9.0 — Highlights of Calculus (ক্যালকুলাসের বড় ছবি)¶
এই অধ্যায়ে কী শিখব: পুরো calculus-এর বড় ছবি — কেন calculus আসলে দুটো জিনিস নিয়ে: slope (ঢাল, derivative/অন্তরজ) আর area (ক্ষেত্রফল, integral/সমাকল) — আর এরা একে অপরের ঠিক বিপরীত। এখানে দেখব distance↔speed ও height↔slope জোড়া (pairs of functions), \(y=x^2\) ও \(y=x^n\)-এর ঢাল কীভাবে বদলায়, limit (সীমা) দিয়ে "এক বিন্দুতে ঢাল"-এর মানে, second derivative (দ্বিতীয় অন্তরজ) ও curve-এর bending (বাঁক), আর calculus-এর সবচেয়ে আশ্চর্য ফাংশন \(y=e^x\) (যার ঢাল নিজেই নিজের সমান)।
উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT), Chapter 0: Highlights of Calculus (sections 0.1–0.5)।
১. কেন শিখব? (Motivation)¶
ধরো তুমি গাড়িতে বসে আছ। সামনের ড্যাশবোর্ডে দুটো মিটার — একটা odometer (দূরত্বমাপক), যা বলে কত কিলোমিটার এসেছ; আরেকটা speedometer (বেগমাপক), যা বলে ঠিক এই মুহূর্তে কত জোরে চলছ। এই দুটো মিটার আসলে একটাই গল্পের দুই দিক:
- speedometer-এর পড়া হলো odometer-এর পড়া কত দ্রুত বাড়ছে তার হিসাব — অর্থাৎ দূরত্বের পরিবর্তনের হার (rate of change)।
- উল্টো দিকে, যদি তুমি পুরো যাত্রায় speedometer-এর পড়া জমা করতে থাকো, তাহলে ঠিক পেয়ে যাবে odometer কত দেখাচ্ছে — অর্থাৎ বেগকে যোগ (sum/accumulate) করলে দূরত্ব ফিরে পাও।
এই একটামাত্র স্বজ্ঞা থেকেই পুরো calculus জন্ম নেয়। Strang-এর ভাষায় — "calculus is about pairs of functions" (calculus হলো ফাংশনের জোড়া নিয়ে)। একটা ফাংশন থেকে তার "কত দ্রুত বদলাচ্ছে"-র হিসাব বের করা হলো differential calculus (অন্তরকলন), আর সেই হার থেকে মূল ফাংশন ফিরে পাওয়া হলো integral calculus (সমাকলন)।
কেন এটা এত গুরুত্বপূর্ণ? কারণ চারপাশের প্রায় সবকিছুই বদলায় — গাড়ির অবস্থান, ব্যাংকের টাকা, জনসংখ্যা, তাপমাত্রা, রকেটের বেগ। "কত দ্রুত বদলাচ্ছে?" আর "সব মিলিয়ে কতটা জমল?" — এই দুটো প্রশ্নের উত্তরই calculus। এই অধ্যায়টা কোনো জটিল হিসাব শেখানোর জন্য নয়; এটা পুরো বিষয়ের মানচিত্র (map) — যাতে সামনের প্রতিটা অধ্যায় ঠিক কোন জায়গায় বসে, তুমি আগেভাগে দেখে নিতে পারো।
মূল স্বজ্ঞা
Calculus মানে দুটো জিনিস, আর তারা পরস্পরের উল্টো:
- derivative (অন্তরজ) = slope (ঢাল) = পরিবর্তনের হার — "ঠিক এখন কত দ্রুত বদলাচ্ছে?"
- integral (সমাকল) = area (ক্ষেত্রফল) = জমা হওয়া মোট — "শুরু থেকে সব মিলিয়ে কতটা জমল?"
speedometer আর odometer যেমন একে অপরকে ফিরিয়ে দেয়, derivative আর integral-ও ঠিক তেমন বিপরীত অপারেশন।
২. মূল ধারণা (Core idea)¶
২.১ ফাংশনের জোড়া — distance ↔ speed, height ↔ slope¶
Strang বইয়ের প্রথম বাক্য: "Calculus is about functions." একটা function (ফাংশন) হলো একটা নিয়ম যা প্রতিটা input \(x\)-কে ঠিক একটা output \(y(x)\)-এর সঙ্গে জোড়ে। Allowed input-গুলোর set হলো domain, আর function থেকে পাওয়া output-গুলোর set হলো range। একটা function তিনভাবে বলা যায়—(১) formula দিয়ে (\(y=2x\)), (২) graph দিয়ে, (৩) input–output pair-এর তালিকা দিয়ে।
শুরুতে তিনটে সহজ ফাংশন নিই — এদের সূত্রে \(2\) আর \(x\) আছে, কিন্তু সম্পূর্ণ ভিন্নভাবে:
- linear (রৈখিক): \(y = 2x\) — একটা সরলরেখা (straight line)।
- squaring (বর্গ): \(y = x^2\) — একটা parabola (পরাবৃত্ত)।
- exponential (সূচকীয়): \(y = 2^x\) — অর্থাৎ "\(2\)-কে \(x\) বার নিজে দিয়ে গুণ"।
\(x = 0, 1, 2, 3, \dots\) বসিয়ে মান দেখলে এদের "দৌড়" (race) বোঝা যায়:
| \(x\) | রেখা \(2x\) | parabola \(x^2\) | exponential \(2^x\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 2 | 4 | 4 | 4 |
| 3 | 6 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 16 | 16 |
| 10 | 20 | 100 | 1024 |
লক্ষ করো: শুরুতে (\(x\) ছোট) রেখা \(2x\) সবচেয়ে দ্রুত ওঠে। কিন্তু \(x = 2\)-তে তিনজনই \(y = 4\)-এ মিলিত হয়। তারপর parabola এগিয়ে যায়, \(x = 4\)-তে exponential-কে ধরে ফেলে (\(4^2 = 16 = 2^4\)), আর তারপর exponential চিরকালের জন্য জিতে যায় (\(x = 10\)-এ \(2^{10} = 1024\) বনাম \(10^2 = 100\))।
কেন এই তিনজনের দৌড় আলাদা? কারণ এদের growth rate (বৃদ্ধির হার) আলাদা:
- সরলরেখা \(2x\) — ধ্রুবক (constant) বৃদ্ধির হার (সবসময় সমান জোরে ওঠে)।
- parabola \(x^2\) — বাড়তে-থাকা (increasing) বৃদ্ধির হার।
- exponential \(2^x\) — সূচকীয়ভাবে বাড়তে-থাকা বৃদ্ধির হার।
Strang জোর দিয়ে বলেন — "calculus is all about growth rates" (calculus পুরোটাই বৃদ্ধির হার নিয়ে)। এখান থেকেই বড় ধারণা: প্রতিটা ফাংশনের সাথে একটা সঙ্গী ফাংশন থাকে — তার বৃদ্ধির হার।
Function (1) আর Function (2) — জোড়া
Calculus সবসময় দুটো ফাংশন একসাথে দেখে:
- Function (1) = মূল ফাংশন (distance/দূরত্ব, height/উচ্চতা)।
- Function (2) = তার পরিবর্তনের হার (speed/বেগ, slope/ঢাল)।
Differential calculus-এর প্রথম কাজ: Function (1)-এর সূত্র থেকে Function (2)-এর সূত্র বের করা।
গাড়ির উদাহরণে এই জোড়াটা সবচেয়ে স্পষ্ট। নিচের ছবিতে উপরে দূরত্ব \(f(t) = t^2\) (odometer), নিচে বেগ \(s(t) = 2t\) (speedometer)। নিচের graph হলো উপরের graph-এর ঢাল, আর উপরের graph হলো নিচের graph-এর নিচের ক্ষেত্রফল — দুটো তীর দুই দিকে দেখাচ্ছে এরা পরস্পরের বিপরীত:
চিত্র ১: উপরে distance (দূরত্ব) \(f(t)=t^2\) — গাড়ির odometer; নিচে speed (বেগ) \(s(t)=2t\) — speedometer। লাল তীর (derivative/অন্তরজ): উপরের curve-এর slope (ঢাল) নিলে নিচের বেগ পাই। সোনালি তীর (integral/সমাকল): নিচের বেগের নিচের area (ক্ষেত্রফল) জমালে উপরের দূরত্ব ফিরে পাই। এরা একে অপরের বিপরীত।
২.২ Slope of a graph — ঢাল মানে খাড়াই, আর "এক বিন্দুতে ঢাল"¶
একটা graph-এর slope (ঢাল) হলো "কতটা উপরে উঠলাম, ভাগ কতটা ডানে গেলাম" — অর্থাৎ distance up ÷ distance across। দুটো বিন্দু \((x_1, y_1)\) আর \((x_2, y_2)\) নিলে:
এখানে গ্রিক অক্ষর \(\Delta\) (delta) মানে "পরিবর্তন (change)"। ঢাল যত বড়, graph তত খাড়া (steep)।
শব্দটাতে "average (গড়)" কেন? কারণ ঢাল নিজেই বদলাতে পারে! সরলরেখা \(y = 2x\)-এর ঢাল সবসময় সমান:
কিন্তু \(y = x^2\)-এর ঢাল জায়গায় জায়গায় আলাদা। \(x_1 = 1\) থেকে \(x_2 = 2\)-এর মধ্যে গড় ঢাল:
কিন্তু \(x_1 = 0\) থেকে \(x_2 = 2\)-এর মধ্যে গড় ঢাল অন্য (\(\frac{4-0}{2-0} = 2\))। তাহলে ঠিক \(x\) বিন্দুতে ঢাল কত? এটাই calculus-এর আসল ও কঠিন প্রশ্ন — কারণ এক বিন্দুতে \(\Delta x = 0\) আর \(\Delta y = 0\), ফলে অনুপাত দাঁড়ায় \(\tfrac{0}{0}\), যার আপাত কোনো মানে নেই!
সমাধান হলো limit (সীমা)। দুটো বিন্দুকে ধীরে ধীরে কাছে আনতে থাকো। তাদের সংযোগকারী রেখাকে বলে chord বা secant line (ছেদক রেখা)। বিন্দু দুটো মিশে গেলে secant গিয়ে দাঁড়ায় tangent line (স্পর্শক রেখা)-এ, যা curve-কে শুধু একটা বিন্দুতে ছোঁয়। এই tangent line-এর ঢালই হলো সেই বিন্দুতে curve-এর ঢাল — যাকে লেখা হয় \(\dfrac{dy}{dx}\):
নিচের ছবিতে \(y = x^2\)-এ এক বিন্দুতে tangent line আর তার rise/run ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে:
চিত্র ২: \(y = x^2\) curve-এ \((1.5,\ 2.25)\) বিন্দুতে tangent line (স্পর্শক রেখা)। tangent-এর slope (ঢাল) = rise ÷ run = \(3 \div 1 = 3\), যা \(2x = 2(1.5) = 3\)-এর সাথে মেলে।
tangent line curve-এর সবচেয়ে কাছের সরল রেখা — স্পর্শবিন্দুর আশেপাশে সে curve-এর প্রায় সমান। এই ভাবনাকে বলে linear approximation (রৈখিক আসন্নীকরণ): বাঁকা curve-কে ছোট্ট এলাকায় সোজা রেখা দিয়ে বদলে ফেলা। বিন্দু \(x_0\)-তে:
চিহ্ন \(\approx\) ("প্রায় সমান") ব্যবহার করছি, কারণ curve বাঁকে বলে \(=\) ভুল হবে। নিচের ছবিতে \(a\) বিন্দুতে tangent line কীভাবে curve-কে আসন্ন করছে দেখানো হয়েছে:
চিত্র ৩: linear approximation (রৈখিক আসন্নীকরণ)। \(a\) বিন্দুতে curve-এর tangent line (স্পর্শক রেখা) নেওয়া হয়েছে; \(x\), \(a\)-এর কাছাকাছি থাকলে curve-এর মান \(f(x)\) প্রায় সমান tangent line-এর উপরের মানের।
২.৩ \(y = x^2\)-এর ঢাল — limit দিয়ে হাতে-কলমে¶
কেন \(x^2\)-এর ঢাল ঠিক \(2x\)? বীজগণিত দিয়ে সরাসরি দেখা যায়। \(x\) থেকে \(x + \Delta x\) পর্যন্ত গেলে:
খেয়াল করো — \(x^2\) আর \(-x^2\) কেটে গেল। যা থাকল তার মধ্যে \(2x\,\Delta x\) হলো first-order term (প্রথম-ক্রম পদ) — এটাই \(\Delta y\)-এর বেশিরভাগ। আর \((\Delta x)^2\) হলো second-order term (দ্বিতীয়-ক্রম পদ) — \(\Delta x\) দিয়ে ভাগের পর এটা \(\Delta x\) হয়ে যায়, যা \(\Delta x \to 0\)-তে মিলিয়ে যায়। তাই:
এই \(2x\)-ই আবার নিজের ঢাল রাখে। \(2x\)-এর ঢাল হলো ধ্রুবক \(2\)। ঢালের ঢালকে বলে second derivative (দ্বিতীয় অন্তরজ), লেখা হয় \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\):
first derivative বলে ফাংশন কত দ্রুত বদলাচ্ছে; second derivative বলে গতি বাড়ছে না কমছে — অর্থাৎ curve উপরের দিকে বাঁকছে (bending up) না নিচের দিকে। \(x^2\)-এর \(\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0\) সবসময় — তাই parabola সবসময় উপরের দিকে বাঁকা, এমনকি \(x < 0\) দিকেও (যেখানে ঢাল \(2x\) ঋণাত্মক, কিন্তু বাঁক তবু উপরের দিকে)। গাড়ির ভাষায় তিনটে স্তর: distance (দূরত্ব) → speed (বেগ, first derivative) → acceleration (ত্বরণ, second derivative)।
২.৪ \(y = x^n\)-এর ঢাল — power rule¶
একই কৌশল \(x^3\)-এ লাগাই:
\(\Delta x \to 0\)-তে থাকে শুধু \(3x^2\)। তাহলে \(x^3\)-এর ঢাল \(3x^2\)। এই নমুনা সব ঘাতের জন্য সত্য — এটাই বিখ্যাত power rule (ঘাত নিয়ম):
মূল কারণ: \((x + \Delta x)^n\) খুললে প্রথম পদ \(x^n\) (কেটে যায়), আর পরের first-order পদটা সবসময় \(n\,x^{n-1}\Delta x\) — \(\Delta x\) দিয়ে ভাগ করলে পাই \(n\,x^{n-1}\)। মজার কথা, এই সূত্র \(n\) ঋণাত্মক, ভগ্নাংশ, বা যেকোনো সংখ্যা হলেও কাজ করে। যেমন \(\dfrac{1}{x} = x^{-1}\)-এর ঢাল \(-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}\); আর \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)-এর ঢাল \(\tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)।
আরেকটা সুন্দর ফল (পরে প্রমাণ হবে): \(y = \sin x\)-এর ঢাল \(\cos x\), আর \(y = \cos x\)-এর ঢাল \(-\sin x\)।
২.৫ Area under a curve — integral-এর প্রথম ঝলক¶
এবার উল্টো দিকে যাই। Function (2) = speed (বেগ) জানা থাকলে Function (1) = distance (দূরত্ব) কীভাবে ফিরে পাই? উত্তর: বেগের graph-এর নিচের area (ক্ষেত্রফল) বের করে।
সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্র — ধ্রুবক বেগ \(s\)। তখন \(t\) সময়ে দূরত্ব \(f = s \cdot t\), আর graph-এর নিচে একটা আয়তক্ষেত্র (rectangle) যার ক্ষেত্রফল = উচ্চতা × ভিত্তি = \(s \cdot t = f\)। মিলে গেল!
কিন্তু বেগ বদলালে? ধরো \(s(t) = 6t\) (সময়ের সাথে জোরে চলছে)। তখন graph-এর নিচে একটা ত্রিভুজ (triangle), যার ক্ষেত্রফল:
আর সত্যিই — \(3t^2\)-এর ঢাল \(6t\), ঠিক আমাদের বেগ! নিচের ছোট ছবিতে (Strang-এর মূল figure) \(s(t) = 6t\)-এর নিচের ত্রিভুজ সরু সরু আয়তক্ষেত্রে (thin rectangles) ভাগ করা হয়েছে:
চিত্র ৪: বেগ \(s(t) = 6t\)-এর নিচের ত্রিভুজাকার area (ক্ষেত্রফল)। সরু সরু আয়তক্ষেত্র (thin rectangles) দিয়ে ভরাট করলে প্রতিটার ক্ষেত্রফল = বেগ × সময়ের ছোট ধাপ; সব যোগ করলে মোট দূরত্ব।
যেকোনো বাঁকা বেগ-curve-এর জন্য কৌশলটা এমন — সময়কে অনেক ছোট ধাপ \(\Delta t\)-তে ভাগ করো, প্রতিটা ধাপে বেগ প্রায় ধ্রুবক ধরে একটা সরু আয়তক্ষেত্র বানাও (উচ্চতা = সেই মুহূর্তের বেগ, প্রস্থ = \(\Delta t\)), তারপর সব আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ করো। ধাপ যত সরু (\(\Delta t \to 0\)), যোগফল তত নিখুঁতভাবে curve-এর নিচের প্রকৃত area-এ পৌঁছায়। এই সীমাকেই বলে integral (সমাকল):
চিত্র ৫: integral = curve-এর নিচের area (ক্ষেত্রফল)। সরু আয়তক্ষেত্রগুলোর (Riemann rectangles) ক্ষেত্রফল যোগ করে মোট area পাওয়া যায় — এখানে বেগ-curve-এর নিচের area মানে মোট distance (দূরত্ব)।
তাই integral হলো যোগের (sum) মতো, আর derivative হলো বিয়োগের (difference) মতো — একটা জমা করে, আরেকটা পার্থক্য মাপে। এরা পরস্পরের বিপরীত (§৩-এ প্রমাণ)।
২.৬ \(y = e^x\) — calculus-এর সবচেয়ে আশ্চর্য ফাংশন¶
এবার calculus-এর "মহান সৃষ্টি"। আমরা চাই এমন একটা ফাংশন \(y(x)\) যার ঢাল নিজেই নিজের সমান:
এটা একটা differential equation (অন্তরকলজ সমীকরণ) — একটা অজানা ফাংশন আর তার নিজের অন্তরজের মধ্যে সম্পর্ক। এর সমাধান হলো বিখ্যাত exponential function \(y = e^x\)।
কীভাবে বানাই? ধাপে ধাপে। শুরুতে \(y = 1\), তাই ঢাল দরকার \(1\)। \(x\)-এর ঢাল \(1\), তাই \(y = 1 + x\) নিই। কিন্তু এখন ঢাল হয়ে গেল \(1\), অথচ \(y = 1 + x\); মিলছে না — তাই ঢালেও \(x\) যোগ করতে হবে। \(x\)-এর ঢাল দেয় এমন পদ হলো \(\tfrac{1}{2}x^2\) (কারণ \(\tfrac{1}{2}x^2\)-এর ঢাল \(x\))। এভাবে থামা যায় না — প্রতিবার নতুন পদ যোগ করলে ঢালে আরেকটা পদ লাগে। ফলাফল একটা infinite series (অসীম শ্রেণি):
এখানে \(n! = n(n-1)\cdots(2)(1)\) হলো factorial (গুণিতক) — প্রথম কয়েকটা: \(1, 2, 6, 24, 120, \dots\)। জাদুটা হলো — এই series-এর প্রতিটা পদের ঢাল নিলে ঠিক আগের পদটা ফিরে আসে (\(\tfrac{x^n}{n!}\)-এর ঢাল \(\tfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}\)), তাই পুরো series-এর ঢাল হুবহু একই series — অর্থাৎ \(\dfrac{de^x}{dx} = e^x\)।
\(x = 1\) বসালে পাই সেই আশ্চর্য সংখ্যা \(e\):
\(e\) কোনো ভগ্নাংশ নয়, বীজগণিতে কখনও দেখা যায় না — এটা শুধু limit নিলে বেরোয়, আর এটাই calculus-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যা।
অন্য যেকোনো ভিত্তির (base) exponential-কে \(e\)-এর মাধ্যমে লেখা যায়। \(2 = e^{\ln 2}\) (এখানে \(\ln 2 \approx 0.693\) হলো \(2\)-এর natural logarithm/স্বাভাবিক লগারিদম — যে ঘাতে \(e\)-কে তুললে \(2\) পাই)। তাই:
লক্ষ করো — \(2^x\)-এর ঢাল ঠিক \(2^x\) নয়, বরং তার সাথে \(\ln 2\) গুণ। শুধুমাত্র \(e^x\)-এর ঢাল হুবহু নিজের সমান, কারণ \(\ln e = 1\)। এই কারণেই \(e\) "নিখুঁত" ভিত্তি।
৩. মূল সূত্র ও সম্পর্ক (Key formulas)¶
৩.১ জোড়ার তালিকা ও অন্তরকলনের নিয়ম¶
প্রতিটা Function (1)-এর পাশে তার Function (2):
| Function (1) | Function (2) = পরিবর্তনের হার |
|---|---|
| distance \(f(t)\) | speed \(s(t) = df/dt\) |
| height \(y(x)\) | slope \(s(x) = dy/dx\) |
| \(x^n\) | \(n\,x^{n-1}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) (নিজেই!) |
| \(2^x\) | \((\ln 2)\,2^x\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
আর নতুন ঢাল বানানোর কয়েকটা নিয়ম (এদের সাহায্যে যেকোনো polynomial-এর ঢাল বের হয়):
| নিয়ম (rule) | Function (1) → Function (2) |
|---|---|
| ধ্রুবক গুণক (constant factor) | \(C\,y \to C\,\dfrac{dy}{dx}\) |
| যোগ (sum) | \(y_1 + y_2 \to \dfrac{dy_1}{dx} + \dfrac{dy_2}{dx}\) |
| ঘাত (power) | \(x^n \to n\,x^{n-1}\) |
উদাহরণ: \(y = x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}\) হলে, পদে পদে ঢাল নিয়ে \(\dfrac{dy}{dx} = 1 + x + x^2\)।
৩.২ derivative ↔ integral বিপরীত — Fundamental Theorem-এর স্বজ্ঞা¶
কেন integral (সমাকল) আর derivative (অন্তরজ) পরস্পরের বিপরীত operation? ছোট্ট একটা telescoping argument দেখাই। কয়েকটা value নাও \(y_0,y_1,y_2,y_3,\dots\)। Consecutive difference নাও, তারপর সব add করো—মাঝের term-গুলো cancel হয়ে যায়:
অর্থাৎ "পার্থক্যগুলোর যোগফল = শেষ − শুরু"। এবার প্রতিটা পার্থক্যকে \(\Delta x\) দিয়ে ভাগ করে আবার \(\Delta x\) দিয়ে গুণ করি (মান বদলায় না):
এখন \(\Delta x \to 0\) নিলে বাঁ দিকের যোগফল হয়ে যায় integral, আর \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) হয়ে যায় \(\dfrac{dy}{dx}\):
এটাই Fundamental Theorem of Calculus (ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য): derivative নিয়ে তারপর integral করলে (একটা ধ্রুবক \(C\) বাদে) মূল ফাংশন ফিরে আসে। উল্টো ক্রমেও সত্য — শুরু থেকে area জমিয়ে তারপর ঢাল নিলে বেগ ফিরে পাই:
কারণ \(t\) আর \(t + \Delta t\)-এর মধ্যে জমা হওয়া সরু area-এর উচ্চতা \(\approx s(t)\), আর ভিত্তি \(\Delta t\); area-এর পরিবর্তনের হার তাই ঠিক \(s(t)\)। ধ্রুবক \(C\) আসে কারণ শুরুর উচ্চতা \(y(0)\) না জানলে integral থেকে পুরো ফাংশন ঠিকভাবে ফেরানো যায় না — \(y(t)\) আর \(y(t) + 10\)-এর ঢাল সবজায়গায় একই।
৩.৩ ছোট derivation — সীমা থেকে ঢাল¶
মূল সংজ্ঞাটা একবার পরিষ্কার করে লিখি, কারণ পুরো differential calculus এখান থেকেই আসে:
\(y = x^2\) বসিয়ে (§২.৩-এর মতো) পাই \(2x + \Delta x \to 2x\)। \(e^x\)-এর ক্ষেত্রে:
শেষ ধাপে \(\dfrac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \to 1\), কারণ series থেকে \(e^{\Delta x} = 1 + \Delta x + \tfrac{(\Delta x)^2}{2} + \cdots\), তাই \(\dfrac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1 + \tfrac{\Delta x}{2} + \cdots \to 1\)।
৪. উদাহরণ ও Analogy¶
উদাহরণ ১ (constant vs changing slope): \(y = 2x\)-এ \(x = 1\) থেকে \(x = 5\) গড় ঢাল \(= \frac{10 - 2}{5 - 1} = 2\) — আর প্রতিটা বিন্দুতেও ঢাল \(2\), কারণ রেখা। কিন্তু \(y = x^2\)-এ \(x = 1\) থেকে \(5\) গড় ঢাল \(= \frac{25 - 1}{5 - 1} = 6\), অথচ \(x = 1\)-এ instant ঢাল \(2x = 2\) আর \(x = 5\)-এ \(10\) — গড়টা মাঝামাঝি। ঢাল বদলায় বলেই "গড়" আর "এক বিন্দুর মান" আলাদা।
উদাহরণ ২ (area = distance): বেগ \(s(t) = 6t\) হলে \(t = 0\) থেকে \(t = 3\) পর্যন্ত দূরত্ব = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(= \tfrac{1}{2}(3)(18) = 27\) মিটার। মিলিয়ে দেখি: \(y(t) = 3t^2\)-এর ঢাল \(6t\), আর \(y(3) - y(0) = 27 - 0 = 27\)। একই উত্তর দুই পথে।
উদাহরণ ৩ (\(e\)-এর কাছে যাওয়া, compound interest): ব্যাংকে \(1\) ডলার রেখে বছরে \(100\%\) সুদ। একবারে দিলে বছরশেষে \(2\) ডলার। মাসে মাসে দিলে \(\left(1 + \tfrac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.61\) ডলার। প্রতিদিন দিলে \(\left(1 + \tfrac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.71\) ডলার। ধাপ যত ছোট, তত \(e\)-এর কাছে:
এটাই continuous compounding (অবিরত চক্রবৃদ্ধি) — প্রতি মুহূর্তে সুদ যোগ হওয়া, যা \(\frac{dy}{dx} = y\) সমীকরণের ছোট-ধাপ সমাধান।
Analogy — speedometer ↔ odometer: এটাই এই অধ্যায়ের কেন্দ্রীয় ছবি। speedometer (Function 2) হলো odometer-এর (Function 1) derivative — "এই মুহূর্তে কত জোরে"। আর পুরো যাত্রায় speedometer জমা করলে (integral) odometer ফিরে পাই — "সব মিলিয়ে কত দূর"। মজার কথা, Strang বলেন গাড়ি-নির্মাতারা calculus মানেন না — reverse gear-এ গেলে odometer পিছাতে থাকা উচিত (দূরত্ব কমছে), speedometer ঋণাত্মক দেখানো উচিত; কিন্তু বাস্তবে দেখায় না!
বাস্তব growth-এর সীমা — S-curve: exponential চিরকাল বাড়ে না। বাস্তবে জনসংখ্যা \(P(t)\) প্রথমে exponential-এর মতো দ্রুত বাড়ে, তারপর সম্পদের প্রতিযোগিতায় ধীরে হয়ে একটা সীমার দিকে যায় — তৈরি হয় S-curve (logistic)। এটা differential equation \(\frac{dP}{dt} = cP - sP^2\)-এর সমাধান:
চিত্র ৬: জনসংখ্যা \(P(t)\)-এর logistic S-curve (Strang-এর মূল figure)। শুরুতে exponential-এর মতো দ্রুত বৃদ্ধি, তারপর \(c/s\) সীমার দিকে সমতল। মাঝের point of symmetry (প্রতিসাম্য বিন্দু, \(P = c/2s\)) হলো inflection point (বাঁক-বিন্দু) — এখানে বাঁক উপরের দিক থেকে নিচের দিকে বদলায়, অর্থাৎ \(\frac{d^2P}{dt^2} = 0\)।
৫. Python-এ করো¶
নিচের কোডগুলো numpy দিয়ে সংখ্যাগতভাবে (numerically) derivative (ঢাল) আর integral (ক্ষেত্রফল) বের করে, তারপর দেখায় এরা সত্যিই পরস্পরের বিপরীত। (মন্তব্য বাংলায়।)
import numpy as np
# ============================================================
# ১) সংখ্যাগত derivative (slope): y = x^2-এর ঢাল x = 3 বিন্দুতে
# ============================================================
def f(x):
return x**2 # আমাদের ফাংশন y = x^2
x0 = 3.0
h = 1e-5 # খুব ছোট ধাপ Δx
# central difference (কেন্দ্রীয় পার্থক্য): (f(x+h) - f(x-h)) / (2h) — বেশি নিখুঁত
slope = (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2 * h)
print("x =", x0, "-এ ঢাল ≈", round(slope, 5),
"| হাতে-কষা 2x =", 2 * x0) # দুটো মিলবে: 6
# ============================================================
# ২) সংখ্যাগত integral (area): বেগ s(t) = 6t-এর নিচের ক্ষেত্রফল
# 0 থেকে 3 পর্যন্ত — মানে মোট দূরত্ব
# ============================================================
def s(t):
return 6 * t # বেগ s(t) = 6t
a, b = 0.0, 3.0 # সময়ের অন্তরাল 0 → 3
N = 100_000 # কতগুলো সরু আয়তক্ষেত্র (যত বেশি, তত নিখুঁত)
dt = (b - a) / N # প্রতিটা ফালির প্রস্থ Δt
t_mid = a + (np.arange(N) + 0.5) * dt # প্রতিটা ফালির মধ্যবিন্দু (midpoint)
area = np.sum(s(t_mid) * dt) # সব আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ (Riemann sum)
print("0 → 3 মোট দূরত্ব ≈", round(area, 4),
"| হাতে-কষা 3t^2 =", 3 * b**2) # দুটো মিলবে: 27
# ============================================================
# ৩) derivative আর integral বিপরীত: ঢাল থেকে ফাংশন ফিরে পাওয়া
# আসল দূরত্ব f(t) = t^2 → ঢাল নিই → আবার জমিয়ে f ফিরে পাই
# ============================================================
t = np.linspace(0, 3, 601) # 0 → 3, ছোট ছোট ধাপে
dt = t[1] - t[0]
f_true = t**2 # আসল Function (1): দূরত্ব f(t) = t^2
speed = np.gradient(f_true, dt) # derivative: ঢাল s = df/dt ≈ 2t
f_back = np.cumsum(speed) * dt # integral: ঢাল জমিয়ে (running sum) f ফিরে পাই
f_back = f_back - f_back[0] + f_true[0] # শুরুর মান f(0) বসিয়ে ঠিক করি
max_gap = np.max(np.abs(f_back - f_true))
print("ফিরে-পাওয়া f আর আসল f-এর সর্বোচ্চ পার্থক্য:", round(max_gap, 4))
# পার্থক্য প্রায় শূন্য → derivative-এর পর integral করলে মূল ফাংশন ফিরে আসে
# ============================================================
# ৪) e-এর কাছে যাওয়া: series ও compound interest দুই পথে
# ============================================================
import math
# পথ ১: series e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ...
e_series = sum(1 / math.factorial(n) for n in range(10))
# পথ ২: compound interest (1 + 1/N)^N
for N in (1, 12, 365, 100_000):
print("N =", N, "→ (1+1/N)^N =", round((1 + 1/N)**N, 5))
print("series (১০ পদ) →", round(e_series, 5), "| আসল e =", round(math.e, 5))
৬. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶
-
average slope আর instant slope গুলিয়ে ফেলা। দুই বিন্দুর মধ্যে \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) হলো গড় ঢাল; এক বিন্দুতে ঢাল পেতে \(\Delta x \to 0\) limit নিতে হয়। \(y = x^2\)-এ \([1,2]\)-এর গড় ঢাল \(3\), কিন্তু \(x = 1\)-এ instant ঢাল \(2\)।
-
\(\frac{0}{0}\)-কে "অর্থহীন" ভেবে হাল ছেড়ে দেওয়া। এক বিন্দুতে \(\Delta x = 0\) আর \(\Delta y = 0\) — কিন্তু limit নিয়ে \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)-এর মান বের করাই calculus-এর মূল অনুপ্রেরণা; সরাসরি \(\frac{0}{0}\) বসানো ভুল।
-
power rule-এ ঘাত না কমানো। \(\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}\) — ঘাতটা সামনে নামে এবং \(1\) কমে। ভুল করে \(n x^n\) লেখা যাবে না। যেমন \(x^3 \to 3x^2\), \(3x^3\) নয়।
-
\(2^x\)-এর ঢাল \(2^x\) ভাবা। সঠিক ঢাল \((\ln 2)\,2^x\)। শুধুমাত্র \(e^x\)-এরই ঢাল হুবহু নিজের সমান, কারণ \(\ln e = 1\)।
-
\(x^n\)-এর power rule আর \(2^x\)-এর exponential-কে মিলিয়ে ফেলা। \(x^2\) (ভিত্তি বদলায়, ঘাত স্থির) আর \(2^x\) (ভিত্তি স্থির, ঘাত বদলায়) সম্পূর্ণ আলাদা ফাংশন — ঢালও আলাদা (\(2x\) বনাম \((\ln 2)2^x\))।
-
integral-এ ধ্রুবক \(C\) ভুলে যাওয়া। derivative থেকে ফাংশন ফেরালে শুরুর মান \(y(0)\) না জানলে \(+C\) থেকে যায়, কারণ \(y(x)\) আর \(y(x) + C\)-এর ঢাল একই।
-
second derivative-এর মানে ভুল বোঝা। \(\frac{dy}{dx}\) বলে বাড়ছে না কমছে; \(\frac{d^2y}{dx^2}\) বলে বাঁক কোন দিকে (উপরে/নিচে)। \(x^2\)-এ \(x < 0\) দিকে ঢাল ঋণাত্মক, তবু বাঁক উপরের দিকে (\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0\))।
৭. এক্সারসাইজ (Exercises)¶
নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।
- \(y = 2x\)-এ \(x = 1\) থেকে \(x = 3\) পর্যন্ত average slope (গড় ঢাল) কত? প্রতিটা বিন্দুতে ঢাল কত, আর কেন সব জায়গায় সমান?
- \(y = x^2\)-এ \(x = 2\) থেকে \(x = 4\) পর্যন্ত average slope বের করো। তারপর \(x = 2\) বিন্দুতে instant slope (তাৎক্ষণিক ঢাল, \(\frac{dy}{dx}\)) বের করো। দুটো আলাদা কেন?
- power rule ব্যবহার করে ঢাল বের করো: (ক) \(y = x^5\), (খ) \(y = x^{10}\), (গ) \(y = \dfrac{1}{x}\), (ঘ) \(y = \sqrt{x}\)।
- একটা গাড়ির দূরত্ব \(f(t) = 10t^2\)। এর speed \(s(t) = \frac{df}{dt}\) ও acceleration \(\frac{d^2 f}{dt^2}\) বের করো। \(t = 3\)-এ বেগ কত?
- বেগ \(s(t) = 6t\) (মি/সে)। "বেগ-graph-এর নিচের area" ব্যবহার করে \(t = 0\) থেকে \(t = 2\) পর্যন্ত দূরত্ব বের করো। তারপর এমন একটা \(y(t)\) খুঁজে বের করে মিলিয়ে দেখো যার ঢাল \(6t\)।
- \(y = x^3\)-এর \(\frac{dy}{dx}\) ও \(\frac{d^2 y}{dx^2}\) বের করো। \(\frac{d^2 y}{dx^2}\) কোথায় ধনাত্মক, কোথায় ঋণাত্মক, আর এটা curve-এর bending (বাঁক) সম্পর্কে কী বলে?
- series \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\) থেকে — (ক) পদে পদে ঢাল নিয়ে দেখাও \(\frac{dy}{dx} = y\); (খ) \(x = 1\)-এ প্রথম \(5\)টা পদ যোগ করে \(e\)-এর একটা আন্দাজ দাও।
- compound interest: \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)-এর মান \(n = 1, 12, 365\)-এর জন্য বের করো এবং \(e \approx 2.71828\)-এর সাথে তুলনা করো। এটা \(e\)-এর দিকে যায় কেন? আর \(\frac{d}{dx}2^x = (\ln 2)2^x\) হয় (ঠিক \(2^x\) নয়) কেন?
৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶
১-নং সমাধান দেখাও
Average slope \(= \dfrac{y(3) - y(1)}{3 - 1} = \dfrac{6 - 2}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)।
প্রতিটা বিন্দুতেও ঢাল \(2\)। কারণ \(y = 2x\) একটা সরলরেখা (straight line) — তার ঢাল সবজায়গায় ধ্রুবক। রেখার ক্ষেত্রে গড় ঢাল আর তাৎক্ষণিক ঢাল সবসময় সমান, কারণ ঢাল বদলায় না।
২-নং সমাধান দেখাও
Average slope \(= \dfrac{y(4) - y(2)}{4 - 2} = \dfrac{16 - 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\)।
Instant slope: \(\dfrac{dy}{dx} = 2x\), তাই \(x = 2\)-এ \(2(2) = 4\)।
দুটো আলাদা কারণ \(y = x^2\)-এর ঢাল বদলায় (parabola বাঁকা)। \(x = 2\)-এ ঢাল \(4\), \(x = 4\)-এ ঢাল \(8\); এদের মাঝামাঝি secant-এর গড় ঢাল \(6\) (= মধ্যবিন্দু \(x = 3\)-এ \(2 \times 3\))।
৩-নং সমাধান দেখাও
power rule: \(\dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}\)।
- (ক) \(y = x^5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 5x^4\)।
- (খ) \(y = x^{10} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 10x^9\)।
- (গ) \(y = \dfrac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = -1 \cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}\)।
- (ঘ) \(y = \sqrt{x} = x^{1/2} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)।
খেয়াল করো — সূত্রটা ঋণাত্মক ও ভগ্নাংশ ঘাতেও দিব্যি কাজ করে।
৪-নং সমাধান দেখাও
\(f(t) = 10t^2\)।
speed: \(s(t) = \dfrac{df}{dt} = 10 \cdot 2t = 20t\)।
acceleration: \(\dfrac{d^2 f}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}(20t) = 20\) (ধ্রুবক)।
\(t = 3\)-এ বেগ \(= 20 \times 3 = 60\) (একক/সময়)। তিনটে মানই ধনাত্মক — গাড়ি এগোচ্ছে, জোরে হচ্ছে, আর ত্বরণ স্থির।
৫-নং সমাধান দেখাও
বেগ-graph \(s(t) = 6t\) একটা রেখা; \(0\) থেকে \(2\) পর্যন্ত এর নিচে একটা ত্রিভুজ।
base \(= 2\), height \(= s(2) = 6 \times 2 = 12\)।
মিলিয়ে দেখা: \(y(t) = 3t^2\)-এর ঢাল \(\dfrac{dy}{dt} = 6t\) ✓। আর \(y(2) - y(0) = 3(4) - 0 = 12\) — একই উত্তর। (এটাই Fundamental Theorem: area = antiderivative-এর পার্থক্য।)
৬-নং সমাধান দেখাও
\(y = x^3\)।
\(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2\), আর \(\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}(3x^2) = 6x\)।
- \(x > 0\): \(6x > 0\) → curve উপরের দিকে বাঁকা (concave up, গতি বাড়ছে)।
- \(x < 0\): \(6x < 0\) → curve নিচের দিকে বাঁকা (concave down)।
- \(x = 0\): \(\dfrac{d^2 y}{dx^2} = 0\) → inflection point (বাঁক-বিন্দু), যেখানে বাঁকের দিক বদলায়।
(মনে রাখো: \(x = 0\)-এ \(\frac{dy}{dx} = 0\) হলেও এটা max/min নয় — inflection।)
৭-নং সমাধান দেখাও
(ক) পদে পদে ঢাল নিই (\(\frac{x^n}{n!}\)-এর ঢাল \(\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\)):
ডান পাশ আবার হুবহু একই series, অর্থাৎ \(\dfrac{dy}{dx} = y\) ✓। এটাই \(e^x\)-কে বিশেষ করে।
(খ) \(x = 1\)-এ প্রথম \(5\) পদ:
আসল \(e \approx 2.71828\) — মাত্র \(5\) পদেই বেশ কাছে।
৮-নং সমাধান দেখাও
\(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\)-এর মান:
- \(n = 1\): \((1 + 1)^1 = 2\)।
- \(n = 12\): \(\left(\tfrac{13}{12}\right)^{12} \approx 2.613\)।
- \(n = 365\): \(\left(1 + \tfrac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.7146\)।
\(n\) বাড়লে এটা \(e = 2.71828\ldots\)-এর দিকে যায়। কারণ প্রতিটা ধাপে সুদ যোগ হয়ে পরের ধাপের ভিত্তি বাড়ায় (compound); ধাপ যত ছোট (continuous compounding), তত এটা \(\frac{dy}{dx} = y\) সমীকরণের নিখুঁত সমাধান \(e\)-তে পৌঁছায়।
\(\dfrac{d}{dx}2^x\): যেহেতু \(2 = e^{\ln 2}\), তাই \(2^x = e^{x \ln 2}\)। এর ঢাল নিলে (chain rule) ভেতরের \(x\ln 2\)-এর ঢাল \(\ln 2\) সামনে নামে:
বাড়তি \(\ln 2 \approx 0.693\) আসে কারণ \(2\), \(e\)-এর চেয়ে ছোট — তাই \(2^x\), \(e^x\)-এর চেয়ে ধীরে বাড়ে। শুধু \(e^x\)-এরই ঢাল হুবহু নিজের সমান, যেহেতু \(\ln e = 1\)।
৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶
এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:
- [ ] Calculus মানে দুটো জিনিস — derivative (slope/ঢাল) ও integral (area/ক্ষেত্রফল) — আর এরা পরস্পরের বিপরীত, ব্যাখ্যা করতে পারি।
- [ ] Function (1) ↔ Function (2) জোড়া বুঝি: distance↔speed, height↔slope।
- [ ] average slope আর instant slope-এর পার্থক্য জানি; \(\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) লিখতে পারি।
- [ ] limit দিয়ে \(y = x^2\)-এর ঢাল \(2x\) বের করতে পারি; power rule \(\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}\) প্রয়োগ করতে পারি।
- [ ] second derivative \(\frac{d^2 y}{dx^2}\) curve-এর bending (বাঁক) সম্পর্কে কী বলে জানি।
- [ ] "area under speed graph = distance" আর Fundamental Theorem-এর telescoping স্বজ্ঞা বুঝি।
- [ ] \(y = e^x\) কেন বিশেষ (\(\frac{dy}{dx} = y\)), তার series, ও \(e \approx 2.71828\) কীভাবে আসে (series ও compound interest) জানি।
- [ ] \(2^x = e^{x\ln 2}\) আর তার ঢাল \((\ln 2)2^x\) — কেন শুধু \(e^x\)-এর ঢাল নিজের সমান, বলতে পারি।
➡️ পরের অধ্যায়: 9.1 — Introduction to Calculus — velocity, distance ও circular motion।