6.3 — Radon–Nikodym Theorem¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: absolutely continuous measure (পরম অবিচ্ছিন্ন পরিমাপ) ν≪μ কী; Radon–Nikodym theorem — প্রতিটা absolutely continuous complex measure-কে একটা density (ঘনত্ব ফাংশন) h দিয়ে লেখা যায়; RN derivative dν/dμ ও তার a.e. uniqueness (প্রায়-সর্বত্র স্বাতন্ত্র্য); chain rule; দুইটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ — Lᵖ space-এর dual space চেনা, এবং probability density-র ভিত্তি।

উৎস (source): Radon, Nikodym।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আগের দুটো অধ্যায়ে আমরা signed/complex measure চিনেছি এবং Hahn–Jordan–Lebesgue decomposition দেখেছি। এখন একটা মৌলিক প্রশ্ন: দুটো measure μ আর ν-এর মধ্যে যদি একটা "সূক্ষ্ম সম্পর্ক" থাকে — অর্থাৎ ν যেন μ-এর কাছ থেকে "ধার নেওয়া" — তাহলে কি ν-কে একটা ফাংশন h দিয়ে ব্যাখ্যা করা যায়?

একটা চেনা উদাহরণ। ধরো μ = Lebesgue measure on [0,1]। আর ν(E) = ∫_E 2x dx — অর্থাৎ density 2x দিয়ে তৈরি measure। এই ν একটা probability measure (ν([0,1]) = 1), এবং প্রতিটা μ-null set (Lebesgue measure শূন্য) ν-তেও শূন্য। এই সম্পর্কটাকেই বলে absolute continuity (পরম অবিচ্ছিন্নতা)।

Radon–Nikodym theorem (Axler 9.36) বলে: এই সম্পর্কটার সম্পূর্ণ বিপরীত চিত্রও সত্য — ν≪μ হলেই সবসময় এমন একটা h পাওয়া যায়। এটা আসলে একটা বিশাল কথা: সব absolutely continuous measure আসলে একটা ফাংশনের integration।

এই theorem-এর প্রয়োগ সর্বত্র:

Probability: কোনো random variable X-এর distribution একটা density function (pdf) আছে যদি এবং কেবল যদি তার distribution measure Lebesgue measure-এর সাপেক্ষে absolutely continuous হয়। Radon–Nikodym derivative-ই সেই pdf।
Dual of Lᵖ: (Lᵖ)' ≅ Lᵖ' — এই গুরুত্বপূর্ণ isomorphism প্রমাণ করতে RN theorem সরাসরি ব্যবহার হয় (Axler 9.42)।
Statistics: Likelihood ratio, Radon–Nikodym derivative হিসেবে লেখা যায়।

মূল স্বজ্ঞা

Absolute continuity মানে: μ যা "দেখে না" (μ-null set), ν-ও তা "দেখে না"। Radon–Nikodym বলে: ঠিক এই অবস্থায় ν এবং μ-এর মধ্যে একটা density function h আছে — ν(E) = ∫_E h dμ। h-ই হলো দুই measure-এর "exchange rate"।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Absolute Continuity (পরম অবিচ্ছিন্নতা)¶

ধারণাটা সরল: μ যেখানে "কিছু মাপে না" (μ(E)=0), ν-ও সেখানে "কিছু মাপে না" (ν(E)=0)।

বাঁয়ে ν≪μ (abs. cont.) — μ-null set-এ ν=0; ডানে ν সেটায় positive থাকে

চিত্র ১: বাঁয়ে absolutely continuous case — সবুজ মার্ক করা null set-এ ν(E)=0। ডানে not abs. cont. — সেই null set-এ ν(E)>0।

Analogy: ভাবো μ হলো "পৃষ্ঠের ওজন" এবং ν হলো "রঙের আবরণ"। যেখানে ওজন শূন্য (কোনো পৃষ্ঠ নেই), সেখানে রঙও থাকতে পারে না। এটাই absolute continuity।

Density h = dν/dμ¶

Radon–Nikodym theorem বলে: absolutely continuous হলে একটা h আছে যা "local exchange rate" — ছোট এলাকায় Δν/Δμ ≈ h।

Density h=dν/dμ: অঞ্চল E-এর ν(E) হলো h-এর area তলে

চিত্র ২: Radon–Nikodym density h=dν/dμ। সবুজ রঙ করা E অঞ্চলে ν(E) = ∫_E h dμ — h-এর curve-এর নিচে area।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Absolute Continuity-র সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা (Axler 9.31): ν≪μ এবং ν⊥μ

ধরো μ একটা (positive) measure এবং ν একটা complex measure, উভয়ই \((X, \mathcal{S})\)-তে।

Absolutely continuous (পরম অবিচ্ছিন্ন): ν≪μ বলা হয় যদি \(\mu(E)=0 \Rightarrow \nu(E)=0\)।
Singular (বিচ্ছিন্ন): ν⊥μ বলা হয় যদি এমন দুটো disjoint set A, B ∈ S থাকে যেখানে A∪B = X, এবং ν শুধু A-এর উপর "বাঁচে" আর μ শুধু B-এর উপর "বাঁচে"।

স্বজ্ঞা: ν≪μ মানে ν-এর "support" μ-এর "support"-এর ভেতরে। আর ν⊥μ মানে দুটো আলাদা জায়গায় বাস করে — কোনো intersection নেই।

সহজ উদাহরণ: Real line-এ μ = Lebesgue measure। তাহলে: - \(d\nu = \sin(x)\,d\lambda\) হলে ν≪μ (কারণ যেখানে λ শূন্য, সেখানে ν-ও শূন্য)। - ν = Dirac delta \(\delta_0\) হলে ν⊥μ (ν শুধু {0}-এ বাঁচে, μ শুধু {0}-এর বাইরে বাঁচে)।

Radon–Nikodym Theorem¶

উপপাদ্য ৯.৩৬ (Axler): Radon–Nikodym Theorem

ধরো μ একটা (positive) σ-finite measure এবং ν একটা complex measure, উভয়ই \((X, \mathcal{S})\)-তে, এবং ν≪μ।

তাহলে এমন একটা h ∈ L¹(μ) আছে যাতে:

\[d\nu = h \, d\mu\]

অর্থাৎ প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য:

\[\nu(E) = \int_E h \, d\mu\]

প্রমাণ-স্কেচ (von Neumann-এর elegant approach):

ধরো প্রথমে μ ও ν উভয়ই finite positive measures। সংজ্ঞা করি linear functional:

\[\varphi(f) = \int f \, d\nu \quad \text{on } L^2(\nu + \mu)\]

Hölder's inequality দিয়ে দেখা যায় φ bounded। তাই Riesz Representation Theorem (8.47) (John von Neumann-এর clever idea) প্রয়োগ করা যায় — এমন g ∈ L²(ν+μ) পাওয়া যায় যাতে:

\[\int f \, d\nu = \int f g \, d(\nu + \mu)\]

Rearrange করলে:

\[\int f(1 - g) \, d\nu = \int f g \, d\mu\]

দেখানো যায় 0 ≤ g < 1 a.e., এবং তখন \(h = g/(1-g)\) define করলে ν(E) = ∫_E h dμ পাওয়া যায় (Monotone Convergence Theorem-এর সাবধানী প্রয়োগে)।

σ-finite case: X কে বাড়তি finite measure সহ ছোট set দিয়ে ঢাকো এবং হ্রাসমান limit নাও। Real/complex case: Jordan decomposition বা real/imaginary parts আলাদা করো। ☐

ν(E) = ∫_E h dμ — area interpretation, দুটো case

চিত্র ৩: বাঁয়ে ধনাত্মক density h>0 — ν(E) হলো E-এর উপর area (সবুজ)। ডানে signed density — ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশ আলাদা।

RN Derivative — স্থানীয় অনুপাত হিসেবে¶

Density h-কে "local ratio" হিসেবে ভাবা যায়:

\[\frac{d\nu}{d\mu}(x) = \lim_{\delta \to 0} \frac{\nu(B_\delta(x))}{\mu(B_\delta(x))}\]

যেখানে \(B_\delta(x)\) হলো x-এর δ-neighbourhood। ছোট এলাকায় ν কতটা μ-এর তুলনায় "বড়" সেটাই h বলে দেয়।

RN derivative as local ratio Δν/Δμ — finite approximations দেখানো হয়েছে

চিত্র ৪: RN derivative h(x) = dν/dμ হলো local ratio Δν/Δμ-এর limit। দুটো ভিন্ন স্থানে finite approximation (লাল আনুভূমিক রেখা) দেখানো হয়েছে।

Notation: h = dν/dμ, h-কে বলে Radon–Nikodym derivative (রেডোঁ–নিকোডিম অবকলন) of ν with respect to μ।

A.e. Uniqueness (প্রায়-সর্বত্র স্বাতন্ত্র্য)¶

উপপাদ্য: RN Derivative is Unique μ-a.e.

ধরো ν≪μ এবং \(d\nu = h_1 \, d\mu = h_2 \, d\mu\)। তাহলে \(h_1 = h_2\) μ-almost everywhere।

অর্থাৎ \(\mu(\{x : h_1(x) \neq h_2(x)\}) = 0\)।

প্রমাণ: \(d\nu = h_1\,d\mu = h_2\,d\mu\) থেকে \(d(h_1 - h_2)\,d\mu = 0\)। তাই \(\int_E (h_1 - h_2)\,d\mu = 0\) সব \(E\)-এর জন্য। ফলে \(h_1 - h_2 = 0\) μ-a.e.। ☐

Corollary: যদি আমরা h-কে \(L^1(\mu)\)-এর element হিসেবে দেখি (a.e.-equivalent functions identify করে), তাহলে RN derivative uniquely determined।

দুটো version h₁, h₂ একটা μ-null set-এ আলাদা — কিন্তু μ-a.e. সমান

চিত্র ৫: h₁ (নীল) ও h₂ (লাল ড্যাশ) একটি single point-এ আলাদা — কিন্তু সেটা μ-null set। μ-a.e. হিসেবে h₁ = h₂।

Chain Rule (শিকলের নিয়ম)¶

উপপাদ্য: Chain Rule for RN Derivatives

ধরো ρ≪ν≪μ। তাহলে:

\[\frac{d\rho}{d\mu} = \frac{d\rho}{d\nu} \cdot \frac{d\nu}{d\mu} \quad \mu\text{-a.e.}\]

স্বজ্ঞা: ঠিক সাধারণ calculus-এর chain rule-এর মতো। μ থেকে ρ-এ যেতে "দুটো ধাপ": প্রথমে μ থেকে ν (rate h₁), তারপর ν থেকে ρ (rate h₂)। মোট rate h₁·h₂।

প্রমাণ-স্কেচ: \(\rho(E) = \int_E \frac{d\rho}{d\nu}\,d\nu = \int_E \frac{d\rho}{d\nu} \cdot \frac{d\nu}{d\mu}\,d\mu\)। Uniqueness থেকে chain rule পাওয়া যায়। ☐

Chain rule: h₁=dν/dμ, h₂=dρ/dν; গুণফল h₁h₂=dρ/dμ

চিত্র ৬: Chain rule visualization। বাঁয়ে h₁=dν/dμ (নীল), মাঝে h₂=dρ/dν (সবুজ), ডানে product h₁h₂=dρ/dμ (লাল)। area product = total rate।

Dual of Lᵖ — বড় প্রয়োগ¶

উপপাদ্য ৯.৪২ (Axler): Dual Space of Lᵖ(μ)

ধরো μ একটা (positive) σ-finite measure এবং 1 ≤ p < ∞। তাহলে \(h \mapsto \varphi_h\) একটা isometric isomorphism (সমদৈর্ঘ্য সমাকৃতিত্ব) \(L^{p'}(\mu) \to (L^p(\mu))'\), যেখানে:

\[\varphi_h(f) = \int f h \, d\mu, \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1\]

মূল ধারণা: প্রতিটা bounded linear functional on \(L^p(\mu)\) আসলে একটা \(h \in L^{p'}(\mu)\)-এর বিপরীতে inner-product-type pairing। এটা প্রমাণ করতে: functional φ দিয়ে একটা signed measure ν(E) = φ(χ_E) তৈরি করো; ν≪μ দেখাও; Radon–Nikodym দিয়ে h খোঁজো; তারপর দেখাও h ∈ L^{p'}।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১: Normal Distribution-এর Density¶

Normal distribution-এর probability measure:

\[\nu(E) = \int_E \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \, d\lambda(x)\]

এখানে \(h(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\) হলো Radon–Nikodym derivative of ν with respect to Lebesgue measure λ।

ν≪λ কারণ: যেখানে λ(E) = 0, সেখানে ∫_E h dλ = 0।

এই h-ই সেই চেনা probability density function (pdf) বা ঘনত্ব ফাংশন।

Normal distribution-এর pdf = RN derivative; CDF = integral of density

চিত্র ৭: বাঁয়ে Normal pdf = dν/dλ = Radon–Nikodym density। সবুজ অঞ্চল ν([-1,1]) ≈ 0.68। ডানে CDF = ∫_{-∞}^x h dλ।

উদাহরণ ২: দুটো Lebesgue Measure¶

\(d\nu = (1+x^2)\,d\lambda\) on [0,1]। তাহলে:

h(x) = 1+x² ≥ 0, h ∈ L¹([0,1])।
ν([0,1]) = ∫₀¹ (1+x²) dx = 4/3।
ν≪λ: যেখানে λ(E)=0, ∫_E (1+x²)dλ = 0।
chain rule: যদি dρ = x dν = x(1+x²)dλ, তাহলে dρ/dλ = x(1+x²)।

উদাহরণ ৩: Counting Measure¶

\(X = \mathbb{Z}^+\), μ = counting measure। তাহলে \(h = (h_1, h_2, \ldots) \in \ell^1\)। ν(E) = Σ_{n∈E} hₙ। এখানে RN derivative h হলো একটা sequence। \(L^1(\mu)\) = \(\ell^1\)।

Analogy: Currency Exchange¶

μ হলো Euro, ν হলো Dollar। h(x) = exchange rate at x। ν(E) = ∫_E h dμ মানে: region E-তে যত Euro আছে, সেটা exchange rate h দিয়ে Dollar-এ রূপান্তর। Chain rule মানে: Euro → Dollar → Yen-এর মোট rate = দুটো rate-এর গুণফল।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

σ-finite ভুলে যাওয়া। Radon–Nikodym theorem-এর জন্য μ অবশ্যই σ-finite হতে হবে। Uncountable discrete measure-এর উপর theorem ব্যর্থ হতে পারে (Axler Exercise 9B.13)।
h ≥ 0 ধরে নেওয়া। ν যদি signed বা complex measure হয়, তাহলে h ∈ L¹(μ) কিন্তু h সাধারণত নেগেটিভ বা complex হতে পারে। h ≥ 0 শুধু ν positive measure হলে।
"Unique" মানে "exactly same function"। h হলো μ-a.e. unique — দুটো h₁, h₂ যদি μ-null set-এ আলাদা হয়, তারা একই element of L¹(μ)।
ν≪μ না দেখেই theorem apply করা। শুধু absolute continuity থাকলেই theorem কাজ করে — singular part সরিয়ে দিতে হবে (Lebesgue decomposition করতে হতে পারে)।
Chain rule-এ ν≪μ ধরে নেওয়া। Chain rule-এ ρ≪ν এবং ν≪μ দুটোই লাগে।
|dν/dμ| = d|ν|/dμ নয়। সঠিক: \(d|\nu| = |h| \, d\mu\), কিন্তু \(\left|\int_E h \, d\mu\right| \neq \int_E |h| \, d\mu\) সাধারণত।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

ধরো \(\lambda\) হলো Lebesgue measure on \([0, 2\pi]\) এবং \(\nu(E) = \int_E \cos(x) \, d\lambda(x)\)। (ক) ν≪λ? প্রমাণ করো। (খ) ν-এর RN derivative বের করো। (গ) ν([0, π]) এবং ν([π, 2π]) হিসেব করো।
μ = counting measure on \(\{1, 2, 3\}\), ν({1}) = 2, ν({2}) = -1, ν({3}) = 3। (ক) ν≪μ? (খ) h = dν/dμ বের করো। (গ) ∫ h dμ হিসেব করো।
ধরো μ আর ν দুটো finite positive measure এবং ν≪μ। দেখাও: যদি μ(E) → 0 হয়, তাহলে ν(E) → 0। [ইঙ্গিত: ε-δ argument নয় — Radon–Nikodym দিয়ে absolute continuity-র ε-δ characterization ব্যবহার করো।]
ধরো \(d\nu_1 = h_1 \, d\mu\) এবং \(d\nu_2 = h_2 \, d\mu\)। প্রমাণ করো: \(d(\nu_1 + \nu_2) = (h_1 + h_2) \, d\mu\)। এটা কি বলে? (RN derivative-র linearity।)
ধরো ν≪μ≪λ (তিনটা positive σ-finite measure)। chain rule ব্যবহার করে দেখাও: \(\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda}\) μ-a.e.।
ধরো \((X, \mathcal{S}, \mu)\) হলো [0,1] এ Lebesgue measure এবং \(h(x) = 3x^2\)। (ক) ν(E) = ∫_E h dμ define করো। (খ) ν([0, 1/2]) হিসেব করো। (গ) dν/dμ কী? (ঘ) ν([0,1]) কত?
প্রমাণ করো: ν≪μ এবং ν⊥μ একসাথে হলে ν = 0। [ইঙ্গিত: ν⊥μ দিয়ে disjoint A,B নাও; ν≪μ ব্যবহার করো।]
ধরো \(L^2([0,1])\)-এর উপর bounded linear functional \(\varphi(f) = \int_0^1 f(x) \cdot x \, d\lambda(x)\)। Riesz representation-এর analogy দিয়ে বলো: "Radon–Nikodym density" কোথায় প্রকাশ পাচ্ছে?

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

(ক) ν≪λ। কারণ: যদি λ(E) = 0, তাহলে ∫_E |cos x| dλ = 0 (a.e. zero on a null set), তাই ν(E) = ∫_E cos x dλ = 0। তাই ν≪λ। ✓

(খ) h(x) = cos(x) — এটাই RN derivative। ν(E) = ∫_E cos(x) dλ(x)।

(গ)

\[\nu([0, \pi]) = \int_0^\pi \cos(x) \, dx = [\sin x]_0^\pi = 0 - 0 = 0\]

\[\nu([\pi, 2\pi]) = \int_\pi^{2\pi} \cos(x) \, dx = [\sin x]_\pi^{2\pi} = 0 - 0 = 0\]

স্বজ্ঞা: cos-এর signed area একটা পূর্ণ অর্ধচক্রে শূন্য।

২-নং সমাধান দেখাও

(ক) μ = counting measure হলে μ(E) = 0 শুধুমাত্র যদি E = ∅। আর ν(∅) = 0 সবসময়। তাই ν≪μ স্বয়ংক্রিয়ভাবে। (Counting measure-এর ক্ষেত্রে সব complex measure absolutely continuous।)

(খ) h = dν/dμ: define h(1) = ν({1}) = 2, h(2) = ν({2}) = -1, h(3) = ν({3}) = 3।

তাহলে ν(E) = Σ_{k∈E} h(k) = ∫_E h dμ ✓

(গ) ∫ h dμ = h(1)μ({1}) + h(2)μ({2}) + h(3)μ({3}) = 2·1 + (-1)·1 + 3·1 = 4।

৩-নং সমাধান দেখাও

Radon–Nikodym থেকে: dν = h dμ where h ∈ L¹(μ), h ≥ 0।

ε-δ characterization: ν≪μ হলে: যেকোনো ε > 0-এর জন্য δ > 0 আছে এমন যে μ(E) < δ ⟹ ν(E) < ε।

প্রমাণ: Suppose not — তাহলে ε > 0 আছে এবং sets \(E_n\) with \(\mu(E_n) < 1/2^n\) but \(\nu(E_n) \geq \varepsilon\)।

Set \(F = \limsup E_n = \bigcap_k \bigcup_{n \geq k} E_n\)। তাহলে:

\[\mu(F) \leq \mu\Bigl(\bigcup_{n\geq k} E_n\Bigr) \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{k-1}} \to 0\]

তাই μ(F) = 0। কিন্তু ν(F) ≥ ε (Fatou's lemma-type argument)। ν≪μ-এর সাথে contradiction। ☐

৪-নং সমাধান দেখাও

প্রমাণ: যেকোনো E ∈ S-এর জন্য:

\[(\nu_1 + \nu_2)(E) = \nu_1(E) + \nu_2(E) = \int_E h_1 \, d\mu + \int_E h_2 \, d\mu = \int_E (h_1 + h_2) \, d\mu\]

তাই \(d(\nu_1 + \nu_2) = (h_1 + h_2) \, d\mu\)।

অর্থ: RN derivative হলো linear — \(\frac{d(\nu_1+\nu_2)}{d\mu} = \frac{d\nu_1}{d\mu} + \frac{d\nu_2}{d\mu}\)। Measures-এর যোগ density-গুলোর যোগের সমান। ☐

৫-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(h_1 = d\nu/d\mu\) এবং \(h_2 = d\mu/d\lambda\)। তাহলে:

\[\nu(E) = \int_E h_1 \, d\mu = \int_E h_1 h_2 \, d\lambda\]

শেষ সমতার জন্য: \(\int_E h_1 \, d\mu = \int_E h_1 h_2 \, d\lambda\) কারণ \(d\mu = h_2 \, d\lambda\)।

RN derivative-র uniqueness থেকে: \(d\nu/d\lambda = h_1 h_2 = (d\nu/d\mu)(d\mu/d\lambda)\)। ☐

৬-নং সমাধান দেখাও

(ক) ν(E) = ∫_E 3x² dλ(x)।

(খ) \(\nu([0, 1/2]) = \int_0^{1/2} 3x^2 \, dx = [x^3]_0^{1/2} = 1/8\)।

(গ) \(d\nu/d\mu = h(x) = 3x^2\)। এটাই RN derivative।

(ঘ) \(\nu([0,1]) = \int_0^1 3x^2 \, dx = [x^3]_0^1 = 1\)। (ν একটা probability measure।)

৭-নং সমাধান দেখাও

ν≪μ এবং ν⊥μ একসাথে ধরো।

ν⊥μ থেকে: disjoint A, B ∈ S আছে যেখানে A∪B = X, ν "lives on" A, μ "lives on" B।

"ν lives on A" মানে: সব E ⊆ B এর জন্য ν(E) = 0। "μ lives on B" মানে: সব E ⊆ A এর জন্য μ(E) = 0।

ν≪μ থেকে: যদি μ(E) = 0 তাহলে ν(E) = 0।

এখন যেকোনো E ∈ S নাও: E = (E∩A) ∪ (E∩B)। - E∩A ⊆ A, তাই μ(E∩A) = 0, তাই ν≪μ থেকে ν(E∩A) = 0। - E∩B ⊆ B, তাই ν(E∩B) = 0 (ν lives on A)।

তাই ν(E) = ν(E∩A) + ν(E∩B) = 0 + 0 = 0। সব E-এর জন্য ν(E) = 0, তাই ν = 0। ☐

৮-নং সমাধান দেখাও

φ(f) = ∫₀¹ f(x) · x dλ(x)।

এখানে "Radon–Nikodym density" হলো h(x) = x।

ν(E) = φ(χ_E) = ∫_E x dλ(x) একটা real measure, এবং ν≪λ।

RN theorem থেকে dν/dλ = x — এই x-ই density।

L²-এর dual-এর context-এ: φ = φ_h যেখানে h(x) = x ∈ L²([0,1])।

Theorem 9.42-এর সাথে connection: φ(f) = ∫ f · h dλ যেখানে h ∈ L² (dual exponent p' = 2 for p = 2)।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Absolute continuity (ν≪μ): সংজ্ঞা জানি — μ(E)=0 ⟹ ν(E)=0। Singular (ν⊥μ) থেকে পার্থক্য বুঝি।
[ ] Radon–Nikodym Theorem (9.36): statement জানি — σ-finite μ এবং ν≪μ হলে h ∈ L¹(μ) আছে যাতে dν = h dμ। σ-finite-এর দরকার কেন সেটা বুঝি।
[ ] RN derivative dν/dμ: "local ratio" হিসেবে বুঝি; notation জানি।
[ ] A.e. uniqueness: h হলো L¹(μ)-এ unique।
[ ] Chain rule: ρ≪ν≪μ হলে dρ/dμ = (dρ/dν)(dν/dμ)।
[ ] Dual of Lᵖ (Theorem 9.42): (Lᵖ)' ≅ Lᵖ' — RN theorem কীভাবে এটা প্রমাণ করতে ব্যবহার হয় জানি।
[ ] Probability density: normal, uniform ইত্যাদি pdf-ই RN derivative w.r.t. Lebesgue measure।

➡️ পরের অধ্যায়: 6.4 — Adjoint ও Invertibility — Hilbert space-এ operator T-এর adjoint T সংজ্ঞায়িত হয় ⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩ দিয়ে; ker T* = (ran T)⊥; invertible operator আর bounded inverse theorem।