0.6 — গণনযোগ্যতা ও Cardinality (Countability)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: bijection দিয়ে দুটো সেটের "আকার" তুলনা করা; ℕ, ℤ, ℚ গণনযোগ্য কিন্তু ℝ অগণনযোগ্য — Cantor-এর অসাধারণ diagonal argument-সহ; আর cardinal number \(\aleph_0\)।

উৎস (source): Cantor (denumerability, ℝ-এর non-denumerability, cardinal number)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়ে দেখলাম ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ — প্রতিটা সেট আগেরটার চেয়ে "বড়"। কিন্তু ঠিক কতটা বড়?

প্রথম দেখায় মনে হয় ℤ-এ ℕ-এর দ্বিগুণ সংখ্যা আছে (ধনাত্মক + ঋণাত্মক)। আর ℚ-এ তো অসংখ্য ভগ্নাংশ — নিশ্চয়ই ℕ-এর চেয়ে "অনেক বেশি"।

Cantor (কান্টর) — ১৯শ শতাব্দীর গণিতবিদ — এই প্রশ্নটা নিয়ে গভীরভাবে ভাবলেন। তাঁর উত্তর চমকে দেওয়ার মতো:

• ℤ আর ℕ-এর "আকার" আসলে সমান।
• ℚ আর ℕ-এর "আকার়" আসলে সমান।
• কিন্তু ℝ-এর "আকার" ℕ-এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় — এবং এটা প্রমাণযোগ্য!

"অসীম সংখ্যার মধ্যেও আকারের পার্থক্য আছে" — এই ধারণাটা গণিতের ইতিহাসে বিপ্লব এনেছিল। Real analysis বুঝতে এটা অপরিহার্য, কারণ completeness আর measure theory-র মূলে এই পার্থক্যটাই।

মূল কথা

দুটো অসীম সেটের "আকার" তুলনা করা হয় bijection (একৈক-সর্বগ্রাসী ফাংশন) দিয়ে — গণনা করে নয়। এই দৃষ্টিভঙ্গিই cardinality (অংকবাচকতা)-র ভিত্তি।

২. মূল ধারণা (Core idea)

Cardinality — "আকার" তুলনার সঠিক পদ্ধতি

দুটো সেট \(A\) আর \(B\) তুলনা করতে চাইলে আমরা জিজ্ঞেস করি: কি এদের মধ্যে একটা bijection (একৈক-সর্বগ্রাসী ফাংশন) আছে?

• যদি থাকে, তাহলে বলি \(|A| = |B|\) — এদের cardinality (অংকবাচকতা) সমান।
• যদি না থাকে, তাহলে একটা অন্যটার চেয়ে "বড়"।

এই bijection-ধারণাটা আমরা অধ্যায় 0.3-এ শিখেছিলাম। এখানে সেটাই ব্যবহার করব অসীম সেটে।

স্বজ্ঞাগত উদাহরণ: একটা হোটেলে ১০০ জন অতিথি ও ১০০টা ঘর। প্রতি অতিথিকে একটা করে ঘর দিলে বলতে পারি ঘর ও অতিথির সংখ্যা সমান — ঘর বা অতিথি একে একে গোনার দরকার নেই, শুধু এক-এক মেলানো (bijection) দেখলেই হয়।

গণনযোগ্য ও অগণনযোগ্য সেট

সংজ্ঞা: Countable (গণনযোগ্য) সেট

একটা সেট \(S\) হলো countable (গণনযোগ্য) যদি:

• \(S\) সসীম (finite), অথবা
• \(S\) আর \(\mathbb{N}\)-এর মধ্যে একটা bijection আছে — অর্থাৎ \(S\)-এর উপাদানগুলোকে \(s_1, s_2, s_3, \ldots\) ক্রমে সাজানো যায়।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে \(S\)-কে বলা হয় countably infinite বা denumerable (গণনযোগ্য-অসীম)।

একটা সেট uncountable (অগণনযোগ্য) যদি এটা সসীম নয় এবং কোনো bijection \(\mathbb{N} \to S\) নেই।

ℚ-এর zig-zag গণনা

নিচের ছবিতে দেখো Cantor কীভাবে ℚ-এর ধনাত্মক অংশকে গণনা করলেন — একটা ২-মাত্রিক grid তৈরি করে তির্যক (diagonal) পথে হাঁটলেন:

চিত্র ১: Cantor-এর তির্যক পদ্ধতিতে ℚ⁺-এর গণনা। নীল বিন্দু = গণনায় অন্তর্ভুক্ত (সরলীকৃত ভগ্নাংশ), ধূসর × = পূর্বে গোনা সমতুল্য ভগ্নাংশ, লাল সংখ্যা = গণনার ক্রম।

Cantor-এর diagonal argument

নিচের ছবিতে দেখো কেন \([0,1]\) — এবং তাই \(\mathbb{R}\) — অগণনযোগ্য:

চিত্র ২: Cantor-এর diagonal argument। প্রতিটা \(x_n\)-এর \(n\)-তম দশমিক স্থানটা (লাল বাক্সে) পরিবর্তন করে নতুন সংখ্যা \(d\) বানানো হয়েছে যা কোনো তালিকায় নেই।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

Theorem ১: ℤ countable

উপপাদ্য: \(\mathbb{Z}\) গণনযোগ্য।

প্রমাণ: নিচের bijection \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\) ব্যবহার করো:

\[f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{যদি } n \text{ জোড়} \\[6pt] -\dfrac{n-1}{2} & \text{যদি } n \text{ বিজোড়} \end{cases}\]

এই mapping তৈরি করে:

\[1 \mapsto 0,\quad 2 \mapsto 1,\quad 3 \mapsto -1,\quad 4 \mapsto 2,\quad 5 \mapsto -2,\quad 6 \mapsto 3, \quad \ldots\]

এটা clearly bijection (একৈক ও সর্বগ্রাসী), তাই \(|\mathbb{Z}| = |\mathbb{N}|\)। \(\blacksquare\)

স্বজ্ঞা: পজিটিভ-নেগেটিভ একসাথে হলে "দ্বিগুণ" লাগলেও, অসীমকে ২ দিয়ে গুণ করলেও অসীমই থাকে — এবং এটা ℕ-এর সাথে মেলানো যায়।

Theorem ২: ℚ countable (Cantor-এর diagonal enumeration)

উপপাদ্য: \(\mathbb{Q}\) গণনযোগ্য।

প্রমাণ-ধারণা (sketch): প্রথমে \(\mathbb{Q}^+ = \{p/q : p, q \in \mathbb{N}\}\) নিই।

একটা ২-মাত্রিক array তৈরি করি যেখানে সারি = \(p\) (লব) এবং কলাম = \(q\) (হর):

\[\begin{array}{c|cccccc} & q=1 & q=2 & q=3 & q=4 & \cdots \\ \hline p=1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots \\ p=2 & \frac{2}{1} & \frac{2}{2} & \frac{2}{3} & \frac{2}{4} & \cdots \\ p=3 & \frac{3}{1} & \frac{3}{2} & \frac{3}{3} & \frac{3}{4} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\]

এবার তির্যক পথে হাঁটি (ছবি ১ দেখো): \(\frac{1}{1}\), তারপর \(\frac{1}{2}, \frac{2}{1}\), তারপর \(\frac{3}{1}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}\), ...।

পথে যদি কোনো ভগ্নাংশ আগে গোনা ভগ্নাংশের সমান হয় (যেমন \(\frac{2}{2} = \frac{1}{1}\)), সেটা বাদ দিই। এভাবে প্রতিটা ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা ঠিক একবার গোনা হয়।

সব শেষে শূন্য ও ঋণাত্মক মূলদ যোগ করলে (ℤ-এর মতো কৌশলে) পুরো ℚ-এর গণনা পাই।

তাই \(|\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}| = \aleph_0\)। \(\blacksquare\)

সংজ্ঞা: \(\aleph_0\) (Aleph-naught)

\(\aleph_0\) (হিব্রু অক্ষর Aleph) হলো সব গণনযোগ্য-অসীম সেটের cardinality (অংকবাচকতা)।

\[|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0\]

Theorem ৩: ℝ uncountable — Cantor-এর Diagonal Argument

উপপাদ্য: \(\mathbb{R}\) (বা সমতুল্যভাবে \([0,1]\)) অগণনযোগ্য।

প্রমাণ (Cantor, ১৮৯১):

ধরো, যদি সম্ভব হয়, \([0,1]\)-এর সব সংখ্যাকে একটা তালিকায় সাজানো যায়:

\[x_1 = 0.\, d_{11}\, d_{12}\, d_{13}\, d_{14}\, \ldots\]

\[x_2 = 0.\, d_{21}\, d_{22}\, d_{23}\, d_{24}\, \ldots\]

\[x_3 = 0.\, d_{31}\, d_{32}\, d_{33}\, d_{34}\, \ldots\]

\[x_4 = 0.\, d_{41}\, d_{42}\, d_{43}\, d_{44}\, \ldots\]

\[\vdots\]

যেখানে \(d_{ij} \in \{0, 1, \ldots, 9\}\) হলো \(x_i\)-এর \(j\)-তম দশমিক স্থানের অঙ্ক।

এবার নিচের নতুন সংখ্যা \(d = 0.\, c_1\, c_2\, c_3\, c_4\, \ldots\) তৈরি করি যেখানে:

\[c_n = \begin{cases} 5 & \text{যদি } d_{nn} \ne 5 \\ 6 & \text{যদি } d_{nn} = 5 \end{cases}\]

অর্থাৎ, \(c_n\)-কে তালিকার \(n\)-তম সংখ্যার \(n\)-তম অঙ্ক \(d_{nn}\) থেকে আলাদা করে বেছে নিই।

এই \(d\) কি তালিকায় আছে?

• \(d \ne x_1\), কারণ \(d\)-এর ১ম অঙ্ক \(c_1 \ne d_{11}\)।
• \(d \ne x_2\), কারণ \(d\)-এর ২য় অঙ্ক \(c_2 \ne d_{22}\)।
• \(d \ne x_n\), কারণ \(d\)-এর \(n\)-তম অঙ্ক \(c_n \ne d_{nn}\)।

তাই \(d\) তালিকার কোনো \(x_n\)-এর সমান নয়। কিন্তু \(d \in [0,1]\) — এটা একটা বৈধ সংখ্যা।

Contradiction: আমরা ধরেছিলাম তালিকায় \([0,1]\)-এর সব সংখ্যা আছে, কিন্তু \(d\) তালিকায় নেই।

সুতরাং \([0,1]\) গণনযোগ্য নয় — এটা uncountable (অগণনযোগ্য)।

এবং যেহেতু \([0,1] \subset \mathbb{R}\), তাই ℝও অগণনযোগ্য। \(\blacksquare\)

পরিণতি: \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}| = \aleph_0\)। ℝ-এর cardinality-কে প্রায়ই \(\mathfrak{c}\) (continuum) দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।

সূক্ষ্ম বিষয়

দশমিক বিস্তারে \(0.999\ldots = 1.000\ldots\)-এর মতো দুই-রকম প্রকাশ এড়াতে \(5\) বা \(6\) বেছে নেওয়া হয় (\(0\) বা \(9\) নয়) — এতে নির্দিষ্টতা থাকে। এই সূক্ষ্মতা প্রমাণকে পূর্ণ করে।

সারণি: Cardinality-র তুলনা

সেট	Countable?	Cardinality
\(\mathbb{N}\)	✅ হ্যাঁ	\(\aleph_0\)
\(\mathbb{Z}\)	✅ হ্যাঁ	\(\aleph_0\)
\(\mathbb{Q}\)	✅ হ্যাঁ	\(\aleph_0\)
\(\mathbb{R}\)	❌ না	\(\mathfrak{c} > \aleph_0\)
যেকোনো সসীম সেট \(\{a_1, \ldots, a_n\}\)	✅ হ্যাঁ	\(n\)

৪. উদাহরণ ও Analogy

Analogy — Hilbert-এর অসীম হোটেল

ধরো একটা হোটেলে অসীম ঘর আছে (\(1, 2, 3, \ldots\)) এবং সব ঘর ভরা।

• নতুন একজন অতিথি এলে? সহজ: প্রতি অতিথিকে এক ঘর সরিয়ে দাও (\(n \to n+1\))। ঘর ১ খালি হলো।
• অসীম নতুন অতিথি এলে? তারপরেও: পুরানো অতিথিদের \(n \to 2n\)-এ সরাও। সব বিজোড় ঘর খালি — নতুন অতিথিরা বসো।

উপলব্ধি: অসীম সেটের উপসেট পুরো সেটের সমান হতে পারে — \(|\mathbb{N}| = |\)জোড় সংখ্যার সেট\(|\) যদিও জোড় সংখ্যা ℕ-এর "অর্ধেক"।

Worked Example ১: ℤ-এর সাথে ℕ-এর bijection লেখো

\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\) যেখানে \(f(n) = \begin{cases} n/2 & n \text{ জোড়} \\ -(n-1)/2 & n \text{ বিজোড়}\end{cases}\)

\[1 \to 0,\; 2 \to 1,\; 3 \to -1,\; 4 \to 2,\; 5 \to -2,\; 6 \to 3,\; \ldots\]

এটা bijection কারণ:

• Injective (একৈক): দুটো আলাদা \(n\)-এর জন্য \(f(n)\) আলাদা — জোড়ের জন্য ধনাত্মক, বিজোড়ের জন্য অঋণাত্মক।
• Surjective (সর্বগ্রাসী): প্রতিটা integer-এর একটা preimage আছে।

Worked Example ২: Cantor-এর diagonal argument হাতে করে

ধরো \([0,1]\)-এর প্রথম পাঁচটা সংখ্যার তালিকা:

\[x_1 = 0.17350\ldots, \quad x_2 = 0.80427\ldots, \quad x_3 = 0.36174\ldots, \quad x_4 = 0.92840\ldots, \quad x_5 = 0.50319\ldots\]

Diagonal অঙ্কগুলো: \(d_{11} = 1,\; d_{22} = 0,\; d_{33} = 1,\; d_{44} = 4,\; d_{55} = 1\)।

নতুন সংখ্যা \(d\)-এর অঙ্ক (rule: \(d_{nn} \ne 5\) হলে \(5\), না হলে \(6\)):

\[c_1 = 5,\; c_2 = 5,\; c_3 = 5,\; c_4 = 5,\; c_5 = 5\]

তাই \(d = 0.55555\ldots = \frac{5}{9}\)।

যাচাই: \(d \ne x_1\) (\(1\)ম অঙ্ক \(5 \ne 1\)), \(d \ne x_2\) (\(2\)য় অঙ্ক \(5 \ne 0\)), ..., \(d \ne x_5\) (\(5\)ম অঙ্ক \(5\)... কিন্তু \(5 = 5\)!)

ওহ — এই উদাহরণে \(d_{55} = 1\), তাই \(c_5 = 5\); এবং \(x_5\)-এর ৫ম অঙ্ক \(1 \ne 5\), তাই \(d \ne x_5\) ✓।

তালিকায় \(d = \frac{5}{9}\) নেই (এই পাঁচটার কোনোটাই না) — যদিও \(d\) পুরোপুরি বৈধ সংখ্যা।

Analogy — Cantor-এর proof কেন এত শক্তিশালী?

প্রমাণটা "যদি তালিকা থাকত" ধরে নিয়ে contradiction বের করে। এটা proof by contradiction — অধ্যায় 0.1-এ শেখা কৌশলটাই। পার্থক্য শুধু: তালিকার বিরুদ্ধে একটা বিশেষ নতুন সংখ্যা তৈরি করা হয় যা সব সংখ্যার সাথে অন্তত একটা জায়গায় আলাদা।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. "অসীম মানেই সমান আকার" — বড় ভুল। \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0\), কিন্তু \(|\mathbb{R}| > \aleph_0\)। সব অসীম সেটের cardinality এক নয়।

2. "ℚ uncountable কারণ দুটো মূলদের মাঝে অসীম মূলদ আছে (density)" — ভুল। ঘনত্ব (density) countability-র সাথে সরাসরি সম্পর্কিত নয়। ℚ dense কিন্তু countable।

3. Cantor diagonal-এ "তালিকায় \(d\) থাকতে পারে অন্য index-এ" — confusion। প্রমাণ বলছে প্রতিটা \(x_n\)-এর সাথে \(d\) আলাদা (ঠিক \(n\)-তম অঙ্কে)। তাই সব index-এই \(d\) আলাদা।

4. \(\aleph_0 + 1 = \aleph_0\)-কে স্ববিরোধী মনে হওয়া। সসীমের নিয়মে অসীম চলে না। \(\aleph_0 + 1 = \aleph_0\) সত্য — bijection দিয়েই প্রমাণ হয় (Hilbert hotel)।

5. "Real number-এর তালিকা বানানো শুধু কঠিন, অসম্ভব নয়" — ভুল। Diagonal argument দেখায় এটা গাণিতিকভাবে অসম্ভব — শুধু কঠিন নয়।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. দেখাও যে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট \(E = \{2, 4, 6, 8, \ldots\}\) countable। একটা bijection \(f: \mathbb{N} \to E\) লেখো।

2. নিচের দুটো সেটের মধ্যে bijection খুঁজে বের করো: \(\mathbb{N}\) এবং \(\{5, 10, 15, 20, \ldots\}\)।

3. দেখাও যে যেকোনো countable সেটের যেকোনো অসীম উপসেট countable।

4. নিচের কোন সেটটি countable, কোনটি uncountable? (ক) \((0, 1)\) এর সব মূলদ সংখ্যার সেট। (খ) \((0, 1)\) এর সব বাস্তব সংখ্যার সেট। (গ) \(\mathbb{R}\)-এর সব অমূলদ সংখ্যার সেট।

5. Cantor diagonal argument হাতে করো: ধরো \([0,1]\)-এর তালিকা: \(x_1 = 0.3141592\ldots\), \(x_2 = 0.2718281\ldots\), \(x_3 = 0.1000000\ldots\), \(x_4 = 0.5772156\ldots\), \(x_5 = 0.6180339\ldots\)। Diagonal অঙ্কগুলো বের করো এবং \(d\) তৈরি করো (rule: \(5\) হলে \(6\), নয়তো \(5\))।

6. ব্যাখ্যা করো: \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}|\) — অর্থাৎ natural number-এর সব ordered pair-এর সেট countable।

7. চ্যালেঞ্জ: দেখাও যে \((0,1)\) আর \(\mathbb{R}\) এর cardinality সমান। (ইঙ্গিত: \(f(x) = \tan\bigl(\pi(x - \tfrac{1}{2})\bigr)\) বিবেচনা করো।)

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(f: \mathbb{N} \to E\) হোক \(f(n) = 2n\)।

• \(f(1) = 2,\; f(2) = 4,\; f(3) = 6,\; \ldots\) — এই mapping \(\mathbb{N}\)-কে ঠিক \(E\)-তে নিয়ে যায়।
• Injective: \(f(m) = f(n) \Rightarrow 2m = 2n \Rightarrow m = n\) ✓
• Surjective: যেকোনো \(e \in E\) লেখা যায় \(e = 2k\) কোনো \(k \in \mathbb{N}\)-এর জন্য। \(f(k) = e\) ✓

সুতরাং \(f\) একটা bijection এবং \(|E| = |\mathbb{N}| = \aleph_0\)।

মন্তব্য: \(E \subsetneq \mathbb{N}\) হলেও \(|E| = |\mathbb{N}|\) — এটা অসীম সেটের বৈশিষ্ট্য। Dedekind-এর সংজ্ঞায় এটাই অসীমতার চিহ্ন।

২-নং সমাধান দেখাও

\(S = \{5, 10, 15, 20, \ldots\}\)। \(f: \mathbb{N} \to S\) হোক \(f(n) = 5n\)।

• \(f(1) = 5,\; f(2) = 10,\; f(3) = 15,\; \ldots\)
• Injective: \(5m = 5n \Rightarrow m = n\) ✓
• Surjective: যেকোনো \(5k \in S\) এর জন্য \(f(k) = 5k\) ✓

\(|S| = |\mathbb{N}| = \aleph_0\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(A\) countable এবং \(B \subseteq A\) একটা অসীম উপসেট।

\(A\) countable হওয়ায় \(A\)-এর উপাদানগুলো সাজানো যায়: \(a_1, a_2, a_3, \ldots\)

\(B\)-এর উপাদানগুলো এই তালিকায় ছড়িয়ে আছে। আমরা \(B\)-এর উপাদানগুলো যেভাবে \(a_1, a_2, \ldots\)-তে পাচ্ছি সেই ক্রমে তালিকা করি: \(b_1, b_2, b_3, \ldots\)

এই তালিকা একটা bijection \(g: \mathbb{N} \to B\) দেয় (\(g(k) = b_k\)), তাই \(B\) countable। \(\blacksquare\)

৪-নং সমাধান দেখাও

• (ক) Countable। \(\mathbb{Q}\) countable (Theorem ২), এবং \((0,1)\)-এর মূলদ সংখ্যারা \(\mathbb{Q}\)-এর উপসেট (এক্সারসাইজ ৩ অনুযায়ী উপসেটও countable)।
• (খ) Uncountable। Cantor diagonal argument সরাসরি \((0,1)\)-এর উপর প্রযোজ্য।
• (গ) Uncountable। ধরো অমূলদ সংখ্যার সেট \(I\) countable হতো। তাহলে \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup I\) হবে countable ∪ countable = countable। কিন্তু ℝ uncountable — contradiction। সুতরাং \(I\) uncountable।

৫-নং সমাধান দেখাও

Diagonal অঙ্কগুলো বের করি (\(d_{nn}\)):

\(n\)	\(x_n\)	\(d_{nn}\) (n-তম অঙ্ক)
1	\(0.\mathbf{3}141592\ldots\)	\(3\)
2	\(0.2\mathbf{7}18281\ldots\)	\(7\)
3	\(0.10\mathbf{0}0000\ldots\)	\(0\)
4	\(0.577\mathbf{2}156\ldots\)	\(2\)
5	\(0.6180\mathbf{3}39\ldots\)	\(3\)

Rule (\(d_{nn} = 5\) হলে \(c_n = 6\), নয়তো \(c_n = 5\)):

\(c_1 = 5\) (\(3 \ne 5\)), \(c_2 = 5\) (\(7 \ne 5\)), \(c_3 = 5\) (\(0 \ne 5\)), \(c_4 = 5\) (\(2 \ne 5\)), \(c_5 = 5\) (\(3 \ne 5\))।

তাই \(d = 0.55555\ldots = \frac{5}{9}\)।

যাচাই: \(d \ne x_1\) (১ম অঙ্ক \(5 \ne 3\)), \(d \ne x_2\) (২য় অঙ্ক \(5 \ne 7\)), \(d \ne x_3\) (৩য় অঙ্ক \(5 \ne 0\)), \(d \ne x_4\) (৪র্থ অঙ্ক \(5 \ne 2\)), \(d \ne x_5\) (৫ম অঙ্ক \(5 \ne 3\)) ✓

\(d \in [0,1]\) কিন্তু এই পাঁচটার কোনোটাই \(d\) নয়।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbb{N} \times \mathbb{N} = \{(m, n) : m, n \in \mathbb{N}\}\) — এটা Cantor-এর zig-zag পদ্ধতি দিয়ে গণনা করা যায় (ছবি ১-এর মতো)।

Array-এর সারি \(m\), কলাম \(n\)। তির্যক পথে হাঁটলে প্রতিটা pair \((m, n)\) ঠিক একবার আসে।

আনুষ্ঠানিকভাবে bijection: \(f(m, n) = \frac{(m+n-1)(m+n-2)}{2} + m\) (Cantor pairing function)।

তাই \(|\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{N}| = \aleph_0\)।

উপলব্ধি: এই ফলটাই ℚ-এর গণনযোগ্যতার মূলে — কারণ প্রতিটা মূলদ \(p/q\) কে pair \((p,q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}\) হিসেবে দেখা যায়।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(f: (0,1) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \tan\!\left(\pi\!\left(x - \tfrac{1}{2}\right)\right)\)।

• \(x \to 0^+\) হলে \(\pi(x - 1/2) \to -\pi/2\), তাই \(f(x) \to -\infty\)।
• \(x \to 1^-\) হলে \(\pi(x - 1/2) \to +\pi/2\), তাই \(f(x) \to +\infty\)।
• \(f\) একটানা বর্ধমান (monotone increasing) এবং differentiable।
• প্রতিটা \(y \in \mathbb{R}\)-এর জন্য \(x = \frac{1}{\pi}\arctan(y) + \frac{1}{2} \in (0,1)\) হয় — তাই \(f\) surjective।
• Strictly increasing, তাই injective।

সুতরাং \(f\) bijection এবং \(|(0,1)| = |\mathbb{R}| = \mathfrak{c}\)। \(\blacksquare\)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Cardinality (অংকবাচকতা) — দুটো সেটের আকার তুলনা bijection দিয়ে হয়, এটা বুঝি।
• [ ] Countable (গণনযোগ্য) ও uncountable (অগণনযোগ্য) সেটের সংজ্ঞা বলতে পারি।
• [ ] ℤ countable — bijection \(n \mapsto 0,1,-1,2,-2,\ldots\) লিখতে পারি।
• [ ] ℚ countable — Cantor-এর zig-zag (diagonal enumeration) বুঝি।
• [ ] \(\aleph_0 = |\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}|\) — এই সমতা মাথায় আছে।
• [ ] Cantor diagonal argument — ℝ uncountable প্রমাণের মূল ধাপগুলো নিজে বলতে পারি।
• [ ] \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|\) — অসীমতার মধ্যেও "বড়-ছোট" আছে।
• [ ] অমূলদ সংখ্যার সেট uncountable — কারণ বলতে পারি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 1.1 — বাস্তব সংখ্যার পূর্ণতা (Completeness) — Part 1 শুরু। এবার দেখব ℝ-এর সেই "ছিদ্রহীন" ধর্মটা কীভাবে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করা যায় — supremum, infimum, আর completeness axiom।