5.5 — Fourier Series; Poisson Kernel

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Fourier coefficient \(\hat{f}(n)\) কীভাবে orthogonal projection, partial sum ও Dirichlet kernel-এর সম্পর্ক, Gibbs phenomenon কেন হয়, Poisson kernel কী এবং Dirichlet problem-এর harmonic extension কীভাবে Poisson kernel দিয়ে সমাধান হয়।

উৎস (source): Fourier, Dirichlet, Poisson।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

১৮০০-এর দশকের শুরুতে Joseph Fourier (১৭৬৮–১৮৩০) একটা উদ্ভট দাবি করলেন: যেকোনো periodic function (পর্যাবৃত্ত ফাংশন)-কে সাইন আর কোসাইনের সমষ্টি হিসেবে লেখা যায়। সমসাময়িক গণিতবিদরা বিশ্বাস করেননি — একটা ধারালো "jump"-ওয়ালা ফাংশনকে কীভাবে মসৃণ তরঙ্গের সমষ্টি দিয়ে বোঝানো যাবে?

অথচ এই ধারণাটাই আজ আধুনিক বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির মেরুদণ্ড:

• Signal processing: MP3, JPEG — শব্দ ও ছবিকে Fourier components-এ ভেঙে compress করা হয়।
• Quantum mechanics: Schrödinger equation-এর solution Fourier basis-এ প্রকাশ করা হয়।
• PDEs (Partial Differential Equations): তাপ সমীকরণ, তরঙ্গ সমীকরণ — Fourier ছাড়া এদের সমাধান অসম্ভব।
• Electrical engineering: Circuit analysis, filter design — সব Fourier analysis-এর উপর দাঁড়িয়ে।

Part 5-এর আগের অধ্যায়গুলোতে আমরা inner product space আর Hilbert space শিখেছি। এখন দেখব Fourier series আসলে Hilbert space-এর projection theorem-এর সরাসরি প্রয়োগ — প্রতিটা Fourier coefficient হলো \(f\)-কে একটা orthonormal basis vector-এর উপর projection।

মূল স্বজ্ঞা

Fourier series = \(L^2(\partial \mathbb{D})\) space-এ orthonormal basis \(\{e^{in\theta}\}_{n\in\mathbb{Z}}\)-এর উপর \(f\)-এর Hilbert space expansion। এটা ঠিক \(\mathbb{R}^n\)-এ কোনো vector-কে standard basis-এ লেখার মতো — শুধু dimension অসীম।

---

২. মূল ধারণা (Core Idea)

Periodic function (পর্যাবৃত্ত ফাংশন)

একটা function \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) কে \(2\pi\)-periodic বলা হয় যদি সব \(\theta \in \mathbb{R}\)-এর জন্য

\[f(\theta + 2\pi) = f(\theta)\]

অর্থাৎ ফাংশনটা প্রতি \(2\pi\) অন্তর একইভাবে পুনরাবৃত্ত হয়।

চিত্র ১: একটা \(2\pi\)-periodic function। প্রতিটা period ঠিক আগেরটার মতো; function-টাকে \([-\pi, \pi]\)-এ জানলেই সব জায়গায় জানা হয়ে যায়।

স্বজ্ঞা: \(2\pi\)-periodic function আসলে unit circle \(\partial \mathbb{D} = \{e^{i\theta} : \theta \in [-\pi, \pi]\}\)-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটা function। কারণ \(e^{i\theta}\) এবং \(e^{i(\theta+2\pi)}\) একই বিন্দু।

চিত্র ২: বাঁয়ে real line-এ \(2\pi\)-periodic function। ডানে unit circle-এ সেই একই function — real line-এর প্রতিটা \(2\pi\) segment একটা পূর্ণ চক্রের সাথে correspond করে।

\(L^2(\partial \mathbb{D})\) — আমাদের কাজের space

আমরা কাজ করব \(L^2(\partial \mathbb{D})\) space-এ — সেই সব \(2\pi\)-periodic function \(f\) যাদের জন্য

\[\lVert f \rVert_{L^2}^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \lvert f(\theta) \rvert^2\, d\theta < \infty\]

Inner product:

\[\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\, \overline{g(\theta)}\, d\theta\]

Orthonormal basis: এই space-এ \(e_n(\theta) = e^{in\theta}\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) পরিবারটা orthonormal:

\[\langle e^{in\theta}, e^{im\theta} \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-m)\theta}\, d\theta = \delta_{nm}\]

এটাই আগের অধ্যায়ে দেখা trigonometric orthonormal family।

---

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

সংজ্ঞা: Fourier Coefficient (ফুরিয়ে সহগ)

সংজ্ঞা: Fourier Coefficient (Axler MIRA 11.1)

\(f \in L^2(\partial \mathbb{D})\)-এর \(n\)-তম Fourier coefficient (ফুরিয়ে সহগ) হলো

\[\hat{f}(n) = \langle f, e^{in\cdot} \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\, e^{-in\theta}\, d\theta\]

\(n \in \mathbb{Z}\)-এর জন্য। এটাকে আবার \(c_n(f)\) বা \(f_n\) বলেও লেখা হয়।

স্বজ্ঞা: \(\hat{f}(n)\) মাপে "ফাংশন \(f\)-এর মধ্যে কতটুকু \(n\)-frequency-র তরঙ্গ আছে।" এটা হলো \(f\)-এর \(e^{in\theta}\)-দিকে orthogonal projection-এর coefficient — ঠিক যেমন \(\mathbb{R}^3\)-এ \(\mathbf{v}\)-এর \(x\)-axis বরাবর projection হলো \(v_x = \mathbf{v} \cdot \hat{x}\)।

চিত্র ৩: \(\hat{f}(n) = \langle f, e^{in\theta} \rangle\) হলো function space-এ \(f\)-এর \(e^{in\theta}\)-এর দিকে projection-এর magnitude। বাঁয়ে geometric analogy (\(\mathbb{R}^2\)); ডানে function space-এ একই ধারণা — প্রতিটা frequency component আলাদা "axis"।

সংজ্ঞা: Fourier Series ও Partial Sum

সংজ্ঞা: Fourier Series (Axler MIRA 11.3)

\(f \in L^2(\partial \mathbb{D})\)-এর Fourier series (ফুরিয়ে ধারা) হলো আনুষ্ঠানিক সিরিজ

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\, e^{in\theta}\]

\(N\)-তম partial sum (আংশিক যোগফল) হলো

\[S_N f(\theta) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n)\, e^{in\theta}\]

এটাকে trigonometric polynomial (ত্রিকোণমিতিক বহুপদী) বলা হয় — কারণ \(S_N f\) হলো \(e^{-iN\theta}, \ldots, e^{iN\theta}\)-এর একটা linear combination।

উপপাদ্য: Fourier Series-এর \(L^2\) Convergence

উপপাদ্য (Axler MIRA 11.13)

প্রতিটা \(f \in L^2(\partial \mathbb{D})\)-এর জন্য, partial sum \(S_N f\) \(L^2\)-norm-এ \(f\)-এর দিকে converge করে:

\[\lVert f - S_N f \rVert_{L^2} \to 0 \quad \text{যখন } N \to \infty\]

এবং Parseval-এর পরিচয় পাওয়া যায়:

\[\lVert f \rVert_{L^2}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \lvert \hat{f}(n) \rvert^2\]

এটা সরাসরি আগের অধ্যায়ের Parseval identity-র trigonometric বিশেষ ক্ষেত্র।

Dirichlet Kernel (দিরিখলে কার্নেল)

Partial sum-কে convolution হিসেবে লেখা যায়। এটাই Fourier analysis-এর একটা মূল কৌশল।

সংজ্ঞা: Dirichlet Kernel (Axler MIRA 11.19)

\(N\)-তম Dirichlet kernel (দিরিখলে কার্নেল) হলো

\[D_N(\theta) = \sum_{n=-N}^{N} e^{in\theta}\]

একটা closed form রূপ:

\[D_N(\theta) = \frac{\sin\!\left((N + \tfrac{1}{2})\theta\right)}{\sin(\theta/2)} \quad (\theta \neq 0)\]

আর \(D_N(0) = 2N + 1\)।

কেন দরকার? কারণ

\[S_N f(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\phi)\, D_N(\theta - \phi)\, d\phi = (f * D_N)(\theta)\]

অর্থাৎ partial sum হলো \(f\) এবং \(D_N\)-এর convolution (সংমিশ্রণ)। \(D_N\)-কে বুঝলে partial sum-এর আচরণ বোঝা যায়।

চিত্র ৪: \(N = 5, 10, 20\)-এর জন্য Dirichlet kernel \(D_N(\theta)\)। \(N\) বাড়লে কেন্দ্রের spike উঁচু ও সরু হয়, আর পাশের oscillation-গুলো থেকেই যায়। এই oscillation-ই Gibbs phenomenon-এর কারণ।

Dirichlet kernel-এর গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম:

\[\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D_N(\theta)\, d\theta = 1\]

কিন্তু সমস্যা হলো \(D_N\) নন-নেগেটিভ নয় — ঋণাত্মক অঞ্চলও আছে। এটাই pointwise convergence-এ সমস্যা তৈরি করে।

Gibbs Phenomenon (গিবস ঘটনা)

Gibbs Phenomenon (Axler MIRA 11.26)

যদি \(f\) কোনো বিন্দুতে jump discontinuity থাকে, তাহলে partial sum \(S_N f\) সেই বিন্দুর কাছাকাছি একটা overshoot দেখায় যা \(N \to \infty\) হলেও মিলিয়ে যায় না — বরং jump-এর প্রায় \(9\%\) পরিমাণ overshoot সবসময় থাকে।

চিত্র ৫: Square wave-এর partial sums \(S_5, S_{20}, S_{50}\)। Jump discontinuity-র কাছে overshoot স্পষ্ট — \(N\) বাড়লে overshoot সরু হয় কিন্তু উচ্চতা কমে না (প্রায় \(8.9\%\))। এটাই Gibbs phenomenon।

স্বজ্ঞা: Dirichlet kernel-এর negative lobes-এর কারণে \(S_N f\) শুধু neighborhood-এ smooth করে না — discontinuity-র ঠিক আগে-পরে অতিরিক্ত energy জমা করে। এটা \(L^2\)-convergence-এ সমস্যা করে না কিন্তু pointwise convergence-এ করে।

Square Wave-এর Fourier Series

সবচেয়ে পরিচিত উদাহরণ: square wave (বর্গাকার তরঙ্গ)

\[f(\theta) = \begin{cases} 1 & 0 < \theta < \pi \\ -1 & -\pi < \theta < 0 \end{cases}\]

এর Fourier coefficients:

\[\hat{f}(n) = \begin{cases} \dfrac{2}{in\pi} & n \text{ বিজোড়} \\ 0 & n \text{ জোড় বা } n=0 \end{cases}\]

Fourier series:

\[f(\theta) \sim \frac{4}{\pi} \left( \sin\theta + \frac{\sin 3\theta}{3} + \frac{\sin 5\theta}{5} + \cdots \right)\]

চিত্র ৬: Square wave-এর partial sums \(S_1, S_5, S_{11}, S_{21}\)। ক্রমশ square wave-এর কাছাকাছি আসছে, কিন্তু jump-এর কাছে Gibbs overshoot দেখা যাচ্ছে।

Poisson Kernel (পোয়াসঁ কার্নেল)

Dirichlet kernel-এর সমস্যা ছিল: এটা নন-নেগেটিভ নয়। Poisson kernel এই সমস্যা এড়ায় এবং Dirichlet problem সমাধানে ব্যবহার হয়।

সংজ্ঞা: Poisson Kernel (Axler MIRA 11.30)

\(r \in [0, 1)\)-এর জন্য Poisson kernel (পোয়াসঁ কার্নেল) হলো

\[P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2}\]

এটাকে Abel mean বা Poisson integral-এর kernel বলা হয়।

Poisson kernel-এর গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম:

1. \(P_r(\theta) > 0\) সব \(\theta\)-এর জন্য (নন-নেগেটিভ!)
2. \(\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} P_r(\theta)\, d\theta = 1\) (unit integral)
3. \(r \to 1^-\) হলে \(P_r(\theta) \to 0\) uniformly \(\lvert \theta \rvert > \delta\)-এ, যেকোনো \(\delta > 0\)-এর জন্য

এই তিনটা ধর্ম একসাথে বলে \(\{P_r\}_{r \to 1^-}\) একটা approximate identity (আসন্ন সত্তা)।

চিত্র ৭: \(r = 0.5, 0.8, 0.95, 0.99\)-এর জন্য Poisson kernel \(P_r(\theta)\)। \(r \to 1\) হলে kernel ক্রমশ \(\theta = 0\)-এ concentrated হয়, একটা spike-এর মতো — কিন্তু সবসময় positive।

Dirichlet Problem ও Harmonic Extension

Dirichlet problem (দিরিখলে সমস্যা): একটা unit disk \(\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : \lvert z \rvert < 1\}\)-এ এমন একটা harmonic function \(u\) খোঁজো যা boundary \(\partial \mathbb{D}\)-তে দেওয়া \(f\)-এর সমান।

\[\begin{cases} \Delta u = 0 & \text{disk-এর ভেতরে} \\ u = f & \text{boundary-তে} \end{cases}\]

এখানে \(\Delta = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2\) হলো Laplacian (লাপ্লাসীয়) operator।

উপপাদ্য: Poisson Integral Formula (Axler MIRA 11.32)

যদি \(f \in L^2(\partial \mathbb{D})\), তাহলে disk-এ harmonic extension হলো

\[u(re^{i\theta}) = (P_r * f)(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_r(\theta - \phi)\, f(\phi)\, d\phi\]

এবং

\[u(re^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \hat{f}(n)\, e^{in\theta}\]

\(r < 1\) হলে এই series absolutely ও uniformly converge করে, \(u\) harmonic হয়, এবং \(r \to 1^-\) হলে \(u(re^{i\theta}) \to f(\theta)\) \(L^2\)-তে।

স্বজ্ঞা: Poisson integral যেন boundary-র মান \(f\) থেকে disk-এর ভেতরের তাপমাত্রা বের করার একটা weighted average। \(r^{\lvert n \rvert}\) factor-টা higher-frequency components-কে দমন করে — তাই \(u\) smooth হয়।

চিত্র ৮: Poisson kernel দিয়ে harmonic extension। বাঁয়ে: unit circle-এ boundary function \(f\) (নীল)। ডানে: disk-এর ভেতরে harmonic extension \(u\) — boundary value match করে, ভেতরে smooth। রঙের gradient তাপমাত্রা (বা potential) নির্দেশ করছে।

Abel Mean ও Summability

Abel mean (আবেল গড়) হলো Fourier series-এর আরেকটা summation method:

\[A_r f(\theta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \hat{f}(n)\, e^{in\theta} = (P_r * f)(\theta)\]

উপপাদ্য (Axler MIRA 11.35)

যদি \(f \in L^2(\partial \mathbb{D})\), তাহলে

\[\lVert A_r f - f \rVert_{L^2} \to 0 \quad \text{যখন } r \to 1^-\]

বিশেষত, যদি \(f\) বিন্দু \(\theta_0\)-তে continuous হয়, তাহলে \(A_r f(\theta_0) \to f(\theta_0)\)।

Abel mean Gibbs phenomenon এড়ায় কারণ Poisson kernel সর্বদা positive এবং approximate identity — এটা boundary-র কাছাকাছি আসার সাথে সাথে শুধু local information ব্যবহার করে।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy: FM Radio

FM radio-তে audio signal-কে electromagnetic wave হিসেবে পাঠানো হয়। এই signal-টা আসলে অনেকগুলো frequency-র superposition। Receiver সেই signal-এর Fourier series বের করে নির্দিষ্ট frequency (station) খুঁজে বের করে। Tuning মানে হলো একটা নির্দিষ্ট \(n\)-এর জন্য \(\hat{f}(n)\) বের করা — বাকি সব frequency "filter" হয়ে যায়।

Analogy: Heat Equation

ধরো একটা ring-shaped তার গরম করা হলো — প্রতিটা বিন্দুর তাপমাত্রা \(f(\theta)\)। সময়ের সাথে তাপমাত্রা কেমন বদলাবে? Heat equation-এর solution:

\[u(\theta, t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\, e^{-n^2 t}\, e^{in\theta}\]

Higher frequency (\(\lvert n \rvert\) বড়) components দ্রুত মিলিয়ে যায় (\(e^{-n^2 t}\) দ্রুত শূন্য হয়)। অনেকক্ষণ পরে শুধু low-frequency component টিকে থাকে — তাপমাত্রা uniform হয়ে যায়। এটাই Fourier analysis-এর শক্তি: time evolution-কে আলাদা independent frequency mode-এ ভাঙা যায়।

Worked Example: সহজ Function-এর Fourier Series

\(f(\theta) = \theta\) (\(-\pi < \theta \leq \pi\), \(2\pi\)-periodic extended) — এর Fourier coefficients:

\[\hat{f}(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \theta\, d\theta = 0\]

\(n \neq 0\)-এর জন্য integration by parts দিয়ে:

\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \theta\, e^{-in\theta}\, d\theta = \frac{i(-1)^n}{n}\]

তাই Fourier series:

\[f(\theta) \sim 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(n\theta) = 2\left(\sin\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + \frac{\sin 3\theta}{3} - \cdots\right)\]

\(\theta = \pi/2\) বসালে পাই Leibniz formula:

\[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\]

---

৫. সাধারণ ভুল (Common Mistakes)

1. Fourier series-কে pointwise convergent ধরা। \(f \in L^2\)-এর Fourier series \(L^2\)-তে converge করে, কিন্তু pointwise convergence-এর জন্য অতিরিক্ত শর্ত লাগে (যেমন Hölder continuity, bounded variation)।

2. \(\hat{f}(n) = 0\) মানে \(f = 0\) ভাবা। \(\hat{f}(n) = 0\) সব \(n\)-এর জন্য হলে \(f = 0\) \(L^2\)-তে (\(f = 0\) a.e.)। কিন্তু শুধু কয়েকটার জন্য শূন্য হলে \(f = 0\) নয়।

3. Gibbs phenomenon-কে numeric artifact ভাবা। এটা fundamental mathematical phenomenon — jump discontinuity-র কাছে partial sum-এর overshoot সত্যিকারের। \(N \to \infty\) করলেও \(\approx 8.9\%\) overshoot থাকে।

4. Poisson kernel vs Dirichlet kernel গুলিয়ে ফেলা। Dirichlet kernel: partial sum-এর জন্য, non-positive। Poisson kernel: Abel mean-এর জন্য, সবসময় positive। দুটো ভিন্ন জিনিস।

5. Harmonic extension-এ \(r = 1\) বসানো। \(P_r * f\) শুধু \(r < 1\)-এর জন্য সংজ্ঞায়িত এবং harmonic। \(r \to 1^-\) limit-এ boundary value পাওয়া যায়, কিন্তু \(r = 1\) বসালে সরাসরি formula ভেঙে পড়ে।

6. \(L^2\) norm-এ \(\frac{1}{2\pi}\) factor ভুলে যাওয়া। আমাদের inner product convention-এ \(\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi}\int\), তাই \(e^{in\theta}\) orthonormal (unit norm)। \(2\pi\) ছাড়া inner product নিলে coefficient ভুল হবে।

---

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

সমস্যা ১। \(f(\theta) = \cos\theta\) এর Fourier coefficients \(\hat{f}(n)\) বের করো এবং নিশ্চিত করো যে Fourier series-টা \(f\)-কেই দেয়।

সমস্যা ২। \(f(\theta) = e^{i\theta}\) এর জন্য Poisson integral \(u(re^{i\theta}) = (P_r * f)(\theta)\) সরাসরি হিসাব করো এবং দেখাও \(u(re^{i\theta}) = re^{i\theta}\)।

সমস্যা ৩। Dirichlet kernel-এর closed form প্রমাণ করো:

\[D_N(\theta) = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})\theta)}{\sin(\theta/2)}, \quad \theta \neq 0\]

সমস্যা ৪। \(f(\theta) = \lvert \theta \rvert\) (\(\theta \in [-\pi, \pi]\)) এর Fourier coefficients বের করো। Parseval-এর পরিচয় ব্যবহার করে

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\]

এর মান বের করো (hint: প্রথমে \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6\) জানা আছে)।

সমস্যা ৫। প্রমাণ করো: যদি \(f \in L^2(\partial\mathbb{D})\) real-valued এবং even (\(f(-\theta) = f(\theta)\)) হয়, তাহলে সব \(n\)-এর জন্য \(\hat{f}(n) = \hat{f}(-n)\) এবং coefficients real।

সমস্যা ৬। \(f(\theta) = \theta^2\) (\(\theta \in [-\pi, \pi]\), \(2\pi\)-periodic)-এর Fourier series ব্যবহার করে প্রমাণ করো:

\[\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]

সমস্যা ৭। Poisson kernel \(P_r(\theta)\) এর closed form

\[P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2}\]

প্রমাণ করো geometric series summation ব্যবহার করে।

সমস্যা ৮। ধরো \(u : \mathbb{D} \to \mathbb{R}\) harmonic এবং \(u(re^{i\theta}) = \sum_{n} a_n r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta}\)। দেখাও যে \(\Delta u = 0\) (polar coordinates-এ Laplacian: \(\Delta u = u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}\)) সত্যিই satisfy হয়।

---

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\)।

তাই

\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos\theta \cdot e^{-in\theta}\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} e^{-in\theta}\, d\theta\]

\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(1-n)\theta}\, d\theta + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i(1+n)\theta}\, d\theta\]

Orthogonality থেকে: প্রথম integral = \(1\) যদি \(n = 1\), নয়তো \(0\)। দ্বিতীয় integral = \(1\) যদি \(n = -1\), নয়তো \(0\)।

\[\hat{f}(n) = \begin{cases} 1/2 & n = 1 \text{ বা } n = -1 \\ 0 & \text{অন্যথায়} \end{cases}\]

Fourier series:

\[\sum_n \hat{f}(n) e^{in\theta} = \frac{1}{2}e^{i\theta} + \frac{1}{2}e^{-i\theta} = \cos\theta = f(\theta) \checkmark\]

২-নং সমাধান দেখাও

\(f(\theta) = e^{i\theta}\)-এর Fourier coefficients: \(\hat{f}(n) = \delta_{n,1}\) (শুধু \(n=1\) তে \(1\), বাকি \(0\))।

Poisson integral:

\[u(re^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \hat{f}(n) e^{in\theta}\]

\[= \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} \delta_{n,1} e^{in\theta} = r^{\lvert 1 \rvert} e^{i\theta} = r e^{i\theta}\]

তাই \(u(re^{i\theta}) = re^{i\theta}\)। এটা geometric অর্থেও বোধগম্য: \(re^{i\theta}\) হলো \(e^{i\theta}\) কে \(r\) দিয়ে scale করা — disk-এর ভেতরে সঙ্কুচিত। \(r \to 1\) করলে \(u \to f\) boundary-তে। \(\square\)

৩-নং সমাধান দেখাও

Geometric series দিয়ে:

\[D_N(\theta) = \sum_{n=-N}^{N} e^{in\theta} = e^{-iN\theta} \sum_{k=0}^{2N} e^{ik\theta} = e^{-iN\theta} \cdot \frac{e^{i(2N+1)\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1}\]

numerator ও denominator-কে \(e^{i\theta/2}\) দিয়ে ভাগ করলে:

\[= \frac{e^{-iN\theta}(e^{i(2N+1)\theta} - 1)}{e^{i\theta} - 1} = \frac{e^{i(N+\frac{1}{2})\theta} - e^{-iN\theta}}{e^{i\theta} - 1}\]

এখন numerator ও denominator-এ \(e^{i\theta/2}\) গুণ করলে:

\[D_N(\theta) = \frac{e^{i(N+\frac{1}{2})\theta} - e^{-i(N+\frac{1}{2})\theta}}{e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2}} = \frac{2i\sin\!\left((N+\frac{1}{2})\theta\right)}{2i\sin(\theta/2)}\]

\[= \frac{\sin\!\left((N+\frac{1}{2})\theta\right)}{\sin(\theta/2)} \quad \square\]

৪-নং সমাধান দেখাও

\(f(\theta) = \lvert \theta \rvert\) একটা even function।

\(n = 0\):

\[\hat{f}(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \lvert \theta \rvert\, d\theta = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\int_0^{\pi} \theta\, d\theta = \frac{1}{2\pi} \cdot \pi^2 = \frac{\pi}{2}\]

\(n \neq 0\) (even function বলে imaginary part শূন্য):

\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \lvert \theta \rvert e^{-in\theta}\, d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \theta\cos(n\theta)\, d\theta\]

Integration by parts:

\[= \frac{1}{\pi}\left[\frac{\theta\sin(n\theta)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\sin(n\theta)}{n}\, d\theta = 0 + \frac{1}{n\pi}\left[\frac{\cos(n\theta)}{n}\right]_0^{\pi}\]

\[= \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2} = \begin{cases} -\dfrac{2}{\pi n^2} & n \text{ বিজোড়} \\ 0 & n \text{ জোড় (শূন্য ছাড়া)} \end{cases}\]

Fourier series:

\[\lvert \theta \rvert = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos\theta + \frac{\cos 3\theta}{9} + \frac{\cos 5\theta}{25} + \cdots\right)\]

Parseval ব্যবহার করে: \(\lVert f \rVert^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \theta^2\, d\theta = \frac{\pi^2}{3}\)।

\[\frac{\pi^2}{3} = \lvert \hat{f}(0)\rvert^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \lvert \hat{f}(n)\rvert^2 = \frac{\pi^2}{4} + 2\sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ বিজোড়}}^{\infty}} \frac{4}{\pi^2 n^4}\]

এটা থেকে \(\sum_{n \text{ বিজোড়}} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{96}\)।

যেহেতু \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \sum_{\text{বিজোড়}} + \frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\), তাই \(\frac{15}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{96}\), অর্থাৎ

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad \square\]

৫-নং সমাধান দেখাও

Real-valued: \(\overline{f(\theta)} = f(\theta)\)। তাহলে

\[\overline{\hat{f}(n)} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \overline{f(\theta)e^{-in\theta}}\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) e^{in\theta}\, d\theta = \hat{f}(-n)\]

Even: \(f(-\theta) = f(\theta)\)। Substitution \(\phi = -\theta\):

\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) e^{-in\theta}\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(-\phi) e^{in\phi}\, d\phi = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\phi) e^{in\phi}\, d\phi = \hat{f}(-n)\]

তাই \(\hat{f}(n) = \hat{f}(-n)\)।

Real-valued থেকে \(\overline{\hat{f}(n)} = \hat{f}(-n) = \hat{f}(n)\), তাই \(\hat{f}(n)\) real। \(\square\)

৬-নং সমাধান দেখাও

\(f(\theta) = \theta^2\) (\(2\pi\)-periodic)।

\(n = 0\):

\[\hat{f}(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \theta^2\, d\theta = \frac{\pi^2}{3}\]

\(n \neq 0\) (integration by parts দুবার):

\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \theta^2 e^{-in\theta}\, d\theta = \frac{2(-1)^n}{n^2}\]

Fourier series:

\[\theta^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos(n\theta)\]

\(\theta = \pi\) বসাই (\(f(\pi) = \pi^2\)):

\[\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cdot (-1)^n = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]

\[\pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]

\[\frac{2\pi^2}{3} = 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \quad \square\]

এটা Basel problem-এর Fourier series-ভিত্তিক সমাধান!

৭-নং সমাধান দেখাও

সংজ্ঞা থেকে: \(P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta}\)।

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক \(n\) আলাদা করি:

\[P_r(\theta) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} r^n e^{in\theta} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n e^{-in\theta}\]

\[= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (re^{i\theta})^n + \sum_{n=1}^{\infty} (re^{-i\theta})^n\]

\(\lvert r \rvert < 1\) বলে geometric series converge করে:

\[= 1 + \frac{re^{i\theta}}{1 - re^{i\theta}} + \frac{re^{-i\theta}}{1 - re^{-i\theta}}\]

Common denominator নিয়ে:

\[= \frac{(1 - re^{i\theta})(1 - re^{-i\theta}) + re^{i\theta}(1 - re^{-i\theta}) + re^{-i\theta}(1 - re^{i\theta})}{(1 - re^{i\theta})(1 - re^{-i\theta})}\]

Denominator: \(1 - r(e^{i\theta} + e^{-i\theta}) + r^2 = 1 - 2r\cos\theta + r^2\)।

Numerator সরলীকরণ: \(1 - r^2\)।

\[P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \quad \square\]

৮-নং সমাধান দেখাও

\(u(r, \theta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta}\) ধরি।

প্রতিটা term \(u_n = a_n r^{\lvert n \rvert} e^{in\theta}\)-এর জন্য \(\Delta u_n = 0\) দেখাই।

\(n \geq 0\) এর জন্য \(u_n = a_n r^n e^{in\theta}\):

\[\frac{\partial u_n}{\partial r} = n a_n r^{n-1} e^{in\theta}, \quad \frac{\partial^2 u_n}{\partial r^2} = n(n-1) a_n r^{n-2} e^{in\theta}\]

\[\frac{\partial^2 u_n}{\partial \theta^2} = (in)^2 a_n r^n e^{in\theta} = -n^2 a_n r^n e^{in\theta}\]

Polar Laplacian:

\[\Delta u_n = n(n-1)a_n r^{n-2} e^{in\theta} + \frac{1}{r} \cdot na_n r^{n-1} e^{in\theta} + \frac{1}{r^2}(-n^2 a_n r^n e^{in\theta})\]

\[= a_n r^{n-2} e^{in\theta}\left[n(n-1) + n - n^2\right] = a_n r^{n-2} e^{in\theta} \cdot 0 = 0\]

\(n < 0\) এর জন্যও একইভাবে দেখানো যায়। তাই প্রতিটা term harmonic, আর সিরিজ uniformly converge করে বলে সম্পূর্ণ \(u\) ও harmonic। \(\square\)

---

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

• [ ] Periodic function ও \(L^2(\partial\mathbb{D})\) space বুঝি — \(e^{in\theta}\) পরিবার orthonormal basis।
• [ ] Fourier coefficient \(\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)e^{-in\theta}\, d\theta\) — \(f\)-এর \(e^{in\theta}\)-দিকে projection।
• [ ] Fourier series \(\sum \hat{f}(n) e^{in\theta}\) এবং partial sum \(S_N f\) — \(L^2\)-তে converge করে।
• [ ] Parseval: \(\lVert f \rVert^2 = \sum \lvert \hat{f}(n) \rvert^2\) — energy preservation।
• [ ] Dirichlet kernel \(D_N(\theta) = \frac{\sin((N+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}\) এবং \(S_N f = f * D_N\)।
• [ ] Gibbs phenomenon: jump discontinuity-তে \(\approx 9\%\) overshoot, \(N \to \infty\) তেও থাকে।
• [ ] Poisson kernel \(P_r(\theta) = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}\) — positive, unit integral, approximate identity।
• [ ] Dirichlet problem সমাধান: \(u(re^{i\theta}) = (P_r * f)(\theta)\) — boundary \(f\) থেকে harmonic extension।
• [ ] Abel mean \(A_r f = P_r * f\) \(L^2\)-তে \(f\)-এ converge করে; Gibbs phenomenon নেই।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 5.6 — Fourier ও L²; Convolution — \(L^2\) space-এ Fourier transform, Plancherel theorem, convolution theorem এবং তাদের signal processing-এ প্রয়োগ।