4.5 — Hahn–Banach Theorem¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: bounded linear functional (সীমাবদ্ধ রৈখিক প্রকার্য) কে একটা subspace (উপস্থান) থেকে পুরো Banach space-এ extend করা — norm না বাড়িয়ে। Sublinear functional (উপ-রৈখিক প্রকার্য), dominated extension (আধিপত্যবদ্ধ বিস্তার), Zorn's lemma (জর্নের লেম্মা) দিয়ে সম্পূর্ণ প্রমাণ; dual space (দ্বৈত স্থান) কেন "পর্যাপ্ত" — যথেষ্ট functional আছে; geometric form — separating hyperplane (পৃথককারী অতিতল)।
উৎস (source): Hahn ও Banach।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
ধরো তুমি একটা ছোট ঘরে (subspace \(G\)) বসে একটা মাপের যন্ত্র তৈরি করেছ — সেটা সেই ঘরে ভালোই কাজ করে। প্রশ্ন হলো: পুরো বাড়িতে (Banach space \(X\)) কি সেই যন্ত্র কাজ করবে? এবং তার নির্ভুলতা (norm) কি একই থাকবে?
এটাই হলো Hahn–Banach extension problem। গণিতের ভাষায়:
প্রশ্ন: এমন \(F: X \to \mathbb{R}\) পাওয়া যাবে কি যেন \(F|_G = f\) এবং \(\lVert F \rVert_X = \lVert f \rVert_G\)?
Hans Hahn (1921) এবং Stefan Banach (1929) এই প্রশ্নের উত্তর দিলেন: হ্যাঁ, সবসময়। এই একটা theorem থেকে বের হয়:
- প্রতিটা nonzero vector \(x\) কে আলাদা করতে পারে এমন functional আছে।
- Dual space \(X^*\) points separate করে।
- \(\lVert x \rVert = \sup_{\lVert f \rVert = 1} \lvert f(x) \rvert\) — norm-কে dual দিয়ে recover করা যায়।
- Geometric form: দুটো disjoint convex set কে একটা hyperplane দিয়ে আলাদা করা যায়।
মূল স্বজ্ঞা
একটা রেখার উপর সংজ্ঞায়িত linear functional কে সমতলে, তারপর ৩D-তে, ধাপে ধাপে extend করা যায় — প্রতিটা ধাপে একটা নতুন dimension যোগ করে, এবং একটা clever bound নিশ্চিত করে norm বাড়ে না। অসীম মাত্রায় এই ধাপগুলো সম্পন্ন করতে দরকার Zorn's lemma।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
সমস্যাটা ছবিতে¶
চিত্র ১: Banach space \(X\)-এর subspace \(G\)-তে সংজ্ঞায়িত \(f\)-কে পুরো \(X\)-এ extend করে \(F\) পাওয়া — \(F|_G = f\) এবং \(\lVert F \rVert_X = \lVert f \rVert_G\)।
Sublinear Functional — extension-এর "ছাদ"¶
Extension-এর trick হলো একটা sublinear functional \(p: X \to \mathbb{R}\) ব্যবহার করা যা \(f\)-কে dominate করে। Sublinear মানে:
উদাহরণ: \(p(x) = \lVert f \rVert \cdot \lVert x \rVert\) — এটা sublinear এবং \(\lvert f(x) \rvert \leq p(x)\) সব \(x \in G\)-এর জন্য।
"\(f\) is dominated by \(p\)" মানে \(f(x) \leq p(x)\) for all \(x\) in the domain of \(f\).
চিত্র ২: Extension \(F\) (সবুজ) কে সবসময় sublinear functional \(p\) (নীল)-এর নিচে থাকতে হবে। নীল ছায়া = valid zone যেখানে \(F \leq p\)।
৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶
মূল সংজ্ঞাগুলো¶
সংজ্ঞা ১: Sublinear Functional (উপ-রৈখিক প্রকার্য)
একটা real vector space \(X\)-এ \(p: X \to \mathbb{R}\) sublinear যদি:
লক্ষ করো: norm একটা sublinear functional (কিন্তু \(p(-x) = p(x)\) নাও হতে পারে — তাই norm-এর চেয়ে সাধারণ)।
সংজ্ঞা ২: Dominated Extension (আধিপত্যবদ্ধ বিস্তার)
\(G \subseteq X\) subspace, \(f: G \to \mathbb{R}\) linear, \(p: X \to \mathbb{R}\) sublinear। \(f\) is dominated by \(p\) on \(G\) যদি:
Extension \(F: X \to \mathbb{R}\) is a dominated extension of \(f\) if \(F|_G = f\) and \(F(x) \leq p(x)\) for all \(x \in X\).
Extension Lemma — একটা ধাপ¶
পুরো theorem-এর হৃদয় হলো এই Lemma — মাত্র একটা নতুন dimension যোগ করে extend করা:
লেম্মা (Extension Lemma — Axler 6.63)
\(X\) real normed vector space, \(G \subseteq X\) subspace, \(\psi: G \to \mathbb{R}\) bounded linear functional। ধরো \(h \in X \setminus G\)।
তাহলে \(\psi\)-কে \(G + \mathbb{R}h\)-তে extend করা যায় এমন bounded linear \(\phi: G + \mathbb{R}h \to \mathbb{R}\)-তে যেন \(\lVert \phi \rVert = \lVert \psi \rVert\)।
প্রমাণ-স্কেচ:
\(G + \mathbb{R}h\)-এর প্রতিটি উপাদান \(f + \alpha h\) (with \(f \in G, \alpha \in \mathbb{R}\)) আকারের। Define:
যেখানে \(c = \phi(h)\) একটা real constant — আমাদের choose করতে হবে।
\(\lVert \phi \rVert = \lVert \psi \rVert\) চাইলে দরকার:
\(\alpha = 1\)-এর ক্ষেত্রে এটার সমতুল্য:
এই interval খালি নয়, কারণ: যেকোনো \(f, g \in G\)-এর জন্য
সুতরাং \(c\)-র জন্য valid interval আছে, এবং যেকোনো \(c\) সেখান থেকে নিলে \(\lVert \phi \rVert = \lVert \psi \rVert\)। \(\blacksquare\)
চিত্র ৩: প্রতিটা ধাপে একটা নতুন vector যোগ করে subspace বড় করা হয় — functional extend হয়, norm অপরিবর্তিত থাকে।
Zorn's Lemma — অসীম ধাপের চাবিকাঠি¶
Finite-dimensional space-এ Extension Lemma বারবার প্রয়োগ করলে শেষ পাওয়া যায়। কিন্তু infinite-dimensional space-এ দরকার Zorn's lemma (জর্নের লেম্মা):
Zorn's Lemma (স্বীকার্য)
একটা partially ordered set-এ যদি প্রতিটা chain-এর upper bound থাকে, তাহলে সেখানে একটা maximal element আছে।
এখানে আমরা consider করি:
\((H_1, \phi_1) \preceq (H_2, \phi_2)\) যদি \(H_1 \subseteq H_2\) এবং \(\phi_2|_{H_1} = \phi_1\)।
প্রতিটা chain-এর upper bound পাওয়া যায় union নিয়ে। Zorn's lemma থেকে maximal element \((H_{\max}, F)\) পাওয়া যায়। Extension Lemma বলে: \(H_{\max} = X\) (নইলে একটা নতুন dimension যোগ করা যেত, maximality-র বিরুদ্ধ)।
চিত্র ৪: আংশিক ক্রমবিন্যস্ত (partially ordered) extension-দের পরিবারে Zorn's lemma maximal element খোঁজে — সেটাই পুরো \(X\)-এ extension।
Hahn–Banach Theorem — সম্পূর্ণ বিবৃতি ও প্রমাণ¶
উপপাদ্য: Hahn–Banach Theorem (হান-বানাখ উপপাদ্য)
Hans Hahn (1921/1927), Stefan Banach (1929)
ধরো \(X\) একটা normed vector space, \(G \subseteq X\) subspace, এবং \(\psi: G \to \mathbb{R}\) একটা bounded linear functional।
তাহলে \(\psi\)-কে একটা bounded linear functional \(F: X \to \mathbb{R}\)-তে extend করা যায় যেন:
সম্পূর্ণ প্রমাণ (real case):
Family নির্মাণ: \(\mathcal{A}\) = সব \((H, \phi)\)-এর collection যেখানে \(H\) subspace of \(X\), \(G \subseteq H\), \(\phi: H \to \mathbb{R}\) linear, \(\phi|_G = \psi\), \(\lVert \phi \rVert \leq \lVert \psi \rVert\)।
\(\mathcal{A}\) nonempty কারণ \((G, \psi) \in \mathcal{A}\)।
Partial order: \((H_1, \phi_1) \preceq (H_2, \phi_2)\) যদি \(H_1 \subseteq H_2\) ও \(\phi_2|_{H_1} = \phi_1\)।
Chain-এর upper bound: যেকোনো chain \(\{(H_\alpha, \phi_\alpha)\}\)-এর জন্য \(H = \bigcup_\alpha H_\alpha\) ও \(\phi(x) = \phi_\alpha(x)\) যদি \(x \in H_\alpha\) define করলে \((H, \phi) \in \mathcal{A}\) এবং এটা chain-এর upper bound।
Zorn → maximal element: \((H_{\max}, F) \in \mathcal{A}\) maximal।
\(H_{\max} = X\): ধরো \(H_{\max} \neq X\)। তাহলে \(\exists h \in X \setminus H_{\max}\)। Extension Lemma প্রয়োগ করে \(F\)-কে \(H_{\max} + \mathbb{R}h\)-তে extend করা যায় same norm-সহ। কিন্তু এটা maximality-র বিরোধী। অতএব \(H_{\max} = X\)।
\(F =\) এই maximal extension — \(F: X \to \mathbb{R}\), \(F|_G = \psi\), \(\lVert F \rVert = \lVert \psi \rVert\)। \(\blacksquare\)
Complex case: Complex space-এ \(\psi_1 = \mathrm{Re}\,\psi\)-কে real-linear functional হিসেবে extend করা হয়, তারপর \(F(x) = F_1(x) - i F_1(ix)\) define করলে complex extension পাওয়া যায় same norm-সহ।
৪. পরিণতি (Consequences)¶
পরিণতি (a): Enough Functionals¶
Corollary (i): Enough functionals exist
\(X\) normed vector space, \(x \in X\), \(x \neq 0\)। তাহলে \(\exists f \in X^*\) (dual space) যেন:
বিশেষত: \(\lVert x \rVert = \max \{ \lvert f(x) \rvert : f \in X^*, \lVert f \rVert = 1 \}\)।
প্রমাণ: \(U = \mathrm{span}(x) = \{\alpha x : \alpha \in \mathbb{F}\}\) subspace। Define \(\psi(\alpha x) = \alpha \lVert x \rVert\)। তাহলে \(\psi(x) = \lVert x \rVert\), \(\lVert \psi \rVert = 1\)। Hahn–Banach: extend \(\psi\) to \(f: X \to \mathbb{R}\) with \(\lVert f \rVert = 1\)। \(\blacksquare\)
স্বজ্ঞা: প্রতিটা nonzero point \(x\)-এর কাছে একটা "সাপোর্টিং হাইপারপ্লেন" (supporting hyperplane) আছে যা \(x\) কে স্পর্শ করে এবং unit sphere-এর বাইরে যায় না।
পরিণতি (b): \(X^*\) Separates Points¶
Corollary (ii): Dual separates points
\(X\) normed vector space। যদি \(x, y \in X\) এবং \(f(x) = f(y)\) for all \(f \in X^*\), তাহলে \(x = y\)।
অর্থাৎ: দুটো ভিন্ন point কে dual space-এর কোনো functional আলাদা করতে পারে।
প্রমাণ: \(x \neq y\) ধরলে \(x - y \neq 0\)। Corollary (i) থেকে \(\exists f \in X^*\) যেন \(f(x-y) = \lVert x-y \rVert \neq 0\), অর্থাৎ \(f(x) \neq f(y)\)। \(\blacksquare\)
চিত্র ৫: বাঁয়ে — unit sphere-এ \(x\) বিন্দুতে supporting hyperplane হিসেবে functional \(\phi\) (\(\lVert \phi \rVert = 1\), \(\phi(x) = \lVert x \rVert\))। ডানে — dual space \(X^*\) যেকোনো দুটো ভিন্ন বিন্দু \(x, y\) কে আলাদা করতে পারে।
পরিণতি (c): Distance-to-Subspace Functional¶
Corollary (iii): Distance functional
\(M \subseteq X\) closed subspace, \(x_0 \notin M\)। তাহলে \(\exists f \in X^*\) যেন:
স্বজ্ঞা: \(M\) কে annihilate করে এমন একটা unit functional পাওয়া যায় যার মান \(x_0\)-এ ঠিক \(x_0\) থেকে \(M\)-এর দূরত্ব।
চিত্র ৬: Subspace \(M\) (নীল রেখা) থেকে \(x_0\)-এর দূরত্ব \(d(x_0, M)\) — Hahn–Banach \(\phi \in X^*\) দেয় যা \(M\)-এ শূন্য, \(x_0\)-এ \(d(x_0, M)\) মান নেয় এবং \(\lVert \phi \rVert = 1\)।
Geometric Form: Separating Hyperplane¶
উপপাদ্য: Separating Hyperplane (পৃথককারী অতিতল)
\(X\) normed vector space, \(C \subseteq X\) closed convex set, \(x_0 \notin C\)।
তাহলে \(\exists f \in X^*\) ও \(c \in \mathbb{R}\) যেন:
অর্থাৎ hyperplane \(\{f = c\}\) \(x_0\)-কে \(C\) থেকে separates করে।
স্বজ্ঞা: এটা Hahn–Banach-এর "geometric version" — convex set আর বাইরের point কে সবসময় একটা affine hyperplane দিয়ে আলাদা করা যায়।
চিত্র ৭: \(x_0\) (লাল বিন্দু) বনাম closed convex set \(C\) (নীল) — সবুজ hyperplane \(\{\phi = c\}\) দুটোকে আলাদা করে। \(\phi(x_0) < c \leq \phi(x)\) for all \(x \in C\)।
Norm Recovery via Dual¶
চিত্র ৮: বাঁয়ে — \(X\) ও \(X^*\)-এর unit ball-এর দ্বৈততা (primal diamond ↔ dual square)। ডানে — বিভিন্ন unit-norm functional-দের মধ্যে \(x\)-এ সর্বোচ্চ মান (লাল bar) ঠিক \(\lVert x \rVert\) — supremum attained।
এই সব Corollary কে একসাথে বলা যায়: Banach space-এ dual space \(X^*\) "যথেষ্ট বড়" — space-এর সম্পূর্ণ তথ্য এনকোড করতে পারে।
৫. উদাহরণ ও Analogy¶
Analogy: ছায়া দিয়ে বস্তু চেনা¶
কল্পনা করো \(X = \mathbb{R}^3\) এবং একটা বস্তু আছে সেখানে। তুমি সরাসরি দেখতে পাচ্ছ না, কিন্তু বিভিন্ন দিক থেকে ছায়া দেখতে পাচ্ছ। প্রতিটা ছায়া একটা linear functional \(f\) এর প্রয়োগ। Hahn–Banach বলছে: যথেষ্ট ছায়া থেকে বস্তুকে সম্পূর্ণ চেনা যায় (dual separates points)।
Worked Example ১: \(\ell^1\) থেকে \(\ell^\infty\)-এ extension¶
ধরো \(X = \ell^\infty\) (bounded sequences), \(G = c_0\) (sequences converging to 0)। \(G\)-তে define করো \(f((a_n)) = \lim_{n \to \infty} a_n\)। তাহলে \(\lVert f \rVert = 1\)।
\(G = c_0\) কিন্তু \(X = \ell^\infty\)-এর পুরো নয়। Hahn–Banach বলে: \(\exists F: \ell^\infty \to \mathbb{R}\) bounded linear, \(F|_{c_0} = \lim\), \(\lVert F \rVert = 1\)।
এই \(F\) একটা "Banach limit" (বানাখ সীমা) — এটা concrete-ভাবে লেখা যায় না (Axiom of Choice ছাড়া), কিন্তু অস্তিত্ব নিশ্চিত।
Worked Example ২: Norm recovery-র সরল উদাহরণ¶
\(X = \mathbb{R}^2\) (Euclidean), \(x = (3, 4)\), \(\lVert x \rVert = 5\)।
Unit vector \(u = (3/5, 4/5)\) দিয়ে \(f_u(y) = \langle u, y \rangle = (3y_1 + 4y_2)/5\)। তাহলে \(f_u(x) = (9 + 16)/5 = 5 = \lVert x \rVert\) এবং \(\lVert f_u \rVert = \lVert u \rVert = 1\)।
Cauchy–Schwarz থেকে: \(\lvert f(x) \rvert \leq \lVert f \rVert \lVert x \rVert = 5\) সব unit-norm \(f\)-এর জন্য, এবং \(f_u\) সেটা attain করে। এটাই Hahn–Banach Corollary (i)-র সহজ উদাহরণ।
Worked Example ৩: Subspace annihilator¶
\(X = C[0,1]\) (continuous functions, sup norm), \(M = \{f: f(0) = 0\}\) (closed subspace), \(x_0 = \mathbf{1}\) (constant function 1)।
\(d(x_0, M) = \inf_{f \in M} \lVert 1 - f \rVert_\infty = 1\) (যেকোনো \(f \in M\) এর জন্য \(\lVert 1 - f \rVert \geq \lvert 1 - f(0) \rvert = 1\))।
Hahn–Banach Corollary (iii) দেয়: evaluation functional \(\phi(f) = f(0)\) — এটা \(M\)-এ zero, \(\phi(x_0) = 1 = d(x_0, M)\), \(\lVert \phi \rVert = 1\)। ✓
৬. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
"Completeness লাগে" মনে করা। Hahn–Banach-এ \(X\) complete হওয়ার দরকার নেই — শুধু normed vector space হলেই চলে। Completeness দরকার Open Mapping Theorem-এ (পরের অধ্যায়)।
-
Extension unique মনে করা। Extension generally unique নয়। \(c = \phi(h)\) choose করার জন্য একটা interval পাওয়া গিয়েছিল — ভিন্ন \(c\) বেছে নিলে ভিন্ন extension। Uniqueness ঘটে শুধু বিশেষ ক্ষেত্রে (যখন interval একটাই বিন্দু)।
-
Real ও complex case-এর পার্থক্য ভুলে যাওয়া। Real case-এ সরাসরি। Complex case-এ \(F(x) = F_1(x) - i F_1(ix)\) ব্যবহার করতে হয় — এবং verify করতে হয় complex-linearity।
-
"Sublinear \(\Rightarrow\) linear" ভাবা। Sublinear functional \(p\) সবসময় linear নয় — শুধু positive homogeneous ও subadditive। Norm sublinear কিন্তু \(p(-x)\) সাধারণত \(-p(x)\) নয় (নেগেটিভ হোমোজেনিটি নেই)।
-
Zorn's lemma = transfinite induction ভাবা। এই দুটো equivalent কিন্তু conceptually ভিন্ন। Zorn's lemma সরাসরি "maximal element আছে" — কোনো explicit construction দেয় না।
-
Separating hyperplane theorem infinite-dimensional-এ ব্যবহার করতে ভুলে যাওয়া। Finite-dimensional-এ এটা আরও শক্তিশালী (strict separation guaranteed অনেক ক্ষেত্রে)। Infinite-dimensional-এ C compact হলে strict separation পাওয়া যায়।
৭. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।
-
\(X = \mathbb{R}^3\) (Euclidean), \(G = \{(x,y,0): x,y \in \mathbb{R}\}\) (xy-plane), \(\psi(x,y,0) = 2x - y\)। \(\lVert \psi \rVert\) হিসাব করো এবং Hahn–Banach extension \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) দাও যেন \(\lVert F \rVert = \lVert \psi \rVert\)। Extension কি unique?
-
\(X = C[0,1]\), \(x_0 = t\) (identity function), \(M = \{f \in C[0,1]: f(1/2) = 0\}\)। \(d(x_0, M)\) হিসাব করো। Hahn–Banach Corollary (iii) ব্যবহার করে \(\phi \in X^*\) দাও যেন \(\phi|_M = 0\), \(\phi(x_0) = d(x_0, M)\), \(\lVert \phi \rVert = 1\)।
-
\(X = \ell^2\), \(x = (1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots) = (2^{-n})_{n \geq 0}\)। এমন \(f \in (\ell^2)^*\) খোঁজো যেন \(f(x) = \lVert x \rVert_2\) ও \(\lVert f \rVert = 1\)। (Hint: \(\ell^2\) self-dual।)
-
দেখাও যে \(X = C[0,1]\)-তে evaluation functional \(\delta_t: f \mapsto f(t)\) একটা bounded linear functional। \(\lVert \delta_t \rVert\) হিসাব করো। Hahn–Banach ব্যবহার করে নিশ্চিত করো যে \(f \in C[0,1]\), \(f \neq 0\) হলে \(\exists t\) যেন \(f(t) \neq 0\) (এই claim কি Hahn–Banach ছাড়া trivially সত্য?)।
-
(Banach limit) \(X = \ell^\infty\), \(G = c\) (convergent sequences), \(f((a_n)) = \lim_{n \to \infty} a_n\)। দেখাও \(\lVert f \rVert = 1\)। Hahn–Banach বলে extension \(F: \ell^\infty \to \mathbb{R}\) আছে, \(\lVert F \rVert = 1\)। কেন \(F\) "concrete-ভাবে" দেওয়া কঠিন?
-
\(X = \mathbb{R}^2\), \(C = \{(x,y): x^2 + y^2 \leq 1\}\) (closed unit disk), \(x_0 = (2, 0)\)। Separating hyperplane theorem থেকে \(f \in X^*\) ও \(c \in \mathbb{R}\) দাও যেন \(f(x_0) < c \leq f(x)\) for all \(x \in C\)।
-
\(X\) normed space, \(x, y \in X\), \(x \neq y\)। Hahn–Banach ব্যবহার করে দেখাও যে \(\exists f \in X^*\) যেন \(f(x) \neq f(y)\) — অর্থাৎ \(X^*\) separates points।
-
(চ্যালেঞ্জ) \(X\) normed space, \(M \subseteq X\) closed subspace, \(h \notin M\)। Define \(\mathrm{dist}(h, M) = \inf_{m \in M} \lVert h - m \rVert > 0\)। Hahn–Banach ব্যবহার করে দেখাও: \(\exists \phi \in X^*\), \(\lVert \phi \rVert = 1\), \(\phi|_M = 0\), \(\phi(h) = \mathrm{dist}(h, M)\)। এই \(\phi\)-কে ব্যবহার করে prove করো \(M\)-এর closure-এ \(h\) নেই।
৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
\(\lVert \psi \rVert\) হিসাব:
\(G = \{(x,y,0)\}\)-তে \(\psi(x,y,0) = 2x - y\)। Cauchy–Schwarz:
Equality at \((x,y,0) = (2,-1,0)/\sqrt{5}\)। তাই \(\lVert \psi \rVert = \sqrt{5}\)।
Extension: \(F(x,y,z) = 2x - y + 0 \cdot z\) — এটা \(G\)-তে \(\psi\)-র সাথে মিলে এবং \(\lVert F \rVert = \sqrt{5}\)। ✓
আরেকটা extension: \(F'(x,y,z) = 2x - y + 7z\) — check: \(\lVert F' \rVert = \lVert (2,-1,7) \rVert = \sqrt{4+1+49} = \sqrt{54} > \sqrt{5}\)। এটা norm-preserving নয়।
Unique? না — \(F_c(x,y,z) = 2x - y + cz\) যেকোনো \(c\)-এর জন্য extension, কিন্তু \(\lVert F_c \rVert = \sqrt{5 + c^2}\)। Only \(c = 0\) দেয় norm-preserving extension। এই ক্ষেত্রে unique norm-preserving extension।
২-নং সমাধান দেখাও
\(x_0 = t\) (identity function), \(M = \{f: f(1/2) = 0\}\)।
\(d(x_0, M)\) হিসাব: যেকোনো \(g \in M\)-এর জন্য \(g(1/2) = 0\), তাই:
Lower bound: \(d(x_0, M) \geq 1/2\)।
Upper bound: \(g_0(t) = t - 1/2 \in M\) (কারণ \(g_0(1/2) = 0\))। \(\lVert x_0 - g_0 \rVert_\infty = \lVert 1/2 \rVert_\infty = 1/2\)।
তাই \(d(x_0, M) = 1/2\)।
Functional: \(\phi(f) = f(1/2)\)। Check: \(\phi|_M = 0\) ✓, \(\phi(x_0) = 1/2 = d(x_0, M)\) ✓, \(\lVert \phi \rVert = \sup_{\lVert f \rVert = 1} \lvert f(1/2) \rvert = 1\) ✓।
৩-নং সমাধান দেখাও
\(x = (2^{-n})_{n \geq 0}\)।
\(\ell^2\)-তে dual হলো \(\ell^2\) নিজেই (Riesz representation)। Unit vector \(u = x / \lVert x \rVert_2 = (\sqrt{3}/2) \cdot (2^{-n})_{n \geq 0}\)।
\(f_u(y) = \langle u, y \rangle = (\sqrt{3}/2) \sum_{n \geq 0} 2^{-n} y_n\)।
Check: \(f_u(x) = (\sqrt{3}/2) \sum_{n \geq 0} 2^{-2n} = (\sqrt{3}/2) \cdot (4/3) = 2/\sqrt{3} = \lVert x \rVert_2\) ✓।
\(\lVert f_u \rVert = \lVert u \rVert_2 = 1\) ✓।
৪-নং সমাধান দেখাও
\(\delta_t(f) = f(t)\), sup norm।
Bounded: \(\lvert \delta_t(f) \rvert = \lvert f(t) \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty\), তাই \(\lVert \delta_t \rVert \leq 1\)।
Norm = 1: Constant function \(f = 1\): \(\delta_t(1) = 1 = \lVert 1 \rVert_\infty\), তাই \(\lVert \delta_t \rVert = 1\)।
\(f \neq 0 \Rightarrow f(t) \neq 0\) for some \(t\): Trivially true by definition — \(f \neq 0\) মানে \(\exists t\) with \(f(t) \neq 0\)। Hahn–Banach এখানে দরকার নেই।
তবে Hahn–Banach বলে: \(f \neq 0\) হলে \(\exists \phi \in X^*\) with \(\phi(f) \neq 0\) — এটা \(X\)-কে distinguish করে। \(\delta_t\) হলো এই \(\phi\)-র একটা concrete choice।
৫-নং সমাধান দেখাও
\(G = c\), \(f = \lim\)।
\(\lVert f \rVert = 1\): \(\lvert f((a_n)) \rvert = \lvert \lim a_n \rvert \leq \sup \lvert a_n \rvert = \lVert (a_n) \rVert_\infty\)। Constant sequence \((1,1,1,\ldots)\): \(f = 1 = \lVert \cdot \rVert_\infty\)। তাই \(\lVert f \rVert = 1\) ✓।
Hahn–Banach extension \(F\): \(F: \ell^\infty \to \mathbb{R}\), \(F|_c = \lim\), \(\lVert F \rVert = 1\) — এমন \(F\) exists।
কেন concrete নয়: \(F\) define করতে হলে প্রতিটা bounded sequence (convergent নয় এমন) এ একটা "limit" assign করতে হবে যা consistent। এটা Axiom of Choice ছাড়া করা যায় না। কোনো explicit formula নেই — Zorn's lemma দেয় existence, construction নয়।
৬-নং সমাধান দেখাও
\(C =\) closed unit disk, \(x_0 = (2, 0)\)।
Separating hyperplane: \(C\) ও \(x_0\) এর মধ্যে। Geometric ভাবে: unit circle থেকে \((2,0)\) পর্যন্ত। Normal direction = \(x_0\) direction = \((1, 0)\)।
\(f(x, y) = x\), \(c = 1\)।
Check: \(f(x_0) = f(2,0) = 2 > 1 = c\)। Wait — separation চাই \(f(x_0) < c \leq f(x)\) for \(x \in C\)।
Swap: \(f(x,y) = -x\)। তাহলে \(f(x_0) = -2\), ও for \((x,y) \in C\): \(f(x,y) = -x \geq -1\)। \(c = -1\)।
Check: \(f(x_0) = -2 < -1 = c \leq f(x,y) = -x\) for all \((x,y)\) in \(C\) (since \(x \leq 1\)) ✓।
৭-নং সমাধান দেখাও
\(x \neq y\), সুতরাং \(z = x - y \neq 0\)।
Corollary (i) (Hahn–Banach-এর directly): \(\exists f \in X^*\), \(\lVert f \rVert = 1\), \(f(z) = \lVert z \rVert \neq 0\)।
\(f(x) - f(y) = f(x - y) = f(z) = \lVert z \rVert \neq 0\)।
তাই \(f(x) \neq f(y)\)। \(\blacksquare\)
এটাই বলে \(X^*\) separates points।
৮-নং সমাধান দেখাও
Step 1: \(\mathrm{dist}(h, M) > 0\) কারণ \(M\) closed ও \(h \notin M\)।
Step 2: Functional নির্মাণ। Define \(\psi: M + \mathbb{F}h \to \mathbb{F}\) by \(\psi(m + \alpha h) = \alpha \cdot \mathrm{dist}(h, M)\)।
Step 3: \(\psi\) bounded। \(\lVert m + \alpha h \rVert \geq \lvert \alpha \rvert \cdot \mathrm{dist}(h, M)\) (কারণ \(-m/\alpha \in M\) ও \(\lVert h - (-m/\alpha) \rVert \geq \mathrm{dist}(h,M)\) when \(\alpha \neq 0\))।
তাই \(\lvert \psi(m + \alpha h) \rvert = \lvert \alpha \rvert \cdot \mathrm{dist}(h,M) \leq \lVert m + \alpha h \rVert\), অর্থাৎ \(\lVert \psi \rVert \leq 1\)।
\(\psi(h) = \mathrm{dist}(h,M)\) ও \(\lVert h \rVert \geq \mathrm{dist}(h,M)\) থেকে \(\lVert \psi \rVert \geq 1\)। তাই \(\lVert \psi \rVert = 1\)।
Step 4: Hahn–Banach extend করে \(\phi: X \to \mathbb{F}\), \(\phi|_{M + \mathbb{F}h} = \psi\), \(\lVert \phi \rVert = 1\)।
Properties: \(\phi|_M = \psi|_M = 0\) ✓, \(\phi(h) = \psi(h) = \mathrm{dist}(h,M)\) ✓।
\(h \notin \overline{M}\): যদি \(h \in \overline{M}\), তাহলে continuity of \(\phi\) দেয় \(\phi(h) = 0\)। কিন্তু \(\phi(h) = \mathrm{dist}(h,M) > 0\) — contradiction। তাই \(h \notin \overline{M}\)। \(\blacksquare\)
৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Sublinear functional (উপ-রৈখিক প্রকার্য): positive homogeneity + subadditivity — সংজ্ঞা ও উদাহরণ জানি।
- [ ] Dominated extension: \(f \leq p\) on \(G\) মানে কী, এবং Hahn–Banach কোন context-এ apply হয়।
- [ ] Extension Lemma: one-dimension-at-a-time extension-এ \(c\)-র valid range আছে কেন — calculation বুঝি।
- [ ] Zorn's lemma: partially ordered set, chain, maximal element — এবং Hahn–Banach-এ কীভাবে ব্যবহার।
- [ ] Hahn–Banach Theorem: বিবৃতি মুখে বলতে পারি (\(F|_G = f\), \(\lVert F \rVert = \lVert f \rVert\), completeness লাগে না)।
- [ ] Corollary (i): \(\forall x \neq 0, \exists f \in X^*, \lVert f \rVert = 1, f(x) = \lVert x \rVert\) — proof জানি।
- [ ] Corollary (ii): dual space separates points — proof জানি।
- [ ] Distance functional: closed subspace \(M\), \(x_0 \notin M\) — annihilating functional-এর existence।
- [ ] Geometric form (separating hyperplane): closed convex set ও external point আলাদা করা যায়।
- [ ] Extension unique নয় — ব্যতিক্রম জানি।
- [ ] Real ও complex case-এর পার্থক্য: \(F(x) = F_1(x) - iF_1(ix)\) trick।
➡️ পরের অধ্যায়: 4.6 — Open Mapping, Closed Graph, Uniform Boundedness — Baire category theorem থেকে তিনটা শক্তিশালী ফলাফল: Open Mapping Theorem (surjective bounded linear map-এর inverse continuous), Closed Graph Theorem (closed graph ⟹ bounded), Uniform Boundedness Principle (pointwise bounded ⟹ uniformly bounded)।