1.3 — Cauchy ও Bolzano–Weierstrass¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: subsequence (উপ-অনুক্রম), Bolzano–Weierstrass theorem (প্রতিটি bounded sequence-এ লুকিয়ে থাকা convergent subsequence), Cauchy sequence (কোশি অনুক্রম), এবং "\(\mathbb{R}\) complete" মানে Cauchy iff convergent।
উৎস (source): Bolzano ও Weierstrass (Bolzano–Weierstrass); Cauchy (Cauchy sequence)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
Part 1.2-তে convergence বুঝতে গিয়ে একটা সমস্যায় পড়েছিলাম: ε–N সংজ্ঞায় limit \(L\)-টা আগে থেকেই জানতে হয়। কিন্তু অনেক সময় সেটা জানার উপায় নেই। যেমন:
এই sequence converge করে কি না? করলে কোথায়? Limit না জেনে বলব কীভাবে?
এখানেই দুটো শক্তিশালী হাতিয়ার দরকার:
-
Bolzano–Weierstrass theorem: যেকোনো bounded (সীমাবদ্ধ) sequence-এ কোনো না কোনো convergent subsequence (উপ-অনুক্রম) থাকেই।
-
Cauchy criterion: Limit না জেনেও convergence পরীক্ষা করা যায় — শুধু দেখতে হবে পদগুলো নিজেরা নিজেরা কাছে আসছে কি না।
এই দুটো মিলে বোঝা যাবে কেন \(\mathbb{R}\) "complete" এবং \(\mathbb{Q}\) কেন সেই মানে "incomplete"।
ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট
Augustin-Louis Cauchy (১৭৮৯–১৮৫৭) প্রথম convergence-কে rigorous ভিত্তিতে দাঁড় করান। Bernard Bolzano (১৭৮১–১৮৪৮) এবং Karl Weierstrass (১৮১৫–১৮৯৭) subsequence theorem-টি প্রমাণ করেন যা analysis-এর অন্যতম ভিত্তিপ্রস্তর।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Subsequence (উপ-অনুক্রম) — sequence-এর ভেতরের sequence¶
ধরো \((a_n) = (-1)^n\) — দোদুল্যমান sequence: \(-1, 1, -1, 1, \ldots\)। এটা diverge করে।
কিন্তু শুধু জোড়-ইন্ডেক্সের পদগুলো নাও: \(a_2, a_4, a_6, \ldots = 1, 1, 1, \ldots\) — এটা converge করে \(1\)-এ। এটাই একটা subsequence (উপ-অনুক্রম)।
নিচের ছবিতে ধারণাটা দেখা যাচ্ছে:
চিত্র ১: লাল বিন্দু: মূল bounded oscillating sequence। নীল হীরা: একটি convergent subsequence। Bolzano–Weierstrass বলে — এরকম subsequence সবসময়ই থাকবে।
Bolzano–Weierstrass-এর স্বজ্ঞা — Bisection দিয়ে বোঝা¶
ধরো \((a_n)\) bounded — সব পদ \([-B, B]\)-এর ভেতরে। এত পদ (অসীম), এত ছোট জায়গা — কোথাও না কোথাও তো ভিড় জমবেই।
কিভাবে সেই ভিড় খুঁজি? Bisection (দ্বিধাবিভক্তি):
- \([-B, B]\) কে দুটো সমান অর্ধে ভাগ করো। একটা অর্ধেকে অবশ্যই অসীম পদ আছে — সেটা নাও।
- সেটাকে আবার অর্ধেক করো। একটা অর্ধেকে অবশ্যই অসীম পদ — সেটা নাও।
- এভাবে চলো — প্রতিটা ধাপে interval-এর দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়।
এই shrinking intervals একটা সংখ্যায় converge করে (completeness থেকে) — সেটাই accumulation point। প্রতিটা interval থেকে একটা করে পদ নিলে সেটা একটা convergent subsequence দেয়।
চিত্র ২: প্রতিটা ধাপে interval অর্ধেক হয়। Accumulation point \(x^*\) (লাল ড্যাশ) — সব interval-এ অসীম পদ থাকে। এই bisection-ই Bolzano–Weierstrass-এর প্রমাণের মূল কৌশল।
Cauchy Sequence (কোশি অনুক্রম) — limit ছাড়াই convergence পরীক্ষা¶
মূল ধারণা: পদগুলো কি নিজেরা নিজেরাই কাছে আসছে? মানে: \(m, n\) দুটোই বড় হলে \(a_m\) আর \(a_n\) একে অপরের কাছাকাছি?
\(a_n \to L\) হলে স্বভাবতই \(|a_m - a_n| \le |a_m - L| + |L - a_n|\) — দুটোই ছোট। কিন্তু \(L\) না জানলেও এই property check করা যায়।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
সংজ্ঞা ১ — Subsequence (উপ-অনুক্রম)¶
সংজ্ঞা (Subsequence)
\((a_n)\)-এর একটা subsequence হলো \((a_{n_k})\) যেখানে \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\) হলো কঠোর বর্ধনশীল (strictly increasing) একটা positive integer-এর sequence।
মানে: মূল sequence থেকে অসীম পদ বেছে নিচ্ছি, মূল ক্রম অটুট রেখে।
উদাহরণ: \((a_n) = (1/n)\) হলে \(n_k = 2k\) নিলে \((a_{2k}) = (1/2, 1/4, 1/6, \ldots)\) একটা subsequence।
সহজ উপপাদ্য: \(a_n \to L\) হলে প্রতিটা subsequence-ও \(L\)-এ converge করে।
প্রমাণ: ধরো \(a_n \to L\) এবং \((a_{n_k})\) যেকোনো subsequence। \(\varepsilon > 0\) দাও। \(\exists N\) s.t. \(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\)। যেহেতু \(n_k \ge k\) (কারণ \(n_k\) strictly increasing positive integers), তাই \(k > N \Rightarrow n_k \ge k > N \Rightarrow |a_{n_k} - L| < \varepsilon\)। \(\square\)
উপপাদ্য ১ — Bolzano–Weierstrass Theorem¶
উপপাদ্য (Bolzano–Weierstrass)
প্রতিটা bounded real sequence-এর একটি convergent subsequence আছে।
আনুষ্ঠানিকভাবে: যদি \((a_n)\) bounded হয়, তাহলে \(\exists\) subsequence \((a_{n_k})\) এবং \(L \in \mathbb{R}\) s.t. \(a_{n_k} \to L\)।
প্রমাণ (bisection sketch): ধরো \(|a_n| \le B\) সব \(n\)-এর জন্য। তাহলে সব পদ \(I_0 = [-B, B]\)-এ আছে।
Step 1: \(I_0\) কে দুটো সমান অর্ধে ভাগ করো: \([-B, 0]\) ও \([0, B]\)। যেটায় অসীম সংখ্যক পদ আছে সেটাকে \(I_1\) বলো। \(|I_1| = B\)।
Step k: একইভাবে \(I_{k-1}\)-কে দুই ভাগ করে যেটায় অসীম পদ আছে সেটা \(I_k\) নাও। \(|I_k| = 2B/2^k \to 0\)।
Subsequence নির্মাণ: \(I_k\)-এ অসীম পদ আছে, তাই \(n_k > n_{k-1}\) এমন একটা পদ \(a_{n_k} \in I_k\) বেছে নাও।
Limit নির্ধারণ: \(I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots\) হলো nested closed bounded intervals with \(|I_k| \to 0\)। Completeness (nested interval property) থেকে \(\exists\) একটা \(L \in \bigcap_k I_k\)।
\(a_{n_k} \in I_k\) এবং \(L \in I_k\), তাই \(|a_{n_k} - L| \le |I_k| = 2B/2^k \to 0\)। অতএব \(a_{n_k} \to L\)। \(\square\)
সংজ্ঞা ২ — Cauchy Sequence (কোশি অনুক্রম)¶
সংজ্ঞা (Cauchy Sequence)
Sequence \((a_n)\) হলো একটা Cauchy sequence (কোশি অনুক্রম) যদি:
মানে: \(N\)-এর পর যেকোনো দুটো পদের পারস্পরিক দূরত্ব \(\varepsilon\)-এর চেয়ে কম।
Convergent implies Cauchy: যদি \(a_n \to L\) তাহলে \((a_n)\) Cauchy।
প্রমাণ: \(\varepsilon > 0\) দাও। \(\exists N\) s.t. \(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon/2\)। তাহলে \(m, n > N\) হলে:
উপপাদ্য ২ — \(\mathbb{R}\) Complete: Cauchy iff Convergent¶
উপপাদ্য (Completeness of \(\mathbb{R}\))
\(\mathbb{R}\)-তে: \((a_n)\) Cauchy \(\iff\) \((a_n)\) convergent।
প্রমাণ:
\((\Rightarrow)\) Convergent implies Cauchy: উপরেই দেখালাম।
\((\Leftarrow)\) Cauchy implies Convergent — তিনটা ধাপে:
Step 1 — Cauchy implies Bounded: \(\varepsilon = 1\) নাও। \(\exists N\) s.t. \(m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < 1\)। বিশেষত \(n > N \Rightarrow |a_n - a_{N+1}| < 1\), তাই \(|a_n| < |a_{N+1}| + 1\)। \(B = \max(|a_1|, \ldots, |a_N|, |a_{N+1}|+1)\) নিলে \((a_n)\) bounded।
Step 2 — Bolzano–Weierstrass: \((a_n)\) bounded, তাই convergent subsequence \((a_{n_k}) \to L\) আছে।
Step 3 — পুরো sequence \(L\)-এ converge করে: \(\varepsilon > 0\) নাও।
- Cauchy থেকে: \(\exists N_1\) s.t. \(m, n > N_1 \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon/2\)।
- \(a_{n_k} \to L\): \(\exists K\) s.t. \(k > K \Rightarrow |a_{n_k} - L| < \varepsilon/2\)।
\(k > K\) এবং \(n_k > N_1\) এমন একটা \(k\) বেছে নাও (সম্ভব কারণ \(n_k \to \infty\))। তাহলে \(n > N_1\) যেকোনো \(n\)-এর জন্য:
অতএব \(a_n \to L\)। \(\square\)
কেন \(\mathbb{Q}\) Complete নয়?¶
মূল উদাহরণ: \(a_n = \lfloor \sqrt{2} \cdot 10^n \rfloor / 10^n\) (দশমিকে \(\sqrt{2}\)-এর rational truncation):
এটা একটা Cauchy sequence of rationals (পদগুলো নিজেদের মধ্যে কাছে আসছে)। কিন্তু limit \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — \(\mathbb{Q}\)-তে কোনো limit নেই। অতএব:
\(\mathbb{Q}\)-তে Cauchy কিন্তু convergent নয় — এমন sequence আছে। তাই \(\mathbb{Q}\) complete নয়।
\(\mathbb{R}\) complete কারণ এই "ফাঁকগুলো" (যেমন \(\sqrt{2}\)-এর জায়গাটা) \(\mathbb{R}\) পূরণ করেছে।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Worked Example 1: \((1/n)\)-এর Cauchy হওয়া যাচাই¶
দেখাতে হবে \((1/n)\) Cauchy।
\(\varepsilon > 0\) দাও। \(N \in \mathbb{N}\), \(N > 2/\varepsilon\) নাও। \(m, n > N\) হলে WLOG \(m \le n\):
(ঠিকই হওয়ার কথা — কারণ \(1/n \to 0 \in \mathbb{R}\)।)
Worked Example 2: Bolzano–Weierstrass-এর প্রয়োগ¶
\((a_n) = \sin(n)\)। এটা bounded (\(|\sin n| \le 1\))।
Bolzano–Weierstrass থেকে: কোনো convergent subsequence \((a_{n_k})\) আছেই। (ঠিক কোথায় converge করে তা বলা সহজ নয়, কিন্তু অস্তিত্ব নিশ্চিত।)
Worked Example 3: Newton-Raphson Iteration¶
\(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2\) — এটা \(\sqrt{2}\)-এর Newton approximation।
দেখা যায় \(a_n\) Cauchy (পদগুলো দ্রুত কাছে আসে)। Completeness থেকে \(a_n \to L\) কোনো \(L\)-এ। তখন limit নিলে: \(L = (L + 2/L)/2 \Rightarrow L^2 = 2 \Rightarrow L = \sqrt{2}\)।
Analogy — ক্লাসে উপস্থিতি এবং subsequence¶
ধরো একটা ক্লাসে \(n\) দিনের উপস্থিতির হার একটু এলোমেলো — পুরো sequence হয়তো কোনো pattern দেখায় না। কিন্তু Bolzano–Weierstrass বলছে: সেই record-এর মধ্যে এমন একটা "উপধারা" (subsequence) আছে যেটা ক্রমশ কোনো একটা হারের দিকে settle করছে।
Cauchy-র analogy: দুটো GPS device একসাথে ট্র্যাক করলে যদি দুটোর দূরত্ব ক্রমশ শূন্যের দিকে যায় — তাহলে কোথাও গিয়ে দুটো একই জায়গায় পৌঁছাবে। কোথায় পৌঁছাবে তা না জেনেও এটা বলা সম্ভব।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
"Cauchy sequence মানে convergent" — \(\mathbb{R}\)-এ সত্য, সর্বত্র নয়। \(\mathbb{Q}\)-তে বা incomplete metric space-এ Cauchy কিন্তু non-convergent sequence থাকতে পারে। এটা space-এর completeness-এর উপর নির্ভরশীল।
-
"Subsequence converge করলে মূল sequence-ও করে" — ভুল। \((-1)^n\) divergent, কিন্তু জোড়-subsequence \(\to 1\)। শুধু তখনই মূল sequence converge করে যখন সব subsequence একই limit-এ converge করে।
-
Bolzano–Weierstrass-এ "bounded" শর্ত বাদ দেওয়া। \(a_n = n\) — unbounded, কোনো convergent subsequence নেই।
-
\(|a_{n+1} - a_n| \to 0\) দেখলেই Cauchy মনে করা। এটা প্রয়োজনীয় কিন্তু যথেষ্ট নয়। \(a_n = \sum_{k=1}^n 1/k\) (harmonic series)-তে \(|a_{n+1}-a_n| = 1/(n+1) \to 0\) কিন্তু \(a_n \to \infty\) (divergent)।
-
Subsequence-এ index-এর ক্রম ভাঙা। \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\) strictly increasing হতেই হবে। একই index বারবার নেওয়া যাবে না।
-
"প্রতিটা bounded sequence converge করে" — ভুল। Bolzano–Weierstrass বলে convergent subsequence আছে; মূল sequence converge নাও করতে পারে।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
-
দেখাও \((a_n) = (1 - 1/n)\) Cauchy।
-
\(a_n = n\) কি Cauchy? প্রমাণ অথবা counterexample দাও।
-
\(a_n = (-1)^n / n\)। এটা Cauchy কি? Converge করে কি? কারণ দাও।
-
\(a_n = \cos(\pi n / 2)\)-এর একটি convergent subsequence খোঁজো এবং তার limit বলো।
-
দেখাও: যদি \((a_n)\) Cauchy এবং \((a_{n_k})\) একটি subsequence s.t. \(a_{n_k} \to L\), তাহলে \(a_n \to L\)।
-
\(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = 1 + 1/a_n\) sequence-টার limit কত হতে পারে? (Hint: limit \(L\)-এর জন্য সমীকরণ লেখো।)
-
প্রমাণ করো: \((a_n)\) Cauchy \(\implies\) \((a_n)\) bounded।
-
দেখাও: \(a_n = (-1)^n\) Cauchy নয়।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\(a_n = 1 - 1/n\)। \(m, n > N\) হলে WLOG \(m \le n\):
\(\varepsilon > 0\) দাও। \(N > 1/\varepsilon\) নাও। তাহলে \(m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon\)। তাই \((a_n)\) Cauchy। \(\square\)
(আশা করা হয়েছিল — কারণ \(a_n \to 1 \in \mathbb{R}\), convergent sequence সবসময়ই Cauchy।)
২-নং সমাধান দেখাও
\(a_n = n\) Cauchy নয়।
\(\varepsilon = 1\) নাও। যেকোনো \(N\)-এর জন্য \(m = N+2\), \(n = N+1\) নিলে \(m, n > N\) কিন্তু:
Cauchy condition ব্যর্থ। \(\square\)
৩-নং সমাধান দেখাও
\(a_n = (-1)^n / n\)।
Cauchy: \(m, n > N\) হলে:
\(N > 2/\varepsilon\) নিলে Cauchy condition পূরণ। তাই Cauchy।
Convergence: \(|a_n| = 1/n \to 0\)। Squeeze theorem: \(-1/n \le (-1)^n/n \le 1/n\), তাই \(a_n \to 0\)। Convergent, limit \(= 0\)।
Cauchy in \(\mathbb{R}\) implies convergent — এটাই confirmation।
৪-নং সমাধান দেখাও
\(a_n = \cos(\pi n/2)\): \(n=1: 0\); \(n=2: -1\); \(n=3: 0\); \(n=4: 1\); cycle repeats।
Convergent subsequences:
- \(n_k = 4k\): \(a_{4k} = \cos(2\pi k) = 1 \to 1\)।
- \(n_k = 4k+2\): \(a_{4k+2} = \cos(\pi(2k+1)) = -1 \to -1\)।
- \(n_k = 4k+1\) বা \(4k+3\): \(a_{n_k} = 0 \to 0\)।
যেকোনো একটাই Bolzano–Weierstrass-এর দাবি পূরণ করে। (মূল sequence diverges — তিনটা cluster point।)
৫-নং সমাধান দেখাও
ধরো \((a_n)\) Cauchy এবং \(a_{n_k} \to L\)।
\(\varepsilon > 0\) নাও।
- Cauchy: \(\exists N_1\) s.t. \(m, n > N_1 \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon/2\)।
- \(a_{n_k} \to L\): \(\exists K\) s.t. \(k > K \Rightarrow |a_{n_k} - L| < \varepsilon/2\)।
\(k > K\) এবং \(n_k > N_1\) এমন \(k\) নাও। তারপর \(n > N_1\) যেকোনো \(n\)-এর জন্য:
অতএব \(a_n \to L\)। \(\square\)
৬-নং সমাধান দেখাও
\(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = 1 + 1/a_n\)।
প্রথম কয়েকটা পদ: \(2,\; 3/2,\; 5/3,\; 8/5,\; 13/8,\; \ldots\) (Fibonacci ratio!)।
Limit-এর সমীকরণ: ধরো \(a_n \to L\)। তাহলে limit নিলে:
\(L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1.618\) (golden ratio, \(L > 0\) নেওয়া হলো কারণ সব পদ \(> 0\))।
(Cauchy হওয়ার বিস্তারিত প্রমাণ Part 1.5-এ contraction mapping দিয়ে করা হবে।)
৭-নং সমাধান দেখাও
\(\varepsilon = 1\) নাও। \(\exists N\) s.t. \(m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < 1\)।
বিশেষত \(n > N \Rightarrow |a_n - a_{N+1}| < 1\), তাই \(|a_n| < |a_{N+1}| + 1\)।
\(B = \max(|a_1|, \ldots, |a_N|, |a_{N+1}| + 1)\) নিলে \(|a_n| \le B\) সব \(n\)-এর জন্য।
অতএব \((a_n)\) bounded। \(\square\)
৮-নং সমাধান দেখাও
\(\varepsilon = 1\) নাও। যেকোনো \(N\)-এর জন্য \(m = N+2\) (even), \(n = N+1\) (odd) নিলে \(m, n > N\) এবং:
তাই Cauchy নয়। \(\square\)
(স্বাভাবিক — \((-1)^n\) divergent, আর divergent sequence Cauchy হতে পারে না।)
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Subsequence সংজ্ঞা জানি — strictly increasing index \(n_1 < n_2 < \cdots\) দিয়ে মূল sequence থেকে অসীম পদ নির্বাচন।
- [ ] "মূল sequence converge করলে সব subsequence-ও converge করে একই limit-এ" — প্রমাণ করতে পারি।
- [ ] Bolzano–Weierstrass theorem বলতে পারি: bounded implies convergent subsequence আছে।
- [ ] Bisection-এর idea দিয়ে BW-এর proof sketch বলতে পারি।
- [ ] Cauchy sequence সংজ্ঞা মুখস্থ নয়, অর্থ বুঝে বলতে পারি: "বড় \(n\)-এ পদগুলো নিজেদের মধ্যে কাছে আসে।"
- [ ] Cauchy implies Convergent (\(\mathbb{R}\)-তে) প্রমাণের তিনটা ধাপ বলতে পারি: Cauchy => bounded => BW => subsequence limit => পুরো sequence।
- [ ] কেন \(\mathbb{Q}\) complete নয় — \(\sqrt{2}\) approximation উদাহরণে বোঝাতে পারি।
- [ ] \(|a_{n+1} - a_n| \to 0\) Cauchy-র চেয়ে দুর্বল শর্ত — harmonic series উদাহরণ দিতে পারি।
- [ ] Cauchy, Bolzano, Weierstrass — তিনটা নাম এবং তাদের অবদান জানি।
➡️ পরের অধ্যায়: 1.4 — সিরিজ (Series) — এবার অনুক্রমের পদগুলো যোগ করব। \(\sum a_n\) কখন converge করে? Comparison test, ratio test, আর Cauchy condensation — analysis-এর প্রথম বড় হাতিয়ার।