2.7 — Compactness ও Total Boundedness¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: open cover (মুক্ত আবরণ) ও compactness (সংবদ্ধতা)-র সংজ্ঞা; sequential compactness (ক্রমিক সংবদ্ধতা); total boundedness (পূর্ণ সীমাবদ্ধতা); metric space-এ compact ⟺ complete + totally bounded ⟺ sequentially compact; Heine–Borel theorem (হাইনে–বোরেল)-এর মাধ্যমে ℝⁿ-এ closed + bounded ⟺ compact; আর compact সেটের উপর continuous function-এর ছবি (EVT)।

উৎস (source): Heine, Borel (Heine–Borel); Fréchet (compactness)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

অনেক সময় গণিতে এমন প্রশ্ন আসে: "এই function কি কোথাও সর্বোচ্চ মান পাবে?" বা "এই ধারার কি কোনো convergent উপধারা (subsequence) আছে?" এই প্রশ্নগুলোর উত্তর একটাই শর্তের উপর নির্ভর করে — সেটটা compact (সংবদ্ধ) কিনা।

স্বজ্ঞা দিয়ে শুরু করি: ধরো তোমার কাছে একটা অসীম বাক্সে অসংখ্য রঙিন বল আছে। তুমি চাইছ পুরো বাক্সটাকে কয়েকটা ঢাকনা দিয়ে ঢেকে দিতে। একটা অসীম বাক্সের জন্য হয়তো অসীম ঢাকনা লাগবে। কিন্তু কিছু বিশেষ সেটের জন্য — যাদেরই "যতগুলো ঢাকনা দিয়েই ঢাকো না কেন, সবসময় সসীম সংখ্যক ঢাকনায় কাজ হয়ে যায়" — এদেরই বলে compact সেট।

এই একটা ধর্ম থেকে কতকিছু বেরিয়ে আসে:

Extreme Value Theorem (EVT): \(f: K \to \mathbb{R}\) continuous এবং \(K\) compact হলে \(f\) সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেয়। (আগে শুধু বলতাম "closed interval-এ"; এখন বুঝব কেন।)
Bolzano–Weierstrass: \(\mathbb{R}^n\)-এর যেকোনো bounded sequence-এর একটা convergent subsequence আছে — এটাও compactness-এর ফল।
ODE-র existence theorem, integral equations, functional analysis — সবখানে compactness হলো মূল হাতিয়ার।

আগের অধ্যায়গুলোয় আমরা open set, closed set, completeness শিখেছি। Compactness হলো সেই সব ধারণার পরিণতি — একটা "finite control over an infinite object"।

মূল স্বজ্ঞা

Compact মানে: অসীম set-টাকে যেভাবেই খোলা ঢাকনায় ঢাকো, সসীম ঢাকনায় কাজ শেষ হয়ে যাবে। আরেকভাবে: compact set-এ "সীমাহীনভাবে ছড়িয়ে পড়া" সম্ভব নয় — সব দিক থেকে একটা "আঁটোসাঁটো" নিয়ন্ত্রণ আছে।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Open Cover — "ঢাকনা দিয়ে ঢাকা"¶

ধরো \((X, d)\) একটা metric space এবং \(K \subseteq X\)।

একটা open cover (মুক্ত আবরণ) হলো open set-দের একটা সংগ্রহ \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in A}\) (যেখানে \(A\) যেকোনো index set — সসীমও হতে পারে, অসীমও) যেন \(K \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\)।

সহজ কথায়: প্রতিটা বিন্দু \(x \in K\) যেন কমপক্ষে একটা \(U_\alpha\)-র মধ্যে পড়ে।

উদাহরণ: \(K = [0, 1]\) ধরো। তাহলে:

\(\{(-0.1, 0.3),\, (0.2, 0.6),\, (0.5, 0.8),\, (0.7, 1.1)\}\) একটা open cover।
\(\left\{\left(-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}\right) : n \in \mathbb{N}\right\}\) আরেকটা (অসীম) open cover।
\(\left\{\left(x - \frac{1}{10}, x + \frac{1}{10}\right) : x \in [0,1]\right\}\) — প্রতিটা বিন্দুর চারপাশে একটা করে ball — এটাও open cover, কিন্তু uncountably infinite।

Finite subcover (সসীম উপ-আবরণ): মূল open cover থেকে সসীম সংখ্যক \(U_\alpha\) বেছে নিলেও যদি \(K\) ঢাকা পড়ে যায়, সেটাই finite subcover।

Open cover and finite subcover of K=[0,1] চিত্র ১: বাঁয়ে — \(K=[0,1]\)-এর উপর অনেকগুলো overlapping open interval মিলে একটা (অসীম) open cover তৈরি করেছে। ডানে — মাত্র চারটা interval দিয়েই পুরো \(K\) ঢেকে গেছে: এটাই finite subcover। Compactness মানে এই সুবিধা সবসময় পাওয়া যায়।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

সংজ্ঞা: Compact Set¶

সংজ্ঞা: Compactness (সংবদ্ধতা)

একটা subset \(K \subseteq X\) কে compact (সংবদ্ধ) বলা হয় যদি \(K\)-এর প্রতিটা open cover-এর একটা finite subcover (সসীম উপ-আবরণ) থাকে।

আনুষ্ঠানিকভাবে: যদি \(K \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\) (প্রতিটা \(U_\alpha\) open), তবে এমন সসীম উপসেট \(\{U_{\alpha_1}, \ldots, U_{\alpha_n}\} \subseteq \{U_\alpha\}\) আছে যেন \(K \subseteq U_{\alpha_1} \cup \cdots \cup U_{\alpha_n}\)।

এই সংজ্ঞাটা বেশ abstract মনে হয় — চলো আরও দুটো সমতুল্য ধারণা দেখি, যা অনেক সময় বেশি সহজবোধ্য।

Sequential Compactness (ক্রমিক সংবদ্ধতা)¶

সংজ্ঞা: Sequential Compactness

\(K \subseteq X\) sequentially compact (ক্রমিকভাবে সংবদ্ধ) যদি \(K\)-এর যেকোনো sequence \((x_n)\)-এর এমন একটা subsequence \((x_{n_k})\) থাকে যা \(K\)-এর কোনো বিন্দুতে converge করে।

স্বজ্ঞা: compact সেটে অসীম ধারা "বেরিয়ে যেতে পারে না" — সবসময় কোথাও না কোথাও জমা হতেই হয়।

Sequential compactness: every sequence has a convergent subsequence inside K চিত্র ৪: Sequential compactness — compact সেট \(K\)-এ (বদ্ধ বৃত্ত) যেকোনো sequence \((x_n)\)-এর একটা convergent subsequence \((x_{n_k})\) থাকে যার limit \(\ell\) সেটের ভেতরেই পড়ে। সিকোয়েন্স "বেরিয়ে যেতে পারে না।"

Total Boundedness (পূর্ণ সীমাবদ্ধতা)¶

শুধু bounded হওয়া যথেষ্ট নয়। "পূর্ণ সীমাবদ্ধ" মানে হলো: যেকোনো ছোট্ট ball দিয়ে পুরো set ঢেকে দেওয়া যায় (সসীম সংখ্যায়)।

সংজ্ঞা: Total Boundedness (পূর্ণ সীমাবদ্ধতা)

\((X, d)\)-এর একটা সেট \(A\) totally bounded (পূর্ণ সীমাবদ্ধ) যদি প্রতিটা \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য এমন সসীম সংখ্যক বিন্দু \(x_1, \ldots, x_n \in X\) পাওয়া যায় যেন:

\[A \subseteq \bigcup_{i=1}^n B(x_i,\, \varepsilon)\]

অর্থাৎ \(A\)-কে সসীম সংখ্যক \(\varepsilon\)-ball দিয়ে ঢেকে দেওয়া যায়। \(\{x_1, \ldots, x_n\}\)-কে বলে \(\varepsilon\)-net।

Total boundedness: a set covered by finitely many epsilon-balls চিত্র ৩: Total boundedness — যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য সসীম সংখ্যক \(\varepsilon\)-ball (একটা \(\varepsilon\)-net) দিয়ে সেটটা ঢেকে দেওয়া যায়। বাঁয়ে মোটা জাল (\(\varepsilon=0.35\)), ডানে সূক্ষ্ম জাল (\(\varepsilon=0.15\)) — দুই ক্ষেত্রেই ball-এর সংখ্যা সসীম।

উদাহরণ: \(\mathbb{R}\)-এ \([0,1]\) totally bounded: \(\varepsilon = 0.1\) হলে \(B(0.05, 0.1), B(0.15, 0.1), \ldots, B(0.95, 0.1)\) দিয়ে ঢাকা যায়। কিন্তু \(\mathbb{Z}\) totally bounded নয় (যেকোনো \(\varepsilon < 0.5\) হলে সসীম ball-এ ঢাকা অসম্ভব)।

মূল উপপাদ্য: তিনটা সংজ্ঞা এক হয়¶

উপপাদ্য (Metric Space-এ তিনটা সমতুল্যতা)

\((X, d)\) metric space এবং \(K \subseteq X\) হলে নিচের তিনটা শর্ত সমতুল্য (equivalent):

(i) \(K\) compact (প্রতিটা open cover-এর finite subcover আছে)।

(ii) \(K\) sequentially compact (প্রতিটা sequence-এর একটা convergent subsequence \(K\)-এ আছে)।

(iii) \(K\) complete এবং totally bounded।

প্রমাণ-স্কেচ (সংক্ষিপ্ত রূপরেখা):

(i) ⟹ (ii): ধরো \(K\) compact কিন্তু sequentially compact নয়। তাহলে এমন sequence \((x_n)\) আছে যার কোনো convergent subsequence নেই। এর মানে প্রতিটা বিন্দু \(x \in K\)-এর চারপাশে এমন একটা ball \(B(x, r_x)\) আছে যেখানে \((x_n)\)-এর সসীম সংখ্যক term পড়ে। এই ball-গুলো মিলে \(K\)-এর একটা open cover তৈরি করে, কিন্তু কোনো finite subcover থাকতে পারে না। \(K\)-এর compactness-এর সাথে contradiction।

(ii) ⟹ (iii): Sequential compactness থেকে completeness আসে (Cauchy sequences-এর convergent subsequence থাকে, তাই পুরো Cauchy sequence converge করে)। Total boundedness-ও পাওয়া যায় — না হলে এমন একটা sequence বানানো যায় যার সব বিন্দু পরস্পর থেকে কমপক্ষে \(\varepsilon\) দূরে, তাই কোনো convergent subsequence নেই।

(iii) ⟹ (i): Complete + totally bounded থেকে sequential compactness, তারপর open cover থেকে finite subcover বের করা হয় Lebesgue number lemma দিয়ে (প্রতিটা open cover-এর জন্য একটা \(\delta > 0\) আছে যেন প্রতিটা \(\delta\)-ball কোনো একটা \(U_\alpha\)-র মধ্যে পড়ে)। (সম্পূর্ণ প্রমাণ কঠিন — কোর্সে একটু পরে দেখা যাবে।)

Compact schematic: compact equals complete plus totally bounded equals sequentially compact চিত্র ৭: metric space-এ তিনটি সমতুল্য ধারণার সংযোগ চিত্র — Compact, Sequentially Compact এবং Complete + Totally Bounded একে অপরের সমতুল্য। Heine–Borel উপপাদ্য \(\mathbb{R}^n\)-এ এটাকে closed + bounded-এ পরিণত করে।

Heine–Borel Theorem (হাইনে–বোরেল উপপাদ্য)¶

ℝⁿ-এর জন্য এই উপপাদ্য সবচেয়ে ব্যবহারিক।

Heine–Borel Theorem

\(\mathbb{R}^n\)-এ (Euclidean metric সহ) একটা subset \(K\) compact যদি এবং কেবল যদি \(K\) closed (বদ্ধ) এবং bounded (সীমাবদ্ধ)।

ইতিহাস: এই উপপাদ্য প্রথম প্রমাণ করেন Eduard Heine (১৮৭২, ℝ-এর জন্য) এবং Emile Borel (১৮৯৫, আরও সাধারণভাবে)। ℝⁿ-এ "closed + bounded" মানেই "complete + totally bounded" — এটাই সংযোগ।

প্রমাণ-স্কেচ (ℝ-এ):

Closed + bounded ⟹ compact: বদ্ধ মানে সীমাবদ্ধ সেটের complement open। \(K \subseteq [-M, M]\) ধরো। Bisection argument (অর্ধেক-অর্ধেক করে ভাগ) দিয়ে দেখা যায় যে কোনো open cover-এ সসীম subcover আছে।
Compact ⟹ closed + bounded: Compact ⟹ sequentially compact। যেকোনো convergent sequence-এর limit \(K\)-এ আছে (তাই \(K\) closed)। \(K\) bounded না হলে প্রতিটা \(n \in \mathbb{N}\)-এর জন্য \(\|x_n\| > n\) এমন \(x_n \in K\) নেওয়া যায়, যার কোনো convergent subsequence থাকতে পারে না — contradiction।

সাবধান: ℝⁿ-বাইরে Heine–Borel কাজ করে না

অসীম-মাত্রিক space-এ (যেমন \(C[0,1]\)) closed + bounded হলেই compact নয়! উদাহরণ: \(C[0,1]\)-এ \(\{f_n : f_n(x) = \sin(n\pi x)\}\) সেটটা bounded কিন্তু compact নয় — কোনো uniformly convergent subsequence নেই। এ কারণেই infinite-dimensional space-এ compactness অনেক কঠিন — Arzelà–Ascoli theorem (পরের অধ্যায়) সেটা সামলায়।

Heine-Borel theorem in R^2 চিত্র ২: \(\mathbb{R}^2\)-এ Heine–Borel উপপাদ্যের তিনটি দৃষ্টান্ত। (A) Closed disk — closed + bounded, তাই compact। (B) Open disk — closed নয় (boundary নেই), তাই compact নয়; boundary-র দিকে যাওয়া sequence-এর limit সেটে নেই। (C) Horizontal strip — bounded নয়, তাই compact নয়।

Continuous Image of Compact is Compact¶

উপপাদ্য

\(f: K \to Y\) continuous এবং \(K\) compact হলে \(f(K) = \{f(x) : x \in K\}\)ও compact।

প্রমাণ-স্কেচ: \(\{V_\alpha\}\) একটা open cover of \(f(K)\)। তাহলে \(\{f^{-1}(V_\alpha)\}\) হলো \(K\)-এর একটা open cover (\(f\) continuous বলে \(f^{-1}(V_\alpha)\) open)। \(K\) compact, তাই সসীম subcover নেওয়া যায়। সেই সসীম subcover-এর image হলো \(f(K)\)-এর একটা finite subcover।

Extreme Value Theorem (EVT)¶

Extreme Value Theorem (চরম মান উপপাদ্য)

\(K\) compact এবং \(f: K \to \mathbb{R}\) continuous হলে \(f\) সর্বোচ্চ (maximum) ও সর্বনিম্ন (minimum) মান অর্জন করে:

\[\exists\, p, q \in K \;\text{ যেন }\; f(p) = \sup_{x \in K} f(x) \;\text{ এবং }\; f(q) = \inf_{x \in K} f(x)\]

প্রমাণ: \(f(K)\) compact (উপরের উপপাদ্য থেকে)। \(\mathbb{R}\)-এ compact ⟹ closed + bounded (Heine–Borel)। তাই \(f(K)\) bounded, মানে \(\sup f(K)\) এবং \(\inf f(K)\) বিদ্যমান। Closed হওয়ায় এই supremum ও infimum আসলে \(f(K)\)-এর উপাদান — অর্থাৎ কোনো \(p, q \in K\) আছে যেন \(f(p) = \sup\) এবং \(f(q) = \inf\)।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

Analogy: "সসীম হাতল দিয়ে অসীম জিনিস ধরা"¶

কল্পনা করো একটা অসীম মেলার মাঠ। তুমি চাও পুরো মাঠটা কতগুলো তাঁবু দিয়ে ঢেকে দিতে। যদি মাঠটা "compact" হয়, তোমার কাজ সহজ — যতভাবেই তাঁবু দাও, সীমিত সংখ্যক তাঁবুতেই কাজ শেষ হবে। মাঠ অসীম বড় হলে (unbounded) বা কোনো প্রান্ত ছাড়া (not closed, যেমন খোলা interval) তাহলে কখনো কখনো সসীম তাঁবুতে পুরো মাঠ ঢাকা অসম্ভব।

Worked Example ১: \([0, 1]\) compact¶

\((0, 1)\) দিয়ে open cover দাও: \(\left\{\left(\frac{1}{n+1}, 1\right) : n \in \mathbb{N}\right\}\) — এটা \((0,1)\)-কে ঢাকে কারণ প্রতিটা \(x \in (0,1)\)-এর জন্য \(x > \frac{1}{n+1}\) হওয়ার মতো \(n\) পাওয়া যায়।

কিন্তু \([0, 1]\)-এর জন্য? \(0 \in [0,1]\) ঢাকতে এই cover কাজ করে না! তাই \([0, 1]\)-এর open cover-এ \(0\)-কে ঢাকার জন্য আলাদা একটা set লাগবে।

Heine–Borel বলছে \([0,1]\) closed + bounded, তাই compact। \((0,1)\) closed নয়, তাই compact নয়।

Non-compact open interval (0,1): sequence 1/n escapes to missing endpoint চিত্র ৫: \((0,1)\) compact নয় — sequence \(x_n = 1/n\) সেটের মধ্যে থেকে endpoint \(0\)-এর দিকে চলে যায়, কিন্তু \(0 \notin (0,1)\)। কোনো convergent subsequence সেটের ভেতরে থাকতে পারে না।

Worked Example ২: Total Boundedness¶

\(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}\) (unit closed disk) totally bounded কারণ: যেকোনো \(\varepsilon > 0\)-এর জন্য, \(\varepsilon\)-net নেওয়া যায় যেমন একটা \(\varepsilon\)-grid এর grid-points। Grid-point-এর সংখ্যা \(\lesssim (2/\varepsilon)^2\), যা সসীম।

অন্যদিকে \(\mathbb{R}^2\) totally bounded নয়: \(\varepsilon = 1\) হলে পুরো plane ঢাকতে অসীম সংখ্যক ball লাগবে।

Non-compact R: unbounded sequence running off to infinity চিত্র ৬: \(\mathbb{R}\) compact নয় — sequence \(x_n = n\) কোনো সীমায় থামে না এবং কোনো convergent subsequence নেই। \(\mathbb{R}\) closed কিন্তু bounded নয়, তাই Heine–Borel-এ compact নয়।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

"Bounded মানেই compact" ভাবা। এটা শুধু ℝⁿ-এ closed+bounded হলে সত্য। Infinite-dimensional space-এ বা open set-এ এটা ভুল। উদাহরণ: \((0, 1)\) bounded কিন্তু compact নয়।
"Closed মানেই compact" ভাবা। \(\mathbb{R}\) নিজেই closed কিন্তু compact নয় (bounded নয়)। আবার \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}\) closed কিন্তু compact নয়।
Open cover-এর finite subcover আর finite cover গুলিয়ে ফেলা। Compactness-এর মানে হলো যেকোনো (অসীম) open cover থেকে finite subcover বের করা যায়। কিন্তু সেটার মানে এই নয় যে সেটটাকে সবসময় সসীম সংখ্যক set দিয়ে ঢাকা যাবে — বরং যেকোনো ঢাকার মধ্যে থেকেই সসীম বেছে নেওয়া যাবে।
\(\mathbb{R}^n\)-এর Heine–Borel অন্য space-এ প্রয়োগ করা। \(C[0,1]\)-এ closed + bounded ≠ compact। এটা একটা classic ভুল।
Sequential compactness আর compactness-কে শুধু metric space-এ এক জানা। সাধারণ topological space-এ দুটো আলাদা হতে পারে। Metric space-এ এরা সমতুল্য।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

নিচের প্রতিটা সেট ℝ-এ compact কিনা বলো ও কারণ দাও: (ক) \([2, 5]\) (খ) \((0, 3)\) (গ) \([1, \infty)\) (ঘ) \(\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\} \cup \{0\}\)।
দেখাও যে finite set (সসীম সংখ্যক বিন্দু) যেকোনো metric space-এ compact।
\(K = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 4\}\) এবং \(f(x, y) = x + 2y\)। EVT ব্যবহার করে \(f\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান বের করো।
দেখাও যে \((0, 1]\) totally bounded কিন্তু complete নয়। এটা কি compact? কেন?
Cantor set: \(C = [0,1]\)-থেকে বারবার মাঝের তৃতীয়াংশ বাদ দিলে যা থাকে সেটাই Cantor set। দেখাও \(C\) compact।
\(f: [0,1] \to \mathbb{R}\) defined by \(f(x) = x\sin\!\left(\frac{1}{x+0.01}\right)\)। EVT অনুযায়ী \(f\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান আছে কিনা বলো এবং কারণ দাও।
Prove or disprove: যদি \(A\) এবং \(B\) দুটোই compact হয়, তাহলে \(A \cup B\) compact এবং \(A \cap B\) compact।
দেখাও যে metric space-এ compact set সবসময় closed এবং bounded।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Heine–Borel: ℝ-এ compact ⟺ closed + bounded।

(ক) \([2, 5]\): closed ও bounded — compact।
(খ) \((0, 3)\): bounded কিন্তু closed নয় (\(0\) এবং \(3\) সেটে নেই) — compact নয়।
(গ) \([1, \infty)\): closed কিন্তু bounded নয় — compact নয়।
(ঘ) \(\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\} \cup \{0\}\): Bounded (সব সংখ্যা \([0,1]\)-এ)। Closed কারণ এর একমাত্র limit point হলো \(0\), যেটা সেটেই আছে। সুতরাং compact।

২-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(F = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}\) finite এবং \(\{U_\alpha\}\) যেকোনো open cover। তাহলে প্রতিটা \(a_i \in F\)-এর জন্য কমপক্ষে একটা \(U_{\alpha_i}\) আছে যেন \(a_i \in U_{\alpha_i}\)। তাহলে \(\{U_{\alpha_1}, \ldots, U_{\alpha_n}\}\) একটা finite subcover — সর্বোচ্চ \(n\)টা set লাগে। সুতরাং \(F\) compact।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(K\) closed disk: closed এবং bounded, তাই Heine–Borel-এ compact। \(f(x,y) = x + 2y\) continuous। EVT বলছে \(f\) সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন নেয়।

সর্বোচ্চ: Lagrange multiplier বা Cauchy–Schwarz দিয়ে — constraint \(x^2 + y^2 = 4\)-এ maximize করি।

\[f(x,y) = x + 2y \leq \sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2} = 2\sqrt{5}\]

সমতা হয় যখন \((x,y) \propto (1,2)\) এবং \(x^2+y^2=4\), অর্থাৎ \((x,y)=\frac{2}{\sqrt{5}}(1,2)\)।

সর্বনিম্ন: \(-2\sqrt{5}\) (বিপরীত দিকে)।

তাই \(\max f = 2\sqrt{5}\) এবং \(\min f = -2\sqrt{5}\)।

৪-নং সমাধান দেখাও

Totally bounded: \((0,1] \subseteq (0,1]\) bounded, আর যেকোনো \(\varepsilon>0\)-এর জন্য \(\{(\varepsilon k, \varepsilon(k+2)) : k = 0,1,\ldots, \lfloor 1/\varepsilon\rfloor\}\) একটা সসীম \(\varepsilon\)-cover। সুতরাং totally bounded।

Not complete: \(x_n = 1/n\) একটা Cauchy sequence in \((0,1]\) কিন্তু \(x_n \to 0 \notin (0,1]\)। সুতরাং complete নয়।

Not compact: Complete না হওয়ায় (complete + totally bounded ≡ compact) compact নয়। সরাসরিও বলা যায়: Heine–Borel — \((0,1]\) closed নয় (\(0\) limit point কিন্তু সেটে নেই), তাই compact নয়।

৫-নং সমাধান দেখাও

Cantor set \(C\):

\(C \subseteq [0,1]\), তাই bounded।
\(C\) হলো closed set-দের intersection: \(C = [0,1] \setminus \bigcup_{k} I_k\) যেখানে প্রতিটা \(I_k\) open interval। Closed set-দের intersection সবসময় closed। তাই \(C\) closed।
Heine–Borel-এ: closed + bounded ⟹ compact।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(f(x) = x\sin\!\left(\frac{1}{x+0.01}\right)\)-কে \([0,1]\)-এ দেখছি।

\([0,1]\) compact (closed + bounded, Heine–Borel)।
\(f\) continuous on \([0,1]\): \(x+0.01 \geq 0.01 > 0\) তাই কোনো singularity নেই।
EVT: \(f\) সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান অর্জন করবেই। সঠিক মান numerical-এ পাওয়া যাবে, কিন্তু তার অস্তিত্ব theoretically নিশ্চিত।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(A \cup B\) compact (সত্য): \(\{U_\alpha\}\) যেকোনো open cover of \(A \cup B\)। এটা \(A\)-এরও cover, তাই সসীম \(\{U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_m}\}\) দিয়ে \(A\) ঢাকা যায়। একইভাবে \(B\)-এর জন্য সসীম \(\{U_{\beta_1},\ldots,U_{\beta_n}\}\)। দুটো মিলিয়ে \(\{U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_m},U_{\beta_1},\ldots,U_{\beta_n}\}\) হলো \(A \cup B\)-এর finite subcover। সুতরাং \(A \cup B\) compact।

\(A \cap B\) compact (সত্য, metric space-এ): \(A\) compact ⟹ \(A\) closed। \(B\) compact ⟹ \(B\) closed। Closed set-দের intersection closed। \(A \cap B \subseteq A\) এবং compact set-এর closed subset compact। সুতরাং \(A \cap B\) compact।

৮-নং সমাধান দেখাও

Compact ⟹ closed: ধরো \(K\) compact। দেখাব \(K^c\) open। \(x \notin K\) নিই। প্রতিটা \(y \in K\)-এর জন্য \(d(x,y) > 0\), তাই \(U_y = B(y, d(x,y)/2)\) এবং \(V_y = B(x, d(x,y)/2)\) disjoint open balls। \(\{U_y : y \in K\}\) হলো \(K\)-এর open cover। \(K\) compact বলে সসীম subcover \(\{U_{y_1}, \ldots, U_{y_n}\}\) আছে। তাহলে \(V = V_{y_1} \cap \cdots \cap V_{y_n}\) open, \(x \in V\), এবং \(V \cap K = \emptyset\)। সুতরাং \(K^c\) open, মানে \(K\) closed।

Compact ⟹ bounded: \(\{B(x_0, n) : n \in \mathbb{N}\}\) (কোনো fixed \(x_0 \in X\)) হলো \(X\)-এর open cover। \(K\) compact বলে সসীম সংখ্যক ball ঢাকবে: \(K \subseteq B(x_0, N)\) কোনো \(N\)-এর জন্য। সুতরাং \(K\) bounded।

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Open cover ও finite subcover-এর সংজ্ঞা বলতে পারি।
[ ] Compactness-এর সংজ্ঞা (finite subcover property) জানি।
[ ] Sequential compactness কী এবং কীভাবে compactness-এর সাথে সম্পর্কিত তা বলতে পারি।
[ ] Total boundedness বুঝি: যেকোনো \(\varepsilon\)-এর জন্য সসীম \(\varepsilon\)-net।
[ ] Metric space-এ compact ⟺ complete + totally bounded ⟺ sequentially compact — তিনটা সমতুল্যতা মনে আছে।
[ ] Heine–Borel: ℝⁿ-এ compact ⟺ closed + bounded — বলতে পারি ও Heine, Borel নাম জানি।
[ ] Continuous image of compact is compact — প্রমাণ-ধাপ মনে আছে।
[ ] EVT (Extreme Value Theorem) কেন সত্য তা compactness দিয়ে ব্যাখ্যা করতে পারি।
[ ] Infinite-dimensional space-এ Heine–Borel ব্যর্থ হওয়ার উদাহরণ দিতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 2.8 — Arzelà–Ascoli Theorem — function-দের space \(C[a,b]\)-এ compactness কীভাবে চেনা যায়: equicontinuity ও uniform boundedness।