3.10 — Product Measure; Fubini ও Tonelli¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: product σ-algebra (গুণফল সিগমা-বীজগণিত) ও product measure (গুণফল পরিমাপ) কীভাবে বানাই; Monotone Class Theorem-এর ভূমিকা; Tonelli's theorem (টোনেল্লি) — ঋণাত্মক না হওয়া ফাংশনের জন্য integral-এর ক্রম পাল্টানো যায়; Fubini's theorem (ফুবিনি) — integrable ফাংশনের জন্য double integral আর iterated integral সমান; একটা counterexample যখন integrability না থাকলে ফুবিনি ব্যর্থ হয়।

উৎস (source): Fubini ও Tonelli।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

ধরো তুমি \(\mathbb{R}^2\)-এ একটা ফাংশন \(f(x, y)\) integrate করতে চাও। স্বাভাবিক উপায়: প্রথমে \(x\) fix করে \(y\)-এর সাপেক্ষে integrate করো, তারপর \(x\)-এর সাপেক্ষে। অথবা উল্টোটা। কিন্তু দুটো কাজ কি সবসময় একই উত্তর দেয়? এবং সেই উত্তর কি \(\mathbb{R}^2\)-এ সরাসরি double integral-এর সমান?

এই প্রশ্নের উত্তর দেয় Fubini's theorem (ফুবিনির উপপাদ্য) — বিশ শতকের শুরুতে Guido Fubini প্রমাণ করেন। তার আগে Leonida Tonelli তৈরি করেন nonnegative functions-এর জন্য একটা সহজতর ফলাফল।

এই theory-র দরকার পড়ে:

\(\mathbb{R}^n\)-এ Lebesgue measure define করতে (পরের অধ্যায় 3.11)
Probability theory-তে joint distributions নিয়ে কাজ করতে
Fourier analysis-এ convolution বোঝাতে
Physics-এ volume integral গণনা করতে

মূল প্রশ্ন

\(\int_X\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\,d\mu(x) = \int_Y\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\,d\nu(y) = \int_{X\times Y} f\,d(\mu\times\nu)?\)

Fubini ও Tonelli এই তিনটা quantity-র equality-র শর্ত বলে।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Rectangle analogy¶

\(X = \{\)শহরের ব্লক\(\}\), \(Y = \{\)দিন\(\}\)। \(f(x,y)\) = সেই ব্লকে সেই দিন বৃষ্টি। মোট বৃষ্টি মাপতে দুটো উপায়: (১) প্রতিটা ব্লকে সব দিনের বৃষ্টি যোগ করো, তারপর সব ব্লক যোগ করো। (২) প্রতিটা দিনে সব ব্লকের বৃষ্টি যোগ করো, তারপর সব দিন যোগ করো। দুটোই একই মোট দেওয়া উচিত।

Product measure-এর স্বজ্ঞা¶

\(X \times Y\)-এর একটা "rectangle"\(A \times B\) (যেখানে \(A \subseteq X\), \(B \subseteq Y\)) এর " area"হওয়া উচিত \(\mu(A) \cdot \nu(B)\)। Product measure \(\mu \times \nu\) হলো এই idea-কে সব measurable sets-এ extend করা।

Fubini's Theorem: slicing চিত্র ১: triangle region \(D = \{x \geq 0,\, y \geq 0,\, x+y \leq 1\}\)-এ \(f(x,y) = x+y\) integrate করা দুটো উপায়ে। বাঁয়ে: \(x\) fix করে \(y\)-slices (নীল); ডানে: \(y\) fix করে \(x\)-slices (সবুজ)। দুটোই দেয় \(1/3\)।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Product σ-Algebra¶

সংজ্ঞা: Product σ-Algebra

\((X, \mathcal{S})\) ও \((Y, \mathcal{T})\) দুটো measurable space। Product σ-algebra \(\mathcal{S} \otimes \mathcal{T}\) হলো \(X \times Y\)-এর উপর সেই সবচেয়ে ছোট σ-algebra যেটা সব measurable rectangles \(A \times B\) (\(A \in \mathcal{S}\), \(B \in \mathcal{T}\)) ধারণ করে।

কেন ছোট? অনেক σ-algebra measurable rectangles ধারণ করতে পারে। আমরা সবচেয়ে কম্প্যাক্টটা চাই।

Cross Sections (অনুচ্ছেদ)¶

চিত্র: Cross-section [E]_x: disk E-তে তিনটি x-মানে vertical slice (রঙিন দাগ) — প্রতিটি slice Y-এর একটি সাবসেট

সংজ্ঞা: Cross Section

\(E \subseteq X \times Y\) এবং \(a \in X\)। তাহলে \([E]_a = \{y \in Y : (a,y) \in E\}\) হলো \(E\)-এর \(a\)-এ cross section।

\(f: X \times Y \to \mathbb{R}\) এবং \(a \in X\)। তাহলে \([f]_a(y) = f(a,y)\) হলো \(f\)-এর \(a\)-এ cross section।

গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল: \(E \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{T}\) হলে \([E]_a \in \mathcal{T}\) সব \(a\)-এর জন্য। একইভাবে \(\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\)-measurable \(f\)-এর cross section measurable।

Monotone Class Theorem¶

কিছু proof-এ standard কৌশল কাজ করে না — measurable rectangles থেকে σ-algebra generate করার পথে "σ-algebra closed under countable unions" প্রমাণ করা কঠিন হয়। এই সমস্যার সমাধান Monotone Class Theorem:

Monotone Class Theorem

\(\mathcal{A}\) একটা set \(W\)-এর উপর algebra (finite unions ও complements-এ closed)। তাহলে সবচেয়ে ছোট σ-algebra containing \(\mathcal{A}\) = সবচেয়ে ছোট monotone class containing \(\mathcal{A}\)।

(Monotone class = increasing unions ও decreasing intersections-এ closed।)

কাজে লাগে কীভাবে: Product measure প্রমাণে, measurable rectangles-এর finite unions দিয়ে একটা algebra \(\mathcal{A}\) বানাই। তারপর দেখাই যে "desired property আছে"-র class একটা monotone class। Monotone Class Theorem বলে এই class-টাই \(\mathcal{S} \otimes \mathcal{T}\)।

Product Measure¶

চিত্র: Product measure: rectangle A×B-এর area = μ(A)·ν(B); ডানে সাধারণ E-এর measure = ∫ slice-length dμ

সংজ্ঞা: Product Measure

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) ও \((Y, \mathcal{T}, \nu)\) দুটো σ-finite measure space। \(E \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{T}\)-এর জন্য:

\((\mu \times \nu)(E) = \int_X \nu([E]_x)\,d\mu(x) = \int_X\!\int_Y \chi_E(x,y)\,d\nu(y)\,d\mu(x).\)

Rectangle-এর জন্য: \((μ \times ν)(A \times B) = \mu(A)\cdot\nu(B)\) — স্বজ্ঞার সাথে মিলে!

\(\mu \times \nu\) একটা measure: \(\mu \times \nu\) countably additive — এটা Monotone Convergence Theorem ব্যবহার করে দেখানো যায়।

Tonelli's Theorem¶

Tonelli's Theorem

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) ও \((Y, \mathcal{T}, \nu)\) σ-finite। \(f: X \times Y \to [0, \infty]\) একটা \(\mathcal{S} \otimes \mathcal{T}\)-measurable function। তাহলে:

\(\int_{X\times Y} f\,d(\mu\times\nu) = \int_X\!\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\,d\mu(x) = \int_Y\!\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\,d\nu(y).\)

(এছাড়াও দুটো iterated integral measurable।)

শর্ত: শুধু \(f \geq 0\) আর measurable — integrability লাগে না। মান \(\infty\) হওয়া ঠিক আছে।

Proof strategy:

\(f = \chi_E\)-এর জন্য প্রমাণ করো (সংজ্ঞা থেকে সরাসরি বের হয়)।
Monotone Class Theorem দিয়ে সব \(E \in \mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\)-এ extend।
Simple functions-এর জন্য প্রমাণ করো (linearity)।
Monotone Convergence Theorem দিয়ে general \(f \geq 0\)-তে নিয়ে যাও।

স্বজ্ঞা: বাক্সের আয়তন হিসাব করতে যেভাবে পাড়া ভেঙে গণনা করো — row by row বা column by column — একই উত্তর।

Fubini's Theorem¶

চিত্র: Fubini: x-slice (নীল) বা y-slice (সবুজ) যেভাবেই integrate করো, double integral একই

Fubini's Theorem

\((X, \mathcal{S}, \mu)\) ও \((Y, \mathcal{T}, \nu)\) σ-finite। \(f: X \times Y \to [-\infty, \infty]\) measurable এবং \(\int_{X\times Y}|f|\,d(\mu\times\nu) < \infty\) (অর্থাৎ \(f \in L^1(\mu\times\nu)\))। তাহলে:

almost every \(x \in X\)-এর জন্য \(\int_Y |f(x,y)|\,d\nu(y) < \infty\),
almost every \(y \in Y\)-এর জন্য \(\int_X |f(x,y)|\,d\mu(x) < \infty\),

এবং

\(\int_{X\times Y} f\,d(\mu\times\nu) = \int_X\!\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\,d\mu(x) = \int_Y\!\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\,d\nu(y).\)

Tonelli থেকে পার্থক্য: Fubini-তে \(f\) sign-changing হতে পারে, কিন্তু \(|f|\) integrable হতে হবে। Tonelli-তে \(f \geq 0\) দরকার, কিন্তু \(\int|f| < \infty\) দরকার নেই।

Proof: \(f = f^+ - f^-\) লিখে Tonelli \(f^+\) ও \(f^-\)-তে apply করো। \(\int|f| < \infty\) নিশ্চিত করে \(\infty - \infty\)-জাতীয় সমস্যা হবে না (a.e.)। \(\square\)

একটা গুরুত্বপূর্ণ Counterexample¶

Fubini-র condition অপরিহার্য। নিচের উদাহরণ দেখাচ্ছে \(\int|f| < \infty\) না হলে iterated integrals আলাদা হতে পারে:

Fubini ব্যর্থ হওয়ার উদাহরণ

\([0,1]\)-এ Lebesgue measure \(\lambda\)। Define করো:

\(f(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}.\)

তাহলে:

\(\int_0^1\!\int_0^1 f(x,y)\,dy\,dx = \frac{\pi}{4} \qquad \text{কিন্তু} \qquad \int_0^1\!\int_0^1 f(x,y)\,dx\,dy = -\frac{\pi}{4}.\)

দুটো iterated integral সমান নয়! Fubini ব্যর্থ হলো কারণ \(\int_{[0,1]^2}|f|\,d\lambda^2 = \infty\) — \(f\) integrable নয়।

মোরাল: Fubini-র theorem প্রয়োগের আগে সবসময় check করো \(\int|f| < \infty\)।

চিত্র: Fubini ব্যর্থতা: f=(x²−y²)/(x²+y²)² — origin-এ অসংজ্ঞায়িত (heatmap বাঁয়ে); দুটো iterated integral +π/4 বনাম −π/4 (ডানে)

σ-Finiteness কেন দরকার¶

Tonelli Fails without σ-finiteness

\(\lambda\) = Lebesgue measure on \([0,1]\), \(\mu\) = counting measure on \([0,1]\)। \(D = \{(x,x)\}\) (diagonal)।

\(\int\!\int \chi_D\,d\mu\,d\lambda = 1, \quad \text{কিন্তু} \quad \int\!\int \chi_D\,d\lambda\,d\mu = 0.\)

Tonelli fails কারণ counting measure on \([0,1]\) σ-finite নয়।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Worked Example 1: Simple Double Integral¶

\(\lambda\) = Lebesgue measure on \([0,4]\)। Tonelli দিয়ে:

\[\iint_{[0,4]\times[0,4]} (x^2 + y)\,d\lambda(y)\,d\lambda(x) = \int_0^4\left(\int_0^4 (x^2+y)\,dy\right)dx.\]

ভেতরের integral: \(\int_0^4 (x^2+y)\,dy = 4x^2 + 8\)।

বাইরের integral: \(\int_0^4 (4x^2+8)\,dx = \left[\frac{4x^3}{3}+8x\right]_0^4 = \frac{256}{3}+32 = \frac{352}{3}\)।

উল্টো ক্রমে করলেও একই উত্তর \(352/3\) পাওয়া যায় (Tonelli guarantees this)।

Worked Example 2: Area of Region as Iterated Integral¶

Triangle \(D = \{(x,y): 0 \leq x \leq 1, \; 0 \leq y \leq 1-x\}\)-এর area:

\[\lambda^2(D) = \int_{X\times Y} \chi_D\,d(\lambda\times\lambda) = \int_0^1\left(\int_0^{1-x} dy\right)dx = \int_0^1 (1-x)\,dx = \frac{1}{2}.\]

Triangle-এর area = \(1/2\) — ঠিকঠাক।

Worked Example 3: Checking Fubini's Condition¶

\(f(x,y) = e^{-xy}\) on \([0,\infty)\times[0,\infty)\)। \(\int|f|\,d(\lambda\times\lambda) = \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-xy}\,dy\,dx\)।

ভেতরের integral: \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy = 1/x\) (for \(x>0\))। বাইরের: \(\int_0^\infty 1/x\,dx = \infty\)।

তাই \(f \notin L^1\) on \([0,\infty)^2\) — Fubini সরাসরি apply হবে না। কিন্তু \(f \geq 0\), তাই Tonelli apply হয়: iterated integrals সমান (উভয়ই \(\infty\))।

Analogy: Area by Slicing¶

চিত্র: Layer-cake (Tonelli): বাঁয়ে f-এর নিচের area; ডানে প্রতিটি height h-তে {f>h}-এর length — ∫ length dh = area

একটা 3D object-এর volume মাপতে slice করো। প্রতিটা slice-এর area compute করো, তারপর সব slices যোগ করো। Fubini বলছে: horizontal slices নাও বা vertical slices নাও — উত্তর একই।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

Fubini vs Tonelli গুলিয়ে ফেলা। Tonelli: \(f \geq 0\), ক্রম পাল্টানো যায়। Fubini: \(\int|f| < \infty\), sign-changing \(f\)-এও ক্রম পাল্টানো যায়।
σ-finiteness শর্ত ভুলে যাওয়া। Counting measure on \(\mathbb{R}\) σ-finite নয়। Lebesgue measure σ-finite। σ-finiteness check না করলে উভয় theorem fail করতে পারে।
Fubini apply করার আগে integrability check না করা। \(f\) ইতিবাচকও না ঋণাত্মকও না — সরাসরি Fubini লাগাবার আগে \(\int|f| < \infty\) verify করো।
Product measure-কে "just multiply" ভাবা। \((\mu\times\nu)(E) = \mu(A)\nu(B)\) শুধু \(E = A\times B\) rectangle হলে। সাধারণ \(E\)-এর জন্য integration দিয়ে define হয়।
Iterated integral সবসময় equal ভাবা। Counterexample (উপরে) দেখায় integrability ছাড়া সমান নাও হতে পারে। এমনকি উভয় iterated integral exist করতে পারে কিন্তু আলাদা মান হতে পারে।
Almost everywhere-র ব্যাপারটা মিস করা। Fubini-তে inner integral "almost every \(x\)"-এর জন্য সংজ্ঞায়িত — শুধু a.e. নয়, everywhere নয়।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

\(X = Y = \{1, 2, 3\}\), \(\mu = \nu\) = counting measure। \(f(i,j) = i \cdot j\)। \(\int_{X\times Y} f\,d(\mu\times\nu)\) দুটো উপায়ে (iterated sum) হিসেব করো।
\(D = \{(x,y): 0 \leq y \leq x \leq 1\}\)। Fubini ব্যবহার করে \(\iint_D xy\,dA\) দুটো ক্রমে হিসেব করো এবং দেখাও উত্তর একই।
\(f(x,y) = e^{-(x+y)}\) on \([0,\infty)\times[0,\infty)\)। (a) \(f \in L^1(\lambda^2)\) কিনা verify করো। (b) Fubini দিয়ে \(\iint f\,dA\) বের করো।
Tonelli's theorem প্রয়োগ করে দেখাও: \(\sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty a_{jk} = \sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{jk}\) যদি \(a_{jk} \geq 0\)।
\(f(x,y) = \sin(xy)/(1+x^2)\) on \(\mathbb{R}\times[0,1]\)। Fubini-র condition check করো। Apply হলে \(\int_\mathbb{R}\int_0^1 f\,dy\,dx\) বের করো।
Product measure \((λ×λ)(E)\)-এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে দেখাও: যদি \(N \subseteq \mathbb{R}\) একটা null set (measure 0), তাহলে \(N\times\mathbb{R}\)-ও \((λ×λ)\)-null।
\(f(x,y) = x/(x^2+y^2)^{3/2}\) on \([1,2]\times[0,1]\)। এই region-এ \(f\) integrable কি? Tonelli দিয়ে check করো।

8."যদি \(\int_X\int_Y |f| < \infty\), তাহলে \(f \in L^1(\mu\times\nu)\)"— Tonelli দিয়ে prove করো।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Counting measure-এ integral = sum।

ক্রম ১ (fix \(i\), sum over \(j\)):

\(\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 ij = \sum_{i=1}^3 i(1+2+3) = 6(1+2+3) = 36.\)

ক্রম ২ (fix \(j\), sum over \(i\)):

\(\sum_{j=1}^3 \sum_{i=1}^3 ij = \sum_{j=1}^3 j(1+2+3) = 6(1+2+3) = 36.\)

উভয়ই \(36\)। Tonelli বলছে: nonneg function-এর জন্য এটাই হবে। ✓

২-নং সমাধান দেখাও

\(D = \{0 \leq y \leq x \leq 1\}\)।

ক্রম ১ (fix \(x\), integrate \(y\) from \(0\) to \(x\)):

\(\int_0^1\int_0^x xy\,dy\,dx = \int_0^1 x \cdot \frac{x^2}{2}\,dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}.\)

ক্রম ২ (fix \(y\), integrate \(x\) from \(y\) to \(1\)):

\(\int_0^1\int_y^1 xy\,dx\,dy = \int_0^1 y\cdot\frac{1-y^2}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_0^1(y - y^3)\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right] = \frac{1}{8}.\)

উভয়ই \(1/8\)। ✓ (\(f = xy > 0\) on \(D\), তাই Tonelli apply।)

৩-নং সমাধান দেখাও

(a) Tonelli দিয়ে \(\int|f|\,d(\lambda^2)\) check করি:

\(\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x+y)}\,dy\,dx = \int_0^\infty e^{-x}\left(\int_0^\infty e^{-y}\,dy\right)dx = \int_0^\infty e^{-x}\cdot 1\,dx = 1 < \infty.\)

হ্যাঁ, \(f \in L^1(\lambda^2)\)। তাই Fubini apply।

(b) \(\iint f\,dA = 1\) (উপরের হিসেব থেকেই।)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbb{Z}^+\)-এর উপর counting measure \(\mu\) নাও। তাহলে integral = sum।

\(f: \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \to [0,\infty)\) define করো: \(f(j,k) = a_{jk} \geq 0\)।

Tonelli (counting measure σ-finite, \(f\geq 0\)):

\(\int_{\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+} f\,d(\mu\times\mu) = \int\!\int f(j,k)\,d\mu(k)\,d\mu(j) = \int\!\int f(j,k)\,d\mu(j)\,d\mu(k).\)

Integral = sum translating: \(\sum_j\sum_k a_{jk} = \sum_k\sum_j a_{jk}\)। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(f(x,y) = \sin(xy)/(1+x^2)\)। Check \(\int|f|\,d(\lambda^2)\):

\(\int_\mathbb{R}\int_0^1 \frac{|\sin(xy)|}{1+x^2}\,dy\,dx \leq \int_\mathbb{R}\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dy\,dx = \int_\mathbb{R}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \pi < \infty.\)

তাই \(f \in L^1\)। Fubini apply।

\(\int_\mathbb{R}\int_0^1 \frac{\sin(xy)}{1+x^2}\,dy\,dx = \int_\mathbb{R}\frac{1}{1+x^2}\left[-\frac{\cos(xy)}{x}\right]_0^1 dx = \int_\mathbb{R}\frac{1-\cos x}{x(1+x^2)}\,dx.\)

(এই final integral-এর closed form complex — এখানে মূল point হলো Fubini-র apply-যোগ্যতা।)

৬-নং সমাধান দেখাও

\((\lambda\times\lambda)(N\times\mathbb{R}) = \int_\mathbb{R}\lambda([N\times\mathbb{R}]_x)\,d\lambda(x)\)।

\([N\times\mathbb{R}]_x = \mathbb{R}\) যদি \(x \in N\), \(\emptyset\) যদি \(x \notin N\)।

তাই \(x \mapsto \lambda([N\times\mathbb{R}]_x) = \lambda(\mathbb{R})\chi_N(x) + 0 = \infty \cdot \chi_N(x)\)।

\(\int_\mathbb{R} \infty\cdot\chi_N\,d\lambda = \infty\cdot\lambda(N) = \infty\cdot 0 = 0\)। ✓

(Convention: \(\infty \cdot 0 = 0\) in measure theory।)

৭-নং সমাধান দেখাও

Tonelli দিয়ে \(\int|f|\,d\lambda^2\) check করি:

\(\int_1^2\int_0^1 \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dy\,dx.\)

ভেতরের (\(y\)) integral: \(\int_0^1 \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dy = \left[-\frac{y/x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]_0^1\)... আসলে antiderivative: \(\left[\frac{-y}{x\sqrt{x^2+y^2}}\right]\)...

আরো সহজে: \(\int_0^1 \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dy = \frac{1}{\sqrt{x^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)।

বাইরের: \(\int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx = [\ln x]_1^2 - [\text{arcsinh} x]_1^2 = \ln 2 - (\text{arcsinh} 2 - \text{arcsinh} 1)\)।

এটা finite — হ্যাঁ, \(f \in L^1([1,2]\times[0,1])\)।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f \geq 0\) ধরলে Tonelli directly gives \(\int_{X\times Y} f\,d(\mu\times\nu) = \int_X\int_Y f\,d\nu\,d\mu\)।

General \(f\)-এর জন্য: \(|f| \geq 0\), Tonelli apply করলে:

\(\int_{X\times Y}|f|\,d(\mu\times\nu) = \int_X\int_Y|f|\,d\nu\,d\mu < \infty.\)

সুতরাং \(f \in L^1(\mu\times\nu)\)। \(\square\)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Product σ-algebra \(\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\)-এর সংজ্ঞা এবং measurable rectangle বলতে পারি।
[ ] Cross section \([E]_a\) ও \([f]_a\) সংজ্ঞা জানি এবং measurability preserve করে — এটা বলতে পারি।
[ ] Monotone Class Theorem — statement ও কেন দরকার সেটা বুঝি।
[ ] Product measure \((\mu\times\nu)(E)\)-র সংজ্ঞা এবং rectangle-এ \(\mu(A)\nu(B)\) ফলাফল।
[ ] Tonelli's theorem (nonneg, σ-finite) — তিনটা integral সমান।
[ ] Fubini's theorem (\(\int|f|<\infty\), σ-finite) — তিনটা integral সমান।
[ ] কখন Fubini fail করে — counterexample বলতে পারি।
[ ] σ-finiteness কেন দরকার — counterexample জানি।
[ ] Tonelli আর Fubini-র পার্থক্য স্পষ্ট বলতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 3.11 — ℝⁿ-এ Lebesgue Integration — product measure দিয়ে \(\mathbb{R}^n\)-এ Lebesgue measure define করব; unit ball-এর volume হিসেব করব; Part 3-এর সারসংক্ষেপ।