পূর্ণ রোডম্যাপ (Roadmap)

পুরো সিঁড়িটা এক নজরে। প্রতিটা Part আগেরটার উপর দাঁড়ানো।

Part 0 — গণিতের ভাষা (Foundations)

একদম শূন্য থেকে শুরু। কোনো আগের জ্ঞান লাগবে না — শুধু স্কুলের যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ জানলেই হবে। এখানে আমরা গণিতের ভাষা শিখব: যুক্তি, set, function আর প্রমাণ (proof) — যেগুলো ছাড়া সামনের কিছুই পড়া যায় না।

• 0.1 গণিতের যুক্তি ও বিবৃতি (Logic & Statements) — statement, AND/OR/NOT, implication, quantifier (∀, ∃)
  উৎস: নতুন (foundation)
• 0.2 সেট ও তার অপারেশন (Sets) — set, subset, union, intersection, complement, power set
  উৎস: Kolmogorov §1
• 0.3 সম্পর্ক ও ফাংশন (Relations & Functions) — relation, equivalence relation, function, injective/surjective/bijective
  উৎস: Kolmogorov §6–7
• 0.4 প্রমাণের কৌশল (Proof Techniques) — direct, contrapositive, contradiction, mathematical induction
  উৎস: নতুন (foundation)
• 0.5 সংখ্যা পদ্ধতি (Number Systems ℕ, ℤ, ℚ, ℝ) — natural→integer→rational→real, কেন ℝ লাগে
  উৎস: নতুন (foundation)
• 0.6 গণনযোগ্যতা ও Cardinality (Countability) — denumerable set, ℚ গণনযোগ্য, ℝ অগণনযোগ্য (Cantor), cardinal number
  উৎস: Kolmogorov §2–5

Part 1 — বাস্তব সংখ্যা ও প্রাথমিক Analysis

ক্যালকুলাসটাকে এবার শক্ত ভিত্তির উপর দাঁড় করাব। limit, continuity, derivative, integral — স্কুলে যা নিয়ম হিসেবে শিখেছ, এখানে তা কেন কাজ করে সেটা প্রমাণসহ বুঝব। এটাই মূল বইগুলোর দিকে ওঠার সেতু।

• 1.1 বাস্তব সংখ্যার পূর্ণতা (Completeness) — supremum, infimum, completeness axiom
  উৎস: নতুন (Rudin-style foundation)
• 1.2 অনুক্রম ও সীমা (Sequences & Limits) — sequence, ε–N সংজ্ঞা, convergence
  উৎস: নতুন
• 1.3 Cauchy ও Bolzano–Weierstrass — subsequence, Cauchy sequence, Bolzano–Weierstrass theorem
  উৎস: নতুন · Sternberg 1.2
• 1.4 সিরিজ (Series) — series, partial sum, convergence tests
  উৎস: নতুন
• 1.5 ফাংশনের সীমা ও ধারাবাহিকতা (Continuity) — limit of function, continuity, IVT, EVT
  উৎস: নতুন
• 1.6 অন্তরকলন (Differentiation) — derivative, Mean Value Theorem
  উৎস: নতুন
• 1.7 Riemann সমাকলন ও তার সীমাবদ্ধতা — Riemann integral, কেন এটা যথেষ্ট নয়
  উৎস: Axler Ch 1

Part 2 — Metric Space ও Topology

'দূরত্ব' ধারণাটাকে সংখ্যারেখা থেকে তুলে নিয়ে যেকোনো জায়গায় বসানো — এটাই metric space। এখান থেকেই আধুনিক analysis-এর আসল ভাষা শুরু। তিনটা বই-ই এই ভিতের উপর দাঁড়িয়ে।

• 2.1 Metric Space: সংজ্ঞা ও উদাহরণ — metric, ℝⁿ, function space, discrete metric
  উৎস: Kolmogorov §8 · Sternberg 1.1
• 2.2 Convergence, Open ও Closed Set — limit point, open/closed set, closure
  উৎস: Kolmogorov §9–10
• 2.3 বাস্তব রেখায় Open ও Closed Set — structure of open sets on ℝ
  উৎস: Kolmogorov §11
• 2.4 Continuous Mapping, Homeomorphism, Isometry — continuity in metric spaces, homeomorphism
  উৎস: Kolmogorov §12
• 2.5 Completeness ও Completion — complete metric space, completion
  উৎস: Kolmogorov §13 · Sternberg 1.2
• 2.6 Contraction Mapping Principle — Banach fixed point theorem + প্রয়োগ
  উৎস: Kolmogorov §14–15
• 2.7 Compactness ও Total Boundedness — compact set, total boundedness, sequential compactness
  উৎস: Kolmogorov §16,18 · Sternberg 1.4–1.5
• 2.8 Arzelà–Ascoli Theorem — equicontinuity, compactness in C[a,b]
  উৎস: Kolmogorov §17
• 2.9 Separability ও Baire Category Theorem — separable space, Baire category theorem
  উৎস: Sternberg 1.6,1.12
• 2.10 Stone–Weierstrass Theorem — polynomial approximation, dense subalgebra
  উৎস: Sternberg 1.15

Part 3 — Measure ও Lebesgue Integral

Riemann integral যেখানে হার ছাড়ে, সেখানে Lebesgue-এর জাদু শুরু। 'মাপ' (measure) কী, কীভাবে যেকোনো set-এর দৈর্ঘ্য/আয়তন মাপি, আর তার উপর কীভাবে integral গড়ি — এটাই এই বইয়ের হৃদয়।

• 3.1 Outer Measure on ℝ — outer measure, কেন additive নয়
  উৎস: Axler 2A
• 3.2 σ-algebra ও Borel Set — σ-algebra, Borel set
  উৎস: Axler 2B
• 3.3 Measurable Function — measurable function, inverse image
  উৎস: Axler 2B
• 3.4 Measure ও তার ধর্ম — measure, properties, examples
  উৎস: Axler 2C
• 3.5 Lebesgue Measure; Cantor Set — Lebesgue measurable set, Cantor set ও function
  উৎস: Axler 2D
• 3.6 Measurable Function-এর Convergence — pointwise/uniform, Egorov, Luzin
  উৎস: Axler 2E
• 3.7 Integral ও Monotone Convergence — integral w.r.t. measure, MCT
  উৎস: Axler 3A
• 3.8 Fatou, Bounded ও Dominated Convergence — Fatou's lemma, BCT, DCT
  উৎস: Axler 3B
• 3.9 Differentiation: Lebesgue Differentiation Theorem — Hardy–Littlewood maximal, Lebesgue diff. thm
  উৎস: Axler 4
• 3.10 Product Measure; Fubini ও Tonelli — product measure, Tonelli, Fubini
  উৎস: Axler 5A–5B
• 3.11 ℝⁿ-এ Lebesgue Integration — Lebesgue measure on ℝⁿ, unit ball volume
  উৎস: Axler 5C

Part 4 — Normed ও Banach Space (Functional Analysis I)

vector space + 'দৈর্ঘ্য' (norm) + completeness = Banach space। অসীম-মাত্রিক জগতে রৈখিক বীজগণিত। এখানে functional analysis-এর চারটি স্তম্ভ-উপপাদ্য শিখব।

• 4.1 Normed Vector Space — vector space, norm, উদাহরণ
  উৎস: Kolmogorov §21 · Axler 6B–6C
• 4.2 Banach Space (Completeness) — complete normed space
  উৎস: Axler 6A,6C
• 4.3 Bounded Linear Map — bounded/continuous linear map, operator norm
  উৎস: Axler 6C
• 4.4 Linear Functional ও Dual Space — linear functional, conjugate/dual space
  উৎস: Kolmogorov §23–24,26 · Axler 6D
• 4.5 Hahn–Banach Theorem — extension of functionals
  উৎস: Kolmogorov §25 · Axler 6D
• 4.6 Open Mapping, Closed Graph, Uniform Boundedness — Baire-এর তিন ফল
  উৎস: Axler 6E
• 4.7 Lᵖ Space: Hölder ও Minkowski — Hölder, Minkowski inequality
  উৎস: Axler 7A
• 4.8 Lᵖ Banach ও Duality — Lᵖ completeness, duality
  উৎস: Axler 7B

Part 5 — Hilbert Space ও Fourier Analysis

Banach space-এ যদি 'কোণ' (inner product) যোগ করি, পাই Hilbert space — যেখানে জ্যামিতি ফিরে আসে: লম্ব, projection, basis। আর সেই basis-এর সবচেয়ে বিখ্যাত রূপ — Fourier।

• 5.1 Inner Product Space; Cauchy–Schwarz — inner product, Cauchy–Schwarz, triangle ineq.
  উৎস: Axler 8A · Sternberg 2.1
• 5.2 Orthogonality ও Projection — orthogonal projection, orthogonal complement
  উৎস: Axler 8B
• 5.3 Riesz Representation Theorem — bounded functional ↔ inner product
  উৎস: Axler 8B
• 5.4 Orthonormal Basis — Bessel, Parseval, Gram–Schmidt
  উৎস: Axler 8C · Sternberg 2.1
• 5.5 Fourier Series; Poisson Kernel — Fourier coefficient, Poisson kernel, Dirichlet problem
  উৎস: Axler 11A
• 5.6 Fourier ও L²; Convolution — ONB for L²(circle), convolution
  উৎস: Axler 11B
• 5.7 Fourier Transform — FT on L¹/L², inversion formula
  উৎস: Axler 11C · Sternberg 3

Part 6 — Operator ও Spectral তত্ত্ব (Functional Analysis II)

চূড়া। operator-এর 'eigenvalue'-র অসীম-মাত্রিক রূপ = spectrum। এখানে spectral theorem-এ পৌঁছাব — linear algebra-র সবচেয়ে গভীর উপপাদ্যের পূর্ণরূপ।

• 6.1 Real ও Complex Measure; Total Variation — signed/complex measure, total variation
  উৎস: Axler 9A
• 6.2 Decomposition: Hahn, Jordan, Lebesgue — Hahn/Jordan/Lebesgue decomposition
  উৎস: Axler 9B
• 6.3 Radon–Nikodym Theorem — Radon–Nikodym derivative, dual of Lᵖ
  উৎস: Axler 9B
• 6.4 Adjoint ও Invertibility — adjoint operator, invertibility
  উৎস: Axler 10A
• 6.5 Spectrum ও Resolvent — spectrum, resolvent
  উৎস: Axler 10B · Kolmogorov §30
• 6.6 Self-adjoint, Normal, Unitary Operator — self-adjoint/normal/unitary, isometry
  উৎস: Axler 10B
• 6.7 Compact Operator; Fredholm Alternative — compact operator, Fredholm alternative
  উৎস: Axler 10C · Kolmogorov §31–32
• 6.8 Spectral Theorem (Compact) ও SVD — ONB of eigenvectors, singular value decomposition
  উৎস: Axler 10D · Sternberg 10

Part 7 — সম্প্রসারণ (Advanced Topics)

যারা আরও দূর যেতে চায়। এই Part-এর প্রতিটা অধ্যায় একেকটা নতুন জগতের দরজা — probability থেকে Brownian motion, group-এর measure থেকে scattering। মূলত Sternberg-এর গভীর অংশ।

• 7.1 Probability Measure ও Weak Law — probability space, independence, weak law of large numbers
  উৎস: Axler 12
• 7.2 The Daniell Integral — integral ছাড়াই integration
  উৎস: Sternberg 6
• 7.3 Wiener Measure ও Brownian Motion — Wiener measure, Brownian motion, white noise
  উৎস: Sternberg 7
• 7.4 Haar Measure — group-এর invariant measure
  উৎস: Sternberg 8
• 7.5 Banach Algebra ও Spectral Theorem — Banach algebra, Gelfand
  উৎস: Sternberg 9
• 7.6 Stone's Theorem — one-parameter unitary group
  উৎস: Sternberg 11
• 7.7 Scattering Theory (এক ঝলক) — Lax–Phillips scattering — পরিচিতি
  উৎস: Sternberg 13