7.7 — Scattering Theory (এক ঝলক)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: Scattering theory (বিক্ষেপণ তত্ত্ব) — কীভাবে একটা তরঙ্গ বা কণা দূর থেকে এসে কোনো বস্তু বা বলক্ষেত্রের (potential) সাথে মিথস্ক্রিয়া করে আবার দূরে চলে যায়; মুক্ত বিবর্তন (free evolution) বনাম বিক্ষিপ্ত বিবর্তন (perturbed evolution)-এর তুলনা; wave operators \(\Omega_\pm\) এবং scattering operator \(S = \Omega_+^* \Omega_-\); Lax–Phillips আসা-যাওয়া উপস্থান (incoming/outgoing subspaces); এবং কীভাবে Hilbert space, Stone-এর উপপাদ্য আর spectral theorem সব একসাথে এসে এই সুন্দর তত্ত্বটা গড়ে।

উৎস (source): Lax, Phillips (scattering theory)।

---

৭.৭.১ — কেন শিখব? (Motivation)

কল্পনা করো একটা ঢিল জলের উপর ছুড়ে দিলে। ঢিলের চারপাশ থেকে তরঙ্গ ছড়িয়ে পড়ে — এটা আমরা দেখতে পাই। কিন্তু পদার্থবিজ্ঞানীদের আসল প্রশ্নটা আরো গভীর:

তরঙ্গটা দূর থেকে এল, ঢিলটার সাথে কী হল — সেটা না দেখে — শুধু দূরে গিয়ে তরঙ্গটা কেমন হল সেটা মেপে কি বোঝা যাবে মাঝখানে কী ঘটেছিল?

এটাই scattering theory (বিক্ষেপণ তত্ত্ব)-এর কেন্দ্রীয় প্রশ্ন।

Physics-এ এই প্রশ্নটা মৌলিক। একটা কণা (particle) বা তরঙ্গ অনেক দূর থেকে আসে, কোনো potential (বলক্ষেত্র) বা বাধার (obstacle) সাথে মিথস্ক্রিয়া করে, তারপর আবার দূরে চলে যায়। আমরা মিথস্ক্রিয়ার জায়গাটা সরাসরি দেখতে পারি না — শুধু দেখতে পারি কী এসেছিল আর কী বেরোল। Scattering operator \(S\) এই "কী এল → কী গেল" সম্পর্কটাকে গণিতের ভাষায় লেখে।

গণিতের দৃষ্টিতে, এই তত্ত্ব সংযুক্ত করে: - Hilbert space — তরঙ্গ ও কণার অবস্থা যেখানে থাকে - Unitary groups (Stone-এর উপপাদ্য) — সময়ের সাথে অবস্থা কীভাবে পরিবর্তিত হয় - Spectral theorem — শক্তির (energy) বর্ণালী (spectrum) দেখায় - Lax–Phillips তত্ত্ব — এই তিনটাকে একটা সুন্দর কাঠামোয় বাঁধে

মূল স্বজ্ঞা

Scattering theory = "আসার আগে কেমন ছিল" ও "যাওয়ার পরে কেমন হল" এই দুটো তুলনা করে মাঝখানের মিথস্ক্রিয়া বোঝার চেষ্টা। Scattering operator \(S\) হলো সেই তুলনার গণিতিক প্রকাশ।

---

৭.৭.২ — মুক্ত বিবর্তন বনাম বিক্ষিপ্ত বিবর্তন (Free vs Perturbed Evolution)

ধরো একটা Hilbert space \(H\)-তে দুটো আলাদা "সময়-বিবর্তন" (time evolution) আছে।

মুক্ত বিবর্তন (free evolution): কোনো বাধা বা potential নেই। সময়ের সাথে অবস্থা পরিবর্তিত হয় একটা unitary group \(\{U_0(t)\}_{t \in \mathbb{R}}\) দিয়ে:

\[\psi(t) = U_0(t)\,\psi_0\]

বিক্ষিপ্ত বিবর্তন (perturbed evolution): একটা potential \(V\) বা obstacle আছে। সময়-বিবর্তন হয় আরেকটা unitary group \(\{U(t)\}_{t \in \mathbb{R}}\) দিয়ে:

\[\psi(t) = U(t)\,\psi_0\]

দুটো group-ই unitary — তারা নর্ম (norm) সংরক্ষণ করে। পার্থক্য শুধু কোন "Hamiltonian" (শক্তি-অপারেটর, energy operator) তাদের চালাচ্ছে।

চিত্র ১: বাম দিকে মুক্ত বিবর্তন — তরঙ্গ নির্বিঘ্নে এগিয়ে চলে। ডান দিকে বিক্ষিপ্ত বিবর্তন — potential V(x) (কমলা) তরঙ্গের আকার বদলে দেয়।

Scattering theory-র মূল প্রশ্ন: \(t \to \pm\infty\) গেলে, \(U(t)\psi\) কি \(U_0(t)\phi\) এর মতো দেখায় কোনো \(\phi\)-এর জন্য? অর্থাৎ, অনেক দূরে (সময়ে) কি মুক্ত ও বিক্ষিপ্ত বিবর্তন একই রকম হয়ে যায়?

---

৭.৭.৩ — Wave Operators \(\Omega_\pm\) (তরঙ্গ অপারেটর)

Wave operators (তরঙ্গ অপারেটর) \(\Omega_\pm\) হলো দুটো বিবর্তনের asymptotic (অনন্ত কালের) তুলনা।

সংজ্ঞা: \(\Omega_-\) (incoming wave operator, আগত তরঙ্গ অপারেটর) এবং \(\Omega_+\) (outgoing wave operator, নির্গত তরঙ্গ অপারেটর) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[\Omega_- = \lim_{t \to -\infty} U(t)^* U_0(t)\]

\[\Omega_+ = \lim_{t \to +\infty} U(t)^* U_0(t)\]

(শক্তিশালী অভিসারিতার অর্থে, strong convergence অর্থে।)

স্বজ্ঞা: - \(\Omega_-\phi\) বলে: "যে free state \(\phi\) অতীতে (\(t \to -\infty\)) ছিল, সে full Hilbert space \(H\)-তে কোন অবস্থার সাথে মেলে?" - \(\Omega_+\phi\) বলে: "ভবিষ্যতে (\(t \to +\infty\)) যে free state \(\phi\) হবে, সে full system-এ কোন অবস্থা থেকে আসছে?"

চিত্র ২: \(\Omega_-\) (নীল) অতীতের মুক্ত অবস্থাকে বর্তমান পূর্ণ অবস্থায় নিয়ে যায়। \(\Omega_+\) (লাল) ভবিষ্যতের মুক্ত অবস্থার সাথে তুলনা করে। দুটোই isometric — নর্ম অক্ষুণ্ণ রাখে।

গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

Wave operators \(\Omega_\pm\) isometric (সমদূরত্বিক) — মানে

\[\lVert \Omega_\pm \phi \rVert = \lVert \phi \rVert \quad \text{সব } \phi \text{-এর জন্য।}\]

তারা নর্ম সংরক্ষণ করে কিন্তু সাধারণত surjective (উপরিগামী) নয় — তাই unitary নয়। তবে asymptotically complete (অনন্তকালীন সম্পূর্ণ) হলে \(\Omega_\pm\) উভয়ই unitary হয়।

Intertwining relation (আন্তঃমিলন সম্পর্ক): Wave operators সময়-বিবর্তনকে "আন্তঃমিলন" করে:

\[U(t)\,\Omega_\pm = \Omega_\pm\,U_0(t)\]

এই সম্পর্কটা বলছে: আগে free evolution করে তারপর \(\Omega_\pm\) লাগানো = আগে \(\Omega_\pm\) লাগিয়ে তারপর full evolution করা। দুটো পথ একই জায়গায় যায়।

---

৭.৭.৪ — Scattering Operator \(S\) (বিক্ষেপণ অপারেটর)

Scattering operator (বিক্ষেপণ অপারেটর) \(S\) হলো এই তত্ত্বের মূলবিন্দু:

\[S = \Omega_+^*\,\Omega_-\]

এটা অতীতের মুক্ত অবস্থা থেকে ভবিষ্যতের মুক্ত অবস্থায় নিয়ে যায়।

স্বজ্ঞা: \(S\) বলে — "অনেক আগে যে কণাটা আসছিল, অনেক পরে সে কোথায় যাবে?" অর্থাৎ, মাঝখানের মিথস্ক্রিয়া সরাসরি না দেখে শুধু শুরু ও শেষের তুলনা।

চিত্র ৩: \(S\) দুটো wave operator-এর সংযোজন — \(\Omega_-\) অতীতের free state নিয়ে full system-এ ঢোকে, \(\Omega_+^*\) full system থেকে ভবিষ্যতের free state বের করে। সরাসরি পথ (কমলা) = \(S\)।

উপপাদ্য (Asymptotic Completeness): \(S\) Unitary

যদি wave operators asymptotically complete হয় — মানে \(\text{ran}(\Omega_-) = \text{ran}(\Omega_+)\) — তাহলে

\[S = \Omega_+^*\,\Omega_- \text{ unitary (একক) অপারেটর।}\]

Unitary মানে \(S^* S = SS^* = I\) — \(S\) নর্ম সংরক্ষণ করে এবং তার বিপরীত (inverse) আছে।

স্বজ্ঞা (unitarity): Physics-এ \(S\)-এর unitarity মানে সম্ভাবনা সংরক্ষণ — কণা "হারিয়ে যায় না"। যা এসেছিল, সব কিছু (হয়তো বিভিন্ন দিকে ছড়িয়ে) বেরোয়।

Spectral theorem-এর সাথে সংযোগ: Scattering operator-এর spectrum (বর্ণালী) বিশ্লেষণ করলে মিথস্ক্রিয়ার "শক্তিনির্ভর তথ্য" পাওয়া যায় — কোন শক্তিতে কতটা বিক্ষেপণ হল। এই কাজে spectral theorem অপরিহার্য।

---

৭.৭.৫ — Lax–Phillips আসা-যাওয়া উপস্থান (Incoming/Outgoing Subspaces)

Peter Lax ও Ralph Phillips একটি ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য framework দিয়েছেন যা অনেক বেশি "geometric" (জ্যামিতিক)।

মূল কাঠামো: ধরো \(H\) একটা Hilbert space এবং \(\{U(t)\}\) একটা strongly continuous unitary group।

একটা বন্ধ উপস্থান (closed subspace) \(D_- \subset H\) কে incoming subspace (আগত উপস্থান) বলা হয় যদি:

\[U(t) D_- \subset D_- \quad \text{সব } t \leq 0 \text{-এর জন্য}\]

\[\bigcap_{t \in \mathbb{R}} U(t) D_- = \{0\}\]

\[\overline{\bigcup_{t \in \mathbb{R}} U(t) D_-} = H\]

স্বজ্ঞা: \(D_-\) হলো "অতীত-জ্ঞান"-এর স্থান — অনেক আগের সংকেত যেখানে থাকে। group \(U(t)\) এই স্থানকে সামনে নিয়ে যায় (\(t\) বাড়লে), কিন্তু পিছিয়ে (\(t\) কমলে) \(D_-\)-এর মধ্যেই রাখে। এটা অনেকটা "শুধু অতীত তথ্য ব্যবহার করে ভবিষ্যৎ জানা যায় না" — কারণাল (causal) ব্যবস্থার মতো।

একইভাবে \(D_+ \subset H\) হলো outgoing subspace (নির্গত উপস্থান) — \(t \geq 0\)-এর জন্য \(U(t) D_+ \subset D_+\)।

চিত্র ৪: \(H\)-এর মধ্যে \(D_-\) (নীল, incoming) ও \(D_+\) (সবুজ, outgoing) উপস্থান। মাঝখানে \(K = D_-^\perp \cap D_+^\perp\) হলো scattering residue — মিথস্ক্রিয়ার "অবশিষ্ট" প্রভাব।

Scattering residue (বিক্ষেপণ অবশিষ্ট): যদি \(D_- \perp D_+\) হয়, তাহলে:

\[K = D_-^\perp \cap D_+^\perp = \bigl(D_- \oplus D_+\bigr)^\perp\]

এই \(K\)-তে একটা strongly contractive semigroup \(Z(t)\) কাজ করে, যা \(t \to \infty\) হলে strongly শূন্যে চলে যায়:

\[\lim_{t \to \infty} \lVert Z(t)k \rVert = 0 \quad \text{সব } k \in K \text{-এর জন্য।}\]

\(K\) হলো মিথস্ক্রিয়ার "ছাপ" — অতীত বা ভবিষ্যতের কোনোটাতেই যা সম্পূর্ণভাবে বর্ণনা করা যায় না।

---

৭.৭.৬ — Lax–Phillips প্রতিনিধিত্ব উপপাদ্য (Representation Theorem)

Lax ও Phillips দেখালেন যে strongly contractive semigroup মাত্রেই একটা সুনির্দিষ্ট "canonical form" আছে।

উপপাদ্য (Lax–Phillips Representation Theorem): ধরো \(\{S(t)\}_{t \geq 0}\) একটা strongly contractive semigroup on Hilbert space \(K\) যা strong অর্থে \(0\)-তে চলে যায়। তাহলে কোনো Hilbert space \(N\) ও একটা isometric map \(R : K \to L^2(\mathbb{R}, N)\) আছে যেন:

\[S(t) = R^{-1} P T_t R \quad \text{সব } t \geq 0 \text{-এর জন্য,}\]

যেখানে \(T_t\) হলো \(L^2(\mathbb{R}, N)\)-তে ডানদিকে translation (স্থানান্তর) এবং \(P\) হলো \((-\infty, 0]\)-তে projection।

স্বজ্ঞা: যেকোনো contractive semigroup আসলে \(L^2\) space-এ translation-এর একটা "অংশ" — এটাই Lax–Phillips তত্ত্বের গভীরতম কথা। Translation সহজ, কিন্তু তার projection করা অংশটাই scattering-এর জটিলতা ধরে।

---

৭.৭.৭ — Breit-Wigner Formula: একটি চমৎকার উদাহরণ

Lax–Phillips তত্ত্বের সবচেয়ে সুন্দর উদাহরণ হলো Breit-Wigner formula।

ধরো \(K\) এক-মাত্রিক (one-dimensional) এবং:

\[Z(t)d = e^{-\mu t} d \quad \text{যেখানে } \operatorname{Re}(\mu) > 0\]

এটা পরিষ্কারভাবে একটা contractive semigroup। এখন যদি আমরা \(Z(t)\)-এর "Fourier transform" করি, তাহলে পাই function:

\[\sigma \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{1}{\mu - i\sigma}\]

এর norm-এর বর্গ (square of the norm) proportional হয়:

\[\frac{1}{\mu^2 + \sigma^2}\]

এটাই Breit-Wigner function — scattering cross-section-এর graph-এ একটা "bump" বা "peak"। Physics-এ এই peak দেখলে বোঝা যায়: - একটা অস্থির কণা (unstable particle) আছে - তার lifetime (আয়ুষ্কাল) হলো \(1 / \operatorname{Re}(\mu)\) - bump-এর প্রস্থ (width) তার আয়ুষ্কালের বিপরীত

এই একটা সূত্র থেকে nuclear ও particle physics-এ অগণন unstable particle আবিষ্কার হয়েছে!

চিত্র ৫: scattering event-এর আগে (বাম) ও পরে (ডান) তরঙ্গের অবস্থা। আগে একটা Gaussian packet বাম থেকে আসছে। পরে: কিছু অংশ transmitted (সবুজ, ডানে) আর কিছু reflected (লাল, বাম দিকে ফিরে)। \(S\) operator ঠিক এই mapping-টা করে।

---

৭.৭.৮ — সব একসাথে: Hilbert space, Stone, আর Spectral Theorem

Scattering theory হলো এই বইয়ে শেখা সব বড় ধারণার মিলনস্থল:

১. Hilbert space \(H\): তরঙ্গ ও কণার quantum state (কোয়ান্টাম অবস্থা) থাকে \(L^2(\mathbb{R}^3)\) বা \(L^2(\mathbb{R}, N)\)-এ।

২. Unitary groups (Stone-এর উপপাদ্য): Stone-এর উপপাদ্য (7.6 অধ্যায়) বলে — প্রতিটা strongly continuous unitary group \(\{U(t)\}\) কোনো self-adjoint operator (Hamiltonian \(H_{\text{op}}\)) থেকে আসে:

\[U(t) = e^{itH_{\text{op}}}\]

মুক্ত বিবর্তনের Hamiltonian \(H_0\) (kinetic energy মাত্র) আর বিক্ষিপ্ত বিবর্তনের Hamiltonian \(H = H_0 + V\) (kinetic + potential energy)।

৩. Spectral theorem: Scattering-এর "energy-dependent" বিশ্লেষণ করতে spectral theorem দরকার — Hamiltonian-এর spectrum দেখলে bound states (বন্ধ অবস্থা) ও scattering states (বিক্ষিপ্ত অবস্থা) আলাদা হয়।

৪. Wave operators ও \(S\):

\[\Omega_\pm = \lim_{t \to \pm\infty} e^{itH} e^{-itH_0}, \qquad S = \Omega_+^* \Omega_-\]

৫. Lax–Phillips framework: আসা-যাওয়া উপস্থান \(D_\pm\) দিয়ে একটা পূর্ণাঙ্গ geometric picture।

চিত্র ৬: scattering-এর তিনটি পর্যায় — incoming region (নীল, বাম), interaction region (কমলা, মাঝে), outgoing region (সবুজ, ডান)। নিচে: \(S\) = incoming থেকে outgoing-এর direct mapping।

এক ঝলকে পুরো তত্ত্ব

1. কণা দূর থেকে আসে → free evolution \(U_0(t)\) দিয়ে চলে।

2. Potential-এর কাছে আসতেই full evolution \(U(t)\) শুরু।

3. দূরে চলে গেলে আবার free evolution।

4. \(\Omega_-\) "আসার" এবং \(\Omega_+\) "যাওয়ার" অবস্থা ধরে।

5. \(S = \Omega_+^* \Omega_-\) — মাঝখানে কী হলো জানি না, কিন্তু শুরু থেকে শেষ ম্যাপ করি।

---

৭.৭.৮খ — সাধারণ ভুল ও সতর্কতা

সাধারণ ভুল

ভুল ১: "\(S\) সবসময় unitary।" — না। Asymptotic completeness ধরে নিতে হয়, যা সব potential-এর জন্য সত্য নয়।

ভুল ২: "Wave operators সবসময় exist করে।" — এও শর্তসাপেক্ষ। Potential \(V\) যথেষ্ট দ্রুত শূন্যে না গেলে \(\Omega_\pm\) নাও থাকতে পারে।

ভুল ৩: "\(K\) মানে kernel (শূন্যস্থান)।" — এখানে \(K = D_-^\perp \cap D_+^\perp\) হলো scattering residue space, kernel নয়।

ভুল ৪: "Scattering শুধু physics-এ।" — Lax–Phillips তত্ত্ব number theory, ergodic theory, এমনকি martingale theory-তেও ব্যবহৃত হয়।

---

৭.৭.৯ — এক্সারসাইজ (Exercises)

১. একটা Hilbert space \(H = L^2(\mathbb{R})\) ধরো। Translation group \([U_0(t)f](x) = f(x-t)\) কি একটা strongly continuous unitary group? Stone-এর উপপাদ্যের কোন self-adjoint operator এটা generate করে?

২. দেখাও যে wave operator \(\Omega_-\) isometric, অর্থাৎ \(\lVert \Omega_- \phi \rVert = \lVert \phi \rVert\) সব \(\phi \in H\)-এর জন্য। (Hint: \(U(t)\) এবং \(U_0(t)\) উভয়ই unitary।)

৩. Lax–Phillips-এর incoming subspace-এর সংজ্ঞায় তিনটা শর্ত আছে। প্রতিটা শর্ত কেন দরকার? যদি শর্ত (২) বাদ দেওয়া হয়, তাহলে কী সমস্যা হতে পারে?

৪. Breit-Wigner function \(f(\sigma) = 1/(\mu^2 + \sigma^2)\) এর সর্বোচ্চ মান কোথায়? সেই \(\sigma\)-মানের physical অর্থ কী?

৫. Intertwining relation \(U(t)\,\Omega_\pm = \Omega_\pm\,U_0(t)\) ব্যবহার করে দেখাও যে \(S\) মুক্ত Hamiltonian \(H_0\) দিয়ে commute করে: \([S, U_0(t)] = 0\)। এর physical মানে কী?

৬. \(K = D_-^\perp \cap D_+^\perp\) space-টা \(Z(t)\)-invariant (মানে \(Z(t)K \subset K\)) তা যাচাই করো। (Hint: \(P_+\), \(U(t)\), এবং \(D_+\)-এর সংজ্ঞা ব্যবহার করো।)

---

৭.৭.১০ — সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

প্রশ্ন: \([U_0(t)f](x) = f(x-t)\) কি strongly continuous unitary group? কোন operator generate করে?

উত্তর:

Strongly continuous: যেকোনো \(f \in L^2(\mathbb{R})\) এবং \(t_n \to t\) হলে \(\lVert U_0(t_n)f - U_0(t)f \rVert \to 0\)। এটা translation-এর continuity — \(L^2\) theory-তে এটা standard result।

Unitary: \(\lVert U_0(t)f \rVert^2 = \int |f(x-t)|^2 dx = \int |f(y)|^2 dy = \lVert f \rVert^2\)। তাই \(U_0(t)\) norm-preserving। এবং \(U_0(t)^* = U_0(-t)\), তাই \(U_0(t)^* U_0(t) = I\)।

Generator: Stone-এর উপপাদ্য বলে, generator \(A\) হলো:

\[Af = \lim_{t \to 0} \frac{U_0(t)f - f}{t} = -f'\]

তাই \(U_0(t) = e^{-it \cdot D}\) যেখানে \(D = i\frac{d}{dx}\) (momentum operator, ভরবেগ অপারেটর)।

Physical অর্থ: \(D = i\frac{d}{dx}\) হলো quantum mechanics-এর momentum operator — এটাই "মুক্ত" কণার Hamiltonian-এর মূল অংশ।

২-নং সমাধান দেখাও

প্রশ্ন: \(\lVert \Omega_- \phi \rVert = \lVert \phi \rVert\) প্রমাণ করো।

উত্তর:

সংজ্ঞা অনুযায়ী \(\Omega_- = \lim_{t \to -\infty} U(t)^* U_0(t)\) (strong limit)।

যেকোনো fixed \(t\)-এর জন্য:

\[\lVert U(t)^* U_0(t) \phi \rVert = \lVert U_0(t) \phi \rVert = \lVert \phi \rVert\]

কারণ \(U(t)^*\) unitary (unitary-এর adjoint-ও unitary) এবং \(U_0(t)\) unitary।

Strong limit নর্ম কমায় না বাড়ায় না (অর্থাৎ isometric strong limit-ও isometric) — তাই:

\[\lVert \Omega_- \phi \rVert = \lim_{t \to -\infty} \lVert U(t)^* U_0(t) \phi \rVert = \lVert \phi \rVert \quad \square\]

৩-নং সমাধান দেখাও

প্রশ্ন: তিনটা শর্তের প্রয়োজনীয়তা ও শর্ত (২) বাদ দিলে সমস্যা।

উত্তর:

শর্ত (১): \(U(t)D_- \subset D_-\) for \(t \leq 0\) — এটা বলছে "সময় পিছিয়ে গেলে incoming space নিজেদের মধ্যেই থাকে।" এটা না থাকলে incoming ও outgoing-এর পার্থক্য নেই।

শর্ত (২): \(\bigcap_t U(t) D_- = \{0\}\) — এটা "শুরুতে কোনো তথ্য ছিল না" নিশ্চিত করে। এটা না থাকলে একটা nonzero vector \(h\) আছে যা সব \(U(t)D_-\)-তে আছে — মানে \(h\) কখনো \(D_-\)-এর বাইরে যায় না। তখন \(h\) "আটকে" থাকে, scattering তত্ত্বের "তথ্য ছড়িয়ে যায়" ধারণাটা ভেঙে পড়ে।

শর্ত (৩): \(\overline{\bigcup_t U(t) D_-} = H\) — \(D_-\) থেকে পুরো space generate হয়। এটা না থাকলে \(H\)-এর কিছু অংশ incoming subspace-এর সাথে কোনো সম্পর্ক নেই — scattering-এর বাইরের অংশ থাকবে।

৪-নং সমাধান দেখাও

প্রশ্ন: Breit-Wigner function-এর সর্বোচ্চ মান ও physical অর্থ।

উত্তর:

\[f(\sigma) = \frac{1}{\mu^2 + \sigma^2}\]

যেখানে \(\mu = \mu_R + i\mu_I\) (complex), কিন্তু Breit-Wigner সাধারণত real \(\mu_R > 0\), \(\mu_I = E_0\) (resonance energy) দিয়ে লেখা হয়:

\[f(\sigma) = \frac{1}{(\sigma - E_0)^2 + \Gamma^2/4}\]

যেখানে \(\Gamma = 2\mu_R\) (width)।

সর্বোচ্চ: \(\sigma = E_0\), মান \(= 4/\Gamma^2\)।

Physical অর্থ: \(\sigma = E_0\) হলো resonance energy (অনুনাদ শক্তি) — ঠিক এই শক্তিতে scattering cross-section সর্বোচ্চ। \(\Gamma\) হলো "width" — এর সাথে সম্পর্কিত particle-এর lifetime: \(\tau = \hbar / \Gamma\)। Narrow peak মানে long-lived particle।

৫-নং সমাধান দেখাও

প্রশ্ন: দেখাও \([S, U_0(t)] = 0\)।

উত্তর:

Intertwining relation: \(U(t)\Omega_\pm = \Omega_\pm U_0(t)\)।

Adjoint নিলে: \(\Omega_\pm^* U(t)^* = U_0(t)^* \Omega_\pm^* = U_0(-t) \Omega_\pm^*\)।

তাহলে:

\[S U_0(t) = \Omega_+^* \Omega_- U_0(t) = \Omega_+^* U(t) \Omega_-\]

আবার:

\[U_0(t) S = U_0(t) \Omega_+^* \Omega_- = \Omega_+^* U(t) \Omega_-\]

দুটো সমান, তাই \(SU_0(t) = U_0(t)S\), অর্থাৎ \([S, U_0(t)] = 0\)।

Physical অর্থ: \(S\) মুক্ত Hamiltonian-এর সাথে commute করে — মানে scattering process-এ energy (শক্তি) সংরক্ষিত হয়। শক্তি বদলায় না, শুধু momentum-এর দিক বদলায়।

৬-নং সমাধান দেখাও

প্রশ্ন: \(Z(t)K \subset K\) প্রমাণ করো।

উত্তর:

\(K = D_-^\perp \cap D_+^\perp\)। \(x \in K\) নিন। দেখাতে হবে \(Z(t)x \in K\)।

Sternberg-এর উপপাদ্য অনুযায়ী \(Z(t) = P_+ U(t)\) যেখানে \(P_+\) হলো \(D_+^\perp\)-তে projection।

\(Z(t)x \in D_-^\perp\): \(x \in D_-^\perp\) মানে \((x, d) = 0\) সব \(d \in D_-\)-এর জন্য।

\[\bigl(P_+ U(t)x, d\bigr) = \bigl(U(t)x, P_+ d\bigr)\]

\(d \in D_-\) হলে \(P_+ d \in D_-\) (কারণ \(D_- \subset D_+^\perp\) এবং \(P_+\) ঐ অংশে identity)। তাই \(P_+ d \in D_-\)।

আবার \(U(-t) D_- \subset D_-\) (for \(t \geq 0\), incoming condition থেকে) তাই \(U(t)^* D_- \subset D_-\)।

সুতরাং \((U(t)x, P_+ d) = (x, U(t)^* P_+ d) = 0\) কারণ \(U(t)^* P_+ d \in D_-\) এবং \(x \perp D_-\)।

\(Z(t)x \in D_+^\perp\): \(P_+ U(t)x \in D_+^\perp\) সরাসরি \(P_+\)-এর definition থেকে (\(P_+\) projects onto \(D_+^\perp\))।

তাই \(Z(t)x \in D_-^\perp \cap D_+^\perp = K\)। \(\square\)

---

৭.৭.১১ — সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে যা দেখলাম

• [ ] Free vs perturbed evolution: দুটো unitary group \(U_0(t)\) ও \(U(t)\) — একটা potential ছাড়া, একটা সহ।

• [ ] Wave operators \(\Omega_\pm\): \(t \to \pm\infty\) সীমায় দুটো evolution-এর asymptotic তুলনা; isometric কিন্তু সাধারণত unitary নয়।

• [ ] Intertwining relation: \(U(t)\Omega_\pm = \Omega_\pm U_0(t)\) — দুটো evolution "commute" করে wave operators-এর মাধ্যমে।

• [ ] Scattering operator \(S = \Omega_+^* \Omega_-\): অতীতের free state থেকে ভবিষ্যতের free state; asymptotic completeness হলে unitary।

• [ ] Lax–Phillips subspaces \(D_\pm\): incoming ও outgoing closed subspace; তিনটা axiom।

• [ ] Scattering residue \(K\): \(D_-^\perp \cap D_+^\perp\) — মিথস্ক্রিয়ার "আঘাতের দাগ"; strongly contractive semigroup \(Z(t)\) এখানে কাজ করে।

• [ ] Representation theorem (Lax–Phillips): যেকোনো strongly contractive semigroup আসলে \(L^2\) space-এ truncated translation।

• [ ] Breit-Wigner formula: scattering cross-section-এর "bump" — resonance-এর গণিত; \(1/(\mu^2+\sigma^2)\)।

• [ ] সংযোগ: Hilbert space + Stone-এর উপপাদ্য + Spectral theorem → scattering theory।

---

➡️ 🎉 সমাপ্তি: অভিনন্দন! তুমি "থিওরি অব ম্যাথ"-এর Part 0 থেকে Part 7 — পুরোটা শেষ করলে। এক নজরে পুরো পথ: রোডম্যাপ।