3.3 — Measurable Function¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: এখন \((X, \mathcal{S})\) measurable space আছে। কোন functions সেই σ-algebra-র সাথে "সামঞ্জস্যপূর্ণ"? Measurable function (পরিমাপযোগ্য অপেক্ষক)-এর সংজ্ঞা — preimage of Borel set মানে \(\mathcal{S}\)-তে থাকা; practical characterization \(\{x : f(x) > a\}\) দিয়ে; operations (sum, product, sup, pointwise limit) measurability রক্ষা করে; simple function (সরল অপেক্ষক) কী ও কেন প্রতিটা measurable function-কে simple functions দিয়ে approximate করা যায়। আর সুন্দর সংযোগ: continuous ⇒ Borel measurable।
উৎস (source): Borel ও Lebesgue (measurable function)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
Calculus-এ Riemann integral সংজ্ঞায়িত হয় bounded functions-এর জন্য যারা "সুবিহিত" (কম discontinuity)। কিন্তু আমরা চাই অনেক বড় class of functions-এ integrate করতে।
প্রশ্ন: Lebesgue integral সংজ্ঞায়িত করতে হলে কোন functions-এর জন্য define করব?
উত্তর:measurable functions — যারা measurable space \((X, \mathcal{S})\)-এর structure-এর সাথে harmonious।
স্বজ্ঞাগতভাবে: topology-তে "continuous function" মানে open set-এর preimage open। ঠিক তেমনি measure theory-তে "measurable function" মানে Borel set-এর preimage \(\mathcal{S}\)-তে আছে।
মূল analogy
Topology: continuous ⟺ open-এর preimage open। Measure theory: measurable ⟺ Borel-এর preimage \(\in \mathcal{S}\)।
এই সংযোগটা আরও গভীর: দেখা যাবে প্রতিটা continuous function (Borel domain-এ) Borel measurable।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Preimage (বিপ্রতিবিম্ব) কী?¶
\(f : X \to \mathbb{R}\) একটা function। \(B \subseteq \mathbb{R}\)-এর preimage (বিপ্রতিবিম্ব) হলো:
এটা \(f\)-এর inverse নয় — \(f\) invertible না হলেও preimage সংজ্ঞায়িত।
Preimage-এর গুরুত্বপূর্ণ property:
- \(f^{-1}(Y \setminus A) = X \setminus f^{-1}(A)\) — complement-এর preimage = preimage-এর complement।
- \(f^{-1}\!\left(\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A\right) = \bigcup_{A \in \mathcal{A}} f^{-1}(A)\) — union-এর preimage = preimage-গুলোর union।
- \(f^{-1}\!\left(\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A\right) = \bigcap_{A \in \mathcal{A}} f^{-1}(A)\) — একইভাবে intersection-এর জন্য।
এই properties-গুলোই measurability সংজ্ঞা কাজ করার কারণ।
Measurability-র প্রধান চিত্র¶
নিচের চিত্রে দেখো: \(f^{-1}(B)\) Borel set \(B\)-এর \(X\)-এ "shadow"।
চিত্র ১: \(f : X \to \mathbb{R}\) measurable মানে যেকোনো Borel set \(B \subseteq \mathbb{R}\)-এর preimage \(f^{-1}(B)\) σ-algebra \(\mathcal{S}\)-তে আছে। Figure-এ open interval \((a,b)\)-এর preimage \(f^{-1}((a,b))\) দেখানো হয়েছে, যেটা \(X\)-এ একটা measurable set।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Measurable Function-এর সংজ্ঞা¶
সংজ্ঞা: Measurable Function (পরিমাপযোগ্য অপেক্ষক)
\((X, \mathcal{S})\) একটা measurable space। \(f : X \to \mathbb{R}\) একটা function। \(f\)-কে \(\mathcal{S}\)-measurable (বা শুধু measurable যদি \(\mathcal{S}\) স্পষ্ট) বলা হয় যদি:
\(f^{-1}(B) \in \mathcal{S} \quad \text{প্রতিটা Borel set } B \subseteq \mathbb{R}\text{-এর জন্য}\)
Characteristic function (বৈশিষ্ট্য অপেক্ষক) — গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ:
\(E \subseteq X\)-এর characteristic function \(\chi_E : X \to \mathbb{R}\):
\(\chi_E\) measurable \(\Leftrightarrow\) \(E \in \mathcal{S}\) (সহজে যাচাই হয়)।
Practical Characterization — শুধু \((a,\infty)\)-ই যথেষ্ট¶
উপপাদ্য: Measurability-র সহজ শর্ত
\((X, \mathcal{S})\) measurable space এবং \(f : X \to \mathbb{R}\)। যদি সব \(a \in \mathbb{R}\)-এর জন্য:
\(f^{-1}((a,\infty)) = \{x \in X : f(x) > a\} \in \mathcal{S}\)
তাহলে \(f\) \(\mathcal{S}\)-measurable।
Proof sketch: \(\mathcal{T} = \{A \subseteq \mathbb{R} : f^{-1}(A) \in \mathcal{S}\}\) সংজ্ঞা করো। Preimage-এর properties ব্যবহার করে দেখানো যায় \(\mathcal{T}\) একটা σ-algebra। আমাদের hypothesis বলছে \((a,\infty) \in \mathcal{T}\) সব \(a\)-এর জন্য। যেহেতু Borel σ-algebra \(\mathcal{B}\) হলো সব open sets দ্বারা generated এবং প্রতিটা open set \((a,\infty)\)-দের countable union, তাই \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}\)। তাই সব Borel set \(B\)-এর জন্য \(f^{-1}(B) \in \mathcal{S}\)। \(\square\)
এই characterization অনেক practical: শুধু \(\{f > a\}\) দেখলেই measurability বোঝা যায়।
চিত্র: \(\{x:f(x)>a\}\) — উচ্চতা \(a\)-র উপরে শেড অঞ্চল measurable
অন্যান্য equivalent characterization:
- \(\{x : f(x) \ge a\} \in \mathcal{S}\) সব \(a\)-এর জন্য।
- \(\{x : f(x) < a\} \in \mathcal{S}\) সব \(a\)-এর জন্য।
- \(\{x : f(x) \le a\} \in \mathcal{S}\) সব \(a\)-এর জন্য।
চিত্র: \((a,b)\)-এর preimage disconnected হলেও \(\mathcal{S}\)-এ
Borel Measurable Function¶
সংজ্ঞা: Borel Measurable Function
\(X \subseteq \mathbb{R}\)। \(f : X \to \mathbb{R}\) Borel measurable বলা হয় যদি \(f^{-1}(B)\) প্রতিটা Borel set \(B \subseteq \mathbb{R}\)-এর জন্য একটা Borel set।
অর্থাৎ measurable space হলো \((X, \mathcal{B}|_X)\) যেখানে \(\mathcal{B}|_X\) হলো \(X\)-এ restricted Borel σ-algebra।
Continuous ⇒ Borel Measurable¶
উপপাদ্য:
যদি \(X \subseteq \mathbb{R}\) একটা Borel set এবং \(f : X \to \mathbb{R}\) continuous, তাহলে \(f\) Borel measurable।
Proof: যেকোনো \(a \in \mathbb{R}\)-এর জন্য \(f^{-1}((a,\infty)) = \{x \in X : f(x) > a\}\) open relative to \(X\) (কারণ \(f\) continuous এবং \((a,\infty)\) open)। Open relative to \(X\) মানে \(X\)-এ Borel। তাই \(f\) Borel measurable। \(\square\)
Increasing Function ⇒ Borel Measurable¶
উপপাদ্য:
যদি \(X \subseteq \mathbb{R}\) একটা Borel set এবং \(f : X \to \mathbb{R}\) increasing (একদিকমুখী), তাহলে \(f\) Borel measurable।
Proof: \(b = \inf f^{-1}((a,\infty))\)। \(f\) increasing হওয়ায় \(f^{-1}((a,\infty)) = (b, \infty) \cap X\) অথবা \([b, \infty) \cap X\) — উভয়ই Borel। তাই measurable। \(\square\)
Measurability Operations-এ স্থিতিশীল¶
উপপাদ্য: Algebraic operations
\((X, \mathcal{S})\) measurable space এবং \(f, g : X \to \mathbb{R}\) উভয়ই \(\mathcal{S}\)-measurable। তাহলে:
(a) \(f + g\), \(f - g\), \(f \cdot g\) প্রতিটাই \(\mathcal{S}\)-measurable। (b) যদি \(g(x) \ne 0\) সব \(x\)-এর জন্য, তাহলে \(\frac{f}{g}\) \(\mathcal{S}\)-measurable।
Proof idea (sum): দেখাতে হয় \(\{f + g > a\} \in \mathcal{S}\)। Rational numbers ব্যবহার করে:
এটা countable union of intersections of measurable sets — তাই \(\mathcal{S}\)-তে আছে। \(\square\)
উপপাদ্য: Limits ও supremum
\((X, \mathcal{S})\) measurable space এবং \(f_1, f_2, \ldots\) একটা sequence of \(\mathcal{S}\)-measurable functions।
(a) যদি \(\lim_{k\to\infty} f_k(x)\) exist করে সব \(x\)-এর জন্য, তাহলে \(\lim_{k\to\infty} f_k\) \(\mathcal{S}\)-measurable। (b) \(\sup_k f_k\) এবং \(\inf_k f_k\) উভয়ই \(\mathcal{S}\)-measurable। (c) \(\limsup_{k\to\infty} f_k\) এবং \(\liminf_{k\to\infty} f_k\) উভয়ই \(\mathcal{S}\)-measurable।
Proof idea (sup): \(\{\sup_k f_k > a\} = \bigcup_k \{f_k > a\}\) — countable union of measurable sets।
চিত্র: \(\sup_k f_k\) ও \(\lim_k f_k\) দুটোই measurable
Proof idea (limit): \(\{f > a\} = \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{k=m}^{\infty} \{f_k > a + \tfrac{1}{j}\}\) — এই expression-টা দেখতে জটিল কিন্তু countable unions ও intersections, তাই \(\mathcal{S}\)-তে আছে।
এটাই Riemann-এর চেয়ে Lebesgue-এর বড় সুবিধা: Riemann integrable functions-এর pointwise limit Riemann integrable নাও হতে পারে (1.7-এ দেখেছি)। কিন্তু measurable functions-এর pointwise limit সবসময় measurable!
Simple Function (সরল অপেক্ষক)¶
সংজ্ঞা: Simple Function (সরল অপেক্ষক)
\(f : X \to \mathbb{R}\) একটা simple function (সরল অপেক্ষক) যদি \(f\) শুধু finitely many মান নেয়।
Simple function-এর standard representation: যদি \(f\)-এর distinct nonzero values হয় \(c_1, \ldots, c_n\), তাহলে:
যেখানে \(E_k = f^{-1}(\{c_k\})\)। \(f\) measurable \(\Leftrightarrow\) \(E_1, \ldots, E_n \in \mathcal{S}\)।
চিত্র: Simple function: প্রতিটা \(E_k\)-তে constant \(c_k\) — staircase
Simple function figure-এ দেখো — এটা একটা step function:
চিত্র ২: একটা simple function (সরল অপেক্ষক) তার domain-কে finitely many disjoint measurable sets-এ ভাগ করে প্রতিটাতে একটা constant value নেয়। এটাই integration-এর "অক্ষর"— measurable function-কে এই blocks দিয়ে approximate করা হয়।
Simple functions দিয়ে approximation:
উপপাদ্য: Simple Function Approximation
\((X, \mathcal{S})\) measurable space এবং \(f : X \to [-\infty, \infty]\) \(\mathcal{S}\)-measurable। তাহলে simple \(\mathcal{S}\)-measurable functions \(f_1, f_2, \ldots\)-এর একটা sequence আছে যাতে:
(a) প্রতিটা \(f_k\) simple ও \(\mathcal{S}\)-measurable। (b) \(|f_k(x)| \le |f_{k+1}(x)| \le |f(x)|\) সব \(k\) ও \(x\)-এর জন্য। (c) \(\lim_{k\to\infty} f_k(x) = f(x)\) সব \(x\)-এর জন্য। (d) যদি \(f\) bounded, তাহলে convergence uniform।
Proof idea: প্রতিটা \(k\)-এর জন্য, \([n, n+1)\) interval-কে \(2^k\) ভাগে ভাগ করো। \(f(x)\) কোন subinterval-এ পড়ে সেই subinterval-এর left endpoint হলো \(f_k(x)\)। এভাবে \(f_k \to f\) pointwise।
চিত্র: \(f_k \nearrow f\): step-size কমলে staircase \(f\)-এর কাছে আসে
এই approximation theorem integration-এর মূল ভিত্তি: Lebesgue integral সংজ্ঞায়িত হবে simple functions-এর integral limit হিসেবে।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Worked Example 1: Constant function¶
\(f(x) = c\) (constant)। যেকোনো Borel \(B\)-এর জন্য:
- \(f^{-1}(B) = X\) যদি \(c \in B\)
- \(f^{-1}(B) = \emptyset\) যদি \(c \notin B\)
উভয় ক্ষেত্রে \(f^{-1}(B) \in \mathcal{S}\) (কারণ \(X, \emptyset \in \mathcal{S}\) সবসময়)। তাই constant function সবসময় measurable।
Worked Example 2: \(f(x) = x\) (identity) on \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\)¶
\(\{x : f(x) > a\} = \{x : x > a\} = (a, \infty)\) — Borel set। তাই identity function Borel measurable। (এটা continuous, তাই এমনিতেই measurable।)
Worked Example 3: Dirichlet function¶
\(f = \chi_{\mathbb{Q}}\) (rational = 1, irrational = 0)।
\(\{x : f(x) > a\}\):
- \(a \ge 1\): empty set (Borel ✓)
- \(0 \le a < 1\): \(\mathbb{Q}\) (countable → Borel ✓)
- \(a < 0\): \(\mathbb{R}\) (Borel ✓)
তাই \(\chi_{\mathbb{Q}}\) Borel measurable! Riemann integrable নয়, কিন্তু measurable — Lebesgue integrable হবে।
Analogy: Temperature mapping¶
ধরো একটা শহরের প্রতিটা বিন্দুতে temperature \(f(x)\) দেওয়া আছে। "Temperature > 30°C" হওয়া points-এর set হলো \(\{x : f(x) > 30\}\)। Measurability বলছে এই "warm zone" একটা measurable set হওয়া উচিত — যাতে তার "আয়তন" measure করা যায়। Temperature-function measurable মানে: যেকোনো temperature threshold-এ "warm zone" measurable।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
Measurable function মানে continuous ভাবা। Dirichlet function measurable কিন্তু কোথাও continuous নয়। Measurability continuous-এর চেয়ে অনেক দুর্বল শর্ত।
-
Preimage ও image গুলিয়ে ফেলা। Measurability-র শর্ত preimage (\(f^{-1}(B)\)) নিয়ে — \(f\)-এর image (\(f(A)\)) নিয়ে নয়। Image-এর similar property সাধারণত থাকে না।
-
\(\{f > a\}\) দেখলেই কাজ শেষ ভাবা। শুধু \((a,\infty)\)-টাইপ sets চেক করলেই যথেষ্ট। কিন্তু \(\mathbb{R}\)-এর domain থাকলে এই shortcut ব্যবহার করা যায়।
-
Pointwise limit সবসময় measurable — এটা জানা দরকার। Riemann-এর জন্য এটা সত্য নয়। Lebesgue theory-র শক্তি এখানেই।
-
Simple function = step function মনে করা। Simple function-এ sets পর্যন্ত Borel হওয়া লাগে — general step function নয়।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
- \((X, \mathcal{S})\) measurable space, \(f : X \to \mathbb{R}\)। দেখাও: \(f\) measurable \(\Leftrightarrow\) \(\{x : f(x) \ge a\} \in \mathcal{S}\) সব \(a \in \mathbb{R}\)-এর জন্য।
- \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) উভয়ই Borel measurable। দেখাও \(\max(f,g)\) ও \(\min(f,g)\) Borel measurable।
- \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) Borel measurable এবং \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continuous। দেখাও \(g \circ f\) Borel measurable।
- \(\chi_A : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) Borel measurable \(\Leftrightarrow\) \(A \in \mathcal{B}\) — প্রমাণ করো।
- \(f(x) = \sin x\) Borel measurable কি? কেন?
- \(f_k(x) = \frac{x}{1 + kx^2}\) ধরো \(k = 1, 2, \ldots\)। \(f_k\) Borel measurable কি? \(\lim_{k \to \infty} f_k(x)\) কী? সেটাও measurable?
- একটা simple measurable function লেখো যেটা \(f(x) = x^2\) কে \([0,2]\)-এ approximate করে। কতটা কাছে?
- দেখাও: \(f : X \to \mathbb{R}\) measurable এবং \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) Borel measurable হলে \(g \circ f : X \to \mathbb{R}\) measurable।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
(\(\Rightarrow\)): \(f\) measurable মানে \(f^{-1}(B) \in \mathcal{S}\) সব Borel \(B\)-এর জন্য। \([a,\infty)\) হলো closed set, তাই Borel। তাই \(\{f \ge a\} = f^{-1}([a,\infty)) \in \mathcal{S}\)। ✓
(\(\Leftarrow\)): ধরো \(\{f \ge a\} \in \mathcal{S}\) সব \(a\)-এর জন্য। তাহলে:
\(\{f > a\} = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{f \ge a + \tfrac{1}{k}\right\}\)
এটা countable union of elements of \(\mathcal{S}\) — তাই \(\{f > a\} \in \mathcal{S}\)। \(f\) measurable। ✓
২-নং সমাধান দেখাও
\(\max(f,g)(x) = \max(f(x), g(x))\)।
\(\{\max(f,g) > a\} = \{f > a\} \cup \{g > a\}\)
\(f, g\) Borel measurable, তাই \(\{f > a\}\) ও \(\{g > a\}\) Borel। তাদের union Borel। তাই \(\max(f,g)\) Borel measurable। ✓
একইভাবে: \(\{\min(f,g) > a\} = \{f > a\} \cap \{g > a\}\) — intersection of Borel sets, Borel। তাই \(\min(f,g)\) Borel measurable। ✓
৩-নং সমাধান দেখাও
\(g \circ f\)-এর measurability দেখাতে হবে। যেকোনো Borel \(B \subseteq \mathbb{R}\)-এর জন্য:
\((g \circ f)^{-1}(B) = f^{-1}(g^{-1}(B))\)
\(g\) Borel measurable তাই \(g^{-1}(B)\) Borel। \(f\) Borel measurable তাই \(f^{-1}(g^{-1}(B))\) Borel। তাই \(g \circ f\) Borel measurable। \(\square\)
এই result আছে। Composition-এ measurability রক্ষিত থাকে।
৪-নং সমাধান দেখাও
\(\chi_A\) Borel measurable \(\Leftrightarrow\) \(A \in \mathcal{B}\)।
(\(\Rightarrow\)): \(\chi_A\) Borel measurable ধরো। \(B = \{1\}\) (single point) Borel। তাহলে \(\chi_A^{-1}(\{1\}) = A \in \mathcal{B}\)। ✓
(\(\Leftarrow\)): \(A \in \mathcal{B}\) ধরো। যেকোনো Borel \(B\)-এর জন্য:
- \(0, 1 \notin B\): \(\chi_A^{-1}(B) = \emptyset \in \mathcal{B}\)।
- \(1 \in B\), \(0 \notin B\): \(\chi_A^{-1}(B) = A \in \mathcal{B}\)।
- \(0 \in B\), \(1 \notin B\): \(\chi_A^{-1}(B) = \mathbb{R} \setminus A \in \mathcal{B}\) (\(\mathcal{B}\) complement-এ বন্ধ)।
- \(0, 1 \in B\): \(\chi_A^{-1}(B) = \mathbb{R} \in \mathcal{B}\)।
সব ক্ষেত্রে preimage Borel। তাই \(\chi_A\) Borel measurable। ✓
৫-নং সমাধান দেখাও
হ্যাঁ, \(\sin x\) Borel measurable।
কারণ: \(\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continuous। Continuous function (Borel domain থেকে) সবসময় Borel measurable।
আরও সরাসরি: \(\{x : \sin x > a\}\) হলো open set (কারণ \(\sin\) continuous এবং \((a,\infty)\) open)। Open set মানে Borel। তাই Borel measurable।
৬-নং সমাধান দেখাও
\(f_k(x) = \frac{x}{1+kx^2}\)। প্রতিটা \(f_k\) rational function, তাই \(\mathbb{R}\)-এ continuous (denominant \(1+kx^2 > 0\) সবসময়)। Continuous ⇒ Borel measurable। ✓
\(\lim_{k \to \infty} f_k(x)\): যদি \(x = 0\), \(f_k(0) = 0 \to 0\)। যদি \(x \ne 0\):
\(f_k(x) = \frac{x}{1+kx^2} = \frac{x/x^2}{1/x^2 + k} = \frac{1/x}{1/x^2 + k} \to 0 \text{ as } k \to \infty.\)
তাই \(\lim_{k\to\infty} f_k = 0\) pointwise। \(f(x) = 0\) Borel measurable। ✓
এছাড়া : measurable functions-এর pointwise limit measurable — তাই স্বয়ংক্রিয়ভাবেও পাই।
৭-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = x^2\), \([0,2]\)-এ approximate করব। \(n = 4\) ভাগ করি: \([0, 0.5), [0.5, 1), [1, 1.5), [1.5, 2]\)।
Simple function \(s\): প্রতিটা subinterval-এ \(f\)-এর left-endpoint value:
\(s(x) = 0 \cdot \chi_{[0,0.5)} + 0.25 \cdot \chi_{[0.5,1)} + 1 \cdot \chi_{[1,1.5)} + 2.25 \cdot \chi_{[1.5,2]}\)
\(s(x) \le f(x)\) সর্বত্র (কারণ \(f\) increasing)। সর্বোচ্চ error প্রতিটা interval-এ: যেমন \([1.5, 2]\)-এ \(f(2) - s = 4 - 2.25 = 1.75\)। তাই \(|f - s| \le 1.75\)।
\(n\) বাড়ালে (finer partition) error ছোট হতে থাকে — uniform convergence পাওয়া যায় কারণ \(f\) bounded।
৮-নং সমাধান দেখাও
\(f : X \to \mathbb{R}\) measurable এবং \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) Borel measurable। দেখাতে হবে \(g \circ f\) measurable।
যেকোনো Borel \(B \subseteq \mathbb{R}\)-এর জন্য:
\((g \circ f)^{-1}(B) = f^{-1}(g^{-1}(B))\)
\(g\) Borel measurable তাই \(g^{-1}(B) \in \mathcal{B}\) (Borel set)।
\(f\) \(\mathcal{S}\)-measurable তাই \(f^{-1}(\text{Borel set}) \in \mathcal{S}\)।
তাই \((g \circ f)^{-1}(B) \in \mathcal{S}\) — অর্থাৎ \(g \circ f\) \(\mathcal{S}\)-measurable। \(\square\)
এই result দেখায় Borel measurable functions "নিচে" কাজ করে composition-এর ক্ষেত্রে।
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Measurable function (পরিমাপযোগ্য অপেক্ষক) সংজ্ঞা: \(f^{-1}(B) \in \mathcal{S}\) সব Borel \(B\)-এর জন্য।
- [ ] Practical test: \(\{x : f(x) > a\} \in \mathcal{S}\) সব \(a\)-এর জন্য — এটাই যথেষ্ট।
- [ ] Continuous ⇒ Borel measurable — কেন, ব্যাখ্যা দিতে পারি।
- [ ] Operations: sum, product, composition measurability রক্ষা করে।
- [ ] Pointwise limit of measurable functions measurable — Riemann-এর চেয়ে এটাই Lebesgue-এর মূল সুবিধা।
- [ ] Simple function (সরল অপেক্ষক) কী — finitely many values, standard representation।
- [ ] Simple function approximation: প্রতিটা measurable function simple functions-এর pointwise limit — এটা integration-এর ভিত্তি।
- [ ] Dirichlet function (\(\chi_{\mathbb{Q}}\)) Borel measurable কিন্তু Riemann integrable নয় — এটা বুঝি।
➡️ পরের অধ্যায়: 3.4 — Measure ও তার ধর্ম — এবার complete definition: measure \(\mu\) হলো \(\mathcal{S}\)-এ defined countably additive function। Lebesgue measure, measure spaces, monotone convergence of measures।