পূর্ণ রোডম্যাপ (Roadmap)¶

পুরো সিঁড়িটা এক নজরে। প্রতিটা Part আগেরটার উপর দাঁড়ানো।

Part 0 — গণিতের ভাষা (Foundations)¶

একদম শূন্য থেকে শুরু। কোনো আগের জ্ঞান লাগবে না — শুধু স্কুলের যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ জানলেই হবে। এখানে আমরা গণিতের ভাষা শিখব: যুক্তি, set, function আর প্রমাণ (proof) — যেগুলো ছাড়া সামনের কিছুই পড়া যায় না।

0.1 গণিতের যুক্তি ও বিবৃতি (Logic & Statements) — statement, AND/OR/NOT, implication, quantifier (∀, ∃)
উৎস: নতুন (foundation)
0.2 Sets (সেট) ও set operations — set, subset, union, intersection, complement, power set
উৎস: Kolmogorov §1
0.3 Relations ও Functions (সম্পর্ক ও ফাংশন) — relation, equivalence relation, function, injective/surjective/bijective
উৎস: Kolmogorov §6–7
0.4 Proof Techniques (প্রমাণের কৌশল) — direct, contrapositive, contradiction, mathematical induction
উৎস: নতুন (foundation)
0.5 সংখ্যা পদ্ধতি (Number Systems ℕ, ℤ, ℚ, ℝ) — natural→integer→rational→real, কেন ℝ লাগে
উৎস: নতুন (foundation)
0.6 গণনযোগ্যতা ও Cardinality (Countability) — denumerable set, ℚ গণনযোগ্য, ℝ অগণনযোগ্য (Cantor), cardinal number
উৎস: Kolmogorov §2–5

Part 1 — বাস্তব সংখ্যা ও প্রাথমিক Analysis¶

ক্যালকুলাসটাকে এবার শক্ত ভিত্তির উপর দাঁড় করাব। limit, continuity, derivative, integral — স্কুলে যা নিয়ম হিসেবে শিখেছ, এখানে তা কেন কাজ করে সেটা প্রমাণসহ বুঝব। এটাই মূল বইগুলোর দিকে ওঠার সেতু।

1.1 বাস্তব সংখ্যার পূর্ণতা (Completeness) — supremum, infimum, completeness axiom
উৎস: নতুন (Rudin-style foundation)
1.2 Sequences ও Limits (অনুক্রম ও সীমা) — sequence, ε–N সংজ্ঞা, convergence
উৎস: নতুন
1.3 Cauchy ও Bolzano–Weierstrass — subsequence, Cauchy sequence, Bolzano–Weierstrass theorem
উৎস: নতুন · Sternberg 1.2
1.4 সিরিজ (Series) — series, partial sum, convergence tests
উৎস: নতুন
1.5 Function Limits ও Continuity (ফাংশনের সীমা ও ধারাবাহিকতা) — limit of function, continuity, IVT, EVT
উৎস: নতুন
1.6 Differentiation ও derivative (অন্তরজ) — derivative, Mean Value Theorem
উৎস: নতুন
1.7 Riemann integral (রিমান সমাকল) ও তার সীমাবদ্ধতা — Riemann integral, কেন এটা যথেষ্ট নয়
উৎস: Axler Ch 1

Part 2 — Metric Space ও Topology¶

'দূরত্ব' ধারণাটাকে সংখ্যারেখা থেকে তুলে নিয়ে যেকোনো জায়গায় বসানো — এটাই metric space। এখান থেকেই আধুনিক analysis-এর আসল ভাষা শুরু। তিনটা বই-ই এই ভিতের উপর দাঁড়িয়ে।

2.1 Metric Space: সংজ্ঞা ও উদাহরণ — metric, ℝⁿ, function space, discrete metric
উৎস: Kolmogorov §8 · Sternberg 1.1
2.2 Convergence, Open ও Closed Set — limit point, open/closed set, closure
উৎস: Kolmogorov §9–10
2.3 বাস্তব রেখায় Open ও Closed Set — structure of open sets on ℝ
উৎস: Kolmogorov §11
2.4 Continuous Mapping, Homeomorphism, Isometry — continuity in metric spaces, homeomorphism
উৎস: Kolmogorov §12
2.5 Completeness ও Completion — complete metric space, completion
উৎস: Kolmogorov §13 · Sternberg 1.2
2.6 Contraction Mapping Principle — Banach fixed point theorem + প্রয়োগ
উৎস: Kolmogorov §14–15
2.7 Compactness ও Total Boundedness — compact set, total boundedness, sequential compactness
উৎস: Kolmogorov §16,18 · Sternberg 1.4–1.5
2.8 Arzelà–Ascoli Theorem — equicontinuity, compactness in C[a,b]
উৎস: Kolmogorov §17
2.9 Separability ও Baire Category Theorem — separable space, Baire category theorem
উৎস: Sternberg 1.6,1.12
2.10 Stone–Weierstrass Theorem — polynomial approximation, dense subalgebra
উৎস: Sternberg 1.15

Part 3 — Measure ও Lebesgue Integral¶

Riemann integral যেখানে হার ছাড়ে, সেখানে Lebesgue-এর জাদু শুরু। 'মাপ' (measure) কী, কীভাবে যেকোনো set-এর দৈর্ঘ্য/আয়তন মাপি, আর তার উপর কীভাবে integral গড়ি — এটাই এই বইয়ের হৃদয়।

3.1 Outer Measure on ℝ — outer measure, কেন additive নয়
উৎস: Axler 2A
3.2 σ-algebra ও Borel Set — σ-algebra, Borel set
উৎস: Axler 2B
3.3 Measurable Function — measurable function, inverse image
উৎস: Axler 2B
3.4 Measure ও তার ধর্ম — measure, properties, examples
উৎস: Axler 2C
3.5 Lebesgue Measure; Cantor Set — Lebesgue measurable set, Cantor set ও function
উৎস: Axler 2D
3.6 Measurable Function-এর Convergence — pointwise/uniform, Egorov, Luzin
উৎস: Axler 2E
3.7 Integral ও Monotone Convergence — integral w.r.t. measure, MCT
উৎস: Axler 3A
3.8 Fatou, Bounded ও Dominated Convergence — Fatou's lemma, BCT, DCT
উৎস: Axler 3B
3.9 Differentiation: Lebesgue Differentiation Theorem — Hardy–Littlewood maximal, Lebesgue diff. thm
উৎস: Axler 4
3.10 Product Measure; Fubini ও Tonelli — product measure, Tonelli, Fubini
উৎস: Axler 5A–5B
3.11 ℝⁿ-এ Lebesgue Integration — Lebesgue measure on ℝⁿ, unit ball volume
উৎস: Axler 5C

Part 4 — Normed ও Banach Space (Functional Analysis I)¶

vector space + 'দৈর্ঘ্য' (norm) + completeness = Banach space। অসীম-মাত্রিক জগতে রৈখিক বীজগণিত। এখানে functional analysis-এর চারটি স্তম্ভ-উপপাদ্য শিখব।

4.1 Normed Vector Space — vector space, norm, উদাহরণ
উৎস: Kolmogorov §21 · Axler 6B–6C
4.2 Banach Space (Completeness) — complete normed space
উৎস: Axler 6A,6C
4.3 Bounded Linear Map — bounded/continuous linear map, operator norm
উৎস: Axler 6C
4.4 Linear Functional ও Dual Space — linear functional, conjugate/dual space
উৎস: Kolmogorov §23–24,26 · Axler 6D
4.5 Hahn–Banach Theorem — extension of functionals
উৎস: Kolmogorov §25 · Axler 6D
4.6 Open Mapping, Closed Graph, Uniform Boundedness — Baire-এর তিন ফল
উৎস: Axler 6E
4.7 Lᵖ Space: Hölder ও Minkowski — Hölder, Minkowski inequality
উৎস: Axler 7A
4.8 Lᵖ Banach ও Duality — Lᵖ completeness, duality
উৎস: Axler 7B

Part 5 — Hilbert Space ও Fourier Analysis¶

Banach space-এ যদি 'কোণ' (inner product) যোগ করি, পাই Hilbert space — যেখানে জ্যামিতি ফিরে আসে: লম্ব, projection, basis। আর সেই basis-এর সবচেয়ে বিখ্যাত রূপ — Fourier।

5.1 Inner Product Space; Cauchy–Schwarz — inner product, Cauchy–Schwarz, triangle ineq.
উৎস: Axler 8A · Sternberg 2.1
5.2 Orthogonality ও Projection — orthogonal projection, orthogonal complement
উৎস: Axler 8B
5.3 Riesz Representation Theorem — bounded functional ↔ inner product
উৎস: Axler 8B
5.4 Orthonormal Basis — Bessel, Parseval, Gram–Schmidt
উৎস: Axler 8C · Sternberg 2.1
5.5 Fourier Series; Poisson Kernel — Fourier coefficient, Poisson kernel, Dirichlet problem
উৎস: Axler 11A
5.6 Fourier ও L²; Convolution — ONB for L²(circle), convolution
উৎস: Axler 11B
5.7 Fourier Transform — FT on L¹/L², inversion formula
উৎস: Axler 11C · Sternberg 3

Part 6 — Operator ও Spectral তত্ত্ব (Functional Analysis II)¶

চূড়া। operator-এর 'eigenvalue'-র অসীম-মাত্রিক রূপ = spectrum। এখানে spectral theorem-এ পৌঁছাব — linear algebra-র সবচেয়ে গভীর উপপাদ্যের পূর্ণরূপ।

6.1 Real ও Complex Measure; Total Variation — signed/complex measure, total variation
উৎস: Axler 9A
6.2 Decomposition: Hahn, Jordan, Lebesgue — Hahn/Jordan/Lebesgue decomposition
উৎস: Axler 9B
6.3 Radon–Nikodym Theorem — Radon–Nikodym derivative, dual of Lᵖ
উৎস: Axler 9B
6.4 Adjoint ও Invertibility — adjoint operator, invertibility
উৎস: Axler 10A
6.5 Spectrum ও Resolvent — spectrum, resolvent
উৎস: Axler 10B · Kolmogorov §30
6.6 Self-adjoint, Normal, Unitary Operator — self-adjoint/normal/unitary, isometry
উৎস: Axler 10B
6.7 Compact Operator; Fredholm Alternative — compact operator, Fredholm alternative
উৎস: Axler 10C · Kolmogorov §31–32
6.8 Spectral Theorem (Compact) ও SVD — ONB of eigenvectors, singular value decomposition
উৎস: Axler 10D · Sternberg 10

Part 7 — সম্প্রসারণ (Advanced Topics)¶

যারা আরও দূর যেতে চায়। এই Part-এর প্রতিটা অধ্যায় একেকটা নতুন জগতের দরজা — probability থেকে Brownian motion, group-এর measure থেকে scattering। মূলত Sternberg-এর গভীর অংশ।

7.1 Probability Measure ও Weak Law — probability space, independence, weak law of large numbers
উৎস: Axler 12
7.2 The Daniell Integral — integral ছাড়াই integration
উৎস: Sternberg 6
7.3 Wiener Measure ও Brownian Motion — Wiener measure, Brownian motion, white noise
উৎস: Sternberg 7
7.4 Haar Measure — group-এর invariant measure
উৎস: Sternberg 8
7.5 Banach Algebra ও Spectral Theorem — Banach algebra, Gelfand
উৎস: Sternberg 9
7.6 Stone's Theorem — one-parameter unitary group
উৎস: Sternberg 11
7.7 Scattering Theory (এক ঝলক) — Lax–Phillips scattering — পরিচিতি
উৎস: Sternberg 13

Part 8 — Theory of Deep Learning (Geometric DL-এর গাণিতিক ভিত্তি)¶

একটা এক্সট্রা Part — Geometric Deep Learning-এর পুরো গাণিতিক ভিত্তি এক জায়গায়, বেসিক থেকে। set/group থেকে শুরু করে manifold, spectral theory ও graph পর্যন্ত — কেন neural network symmetry ও geometry মানে, তার গণিত। প্রতিটা অধ্যায় ছবিসহ ও সমাধানসহ এক্সারসাইজ দিয়ে।

8.1 Algebraic Structures — set, map, group, symmetry, group action, vector space
উৎস: Borde ও Bronstein, Math Foundations of GDL §1
8.2 Geometric ও Analytical Structures — norm, metric, inner product
উৎস: GDL §2
8.3 Vector Calculus — field, gradient, integral, divergence, Laplacian, gradient descent
উৎস: GDL §3
8.4 Topology ও Differential Geometry — topology, homeomorphism, manifold, tangent space, manifold hypothesis
উৎস: GDL §4
8.5 Functional Analysis — Cauchy sequence, Banach ও Hilbert space, operator
উৎস: GDL §5
8.6 Spectral Theory — eigenfunction, eigenvalue, Fourier analysis
উৎস: GDL §6
8.7 Graph Theory — graph, adjacency/Laplacian, symmetry, WL test, graph-এ vector field
উৎস: GDL §7

Part 9 — Calculus (ক্যালকুলাস)¶

Strang-এর calculus course ধরে function, derivative, integral, series, multivariable ও vector calculus—বেসিক থেকে applications পর্যন্ত।

9.0 Highlights of Calculus
9.1 Introduction to Calculus
9.2 Derivatives
9.3 Applications of the Derivative
9.4 The Chain Rule
9.5 Integrals
9.6 Exponentials ও Logarithms
9.7 Techniques of Integration
9.8 Applications of the Integral
9.9 Polar Coordinates ও Complex Numbers
9.10 Infinite Series
9.11 Vectors ও Matrices
9.12 Motion along a Curve
9.13 Partial Derivatives
9.14 Multiple Integrals
9.15 Vector Calculus
9.16 Mathematics after Calculus

Part 10 — Game Theory (গেম থিওরি)¶

Joy-এর intuitive examples দিয়ে শুরু, তারপর Bonanno-র formal strategic-form ও dynamic-game theory। বর্তমানে 10.1–10.7 লেখা আছে।

10.1 Joy — Strategic Games
10.2 Joy — Nash ও Prisoner's Dilemma
10.3 Joy — Changing the Game
10.4 Introduction
10.5 Ordinal Games in Strategic Form
10.6 Perfect-information Games
10.7 General Dynamic Games

পরবর্তী Bonanno-based chapter 10.8–10.19 planned; লেখা হলে এই roadmap ও navigation-এ যোগ হবে।