকোনো orthonormal basis $\{e_k\}$-এর জন্য।
ধরো $T$ normal এবং $\lVert Tf\rVert \geq c\lVert f\rVert$ সব $f$-এর জন্য কোনো $c > 0$। প্রমাণ করো $T$ invertible। (Normal → left invertibility implies invertibility।)
$3 \times 3$ Hermitian matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 1+i & 0 \\ 1-i & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$-এর spectrum নির্ধারণ করো। Eigenvectors orthogonal কিনা যাচাই করো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Standard basis $e_1 = (1,0)$, $e_2 = (0,1)$। $T(e_1) = (0, -1) = -e_2$, $T(e_2) = (1, 0) = e_1$।

Matrix: $[T] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$।

$T^* = \overline{[T]}^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -T$।

Self-adjoint? $T^* = -T \neq T$ (যদি $T \neq 0$) → না।

Normal? $TT^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$। $T^*T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = I$। তাই $TT^* = T^*T = I$ → Normal (এবং unitary!)।

Unitary? $T^*T = I$ এবং $TT^* = I$ → হ্যাঁ, unitary। ($90°$ ঘূর্ণন।)

২-নং সমাধান দেখাও

$T$ self-adjoint → $\sigma(T) \subseteq \mathbb{R}$ (Theorem)। $T^2 = I$ → Spectral Mapping Theorem: $\sigma(T^2) = \{\lambda^2 : \lambda \in \sigma(T)\}$। কিন্তু $\sigma(I) = \{1\}$, তাই $\lambda^2 = 1$ সব $\lambda \in \sigma(T)$-এর জন্য। Real মান থেকে $\lambda^2 = 1$ → $\lambda = \pm 1$।

সুতরাং $\sigma(T) \subseteq \{-1, 1\}$। $\square$

উদাহরণ: $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ — $T = T^T$, $T^2 = I$, $\sigma(T) = \{1, -1\}$।

অথবা $L^2([0,1])$-এ $Tf(x) = f(1-x)$ (reflection operator)।

৩-নং সমাধান দেখাও

$(UTU^*)^* = (U^*)^* T^* U^* = U T^* U^*$।

যেহেতু $T = T^*$: $(UTU^*)^* = UTU^*$।

তাই $UTU^*$ self-adjoint। $\square$

স্বজ্ঞা: unitary similarity স্পেকট্রামও অটুট রাখে (Exercise 10B.2(a)): $\sigma(UTU^*) = \sigma(T)$। তাই self-adjoint-এর unitary transform আবার self-adjoint ও same spectrum।

৪-নং সমাধান দেখাও

$T(a_k) = (c_k a_k)$ যেখানে $c_k = ik$ (bounded: ধরো $\lvert k\rvert \leq N$ কোনো bound-এর জন্য)।

$T^*(a_k) = (\bar{c}_k a_k) = (-ik \cdot a_k)$।

Normal? $TT^*(a_k) = c_k\bar{c}_k a_k = \lvert c_k\rvert^2 a_k = k^2 a_k = T^*T(a_k)$। হ্যাঁ।

Self-adjoint? $T^* = -T$ (কারণ $\bar{c}_k = -ik = -c_k$) → না (skew-adjoint)।

Unitary? $\lvert c_k\rvert = \lvert ik\rvert = k \neq 1$ (সাধারণত) → না।

Spectrum: $\sigma(T) = \overline{\{ik : \lvert k\rvert \leq N\}} = \{ik : k = -N, \ldots, N\}$ — purely imaginary।

৫-নং সমাধান দেখাও

Series convergence: $\lVert (iT)^n/n!\rVert \leq \lVert T\rVert^n/n!$ → $\sum < e^{\lVert T\rVert} < \infty$। তাই $e^{iT}$ well-defined in $\mathcal{B}(V)$।

$(e^{iT})^* = e^{-iT}$: $(iT)^* = -iT^* = -iT$ (কারণ $T$ self-adjoint)। Power series-এ term-by-term adjoint নিলে $(e^{iT})^* = e^{(iT)^*} = e^{-iT}$।

Unitary: $e^{iT} \cdot e^{-iT} = e^{0} = I$ এবং $e^{-iT} \cdot e^{iT} = I$ (কারণ $iT$ ও $-iT$ commute)। তাই $(e^{iT})^{-1} = e^{-iT} = (e^{iT})^*$। সুতরাং $e^{iT}$ unitary। $\square$

স্বজ্ঞা: Cayley transform-এর মতো — self-adjoint → unitary transform করা যায়।

৬-নং সমাধান দেখাও

$\{e_k\}$ orthonormal basis। $T$ unitary, তাই $\{Te_k\}$ orthonormal (Axler 10.61(g))।

যেকোনো $f \in V$:

\[ \lVert f\rVert^2 = \sum_k \lvert\langle f, e_k\rangle\rvert^2 \quad \text{(Parseval for basis $\{e_k\}$)} \]

$\{Te_k\}$ ও orthonormal basis (কারণ $T$ unitary → surjective ও orthonormal-preserving)।

\[ \lVert f\rVert^2 = \sum_k \lvert\langle f, Te_k\rangle\rvert^2 \]

$\square$

৭-নং সমাধান দেখাও

$\lVert Tf\rVert \geq c\lVert f\rVert$ মানে $T$ injective ও closed range।

$T$ normal → $\lVert T^*f\rVert = \lVert Tf\rVert \geq c\lVert f\rVert$ (Theorem 10.53)।

তাই $T^*$ ও injective ও closed range। Normal-এর জন্য (Axler 10.55): injective ও closed range → $T$ invertible। $\square$

৮-নং সমাধান দেখাও

$A$ Hermitian ($A = A^\dagger$) → spectrum real, eigenvectors orthogonal।

Block diagonal কাঠামো লক্ষ করো: $A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ যেখানে $B = \begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{pmatrix}$।

$\lambda_3 = 5$ (trivially)।

$B$-এর eigenvalues: $\det(B - \lambda I) = (2-\lambda)(3-\lambda) - (1+i)(1-i) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 - 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4$।

$\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ → $\lambda = (5 \pm 3)/2$ → $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$।

সুতরাং $\sigma(A) = \{1, 4, 5\}$ — সবই real। ✓

Eigenvectors: different eigenvalue-র জন্য automatically orthogonal (Hermitian matrix)।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Self-adjoint $T = T^*$-এর সংজ্ঞা এবং $\langle Tf, f\rangle \in \mathbb{R}$ equivalent condition জানি।
[ ] প্রমাণ জানি: self-adjoint → $\sigma(T) \subseteq \mathbb{R}$।
[ ] Normal $TT^* = T^*T$ সংজ্ঞা এবং $\lVert Tf\rVert = \lVert T^*f\rVert$ equivalent জানি।
[ ] Normal-এর eigenvectors (distinct eigenvalue) orthogonal — প্রমাণ বুঝি।
[ ] Unitary $U^*U = UU^* = I$ এবং spectrum $\subseteq$ unit circle — প্রমাণ জানি।
[ ] Isometry $T^*T = I$ — unitary থেকে পার্থক্য (infinite dim-এ surjectivity লাগে)।
[ ] Venn hierarchy জানি: self-adjoint ⊂ normal, unitary ⊂ normal।
[ ] Symmetric matrix → real eigenvalues ও orthogonal eigenvectors — সংযোগ বুঝি।

➡️ পরের অধ্যায়: 6.7 — Compact Operator; Fredholm Alternative — Compact operator-এর spectrum কেন অনেক "পরিষ্কার" — eigenvalue-গুলো countable, শুধু $0$ accumulation point; Fredholm alternative বলে কখন $(T - \lambda I)f = g$ সমাধানযোগ্য।

Operator class	সংজ্ঞা	Spectrum কোথায়?
Self-adjoint	\(T = T^*\)	\(\sigma(T) \subseteq \mathbb{R}\)
Positive	\(T = T^*\), \(\langle Tf,f\rangle \geq 0\)	\(\sigma(T) \subseteq [0,\infty)\)
Unitary	\(U^U = UU^ = I\)	\(\sigma(U) \subseteq \{\lvert\lambda\rvert = 1\}\)
Normal	\(TT^* = T^*T\)	\(\sigma(T) \subseteq\) disk \(\lVert T\rVert\)
General bounded	—	\(\sigma(T) \subseteq\) disk \(\lVert T\rVert\)