2.2 — Convergence, Open ও Closed Set¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: metric space-এ ধারার convergence (অভিসারিতা); limit point / accumulation point (সীমা-বিন্দু); interior point (অভ্যন্তরীণ বিন্দু); open set (মুক্ত সেট) ও closed set (বদ্ধ সেট)-এর সংজ্ঞা ও প্রাথমিক theorem; closure (বদ্ধাবরণ) \(\overline{A}\); neighborhood (প্রতিবেশ)।
উৎস (source): Cantor, Hausdorff (open/closed set, topology)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
আগের অধ্যায়ে metric-এর সংজ্ঞা দিয়ে দূরত্বের কাঠামো তৈরি করেছিলাম। এখন সেই দূরত্ব দিয়ে প্রশ্ন করি: "কাছাকাছি যাওয়া" মানে কী? একটা ধারা কোনো বিন্দুর দিকে "এগিয়ে যাচ্ছে" কীভাবে বুঝব?
এই প্রশ্নের উত্তর দিতে গিয়ে বেরিয়ে আসে তিনটা গুরুত্বপূর্ণ ধারণা: convergence (ধারার সীমা), open set (মুক্ত সেট), এবং closed set (বদ্ধ সেট)।
তিনটার মধ্যে একটা গভীর সম্পর্ক আছে: closed set-গুলো হলো ঠিক সেই set-গুলো যারা convergent sequences-এর limit ধরে রাখে।
মূল স্বজ্ঞা
- Open set: প্রতিটা বিন্দুর চারদিকে একটু "নিঃশ্বাস নেওয়ার জায়গা" আছে — কোনো বিন্দু "ধারে" নেই।
- Closed set: বাইরে থেকে এই set-এর দিকে এগিয়ে এলে limit-টা set-এর ভেতরেই পড়বে।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Convergence — স্বজ্ঞা¶
বাস্তব সংখ্যায় ধারার সীমার কথা আগেই জেনেছিলাম: \(x_n \to L\) মানে \(|x_n - L|\) যত ইচ্ছা ছোট করা যায় — যথেষ্ট বড় \(n\) নিলে।
Metric space-এ একই কথা, শুধু \(|\cdot|\) বদলে \(d(\cdot, \cdot)\) আসে:
চিত্রে যেমন দেখাচ্ছি: দূরত্ব \(d(x_n, x)\) ক্রমাগত ছোট হচ্ছে — যেকোনো \(\varepsilon > 0\) নিলে একটা \(N\) পাওয়া যাবে যাতে \(n > N\) হলে \(d(x_n, x) < \varepsilon\)।
চিত্র ১: বাঁয়ে — open set \(U\): প্রতিটা বিন্দুর চারপাশে একটা ছোট ball সম্পূর্ণ \(U\)-এর ভেতরে। মাঝে — closed set \(F\): \(F\)-এর বিন্দুগুলোর দিকে এগিয়ে আসা ধারার limit-ও \(F\)-এ। ডানে — convergent sequence: \(d(x_n, x) = 2/n \to 0\); যেকোনো \(\varepsilon\)-band-এ সব কটা term শেষ পর্যন্ত ঢুকে যায়।
Open ও Closed — ছবিতে দেখা¶
একটা সেট "open" মানে সেটার কোনো বিন্দুই "সীমানায়" নেই — প্রতিটা বিন্দুর চারদিকে পুরোটাই সেটের ভেতরে এমন একটু জায়গা পাওয়া যাবে।
"Closed" মানে সেটটার সীমানার বিন্দুগুলো সেটের ভেতরে আছে — বাইরে থেকে কাছে যেতে গেলে limit সেটের মধ্যেই পড়ে।
উদাহরণ (ℝ-এ): \((0, 1)\) open — কারণ \(0.001\) নিলে \(B(0.001, 0.0005) = (-0.0004, 0.0016)\) সম্পূর্ণ \((0,1)\)-এ নেই ও... আসলে হ্যাঁ আছে! আরও পরিষ্কার: যেকোনো \(x \in (0,1)\) নিলে \(r = \min(x, 1-x) > 0\) নিলে \((x-r, x+r) \subseteq (0,1)\)।
\([0, 1]\) closed — কারণ বাইরে থেকে এগিয়ে আসা যেকোনো ধারার limit \([0,1]\)-এর মধ্যে।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Convergence (অভিসারিতা)¶
সংজ্ঞা: Convergent Sequence (অভিসারী ধারা)
Metric space \((X, d)\)-তে একটা ধারা \((x_n)_{n \ge 1}\) বলা হয় \(x \in X\)-এ convergent (অভিসারী) যদি:
তখন লিখি \(x_n \to x\) অথবা \(\lim_{n\to\infty} x_n = x\)।
চিত্র: Convergence — \(x_n \to x\) মানে ধারার বিন্দুগুলো ক্রমশ ছোট \(\varepsilon\)-ball-এ ঢুকে যাচ্ছে। যত বড় \(n\), তত \(x\)-এর কাছে।
উপপাদ্য: একটা convergent ধারার limit unique (একক)।
প্রমাণ: ধরো \(x_n \to x\) এবং \(x_n \to y\)। যেকোনো \(\varepsilon > 0\) নাও। তাহলে বড় যথেষ্ট \(n\)-এর জন্য \(d(x_n, x) < \varepsilon/2\) এবং \(d(x_n, y) < \varepsilon/2\)। Triangle inequality থেকে:
এটা সব \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য সত্য, তাই M1 থেকে \(d(x,y) = 0 \Rightarrow x = y\)। ∎
Limit Point / Accumulation Point (সীমা-বিন্দু)¶
সংজ্ঞা: Limit Point
Metric space \((X, d)\)-তে \(A \subseteq X\) একটা subset। একটা বিন্দু \(x \in X\) হলো \(A\)-এর limit point (বা accumulation point, cluster point, বাংলায় সীমা-বিন্দু) যদি:
অর্থাৎ \(x\)-এর যেকোনো \(\varepsilon\)-ball-এ \(A\)-এর অন্তত একটা বিন্দু আছে (যেটা \(x\) নিজে নয়)।
লক্ষ্য করো: \(x\) নিজে \(A\)-তে থাকতেও পারে, না-ও থাকতে পারে।
উদাহরণ (ℝ-এ): \(A = (0, 1)\)। তাহলে \(0\) হলো \(A\)-এর limit point — কারণ \(B(0, \varepsilon) \cap (0,1) \ne \emptyset\) যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য। কিন্তু \(0 \notin A\)।
isolated point: \(a \in A\) যদি \(A\)-এর limit point না হয়, তাকে বলে isolated point (বিচ্ছিন্ন বিন্দু)। যেমন \(A = \{0\} \cup (1,2)\)-তে \(0\) একটা isolated point।
চিত্র: বাঁয়ে — limit point \(p\): যেকোনো \(\varepsilon\)-ball-এ \(A\)-র অন্য বিন্দু আছে। ডানে — isolated point \(q\): যথেষ্ট ছোট ball-এ \(A\)-র কোনো অন্য বিন্দু নেই।
Interior Point ও Open Set¶
সংজ্ঞা: Interior Point (অভ্যন্তরীণ বিন্দু)
\(A \subseteq X\)-এর একটা বিন্দু \(x\) হলো \(A\)-এর interior point যদি:
সব interior point-দের সেটকে বলে \(A\)-এর interior (অভ্যন্তর), লেখা হয় \(A^\circ\) বা \(\text{int}(A)\)।
সংজ্ঞা: Open Set (মুক্ত সেট)
\(U \subseteq X\) কে open set বলে যদি \(U\)-এর প্রতিটা বিন্দুই \(U\)-এর interior point:
উদাহরণ: যেকোনো open ball \(B(x_0, r)\) নিজেই open। প্রমাণ: যেকোনো \(y \in B(x_0, r)\) নাও, \(d(x_0, y) < r\)। ধরো \(s = r - d(x_0, y) > 0\)। তাহলে \(B(y, s) \subseteq B(x_0, r)\): যদি \(z \in B(y, s)\), তাহলে \(d(x_0, z) \le d(x_0, y) + d(y, z) < d(x_0, y) + s = r\)। ✓
চিত্র: Open set \(U\) — প্রতিটা বিন্দুর চারদিকে একটা ছোট ball সম্পূর্ণ \(U\)-এর ভেতরে। কোনো বিন্দুই সীমানায় নেই।
Closed Set (বদ্ধ সেট) ও Closure (বদ্ধাবরণ)¶
সংজ্ঞা: Closed Set (বদ্ধ সেট)
\(F \subseteq X\) কে closed set বলে যদি \(F\)-এর complement \(X \setminus F\) open হয়।
সমতুল্য সংজ্ঞা: \(F\) closed \(\iff\) \(F\)-এর প্রতিটা limit point \(F\)-এর মধ্যে।
সমতুল্য সংজ্ঞা (ধারা দিয়ে): \(F\) closed \(\iff\) যখনই \(F\)-এ একটা ধারা \((x_n)\) convergent হয় \(X\)-এ, তার limit-ও \(F\)-এ থাকে।
সংজ্ঞা: Closure (বদ্ধাবরণ)
\(A \subseteq X\)-এর closure হলো:
অথবা সমতুল্যভাবে: \(\overline{A}\) হলো সব closed set-এর intersection যারা \(A\) ধারণ করে।
\(\overline{A}\) সবসময় closed, এবং \(A \subseteq \overline{A}\)।
চিত্র: Closed set \(F\) — ধারা \((x_n) \subset F\) যদি \(x\)-এ converge করে, তাহলে \(x \in F\)। Closed set সীমানা-সহ "বদ্ধ"।
Neighborhood (প্রতিবেশ)¶
সংজ্ঞা: Neighborhood
\(x \in X\)-এর একটা neighborhood (প্রতিবেশ) হলো যেকোনো open set \(U\) যাতে \(x \in U\)।
অনেক বইয়ে শুধু "\(x\)-এর neighborhood" বলতে কোনো \(r > 0\)-এর জন্য \(B(x, r)\)-কেও বোঝায়।
Open ও Closed Set-এর মূল Theorem¶
উপপাদ্য
Metric space \((X, d)\)-তে:
(T1) \(\emptyset\) এবং \(X\) উভয়ই open এবং closed।
(T2) যেকোনো (এমনকি infinite) সংখ্যক open set-এর union open।
(T3) সসীম (finite) সংখ্যক open set-এর intersection open।
(T4) যেকোনো সংখ্যক closed set-এর intersection closed।
(T5) সসীম সংখ্যক closed set-এর union closed।
প্রমাণ (T1): \(\emptyset\): vacuously open (কোনো বিন্দু নেই যাকে check করতে হবে)। \(X\): যেকোনো ball \(X\)-এর ভেতরে। দুটোই নিজের complement \(X\) ও \(\emptyset\), যারা open — তাই closed-ও। ∎
প্রমাণ (T2): ধরো \(\{U_\alpha\}\) open set-দের একটা collection, \(U = \bigcup_\alpha U_\alpha\)। যেকোনো \(x \in U\) নাও — তাহলে কোনো \(\alpha\)-তে \(x \in U_\alpha\)। যেহেতু \(U_\alpha\) open, \(\exists r > 0: B(x,r) \subseteq U_\alpha \subseteq U\)। ✓
প্রমাণ (T3): ধরো \(U_1, \ldots, U_k\) open, \(V = U_1 \cap \cdots \cap U_k\)। যেকোনো \(x \in V\) নাও। তাহলে \(x \in U_i\) প্রতিটার জন্য, তাই \(\exists r_i > 0: B(x, r_i) \subseteq U_i\)। নাও \(r = \min(r_1, \ldots, r_k) > 0\) (finite minimum, তাই positive)। তাহলে \(B(x, r) \subseteq U_i\) সব \(i\)-এর জন্য, তাই \(B(x,r) \subseteq V\)। ✓
কেন infinite intersection কাজ করে না? ℝ-এ: \(\bigcap_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right) = \{0\}\) — যা open নয়।
T4, T5: T2, T3-এর complement নিয়ে পাওয়া যায় (De Morgan law প্রয়োগ করলে)।
Closure-এর গুণাবলি¶
উপপাদ্য: Closure-এর Properties
- \(A \subseteq \overline{A}\)
- \(\overline{\overline{A}} = \overline{A}\) (idempotent)
- \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
- \(A\) closed \(\iff A = \overline{A}\)
- \(\overline{A}\) হলো \(A\) ধারণকারী সবচেয়ে ছোট closed set।
প্রমাণ (4): \(A\) closed \(\Rightarrow\) \(A\)-এর সব limit point \(A\)-তে \(\Rightarrow\) \(\overline{A} = A\)। উল্টোদিকে: \(\overline{A} = A\) মানে \(A\)-এর সব limit point \(A\)-তে — সংজ্ঞা থেকেই closed।
চিত্র: Set \(A\)-র তিনটি অঞ্চল — নীল: interior \(A^\circ\) (প্রতিটা বিন্দুর ball সম্পূর্ণ ভেতরে); গোলাপি: boundary \(\partial A\) (ball দুই দিকেই যায়); বাইরে: exterior। Closure \(\bar{A} = A^\circ \cup \partial A\)।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Worked Example ১: ℝ-এ open ও closed¶
| Set | Open? | Closed? | কারণ |
|---|---|---|---|
| \((a, b)\) | ✓ | ✗ | প্রতিটা বিন্দু interior; \(a, b \notin (a,b)\) |
| \([a, b]\) | ✗ | ✓ | \(a, b\) interior নয়; সব limit point ভেতরে |
| \([a, b)\) | ✗ | ✗ | \(a\) interior নয়, \(b\) limit point কিন্তু নেই |
| \(\{a\}\) | ✗ | ✓ | Singleton: closed (limit point নেই, trivially) |
| \(\mathbb{R}\) | ✓ | ✓ | Both open and closed ("clopen") |
| \(\emptyset\) | ✓ | ✓ | Both open and closed |
| \(\mathbb{Q}\) | ✗ | ✗ | Neither: open নয় (কোনো ball ℚ-তে নেই), closed নয় (\(\sqrt{2}\) একটা limit point) |
Worked Example ২: Discrete metric-এ সব set open (এবং closed!)¶
Discrete metric \((X, d)\)-তে: যেকোনো \(A \subseteq X\) নাও।
- যেকোনো \(x \in A\)-এর জন্য: \(B(x, 1/2) = \{x\} \subseteq A\) — তাই \(x\) একটা interior point।
- তাই \(A\) open।
যেহেতু যেকোনো set open, তাই যেকোনো set-এর complement-ও open — তাই যেকোনো set closed-ও।
Discrete metric-এ সব subset clopen!
Worked Example ৩: Closure বের করা¶
\((C[0,1], d_\infty)\)-তে \(A = \{f \in C[0,1]: f(0) = 0\}\)। এটা closed কারণ: \(f_n \in A\), \(f_n \to f\) মানে \(d_\infty(f_n, f) \to 0\), অর্থাৎ \(f_n\) uniformly \(f\)-এ converge করে। Uniform convergence-এ \(f_n(0) = 0 \to f(0)\), তাই \(f(0) = 0\), তাই \(f \in A\)।
Analogy: ভূতাত্ত্বিক সীমান্ত¶
"Open set" মানে ভাবো একটা দেশ যার ভেতরে সব শহর আছে কিন্তু সীমান্ত-রেখাটা দেশের মধ্যে নেই (border ছাড়া)। "Closed set" মানে সীমান্তসহ পুরো দেশ।
আর "neither open nor closed" মানে যেমন একটা অর্ধবৃত্ত যার একদিকের সীমানা আছে, অন্যদিকে নেই — \([a, b)\) ঠিক তেমন।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
"Open নয় মানেই Closed" — সবচেয়ে বড় ভুল। Open ও closed পরস্পর বিপরীত নয়। একটা set একসাথে open ও closed হতে পারে (যেমন \(\emptyset, X\)), আবার কোনোটাই না হতে পারে (যেমন \([0,1)\))।
-
Limit point বনাম limit of a sequence। এই দুটো আলাদা: limit point মানে ball-এ অন্য বিন্দু আছে, sequence-এর limit মানে একটা specific point-এ convergent। তবে closed set-এ দুটো equivalence দেয়।
-
Infinite intersection of opens। "Open set-দের intersection open" — এটা শুধু finite-এর জন্য সত্য। Infinite-এর জন্য নয়: \(\bigcap_{n=1}^\infty (-1/n, 1/n) = \{0\}\) open নয়।
-
Closure ও closed hull গুলিয়ে ফেলা। \(\overline{A}\) হলো সব closed superset-এর intersection — সবচেয়ে ছোট closed set যেটা \(A\)-কে ধারণ করে। কিন্তু \(A\)-তে কিছু যোগ করা নয় — শুধু limit points যোগ।
-
Neighborhood-এর সংজ্ঞা বইয়ে আলাদা হয়। কিছু বই neighborhood মানে open set বলে, কিছু বই যেকোনো set যেটা একটা open ball ধারণ করে। দুটো equivalent, কিন্তু বিভ্রান্তি এড়াতে বইয়ের সংজ্ঞা মেনে চলো।
-
\(A\)-র limit point মানে \(A\)-তে limit point। আসলে limit point \(X\)-এ যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে — \(A\)-র বাইরেও।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
-
\(\mathbb{R}\)-এ নিচের প্রতিটা set-এর closure \(\overline{A}\) বের করো: (ক) \(A = (0, 1)\) (খ) \(A = \mathbb{Q}\) (মূলদ সংখ্যা) (গ) \(A = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}\) (ঘ) \(A = \mathbb{Z}\) (পূর্ণসংখ্যা)
-
Metric space \((X, d)\)-তে দেখাও: যদি \(A \subseteq B\) হয় এবং \(A\) open হয়, তাহলে অবশ্যই \(B\) open? উত্তর সহ justification দাও।
-
\((\mathbb{R}^2, d_2)\)-তে \(A = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 1\}\) (closed unit disk)। এটা closed কি? \(A\)-র interior কী?
-
Metric space-এ দেখাও: দুটো open set-এর intersection open। (T3 এর special case \(k=2\) — তবে নিজে proof করো।)
-
\((X, d)\) metric space-এ \(x_n \to x\) এবং \(x_n \to y\) হলে \(x = y\) (limit unique) — এর পূর্ণ proof লেখো।
-
\(\mathbb{R}\)-এ \(A = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}\)। \(A\)-র limit point-গুলো কি? \(\overline{A}\) কী?
-
দেখাও যে metric space-এ closed ball \(\overline{B}(x_0, r) = \{x : d(x_0, x) \le r\}\) সবসময় closed।
-
Discrete metric-এ \((X, d)\): \(A = \{x_0\}\) (singleton) — \(A\)-র limit point আছে কি? \(\overline{A}\) কী?
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
(ক) \(A = (0,1)\): \(A\)-র limit point-গুলো: \((0,1)\)-এর প্রতিটা বিন্দু, আর \(0\) ও \(1\)-ও (কারণ তাদের যেকোনো ball-এ \((0,1)\)-এর বিন্দু আছে)। \(\overline{A} = [0, 1]\)।
(খ) \(A = \mathbb{Q}\): যেকোনো \(x \in \mathbb{R}\) নাও। যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য \((x-\varepsilon, x+\varepsilon)\)-এ অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে (ℚ ঘন)। তাই প্রতিটা বাস্তব সংখ্যাই \(\mathbb{Q}\)-র limit point। \(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}\)।
(গ) \(A = \{1/n\}\): \(1/n \to 0\), তাই \(0\) একটা limit point। অন্য কোনো limit point নেই (কারণ অন্য বিন্দু থেকে একটু দূরে গেলে \(A\)-র সসীম সংখ্যক বিন্দু থাকে)। \(\overline{A} = A \cup \{0\} = \{0, 1, 1/2, 1/3, \ldots\}\)।
(ঘ) \(A = \mathbb{Z}\): \(\mathbb{Z}\)-র কোনো limit point নেই — কারণ যেকোনো integer \(n\)-এর জন্য \(B(n, 1/2)\) শুধু \(n\) ধারণ করে (\(A\)-র অন্য কোনো বিন্দু নয়)। এবং non-integer-ও limit point নয়। \(\overline{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}\) (already closed)।
২-নং সমাধান দেখাও
না, অবশ্যই নয়। \(A\) open ও \(A \subseteq B\) হলেও \(B\) open নাও হতে পারে।
পাল্টা উদাহরণ: \(A = (0,1)\) (open), \(B = [0,1]\)। তাহলে \(A \subseteq B\), কিন্তু \(B\) open নয় (কারণ \(0 \in B\) কিন্তু \(0\) interior point নয়)।
স্বজ্ঞা: Open হওয়া শুধু নিজের গুণাবলির উপর নির্ভর করে, বড় set-এর উপর নয়।
৩-নং সমাধান দেখাও
\(A\) closed কি?
\(A\)-এর limit point যাচাই: ধরো \((x_n, y_n) \to (x, y)\) এবং \(x_n^2 + y_n^2 \le 1\) সব \(n\)-এর জন্য। তাহলে \(x_n \to x\) এবং \(y_n \to y\)। Continuity of \(f(a,b) = a^2+b^2\) থেকে: \(x_n^2 + y_n^2 \to x^2 + y^2\)। কিন্তু \(x_n^2+y_n^2 \le 1\) সব \(n\)-এ, তাই limit \(x^2+y^2 \le 1\)। তাই \((x,y) \in A\)। সুতরাং \(A\) closed।
\(A\)-র interior: \(\text{int}(A) = \{(x,y) : x^2+y^2 < 1\}\) — open unit disk।
কারণ: সীমানা \(x^2+y^2 = 1\)-এর বিন্দুগুলো interior নয় (যেকোনো ball-এ \(A\)-র বাইরের বিন্দু আছে)। আর ভেতরের বিন্দুগুলো সব interior (যথেষ্ট ছোট ball নিলে সম্পূর্ণ \(A\)-এর ভেতরে)।
৪-নং সমাধান দেখাও
\(U_1, U_2\) open। দেখাতে হবে \(V = U_1 \cap U_2\) open।
যেকোনো \(x \in V\) নাও: \(x \in U_1\) এবং \(x \in U_2\)।
যেহেতু \(U_1\) open: \(\exists r_1 > 0\) যাতে \(B(x, r_1) \subseteq U_1\)। যেহেতু \(U_2\) open: \(\exists r_2 > 0\) যাতে \(B(x, r_2) \subseteq U_2\)।
ধরো \(r = \min(r_1, r_2) > 0\)। তাহলে:
তাই \(B(x, r) \subseteq U_1 \cap U_2 = V\)। সুতরাং \(V\) open। ✓
৫-নং সমাধান দেখাও
ধরো \(x_n \to x\) এবং \(x_n \to y\)। যেকোনো \(\varepsilon > 0\) নাও।
\(x_n \to x\): \(\exists N_1\) যাতে \(n > N_1 \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon/2\)। \(x_n \to y\): \(\exists N_2\) যাতে \(n > N_2 \Rightarrow d(x_n, y) < \varepsilon/2\)।
\(n > \max(N_1, N_2)\) নাও। তখন Triangle inequality:
এটা সব \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য সত্য। M1 থেকে \(d(x,y) = 0\), তাই \(x = y\)। ∎
৬-নং সমাধান দেখাও
\(A = \{1, 1/2, 1/3, \ldots\}\)।
Limit point: \(0 \in \mathbb{R}\) একটা limit point কারণ \(1/n \to 0\), তাই যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য \(B(0, \varepsilon) \cap (A \setminus \{0\})\) nonempty (কারণ যথেষ্ট বড় \(n\)-এর জন্য \(1/n < \varepsilon\))।
অন্য কোনো limit point নেই: \(1/n\) নিজে limit point কিনা? \(B(1/n, r)\) নাও — যথেষ্ট ছোট \(r\) নিলে এতে \(A\)-র অন্য কোনো বিন্দু নেই (প্রতিটা \(1/n\) isolated)। তাই \(1/n\) limit point নয়।
\(\overline{A} = A \cup \{0\} = \{0, 1, 1/2, 1/3, \ldots\}\)।
৭-নং সমাধান দেখাও
\(\overline{B}(x_0, r) = \{x : d(x_0, x) \le r\}\)।
Complement: \(X \setminus \overline{B}(x_0, r) = \{x : d(x_0, x) > r\}\)।
এটা open কিনা দেখি: যেকোনো \(y\)-তে \(d(x_0, y) > r\) ধরো। ধরো \(s = d(x_0, y) - r > 0\)।
দাবি: \(B(y, s) \subseteq X \setminus \overline{B}(x_0, r)\)।
যদি \(z \in B(y, s)\): \(d(y, z) < s\)। Reverse triangle inequality থেকে:
তাই \(z \notin \overline{B}(x_0, r)\), অর্থাৎ \(z \in X \setminus \overline{B}(x_0, r)\)। ✓
সুতরাং complement open, তাই \(\overline{B}(x_0, r)\) closed। ✓
৮-নং সমাধান দেখাও
Discrete metric-এ \(A = \{x_0\}\)।
Limit point আছে কি? যেকোনো \(y \in X\) নাও (\(y \ne x_0\))। \(B(y, 1/2) = \{y\}\) — এতে \(A\)-র কোনো বিন্দু নেই (কারণ \(x_0 \ne y\))। তাই \(y\) limit point নয়।
আর \(x_0\) নিজেও limit point নয় — \(B(x_0, 1/2) = \{x_0\}\), এতে \(A \setminus \{x_0\} = \emptyset\)।
তাই \(A\)-র কোনো limit point নেই।
\(\overline{A} = A \cup \emptyset = \{x_0\}\)। (Singleton closed — এটা discrete metric-এ সব subset closed-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।)
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Convergence সংজ্ঞা (\(\forall \varepsilon, \exists N\)): metric space-এ \(x_n \to x\) মানে \(d(x_n, x) \to 0\) — লিখতে ও বলতে পারি।
- [ ] Convergent ধারার limit unique — proof জানি।
- [ ] Limit point / accumulation point: যেকোনো \(\varepsilon\)-ball-এ \(A\)-র অন্য বিন্দু আছে — সংজ্ঞা মনে আছে।
- [ ] Interior point ও open set-এর সংজ্ঞা জানি।
- [ ] Closed set দুইভাবে বলতে পারি: complement open, অথবা সব limit point ভেতরে।
- [ ] Closure \(\overline{A} = A \cup \{\text{limit points}\}\) — গণনা করতে পারি।
- [ ] Open set-দের union open (arbitrary), intersection open (finite only) — example সহ।
- [ ] \(\emptyset, X\) কেন একসাথে open ও closed — বলতে পারি।
- [ ] Infinite intersection of opens কেন open নাও হতে পারে — পাল্টা উদাহরণ দিতে পারি।
➡️ পরের অধ্যায়: 2.3 — বাস্তব রেখায় Open ও Closed Set — ℝ-এ open set-এর structure আরও specific: প্রতিটা open set countably অনেক disjoint open interval-এর union। আর Cantor set-এর অবাক-করা উদাহরণ।