Skip to content

3.1 — Outer Measure on ℝ

এই অধ্যায়ে কী শিখব: যেকোনো subset \(A \subseteq \mathbb{R}\)-কে একটা "আকার" (size) দেওয়া যায় কি না — outer measure (বহিঃপরিমাপ) \(|A|\) কীভাবে define হয়, এর চারটা সুন্দর property (monotonicity, countable subadditivity, translation invariance, interval-এর measure = length), আর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সীমাবদ্ধতা — outer measure সব set-এর উপর countably additive নয়, যা আমাদের σ-algebra-র দিকে ঠেলে দেয়।

উৎস (source): Lebesgue ও Carathéodory (measure theory-র ভিত্তি)।

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়ে (1.7) দেখলাম Riemann integral কোথায় ব্যর্থ হয়: Dirichlet function integrable নয়, আর Riemann integrable functions-এর pointwise limit integrable নাও হতে পারে। Part 3-এর পুরো লক্ষ্য হলো এই সমস্যা সমাধান করা — Lebesgue integration তৈরি করা।

কিন্তু Lebesgue integral বানাতে হলে আগে একটা প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে:

\(\mathbb{R}\)-এর যেকোনো subset \(A\)-কে একটা "দৈর্ঘ্য" বা "আকার" (size) দেওয়া যায় কি?

এটা স্বাভাবিক মনে হয়। আমরা জানি \((1,3)\)-এর দৈর্ঘ্য \(2\), \([0,1]\)-এর দৈর্ঘ্য \(1\)। কিন্তু একটা বেখাপ্পা set যেমন সব মূলদ সংখ্যার সেট \(\mathbb{Q}\)-এর "আকার" কী?

এই অধ্যায়ের উত্তর হলো: outer measure (বহিঃপরিমাপ) — একটা চতুর পদ্ধতি যা যেকোনো \(A \subseteq \mathbb{R}\)-কে একটা সংখ্যা \(|A| \in [0,\infty]\) দেয়। দেখব এটার অনেক সুন্দর গুণ আছে। কিন্তু শেষে একটা মস্ত সমস্যা আছে — সব set-এর উপর এটা additive নয়। সেই সমস্যাটাই পরের অধ্যায়ে σ-algebra-র জন্ম দেবে।

মূল স্বজ্ঞা

Outer measure হলো "বাইরে থেকে ঢেকে ফেলো" কৌশল। \(A\)-কে open interval-এর সাথে ঢেকে ফেলো, সেই intervals-এর মোট দৈর্ঘ্যের infimum নাও — এটাই \(|A|\)।

২. মূল ধারণা (Core idea)

Open interval-এর দৈর্ঘ্য

প্রথমে সংকেত ঠিক করি। একটা open interval \((a,b)\)-এর দৈর্ঘ্য:

\[\ell((a,b)) = b - a \quad (a < b)\]

এবং convention: \(\ell(\emptyset) = 0\), \(\ell((-\infty, b)) = \ell((a,\infty)) = \ell((-\infty,\infty)) = \infty\)।

Outer measure-এর ধারণা

দুটি আলাদা cover-এ একই set A: বামেরটা বড চিত্র: দুটি আলাদা cover-এ একই set A: বামেরটা বড়, ডানেরটা tighter। Outer measure হলো সব possible cover-এর মোট দৈর্ঘ্যের infimum।

\(A \subseteq \mathbb{R}\)-কে open interval-গুলো দিয়ে ঢেকে ফেলো। যত সূক্ষ্মভাবে ঢাকা যায়, তত ভালো estimate। সব সম্ভব ঢাকার মধ্যে সবচেয়ে ছোট মোট দৈর্ঘ্য — সেটাই outer measure।

চিত্রে দেখো: নিচের চিত্রে একটা set \(A\)-কে তিনটা open interval দিয়ে ঢাকা হয়েছে।

Outer measure: একটি set-কে open interval দিয়ে ঢাকা চিত্র ১: \(A \subseteq \mathbb{R}\)-কে open interval-এর একটা sequence দিয়ে ঢাকা হচ্ছে। Outer measure \(|A|\) হলো এরকম সব possible cover-এর মোট দৈর্ঘ্যের infimum।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Outer Measure-এর সংজ্ঞা

Interval [a,b]-এর outer measure ঠিক তার চিত্র: Interval [a,b]-এর outer measure ঠিক তার দৈর্ঘ্য b-a। Example: |[2,7]| = 5।

সংজ্ঞা: Outer Measure (বহিঃপরিমাপ)

\(A \subseteq \mathbb{R}\)-এর outer measure (বহিঃপরিমাপ) \(|A|\) সংজ্ঞায়িত করা হয়:

\(|A| = \inf\!\left\{\sum_{k=1}^{\infty} \ell(I_k) \;:\; I_1, I_2, \ldots \text{ হলো open intervals এবং } A \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k\right\}\)

কয়েকটা জিনিস লক্ষ করো:

  • Infimum সব সম্ভব countable cover-এর উপর নেওয়া হচ্ছে।
  • যদি \(A\)-কে কোনো open interval-এর union দিয়ে ঢাকা না যায় (যা হবে না, কারণ \(\mathbb{R}\) নিজেই একটা open interval), তাহলে \(|A| = \infty\)।
  • \(|A| \ge 0\) সবসময় (কারণ \(\ell \ge 0\))।

চারটা মূল ধর্ম

ধর্ম ১: Countable set-এর outer measure শূন্য।

উপপাদ্য

\(\mathbb{R}\)-এর প্রতিটি countable subset-এর outer measure \(0\)।

Proof sketch: \(A = \{a_1, a_2, \ldots\}\) countable। যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য, \(I_k = \left(a_k - \frac{\varepsilon}{2^k},\, a_k + \frac{\varepsilon}{2^k}\right)\) নাও। তাহলে \(A \subseteq \bigcup_k I_k\) এবং \(\sum_k \ell(I_k) = 2\varepsilon\)। যেহেতু \(\varepsilon\) যেকোনো, \(|A| = 0\)। \(\square\)

বিশেষভাবে: \(|\mathbb{Q}| = 0\), \(|\{r\}| = 0\) যেকোনো \(r\)-এর জন্য।

ধর্ম ২: Monotonicity (একদিকমুখিতা)।

Monotonicity: A=[3,6] ⊆ B=[1,8] হলে |A|= চিত্র: Monotonicity: A=[3,6] ⊆ B=[1,8] হলে |A|=3 ≤ |B|=7। ছোট set-এর measure বড় হতে পারে না।

উপপাদ্য

\(A \subseteq B \subseteq \mathbb{R}\) হলে \(|A| \le |B|\)।

Proof: \(B\)-এর যেকোনো cover \(A\)-কেও cover করে। তাই infimum ছোট হতে পারে মাত্র। \(\square\)

ধর্ম ৩: Translation Invariance (স্থানান্তর-অপরিবর্তনীয়তা)।

Translation Invariance: set A-কে t=4 shi চিত্র: Translation Invariance: set A-কে t=4 shift করলে t+A পাওয়া যায়, কিন্তু |t+A| = |A| অপরিবর্তিত থাকে।

সংজ্ঞা ও উপপাদ্য: Translation

\(t \in \mathbb{R}\) এবং \(A \subseteq \mathbb{R}\)-এর জন্য \(t + A = \{t + a : a \in A\}\)।

তাহলে: \(|t + A| = |A|\) — অর্থাৎ set-কে left বা right shift করলে outer measure বদলায় না।

স্বজ্ঞা: একটা রবারের দড়ির "দৈর্ঘ্য" পরিবর্তন হয় না যদি শুধু জায়গা পাল্টাই।

ধর্ম ৪: Countable Subadditivity (গণনাযোগ্য উপযোজনীয়তা)।

Countable subadditivity: তিনটি set A1, A চিত্র: Countable subadditivity: তিনটি set A1, A2, A3 আলাদা আলাদা cover করলে union-এর measure তাদের যোগফলের বেশি নয়।

উপপাদ্য: Countable Subadditivity

\(A_1, A_2, \ldots \subseteq \mathbb{R}\) যেকোনো sequence হলে:

\(\left|\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right| \le \sum_{k=1}^{\infty} |A_k|\)

Proof sketch: প্রতিটা \(A_k\)-এর জন্য একটা ভালো cover \(\{I_{j,k}\}\) বেছে নাও যাতে \(\sum_j \ell(I_{j,k}) \le |A_k| + \frac{\varepsilon}{2^k}\)। তাহলে \(\{I_{j,k}\}_{j,k}\) পুরো union-এর একটা cover, এবং মোট দৈর্ঘ্য \(\le \sum_k |A_k| + \varepsilon\)। \(\varepsilon \to 0\) করলে ফলাফল পাই। \(\square\)

বোনাস ধর্ম: Interval-এর outer measure = তার দৈর্ঘ্য।

উপপাদ্য

\(a, b \in \mathbb{R}\), \(a < b\) হলে \(|[a,b]| = b - a\)।

এই দিকটা সহজ মনে হলেও প্রমাণ সহজ নয়। \(|[a,b]| \le b-a\) সহজ (একটা cover নাও)। কিন্তু \(|[a,b]| \ge b-a\) প্রমাণে Heine–Borel Theorem ব্যবহার করতে হয়, যা \(\mathbb{R}\)-এর completeness-এর উপর নির্ভর করে।

Outer Measure Additive নয় — মূল সমস্যা

এতক্ষণ সব ভালো ছিল। কিন্তু এবার একটা হতাশাজনক ঘটনা।

আমরা চাই: disjoint sets \(A, B\)-এর জন্য \(|A \cup B| = |A| + |B|\)।

কিন্তু Vitali (1905) দেখালেন এটা সব set-এর জন্য সত্য নয়!

উপপাদ্য: Outer measure additive নয়

এমন disjoint \(A, B \subseteq \mathbb{R}\) আছে যাতে \(|A \cup B| \ne |A| + |B|\)।

Proof idea (Vitali construction): \([-1,1]\)-এ equivalence relation সংজ্ঞা করো: \(a \sim b\) যদি \(a - b \in \mathbb{Q}\)। Axiom of Choice ব্যবহার করে প্রতিটা equivalence class থেকে ঠিক একটা করে উপাদান নিয়ে একটা set \(V\) বানাও। তারপর দেখানো যায় \([-1,1] \subseteq \bigcup_k (r_k + V)\) যেখানে \(r_k\) rational সংখ্যার তালিকা, কিন্তু যদি additivity ধরি তাহলে \(|V| = 0\) বা \(|V| > 0\) — দুটো ক্ষেত্রেই contradiction পাওয়া যায়। \(\square\)

এই ফলাফলটাই পুরো Measure Theory-র জন্মের কারণ। আমরা outer measure-কে সব set-এ ব্যবহার করতে পারছি না — তাহলে কোন set-গুলো "ভালো behave করে"? সেই উত্তর হলো σ-algebra ও measurable set, যা পরের অধ্যায়ে আসছে।

৪. উদাহরণ ও Analogy

Worked Example 1: Finite set

\(A = \{1, 2, 3, 5\}\)। argument দিয়ে: যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য

\[I_k = \left(a_k - \tfrac{\varepsilon}{8}, a_k + \tfrac{\varepsilon}{8}\right), \quad k = 1,2,3,4\]

তাহলে \(A \subseteq \bigcup_k I_k\) এবং \(\sum \ell(I_k) = 4 \cdot \frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon\)। তাই \(|A| = 0\)।

Worked Example 2: Half-open interval

\(|[0,1)| = ?\) লক্ষ করো:

\[|[0,1)| \le |[0,1]| = 1 \quad (\text{monotonicity})\]
\[|[0,1)| \ge |(0,1)| \ge \ldots\]

আসলে \([0,1)\)-কে cover করতে গিয়ে দেখা যাবে \(|[0,1)| = 1\)।

Analogy: কার্পেট দিয়ে ঘর ঢাকা

ধরো তুমি একটা অদ্ভুত আকৃতির ঘরের মেঝে মাপতে চাও। সবচেয়ে সহজ কাজ: ছোট ছোট আয়তাকার কার্পেট দিয়ে পুরো মেঝে ঢেকে ফেলো। কার্পেটগুলোর মোট ক্ষেত্রফলের infimum হলো মেঝের "outer measure"। যদি কার্পেট কিছুটা overlap করে, তাহলে এটা সত্যিকারের area-র চেয়ে বেশি হতে পারে — তাই এটা " outer"(বাইরে থেকে) measure।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

  1. Outer measure = "আকার" মনে করা। Outer measure সব set-এ additive নয়। তাই এটা "আকার"-এর পূর্ণ theory নয় — শুধু একটা শুরু।

  2. Finite additivity ধরে নেওয়া। Outer measure countably subadditive, কিন্তু disjoint sets-এর জন্যও additive নয় সাধারণত। (শুধু "measurable set"-এর জন্য additive।)

  3. \(|A| = 0\) মানে \(A = \emptyset\) ভাবা। \(|\mathbb{Q}| = 0\) কিন্তু \(\mathbb{Q} \ne \emptyset\)। Measure-zero মানে "পরিমাপে ছোট", " ফাঁকা"নয়।

  4. Translation invariance ভুলে যাওয়া। \(|A + t| = |A|\) — এটা একটা গুরুত্বপূর্ণ property, Vitali construction-এ ব্যবহার হয়।

  5. \(|\bigcup A_k| = \sum |A_k|\) ধরে নেওয়া। এটা শুধু inequality (\(\le\)), সমতা নয়। সমতা পেতে হলে disjoint হওয়া লাগে এবং sets গুলো "measurable" হওয়া লাগে।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

  1. সংজ্ঞা থেকে সরাসরি দেখাও \(|\emptyset| = 0\)।
  2. দেখাও \(|(a,b)| = b - a\) যেকোনো \(a < b\)-এর জন্য। (Hint: \(|[a,b]| = b-a\) ও monotonicity ব্যবহার করো।)
  3. \(A = [0,1]\) ও \(B = [1,2]\) নাও। \(|A \cup B|\) কত? Subadditivity কি strict inequality দেয় এখানে?
  4. দেখাও \(|\mathbb{Q} \cap [0,1]| = 0\)।
  5. যদি \(|A| = 0\), প্রমাণ করো \(|A \cup B| = |B|\) যেকোনো \(B\)-এর জন্য। (Subadditivity আর monotonicity ব্যবহার করো।)
  6. \(A_k = [k, k+1]\) নাও \(k = 1, 2, \ldots, n\)-এর জন্য। \(|\bigcup_{k=1}^n A_k|\) বের করো। Subadditivity কি সমতা দিচ্ছে?
  7. ব্যাখ্যা করো: outer measure-এর "countable subadditivity" সম্পত্তি থেকে কি "finite additivity" পাওয়া যায়? কেন না?
  8. মনে করো \(A \subseteq \mathbb{R}\) এবং \(t \in \mathbb{R}\)। Translation invariance (\(|t + A| = |A|\)) ব্যবহার করে দেখাও \(|A + \mathbb{Q}|\)-এর আলোচনা করা কঠিন কেন।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\emptyset\)-কে যেকোনো open interval-এর sequence দিয়ে ঢাকা যায় — এমনকি শূন্য দৈর্ঘ্যের cover-ও কাজ করে: empty sequence। Technically, \(I_k = \emptyset\) (অথবা আমরা বলতে পারি \(I_k = (0,0)\), দৈর্ঘ্য ০)। তাহলে \(\sum \ell(I_k) = 0\)। অন্যদিকে outer measure সবসময় \(\ge 0\)। তাই \(|\emptyset| = 0\)।

২-নং সমাধান দেখাও

প্রথমে \(|(a,b)| \le b - a\): cover হিসেবে শুধু \(I_1 = (a,b)\) নাও, তাহলে \(\sum \ell(I_k) = b - a\)। তাই \(|(a,b)| \le b - a\)।

অন্যদিকে, monotonicity দিয়ে: \((a,b) \supseteq [a+\varepsilon, b-\varepsilon]\) যেকোনো ছোট \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য। তাই \(|(a,b)| \ge |[a+\varepsilon, b-\varepsilon]| = (b-\varepsilon)-(a+\varepsilon) = b - a - 2\varepsilon\)।

\(\varepsilon \to 0\) করলে \(|(a,b)| \ge b - a\)।

সব মিলিয়ে \(|(a,b)| = b - a\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(A = [0,1]\), \(B = [1,2]\)। তাহলে \(A \cup B = [0,2]\)।

\(|[0,2]| = 2\)।

Subadditivity: \(|A \cup B| \le |A| + |B| = 1 + 1 = 2\)। আবার \(|A \cup B| = 2\)।

তাই এখানে সমতা আছে: \(|A \cup B| = |A| + |B| = 2\)।

কেন সমতা? কারণ \(A \cap B = \{1\}\), যা একটা single point এবং \(|\{1\}| = 0\)। Overlap-এর "আকার" শূন্য, তাই subadditivity এখানে tight।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) countable (কারণ \(\mathbb{Q}\) countable এবং countable set-এর যেকোনো subset countable)।

: প্রতিটা countable set-এর outer measure \(0\)।

তাই \(|\mathbb{Q} \cap [0,1]| = 0\)।

বিশেষত: \([0,1]\)-এ অসংখ্য মূলদ সংখ্যা থাকলেও তাদের মোট "আকার" শূন্য।

৫-নং সমাধান দেখাও

Monotonicity থেকে: \(B \subseteq A \cup B\) তাই \(|B| \le |A \cup B|\)।

Subadditivity থেকে: \(|A \cup B| \le |A| + |B| = 0 + |B| = |B|\)।

দুটো মিলিয়ে: \(|A \cup B| = |B|\)। \(\square\)

এই ফলাফলটা বলছে: measure-zero set যোগ করলে outer measure বদলায় না। Lebesgue integration-এ এই property অনেকবার কাজে লাগবে।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(A_k = [k, k+1]\), \(k=1,\ldots,n\)। তাহলে \(\bigcup_{k=1}^n A_k = [1, n+1]\) (কারণ consecutive intervals edge-share করে)।

\(\left|\bigcup_{k=1}^n A_k\right| = |[1,n+1]| = n\)।

Subadditivity: \(\sum_{k=1}^n |A_k| = \sum_{k=1}^n 1 = n\)।

তাই এখানেও সমতা পাওয়া গেছে (\(n = n\))। কারণ এই particular case-এ overlap শূন্য measure-এর এবং প্রতিটা \([k,k+1]\)"measurable" (Borel) set।

৭-নং সমাধান দেখাও

না, সরাসরি পাওয়া যায় না।

Subadditivity বলছে \(|A_1 \cup A_2| \le |A_1| + |A_2|\)। এটা একটা upper bound, equality নয়।

Finite additivity বলতে চাই: \(A_1, A_2\) disjoint হলে \(|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2|\)।

Subadditivity থেকে \(\le\) পাই, কিন্তু \(\ge\) পাই না সাধারণত। Vitali example দেখায় এমন disjoint \(A, B\) আছে যাতে \(|A \cup B| \ne |A| + |B|\)।

তাই finite additivity outer measure-এর একটা অভাব — এটা শুধু measurable sets-এর জন্য সত্য হয় (পরের অধ্যায়ে)।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(A + \mathbb{Q} = \{a + q : a \in A, q \in \mathbb{Q}\}\)।

Translation invariance বলছে প্রতিটা rational \(q\)-এর জন্য \(|A + q| = |A|\)।

এখন \(A + \mathbb{Q} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} (A + q)\)। Subadditivity দেয়:

\(|A + \mathbb{Q}| \le \sum_{q \in \mathbb{Q}} |A + q| = \sum_{q \in \mathbb{Q}} |A|\)

যদি \(|A| > 0\), তাহলে ডানদিক = \(\infty\) (countably infinite sum of positive terms)। যদি \(|A| = 0\), তাহলে \(|A + \mathbb{Q}| \le 0\), তাই \(|A + \mathbb{Q}| = 0\)।

কিন্তু Vitali construction দেখায় এই \(A + \mathbb{Q}\) নিয়ে যুক্তি করা কঠিন — এটাই outer measure-এর সীমাবদ্ধতা।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

  • [ ] Outer measure (বহিঃপরিমাপ) \(|A|\)-এর সংজ্ঞা বলতে পারি — open interval-এর cover-এর infimum।
  • [ ] Countable set-এর outer measure = 0 — কেন, ব্যাখ্যা দিতে পারি (shrinking intervals argument)।
  • [ ] Monotonicity: \(A \subseteq B \Rightarrow |A| \le |B|\) — proof বুঝি।
  • [ ] Translation invariance: \(|t + A| = |A|\) — এই property আছে।
  • [ ] Countable subadditivity: \(|\bigcup A_k| \le \sum |A_k|\) — এটা inequality, equality নয়।
  • [ ] \(|[a,b]| = b - a\) — এই প্রমাণে Heine–Borel লাগে।
  • [ ] Outer measure additive নয় — Vitali set দিয়ে এটা দেখানো যায়; এটাই σ-algebra-র প্রয়োজনীয়তা বোঝায়।
  • [ ] কোন প্রশ্নটা পরের অধ্যায়ে যাচ্ছে: কোন sets-এর উপর outer measure additive? উত্তর: measurable sets।

➡️ পরের অধ্যায়: 3.2 — σ-algebra ও Borel Set — outer measure-এর ব্যর্থতা থেকে জন্ম নেওয়া σ-algebra কী, আর Borel set কীভাবে \(\mathbb{R}\)-এর "স্বাভাবিক" measurable sets হয়।