4.1 — Normed Vector Space¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: vector space (ভেক্টর স্পেস) কী — ক্ষেত্র ℝ ও ℂ-এর উপর; norm (নর্ম) \(\lVert x \rVert\) এবং তার তিনটা axiom (positivity, homogeneity, triangle inequality); norm থেকে metric \(d(x,y)=\lVert x-y \rVert\) তৈরি; উদাহরণ — \(\mathbb{R}^n\)-এ \(\ell^1, \ell^2, \ell^\infty\) norm; \(C[a,b]\)-এ sup norm; sequence space \(\ell^p\); unit ball-এর আকার (diamond/circle/square); convex set (উত্তল সেট)।

উৎস (source): Banach, Fréchet (normed space); Minkowski।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

Part 2-এ metric space শিখেছিলাম — "দূরত্ব" বলে একটা ফাংশন আছে, আর তার তিনটা স্বীকার্য। কিন্তু সেখানে "যোগ" বা "গুণ"-এর কোনো ধারণা ছিল না। বিন্দু ছিল, দূরত্ব ছিল, কিন্তু আমরা দুটো বিন্দু "যোগ" করতে পারতাম না।

এখন ভাবো — physics-এ বল, velocity, electric field — এগুলো শুধু "বিন্দু" না, এগুলো যোগযোগ্য এবং scale করা যায়। দুটো বলের ভেক্টর-যোগ করা যায়, বলকে দুইগুণ করা যায়। এটাই vector space-এর মূল ধারণা।

তার উপর আরেকটু দরকার: প্রতিটা vector-এর একটা "দৈর্ঘ্য" বা "আকার" থাকুক — সেটাই norm (নর্ম)। Norm থেকেই স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটা metric তৈরি হয়, এবং তখন "কাছাকাছি", "অভিসারী ধারা", "continuous function" — সব ধারণা ফিরে আসে।

মূল স্বজ্ঞা

Normed vector space = যোগ + scalar গুণ + দৈর্ঘ্য। এই তিনটা একসাথে থাকলে linear algebra আর analysis একসূত্রে বাঁধা পড়ে — এটাই functional analysis-এর ভিত।

এই কাঠামোর গুরুত্ব কোথায়?

Machine learning-এ: gradient descent-এর "ধাপের আকার" norm দিয়ে মাপা হয়।
Quantum mechanics-এ: ওয়েভ-ফাংশনের "norm = 1" মানে probability মোট ১।
Numerical analysis-এ: error কতটা ছোট — সেটা মাপতে norm।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Vector space (ভেক্টর স্পেস) — দ্রুত রিক্যাপ¶

একটা set \(V\) কে vector space (over \(\mathbb{R}\) বা \(\mathbb{C}\)) বলা হয় যদি তাতে দুটো operation থাকে:

যোগ (addition): \(u + v \in V\) যেকোনো \(u, v \in V\)-এর জন্য।
Scalar multiplication (স্কেলার গুণ): \(\alpha v \in V\) যেকোনো \(\alpha \in \mathbb{R}\) (বা \(\mathbb{C}\)) এবং \(v \in V\)-এর জন্য।

এবং এই দুটো operation আটটা স্বাভাবিক নিয়ম (associativity, commutativity, distributivity ইত্যাদি) মেনে চলে।

মূল উদাহরণ: \(\mathbb{R}^n\) (tuple), \(\mathbb{C}^n\), polynomial-এর সেট, continuous function-এর সেট — সবই vector space।

Vector addition (tip-to-tail) and scalar multiplication

চিত্র ১: বাঁয়ে vector addition — \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) তৈরি হয় "tip-to-tail" নিয়মে। ডানে scalar multiplication — একই vector \(\mathbf{w}\)-কে বিভিন্ন scalar দিয়ে "টেনে বাড়ানো" বা "উল্টে দেওয়া"।

Norm (নর্ম) — "দৈর্ঘ্য"-এর abstract ধারণা¶

Norm হলো একটা ফাংশন যা প্রতিটা vector-কে একটা real number (তার "দৈর্ঘ্য" বা "আকার") দেয়।

Norm as geometric length in R^2

চিত্র ২: \(\mathbb{R}^2\)-এ \(\mathbf{x}=(3,2)\)-এর Euclidean norm \(\lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{13}\) — মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটার সরলরেখা দূরত্ব।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Norm-এর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা: Norm (নর্ম)

ধরো \(V\) একটা vector space over \(\mathbb{R}\) (বা \(\mathbb{C}\))। একটা ফাংশন \(\lVert \cdot \rVert : V \to \mathbb{R}\) কে norm বলা হয় যদি সব \(x, y \in V\) এবং সব scalar \(\alpha\)-এর জন্য নিচের তিনটা শর্ত পূরণ হয়:

(N1) Positivity (ধনাত্মকতা):

\[\lVert x \rVert \ge 0, \quad \text{এবং } \lVert x \rVert = 0 \iff x = \mathbf{0}\]

(N2) Homogeneity (সমঘাতিতা):

\[\lVert \alpha x \rVert = \lvert \alpha \rvert \cdot \lVert x \rVert\]

(N3) Triangle inequality (ত্রিভুজ অসমতা):

\[\lVert x + y \rVert \le \lVert x \rVert + \lVert y \rVert\]

একটা জোড় \((V, \lVert \cdot \rVert)\) কে normed vector space (নর্মড ভেক্টর স্পেস) বা সংক্ষেপে normed space বলে।

তিনটা axiom স্বজ্ঞা দিয়ে বোঝা যায়:

N1: দৈর্ঘ্য কখনো ঋণাত্মক নয়; শুধু শূন্য vector-এরই দৈর্ঘ্য শূন্য।
N2: vector-কে দুইগুণ করলে দৈর্ঘ্যও দুইগুণ; উল্টো করলে দৈর্ঘ্য একই।
N3: দুটো পথের মোট দৈর্ঘ্য সরাসরি পথের চেয়ে কম নয়।

Triangle inequality for norms

চিত্র ৩: triangle inequality (N3) — \(\mathbf{x}+\mathbf{y}\)-এর "সরাসরি" দৈর্ঘ্য, \(\mathbf{x}\) আর \(\mathbf{y}\) আলাদা আলাদা দৈর্ঘ্যের যোগের চেয়ে বড় নয়।

Norm থেকে Metric¶

উপপাদ্য: Norm ⇒ Metric

যেকোনো normed space \((V, \lVert \cdot \rVert)\)-এ নিচের ফাংশন একটা metric:

\[d(x, y) = \lVert x - y \rVert\]

প্রমাণ: N1 থেকে \(d \ge 0\) এবং \(d(x,y)=0 \iff x=y\)। N2 থেকে \(d(x,y)=\lVert x-y\rVert = \lVert -(y-x)\rVert = \lvert -1 \rvert \lVert y-x\rVert = d(y,x)\) (symmetry)। N3 থেকে:

\[d(x,z) = \lVert x-z\rVert = \lVert (x-y)+(y-z)\rVert \le \lVert x-y\rVert + \lVert y-z\rVert = d(x,y)+d(y,z)\]

তাই \(d\) একটা valid metric। \(\square\)

এটা গুরুত্বপূর্ণ কারণ: normed space-কে সরাসরি metric space হিসেবেও ব্যবহার করা যায়, আর Part 2-এর সব theory (convergence, open set, continuity) সরাসরি প্রযোজ্য।

সতর্কতা: সব metric কোনো norm থেকে আসে না। যেমন discrete metric — এটা কোনো norm-এর থেকে আসে না।

উদাহরণ: \(\mathbb{R}^n\)-এ তিনটা গুরুত্বপূর্ণ norm¶

\(\ell^1\) norm (ট্যাক্সিক্যাব নর্ম):

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_1 = \sum_{i=1}^n \lvert x_i \rvert\]

\(\ell^2\) norm (Euclidean নর্ম):

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\]

\(\ell^\infty\) norm (সুপ্রিমাম নর্ম):

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty = \max_{1 \le i \le n} \lvert x_i \rvert\]

তিনটারই N1, N2 verify করা সহজ। N3 (\(\ell^1, \ell^\infty\)-এর জন্য): absolute value-এর properties থেকে। \(\ell^2\)-এর জন্য: Cauchy-Schwarz inequality লাগে।

Unit balls in l1, l2, l-inf in R^2

চিত্র ৪: \(\mathbb{R}^2\)-এ তিনটা norm-এর unit ball \(\{\mathbf{x} : \lVert \mathbf{x} \rVert = 1\}\)। বাঁয়ে \(\ell^1\) — হীরা (diamond); মাঝে \(\ell^2\) — বৃত্ত (circle); ডানে \(\ell^\infty\) — বর্গ (square)। একই set-এ আলাদা norm দিলে "গোলাকার" দেখতে আলাদা হয়।

উদাহরণ: \(C[a,b]\)-এ Sup Norm¶

\(C[a,b]\) = সব continuous function \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\)-এর সেট।

\[\lVert f \rVert_\infty = \max_{x \in [a,b]} \lvert f(x) \rvert\]

এটা একটা norm: N1 স্পষ্ট (\(f \equiv 0 \iff \lVert f \rVert_\infty = 0\)); N2: \(\lVert \alpha f \rVert_\infty = \max \lvert \alpha f(x) \rvert = \lvert \alpha \rvert \max \lvert f(x) \rvert\); N3: \(\max \lvert f(x)+g(x) \rvert \le \max(\lvert f(x) \rvert + \lvert g(x) \rvert) \le \lVert f \rVert_\infty + \lVert g \rVert_\infty\)। এখানে \(d(f,g) = \lVert f-g \rVert_\infty = \max \lvert f(x)-g(x) \rvert\) — এটাই metric space-এর chapter-এর sup metric।

Sup norm on C[a,b]

চিত্র ৫: \(C[a,b]\)-এ sup norm — \(\lVert f-g \rVert_\infty\) হলো দুটো function-এর graph-এর সর্বোচ্চ উল্লম্ব দূরত্ব (বেগুনি দ্বিমুখী তীর)।

উদাহরণ: Sequence Space \(\ell^p\)¶

\(p \ge 1\) হলে:

\[\ell^p = \left\{ (x_n)_{n=1}^\infty : \sum_{n=1}^\infty \lvert x_n \rvert^p < \infty \right\}\]

এই space-এ norm:

\[\lVert (x_n) \rVert_p = \left( \sum_{n=1}^\infty \lvert x_n \rvert^p \right)^{1/p}\]

Triangle inequality প্রমাণে লাগে Minkowski's inequality। বিশেষ ক্ষেত্র:

\(\ell^1\): absolute-summable sequences।
\(\ell^2\): square-summable sequences (quantum mechanics-এ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ)।
\(\ell^\infty\): bounded sequences, \(\lVert (x_n) \rVert_\infty = \sup_n \lvert x_n \rvert\)।

Convex Set (উত্তল সেট)¶

সংজ্ঞা: Convex Set

একটা set \(C \subseteq V\) কে convex (উত্তল) বলা হয় যদি যেকোনো দুটো বিন্দু \(x, y \in C\) এবং যেকোনো \(t \in [0,1]\)-এর জন্য:

\[tx + (1-t)y \in C\]

অর্থাৎ যেকোনো দুটো বিন্দুকে সংযোগকারী সরলরেখাংশটা পুরোটাই \(C\)-এর মধ্যে।

উপপাদ্য: Unit Ball Convex

যেকোনো normed space-এ unit ball \(B = \{x : \lVert x \rVert \le 1\}\) সবসময় convex।

প্রমাণ: \(x, y \in B\) নাও এবং \(t \in [0,1]\)। তাহলে:

\[\lVert tx + (1-t)y \rVert \le t\lVert x \rVert + (1-t)\lVert y \rVert \le t \cdot 1 + (1-t) \cdot 1 = 1\]

তাই \(tx+(1-t)y \in B\)। \(\square\)

Convex vs non-convex set

চিত্র ৬: বাঁয়ে convex set — যেকোনো দুটো বিন্দুর সংযোগরেখা পুরোটাই ভেতরে। ডানে non-convex (অর্ধচন্দ্রাকার) — সংযোগরেখার অংশ বাইরে বেরিয়ে যায়। Normed space-এর unit ball সবসময় বাঁয়ের মতো।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: norm যেন "ওজন স্কেল"¶

একটা vector space ভাবো একটা দেশের সব শহরের সংগ্রহ হিসেবে (abstract)। Norm হলো প্রতিটা শহরের "দূরত্ব রাজধানী থেকে"। বিভিন্ন রাস্তার নেটওয়ার্ক দিলে বিভিন্ন norm তৈরি হয় (\(\ell^1\) = গ্রিড রাস্তা, \(\ell^2\) = সরাসরি পথ, \(\ell^\infty\) = chess king)।

Worked example 1: \(\mathbb{R}^2\)-এ norm তুলনা¶

\(\mathbf{x} = (3, 4)\) নাও।

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_1 = 3 + 4 = 7\]

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\]

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty = \max(3, 4) = 4\]

সবসময় সত্য (general inequality): \(\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty \le \lVert \mathbf{x} \rVert_2 \le \lVert \mathbf{x} \rVert_1\)।

উপরের উদাহরণে: \(4 \le 5 \le 7\) — ✓।

Worked example 2: \(C[0,1]\)-এ sup norm¶

\(f(x) = x^2\), \(g(x) = x\) নাও।

\[\lVert f - g \rVert_\infty = \max_{x \in [0,1]} \lvert x^2 - x \rvert = \max_{x \in [0,1]} x(1-x)\]

\(h(x) = x(1-x)\)-এর সর্বোচ্চ কোথায়? \(h'(x) = 1-2x = 0 \Rightarrow x = 1/2\)।

\[\lVert f - g \rVert_\infty = h(1/2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Worked example 3: \(\ell^2\)-এ একটা sequence-এর norm¶

\((x_n) = \left(\frac{1}{n}\right)_{n=1}^\infty\)। এটা কি \(\ell^2\)-এ আছে?

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty\]

হ্যাঁ, \((1/n) \in \ell^2\)। এবং \(\lVert (1/n) \rVert_2 = \sqrt{\pi^2/6} = \pi/\sqrt{6}\)।

কিন্তু \((1/\sqrt{n}) \notin \ell^2\) কারণ \(\sum 1/n\) diverges।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

N2 ভুলে যাওয়া। Norm verify করতে গিয়ে N1 ও N3 দেখা হয়, কিন্তু homogeneity (\(\lVert \alpha x \rVert = \lvert \alpha \rvert \lVert x \rVert\)) চেক করা হয় না।
Norm-কে metric ভাবা (বা উল্টো)। Norm metric-এর চেয়ে বেশি structure দেয় — homogeneity এবং translation invariance আছে। সব metric normed space থেকে আসে না।
\(\lvert \cdot \rvert\) আর \(\lVert \cdot \rVert\) গুলিয়ে ফেলা। \(\lvert \alpha \rvert\) হলো scalar \(\alpha\)-এর absolute value (একটা সংখ্যা); \(\lVert x \rVert\) হলো vector \(x\)-এর norm।
\(\ell^p\) space-এ convergence-এর শর্ত। \(\ell^2\)-এ থাকতে হলে শুধু bounded হলেই হয় না — \(\sum \lvert x_n \rvert^2 < \infty\) লাগে।
Unit ball আর closed ball গুলানো। Unit ball সাধারণত \(\{x : \lVert x \rVert \le 1\}\) (closed) — কখনো কখনো \(\{x : \lVert x \rVert < 1\}\) (open) বোঝায়। context দেখো।
"norm" আর "normed space"-এর পার্থক্য। Norm হলো ফাংশন \(\lVert \cdot \rVert\); normed space হলো জোড় \((V, \lVert \cdot \rVert)\)। একটা vector space-এ একাধিক different norm থাকতে পারে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

\(\mathbf{x} = (1, -2, 3) \in \mathbb{R}^3\)-এর জন্য \(\lVert \mathbf{x} \rVert_1\), \(\lVert \mathbf{x} \rVert_2\), \(\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty\) হিসেব করো। দেখাও \(\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty \le \lVert \mathbf{x} \rVert_2 \le \lVert \mathbf{x} \rVert_1\)।
\(\mathbb{R}^n\)-এ দেখাও: সব \(\mathbf{x}\)-এর জন্য \(\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty \le \lVert \mathbf{x} \rVert_2 \le \sqrt{n}\,\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty\)। [ইঙ্গিত: প্রথম অংশ: max ≤ sum-of-squares-এর square root। দ্বিতীয়: \(n\) টার্ম আছে।]
\((C[0,1], \lVert \cdot \rVert_\infty)\)-এ \(f(x) = \sin(\pi x)\) এবং \(g(x) = x(1-x)\)-এর মধ্যে sup norm distance কত?
দেখাও যে \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\)-এর জন্য \(\lVert f \rVert_1 = \int_0^1 \lvert f(x) \rvert\, dx\) একটা norm। (এই norm-এ \(C[0,1]\) incomplete — পরের অধ্যায়ে দেখব।)
\((x_n) = \left(\frac{1}{n^2}\right)_{n \ge 1}\)। এটা কি \(\ell^1\)-এ আছে? \(\ell^2\)-এ? উভয় ক্ষেত্রে norm হিসেব করো।
দেখাও: \(\lVert x \rVert = \lVert y \rVert\) হলে \(\lVert x+y \rVert\) আর \(\lVert x-y \rVert\) একটা নির্দিষ্ট সম্পর্ক মানে। [ইঙ্গিত: parallelogram law: \(\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 = 2(\lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2)\) — এটা \(\ell^2\)-এ সত্য কিন্তু \(\ell^1\)-এ নয়।]
\(V = \mathbb{R}^2\)-এ \(\lVert (x_1, x_2) \rVert = \lvert x_1 \rvert + 2\lvert x_2 \rvert\) কি একটা norm? তিনটা axiom verify করো।
\(\ell^2\)-এর standard basis vector \(e_k = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)\) (k-তম স্থানে ১) নাও। \(\lVert e_k \rVert_2\) কত? \(e_k \to 0\) কি \(\ell^2\)-এ (norm convergence অর্থে)?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{x} = (1, -2, 3)\)।

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_1 = \lvert 1 \rvert + \lvert -2 \rvert + \lvert 3 \rvert = 1 + 2 + 3 = 6\]

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.74\]

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty = \max(1, 2, 3) = 3\]

চেক: \(3 \le \sqrt{14} \le 6\) — হ্যাঁ, \(3 \le 3.74 \le 6\)। ✓

স্বজ্ঞা: \(\ell^\infty\) সবচেয়ে ছোট (শুধু সর্বোচ্চ component দেখে), \(\ell^1\) সবচেয়ে বড় (সব component যোগ করে), \(\ell^2\) মাঝামাঝি।

২-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)\) নাও।

বাঁদিক (\(\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty \le \lVert \mathbf{x} \rVert_2\)): ধরো \(\lvert x_k \rvert = \max_i \lvert x_i \rvert\)। তাহলে:

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_2^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \ge x_k^2 = \lVert \mathbf{x} \rVert_\infty^2\]

square root নিলে: \(\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty \le \lVert \mathbf{x} \rVert_2\)। ✓

ডানদিক (\(\lVert \mathbf{x} \rVert_2 \le \sqrt{n}\,\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty\)): প্রতিটা \(x_i^2 \le \lVert \mathbf{x} \rVert_\infty^2\), তাই:

\[\lVert \mathbf{x} \rVert_2^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \le n \lVert \mathbf{x} \rVert_\infty^2\]

square root: \(\lVert \mathbf{x} \rVert_2 \le \sqrt{n}\,\lVert \mathbf{x} \rVert_\infty\)। ✓

৩-নং সমাধান দেখাও

\(\lVert f - g \rVert_\infty = \max_{x \in [0,1]} \lvert \sin(\pi x) - x(1-x) \rvert\)।

উভয় function \([0,1]\)-এ \(0\) থেকে শুরু হয়ে \(0\)-তে শেষ হয়। পার্থক্য \(h(x) = \sin(\pi x) - x(1-x)\) সর্বোচ্চ কোথায়?

\(h'(x) = \pi \cos(\pi x) - (1 - 2x) = 0\) — এটা numerically সমাধান করতে হবে। \(x = 0.5\)-এ:

\[h(0.5) = \sin(\pi/2) - 0.5 \times 0.5 = 1 - 0.25 = 0.75\]

সীমানায় \(h(0) = h(1) = 0\)। Function-টা \(x = 0.5\)-এ সর্বোচ্চ।

\[\lVert f - g \rVert_\infty = 0.75\]

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\lVert f \rVert_1 = \int_0^1 \lvert f(x) \rvert\, dx\) verify:

N1: \(\lvert f(x) \rvert \ge 0\), তাই integral \(\ge 0\)। আর \(\int_0^1 \lvert f \rvert = 0 \iff \lvert f \rvert = 0\) a.e. — continuous \(f\)-এর জন্য এর মানে \(f \equiv 0\)। ✓

N2: \(\int_0^1 \lvert \alpha f \rvert = \lvert \alpha \rvert \int_0^1 \lvert f \rvert\)। ✓

N3: \(\int_0^1 \lvert f+g \rvert \le \int_0^1 (\lvert f \rvert + \lvert g \rvert) = \lVert f \rVert_1 + \lVert g \rVert_1\)। ✓

তাই \(\lVert \cdot \rVert_1\) একটা norm।

৫-নং সমাধান দেখাও

\((x_n) = (1/n^2)\)।

\(\ell^1\)-এ আছে কিনা: \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty\)। হ্যাঁ, \(\ell^1\)-এ আছে।

\[\lVert (1/n^2) \rVert_1 = \frac{\pi^2}{6}\]

\(\ell^2\)-এ আছে কিনা: \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}\)। \(p\)-series: \(p=4 > 1\) তাই convergent।

\[\lVert (1/n^2) \rVert_2 = \sqrt{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}} = \sqrt{\frac{\pi^4}{90}} = \frac{\pi^2}{\sqrt{90}} = \frac{\pi^2}{3\sqrt{10}}\]

(\(\sum 1/n^4 = \pi^4/90\) — Basel problem-এর extension।)

৬-নং সমাধান দেখাও

Parallelogram law verify করি \(\ell^2\)-এ:

\(\lVert x+y \rVert_2^2 + \lVert x-y \rVert_2^2 = \sum(x_i+y_i)^2 + \sum(x_i-y_i)^2\)

\(= \sum (x_i^2 + 2x_iy_i + y_i^2) + \sum(x_i^2 - 2x_iy_i + y_i^2)\)

\(= 2\sum x_i^2 + 2\sum y_i^2 = 2(\lVert x \rVert_2^2 + \lVert y \rVert_2^2)\) ✓

\(\ell^1\)-এ এটা ব্যর্থ: \(x = (1,0)\), \(y = (0,1)\) নাও। \(\lVert x+y \rVert_1 = 2\), \(\lVert x-y \rVert_1 = 2\)। বাঁদিক \(= 4+4 = 8\)। ডানদিক \(= 2(1+1) = 4\)। \(8 \ne 4\) — parallelogram law ব্যর্থ। তাই \(\ell^1\) norm কোনো inner product থেকে আসে না।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(\lVert (x_1, x_2) \rVert = \lvert x_1 \rvert + 2\lvert x_2 \rvert\)।

N1: \(\lvert x_1 \rvert + 2\lvert x_2 \rvert \ge 0\)। সমান শূন্য \(\iff x_1 = x_2 = 0\)। ✓

N2: \(\lVert (\alpha x_1, \alpha x_2) \rVert = \lvert \alpha x_1 \rvert + 2\lvert \alpha x_2 \rvert = \lvert \alpha \rvert(\lvert x_1 \rvert + 2\lvert x_2 \rvert) = \lvert \alpha \rvert \lVert (x_1,x_2) \rVert\)। ✓

N3: \(\lVert (x_1+y_1, x_2+y_2) \rVert = \lvert x_1+y_1 \rvert + 2\lvert x_2+y_2 \rvert\) \(\le (\lvert x_1 \rvert + \lvert y_1 \rvert) + 2(\lvert x_2 \rvert + \lvert y_2 \rvert)\) \(= \lVert (x_1,x_2) \rVert + \lVert (y_1,y_2) \rVert\)। ✓

হ্যাঁ, এটা একটা valid norm। এটা আসলে weighted \(\ell^1\) norm — \(w = (1, 2)\) weight দিয়ে।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(e_k\)-এর শুধু \(k\)-তম component ১, বাকি সব ০।

\[\lVert e_k \rVert_2 = \sqrt{0 + \cdots + 1 + \cdots + 0} = 1\]

সব \(k\)-এর জন্য \(\lVert e_k \rVert_2 = 1\)।

\(e_k \to 0\)? Norm convergence মানে \(\lVert e_k - 0 \rVert_2 = \lVert e_k \rVert_2 = 1 \to 0\) হওয়া। কিন্তু \(1 \not\to 0\)।

তাই \(e_k\) norm-এ \(0\)-তে converge করে না। (যদিও coordinate-wise — weakly — \(0\)-তে যায়: প্রতিটা fixed index \(j\)-এর জন্য \((e_k)_j = 0\) যখন \(k \ne j\)।)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Vector space কী — addition ও scalar multiplication-এর axiom বলতে পারি।
[ ] Norm-এর তিনটা axiom (N1 positivity, N2 homogeneity, N3 triangle inequality) চোখ বন্ধ করে বলতে পারি।
[ ] Norm থেকে metric \(d(x,y) = \lVert x-y \rVert\) তৈরির proof বুঝেছি।
[ ] \(\mathbb{R}^n\)-এ \(\ell^1, \ell^2, \ell^\infty\) norm-এর formula জানি এবং তাদের unit ball-এর আকার (diamond/circle/square) চিনতে পারি।
[ ] \(C[a,b]\)-এ sup norm কী এবং \(d_\infty\) metric-এর সাথে সম্পর্ক জানি।
[ ] \(\ell^p\) sequence space কী — কোন sequence-গুলো ঢুকতে পারে তা বলতে পারি।
[ ] Convex set সংজ্ঞা জানি; unit ball সবসময় convex — প্রমাণ করতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 4.2 — Banach Space (Completeness) — normed space-এ যখন Cauchy sequence-এর limit সবসময় থাকে, তখনই পাওয়া যায় সবচেয়ে শক্তিশালী কাঠামো — Banach space।