3.8 — Fatou, Bounded ও Dominated Convergence

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Fatou's lemma (ফাতু-র উপপাদ্য), Bounded Convergence Theorem (BCT), এবং Dominated Convergence Theorem (প্রভাবিত অভিসৃতি উপপাদ্য, DCT) — এই তিনটা উপপাদ্য মিলে দেখায় কখন কখন \(\lim_n \int f_n = \int \lim_n f_n\) সত্য, আর কখন নয়। এরাই Lebesgue theory-এর সবচেয়ে বড় পুরস্কার।

উৎস (source): Fatou ও Lebesgue (Dominated Convergence)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়ে (3.7) Monotone Convergence Theorem (MCT) শিখলাম। MCT-এর শক্তি অনেক, কিন্তু শর্ত দুটো বেশ কড়া:

• ফাংশনগুলো nonnegative হতে হবে।
• sequence-টা increasing হতে হবে।

বাস্তবে এই দুটো শর্ত প্রায়ই পূরণ হয় না। উদাহরণ:

• Fourier series: \(f_n = \sin(nx)\) — not nonneg, not monotone।
• Probability: random variables-এর sequence যেকোনো direction-এ যেতে পারে।
• Physics: oscillating functions।

এই অধ্যায়ে তিনটা উপপাদ্য দিয়ে এই বাধা অতিক্রম করব:

1. Fatou's Lemma — সবচেয়ে সাধারণ, শুধু nonneg দরকার।
2. Bounded Convergence Theorem (BCT) — finite measure space-এ uniform bound থাকলে।
3. Dominated Convergence Theorem (DCT) — একটা integrable "dominator" function থাকলে।

এই অধ্যায়ের মূল প্রশ্ন

কখন \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int f_n\, d\mu = \int \lim_{n\to\infty} f_n\, d\mu\)? উত্তর: DCT যখন বলে "হ্যাঁ", তখন।

২. মূল ধারণা (Core idea)

সমস্যাটা কী — দুটো counterexample

Counterexample 1: Escaping bump (ভ্রাম্যমান চূড়া)

\(f_n = n \cdot \chi_{[n, n+1/n]}\) on \(\mathbb{R}\)।

প্রতিটা \(f_n\) হলো একটা "bump"— উচ্চতা \(n\), প্রস্থ \(1/n\)। Integral = \(n \cdot \frac{1}{n} = 1\) সবার জন্য। কিন্তু যেকোনো নির্দিষ্ট \(x\)-এর জন্য \(f_n(x) = 0\) যখন \(n > x\) — তাই \(f_n \to 0\) pointwise।

\[\lim_{n\to\infty} \int f_n\, d\lambda = 1 \ne 0 = \int \lim_{n\to\infty} f_n\, d\lambda\]

চিত্র: Escaping bump: f_n → 0 কিন্তু ∫f_n = 1, dominator নেই, DCT ব্যর্থ

Counterexample 2: Tall thin spike (লম্বা চিকন তীক্ষ্ণতা)

\(f_n = n \cdot \chi_{[0, 1/n]}\) on \([0,1]\)।

\(\int f_n = 1\) সবার জন্য, কিন্তু \(f_n(x) \to 0\) for all \(x > 0\) (and \(f_n(0) = n \to \infty\))। তাই \(f_n \to 0\) almost everywhere। আবার limit আর integral মেলে না।

এই দুটো উদাহরণে কোনো integrable "dominator" নেই। DCT বলে: যদি থাকত, তাহলে interchange করা যেত।

চিত্র: লম্বা চিকন spike: f_n → 0 a.e. কিন্তু ∫f_n = 1, কোনো L¹ dominator নেই

চিত্র ১: বাঁয়ে escaping bump \(f_n = n\cdot\mathbf{1}_{[n,n+1/n]}\) — \(\int f_n = 1\) কিন্তু \(f_n \to 0\) pointwise; কোনো integrable dominator নেই। ডানে tall spike \(f_n = n\cdot\mathbf{1}_{[0,1/n]}\) — একই সমস্যা। উভয় ক্ষেত্রে DCT প্রযোজ্য নয় এবং interchange fail করে।

সমাধান: একটা "ছাদ" ফাংশন

DCT-এর idea: যদি সব \(f_n\)-কে একটাই integrable function \(g\) দিয়ে "চাপা" (dominate) দেওয়া যায় — \(|f_n(x)| \le g(x)\) সবসময় — তাহলে \(f_n\) যেদিকেই যাক, integral আটকে থাকবে।

চিত্র: DCT: g হলো envelope — সব f_n-কে ±g-এর মধ্যে ধরে রাখে

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Fatou's Lemma (ফাতু-র উপপাদ্য)

উপপাদ্য: Fatou's Lemma

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(f_1, f_2, \ldots\) nonneg measurable functions। তাহলে:

\(\int \liminf_{n\to\infty} f_n\, d\mu \;\le\; \liminf_{n\to\infty} \int f_n\, d\mu\)

স্বজ্ঞা: \(\liminf f_n\) হলো sequence-এর "সবচেয়ে ছোট eventual মান"। Fatou বলছে: এই ছোট মানের integral, সব integral-এর liminf-এর চেয়ে বড় হতে পারে না। অন্যভাবে: integral নেওয়ার সময় " কিছু হারিয়ে যেতে পারে"(escaping mass), তাই inequality।

Proof sketch (MCT ব্যবহার করে):

\(g_n(x) = \inf_{k \ge n} f_k(x)\) define করো। তাহলে \(0 \le g_1 \le g_2 \le \cdots\) increasing, এবং \(g_n \le f_n\) সবার জন্য (কারণ infimum সবচেয়ে ছোট)। MCT apply করলে:

\[\int \liminf f_n\, d\mu = \int \lim_n g_n\, d\mu = \lim_n \int g_n\, d\mu \le \liminf_n \int f_n\, d\mu \;\square\]

কখন equality হয়? যদি \(f_n\) MCT-এর শর্ত পূরণ করে (increasing), তাহলে equality। সাধারণে inequality strict হতে পারে।

চিত্র: Fatou: mass অসীমে হারিয়ে যায় — ∫liminf ≤ liminf∫ (strict inequality)

Bounded Convergence Theorem (সীমাবদ্ধ অভিসৃতি উপপাদ্য)

উপপাদ্য: Bounded Convergence Theorem — BCT

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space যেখানে \(\mu(X) < \infty\)। ধরো \(f_1, f_2, \ldots\) measurable functions যা \(f\)-এর দিকে pointwise কনভার্জ করে। যদি এমন \(c > 0\) থাকে যে \(|f_n(x)| \le c\) সব \(n\) ও \(x\)-এর জন্য, তাহলে:

\(\lim_{n\to\infty} \int f_n\, d\mu = \int f\, d\mu\)

BCT-এর দুটো শর্ত:

1. \(\mu(X) < \infty\) — measure সম্পূর্ণ space-এর finite।
2. Uniform bound — সব \(f_n\) একই constant \(c\)-এর মধ্যে।

Proof-এর মূল কৌশল: Egorov's theorem (3.6 অধ্যায়) বলে pointwise convergence প্রায় uniform। ছোট একটা set \(E\) বাদ দিলে \(f_n \to f\) uniformly। সেখানে error কন্ট্রোল করা যায়।

Dominated Convergence Theorem (প্রভাবিত অভিসৃতি উপপাদ্য)

এটাই Lebesgue theory-এর সবচেয়ে বড় উপপাদ্য।

উপপাদ্য: Dominated Convergence Theorem — DCT

ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) measure space, \(f_1, f_2, \ldots\) measurable functions যা almost everywhere \(f\)-এর দিকে কনভার্জ করে:

\(\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) \quad \text{a.e.}\)

এবং ধরো এমন একটা measurable function \(g: X \to [0,\infty]\) আছে যে:

\(\int g\, d\mu < \infty \quad \text{এবং} \quad |f_n(x)| \le g(x) \;\text{ a.e. সব } n\text{-এর জন্য}\)

তাহলে:

\(\lim_{n\to\infty} \int f_n\, d\mu = \int f\, d\mu\)

এখানে \(g\)-কে বলা হয় dominating function (প্রভাবকারী ফাংশন)।

DCT-এর proof sketch (Fatou ব্যবহার করে)

\(g + f_n \ge 0\) এবং \(g - f_n \ge 0\) (কারণ \(|f_n| \le g\))। Fatou's lemma apply করো:

\[\int (g + f)\, d\mu \le \liminf_n \int (g + f_n)\, d\mu = \int g\, d\mu + \liminf_n \int f_n\, d\mu\]

অর্থাৎ \(\int f\, d\mu \le \liminf_n \int f_n\, d\mu\)। একইভাবে \(g - f_n\) দিয়ে:

\[\int f\, d\mu \ge \limsup_n \int f_n\, d\mu\]

দুটো একসাথে:

\[\limsup_n \int f_n \le \int f \le \liminf_n \int f_n\]

যেহেতু \(\liminf \le \limsup\), তাই সবগুলো সমান — \(\lim_n \int f_n = \int f\)। \(\square\)

BCT হলো DCT-এর বিশেষ ক্ষেত্র

\(\mu(X) < \infty\) এবং \(|f_n| \le c\) হলে \(g = c\) নাও। তাহলে \(\int g\, d\mu = c \cdot \mu(X) < \infty\)। তাই BCT হলো DCT-এরই একটা special case।

Riemann ও Lebesgue integral-এর সম্পর্ক

উপপাদ্য

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) bounded হলে \(f\) Riemann integrable যদি এবং কেবল যদি \(f\) almost everywhere continuous হয়।

এই শর্তে: Riemann integral = Lebesgue integral, অর্থাৎ

\(\int_a^b f(x)\, dx = \int_{[a,b]} f\, d\lambda\)

অর্থাৎ: Lebesgue integral হলো Riemann-এর extension — যেখানে Riemann কাজ করে সেখানে দুটো একমত; কিন্তু Lebesgue আরো বেশি function integrate করতে পারে।

চিত্র: Continuous f-এর জন্য Riemann = Lebesgue: দুই পদ্ধতিতে একই ক্ষেত্রফল

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: DCT প্রয়োগ — classical limit

\[\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x^n}\, d\lambda(x) = ?\]

\(f_n(x) = \frac{x^n}{1+x^n}\)। \(x \in [0,1)\)-এ \(x^n \to 0\), তাই \(f_n(x) \to 0\)। \(x = 1\)-এ \(f_n(1) = \frac{1}{2}\)।

Dominator: \(|f_n(x)| \le 1\) সবার জন্য। \(g = 1\), \(\int_0^1 1\, d\lambda = 1 < \infty\)। DCT apply:

\[\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n}\, dx = \int_0^1 0\, dx = 0\]

(Single point \(\{1\}\)-এর measure 0, তাই \(f(1) = 1/2\) কোনো প্রভাব ফেলে না।)

উদাহরণ ২: Fatou strict inequality

\(f_n = \chi_{[n, n+1]}\)। \(\liminf f_n = 0\), \(\int 0\, d\lambda = 0\)। কিন্তু \(\liminf \int f_n = \liminf 1 = 1\)।

তাই Fatou-র inequality strict: \(0 \le 1\) — equality নেই।

উদাহরণ ৩: DCT প্রয়োগ — parameter derivative

\[\frac{d}{dt} \int_0^\infty e^{-tx}\, d\lambda(x) = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} e^{-tx}\, d\lambda(x) = \int_0^\infty -x e^{-tx}\, d\lambda(x)\]

এই "derivative inside integral" ন্যায্যতা পায় DCT থেকে। \(t \ge t_0 > 0\) হলে \(\left|\frac{\partial}{\partial t} e^{-tx}\right| = xe^{-tx} \le xe^{-t_0 x}\) — এটা integrable।

Analogy: "বাবার ছাতা" DCT-কে ভাবো এভাবে: বৃষ্টিতে বাবা তার বড় ছাতা (\(g\)) দিয়ে পরিবারের সবাইকে (\(f_n\)) ঢেকে রাখছেন। পরিবারের সদস্যরা যেদিকে সরুক, ছাতা আটকে রাখবে। মোট ভেজার পরিমাণ (\(\int f_n\)) সীমাবদ্ধ। এই "dominator ছাতা"\(g\)-এর finite integral থাকলেই limit আর integral অদলবদল করা যায়।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. Dominator integrable হতে হবে। \(|f_n| \le g\) যথেষ্ট নয় — \(\int g < \infty\) লাগবে। Escaping bump-এ \(g(x) =\) সব \(f_n\)-এর supremum হবে \(\infty\) everywhere — এটা integrable নয়।

2. Fatou-র inequality উল্টো লেখা। Fatou বলে \(\int \liminf \le \liminf \int\) — অর্থাৎ integral-এর \(\liminf\) বড়। উল্টোটা (\(\int \limsup \ge \limsup \int\)) সত্য নয় সাধারণত।

3. BCT-এ \(\mu(X) < \infty\) ভুলে যাওয়া। \(\mathbb{R}\)-এ \(f_n = \frac{1}{n}\chi_{[-n,n]}\) নাও — \(|f_n| \le 1\) uniform bound আছে কিন্তু \(\lambda(\mathbb{R}) = \infty\)। \(\int f_n = 2 \ne 0 = \int \lim f_n\) — BCT fail।

4. "Almost everywhere" convergence ভুলে যাওয়া। DCT-এ \(f_n \to f\) pointwise everywhere লাগে না — almost everywhere যথেষ্ট। যে set-এ convergence ব্যর্থ হয়, সেটার measure শূন্য হলেই চলে।

5. Fatou থেকে DCT মনে করা সহজ — কিন্তু proof ভুলে যাওয়া। DCT-এর proof-এ \(g + f_n\) এবং \(g - f_n\) দুটো দিকে Fatou apply করতে হয়।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. Fatou strict inequality। \(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) on \(\mathbb{R}\)। \(\int \liminf f_n\) এবং \(\liminf \int f_n\) হিসাব করো। Fatou-র inequality verify করো।

2. DCT প্রয়োগ। \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^1 n x^n (1-x)\, dx\) হিসাব করো DCT ব্যবহার করে।

3. DCT fail — dominator নেই। \(f_n = n\chi_{[0, 1/n]}\) on \([0,1]\)। \(\int f_n\) হিসাব করো। \(\lim f_n\) কী? কেন DCT fail করে? কোনো integrable dominator exist করে কি?

4. BCT প্রয়োগ। \(f_n(x) = \sin(nx)/n\) on \([0, \pi]\)। \(f_n \to 0\) দেখাও এবং \(\lim \int_0^\pi f_n\, d\lambda\) BCT দিয়ে হিসাব করো।

5. Riemann vs Lebesgue। \(f(x) = x^{1/3}\sin(1/x)\) on \((0,1]\), \(f(0) = 0\)। এটা Riemann integrable কি? Lebesgue integrable কি?

6. DCT — series interchange। দেখাও: \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + x^2} = \int\)-এর সাথে sum interchange করা যায় (Lebesgue, counting measure) যখন \(x \ne 0\)।

7. Fatou এবং convergence কোথায় হারায়। \(f_n = \frac{n}{n+1}\chi_{[0,1]}\)। Fatou inequality equality হয় এখানে? কারণ কী?

8. DCT ব্যবহার করে limit-এর মান। \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} e^{-x/n}\, d\lambda(x)\) হিসাব করো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(f_n = \chi_{[n, n+1]}\)। যেকোনো \(x\)-এর জন্য \(f_n(x) = 0\) eventually (যখন \(n > x\))। তাই \(\liminf_{n} f_n(x) = 0\) সব \(x\)-এর জন্য।

\(\int \liminf f_n\, d\lambda = \int 0\, d\lambda = 0\)

\(\int f_n\, d\lambda = \lambda([n, n+1]) = 1\) সবার জন্য। তাই \(\liminf_n \int f_n\, d\lambda = 1\)।

Fatou verify: \(0 \le 1\) ✓ — strict inequality।

কোথায় "mass" হারিয়ে গেল? Bump \([n, n+1]\)-এ চলে গেছে — \(\infty\)-তে escape করেছে। Integral এই escape ধরতে পারছে না।

২-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = nx^n(1-x)\) on \([0,1]\)।

Pointwise limit: \(x \in (0,1)\)-এ \(nx^n \to 0\) (exponential decay dominates \(n\))। \(x = 0\) ও \(x = 1\)-এ \(f_n = 0\)। তাই \(f_n \to 0\) everywhere।

Dominator খোঁজা: \(f_n(x) = nx^n(1-x) \le nx^n \cdot 1\)। Maximum of \(nx^n(1-x)\) on \([0,1]\): derivative = \(nx^{n-1}(n(1-x) - x) = 0\) gives \(x = n/(n+1)\)। Maximum value \(\approx e^{-1}(1 - 1/(n+1)) \le 1\) for all \(n \ge 1\)।

তাই \(|f_n(x)| \le 1\) for all \(n, x \in [0,1]\)। \(g = 1\), \(\int_0^1 1 = 1 < \infty\)। DCT:

\(\lim_{n\to\infty} \int_0^1 nx^n(1-x)\, dx = \int_0^1 0\, dx = \mathbf{0}\)

সরাসরি যাচাই: \(\int_0^1 nx^n(1-x)\, dx = n\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \to 0\) ✓

৩-নং সমাধান দেখাও

\(f_n = n\chi_{[0,1/n]}\)। \(\int_0^1 f_n\, d\lambda = n \cdot \frac{1}{n} = 1\)।

\(x > 0\)-এর জন্য: \(f_n(x) = 0\) যখন \(n > 1/x\), তাই \(f_n(x) \to 0\)। \(x = 0\)-এ \(f_n(0) = n \to \infty\)। তাই \(\lim f_n = 0\) almost everywhere (শুধু \(\{0\}\)-এ ব্যতিক্রম, যার measure 0)।

কেন DCT fail: \(\lim \int f_n = 1 \ne 0 = \int \lim f_n\)।

কোনো integrable dominator নেই: যদি \(g \ge f_n\) সব \(n\)-এর জন্য, তাহলে \(g(x) \ge n\) for \(x \in [0, 1/n]\)। তাই \(\int_0^{1/n} g \ge n \cdot \frac{1}{n} = 1\) for all \(n\)। কিন্তু \(g\) integrable হলে \(\int_0^{1/n} g \to 0\) হওয়া উচিত — contradiction।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}\) on \([0, \pi]\)।

\(|f_n(x)| \le \frac{1}{n} \to 0\) — তাই \(f_n \to 0\) uniformly।

BCT apply: \(\mu([0,\pi]) = \pi < \infty\), \(|f_n| \le 1\) (uniform bound)।

\(\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n}\, dx = \int_0^\pi 0\, dx = \mathbf{0}\)

সরাসরি: \(\int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n}\, dx = \frac{1}{n}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi = \frac{1-\cos(n\pi)}{n^2} \le \frac{2}{n^2} \to 0\) ✓

৫-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x^{1/3}\sin(1/x)\), \(f(0) = 0\)।

Continuity: \(f\) continuous on \((0,1]\) (composition of continuous)। \(x \to 0^+\): \(|f(x)| \le x^{1/3} \to 0 = f(0)\), তাই continuous at 0 also। তাই \(f\) everywhere continuous on \([0,1]\)Riemann integrable ✓।

Lebesgue integrable: \(|f(x)| \le x^{1/3}\)। \(\int_0^1 x^{1/3}\, d\lambda = \frac{3}{4} < \infty\)। তাই Lebesgue integrable ✓।

Riemann integral = Lebesgue integral।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(a_n(x) = \frac{1}{n^2 + x^2}\) for \(x \ne 0\)। \(\sum a_n(x) = \sum \frac{1}{n^2 + x^2}\)।

Counting measure \(\mu\) on \(\mathbb{Z}^+\)-এ \(f(n) = a_n(x)\) নাও। DCT:

Dominator: \(|a_n(x)| \le \frac{1}{n^2}\) এবং \(\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty\)।

তাই \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + x^2}\) converges এবং sum-integral interchange justified।

বিশেষ ক্ষেত্রে: \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{\pi}{2}\coth(\pi) - \frac{1}{2} \approx 1.077\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(f_n = \frac{n}{n+1}\chi_{[0,1]}\)।

\(f_n \to \chi_{[0,1]} = f\) uniformly। \(\int f_n = \frac{n}{n+1} \to 1\)। \(\int f = 1\)।

Fatou: \(\int \liminf f_n = \int f = 1 = \liminf \int f_n = 1\)।

Equality — কারণ \(f_n\) increasing এবং bounded। এটা MCT-এর শর্তও পূরণ করে।

তুলনা: escaping bump-এ inequality strict হয়েছিল কারণ mass infinity-তে escape করেছিল। এখানে সব mass \([0,1]\)-এর মধ্যে আটকে আছে।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = \frac{\sin x}{x} e^{-x/n}\) on \((0, \infty)\)।

Pointwise limit: \(e^{-x/n} \to 1\) প্রতিটা \(x > 0\)-এর জন্য। তাই \(f_n(x) \to \frac{\sin x}{x}\) pointwise।

Dominator: \(|f_n(x)| \le \left|\frac{\sin x}{x}\right| \le \min\left(1, \frac{1}{x}\right)\)।

\(\int_0^\infty \min\left(1, \frac{1}{x}\right)\, dx = \int_0^1 1\, dx + \int_1^\infty \frac{1}{x}\, dx\) — কিন্তু এটা \(\infty\)! তাই সাধারণ DCT সরাসরি apply হয় না (Dirichlet integral-এর জন্য special argument লাগে)।

তবে \(e^{-x/n}\) factor-এর জন্য: \(|f_n(x)| \le e^{-x/n}\) এবং \(n\)-dependence আছে — standard dominator নেই।

সঠিক উত্তর (complex analysis বা other methods থেকে):

\(\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\, dx = \frac{\pi}{2}\)

অর্থাৎ যদি Lebesgue integral exist করত, limit হতো \(\frac{\pi}{2}\)। কিন্তু \(\int_0^\infty |\sin x / x|\, dx = \infty\) — তাই এটা Lebesgue integrable নয়, শুধু improper Riemann integral হিসেবে বিদ্যমান।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Fatou's Lemma statement বলতে পারি: \(\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n\) (nonneg functions-এর জন্য)।
• [ ] Fatou-র proof-এর মূল idea জানি: \(g_n = \inf_{k\ge n} f_k\) নিয়ে MCT apply।
• [ ] BCT statement জানি: \(\mu(X) < \infty\) এবং uniform bound থাকলে interchange ঠিক।
• [ ] DCT statement বলতে পারি: \(|f_n| \le g\), \(\int g < \infty\), \(f_n \to f\) a.e. — তাহলে \(\int f_n \to \int f\)।
• [ ] DCT-এর proof sketch জানি: Fatou দিয়ে দুই দিক থেকে squeeze।
• [ ] Dominating function কেন integrable হতে হবে — escaping bump counterexample দিয়ে বলতে পারি।
• [ ] Riemann vs Lebesgue: f Riemann integrable \(\iff\) f almost everywhere continuous; এবং সেক্ষেত্রে দুটো integral সমান।
• [ ] DCT fail করার দুটো canonical উদাহরণ (escaping bump, tall spike) বলতে পারি।
• [ ] BCT হলো DCT-এর special case — \(g = c\) নিলে।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 3.9 — Differentiation: Lebesgue Differentiation Theorem — integration-এর পর differentiation: প্রায় সব integrable function-এর জন্য integral differentiate করলে মূল function ফিরে পাওয়া যায় — এটাই Lebesgue Differentiation Theorem।