2.6 — Contraction Mapping Principle¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: contraction (সংকোচন) mapping কী; Banach Fixed Point Theorem (বানাখ স্থির-বিন্দু উপপাদ্য) — সম্পূর্ণ প্রমাণ সহ; প্রয়োগ — সমীকরণের সমাধানের অস্তিত্ব ও একতা, Picard's theorem, সংখ্যাগত পুনরাবৃত্তি।
উৎস (source): Banach (fixed point theorem); Picard (প্রয়োগ)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
গণিতের অনেক সমস্যা "স্থির বিন্দু (fixed point)" খুঁজে পাওয়ার সমস্যায় পরিণত হয়। উদাহরণ:
- সমীকরণ সমাধান: \(x = g(x)\) — \(g\)-এর fixed point খোঁজা।
- ODE সমাধান: \(y' = f(x, y)\), \(y(x_0) = y_0\) — Picard iteration।
- Numerical methods: \(x_{n+1} = g(x_n)\) converge করে কোথায়?
এই সব ক্ষেত্রে একটাই প্রশ্ন: fixed point আছে কি? একটাই কি? আর যদি থাকে, সেখানে পৌঁছানোর কোনো নিশ্চিত পদ্ধতি আছে কি?
Stefan Banach-এর Fixed Point Theorem (1922) এই তিনটা প্রশ্নের উত্তর একসাথে দেয় — শুধু একটা শর্তে: mapping টা "সংকোচনকারী" (contracting) হতে হবে, অর্থাৎ যেকোনো দুটো বিন্দুকে কাছে এনে দেয়।
মূল স্বজ্ঞা
Contraction mapping = "দূরত্ব কমানোর" যন্ত্র। প্রতিটা iteration দুটো বিন্দুকে আরও কাছে আনে। একটা complete space-এ এই সংকোচন একটাই বিন্দুতে থেমে যায় — সেটাই fixed point। আর সেটা unique।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
Contraction — বাস্তব ছবি¶
কল্পনা করো একটা রাবার ব্যান্ড মাটির উপর পড়ে আছে। এটাকে একটা বিশেষ নিয়মে টেনে ছোট করা হচ্ছে — যেন প্রতিটা পদক্ষেপে সব বিন্দু একটা কেন্দ্রের দিকে কমপক্ষে \(k\) গুণ কাছে যাচ্ছে (\(0 < k < 1\))। যথেষ্ট পদক্ষেপ নিলে সব বিন্দু একটাতেই জড়ো হয়ে যাবে — সেটাই fixed point।
আরেকটা analogy: ভাঁজ করার প্রক্রিয়া। একটা কাগজ অর্ধেক ভাঁজ করলে প্রতিটা বিন্দু কাছে আসে। অনেকবার ভাঁজ করলে কাগজ একটা বিন্দুর দিকে সংকুচিত হয়।
চিত্র ১: বাঁয়ে — cobweb diagram: \(T(x) = 0.5x + 0.2\), iterates \(x_0 = 0.9, Tx_0, T^2x_0, \ldots\) fixed point \(x^* = 0.4\)-এর দিকে সর্পিলভাবে যাচ্ছে। ডানে — number line-এ একই iterates, প্রতিটা পদক্ষেপে \(x^*\)-এর দিকে এগোচ্ছে।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
Contraction Mapping — সংজ্ঞা¶
সংজ্ঞা: Contraction Mapping (সংকোচন বিন্যাস)
\((X, d)\) metric space। ফাংশন \(T: X \to X\) একটা contraction (সংকোচন) যদি:
এই \(k\)-কে বলে contraction constant (সংকোচন ধ্রুবক)। লক্ষ করো: \(k < 1\) অপরিহার্য।
চিত্র: দুটো বিন্দু \(x\) ও \(y\)-এর দূরত্ব \(d(x,y)\); তাদের প্রতিচ্ছবি \(T(x)\) ও \(T(y)\)-এর দূরত্ব \(k\) গুণ ছোট — contraction।
Fixed Point:
সংজ্ঞা: Fixed Point (স্থির বিন্দু)
\(x^* \in X\) একটা fixed point (স্থির বিন্দু) of \(T\) যদি \(T(x^*) = x^*\)।
চিত্র: \(y = T(x)\) রেখা এবং \(y = x\) কর্ণরেখার ছেদবিন্দুই হলো fixed point \(x^*\) — যেখানে \(T(x^*) = x^*\)।
মন্তব্য:
- Contraction সবসময় continuous (কারণ \(d(T(x), T(x_0)) \leq k \cdot d(x, x_0) < \varepsilon\) যদি \(d(x,x_0) < \varepsilon/k\))।
- \(k = 1\) অনুমতি নেই — \(k = 1\) হলে শুধু non-expansive, fixed point নাও থাকতে পারে (যেমন translation \(T(x) = x + 1\) on ℝ: \(d(T(x),T(y)) = d(x,y)\) কিন্তু fixed point নেই)।
চিত্র: বাঁয়ে — \(k < 1\) হলে iterates fixed point-এর দিকে সংকুচিত হয়। ডানে — \(k \geq 1\) হলে iterates দূরে সরে যায়।
Banach Fixed Point Theorem — পূর্ণ প্রমাণ¶
উপপাদ্য: Banach Fixed Point Theorem (বানাখ স্থির-বিন্দু উপপাদ্য)
Stefan Banach, 1922
ধরো \((X, d)\) একটা complete metric space এবং \(T: X \to X\) একটা contraction constant \(k \in [0,1)\)-সহ।
তাহলে:
- \(T\)-এর ঠিক একটাই fixed point \(x^* \in X\) আছে।
- যেকোনো প্রারম্ভিক বিন্দু \(x_0 \in X\) থেকে শুরু করে sequence \(x_{n+1} = T(x_n)\) converge করে \(x^*\)-এ।
- A priori estimate (আগাম ত্রুটিসীমা):
- A posteriori estimate (পরিবর্তিত ত্রুটিসীমা):
সম্পূর্ণ প্রমাণ:
ধাপ ১: Orbit একটা Cauchy sequence।
\(x_0 \in X\) বেছে নাও এবং \(x_{n+1} = T(x_n)\) define করো। প্রথমে \(d(x_1, x_2)\) হিসাব করি:
Induction দিয়ে:
এবার যেকোনো \(m > n\)-এর জন্য triangle inequality প্রয়োগ করি:
যেহেতু \(k < 1\), \(k^n \to 0\) এবং \(d(x_n, x_m) \to 0\) — \(\{x_n\}\) Cauchy।
ধাপ ২: Cauchy sequence converge করে।
\(X\) complete বলে \(\exists x^* \in X\) যেন \(x_n \to x^*\)।
ধাপ ৩: \(x^*\) একটা fixed point।
\(T\) continuous (contraction বলে), তাই:
সুতরাং \(T(x^*) = x^*\) — \(x^*\) একটা fixed point। ✓
ধাপ ৪: Fixed point unique।
ধরো \(y^*\)-ও একটা fixed point: \(T(y^*) = y^*\)। তাহলে:
\((1 - k) \cdot d(x^*, y^*) \leq 0\)। কিন্তু \(k < 1\), তাই \(1 - k > 0\), সুতরাং \(d(x^*, y^*) = 0\), অর্থাৎ \(x^* = y^*\)। ✓
ধাপ ৫: A priori estimate।
\(d(x_n, x^*) = d(x_n, \lim_{m \to \infty} x_m)\)। Cauchy argument থেকে:
\(m \to \infty\) নিলে: \(d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k} d(x_0, x_1)\)। \(\blacksquare\)
চিত্র ২: বাঁয়ে — বিভিন্ন \(k\)-এর জন্য \(d(T^n x_0, x^*)\) geometric decay। ডানে — Cauchy bound: \(d(x_n, x_{n+m})\) geometric decay, দেখায় orbit-ই Cauchy।
Applications — প্রয়োগ¶
১. সমীকরণের সমাধান¶
\(g: [a,b] \to [a,b]\) smooth function, \(|g'(x)| \leq k < 1\) সব \(x\)-এর জন্য। তাহলে \(T(x) = g(x)\) একটা contraction (mean value theorem থেকে: \(|g(x) - g(y)| \leq k|x - y|\))।
\([a,b]\) complete, তাই Banach: \(\exists !\) fixed point \(x^* = g(x^*)\)।
উদাহরণ: \(g(x) = \cos x\) on \([0, 1]\)। \(|g'(x)| = |\sin x| \leq \sin 1 < 1\)। সুতরাং \(\cos x = x\)-এর একটাই সমাধান আছে (\(x \approx 0.739\), Dottie number)।
২. Picard's Theorem — ODE-র সমাধান¶
IVP: \(y' = f(x, y)\), \(y(x_0) = y_0\), যেখানে \(f\) Lipschitz in \(y\):
Equivalent integral equation: \(y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\,dt\)।
Picard operator: \(T(\varphi)(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \varphi(t))\,dt\)।
একটা ছোট interval \([x_0 - h, x_0 + h]\) (\(h < 1/L\))-তে \(T\) একটা contraction হয় \(C[x_0-h, x_0+h]\)-তে (complete space)।
Banach Fixed Point Theorem প্রয়োগ করলে: \(\exists !\) continuous solution \(y\) on \([x_0 - h, x_0 + h]\)। এটাই Picard's existence and uniqueness theorem।
৩. সংখ্যাগত iteration¶
\(x_{n+1} = g(x_n)\) iteration converge করে \(x^*\)-এ যদি \(|g'(x^*)| < 1\) (locally contractive)। A priori estimate দিয়ে কতটা iteration করলে কতটা সঠিক হবে বলা যায়:
চিত্র: Newton-এর পদ্ধতি \(a_{n+1} = a_n/2 + 1/a_n\) — বাঁয়ে: \(a_n \to \sqrt{2}\) দ্রুত; ডানে: ত্রুটি প্রতিটা ধাপে বর্গাকারে কমছে (quadratic convergence)।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
Analogy: মানচিত্র ভাঁজ করা¶
একটা দেশের মানচিত্র টেবিলের উপর রাখো, তারপর ঠিক সেই মানচিত্রের ছবির উপরে ভাঁজ করো (smaller copy inside it)। ছোট মানচিত্রে দেশটার ঠিক একটা বিন্দু তার নিজের প্রতিচ্ছবির সাথে মিলে যায় — সেটাই fixed point। Banach theorem বলে: যদি contraction হয় (মানচিত্র যথেষ্ট ছোট হয়), সেই বিন্দু অনন্য।
Worked Example ১: \(T(x) = \frac{x}{2} + 1\) on \(\mathbb{R}\)¶
\(d(T(x), T(y)) = |(x/2 + 1) - (y/2 + 1)| = |x - y|/2\) — contraction with \(k = 1/2\) ✓।
কিন্তু ℝ complete নয়... wait, ℝ complete ✓।
Fixed point: \(x^* = x^*/2 + 1 \Rightarrow x^*/2 = 1 \Rightarrow x^* = 2\)।
Verification: \(T(2) = 2/2 + 1 = 2\) ✓। Starting from \(x_0 = 0\): \(0, 1, 3/2, 7/4, 15/8, \ldots \to 2\)।
চিত্র: Cobweb diagram — প্রতিটা পদক্ষেপে \(x_0 \to x_1 \to x_2 \to \cdots \to x^*\): \(T(x)\) বক্ররেখায় উঠে কর্ণ রেখায় ফিরে আসা।
A priori estimate: \(d(x_n, 2) \leq \frac{(1/2)^n}{1 - 1/2} \cdot d(0, 1) = 2 \cdot (1/2)^n = 2^{1-n} \to 0\)।
Worked Example ২: Newton's Method as Contraction¶
\(f(x) = x^2 - 2\), find \(\sqrt{2}\)। Newton iteration: \(T(x) = \frac{x + 2/x}{2}\)।
Near \(x^* = \sqrt{2}\): \(|T'(x)| = |1/2 - 1/x^2|\)। At \(x^* = \sqrt{2}\): \(T'(\sqrt{2}) = 1/2 - 1/2 = 0\) — super-contraction! Quadratic convergence।
Near \(\sqrt{2}\), take \(I = [1.4, 1.5]\): \(|T'(x)| = |1 - 2/x^2|/2\), \(\max_{I} |T'| < 0.02\) — very fast convergence।
Worked Example ৩: Integral Equation¶
\(\varphi(x) = \lambda \int_0^1 K(x,t) \varphi(t)\,dt + f(x)\) (Fredholm equation)।
\(T(\varphi)(x) = \lambda \int_0^1 K(x,t)\varphi(t)\,dt + f(x)\)। In \(C[0,1]\) with sup norm:
\(|\lambda| \cdot \|K\|_\infty < 1\) হলে \(T\) contraction। Banach থেকে unique solution \(\varphi^* \in C[0,1]\) আছে।
৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
Completeness ছাড়া Banach প্রয়োগ করা। Incomplete space-এ contraction-এর fixed point নাও থাকতে পারে। উদাহরণ: \(T(x) = x/2\) on \((0, 1)\) — contraction, কিন্তু fixed point \(0 \notin (0,1)\)।
-
\(k \leq 1\)-কে contraction ভাবা। Contraction-এ \(k < 1\) strictly প্রয়োজন। \(k = 1\) হলে শুধু non-expansive — fixed point নাও থাকতে পারে।
-
"Continuous \(\Rightarrow\) Contraction" ভাবা। Continuous function contraction নাও হতে পারে। \(f(x) = x^2\) on \([0, 2]\): continuous, কিন্তু \(|f(1.9) - f(1.8)| = 0.37 > 0.1 = 1.9 - 1.8\) — not a contraction।
-
A priori estimate ভুলে যাওয়া। \(d(x_n, x^*) \leq k^n/(1-k) \cdot d(x_0, x_1)\) — এটা দিয়ে convergence rate জানা যায়, numerical applications-এ অপরিহার্য।
-
Banach \(\Rightarrow\) unique fixed point ভুলে যাওয়া। Contraction-এর fixed point unique। অন্য fixed point theorem (Brouwer, Schauder)-এ existence আছে কিন্তু uniqueness নাও থাকতে পারে।
-
\(k\)-কে independent ভাবা। \(k\) space ও domain-এর উপর নির্ভর করে। \(g(x) = \cos x\) সব ℝ-তে contraction নয়, কিন্তু \([0,1]\)-তে হয়।
৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।
-
দেখাও যে \(T(x) = \frac{x}{3} + 2\) on \(\mathbb{R}\) একটা contraction। Fixed point কোথায়? \(x_0 = 0\) থেকে শুরু করে \(d(x_3, x^*)\) estimate করো।
-
\(T(x) = \sqrt{x + 2}\) on \([2, 3]\)। \(T\) কি \([2,3] \to [2,3]\) map করে? \(T\) কি contraction? Fixed point?
-
\(f(x) = x - \frac{x^3 - 2}{3x^2}\) (Newton's method for \(x^3 = 2\), i.e., \(\sqrt[3]{2}\))। \(f'(x)\) হিসাব করো এবং \(x = 1.2\)-এর কাছে contraction constant estimate করো।
-
Banach theorem প্রয়োগ: \(\varphi(x) = \frac{1}{10} \int_0^1 \sin(xt)\varphi(t)\,dt + x^2\)। এই integral equation-এ unique continuous solution আছে কি? কারণ দাও।
-
ধরো \(T: [0,1] \to [0,1]\) contraction, \(k = 0.7\)। \(d(x_0, x_1) = 0.5\) দেওয়া। কত iteration করলে \(d(x_n, x^*) < 0.001\) নিশ্চিত হবে? A priori estimate ব্যবহার করো।
-
Completeness জরুরি: \(T(x) = x/2\) on \((0,\infty)\) — এটা কি contraction? Fixed point আছে কি? কেন Banach theorem fail করে?
-
ধরো \(T: X \to X\) contraction এবং \(S: X \to X\) contraction। \(T \circ S\) কি contraction? Contraction constant কত?
-
(চ্যালেঞ্জ) Picard iteration: \(y' = y\), \(y(0) = 1\)। Picard iterates \(y_0 = 1\), \(y_{n+1}(x) = 1 + \int_0^x y_n(t)\,dt\) হিসাব করো \(n = 0, 1, 2, 3\)-এর জন্য। Pattern কী? Exact solution \(e^x\)-এর সাথে মেলাও।
৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
Contraction: \(|T(x) - T(y)| = |x/3 + 2 - y/3 - 2| = |x-y|/3\) — contraction with \(k = 1/3\)। ✓
Fixed point: \(x^* = x^*/3 + 2 \Rightarrow 2x^*/3 = 2 \Rightarrow x^* = 3\)।
Estimates: \(x_0 = 0\), \(x_1 = T(0) = 2\), \(d(x_0, x_1) = 2\)।
A priori: \(d(x_3, x^*) \leq \frac{(1/3)^3}{1 - 1/3} \cdot 2 = \frac{1/27}{2/3} \cdot 2 = \frac{2}{27} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{9} \approx 0.111\)।
Verification: \(x_1 = 2, x_2 = 2.667, x_3 = 2.889\)। \(|x_3 - 3| = 0.111\) ✓।
২-নং সমাধান দেখাও
\(T: [2,3] \to [2,3]\)? \(T(2) = \sqrt{4} = 2\), \(T(3) = \sqrt{5} \approx 2.236 \in [2,3]\)। \(T\) বাড়ছে, সুতরাং \(T([2,3]) \subseteq [2,3]\) ✓।
Contraction? \(T'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}\)। \([2,3]\)-তে: \(|T'(x)| \leq \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)।
Mean Value Theorem: \(|T(x) - T(y)| = |T'(c)| \cdot |x-y| \leq \frac{1}{4}|x-y|\)।
Contraction with \(k = 1/4\) ✓।
Fixed point: \([2,3]\) closed \(\subset\) ℝ, তাই complete। Banach: unique \(x^*\)।
\(x^* = \sqrt{x^* + 2} \Rightarrow (x^*)^2 = x^* + 2 \Rightarrow (x^*)^2 - x^* - 2 = 0 \Rightarrow x^* = 2\) (positive root)।
Check: \(T(2) = \sqrt{4} = 2\) ✓। (\(x^* = 2\) is the fixed point.)
৩-নং সমাধান দেখাও
\(f(x) = x - \frac{x^3 - 2}{3x^2}\)।
\(f'(x) = 1 - \frac{3x^2 \cdot 3x^2 - (x^3 - 2) \cdot 6x}{9x^4}\)।
সরল করলে: \(f'(x) = 1 - \frac{9x^4 - 6x(x^3-2)}{9x^4} = 1 - \frac{9x^4 - 6x^4 + 12x}{9x^4} = 1 - \frac{3x^4 + 12x}{9x^4}\)।
আরও সরল: \(f'(x) = \frac{2(x^3 - 2)}{3x^3}\) (Newton's method-এ \(f'(x^*) = 0\) সবসময় — quadratic convergence)।
\(x = 1.2\)-তে: \(f'(1.2) = \frac{2(1.728 - 2)}{3 \cdot 1.728} = \frac{2 \cdot (-0.272)}{5.184} \approx -0.105\)।
তাই \(x = 1.2\)-এর কাছে \(|f'| \approx 0.105\) — contraction constant \(k \approx 0.105\) ✓। (খুব দ্রুত convergence।)
৪-নং সমাধান দেখাও
\(T(\varphi)(x) = \frac{1}{10}\int_0^1 \sin(xt)\varphi(t)\,dt + x^2\)।
\(C[0,1]\)-এ sup norm: \(\|\cdot\|_\infty\)।
সুতরাং \(T\) contraction with \(k = 1/10\) on \(C[0,1]\) (যা complete)।
Banach: \(\exists !\) fixed point \(\varphi^* \in C[0,1]\), অর্থাৎ unique continuous solution আছে। ✓
৫-নং সমাধান দেখাও
A priori estimate: \(d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k} d(x_0, x_1)\)।
\(k = 0.7\), \(d(x_0, x_1) = 0.5\), \(1 - k = 0.3\)।
চাই: \(\frac{0.7^n}{0.6} < 0.001\), অর্থাৎ \(0.7^n < 0.0006\)।
\(\ln(0.7^n) < \ln(0.0006)\), অর্থাৎ \(n \ln(0.7) < \ln(0.0006)\)।
\(n > \frac{\ln(0.0006)}{\ln(0.7)} = \frac{-7.42}{-0.357} \approx 20.8\)।
সুতরাং \(n = 21\) iteration যথেষ্ট। ✓
৬-নং সমাধান দেখাও
\(T(x) = x/2\) on \((0,\infty)\)।
Contraction? \(|T(x) - T(y)| = |x-y|/2\) — হ্যাঁ, \(k = 1/2\) ✓।
Fixed point? \(x^* = x^*/2 \Rightarrow x^* = 0\)। কিন্তু \(0 \notin (0, \infty)\)!
Banach fail কেন? \((0, \infty)\) complete নয় (Exercise 5.1: \(x_n = 1/n \to 0 \notin (0,\infty)\) — incomplete)।
Banach-এর শর্ত: complete metric space। \((0, \infty)\) complete নয়, তাই guarantee নেই। ✓
উপসংহার: Completeness অপরিহার্য শর্ত।
৭-নং সমাধান দেখাও
দাবি: \(T \circ S\) contraction with constant \(k_T \cdot k_S\)।
প্রমাণ: ধরো \(T\) contraction with \(k_T\) এবং \(S\) contraction with \(k_S\)।
\(k_T \cdot k_S < 1\) (কারণ \(k_T, k_S \in [0,1)\), সুতরাং product-ও \(< 1\))।
সুতরাং \(T \circ S\) contraction with constant \(k_T k_S\)। \(\blacksquare\)
৮-নং সমাধান দেখাও
Picard iterates for \(y' = y\), \(y(0) = 1\):
\(y_0(x) = 1\)
\(y_1(x) = 1 + \int_0^x 1\,dt = 1 + x\)
\(y_2(x) = 1 + \int_0^x (1 + t)\,dt = 1 + x + \frac{x^2}{2}\)
\(y_3(x) = 1 + \int_0^x \left(1 + t + \frac{t^2}{2}\right)dt = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\)
Pattern: \(y_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\) — Taylor series of \(e^x\) truncated at degree \(n\)।
Exact solution: \(y(x) = e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\)।
Picard iteration এখানে সরাসরি Taylor series দিচ্ছে — Banach fixed point theorem-এর iterative proof এবং analysis-এর গভীর সংযোগের সুন্দর উদাহরণ। ✓
৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Contraction mapping (সংকোচন বিন্যাস): \(d(T(x), T(y)) \leq k \cdot d(x,y)\), \(k < 1\) — সংজ্ঞা ও উদাহরণ জানি।
- [ ] Fixed point (স্থির বিন্দু): \(T(x^*) = x^*\) — সংজ্ঞা জানি।
- [ ] Banach Fixed Point Theorem (বানাখ স্থির-বিন্দু উপপাদ্য): শর্ত (complete space + contraction), উপসংহার (unique fixed point, \(x_n \to x^*\)), estimate — মুখে বলতে পারি।
- [ ] পূর্ণ প্রমাণের চারটা ধাপ বুঝি: orbit Cauchy \(\to\) converge \(\to\) limit is fixed point \(\to\) uniqueness।
- [ ] Completeness কেন দরকার — \((0,\infty)\) counterexample জানি।
- [ ] \(k < 1\) কেন দরকার — \(k = 1\) counterexample জানি।
- [ ] A priori estimate: \(d(x_n, x^*) \leq k^n/(1-k) \cdot d(x_0, x_1)\) — numerical applications-এ ব্যবহার করতে পারি।
- [ ] Picard's theorem — ODE-র existence/uniqueness Banach theorem থেকে আসে।
- [ ] \(x = \cos x\) বা \(x = g(x)\)-টাইপ সমীকরণে contraction argument প্রয়োগ করতে পারি।
➡️ পরের অধ্যায়: 2.7 — Compactness ও Total Boundedness — metric space-এ "ছোট" হওয়ার আনুষ্ঠানিক ধারণা; compact space-এর চমৎকার ধর্মগুলো — continuous image compact, uniform continuity, Heine-Cantor।