6.2 — Decomposition: Hahn, Jordan, Lebesgue¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: একটা real measure (চিহ্নিত পরিমাপ) কীভাবে space \(X\)-কে একটা positive আর একটা negative অংশে ভাগ করে (Hahn decomposition); কীভাবে যেকোনো real measure-কে দুটো mutually singular positive measure-এর বিয়োগফল \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) হিসেবে লেখা যায় (Jordan decomposition); mutually singular (\(\mu \perp \nu\)) মানে কী; এবং কীভাবে যেকোনো measure-কে একটা absolutely continuous অংশ আর একটা singular অংশের যোগ \(\nu = \nu_{ac} + \nu_s\) হিসেবে ভাঙা যায় (Lebesgue decomposition) — এই তিনটা decomposition-ই measure theory-র মূল কাঠামো।

উৎস (source): Hahn, Jordan, Lebesgue (decomposition theorems)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আগের অধ্যায়ে আমরা দেখেছিলাম real measure (signed measure) ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুটো মানই নিতে পারে, এবং total variation norm দিয়ে measures-এর space একটা Banach space হয়। কিন্তু তখন একটা স্বাভাবিক প্রশ্ন জেগেছিল: ওই positive আর negative অংশগুলো ঠিক কোথায় থাকে? কীভাবে সেগুলো আলাদা করা যায়?

তিনটা বিখ্যাত theorem এর উত্তর দেয়।

Hahn decomposition (হান বিচ্ছেদ): ধরো তুমি কোনো দেশের ম্যাপ দেখছ, যেখানে কিছু এলাকায় ভূমি উর্বর (+), কিছু এলাকায় মরুভূমি (−)। Hahn theorem বলে — পুরো দেশটাকে ঠিক দুটো এলাকায় ভাগ করা যায়: একটা পুরোপুরি উর্বর (positive set \(P\)), আরেকটা পুরোপুরি মরু (negative set \(N\))।

Jordan decomposition (জর্দান বিচ্ছেদ): আর এই দুই এলাকার পরিমাপকে আলাদা করলে পাওয়া যায় \(\nu = \nu^+ - \nu^-\), যেখানে \(\nu^+\) শুধু উর্বর মাটির পরিমাপ, \(\nu^-\) শুধু মরু এলাকার। এই দুটো একে অপরের সাথে কোনো overlap করে না — mutually singular (পারস্পরিক নিরাসক্ত)।

Lebesgue decomposition (লেবেগ বিচ্ছেদ): আরো সূক্ষ্ম প্রশ্ন — একটা নতুন measure \(\nu\) কে একটা reference measure \(\mu\)-র সাপেক্ষে ভাঙো। কিছু অংশ \(\mu\)-র মতোই আচরণ করে (same zero sets) — সেটা absolutely continuous অংশ \(\nu_{ac}\)। বাকি অংশ সম্পূর্ণ অন্যরকম — singular অংশ \(\nu_s\), যা \(\mu\)-এর শূন্য-সেটেই বাস করে।

এই তিনটা theorem measure theory-র ভিতের পাথর। Jordan decomposition পরের অধ্যায়ের Radon–Nikodym theorem-এর প্রমাণে সরাসরি লাগে।

মূল স্বজ্ঞা

Hahn: space ভাগ করে। Jordan: measure ভাগ করে। Lebesgue: দুটো measure-এর "সম্পর্ক" অনুযায়ী ভাগ করে।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

Hahn Decomposition — space দুটো ভাগে ভাগ¶

ভাবো \(\nu\) একটা real measure on \(X\)। কোথাও \(\nu\) positive (ধনাত্মক) মান দিচ্ছে, কোথাও negative। Hahn theorem বলে আমরা \(X\)-কে দুটো disjoint measurable set-এ ভাগ করতে পারি:

\[X = P \cup N, \quad P \cap N = \emptyset\]

যেন \(P\)-এর প্রতিটা measurable subset-এর measure \(\geq 0\) (positive set), আর \(N\)-এর প্রতিটা subset-এর measure \(\leq 0\) (negative set)।

Hahn decomposition: X = P (সবুজ) ∪ N (লাল)

চিত্র ১: Hahn decomposition — \(X\) দুটো disjoint অংশে বিভক্ত। সবুজ অংশ \(P\): সব measurable subset-এর \(\nu \geq 0\)। লাল অংশ \(N\): সব measurable subset-এর \(\nu \leq 0\)। ভাগটা অনন্য নয় — \(\lvert\nu\rvert\)-শূন্য সেট এদিক-ওদিক যেতে পারে।

Mutually Singular — দুটো measure আলাদা জায়গায় বাস করে¶

দুটো measure \(\mu\) আর \(\nu\) হবে mutually singular (পারস্পরিক নিরাসক্ত), লেখা \(\mu \perp \nu\), যদি \(X\)-কে দুটো disjoint set \(A \cup B = X\)-এ ভাগ করা যায় যেখানে \(\nu\) শুধু \(A\)-তে "বাস করে" আর \(\mu\) শুধু \(B\)-তে।

Mutually singular: μ এবং ν আলাদা সাপোর্টে

চিত্র ২: \(\mu \perp \nu\) — \(\mu\) সম্পূর্ণভাবে \(A\)-তে (নীল), \(\nu\) সম্পূর্ণভাবে \(B\)-তে (কমলা)। দুটো measure-এর supports disjoint।

Jordan Decomposition — measure দুটো positive measure-এর বিয়োগফল¶

Hahn decomposition ব্যবহার করে Jordan theorem বলে:

\[\nu = \nu^+ - \nu^-, \quad \nu^+ \perp \nu^-\]

যেখানে:

\[\nu^+(E) = \nu(E \cap P), \qquad \nu^-(E) = -\nu(E \cap N)\]

দুটোই finite positive measure, আর \(\lvert\nu\rvert = \nu^+ + \nu^-\)।

Jordan decomposition: ν = ν⁺ − ν⁻

চিত্র ৩: Jordan decomposition — বামে signed measure \(d\nu = \sin(x)\,d\lambda\) (সবুজ = ধনাত্মক, লাল = ঋণাত্মক); মাঝে \(\nu^+\) (শুধু positive part); ডানে \(\nu^-\) (negative part উল্টানো)। এই দুটো mutually singular।

Lebesgue Decomposition — μ-র সাপেক্ষে ভাঙো¶

একটা reference (positive) measure \(\mu\) দেওয়া থাকলে, যেকোনো complex measure \(\nu\)-কে লেখা যায়:

\[\nu = \nu_{ac} + \nu_s\]

যেখানে \(\nu_{ac} \ll \mu\) (absolutely continuous) এবং \(\nu_s \perp \mu\) (singular)। এই decomposition-টা unique।

Lebesgue decomposition: ν = ν_ac + ν_s

চিত্র ৪: Lebesgue decomposition। সবুজ অংশ \(\nu_{ac}\): \(\mu\)-র মতোই আচরণ করে, ঘনত্ব (density) আছে। বেগুনি অংশ \(\nu_s\): \(\mu\)-এর দৃষ্টিতে শূন্য-সেটেই বাস করে।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)¶

Mutually Singular-এর সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা ৯.২৮ (Axler): Singular Measures; \(\nu \perp \mu\)

ধরো \(\nu\) এবং \(\mu\) দুটো complex বা positive measure on \((X, \mathcal{S})\)। তাদের বলা হবে mutually singular (পারস্পরিক নিরাসক্ত), লেখা \(\nu \perp \mu\), যদি এমন \(A, B \in \mathcal{S}\) থাকে যাতে:

\(A \cup B = X\) এবং \(A \cap B = \emptyset\)
প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য: \(\nu(E) = \nu(E \cap A)\) এবং \(\mu(E) = \mu(E \cap B)\)

অর্থাৎ \(\nu\) সম্পূর্ণ \(A\)-তে "বাস করে" এবং \(\mu\) সম্পূর্ণ \(B\)-তে।

স্বজ্ঞা: \(\nu \perp \mu\) মানে দুটো measure-এর effective support আলাদা। \(\nu\)-র কাছে \(B\)-তে কোনো mass নেই, \(\mu\)-র কাছে \(A\)-তে কোনো mass নেই।

উদাহরণ (Axler 9.29): \(\lambda\) হলো Lebesgue measure on \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\)।

\(\nu(E) = \lambda(E \cap (-\infty, 0))\) এবং \(\mu(E) = \lambda(E \cap (2, 3))\) হলে \(\nu \perp \mu\) — কারণ \(\nu\) শুধু \((-\infty, 0)\)-এ আছে, \(\mu\) শুধু \([0, \infty)\)-এ।
\(\nu(E) = \sum_{\{k : r_k \in E\}} w_k / 2^k\) (rationals \(r_1, r_2, \ldots\)) হলে \(\nu \perp \lambda\) — কারণ \(\nu\) শুধু \(\mathbb{Q}\)-তে বাস করে, কিন্তু \(\lambda(\mathbb{Q}) = 0\)।

Hahn Decomposition Theorem¶

উপপাদ্য ৯.২৩ (Axler): Hahn Decomposition Theorem

ধরো \(\nu\) একটা real measure on \((X, \mathcal{S})\)। তাহলে এমন \(A, B \in \mathcal{S}\) আছে যাতে:

(a) \(A \cup B = X\) এবং \(A \cap B = \emptyset\)

(b) \(\nu(E) \geq 0\) প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য যদি \(E \subseteq A\)

(c) \(\nu(E) \leq 0\) প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য যদি \(E \subseteq B\)

স্বজ্ঞা: \(A\) হলো positive set (ধনাত্মক সেট) — এখানে \(\nu\) কখনো ঋণাত্মক হয় না। \(B\) হলো negative set (ঋণাত্মক সেট) — এখানে \(\nu\) কখনো ধনাত্মক হয় না।

অনন্যতার কথা: এই decomposition অনন্য নয় — \(\lvert\nu\rvert\)-শূন্য সেট \(A\) থেকে \(B\)-এ সরানো যায়। কিন্তু প্রায়-অনন্য: যদি \((A, B)\) এবং \((A', B')\) দুটো Hahn decomposition হয়, তাহলে \(\lvert\nu\rvert(A \setminus A') = \lvert\nu\rvert(A' \setminus A) = 0\)।

প্রমাণ-স্কেচ (Axler 9.23): মূল idea — \(a = \sup\{\nu(E) : E \in \mathcal{S}\}\) নির্ধারণ করো। এটা finite কারণ \(a \leq \lVert\nu\rVert < \infty\)। প্রতিটা \(j\)-এর জন্য \(\nu(A_j) \geq a - 1/2^j\) এমন \(A_j\) নাও। তারপর:

\[A = \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{j=k}^{\infty} A_j\]

Induction দিয়ে দেখানো যায় \(\nu(A) = a\)। এরপর \(A\)-এর যেকোনো measurable subset \(E\)-এর জন্য: \(\nu(A) = a \geq \nu(A \setminus E)\), তাই \(\nu(E) \geq 0\)। \(B = X \setminus A\) নিলে (c)ও প্রমাণিত। \(\square\)

উদাহরণ (Axler 9.24): \(d\nu = h\,d\mu\) হলে সহজ Hahn decomposition:

\[A = \{x \in X : h(x) \geq 0\}, \quad B = \{x \in X : h(x) < 0\}\]

Jordan Decomposition Theorem¶

উপপাদ্য ৯.৩০ (Axler): Jordan Decomposition Theorem

ধরো \(\nu\) একটা real measure on \((X, \mathcal{S})\)। তাহলে এমন unique finite positive measures \(\nu^+\) এবং \(\nu^-\) on \((X, \mathcal{S})\) আছে যাতে:

\[\nu = \nu^+ - \nu^-, \quad \nu^+ \perp \nu^-\]

এছাড়া:

\[\lvert\nu\rvert = \nu^+ + \nu^-\]

এবং স্পষ্টভাবে:

\[\nu^+ = \frac{\lvert\nu\rvert + \nu}{2}, \qquad \nu^- = \frac{\lvert\nu\rvert - \nu}{2}\]

স্বজ্ঞা: \(\nu^+\) হলো \(\nu\)-এর "positive part", \(\nu^-\) হলো "negative part"। ঠিক যেমন বাস্তব সংখ্যার জন্য \(x = x^+ - x^-\) যেখানে \(x^+ = \max(x, 0)\) আর \(x^- = \max(-x, 0)\)।

প্রমাণ (Axler 9.30): \(X = A \cup B\) হোক Hahn decomposition। সংজ্ঞা করো:

\[\nu^+(E) = \nu(E \cap A), \quad \nu^-(E) = -\nu(E \cap B)\]

\(\nu\)-এর countable additivity থেকে \(\nu^+\) এবং \(\nu^-\) finite positive measures। \(\nu^+(E) + \nu^-(E) = \nu(E \cap A) - \nu(E \cap B) = \nu(E)\)... আরে না:

\(\nu^+(E) - \nu^-(E) = \nu(E \cap A) + \nu(E \cap B) = \nu(E)\) ✓।

\(\nu^+ \perp \nu^-\) কারণ \(\nu^+\) শুধু \(A\)-এ বাস করে, \(\nu^-\) শুধু \(B\)-এ।

অনন্যতা: \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) এবং \(\lvert\nu\rvert = \nu^+ + \nu^-\) থেকে \(\nu^+\) এবং \(\nu^-\) uniquely determined। \(\square\)

Camille Jordan (1838–1922) এই decomposition আবিষ্কার করেন, যদিও তিনি matrices-এ "Jordan normal form"-এর জন্যও পরিচিত।

Absolutely Continuous-এর সংজ্ঞা¶

সংজ্ঞা ৯.৩২ (Axler): Absolutely Continuous; \(\nu \ll \mu\)

ধরো \(\nu\) একটা complex measure এবং \(\mu\) একটা positive measure on \((X, \mathcal{S})\)। তাহলে \(\nu\)-কে বলা হবে absolutely continuous (পরম সংলগ্ন) with respect to \(\mu\), লেখা \(\nu \ll \mu\), যদি:

\[\mu(E) = 0 \implies \nu(E) = 0 \quad \text{প্রতিটা } E \in \mathcal{S}\text{-এর জন্য}\]

স্বজ্ঞা: \(\mu\)-র দৃষ্টিতে যা "কিছুই না" (\(\mu\)-measure শূন্য), তা \(\nu\)-র দৃষ্টিতেও "কিছুই না"। অর্থাৎ \(\nu\) কোনো "নতুন" null set তৈরি করে না।

উদাহরণ (Axler 9.33): - \(h \in L^1(\mu)\) হলে \(h\,d\mu \ll \mu\) — density থেকে বানানো measure সবসময় absolutely continuous। - \(\nu^+ \ll \lvert\nu\rvert\) এবং \(\nu^- \ll \lvert\nu\rvert\)। - যেকোনো measure counting measure-এর সাপেক্ষে absolutely continuous।

গুরুত্বপূর্ণ (Axler 9.34): যদি \(\nu \ll \mu\) এবং \(\nu \perp \mu\), তাহলে \(\nu = 0\)। অর্থাৎ absolutely continuous আর singular একসাথে হতে পারে শুধু trivial measure-এর ক্ষেত্রে।

Lebesgue Decomposition Theorem¶

উপপাদ্য ৯.৩৫ (Axler): Lebesgue Decomposition Theorem

ধরো \(\mu\) একটা positive measure on \((X, \mathcal{S})\) এবং \(\nu\) একটা complex measure। তাহলে unique complex measures \(\nu_a\) এবং \(\nu_s\) আছে যাতে:

\[\nu = \nu_a + \nu_s, \quad \nu_a \ll \mu, \quad \nu_s \perp \mu\]

যদি \(\nu\) একটা positive বা real measure হয়, তাহলে \(\nu_a\) এবং \(\nu_s\)-ও তাই।

প্রমাণ-স্কেচ (Axler 9.35): ধরো:

\[b = \sup\bigl\{\lvert\nu\rvert(B) : B \in \mathcal{S},\; \mu(B) = 0\bigr\}\]

প্রতিটা \(k\)-এর জন্য এমন \(B_k\) নাও যেন \(\lvert\nu\rvert(B_k) \geq b - 1/k\) এবং \(\mu(B_k) = 0\)। তারপর \(B = \bigcup_{k=1}^\infty B_k\) নাও — \(\mu(B) = 0\) এবং \(\lvert\nu\rvert(B) = b\)।

এখন \(A = X \setminus B\) এবং সংজ্ঞা করো:

\[\nu_a(E) = \nu(E \cap A), \quad \nu_s(E) = \nu(E \cap B)\]

স্পষ্টতই \(\nu = \nu_a + \nu_s\)। \(\nu_s \perp \mu\) কারণ \(\nu_s\) শুধু \(B\)-তে আছে আর \(\mu(B) = 0\)।

\(\nu_a \ll \mu\): যদি \(\mu(E) = 0\), তাহলে \(\mu(B \cup E) = 0\), তাই \(\lvert\nu\rvert(B \cup E) = b\)। কিন্তু \(\lvert\nu\rvert(B \cup E) = b + \lvert\nu\rvert(E \setminus B)\), তাই \(\lvert\nu\rvert(E \setminus B) = 0\), অর্থাৎ \(\nu_a(E) = \nu(E \cap A) = \nu(E \setminus B) = 0\)।

অনন্যতা: যদি \(\nu_1 \ll \mu\), \(\nu_2 \perp \mu\), এবং \(\nu = \nu_1 + \nu_2\) হয়, তাহলে \(\nu_1 - \nu_a = \nu_s - \nu_2\)। বামদিক \(\ll \mu\), ডানদিক \(\perp \mu\), তাই উভয়ই \(0\) (Axler 9.34 দিয়ে)। \(\square\)

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১: Density থেকে Hahn ও Jordan¶

ধরো \(\lambda\) Lebesgue measure on \([-\pi, \pi]\) এবং \(d\nu = \sin(x)\,d\lambda\)।

Hahn decomposition:

\[P = \{x : \sin(x) \geq 0\} = [0, \pi], \quad N = \{x : \sin(x) < 0\} = [-\pi, 0)\]

Jordan decomposition:

\[\nu^+(E) = \int_{E \cap [0,\pi]} \sin(x)\,d\lambda, \quad \nu^-(E) = \int_{E \cap [-\pi,0)} (-\sin(x))\,d\lambda\]

তাহলে \(\nu^+([-\pi,\pi]) = 2\), \(\nu^-([-\pi,\pi]) = 2\), এবং \(\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert([-\pi,\pi]) = 4\)।

উদাহরণ ২: Lebesgue Decomposition — Cantor Function¶

ধরো \(\varphi\) হলো Cantor function (Cantor-Lebesgue function, "Devil's staircase"), এবং \(\nu([a,b]) = \varphi(b) - \varphi(a)\) দিয়ে একটা measure তৈরি করি। Reference measure \(\mu = \lambda\) (Lebesgue)।

তাহলে \(\nu = \nu_{ac} + \nu_s\) এ: - \(\nu_{ac} = 0\) — কারণ Cantor function-এর derivative প্রায় সর্বত্র শূন্য। - \(\nu_s = \nu\) — পুরো mass Cantor set-এ থাকে, যার Lebesgue measure শূন্য।

এটা singular measure-এর একটা বিখ্যাত উদাহরণ।

উদাহরণ ৩: Lebesgue Decomposition — Lebesgue + Dirac¶

ধরো \(X = [0, 3]\), \(\mu = \lambda\) (Lebesgue), এবং:

\[\nu = \lambda\vert_{[0,1]} + \frac{1}{2}\delta_2\]

এই \(\nu\) একটা finite positive measure। Lebesgue decomposition w.r.t. \(\mu = \lambda\):

\(\nu_{ac} = \lambda\vert_{[0,1]}\): এর density হলো \(\mathbf{1}_{[0,1]}\), তাই \(\nu_{ac} \ll \lambda\)।
\(\nu_s = \frac{1}{2}\delta_2\): \(\{2\}\)-এ concentrated, কিন্তু \(\lambda(\{2\}) = 0\), তাই \(\nu_s \perp \lambda\)।

Absolutely continuous vs Singular — দুটো চরম

চিত্র ৫: বামে absolutely continuous part — smooth density \(h(x)\), mass সর্বত্র ছড়িয়ে আছে। ডানে singular part — Cantor-like, সব mass একটা \(\lambda\)-null set-এ concentrated।

Worked example: Lebesgue decomposition

চিত্র ৬: Worked example: \(\nu = \lambda\vert_{[0,1]} + \frac{1}{2}\delta_2\)-র Lebesgue decomposition। বামে \(\nu\)-এর graph — সবুজ rect = ac part, বেগুনি spike = singular atom। ডানে ভাগটা diagrammatic আকারে।

Analogy: Bank Account¶

Jordan decomposition-কে bank account দিয়ে ভাবো: \(\nu^+\) হলো মোট deposits, \(\nu^-\) হলো মোট withdrawals। Balance = \(\nu = \nu^+ - \nu^-\)। Total variation \(\lvert\nu\rvert = \nu^+ + \nu^-\) হলো gross activity — deposits ও withdrawals সব মিলিয়ে।

Lebesgue decomposition আরো সূক্ষ্ম: ধরো \(\mu\) হলো "regular bank transactions"। \(\nu_{ac}\) = \(\mu\)-র মতো behavior করা অংশ (checks, wires), \(\nu_s\) = সম্পূর্ণ আলাদা কিছু (cash stuffed in a mattress — \(\mu\) জানে না ওটা কোথায়)।

৫. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

Hahn decomposition অনন্য ভাবা। এটা প্রায়-অনন্য (\(\lvert\nu\rvert\)-null sets পর্যন্ত), কিন্তু exact অর্থে অনন্য নয়। Jordan decomposition অনন্য।
\(\nu \perp \mu\) মানে \(\nu(X) = 0\) ভাবা। মোটেই না। \(\nu \perp \mu\) মানে শুধু তারা আলাদা জায়গায় থাকে। \(\nu(X)\) বড়ও হতে পারে।
\(\nu \ll \mu\) মানে \(\nu \leq \mu\) ভাবা। মোটেই না। \(\nu \ll \mu\) শুধু null sets নিয়ে কথা বলে: \(\mu(E) = 0\) হলে \(\nu(E) = 0\)। কিন্তু \(\nu(E)\) সংখ্যা হিসেবে \(\mu(E)\)-এর চেয়ে অনেক বড় হতে পারে।
Lebesgue decomposition-এ \(\nu_{ac}\)-এর density মনে না রাখা। \(\nu_{ac} \ll \mu\) মানে (যদি \(\mu\) \(\sigma\)-finite হয়) Radon–Nikodym theorem থেকে \(d\nu_{ac} = h\,d\mu\) এমন \(h \in L^1(\mu)\) পাওয়া যায়। এই density \(h\) পরের অধ্যায়ে "Radon–Nikodym derivative" হিসেবে আসবে।
"Singular" মানে discontinuous ভাবা। Cantor function এবং এর associated measure singular কিন্তু নানাভাবে "smooth" দেখতে। Singularity এখানে topology-র ব্যাপার নয় — measure theory-র ব্যাপার।
Jordan decomposition-এ \(\nu^+ = \max(\nu, 0)\) সরাসরি বসানো। এটা সংজ্ঞা নয়; বরং Hahn decomposition দিয়ে তৈরি। পরে \(\nu^+ = (\lvert\nu\rvert + \nu)/2\) সূত্রটাও আসে, কিন্তু সেটা corollary।

৬. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর সমাধান খোলো।

ধরো \(\nu\) একটা real measure on \((X, \mathcal{S})\) এবং \(X = A \cup B\) ও \(X = A' \cup B'\) দুটো Hahn decomposition। প্রমাণ করো \(\lvert\nu\rvert(A \setminus A') = 0\) (decomposition প্রায়-অনন্য)।
ধরো \(\mu\) একটা positive measure, \(g, h \in L^1(\mu)\) real-valued। প্রমাণ করো \(g\,d\mu \perp h\,d\mu\) যদি এবং কেবল যদি \(g \cdot h = 0\) প্রায় সর্বত্র (\(\mu\)-a.e.)।
\(\nu = 3\delta_1 - 2\delta_3 + \delta_5\) on \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\)। (ক) Hahn decomposition দাও। (খ) \(\nu^+\) এবং \(\nu^-\) বের করো। (গ) \(\lVert\nu\rVert\) বের করো।
ধরো \(\nu\) একটা real measure এবং \(\nu \perp \nu\)। প্রমাণ করো \(\nu = 0\)।
ধরো \(\mu\) Lebesgue measure on \([0, 1]\) এবং \(\nu = \mu + \delta_{1/2}\)। \(\mu\)-র সাপেক্ষে \(\nu\)-এর Lebesgue decomposition বের করো।
ধরো \(\nu_1 \perp \mu\) এবং \(\nu_2 \perp \mu\)। দেখাও \((\nu_1 + \nu_2) \perp \mu\)।
ধরো \(\nu\) একটা real measure এবং \(d\nu = h\,d\lambda\) যেখানে \(h(x) = x\) on \([-2, 2]\) এবং \(\lambda\) Lebesgue। Jordan decomposition \((\nu^+, \nu^-)\) এবং \(\lVert\nu\rVert\) বের করো।
চিন্তার সমস্যা: ধরো \(\nu = \nu_a + \nu_s\) Lebesgue decomposition w.r.t. \(\mu\)। যদি \(\nu\) positive measure হয়, প্রমাণ করো \(\nu_a\) এবং \(\nu_s\) উভয়ই positive measure।

৭. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

\(A \setminus A'\)-এর যেকোনো subset \(E\)-এর জন্য দেখাতে হবে \(\lvert\nu\rvert(E) = 0\)।

\(E \subseteq A\) এবং \(E \subseteq B'\) (কারণ \(E \cap A' = \emptyset\) মানে \(E \subseteq X \setminus A' = B'\))।

যেহেতু \(E \subseteq A\), Hahn decomposition থেকে \(\nu(F) \geq 0\) প্রতিটা measurable \(F \subseteq E\)-এর জন্য।

যেহেতু \(E \subseteq B'\), অপর Hahn decomposition থেকে \(\nu(F) \leq 0\) প্রতিটা measurable \(F \subseteq E\)-এর জন্য।

তাই \(\nu(F) = 0\) সব \(F \subseteq E\)-এর জন্য। Total variation-এর সংজ্ঞা থেকে:

\[\lvert\nu\rvert(E) = \sup\bigl\{\sum_k \lvert\nu(E_k)\rvert : \{E_k\} \text{ partition of } E\bigr\} = 0\]

তাই \(\lvert\nu\rvert(A \setminus A') = 0\)। একইভাবে \(\lvert\nu\rvert(A' \setminus A) = 0\)। \(\square\)

২-নং সমাধান দেখাও

(\(\Rightarrow\)): ধরো \(g\,d\mu \perp h\,d\mu\)। তাহলে disjoint \(A, B\) আছে \(A \cup B = X\) সহ, যেখানে \(g\,d\mu\) শুধু \(A\)-তে এবং \(h\,d\mu\) শুধু \(B\)-তে।

"\(g\,d\mu\) শুধু \(A\)-তে" মানে \(g\,d\mu(B) = 0\), অর্থাৎ \(\int_B g^+\,d\mu = \int_B g^-\,d\mu = 0\), তাই \(g = 0\) \(\mu\)-a.e. on \(B\)।

একইভাবে \(h = 0\) \(\mu\)-a.e. on \(A\)।

তাই \(g \cdot h = 0\) \(\mu\)-a.e. (on \(A\): \(h = 0\); on \(B\): \(g = 0\))।

(\(\Leftarrow\)): \(A = \{x : g(x) \neq 0\}\), \(B = X \setminus A\) নাও। \(g \cdot h = 0\) a.e. মানে \(h = 0\) a.e. on \(A\)। তাই \(h\,d\mu\) শুধু \(B\)-তে বাস করে, এবং \(g\,d\mu\) শুধু \(A\)-তে। সুতরাং \(g\,d\mu \perp h\,d\mu\)। \(\square\)

৩-নং সমাধান দেখাও

\(\nu = 3\delta_1 - 2\delta_3 + \delta_5\)।

(ক) Hahn decomposition: \(A = \{1, 5\}\) (positive atoms), \(B = \{3\} \cup (X \setminus \{1,3,5\})\) (negative atom)।

আরো সঠিকভাবে: \(A = \{1, 5\}\) এবং \(B = X \setminus \{1, 5\}\)।

যাচাই: \(E \subseteq A \Rightarrow \nu(E) = 3\cdot\mathbf{1}_{1\in E} + \mathbf{1}_{5\in E} \geq 0\)। \(E \subseteq B \Rightarrow \nu(E) = -2\cdot\mathbf{1}_{3\in E} \leq 0\)। ✓

(খ) Jordan decomposition:

\[\nu^+(E) = \nu(E \cap A) = 3\cdot\mathbf{1}_{1\in E} + \mathbf{1}_{5\in E}\]

\[\nu^-(E) = -\nu(E \cap B) = 2\cdot\mathbf{1}_{3\in E}\]

তাই \(\nu^+ = 3\delta_1 + \delta_5\) এবং \(\nu^- = 2\delta_3\)।

(গ) \(\lVert\nu\rVert\):

\[\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert(X) = \nu^+(X) + \nu^-(X) = (3+1) + 2 = 6\]

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\nu \perp \nu\) মানে disjoint \(A, B\) আছে \(A \cup B = X\) সহ, যেখানে \(\nu\) শুধু \(A\)-তে এবং শুধু \(B\)-তেও।

"\(\nu\) শুধু \(A\)-তে": \(\nu(E) = \nu(E \cap A)\) প্রতিটা \(E\)-এর জন্য।

"\(\nu\) শুধু \(B\)-তে": \(\nu(E) = \nu(E \cap B)\) প্রতিটা \(E\)-এর জন্য।

যেকোনো \(E\)-এর জন্য:

\[\nu(E) = \nu(E \cap A) = \nu\bigl((E \cap A) \cap B\bigr) = \nu(\emptyset) = 0\]

তাই \(\nu = 0\)। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\nu = \mu + \delta_{1/2}\) on \([0, 1]\), reference \(\mu = \lambda\) (Lebesgue)।

Lebesgue decomposition \(\nu = \nu_{ac} + \nu_s\) w.r.t. \(\lambda\):

\(\nu_{ac} = \mu = \lambda\) — কারণ \(\lambda \ll \lambda\)।
\(\nu_s = \delta_{1/2}\) — \(\delta_{1/2}\) concentrated on \(\{1/2\}\), আর \(\lambda(\{1/2\}) = 0\), তাই \(\delta_{1/2} \perp \lambda\)।

যাচাই: \(\nu_{ac} + \nu_s = \lambda + \delta_{1/2} = \nu\) ✓। Uniqueness Theorem 9.35 নিশ্চিত করে এটাই একমাত্র decomposition।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\nu_1 \perp \mu\): disjoint \(A_1, B_1\) আছে \(A_1 \cup B_1 = X\), \(\nu_1\) শুধু \(A_1\)-এ, \(\mu\) শুধু \(B_1\)-এ।

\(\nu_2 \perp \mu\): disjoint \(A_2, B_2\) আছে \(A_2 \cup B_2 = X\), \(\nu_2\) শুধু \(A_2\)-এ, \(\mu\) শুধু \(B_2\)-এ।

\(\mu\) শুধু \(B_1\)-এ এবং শুধু \(B_2\)-এ মানে \(\mu\) শুধু \(B_1 \cap B_2\)-এ।

\(\nu_1\) শুধু \(A_1\)-এ এবং \(\nu_2\) শুধু \(A_2\)-এ, তাই \(\nu_1 + \nu_2\) শুধু \(A_1 \cup A_2\)-এ।

এখন \(A = A_1 \cup A_2\), \(B = B_1 \cap B_2\) নাও। তাহলে \(A \cup B = X\) কারণ \(B_1 \cap B_2 \supseteq X \setminus (A_1 \cup A_2)\)। আর \((\nu_1 + \nu_2)\) শুধু \(A\)-এ, \(\mu\) শুধু \(B\)-এ। তাই \((\nu_1 + \nu_2) \perp \mu\)। \(\square\)

৭-নং সমাধান দেখাও

\(d\nu = x\,d\lambda\) on \([-2, 2]\)।

Hahn decomposition: \(A = [0, 2]\) (যেখানে \(h(x) = x \geq 0\)), \(B = [-2, 0)\) (যেখানে \(h(x) < 0\))।

Jordan decomposition:

\[d\nu^+ = x\,\mathbf{1}_{[0,2]}\,d\lambda, \quad d\nu^- = (-x)\,\mathbf{1}_{[-2,0)}\,d\lambda = \lvert x\rvert\,\mathbf{1}_{[-2,0)}\,d\lambda\]

গণনা করি:

\[\nu^+([-2,2]) = \int_0^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2\]

\[\nu^-([-2,2]) = \int_{-2}^0 (-x)\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0 = 2\]

Total variation:

\[\lVert\nu\rVert = \lvert\nu\rvert([-2,2]) = \nu^+([-2,2]) + \nu^-([-2,2]) = 2 + 2 = 4\]

এটা Theorem 9.10 দিয়েও পাওয়া যায়: \(\lVert\nu\rVert = \int_{-2}^2 \lvert x\rvert\,d\lambda = 2\int_0^2 x\,dx = 4\)। ✓

৮-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(\nu = \nu_a + \nu_s\) Lebesgue decomposition w.r.t. \(\mu\), এবং \(\nu\) positive measure।

Lebesgue decomposition-এর proof থেকে (Axler 9.35-এর শেষ মন্তব্য):

\[\nu_a(E) = \nu(E \cap A), \quad \nu_s(E) = \nu(E \cap B)\]

যেখানে \(B = \bigcup_k B_k\), \(\mu(B) = 0\) এবং \(A = X \setminus B\)।

যেহেতু \(\nu\) positive, প্রতিটা \(E \in \mathcal{S}\)-এর জন্য \(\nu(E) \geq 0\)।

\(\nu_a(E) = \nu(E \cap A) \geq 0\) — কারণ \(E \cap A \in \mathcal{S}\) এবং \(\nu\) positive।

একইভাবে \(\nu_s(E) = \nu(E \cap B) \geq 0\)।

তাই \(\nu_a\) এবং \(\nu_s\) উভয়ই positive measures। \(\square\)

৮. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] Mutually singular (\(\nu \perp \mu\)) মানে জানি: disjoint supports — \(\nu\) শুধু \(A\)-এ, \(\mu\) শুধু \(B\)-এ।
[ ] Hahn decomposition (\(X = P \cup N\)) কী করে এবং কতটুকু unique তা জানি।
[ ] Jordan decomposition \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) construct করতে পারি Hahn decomposition থেকে; \(\lvert\nu\rvert = \nu^+ + \nu^-\) মনে আছে।
[ ] Jordan decomposition unique — সূত্র \(\nu^+ = (\lvert\nu\rvert + \nu)/2\) জানি।
[ ] Absolutely continuous (\(\nu \ll \mu\)) সংজ্ঞা: \(\mu(E) = 0 \Rightarrow \nu(E) = 0\)।
[ ] \(\nu \ll \mu\) এবং \(\nu \perp \mu\) একসাথে হলে \(\nu = 0\) (Axler 9.34)।
[ ] Lebesgue decomposition \(\nu = \nu_{ac} + \nu_s\) — existence ও uniqueness theorem জানি।
[ ] Cantor function থেকে তৈরি measure একটা purely singular measure — Lebesgue-র সাপেক্ষে \(\nu_{ac} = 0\)।
[ ] Jordan decomposition-এর connection: \(\nu_{ac} \ll \mu\) হলে পরের অধ্যায়ে Radon–Nikodym theorem দেবে \(d\nu_{ac} = h\,d\mu\)।

➡️ পরের অধ্যায়: 6.3 — Radon–Nikodym Theorem — যদি \(\nu \ll \mu\) হয় (\(\mu\) \(\sigma\)-finite), তাহলে \(d\nu = h\,d\mu\) এমন \(h \in L^1(\mu)\) আছে — এই মূল theorem এবং \(L^p\) space-এর dual space-এর identification।