1.1 — বাস্তব সংখ্যার পূর্ণতা (Completeness)¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: upper bound (ঊর্ধ্বসীমা), lower bound (নিম্নসীমা), supremum (সর্বোচ্চসীমা), infimum (নিম্নতম নিম্নসীমা) কী; Completeness Axiom (পূর্ণতা স্বীকার্য) কেন ℝ-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম; ℚ কেন এই ধর্ম মানে না (√2-এর "ছিদ্র"); আর Archimedean property ও ℚ-এর নিবিড়তা।
উৎস (source): নতুন (Rudin-style) · ℝ-এর পূর্ণতা: Dedekind, Cantor; Archimedean property: Archimedes।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
Part 0.5-এ আমরা দেখেছিলাম: ℕ থেকে ℤ, ℤ থেকে ℚ — প্রতিটা বিস্তারের পেছনে একটা নির্দিষ্ট কারণ ছিল। আর শেষে ℚ থেকে ℝ-এ যেতে হয়েছিল কারণ ℚ-তে "ছিদ্র" (gap) আছে — যেমন \(\sqrt{2}\) মূলদ নয়।
কিন্তু তখন শুধু বলেছিলাম: "ℝ সেই ছিদ্র পূরণ করে।" এই অধ্যায়ে সেটা ঠিক কীভাবে, কোন আনুষ্ঠানিক ভাষায় — সেটা শিখব।
ধরো, তুমি একটা ধারা নিচ্ছ:
এই সংখ্যাগুলো ক্রমাগত \(\sqrt{2}\)-এর দিকে এগিয়ে যাচ্ছে। ℚ-তে থেকে প্রশ্ন করো: এই ধারার "লক্ষ্য" কি ℚ-তে আছে? উত্তর: না — কারণ \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)। ℚ-এর মধ্যে থেকে যত কাছে যাও, কখনো ঠিক সেই বিন্দুতে পৌঁছাবে না।
এই সমস্যাই analysis (বিশ্লেষণ)-এর মূলে আঘাত করে। সীমা (limit), continuous function (ধারাবাহিক ফাংশন), integral (সমাকল) — এগুলো সব ঠিকমতো কাজ করতে গেলে দরকার হয় একটা সংখ্যার সমষ্টি যেখানে কোনো "ছিদ্র" নেই। সেটাই ℝ, আর এই "ছিদ্র-না-থাকার" ধর্মকে বলে completeness (পূর্ণতা)।
মূল স্বজ্ঞা
ℝ-কে ভাবো সংখ্যারেখার প্রতিটা বিন্দু — কোনো ফাঁকাস্থান নেই। যেকোনো bounded (সীমাবদ্ধ) উপসেটের একটা "tight ceiling" থাকে, আর সেই ছাদটাও ℝ-তেই আছে। ℚ-তে এই ছাদ অনেক সময় ℚ-এর বাইরে চলে যায়।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Upper bound ও Lower bound — স্বজ্ঞা¶
কল্পনা করো একটা পাহাড়ের উচ্চতার তালিকা (মিটারে): \(\{500, 800, 1200, 1600\}\)। এই সেটের জন্য:
- Upper bound (ঊর্ধ্বসীমা): যেকোনো সংখ্যা যেটা এই তালিকার প্রতিটা উচ্চতার চেয়ে বড় বা সমান। যেমন \(2000\), \(1600\), \(1800\) — তিনটাই upper bound।
- Lower bound (নিম্নসীমা): যেকোনো সংখ্যা যেটা প্রতিটার চেয়ে ছোট বা সমান। যেমন \(400\), \(500\), \(0\) — এগুলো lower bound।
লক্ষ্য করো: upper bound অনেক থাকতে পারে। তার মধ্যে সবচেয়ে ছোট upper bound-টা সবচেয়ে "tight ceiling" — সেটাই supremum (সর্বোচ্চসীমা)। আর সবচেয়ে বড় lower bound-টাই infimum (নিম্নতম নিম্নসীমা)।
উপরের উদাহরণে: সবচেয়ে ছোট upper bound = \(1600\) = maximum-ও। সবচেয়ে বড় lower bound = \(500\) = minimum-ও।
কিন্তু যখন সেটটা finite নয়, তখন supremum ও maximum আলাদা হতে পারে।
চিত্র ১: একটি bounded set \(S = \{x \in \mathbb{R} : x < 1.6\}\)-এর উপর। লাল বিন্দু হলো supremum (= 1.6) — এটাই সবচেয়ে ছোট upper bound। সবুজ ত্রিভুজগুলো অন্য upper bound — তারা supremum-এর চেয়ে বড়। নীল অংশ হলো set-এর উপাদান।
ℚ-তে কী সমস্যা?¶
এবার সেটটা বদলাই:
এটা মূলদ সংখ্যাদের একটা সেট — যেসব মূলদের বর্গ ২-এর চেয়ে ছোট। এই সেটটা স্পষ্টতই উপরে ঘেরা (যেমন \(2\) একটা upper bound)। তাহলে কি এর কোনো supremum আছে?
ℝ-তে: হ্যাঁ, \(\sup A = \sqrt{2}\)।
ℚ-তে: \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — তাই supremum ℚ-র মধ্যে নেই! যত কাছ থেকেই দেখো, ℚ-তে কোনো "সবচেয়ে ছোট upper bound" খুঁজে পাবে না। এটাই ℚ-এর "ছিদ্র"।
চিত্র ২: বাঁয়ে — \(A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\) (কমলা রং); লাল ক্রস চিহ্ন হলো \(\sqrt{2}\)-এর অবস্থান — যা ℚ-তে নেই (ছিদ্র)। ডানে — প্যারাবোলা \(y = x^2\): \(y = 2\) রেখায় পৌঁছাতে হলে \(x = \sqrt{2}\) চাই, যা অমূলদ।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Ordered Field — সংক্ষিপ্ত পরিচয়¶
ℝ শুধু একটা সংখ্যার সমষ্টি নয় — এটা একটা ordered field (ক্রমবদ্ধ ক্ষেত্র)।
সংজ্ঞা: Ordered Field
একটা সেট \(F\) ordered field যদি:
- Field axioms (ক্ষেত্র স্বীকার্য): যোগ ও গুণের জন্য closure, associativity, commutativity, identity, inverse, distributivity — মোট ৯টা নিয়ম।
- Order axioms (ক্রম স্বীকার্য): একটা \(<\) সম্পর্ক আছে যা trichotomy (\(a < b\), \(a = b\), বা \(a > b\) ঠিক একটা), transitivity, এবং field operations-এর সাথে compatible।
ℚ এবং ℝ — দুটোই ordered field। পার্থক্য আসে completeness-এ।
Upper Bound ও Lower Bound — আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা¶
সংজ্ঞা: Bounded Above / Below
ধরো \(S \subseteq \mathbb{R}\) একটা nonempty set।
- একটা সংখ্যা \(M \in \mathbb{R}\) হলো \(S\)-এর upper bound (ঊর্ধ্বসীমা) যদি \(\forall x \in S,\; x \le M\)।
- একটা সংখ্যা \(m \in \mathbb{R}\) হলো \(S\)-এর lower bound (নিম্নসীমা) যদি \(\forall x \in S,\; x \ge m\)।
- \(S\)-কে বলা হয় bounded above (উপর থেকে ঘেরা) যদি অন্তত একটা upper bound থাকে।
- \(S\)-কে বলা হয় bounded below (নিচ থেকে ঘেরা) যদি অন্তত একটা lower bound থাকে।
- \(S\) bounded (সীমাবদ্ধ) যদি এটা উভয় দিক থেকে ঘেরা।
উদাহরণ:
| সেট \(S\) | Upper bound-এর উদাহরণ | Lower bound-এর উদাহরণ |
|---|---|---|
| \(\{1, 2, 3\}\) | \(3, 4, 100\) | \(1, 0, -5\) |
| \((0, 1)\) (খোলা interval) | \(1, 2, 5\) | \(0, -1, -3\) |
| \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) | কোনো upper bound নেই | \(1, 0, -7\) |
| \((-\infty, 5]\) | \(5, 6, 100\) | কোনো lower bound নেই |
Supremum ও Infimum¶
সংজ্ঞা: Supremum (সর্বোচ্চসীমা / least upper bound)
ধরো \(S \subseteq \mathbb{R}\) nonempty এবং bounded above।
একটা সংখ্যা \(\alpha\) হলো \(S\)-এর supremum বা least upper bound (লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা), লেখা \(\alpha = \sup S\), যদি:
- \(\alpha\) একটা upper bound: \(\forall x \in S,\; x \le \alpha\)।
- \(\alpha\) সবচেয়ে ছোট upper bound: যেকোনো upper bound \(M\)-এর জন্য \(\alpha \le M\)।
সমতুল্য শর্ত (খুব কাজের): \(\alpha = \sup S\) যদি এবং কেবল যদি
- \(\forall x \in S,\; x \le \alpha\) (অর্থাৎ upper bound), এবং
- \(\forall \varepsilon > 0,\; \exists x \in S\) যেন \(x > \alpha - \varepsilon\) (অর্থাৎ \(\alpha\)-এর চেয়ে সামান্য ছোট যেকোনো সংখ্যা আর upper bound নয়)।
সংজ্ঞা: Infimum (নিম্নতম নিম্নসীমা / greatest lower bound)
ধরো \(S \subseteq \mathbb{R}\) nonempty এবং bounded below।
একটা সংখ্যা \(\beta\) হলো \(S\)-এর infimum বা greatest lower bound (বৃহত্তম নিম্নসীমা), লেখা \(\beta = \inf S\), যদি:
- \(\beta\) একটা lower bound: \(\forall x \in S,\; x \ge \beta\)।
- \(\beta\) সবচেয়ে বড় lower bound: যেকোনো lower bound \(m\)-এর জন্য \(\beta \ge m\)।
Supremum ≠ Maximum
\(S\)-এর maximum (সর্বোচ্চ) হলো \(S\)-এর এমন একটা উপাদান যা সবার চেয়ে বড়। Maximum সবসময় থাকে না।
কিন্তু \(\sup S\) সবসময় থাকে যদি \(S\) nonempty এবং bounded above হয় (completeness axiom থেকে)।
- \(S = (0, 1)\): \(\sup S = 1\), কিন্তু \(1 \notin S\) — তাই maximum নেই।
- \(S = [0, 1]\): \(\sup S = 1 = \max S\) — এখানে supremum-ই maximum।
Completeness Axiom (পূর্ণতা স্বীকার্য)¶
এটাই ℝ-কে ℚ থেকে আলাদা করে — এই অধ্যায়ের কেন্দ্রীয় সত্য:
স্বীকার্য: Completeness of ℝ (Least Upper Bound Property)
\(\mathbb{R}\)-এর যেকোনো nonempty subset যদি bounded above হয়, তাহলে তার একটা supremum \(\mathbb{R}\)-তেই আছে।
আনুষ্ঠানিকভাবে: \(S \subseteq \mathbb{R}\), \(S \ne \emptyset\), \(S\) bounded above \(\implies\) \(\sup S\) exists in \(\mathbb{R}\)।
কেন এটা "স্বীকার্য" (axiom)? এটা ℝ-এর সংজ্ঞার অংশ — ℝ এমন একটা ordered field যেটা completeness axiom মানে। (Dedekind cut বা Cauchy sequence দিয়ে ℝ নির্মাণ করলে এটা প্রমাণযোগ্য, কিন্তু এই বইয়ে আমরা এটাকে ভিত্তি হিসেবে ধরি।)
ℚ কেন ব্যর্থ?
\(A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\)-এর কথা ধরো।
- \(A\) nonempty (\(1 \in A\)) এবং bounded above (\(2\) একটা upper bound)।
- কিন্তু \(\sup A = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)।
- অতএব ℚ-তে completeness axiom ব্যর্থ।
এই ব্যর্থতার প্রমাণটা আরেকটু বিশদে দেখি:
দাবি: \(A\)-এর ℚ-তে কোনো least upper bound নেই।
প্রমাণ (sketch): ধরো \(r \in \mathbb{Q}\) এবং \(r^2 > 2\) (অর্থাৎ \(r\) একটা upper bound)। তখন আমরা একটা মূলদ \(r' < r\) খুঁজে পাব যেটাও upper bound — তাই \(r\) least upper bound হতে পারে না।
কীভাবে \(r'\) বানাই? ধরো \(r' = r - \frac{r^2 - 2}{2r} = \frac{r^2 + 2}{2r}\)। তাহলে:
এবং \(r' = r - \frac{r^2-2}{2r} < r\) (কারণ \(r^2 > 2 \implies r^2 - 2 > 0\))।
তাই \(r'\) আরেকটা upper bound এবং \(r' < r\) — \(r\) least হতে পারে না। ℚ-তে এই chain কখনো শেষ হয় না। \(\blacksquare\)
Infimum-এর Completeness¶
উপপাদ্য: Greatest Lower Bound Property
\(\mathbb{R}\)-এর যেকোনো nonempty subset যদি bounded below হয়, তাহলে তার একটা infimum \(\mathbb{R}\)-তেই আছে।
প্রমাণ: \(S\) bounded below হলে সেট \(-S = \{-x : x \in S\}\) bounded above। Completeness axiom থেকে \(\sup(-S)\) আছে। তাহলে \(\inf S = -\sup(-S)\)। \(\blacksquare\)
Archimedean Property (আর্কিমিডিয় ধর্ম)¶
Completeness axiom থেকে একটা খুব গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল বের হয়:
উপপাদ্য: Archimedean Property
\(\forall x \in \mathbb{R},\; \exists n \in \mathbb{N}\) যেন \(n > x\)।
অর্থাৎ: যতই বড় বাস্তব সংখ্যা নাও, কোনো না কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা তার চেয়ে বড়। \(\mathbb{N}\) unbounded above।
প্রমাণ (contradiction দ্বারা): ধরো ℕ bounded above, তাহলে completeness axiom দিয়ে \(\alpha = \sup \mathbb{N}\) আছে। তাহলে \(\alpha - 1\) আর upper bound নয় (supremum সবচেয়ে ছোট upper bound বলে), সুতরাং কোনো \(n \in \mathbb{N}\) আছে যেন \(n > \alpha - 1\), অর্থাৎ \(n + 1 > \alpha\)। কিন্তু \(n + 1 \in \mathbb{N}\) এবং \(n + 1 > \alpha = \sup \mathbb{N}\) — contradiction। \(\blacksquare\)
ফলাফল: \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists n \in \mathbb{N}\) যেন \(\frac{1}{n} < \varepsilon\)। (Archimedean property-এর সমতুল্য রূপ — epsilon-delta analysis-এ বারবার ব্যবহার হয়।)
Density of ℚ in ℝ (মূলদ সংখ্যার নিবিড়তা)¶
ℚ-তে "ছিদ্র" থাকলেও ℚ খুব "নিবিড় (dense)" — যেকোনো দুটো বাস্তব সংখ্যার মাঝে একটা মূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।
উপপাদ্য: Density of ℚ in ℝ
\(\forall x, y \in \mathbb{R}\) যেখানে \(x < y\), \(\exists r \in \mathbb{Q}\) যেন \(x < r < y\)।
প্রমাণ: Archimedean property থেকে এমন \(n \in \mathbb{N}\) আছে যেন \(n(y - x) > 1\), অর্থাৎ \(ny - nx > 1\)। তাহলে \(nx\) এবং \(ny\)-এর মধ্যে অন্তত একটা পূর্ণ সংখ্যা \(m\) আছে (যেকোনো দৈর্ঘ্য \(> 1\)-এর interval-এ একটা পূর্ণ সংখ্যা পড়েই): \(nx < m \le ny\)। তাহলে \(r = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) এবং \(x < r \le y\)। (\(r < y\) হয় কারণ \(m \le ny\) সুতরাং \(r = m/n \le y\); কিন্তু \(m = ny\) হলে \(r = y\) যা integer হওয়া দরকার — তখন \(m-1\)-ও কাজ করে।) \(\blacksquare\)
বোনাস: একইভাবে প্রমাণ করা যায় — যেকোনো দুটো বাস্তব সংখ্যার মাঝে একটা অমূলদ (irrational) সংখ্যাও পাওয়া যায়। (Hint: \(x < r < y\) হলে \(x - \sqrt{2} < r - \sqrt{2} < y - \sqrt{2}\), আর \(r - \sqrt{2}\) অমূলদ।)
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Analogy — বালতির "সিলিং"¶
মনে করো একটা ঘরে ছাদ (ceiling) আছে। ঘরের সবকিছু ছাদের নিচে — ছাদ একটা upper bound। এখন "সবচেয়ে কম উঁচু ছাদ" যেটা তবু সবকিছুর উপরে থাকে — সেটাই supremum।
কিন্তু ℚ-তে এই ছাদ মাঝে মাঝে "হাওয়ায় মিলিয়ে যায়" — মূলদ সংখ্যার মধ্যে খুঁজে পাওয়া যায় না। ℝ-তে এই সমস্যা নেই।
Worked Example ১: \(\sup\) ও \(\inf\) হিসাব করো¶
সেট \(S = \left\{\frac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\right\}\)-এর \(\sup S\) ও \(\inf S\) কী?
সমাধান:
লক্ষ্য করো \(\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)।
- \(n\) বাড়লে \(\frac{1}{n+1}\) কমে, তাই \(\frac{n}{n+1}\) বাড়ে।
- সব উপাদান \(1\)-এর চেয়ে ছোট: \(\frac{n}{n+1} < 1\) সবসময়।
- কিন্তু \(1\)-এর কাছাকাছি যাওয়া যায়: \(\varepsilon > 0\) দিলে, \(n\) যথেষ্ট বড় হলে \(\frac{n}{n+1} > 1 - \varepsilon\)।
অতএব \(\sup S = 1\)। (কিন্তু \(1 \notin S\) — maximum নেই।)
আর সবচেয়ে ছোট উপাদান \(\frac{1}{2}\) (যখন \(n = 1\)), তাই \(\inf S = \frac{1}{2} = \min S\)।
Worked Example ২: এই সেটের \(\sup\) কত?¶
\(T = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 3\} = (-\sqrt{3}, \sqrt{3})\)
সমাধান: \(T\) উপরে ঘেরা (যেমন \(2 > \sqrt{3}\))। যেকোনো \(y > \sqrt{3}\) upper bound। কিন্তু \(\sqrt{3}\)-এর চেয়ে ছোট যেকোনো \(\alpha\) upper bound হতে পারে না — কারণ তাহলে \(\alpha < \frac{\alpha + \sqrt{3}}{2} < \sqrt{3}\) এবং \(\left(\frac{\alpha+\sqrt{3}}{2}\right)^2 < 3\), তাই \(\frac{\alpha+\sqrt{3}}{2} \in T\) কিন্তু \(> \alpha\)। সুতরাং \(\sup T = \sqrt{3}\)।
Worked Example ৩: Archimedean property ব্যবহার¶
দেখাও যে \(\inf\left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\} = 0\)।
সমাধান:
- \(0\) lower bound: \(\frac{1}{n} > 0\) সব \(n \in \mathbb{N}\)-এর জন্য।
- \(0\) সবচেয়ে বড় lower bound: ধরো \(c > 0\)। Archimedean property থেকে এমন \(n \in \mathbb{N}\) আছে যেন \(n > \frac{1}{c}\), অর্থাৎ \(\frac{1}{n} < c\)। তাই \(c\) lower bound নয় (সেটের একটা উপাদান \(c\)-এর চেয়ে ছোট)।
সুতরাং \(c > 0\) মানেই lower bound নয়, অতএব \(\inf = 0\)। \(\blacksquare\)
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
Supremum আর Maximum গুলিয়ে ফেলা। \(\sup S\) সবসময় থাকে (যদি \(S\) nonempty ও bounded above)। কিন্তু \(\max S\) থাকে কেবল যদি \(\sup S \in S\)। উদাহরণ: \(S = (0, 1)\)-এর \(\sup = 1\) আছে, কিন্তু \(\max\) নেই কারণ \(1 \notin S\)।
-
"\(S\) bounded মানে \(\sup S \in S\)" — ভুল। Bounded মানে upper bound আছে। Supremum সেই set-এ নাও থাকতে পারে।
-
Completeness axiom শুধু ℝ-এর জন্য প্রযোজ্য মনে না করা। ℚ এই axiom মানে না — এবং এটা ℝ-এর বিশেষ ধর্ম। Real analysis-এর প্রতিটা মূল উপপাদ্য (Bolzano–Weierstrass, Intermediate Value Theorem, ...) এই axiom-এর উপর নির্ভর করে।
-
"Archimedean মানে ℝ-তে অসীম আছে" — না। Archimedean property বলে ℕ অসীম বড় হতে পারে, কিন্তু প্রতিটা নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যাকে ছাড়ানোর জন্য একটা finite \(n\) যথেষ্ট। \(\infty\) কোনো বাস্তব সংখ্যা নয়।
-
"Dense মানে ℚ-তে কোনো gap নেই" — ভুল। ℚ যতই dense হোক, \(\sqrt{2}\)-এর জায়গায় কোনো মূলদ সংখ্যা নেই। Density এবং completeness সম্পূর্ণ আলাদা ধারণা।
-
\(\varepsilon\)-characterization না বোঝা। \(\sup S = \alpha\) হলে এর মানে শুধু "সবচেয়ে ছোট upper bound" নয় — এর সমতুল্য কথা হলো: যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য সেটে এমন একটা \(x\) আছে যেন \(x > \alpha - \varepsilon\)। এই রূপটাই proof-এ বেশি ব্যবহার হয়।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
-
নিচের প্রতিটা সেটের \(\sup\) ও \(\inf\) (বিদ্যমান থাকলে) নির্ধারণ করো। সংক্ষিপ্ত যুক্তি দাও। (ক) \(A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}\) (খ) \(B = \left\{1 - \frac{1}{2^n} : n \in \mathbb{N}\right\}\) (গ) \(C = (2, 5]\) (ঘ) \(D = \mathbb{Z}\) (পূর্ণ সংখ্যার সেট)
-
দেখাও: \(S \subseteq \mathbb{R}\) nonempty ও bounded above হলে \(\sup S\) unique (অদ্বিতীয়)।
-
\(\sup S = \alpha\) হলে দেখাও যে \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists x \in S\) যেন \(\alpha - \varepsilon < x \le \alpha\)। (এটা \(\varepsilon\)-characterization।)
-
ধরো \(A, B \subseteq \mathbb{R}\) nonempty ও bounded above। প্রমাণ করো: \(\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)\)।
-
দেখাও: \(\left\{\frac{(-1)^n}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}\)-এর \(\sup\) ও \(\inf\) কী? (ইঙ্গিত: \(n\) জোড় ও বিজোড় আলাদা করে দেখো।)
-
Archimedean property ব্যবহার করে প্রমাণ করো: \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\exists n \in \mathbb{Z}\) যেন \(n \le x < n+1\)। (এই \(n\)-কে বলে floor of \(x\), লেখা \(\lfloor x \rfloor\)।)
-
(চ্যালেঞ্জ) \(S = \{r \in \mathbb{Q} : r < \sqrt{2}\}\)। দেখাও \(\sup S = \sqrt{2}\) (ℝ-তে)। তারপর ব্যাখ্যা করো কেন \(\sup S \notin \mathbb{Q}\) — এটাই completeness axiom-এর ব্যর্থতার মূল কারণ।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
(ক) \(A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}\) (finite set):
Finite set-এ সর্বোচ্চ উপাদানই supremum এবং সর্বনিম্ন উপাদানই infimum।
\(\sup A = \max A = 3\), \(\quad \inf A = \min A = -1\)।
(খ) \(B = \left\{1 - \frac{1}{2^n} : n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \ldots\right\}\):
- উপাদানগুলো বাড়ছে (কারণ \(\frac{1}{2^n}\) কমছে) এবং সবসময় \(< 1\)।
- \(1\)-এর চেয়ে ছোট যেকোনো \(c\)-এর জন্য, বড় যথেষ্ট \(n\) নিলে \(1 - \frac{1}{2^n} > c\)।
তাই \(\sup B = 1\)। কিন্তু \(1 \notin B\), তাই maximum নেই।
সবচেয়ে ছোট উপাদান: \(n = 1\) দিলে \(\frac{1}{2}\)। \(\inf B = \min B = \frac{1}{2}\)।
(গ) \(C = (2, 5]\) (half-open interval):
- \(5\) সবচেয়ে বড় উপাদান, \(5 \in C\): তাই \(\sup C = \max C = 5\)।
- \(2\) lower bound কিন্তু \(2 \notin C\)। \(2\)-এর চেয়ে বড় যেকোনো lower bound \(c > 2\) নিলে \(\frac{c+2}{2} \in C\) এবং \(\frac{c+2}{2} < c\) — contradiction।
তাই \(\inf C = 2\), কিন্তু minimum নেই।
(ঘ) \(D = \mathbb{Z}\):
\(\mathbb{Z}\) উপরে ঘেরা নয় (Archimedean: যেকোনো উপরের দাবিকে পূর্ণ সংখ্যা ছাড়িয়ে যেতে পারে) এবং নিচেও ঘেরা নয়।
\(\sup \mathbb{Z}\) এবং \(\inf \mathbb{Z}\) — কোনোটাই নেই (অর্থাৎ \(+\infty\) ও \(-\infty\) — কিন্তু এগুলো বাস্তব সংখ্যা নয়)।
২-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(\sup S\) unique।
প্রমাণ: ধরো \(\alpha\) ও \(\beta\) দুটোই \(\sup S\)।
- \(\alpha = \sup S\) ও \(\beta\) একটা upper bound \(\implies \alpha \le \beta\) (supremum সবচেয়ে ছোট upper bound)।
- \(\beta = \sup S\) ও \(\alpha\) একটা upper bound \(\implies \beta \le \alpha\)।
দুই দিক থেকে: \(\alpha \le \beta\) এবং \(\beta \le \alpha\), তাই \(\alpha = \beta\)। \(\blacksquare\)
৩-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(\sup S = \alpha\) হলে \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists x \in S\) যেন \(\alpha - \varepsilon < x \le \alpha\)।
প্রমাণ: \(\varepsilon > 0\) ধরো। তাহলে \(\alpha - \varepsilon < \alpha\), তাই \(\alpha - \varepsilon\) আর upper bound নয় (কারণ \(\alpha\) সবচেয়ে ছোট upper bound)।
"Upper bound নয়" মানে: \(\exists x \in S\) যেন \(x > \alpha - \varepsilon\)।
অন্যদিকে \(\alpha\) upper bound, তাই \(x \le \alpha\) সব \(x \in S\)-এর জন্য।
সুতরাং \(\alpha - \varepsilon < x \le \alpha\)। \(\blacksquare\)
উপলব্ধি: এই \(\varepsilon\)-characterization-ই বলে: supremum-এর ঠিক নিচেই সেটের উপাদান আছে — এটাই "tight ceiling"-এর আনুষ্ঠানিক অর্থ।
৪-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)\)।
ধরো \(\alpha = \sup A\), \(\beta = \sup B\), এবং \(M = \max(\alpha, \beta)\)।
\(M\) একটা upper bound of \(A \cup B\):
- \(x \in A \cup B\) হলে \(x \in A\) বা \(x \in B\)।
- \(x \in A\) হলে \(x \le \alpha \le M\); \(x \in B\) হলে \(x \le \beta \le M\)।
\(M\) সবচেয়ে ছোট upper bound:
ধরো \(c < M\)। তাহলে \(c < \alpha\) বা \(c < \beta\) (অন্তত একটা)।
- \(c < \alpha\) হলে: \(\alpha = \sup A\) থেকে \(\exists a \in A\) যেন \(a > c\)। কিন্তু \(a \in A \subseteq A \cup B\), তাই \(c\) upper bound নয়।
- \(c < \beta\) হলেও একইভাবে।
সুতরাং \(M\) সবচেয়ে ছোট upper bound, অর্থাৎ \(\sup(A \cup B) = M = \max(\sup A, \sup B)\)। \(\blacksquare\)
৫-নং সমাধান দেখাও
\(T = \left\{\frac{(-1)^n}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}\)।
আলাদা করো:
- \(n\) বিজোড়: \(\frac{-1}{1}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{5}, \ldots = -1, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, \ldots\) (ঋণাত্মক, \(0\)-এর দিকে যাচ্ছে)
- \(n\) জোড়: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \ldots\) (ধনাত্মক, \(0\)-এর দিকে যাচ্ছে)
\(\sup T\): জোড় \(n\)-এর উপাদানগুলো সবচেয়ে বড়। সবচেয়ে বড় জোড়-\(n\) উপাদান হলো \(n=2\): \(\frac{1}{2}\)। এবং \(\frac{1}{2} \in T\)।
যাচাই: সব বিজোড়-\(n\) উপাদান ঋণাত্মক \(< \frac{1}{2}\); সব জোড়-\(n\) উপাদান \(\le \frac{1}{2}\)।
তাই \(\sup T = \max T = \frac{1}{2}\)।
\(\inf T\): বিজোড়-\(n\) উপাদানগুলো সবচেয়ে ছোট। সবচেয়ে ছোট হলো \(n=1\): \(-1\)।
তাই \(\inf T = \min T = -1\)।
৬-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\exists n \in \mathbb{Z}\) যেন \(n \le x < n+1\)।
প্রমাণ:
ধরো \(x \in \mathbb{R}\)। সেট \(S = \{m \in \mathbb{Z} : m \le x\}\) নাও।
- Archimedean property থেকে: \(\exists k \in \mathbb{N}\) যেন \(k > -x\), অর্থাৎ \(-k < x\), তাই \(-k \in S\) — \(S\) nonempty।
- আবার Archimedean: \(\exists k' \in \mathbb{N}\) যেন \(k' > x\), তাই \(k'\) হলো \(S\)-এর upper bound।
Completeness axiom থেকে \(\sup S\) আছে। যেহেতু \(S\) শুধু integers ধারণ করে এবং bounded above, তাই \(S\)-এ একটা সর্বোচ্চ integer \(n\) আছে (integers-এর মধ্যে কোনো accumulation point নেই)।
এই \(n\)-এর জন্য: \(n \le x\) (কারণ \(n \in S\)) এবং \(n + 1 > x\) (কারণ \(n+1 \notin S\), অর্থাৎ \(n+1 > x\))।
সুতরাং \(n \le x < n + 1\)। এই \(n = \lfloor x \rfloor\)। \(\blacksquare\)
৭-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(\sup S = \sqrt{2}\) যেখানে \(S = \{r \in \mathbb{Q} : r < \sqrt{2}\}\)।
\(\sqrt{2}\) upper bound: সব \(r \in S\)-এর জন্য \(r < \sqrt{2}\) সংজ্ঞা অনুযায়ীই।
\(\sqrt{2}\) সবচেয়ে ছোট upper bound: ধরো \(c < \sqrt{2}\)। তাহলে \(c < \sqrt{2}\), এবং density of ℚ in ℝ থেকে \(\exists r \in \mathbb{Q}\) যেন \(c < r < \sqrt{2}\)। এই \(r \in S\) এবং \(r > c\) — তাই \(c\) upper bound নয়।
অতএব \(\sup S = \sqrt{2}\) (ℝ-তে)।
কিন্তু \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — এটা অধ্যায় 0.4-এ প্রমাণিত হয়েছে (contradiction দ্বারা: \(\sqrt{2} = p/q\) ধরলে \(p\) ও \(q\) উভয়ই জোড় হয়, \(\gcd = 1\) ভাঙে)।
উপসংহার: ℚ-তে থেকে \(S\)-এর supremum খুঁজলে পাওয়া যাবে না — কারণ যেখানে supremum থাকার কথা সেখানে (\(\sqrt{2}\)-তে) ℚ-তে কোনো সংখ্যা নেই। এটাই completeness axiom-এর ℚ-তে ব্যর্থতা — এবং এই কারণেই real analysis-এর জন্য ℝ চাই, ℚ নয়।
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Upper bound / lower bound কী — সংজ্ঞা মুখে বলতে পারি, উদাহরণ দিতে পারি।
- [ ] Supremum (sup) = least upper bound; infimum (inf) = greatest lower bound — দুটোর পার্থক্য জানি।
- [ ] Sup ≠ max — sup সবসময় থাকে (যদি bounded above হয়), max কেবল তখন থাকে যখন sup সেটের মধ্যে আছে।
- [ ] Completeness Axiom: ℝ-এর যেকোনো nonempty bounded above subset-এর sup ℝ-তেই থাকে — এটা কণ্ঠস্থ ও বোধগম্য।
- [ ] ℚ কেন fail করে: \(A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\)-এর sup হলো \(\sqrt{2}\), কিন্তু \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) — এই উদাহরণটা নিজে বলতে পারি।
- [ ] \(\varepsilon\)-characterization: \(\sup S = \alpha\) মানে: \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists x \in S\) যেন \(x > \alpha - \varepsilon\) — এটা proof-এ ব্যবহার করতে পারি।
- [ ] Archimedean property: \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\exists n \in \mathbb{N}\) যেন \(n > x\); এবং ফলাফল \(\frac{1}{n} < \varepsilon\)।
- [ ] Density of ℚ: যেকোনো দুটো বাস্তব সংখ্যার মাঝে একটা মূলদ সংখ্যা আছে — এটা প্রমাণ করতে পারি।
- [ ] এই দুটো ধারণার পার্থক্য বুঝি: dense (নিবিড়) বনাম complete (পূর্ণ) — ℚ dense কিন্তু complete নয়।
➡️ পরের অধ্যায়: 1.2 — অনুক্রম ও সীমা (Sequences & Limits) — এবার completeness axiom ব্যবহার করব একটা অনুক্রমের সীমা কেন বাস্তব সংখ্যায় থাকে সেটা প্রমাণ করতে; Cauchy sequence ও convergence-এর পূর্ণ theory।