4.8 — Lᵖ Banach ও Duality

এই অধ্যায়ে কী শিখব: \(L^p\) space (এলপি স্পেস) সম্পূর্ণ — অর্থাৎ এটা একটা Banach space (ব্যানাখ স্পেস)। এই সত্যের মূলে আছে Riesz–Fischer theorem (রিস–ফিশার উপপাদ্য)। এরপর দেখব duality (দ্বৈততা): \((L^p)^* \cong L^{p'}\) — মানে \(L^p\)-এর প্রতিটা bounded linear functional (বাউন্ডেড লিনিয়ার ফাংশনাল) আসলে কোনো \(g \in L^{p'}\)-এর সাথে \(\int fg\) আকারে লেখা যায়। বিশেষ ক্ষেত্র: \(L^2\) নিজেই নিজের dual, আর \((L^\infty)^*\) শুধু \(L^1\)-এর চেয়ে বড়।

উৎস (source): Riesz, Fischer (Riesz–Fischer); duality।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়ে (4.7) আমরা \(L^p\) space-এর norm (নর্ম) শিখেছি: Hölder আর Minkowski inequality। কিন্তু একটা বড় প্রশ্ন বাকি ছিল:

\(L^p\) কি সম্পূর্ণ (complete)? অর্থাৎ, \(L^p\)-এ কোনো Cauchy sequence থাকলে কি তার limit-ও \(L^p\)-এর মধ্যে থাকবে?

এই প্রশ্নটা গুরুত্বপূর্ণ কারণ analysis-এর সব কাজ — convergence, approximation, differential equation — নির্ভর করে completeness-এর উপর। Completeness ছাড়া একটা space হলো \(\mathbb{Q}\)-এর মতো: সব limit খুঁজলে পাওয়া যায় না।

উত্তর হলো: হ্যাঁ, \(L^p\) সম্পূর্ণ। এই ফলাফলটাই Riesz–Fischer theorem। এর মানে \(L^p\) একটা Banach space।

দ্বিতীয় প্রশ্ন: \(L^p\)-এর dual space (দ্বৈত স্থান) কী? কোনো normed space \(V\)-এর dual \(V^*\) হলো সব bounded linear functional-এর সংগ্রহ। \(L^p\)-এর dual বের করলে একটা সুন্দর symmetry দেখা যায়: \(p\) আর তার "conjugate" \(p'\) (যেখানে \(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1\)) দুটো space একে অপরের dual।

মূল স্বজ্ঞা

ভাবো \(L^p\)-এর প্রতিটা "linear measurement" (bounded linear functional) আসলে একটা ওজন-ফাংশন দিয়ে গড় নেওয়া। সেই ওজন-ফাংশনটাই থাকে \(L^{p'}\)-এ।

২. মূল ধারণা (Core idea)

Completeness-এর চাবিকাঠি: Absolutely Convergent Series

Banach space-এর একটা চমৎকার characterization আছে: একটা normed space \(V\) হলো Banach space যদি এবং কেবল যদি প্রতিটা absolutely convergent series (নিরঙ্কুশভাবে অভিসৃত ধারা) converge করে — অর্থাৎ

\[\sum_{k=1}^\infty \lVert g_k \rVert < \infty \implies \sum_{k=1}^\infty g_k \text{ converges in } V.\]

Riesz–Fischer-এর proof এই idea ব্যবহার করে। কোনো Cauchy sequence \(f_1, f_2, \ldots\) পেলে একটা subsequence বেছে নেওয়া যায় যেখানে পরপর দুটোর দূরত্বের সিরিজ absolutely converge করে।

চিত্র ১: বাঁয়ে: terms \(\lVert f_k - f_{k-1} \rVert_p\) দ্রুত শূন্যে যাচ্ছে, total sum finite। ডানে: partial sums \(L^p\)-এর একটা limit-এ converge করছে — পুরোটা \(L^p\)-এর মধ্যেই থাকে।

Lᵖ হলো Banach Space — একটা ছবি

\(L^p\) একটা বিশাল "space"। Cauchy sequence মানে এর মধ্যে একটা চেইন যেটা ক্রমে একটা বিন্দুর দিকে সরে যাচ্ছে। Completeness মানে: সেই বিন্দুটাও \(L^p\)-এর মধ্যে।

চিত্র ২: \(L^p(\mu)\) space-এর ভেতরে Cauchy sequence \(f_1, f_2, \ldots\) একটা limit \(f\)-এর দিকে সরছে। Completeness মানে \(f\)-ও \(L^p\)-এর মধ্যেই আছে — space-এর বাইরে "পালাতে" পারে না।

Duality Pairing — \(\int fg\)

\(L^p\)-এর dual space বোঝার মূল idea: প্রতিটা \(g \in L^{p'}\) একটা bounded linear functional \(\varphi_g: L^p \to \mathbb{F}\) তৈরি করে:

\[\varphi_g(f) = \int f \cdot g \, d\mu.\]

Hölder inequality (4.7) নিশ্চিত করে এই integral-টা finite এবং \(\lVert \varphi_g \rVert = \lVert g \rVert_{p'}\)।

চিত্র ৩: \(L^p\)-এর \(f\) আর \(L^{p'}\)-এর \(g\) একসাথে একটা scalar তৈরি করে \(\int fg\,d\mu\)। এই pairing-টাই duality। Hölder দিয়ে প্রমাণ হয় \(\lVert\varphi_g\rVert = \lVert g\rVert_{p'}\)।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য (Definitions & Theorems)

\(L^p(\mu)\) Space — আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

আগের অধ্যায়ে (4.7) আমরা \(\mathcal{L}^p(\mu)\) দেখেছিলাম: সব measurable (পরিমাপযোগ্য) \(f\) যাদের \(\int \lvert f\rvert^p \, d\mu < \infty\)। কিন্তু এখানে সমস্যা: দুটো function যদি a.e. (প্রায় সর্বত্র) সমান হয়, তাহলে তাদের norm একই কিন্তু তারা আলাদা function।

সংজ্ঞা: \(L^p(\mu)\) (Axler 7.16)

\(\mu\) একটা measure হলে \(L^p(\mu)\) হলো \(\mathcal{L}^p(\mu)\)-এর equivalence class (সাদৃশ্য শ্রেণি) দিয়ে তৈরি space, যেখানে দুটো function সমতুল্য যদি তারা \(\mu\)-almost everywhere সমান হয়।

এই space-এ norm:

\[\lVert \tilde{f} \rVert_p = \lVert f \rVert_p = \left(\int \lvert f\rvert^p \, d\mu\right)^{1/p}\]

\(1 \le p < \infty\)-এর জন্য। \(L^\infty\)-এ \(\lVert f\rVert_\infty = \mathrm{ess\,sup}\, \lvert f\rvert\)।

গণিতবিদরা সাধারণত "pretend" করেন যে \(L^p\)-এর elements function, কিন্তু মাথায় রাখেন যে a.e. সমান হলে একই ধরা হচ্ছে।

Riesz–Fischer Theorem (রিস–ফিশার উপপাদ্য)

উপপাদ্য 7.24 (Axler): \(L^p(\mu)\) is a Banach space

\(\mu\) একটা measure, \(1 \le p \le \infty\) হলে \(L^p(\mu)\) একটা Banach space (সম্পূর্ণ নরমযুক্ত ভেক্টর স্থান)।

এই উপপাদ্যটাকেই ঐতিহাসিকভাবে Riesz–Fischer theorem বলা হয়, যদিও Axler এটাকে 7.24 নম্বরে রেখেছেন।

Proof sketch (\(1 \le p < \infty\))

মূল কৌশল: Cauchy sequence-এর একটা subsequence নিই যেখানে consecutive terms-এর norm-এর series সংযুক্ত হয়।

ধাপ ১ — subsequence বাছাই। \(f_1, f_2, \ldots\) Cauchy sequence। একটা subsequence \(f_{k_1}, f_{k_2}, \ldots\) বেছে নেওয়া যায় যেন

\[\sum_{m=1}^\infty \lVert f_{k_{m+1}} - f_{k_m} \rVert_p < \infty.\]

ধাপ ২ — telescoping sum ও MCT। Define করো

\[g_m(x) = \sum_{j=1}^m \lvert f_{k_{j+1}}(x) - f_{k_j}(x)\rvert, \quad g(x) = \lim_{m\to\infty} g_m(x).\]

Minkowski inequality ও Monotone Convergence Theorem (MCT) দিয়ে:

\[\int g^p \, d\mu \le \left(\sum_{m=1}^\infty \lVert f_{k_{m+1}} - f_{k_m} \rVert_p\right)^p < \infty.\]

তাই \(g(x) < \infty\) for almost every \(x\)।

ধাপ ৩ — pointwise limit। যেহেতু \(g\) finite a.e., প্রতিটা telescoping series converge করে। Define করো:

\[f(x) = f_{k_1}(x) + \sum_{m=1}^\infty \bigl(f_{k_{m+1}}(x) - f_{k_m}(x)\bigr) = \lim_{m\to\infty} f_{k_m}(x).\]

এই \(f\) exists a.e. এবং \(\lvert f(x)\rvert \le g(x)\) a.e., তাই \(f \in L^p(\mu)\)।

ধাপ ৪ — norm convergence। Fatou's Lemma দিয়ে দেখানো যায় \(\lVert f_{k_m} - f\rVert_p \to 0\)। Original sequence Cauchy ছিল বলে পুরো sequence-ও \(f\)-এ converge করে। \(\square\)

চিত্র ৪: Riesz–Fischer proof-এর চারটা ধাপ: Cauchy sequence থেকে subsequence, telescoping sum দিয়ে \(g\), MCT দিয়ে finiteness, Fatou দিয়ে norm convergence।

Conjugate Exponents — \(p\) ও \(p'\)

সংজ্ঞা: Conjugate Exponent (সংযুগী সূচক)

\(1 \le p \le \infty\) হলে এর conjugate exponent \(p'\) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1.\]

বিশেষ ক্ষেত্র: \(p = 1 \Rightarrow p' = \infty\); \(p = 2 \Rightarrow p' = 2\); \(p = \infty \Rightarrow p' = 1\)।

চিত্র ৫: বাঁয়ে: \(p\) বনাম \(q = p'\) এর hyperbolic curve — symmetric, \(p=2\)-তে self-crossing। ডানে: \((L^p)^* \cong L^{p'}\) isometric isomorphism-এর diagram।

Duality Theorem: \((L^p)^* \cong L^{p'}\)

উপপাদ্য 7.25 (Axler): Natural map \(L^{p'} \to (L^p)^*\) preserves norms

\(\mu\) একটা measure, \(1 < p \le \infty\) হলে: প্রতিটা \(h \in L^{p'}(\mu)\)-এর জন্য define করো

\[\varphi_h(f) = \int f \cdot h \, d\mu, \quad f \in L^p(\mu).\]

তাহলে \(h \mapsto \varphi_h\) একটা one-to-one linear map \(L^{p'}(\mu) \to (L^p(\mu))^*\), এবং

\[\lVert \varphi_h \rVert = \lVert h \rVert_{p'}.\]

Proof sketch। Hölder inequality দেয় \(\lvert \varphi_h(f)\rvert \le \lVert h\rVert_{p'} \lVert f\rVert_p\), তাই \(\lVert \varphi_h\rVert \le \lVert h\rVert_{p'}\)। Reverse inequality-র জন্য একটা specific \(f\) construct করা হয়: \(f = \lvert h\rvert^{p'-1} \cdot \mathrm{sgn}(h)\), যা দেয় \(\varphi_h(f) = \lVert h\rVert_{p'}^{p'}\) এবং \(\lVert f\rVert_p = \lVert h\rVert_{p'}^{p'-1}\)। তাই equality পাওয়া যায়। \(\square\)

এই map শুধু injective (এক-এক), surjective (উপরে) কিনা সেটা আলাদা প্রশ্ন এবং \(\sigma\)-finite measure-এর ক্ষেত্রে সত্য। \(\ell^p\)-এর ক্ষেত্রে সরাসরি প্রমাণ করা যায়:

উপপাদ্য 7.26 (Axler): \((\ell^p)^* \cong \ell^{p'}\)

\(1 \le p < \infty\) হলে \(b \mapsto \varphi_b\) একটা isometric isomorphism (আইসোমেট্রিক সমরূপতা) \(\ell^{p'} \to (\ell^p)^*\), যেখানে

\[\varphi_b(a) = \sum_{k=1}^\infty a_k b_k.\]

Proof sketch। প্রতিটা \(\varphi \in (\ell^p)^*\)-এর জন্য \(b_k = \varphi(e_k)\) রাখো (\(e_k\) হলো \(k\)-তম standard basis vector)। দেখানো যায় \(b \in \ell^{p'}\) এবং \(\varphi = \varphi_b\)। \(\square\)

Hölder's Inequality — Duality-এর ভিত্তি

উপপাদ্য: Hölder's Inequality (হেল্ডার উপমিতি)

\(1 \le p \le \infty\), \(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1\) হলে: \(f \in L^p(\mu)\) ও \(g \in L^{p'}(\mu)\) থাকলে \(fg \in L^1(\mu)\) এবং

\[\int \lvert fg\rvert \, d\mu \le \lVert f\rVert_p \cdot \lVert g\rVert_{p'}.\]

এটা duality map-এর নির্মাণে অপরিহার্য — এটা নিশ্চিত করে \(\varphi_g\) bounded।

চিত্র ৬: বাঁয়ে: Young's inequality \(ab \le a^p/p + b^q/q\) (solid) বনাম \(ab\) (dashed) — Hölder-এর মূল ভিত্তি। ডানে: \(\lvert f\rvert \cdot \lvert g\rvert\)-এর area (লাল) সবসময় \(\lVert f\rVert_p \cdot \lVert g\rVert_{p'}\)-এর নিচে।

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: \(L^2([0,1])\)-এ Riesz–Fischer

\(f_k(x) = \sin(k\pi x)\) on \([0,1]\)। এরা \(L^2\)-এ Cauchy না (norm = \(1/\sqrt{2}\) সবার জন্য)। কিন্তু \(L^2\)-এ Cauchy sequence সবসময় converge করে — এটাই Riesz–Fischer।

Fourier theory-তে এটা গুরুত্বপূর্ণ: Parseval's theorem (পার্সেভাল উপপাদ্য) বলে \(\sum \lvert \hat{f}(n)\rvert^2 < \infty\) হলে \(\sum \hat{f}(n) e^{2\pi i n x}\) একটা \(L^2\)-function-এ converge করে।

উদাহরণ ২: \(\ell^2\)-তে Duality

\(\ell^2\)-তে \(a = (a_1, a_2, \ldots)\) ও \(b = (b_1, b_2, \ldots)\) দিলে \(\varphi_b(a) = \sum a_k b_k\)। Cauchy–Schwarz (Hölder for \(p=2\)):

\[\left\lvert \sum a_k b_k \right\rvert \le \left(\sum \lvert a_k\rvert^2\right)^{1/2} \left(\sum \lvert b_k\rvert^2\right)^{1/2} = \lVert a\rVert_2 \lVert b\rVert_2.\]

এখানে \(p = p' = 2\), তাই \((\ell^2)^* \cong \ell^2\) — \(\ell^2\) নিজেই নিজের dual।

উদাহরণ ৩: \(L^3\) ও \(L^{3/2}\)

\(p = 3\), \(p' = 3/2\)। Duality: প্রতিটা bounded linear functional on \(L^3(\mu)\) হলো \(\varphi_g(f) = \int fg\,d\mu\) কোনো \(g \in L^{3/2}(\mu)\)-এর জন্য। Hölder দেয়:

\[\int \lvert fg\rvert \le \lVert f\rVert_3 \lVert g\rVert_{3/2}.\]

Analogy: "Radio and Frequency"

Duality-কে ভাবো এভাবে: \(L^p\) হলো "signal space" আর \(L^{p'}\) হলো "filter space"। প্রতিটা filter \(g\) একটা "measurement" করে signal \(f\)-এর উপর: \(\int fg\)। দুটো space conjugate exponent দিয়ে coupled — একটার \(p\) বাড়লে অন্যটার \(p'\) কমে। \(p = p' = 2\) মানে signal ও filter একই ধরনের — এটাই \(L^2\)-এর self-duality।

৫. \(L^2\)-এর Self-Duality এবং Hilbert Space Preview

উপপাদ্য: \(L^2\) is Self-Dual

\((L^2(\mu))^* \cong L^2(\mu)\) isometrically।

কারণ: \(p = 2 \Rightarrow p' = 2\)। তাই duality map \(h \mapsto \varphi_h\) একটা isometric isomorphism \(L^2 \to (L^2)^*\)।

এই self-duality আসলে \(L^2\)-এর inner product (অন্তর্জ গুণফল) এর ফলাফল:

\[\langle f, g \rangle = \int f \cdot \overline{g} \, d\mu.\]

Inner product থেকে norm আসে: \(\lVert f\rVert_2 = \sqrt{\langle f, f\rangle}\)। এই structure-টাই \(L^2\) কে একটা Hilbert space (হিলবার্ট স্পেস) করে তোলে — যা Part 5-এর বিষয়।

চিত্র ৭: \(L^2(\mu)\) নিজেই নিজের সাথে pair করে: \(\langle f, g\rangle = \int fg\,d\mu\)। \(p = 2 \Rightarrow p' = 2\) — unique self-dual case। এটাই Hilbert space structure-এর দরজা।

৬. \((L^\infty)^* \ne L^1\) — সাবধানতার জায়গা

\(p = 1\) হলে \(p' = \infty\)। \(\sigma\)-finite measure-এর ক্ষেত্রে \((L^1)^* \cong L^\infty\) সত্য। কিন্তু উল্টোটা?

Caveat: \((L^\infty)^* \ne L^1\)

\(L^\infty(\mu)\)-এর dual \((L^\infty)^*\) সাধারণত \(L^1\)-এর চেয়ে strictly larger।

\((L^\infty)^*\)-তে এমন bounded linear functional আছে যেটা কোনো \(L^1\) function দিয়ে লেখা যায় না। উদাহরণ: Banach limit (ব্যানাখ লিমিট) — \(\ell^\infty\)-এর উপর এমন একটা linear functional যা convergent sequence-এ limit দেয়, কিন্তু সেটা \(\ell^1\)-এর কোনো \(b\) দিয়ে \(\sum a_k b_k\) আকারে লেখা যায় না।

কারণটা হলো \(\ell^\infty\) separable (পৃথকযোগ্য) নয় — তাই dual অনেক বড়। Hahn–Banach theorem (4.5 অধ্যায়) দিয়ে এই অতিরিক্ত functional-গুলো construct করা যায়।

চিত্র ৮: বাঁয়ে: \(\sigma\)-finite measure-এ \((L^1)^* \cong L^\infty\) — duality pairing \(\int fg\)। ডানে: \((L^\infty)^*\) হলো \(L^1\)-এর চেয়ে অনেক বড় — Banach limit-সহ অতিরিক্ত functional আছে।

৭. সাধারণ ভুল (Common mistakes)

1. \(\mathcal{L}^p\) বনাম \(L^p\) গুলিয়ে ফেলা। \(\mathcal{L}^p\) হলো actual function-দের space, \(L^p\) হলো equivalence class। \(L^p\)-তে "element" বলতে একটা function নয়, a.e.-সমান সব function-দের ক্লাস। এটা norm-এর জন্য জরুরি: \(L^p\)-তে \(\lVert f\rVert_p = 0 \Rightarrow f = 0\) সত্য, কিন্তু \(\mathcal{L}^p\)-তে নয়।

2. Duality শুধু \(\sigma\)-finite measure-এ। Theorem 7.25-এর surjectivity সব measure-এ সত্য নয় — \(\sigma\)-finite দরকার। সাধারণ measure-এ শুধু injectivity সত্য।

3. \(p=1\) হলে Duality উল্টো। \((L^1)^* \cong L^\infty\), কিন্তু \((L^\infty)^* \not\cong L^1\)। এই asymmetry ভুলে গেলে বড় ভুল।

4. Riesz–Fischer proof-এ subsequence কেন লাগে। সরাসরি Cauchy sequence দিয়ে কাজ না করে subsequence বাছাই করা হয়। কারণ absolutely convergent সিরিজের existence-ই guarantee করে pointwise limit।

5. Conjugate exponent ভুল। \(p = 3\)-এর conjugate \(p' = 3/2\) (কারণ \(1/3 + 2/3 = 1\)), কিন্তু অনেকে \(p' = 2/3\) লিখে ফেলে — এটা ভুল।

৮. এক্সারসাইজ (Exercises)

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

1. Conjugate exponent। \(p = 4/3\) হলে \(p'\) কত? নিশ্চিত করো \(1/p + 1/p' = 1\)।

2. Cauchy ⇒ Banach। দেখাও: একটা normed space \(V\) তখনই Banach যখন \(\sum \lVert g_k\rVert < \infty \Rightarrow \sum g_k\) converges। (একদিক দাও — Banach হলে absolutely convergent series converge করে।)

3. Duality pairing। \(f = \chi_{[0,1/2]}\) on \([0,1]\) এবং \(g(x) = x\) নাও। \(p=2\), \(p'=2\)। \(\varphi_g(f) = \int_0^1 f(x) x \, dx\) হিসাব করো। Holder inequality verify করো।

4. \(\ell^2\) self-duality। \(a = (1, 1/2, 1/4, \ldots)\) নাও। \(\lVert a\rVert_2\) বের করো। Define করো \(\varphi_a: \ell^2 \to \mathbb{R}\) by \(\varphi_a(b) = \sum a_k b_k\)। দেখাও \(\lVert \varphi_a\rVert = \lVert a\rVert_2\)।

5. Hölder equality condition। Hölder inequality-তে equality \(\int \lvert fg\rvert = \lVert f\rVert_p \lVert g\rVert_{p'}\) কখন হয়? \(p = 2\)-এর ক্ষেত্রে উদাহরণ দাও।

6. \((L^\infty)^* \ne L^1\)। Hahn–Banach ব্যবহার করে (বা ধরে নিয়ে) দেখাও: \(\ell^\infty\)-তে এমন একটা bounded linear functional \(\varphi\) আছে যা \(\varphi(a) = \lim_k a_k\) দেয় convergent sequence-এর জন্য, কিন্তু কোনো \(b \in \ell^1\) নেই যার জন্য \(\varphi(a) = \sum a_k b_k\) সব \(a \in \ell^\infty\)-এর জন্য।

7. \(L^p\) completeness তুলনা। \(L^\infty([0,1])\)-এ \(f_n(x) = x^n\) নাও। \(\lVert f_n - f\rVert_\infty\) বের করো সব সম্ভাব্য \(f\)-এর জন্য। এটা \(L^\infty\)-এ converge করে কিনা?

8. Riesz–Fischer subsequence। \(L^1([0,1])\)-তে \(f_k = k \chi_{[0, 1/k^2]}\) নাও। দেখাও \(\lVert f_k\rVert_1 = 1/k \to 0\) কিন্তু \(\sum \lVert f_{k+1} - f_k\rVert_1 < \infty\)। এই sequence কোন \(L^1\) function-এ converge করে?

৯. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(p = 4/3\) হলে:

\[\frac{1}{p'} = 1 - \frac{1}{p} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\]

তাই \(p' = 4\)।

যাচাই: \(\frac{1}{4/3} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\) ✓।

২-নং সমাধান দেখাও

ধরো \(V\) Banach। ধরো \(\sum_{k=1}^\infty \lVert g_k\rVert = M < \infty\)।

Partial sum \(S_n = \sum_{k=1}^n g_k\) নাও। \(n > m\) হলে:

\[\lVert S_n - S_m\rVert = \left\lVert \sum_{k=m+1}^n g_k \right\rVert \le \sum_{k=m+1}^n \lVert g_k\rVert.\]

যেহেতু \(\sum \lVert g_k\rVert\) converge করে, tail \(\sum_{k=m+1}^n \lVert g_k\rVert \to 0\) as \(m \to \infty\)। তাই \((S_n)\) Cauchy। \(V\) Banach বলে \((S_n)\) converge করে \(V\)-তে। \(\square\)

৩-নং সমাধান দেখাও

\(f = \chi_{[0,1/2]}\), \(g(x) = x\), \(p = p' = 2\)।

\[\varphi_g(f) = \int_0^1 \chi_{[0,1/2]}(x) \cdot x \, dx = \int_0^{1/2} x \, dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^{1/2} = \frac{1}{8}.\]

Hölder: \(\lVert f\rVert_2 = \left(\int_0^{1/2} 1 \, dx\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)।

\(\lVert g\rVert_2 = \left(\int_0^1 x^2 \, dx\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)।

Hölder bound: \(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408\)।

আমাদের \(\varphi_g(f) = 1/8 = 0.125 \le 0.408\) ✓।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(a_k = (1/2)^{k-1}\), তাই:

\[\lVert a\rVert_2^2 = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{2(k-1)} = \sum_{j=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^j = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}.\]

তাই \(\lVert a\rVert_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\)।

\(\lVert \varphi_a\rVert = \sup_{\lVert b\rVert_2 \le 1} \lvert \varphi_a(b)\rvert = \lVert a\rVert_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\)।

(\(\ell^2\)-self-duality: \(\lVert \varphi_a\rVert = \lVert a\rVert_2\)।)

৫-নং সমাধান দেখাও

Hölder equality হয় যখন Young's inequality equality হয়, অর্থাৎ যখন \(\lvert f(x)\rvert^p\) এবং \(\lvert g(x)\rvert^{p'}\) proportional:

\[\lvert f(x)\rvert^p = c \cdot \lvert g(x)\rvert^{p'} \quad \text{a.e.}\]

কোনো constant \(c > 0\)-এর জন্য।

\(p = 2\) উদাহরণ: \(f = g = \chi_{[0,1]}\) নাও। তাহলে \(\int \lvert fg\rvert = 1\), \(\lVert f\rVert_2 = 1\), \(\lVert g\rVert_2 = 1\)। Equality: \(1 = 1 \cdot 1\) ✓।

আরো সাধারণভাবে \(p=2\)-তে: যেকোনো \(f\), \(g = \lambda f\) নিলে equality পাওয়া যায় (Cauchy–Schwarz equality condition)।

৬-নং সমাধান দেখাও

Hahn–Banach দিয়ে: \(c_0 = \{a \in \ell^\infty : \lim_k a_k \text{ exists}\}\) subspace নাও। তার উপর \(\psi(a) = \lim_k a_k\) define করো — এটা bounded linear, \(\lVert \psi\rVert = 1\)।

Hahn–Banach বলে \(\psi\) কে \(\ell^\infty\)-এ extend করা যায় একটা \(\varphi \in (\ell^\infty)^*\)-এ, \(\lVert \varphi\rVert = 1\)।

ধরো কোনো \(b \in \ell^1\) আছে যেন \(\varphi(a) = \sum a_k b_k\) সব \(a\)-এর জন্য। তাহলে \(e_k = (0,\ldots,1,\ldots) \in c_0\)-এর জন্য \(\varphi(e_k) = \lim_j (e_k)_j = 0\), কিন্তু \(\sum (e_k)_j b_j = b_k\)। তাই \(b_k = 0\) সব \(k\)-এর জন্য, মানে \(b = 0\)।

কিন্তু তাহলে \(\varphi \equiv 0\), যা \(\psi(1,1,1,\ldots) = 1\)-এর সাথে বিরোধ। Contradiction। \(\square\)

৭-নং সমাধান দেখাও

\(f_n(x) = x^n\) on \([0,1]\)।

Pointwise: \(x \in [0,1)\)-এ \(x^n \to 0\); \(x=1\)-এ \(f_n(1) = 1\)। তাই pointwise limit হলো \(f = \chi_{\{1\}}\) (a.e. শূন্য)।

\(L^\infty\) convergence:

\[\lVert f_n - f\rVert_\infty = \mathrm{ess\,sup}_{x \in [0,1]} \lvert x^n - \chi_{\{1\}}(x)\rvert = \sup_{x \in [0,1)} x^n = 1\]

(কারণ supremum approach করা যায় কিন্তু পৌঁছানো যায় না)।

তাই \(f_n\) \(L^\infty\)-এ converge করে না। \(L^\infty\)-এ convergence মানে essentially uniform convergence — এখানে \(x \nearrow 1\) হলে \(x^n \to 0\) কিন্তু arbitrarily slowly।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f_k = k \chi_{[0,1/k^2]}\)।

\(\lVert f_k\rVert_1 = k \cdot \frac{1}{k^2} = \frac{1}{k}\)। তাই \(\lVert f_k\rVert_1 \to 0\), sequence \(0 \in L^1\)-এ norm-converge করে।

পরপর দুটোর পার্থক্য: \(\lVert f_{k+1} - f_k\rVert_1 \le \lVert f_{k+1}\rVert_1 + \lVert f_k\rVert_1 = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k}\)।

\(\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k}\right)\) diverge করে। তাই সরাসরি এই estimate কাজে লাগে না।

কিন্তু Riesz–Fischer-এর অর্থ এটা নয়: এখানে \(\lVert f_k\rVert_1 \to 0\) মানে পুরো sequence \(f = 0\)-এ converge করে। Riesz–Fischer বলে: এই sequence Cauchy কারণ \(\lVert f_j - f_k\rVert_1 \le \lVert f_j\rVert_1 + \lVert f_k\rVert_1 \to 0\)। Limit হলো \(f = 0 \in L^1\)।

Pointwise: যেকোনো \(x > 0\)-এর জন্য \(f_k(x) = 0\) যখন \(k > 1/\sqrt{x}\), তাই \(f_k(x) \to 0\) a.e. ✓।

১০. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Riesz–Fischer theorem বলতে পারি: \(L^p(\mu)\) একটা Banach space (\(1 \le p \le \infty\))।
• [ ] Proof-এর strategy জানি: Cauchy sequence, subsequence, absolutely convergent series, pointwise limit, \(L^p\)-এ।
• [ ] Conjugate exponent বের করতে পারি: \(1/p + 1/p' = 1\)।
• [ ] Duality map বুঝি: \(h \mapsto \varphi_h\), \(\varphi_h(f) = \int fh\), norm preserving।
• [ ] \(L^2\) self-dual মানে জানি: \(p = p' = 2\), Hilbert space preview।
• [ ] \((L^\infty)^* \ne L^1\) caveat মনে আছে: \(L^1\)-এর dual \(L^\infty\), কিন্তু উল্টো নয়।
• [ ] Hölder inequality এর ভূমিকা বুঝি: duality map bounded থাকার guarantee।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 5.1 — Inner Product Space; Cauchy–Schwarz — Part 5 শুরু।