9.6 — Exponentials ও Logarithms (সূচক ও লগারিদম)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: exponential (সূচকীয়) function \(b^x\) আর তার আয়না-প্রতিবিম্ব logarithm (লগারিদম) \(\log_b y\) — কীভাবে logarithm গুণকে যোগে বদলে দেয়; base change (ভিত্তি-পরিবর্তন); সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ base \(e=2.71828\ldots\) কোথা থেকে আসে (\(e=\lim(1+1/n)^n\)); কেন \(\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\) আর \(\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x\) — এই দুটো ছোট সূত্রের ওপর গোটা অধ্যায় দাঁড়িয়ে; applied mathematics-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ \(y'=cy\) আর তার সমাধান \(y=y_0e^{ct}\) — growth ও decay (বৃদ্ধি ও ক্ষয়); doubling time (দ্বিগুণ হওয়ার সময়) ও half-life (অর্ধায়ু); source term (উৎস-পদ) \(y'=cy+s\); logarithm-কে \(\int\frac1x\,dx\) হিসেবে সংজ্ঞা; \(\ln(1+x)\approx x\) approximation; separable equation (বিয়োজ্য সমীকরণ) ও logistic equation (লজিস্টিক সমীকরণ)-এর S-curve; compound interest (চক্রবৃদ্ধি সুদ) ও \(e^x\)-এর অসীম শ্রেণি; আর সবশেষে hyperbolic function (অধিবৃত্তীয় অপেক্ষক) \(\cosh x,\sinh x\) ও Euler-এর অবিশ্বাস্য সূত্র \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়গুলোতে আমরা \(x^n\), \(\sin x\), \(\cos x\) — এদের derivative শিখেছি। কিন্তু প্রকৃতির সবচেয়ে সাধারণ ঘটনাটা এদের কেউই ধরতে পারে না: যখন কোনো কিছুর বৃদ্ধির হার তার নিজের আকারের সমানুপাতিক। ব্যাংকে টাকা যত বেশি, সুদ তত বেশি; জনসংখ্যা যত বড়, নতুন জন্ম তত বেশি; তেজস্ক্রিয় পদার্থ যত বেশি, প্রতি সেকেন্ডে যত পরমাণু ভাঙে তত বেশি। গণিতের ভাষায় এটা একটাই সমীকরণ:

\[\frac{dy}{dt}=cy.\]

"পরিবর্তনের হার = ধ্রুবক গুণ নিজে।" এই একটামাত্র সমীকরণ applied mathematics-এর হৃদয় — অর্থনীতি, পদার্থবিজ্ঞান, জীববিজ্ঞান, রসায়ন সবখানে। প্রশ্ন হলো: কোন function নিজের derivative-এর সমানুপাতিক? উত্তরই এই অধ্যায়ের নায়ক — exponential \(e^{ct}\)।

কেন এটা এত জরুরি, তিনটে কারণ:

১) exponential হলো একমাত্র function যা নিজের derivative। \(\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\) — এই ধর্মটা এতই বিরল আর এতই শক্তিশালী যে এর ওপর ভর করেই আমরা \(y'=cy\) সমাধান করি, differential equation-এর গোটা জগতে ঢুকি। কোনো polynomial এটা পারে না (সর্বোচ্চ ঘাত \(x^n\) নেমে \(nx^{n-1}\) হয়ে যায়) — তাই আমরা অসীম শ্রেণি-তে যেতে বাধ্য হই।

২) logarithm গুণকে যোগে পরিণত করে — আর \(1/x\)-এর হারিয়ে যাওয়া integral ভরাট করে। এতদিন আমরা \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) সব ঘাতে পেরেছি — শুধু \(n=-1\) ছাড়া (তখন হর শূন্য)। সেই একমাত্র ফাঁক \(\int\dfrac{dx}{x}\) ভরাট করে logarithm। এটাই \(\ln x\)-কে এত গভীর করে তোলে।

৩) \(e\) ছাড়া calculus চলে না। \(b^x\)-এর derivative হলো \((\ln b)\,b^x\) — একটা বিরক্তিকর ধ্রুবক \(\ln b\) ঝুলে থাকে। শুধু একটা base-এই সেই ধ্রুবক \(1\) হয়ে অদৃশ্য হয় — সেটাই \(e\)। এই একটা কারণেই বিজ্ঞান-প্রকৌশলে base \(10\) নয়, base \(e\)-ই স্বাভাবিক পছন্দ।

মূল স্বজ্ঞা

• logarithm = exponent (সূচক)। \(\log_b y\) মানে "\(b\)-কে কত ঘাতে তুললে \(y\) পাই"। তাই \(b^{\log_b y}=y\) আর \(\log_b(b^x)=x\) — exponential আর logarithm একে অপরের inverse (বিপরীত)।
• গুণ → যোগ। \(b^m\cdot b^n=b^{m+n}\), তাই \(\log(yz)=\log y+\log z\)। এই একটা ধর্মেই slide rule, log paper, decibel, Richter scale সব দাঁড়িয়ে।
• \(e\) হলো সেই base যেখানে \(e^x\)-এর ঢাল \(x=0\)-তে ঠিক \(1\)। এই একটামাত্র শর্ত থেকে \(\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\) বেরিয়ে আসে।
• \(y'=cy \Rightarrow y=y_0e^{ct}\)। \(c>0\) হলে growth, \(c<0\) হলে decay। doubling time \(T=\dfrac{\ln 2}{c}\); দশে গুণ হতে \(\dfrac{\ln 10}{c}\)।
• \(\ln x\) হলো \(1/x\)-এর নিচের ক্ষেত্রফল, ১ থেকে \(x\) পর্যন্ত। তাই \(\ln 1=0\) আর \(\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x\) (Fundamental Theorem)।
• exponential সব power-কে হারায়। \(e^x\) যেকোনো \(x^n\)-এর চেয়ে দ্রুত বাড়ে; তাই \(\ln x\) যেকোনো \(x^{1/n}\)-এর চেয়ে ধীরে বাড়ে।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

সূচক ও লগারিদম: গুণকে যোগে পরিণত করা (Overview)

দশমিক পদ্ধতির মেরুদণ্ড হলো \(10\)-এর ঘাত: \(10^0=1,\ 10^1=10,\ 10^2=100,\ 10^3=1000\)। এদের logarithm হলো ঠিক ওই ঘাতগুলোই — "base \(10\)-তে":

\[\log_{10}1=0,\quad \log_{10}10=1,\quad \log_{10}100=2,\quad \log_{10}1000=3.\]

ঋণাত্মক ঘাতও লাগে: \(10^{-1}=\tfrac1{10}\), তাই \(\log_{10}\tfrac1{10}=-1\)। মূল কথাটা একটাই — logarithm হলো exponent। আর exponent-এর মৌলিক নিয়ম (\(10^m\cdot10^n=10^{m+n}\)) সরাসরি logarithm-এর নিয়ম দেয়:

\[\log_b(yz)=\log_b y+\log_b z,\qquad \log_b(y/z)=\log_b y-\log_b z.\]

গুণ হয়ে যায় যোগ, ভাগ হয়ে যায় বিয়োগ। এই একটা ধর্মই slide rule (স্লাইড রুল)-কে সম্ভব করেছিল: দুটো সংখ্যার log-দূরত্ব যোগ করলেই তাদের গুণফল পাওয়া যায়।

চিত্র ১: প্রাচীন যন্ত্র slide rule। সংখ্যাগুলো log scale-এ বসানো, তাই \(1\) থেকে \(2\)-এর দূরত্ব \(=2\) থেকে \(4\)-এর দূরত্ব \(=4\) থেকে \(8\)-এর দূরত্ব। প্রান্ত সরিয়ে দূরত্ব যোগ করা মানেই সংখ্যা গুণ করা — যখন exponent \(x\) যোগ হয়, power \(2^x\) গুণ হয়।

base change (ভিত্তি-পরিবর্তন)। প্রয়োগে base সবসময় \(10\) নয় — জনসংখ্যা হয়তো প্রতি বছর \(1.02\) গুণ বাড়ে। "logarithm = exponent" নিয়মটা base বদলাতে দেয়। base \(b\) থেকে base \(a\)-তে গেলে:

\[b=a^{\log_a b},\qquad b^x=a^{(\log_a b)x},\qquad \log_a y=(\log_a b)(\log_b y).\]

প্রথমটা সংজ্ঞা, দ্বিতীয়টা তার \(x\)-তম ঘাত, তৃতীয়টা তার logarithm। বিশেষ ক্ষেত্রে \(y=a\) বসালে পাই একটা সুন্দর সম্পর্ক:

\[\log_a b=\frac{1}{\log_b a}.\]

উদাহরণ: \(8=2^3\) হলে \((\log_2 8)(\log_8 2)=(3)\left(\tfrac13\right)=1\) — মিলে যায়।

exponential ও logarithm: আয়না-প্রতিবিম্ব graph

যেহেতু \(y=b^x\) আর \(x=\log_b y\) একই কথা, এদের graph একে অপরের \(45^\circ\) রেখায় আয়না-প্রতিবিম্ব। যা এক function করে, তার inverse তা "ফেরত" নেয়:

\[\log_b(b^x)=x\qquad\text{and}\qquad b^{\log_b y}=y.\]

চিত্র ২: বাঁয়ে \(y=2^x\) ও \(y=4^x\) — সব exponential \(x=0\)-তে \(1\) থেকে শুরু (\(b^0=1\))। ডানে তাদের আয়না-প্রতিবিম্ব, অর্থাৎ \(\log_2 y\) ও \(\log_4 y\) — সব logarithm \(y=1\)-তে \(0\) থেকে শুরু। exponential যত দ্রুত ওঠে, logarithm তত ধীরে ওঠে। \(x\) ঋণাত্মক হলেও \(b^x\) ধনাত্মকই থাকে — কখনো \(x\)-অক্ষ ছোঁয় না।

দুটো ব্যবহারিক সমস্যা: (১) \(2^x,4^x\) এত দ্রুত বাড়ে যে graph প্রায় খাড়া হয়ে যায়; (২) সবচেয়ে জরুরি তথ্য — base \(b\) — graph-এ চোখে পড়ে না। সমাধান: log scale। সাধারণ কাগজে প্রতি ঘর সমান পরিমাণ যোগ করে; log scale-এ প্রতি ঘর সমান পরিমাণ দিয়ে গুণ করে। semilog paper-এ (y-অক্ষ log, x-অক্ষ সাধারণ) \(y=Ab^x\) একটা সরলরেখা হয়ে যায়, কারণ:

\[\log y=\log A+x\log b.\]

\(\log y\) আর \(x\)-এর সম্পর্ক রৈখিক; রেখার ঢাল সরাসরি \(\log b\) মেপে দেয়।

চিত্র ৩: power function \(y=Ax^k\)-ও logarithmic scaling-এ সরলরেখা হয়ে যায় — এবার log-log paper (দুই অক্ষই log)। কারণ \(\log y=\log A+k\log x\), তাই ঘাত \(k\)-ই হয় ঢাল। base কোনো প্রভাব ফেলে না।

চিত্র ৪: log-log paper-এ ঢাল \(3,\ \tfrac12,\ -1\) মানে যথাক্রমে \(Ax^3\), \(A\sqrt{x}\), \(A/x\)। একটা বিন্দু দেখে \(A\) ঠিক করা যায়। মনে রেখো — এই একই graph semilog paper-এ সরলরেখা হতো না; exponential আর power আলাদা কাগজে সোজা হয়।

\(b^x\)-এর ঢাল: রহস্যময় ধ্রুবক \(c\)

এটা calculus-এর বই — ঢাল জিজ্ঞেস করতেই হবে। \(y=b^x\)-এর derivative কত? সংজ্ঞায় ফিরি:

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}.\]

মূল কৌশল: \(b^{x+h}=b^x\cdot b^h\) — ভাঙো, তাহলে \(b^x\) বাইরে আসে (কারণ \(b^x\) \(h\)-এর ওপর নির্ভর করে না):

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{b^x b^h-b^x}{h}=b^x\left[\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}{h}\right]=c\,b^x.\]

ভেতরের limit-টাই সেই ধ্রুবক \(c\) — যা এখনো জানি না, শুধু জানি এটা \(b\)-এর ওপর নির্ভর করে। ফলাফল কেন্দ্রীয়: \(\dfrac{dy}{dx}=cb^x=cy\) — \(y\)-এর পরিবর্তনের হার \(y\)-এর সমানুপাতিক। ব্যাংকের সুদ যেমন মূলধনের সমানুপাতিক।

চিত্র ৫: \(2^x\)-এর ঢাল প্রায় \(0.7\cdot 2^x\) (অর্থাৎ এখানে \(c\approx0.7\))। তার inverse \(\log_2 y\)-এর ঢাল প্রায় \(\dfrac{1}{0.7\,y}\)। যেহেতু \(b^x\) আর \(\log_b y\) inverse, তাদের ঢাল উল্টো-সম্পর্কিত: \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}\)। তাই একটা জানলেই অন্যটা জানা।

inverse function-এর ঢাল তাই \(\dfrac{1}{c}\) দিয়ে আসে: \(\log_b y\)-এর ঢাল \(=\dfrac{1}{cy}\)। এখানেই সেই আনন্দের মুহূর্ত — অবশেষে "\(-1\) power" (\(1/y\))-এর একটা antiderivative পাওয়া গেল, যা এতদিন \(\int x^n\,dx\)-এ ফাঁক রেখে গিয়েছিল।

সংখ্যা \(e\) ও exponential \(e^x\)

সব base-এর মধ্যে দুটোই বাস্তবে ব্যবহৃত: \(10\), আর এই বিভাগের নায়ক \(e\)। \(e\) হলো সেই বিশেষ base যেখানে ধ্রুবক \(c=1\) — অর্থাৎ \(e^x\)-এর ঢাল \(x=0\)-তে ঠিক \(1\)। \(2^x\)-এর \(c\approx0.7\) (একটু কম), তাই base \(2\)-এর চেয়ে একটু বড় base লাগে \(c=1\) পেতে। সেই সংখ্যাটাই

\[\boxed{\,e=\lim_{h\to0}(1+h)^{1/h}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}=2.71828\ldots}\]

চিত্র ৬: (নিজের আঁকা) \(e^x\) (নীল) থাকে \(2^x\) (সবুজ) আর \(4^x\) (লাল)-এর মাঝখানে। তিনটেই \((0,1)\) বিন্দু দিয়ে যায়। ধূসর ছেদক \(y=1+x\)-এর ঢাল ঠিক \(1\) — আর সে \(e^x\)-কে \((0,1)\)-তে স্পর্শ করে। \(2^x\)-এর ঢাল \(1\)-এর কম, \(4^x\)-এর বেশি; মাঝখানে \(e^x\)-এর ঢাল ঠিক \(1\)। এটাই \(e\)-এর সংজ্ঞা।

\(e\)-এর inverse হলো natural logarithm — লেখা হয় \(\ln y\) (মানে \(\log_e y\))। "\(\ln y\) হলো সেই exponent যা \(e^x=y\) দেয়।" বিজ্ঞানে base সবসময় \(e\) ধরাই স্বাভাবিক।

চিত্র ৭: বাঁয়ে \(e^{-x}\) হলো \(e^x\)-এর y-অক্ষে আয়না-প্রতিবিম্ব, গুণফল \(e^x\cdot e^{-x}=1\)। \(e^x\) যেখানে exponentially বাড়ে, \(e^{-x}\) সেখানে exponentially ক্ষয় হয় — যেকোনো \(x\)-এর ঘাতের চেয়ে দ্রুত। ডানে বিখ্যাত ঘণ্টা-আকৃতির (bell-shaped) curve \(e^{-x^2/2}\) — probability theory-র normal distribution, \(x=0\)-তে সমমিত।

hyperbolic function-এর ঝলক

\(e^x\) আর \(e^{-x}\)-কে দুই ভাবে মিশিয়ে দুটো নতুন function তৈরি হয়, যাদের নিজেদের নাম আছে:

\[\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.\]

এদের বলে hyperbolic function (অধিবৃত্তীয় অপেক্ষক)। ভারী তারের ঝুলন্ত আকৃতি (catenary), St. Louis-এর Gateway Arch উল্টে দিলে — এই \(\cosh\)-এর রূপ। বিস্তারিত সংজ্ঞা-সূত্র পরের বিভাগে।

---

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র

সংজ্ঞা ১: exponential ও logarithm

\(b>0,\ b\ne1\) base-এর জন্য —

• exponential: \(y=b^x\), যেকোনো বাস্তব \(x\)-এ সংজ্ঞায়িত, মান সবসময় ধনাত্মক।
• logarithm: \(x=\log_b y\) মানে \(b^x=y\) (শুধু \(y>0\)-এ সংজ্ঞায়িত)।

মৌলিক পরিচিতি (inverse হওয়ার সরাসরি ফল):

\[\log_b(b^x)=x,\qquad b^{\log_b y}=y,\qquad \log_b 1=0,\qquad \log_b b=1.\]

সংজ্ঞা ২: সংখ্যা \(e\) (পাঁচটা সমতুল্য সংজ্ঞা)

\(e\)-কে পাঁচ ভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় — সবগুলো একই সংখ্যা দেয়:

1. \(e\) হলো সেই সংখ্যা যেখানে \(e^x\)-এর ঢাল \(x=0\)-তে \(1\)।
2. \(e\) হলো সেই base যেখানে \(\ln y=\log_e y\)-এর ঢাল \(y=1\)-তে \(1\)।
3. \(e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\)।
4. \(e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots=1+1+\dfrac12+\dfrac16+\cdots\)।
5. \(\displaystyle\int_1^{e}\frac{dx}{x}=1\) (অর্থাৎ \(\ln e=1\))।

প্রথম কয়েক অঙ্ক: \(e=2.7\ 1828\ 1828\ 45\ 90\ 45\ldots\) (আর \(1/e\approx0.37\))।

সূত্র ৩: \(b^x\)-এর derivative আর ধ্রুবক \(c=\ln b\)

\(\dfrac{d}{dx}b^x=cb^x\) — এই \(c\)-এর মান কী? base change সূত্র থেকে \(\dfrac1c=\log_b e\), তাই

\[c=\frac{1}{\log_b e}=\log_e b=\ln b.\]

সেই "রহস্যময় ধ্রুবক" আসলে \(\ln b\)। তাই সাধারণ base-এর derivative:

\[\frac{d}{dx}b^x=(\ln b)\,b^x,\qquad \frac{d}{dy}\log_b y=\frac{1}{(\ln b)\,y}.\]

base \(e\)-তে \(\ln e=1\), তাই \(c=1\) আর ধ্রুবকটা অদৃশ্য:

\[\boxed{\ \frac{d}{dx}e^x=e^x\ }\qquad\qquad\boxed{\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x\ }\]

\(\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\) কেন — লাইন ধরে। \(\dfrac{d}{dx}b^x=(\ln b)b^x\)-এ \(b=e\) বসাই; যেহেতু \(\ln e=1\):

\[\frac{d}{dx}e^x=(\ln e)\,e^x=1\cdot e^x=e^x.\]

এটাই একমাত্র (স্কেল বাদে) function যা নিজের derivative। \(\square\)

সূত্র ৪: chain rule ও \(e^u\), \(b^x\)

বাইরের function \(e^{(\cdot)}\)-এর derivative নিজেই, তাই chain rule দেয়:

\[\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot\frac{du}{dx}.\]

বিশেষ ক্ষেত্র \(u=cx\):

\[\frac{d}{dx}e^{cx}=c\,e^{cx},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{cx}=c^2e^{cx}.\]

উদাহরণ। \(\dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}\); \(\dfrac{d}{dx}e^{\sin x}=e^{\sin x}\cos x\); \(\dfrac{d}{dx}e^{-x^2/2}=-x\,e^{-x^2/2}\)।

কৌশল — \(b^x\)-কে \(e\)-তে লেখো। \(b^x=e^{(\ln b)x}\), তাই \(\dfrac{d}{dx}b^x=(\ln b)e^{(\ln b)x}=(\ln b)b^x\) — সেই ধ্রুবক \(c=\ln b\) আবার ফিরে এলো। এটাই কেন সবসময় base \(e\) ব্যবহার করা ভালো: derivative শুধু সামনে একটা ধ্রুবক নামিয়ে আনে, সব জটিলতা exponent-এ উঠে যায়।

সূত্র ৫: integral

derivative উল্টে দিলে integral:

\[\int e^x\,dx=e^x+C,\qquad \int e^{cx}\,dx=\frac{e^{cx}}{c}+C,\qquad \int b^x\,dx=\frac{b^x}{\ln b}+C.\]

\(e^{cx}\)-এর derivative \(c\) দিয়ে গুণ করে, তাই integral \(c\) দিয়ে ভাগ করে। আর chain-rule উল্টে:

\[\int e^{u}\,\frac{du}{dx}\,dx=e^{u(x)}+C.\]

উদাহরণ। \(\displaystyle\int e^{\sin x}\cos x\,dx=e^{\sin x}+C\); \(\displaystyle\int xe^{x^2/2}\,dx=e^{x^2/2}+C\) (কারণ \(\tfrac{d}{dx}\tfrac{x^2}{2}=x\) ঠিক হাজির)। সতর্কতা: \(\int e^{-x^2/2}\,dx\)-এ \(du/dx=-x\) নেই, তাই এটা elementary function-এ integrate হয় না।

সতর্কতা — নির্দিষ্ট integral-এ নিচের সীমা। power \(f=x^3\)-এ \(f(0)=0\), কিন্তু exponential-এ \(f(0)=1\ne0\):

\[\int_0^1 e^{3x}\,dx=\left[\frac13e^{3x}\right]_0^1=\frac13(e^3-1).\]

সূত্র ৬: growth equation \(y'=cy\) ও তার সমাধান \(y=y_0e^{ct}\)

এটাই অধ্যায়ের কেন্দ্রীয় সমীকরণ। initial condition সহ:

\[\frac{dy}{dt}=cy,\qquad y=y_0\ \text{when}\ t=0.\]

সমাধান লাইন ধরে (separation of variables দিয়ে)। \(y\)-কে বাঁয়ে, \(t\)-কে ডানে আলাদা করি:

\[\frac{dy}{y}=c\,dt.\]

দুই দিকে integrate (\(\int dy/y=\ln y\)):

\[\ln y=ct+\text{const}.\]

\(t=0\)-তে \(y=y_0\) বসাই: \(\ln y_0=0+\text{const}\), তাই ধ্রুবক \(=\ln y_0\)। অতএব

\[\ln y=ct+\ln y_0\ \Longrightarrow\ \ln\frac{y}{y_0}=ct\ \Longrightarrow\ \frac{y}{y_0}=e^{ct}.\]

দুই দিকের exponential নিয়ে পাই মূল সূত্র:

\[\boxed{\ y=y_0\,e^{ct}\ }\]

যাচাই: \(y'=y_0\cdot c\,e^{ct}=c\,(y_0e^{ct})=cy\) — মেলে; আর \(t=0\)-তে \(y=y_0e^0=y_0\)। \(\square\) এখানে \(c>0\) হলে growth (বৃদ্ধি), \(c<0\) হলে decay (ক্ষয়)।

চিত্র ৮: differential equation একটা "তীর-ক্ষেত্র" (field of arrows) আঁকে — প্রতি বিন্দুতে ঢাল দেখায়। বাঁয়ে \(y'=x\) (ঢাল \(x\)-এর সাথে বাড়ে, সমাধান parabola); ডানে \(y'=y\) (ঢাল \(y\)-এর সাথে বাড়ে, সমাধান exponential \(y=Ae^t\))। সমাধান-curve সবসময় তীরগুলোর সাথে tangent থাকে।

তিনটে অজানা — তিন ধরনের প্রশ্ন। \(y=y_0e^{ct}\)-এ তিনটা রাশি \(y_0,c,t\); যেকোনো দুটো জানলে (আর এক টুকরো তথ্য) তৃতীয়টা বেরোয়:

• doubling time (দ্বিগুণ সময়) \(T\): \(y_0e^{cT}=2y_0\Rightarrow e^{cT}=2\Rightarrow cT=\ln2\Rightarrow T=\dfrac{\ln2}{c}\)।
• decay constant \(c\) (half-life \(T\) থেকে): \(e^{cT}=\tfrac12\Rightarrow cT=\ln\tfrac12=-\ln2\Rightarrow c=-\dfrac{\ln2}{T}\)।
• \(e\)-তে গুণ হতে সময় \(\dfrac1c\); দশে গুণ হতে \(\dfrac{\ln10}{c}\)।

চিত্র ৯: \(c>0\) হলে growth (ওপরে ওঠে), \(c<0\) হলে decay (শূন্যের দিকে নামে)। doubling time \(T=\dfrac{\ln2}{c}\) — ছবিতে প্রতি \(T\) সময়ে উচ্চতা দ্বিগুণ। \(5\%\) হারে future value দেখানো হয়েছে।

সূত্র ৭: logarithm-কে integral হিসেবে সংজ্ঞা (\(\int\frac1x\,dx\))

তত্ত্বের দিক থেকে সবচেয়ে পরিষ্কার পথ: \(e^x\)-কে নিজের integral বললে চক্রাকার যুক্তি হয়। তাই আমরা \(\ln x\)-কে সরাসরি সংজ্ঞায়িত করি \(1/x\)-এর ক্ষেত্রফল হিসেবে:

\[\ln x=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt\qquad(x>0).\]

নিচের সীমা \(1\) (শূন্য নয়!), তাই \(\ln 1=0\) আপনাআপনি। এটা সেই "হারিয়ে যাওয়া integral" — \(\int x^n\,dx\) সব ঘাতে হয়েছিল, শুধু \(n=-1\) ছাড়া; সেই ফাঁক logarithm ভরাট করে। Fundamental Theorem থেকে ঢাল তাৎক্ষণিক: \(\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x\)।

চিত্র ১০: \(\ln x\) হলো hyperbola \(y=1/x\)-এর নিচের ক্ষেত্রফল, \(1\) থেকে \(x\) পর্যন্ত। পাশাপাশি ক্ষেত্রফল যোগ হয়: \(\ln a+\ln b=\ln ab\)। \(x\to0\)-তে ক্ষেত্রফল অসীম হয়ে \(\ln 0=-\infty\)।

চিত্র ১১: (নিজের আঁকা) কমলা ছায়া হলো \(\displaystyle\int_1^{3}\frac{dx}{x}=\ln 3\approx1.10\)। \(1\) থেকে \(1\) পর্যন্ত কোনো ক্ষেত্রফল নেই, তাই \(\ln 1=0\) — logarithm ঠিক এখান থেকেই "মাপা" শুরু।

ধর্ম ১: \(\ln ab=\ln a+\ln b\) (প্রমাণ)। পাশাপাশি ক্ষেত্রফল ভাঙি:

\[\int_1^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{a}\frac{dx}{x}+\int_a^{ab}\frac{dx}{x}.\]

বাঁ পাশ \(\ln ab\), প্রথম পদ \(\ln a\)। দ্বিতীয় পদে \(u=x/a\) (তাই \(x=au\), \(dx=a\,du\), \(\dfrac{dx}{x}=\dfrac{du}{u}\)); সীমা \(x=a\to u=1\), \(x=ab\to u=b\):

\[\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{b}\frac{du}{u}=\ln b.\]

অতএব \(\ln ab=\ln a+\ln b\)। \(\square\)

ধর্ম ২: \(\ln b^n=n\ln b\) (প্রমাণ)। \(\displaystyle\int_1^{b^n}\frac{dx}{x}\)-এ \(x=u^n\) (\(dx=nu^{n-1}du\), \(\dfrac{dx}{x}=\dfrac{n\,du}{u}\)); সীমা \(x=1\to u=1\), \(x=b^n\to u=b\):

\[\int_1^{b^n}\frac{dx}{x}=n\int_1^{b}\frac{du}{u}=n\ln b.\qquad\square\]

চিত্র ১২: ক্ষেত্রফল \(=\) basepoint-এর logarithm। ক্ষেত্রফল যখন \(1\) ছোঁয়, basepoint তখন \(e\); ক্ষেত্রফল \(\pi\) হলে basepoint \(e^{\pi}\)। এভাবেই \(\ln\)-এর inverse (অর্থাৎ \(e^x\)) তৈরি হয়। ক্ষেত্রফল \(1\) ঠিক একটাই বিন্দুতে পৌঁছায় — সেটাই \(e\)-কে সংজ্ঞায়িত করে।

সূত্র ৮: \(\ln(1+x)\approx x\) ও \(e^x\approx 1+x\)

\(\ln 1=0\)-এর কাছে logarithm-এর সরল রৈখিক approximation। \(1\) থেকে \(1+x\) পর্যন্ত \(1/x\)-এর নিচের ক্ষেত্রফল প্রায় একটা আয়তক্ষেত্র (ভিত্তি \(x\), উচ্চতা \(\approx1\)):

\[\ln(1+x)\approx x,\qquad e^x\approx1+x\qquad(x\ \text{small}).\]

দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত: \(\ln(1+x)\approx x-\tfrac12x^2\), \(e^x\approx1+x+\tfrac12x^2\)। যাচাই: \(\ln 1.01=0.0099503\ldots\approx0.01\); ছোট ত্রিভুজটাই \(\tfrac12(0.01)^2=0.00005\) পার্থক্য।

চিত্র ১৩: \(\ln(1+x)\approx\) আয়তক্ষেত্র \(-\) ছোট ত্রিভুজ \(=x-\tfrac12x^2\)। ওপরে একটা সরু ত্রিভুজ কাটা পড়ে — সেটার ক্ষেত্রফলই দ্বিতীয়-ক্রম সংশোধন।

সম্পূর্ণ শ্রেণি (Section 6.6-এ প্রমাণ): \(\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots\) এবং \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots\)।

সূত্র ৯: logarithm থেকে আসা integral

chain rule উল্টে \(\displaystyle\int\frac{du/dx}{u}\,dx=\ln|u|+C\)। absolute value দরকার কারণ \(u<0\)-তেও integral চলে (যদিও \(\ln u\) সংজ্ঞায়িত নয়):

\[\int\frac{dx}{x+7}=\ln|x+7|+C,\qquad \int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln|\cos x|+C.\]

আরও: \(\displaystyle\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C\), \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^2+7}=\tfrac12\ln(x^2+7)+C\), আর একটা কৌশলি ফল \(\displaystyle\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C\)।

সূত্র ১০: hyperbolic function

\[\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.\]

\(\cosh\) সমমিত (even, \(\cosh(-x)=\cosh x\), \(\cosh0=1\)), \(\sinh\) বিসমমিত (odd, \(\sinh(-x)=-\sinh x\), \(\sinh0=0\))।

চিত্র ১৪: \(\cosh x\) ও \(\sinh x\) — বড় \(x\)-এ দুটোই \(\tfrac12e^x\)-এর খুব কাছে। \(\cosh x\ge\sinh x\) সবসময়; বড় ঋণাত্মক \(x\)-এ \(e^{-x}\) প্রভাবশালী, তখন \(\cosh\to+\infty\) কিন্তু \(\sinh\to-\infty\)।

চিত্র ১৫: \(\cosh x\)-এর graph একটা ঝুলন্ত তারের (hanging cable) আকৃতি — উল্টে দিলে Gateway Arch। এই stretched-out রূপকে বলে catenary: \(y=a\cosh(x/a)\)।

মূল ধর্ম ১ (প্রমাণ): \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)।

\[\cosh^2x-\sinh^2x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2=\frac{(e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x})}{4}=\frac{4}{4}=1.\ \square\]

এটাই "\(h\)" (hyperbolic)-এর কারণ: \((\cos t,\sin t)\) একক বৃত্তে ঘোরে (\(\cos^2+\sin^2=1\)), আর \((\cosh t,\sinh t)\) একক hyperbola-তে চলে।

চিত্র ১৬: বাঁয়ে একক বৃত্ত \(\cos^2t+\sin^2t=1\); ডানে একক hyperbola \(\cosh^2t-\sinh^2t=1\)। এজন্যই এদের নাম "hyperbolic"।

মূল ধর্ম ২: derivative। সরাসরি সংজ্ঞা থেকে:

\[\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x,\qquad \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\qquad \frac{d}{dx}\tanh x=\operatorname{sech}^2x.\]

(লক্ষ্য করো: trig-এ \(\tfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x\), এখানে বিয়োগ চিহ্ন নেই।) integral: \(\int\sinh x\,dx=\cosh x+C\), \(\int\cosh x\,dx=\sinh x+C\)।

Euler-এর সূত্র। \(\cosh x+\sinh x=e^x\)-এর trig-সমান্তরাল imaginary exponent-এ লুকিয়ে ছিল:

\[\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\qquad \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}\]

গণিতের অন্যতম সুন্দর সমীকরণ। \(x=\pi\) বসালে \(e^{i\pi}=-1\) — পাঁচটা মৌলিক ধ্রুবক \(e,i,\pi,1,0\) এক সূত্রে।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১: জনসংখ্যা বৃদ্ধি (birth − death)

জন্মহার \(b\), মৃত্যুহার \(d\) ধ্রুব হলে নিট হার \(c=b-d\), আর \(y=y_0e^{ct}\)। পৃথিবীর জনসংখ্যার একটা আনুমানিক হার \(c=0.02/\)বছর:

\[T=\frac{\ln2}{c}\approx\frac{0.7}{0.02}=35\ \text{years} \quad(\text{to double})\]

Analogy: এটাই Malthus-এর তত্ত্ব। কিন্তু exponential চিরকাল চলতে পারে না — Section-এর logistic মডেল সেই সীমা যোগ করবে।

উদাহরণ ২: radioactive decay ও carbon dating (তেজস্ক্রিয় ক্ষয়)

carbon-14-এর half-life \(T=5568\) বছর, তাই decay constant \(c=-\dfrac{\ln2}{5568}\)। Lascaux গুহাচিত্রের কাঠকয়লা এখন প্রতি মিনিটে \(0.97\)টা বিয়োজন দেয়, জীবন্ত কাঠ দেয় \(6.68\)টা। অনুপাত \(e^{ct}=\dfrac{0.97}{6.68}\):

\[ct=\ln\frac{0.97}{6.68}\ \Longrightarrow\ t=\frac{5568}{0.7}\ln\frac{0.97}{6.68}\approx14{,}400\ \text{years}\]

চিত্র ১৭: (নিজের আঁকা) half-life \(T\): প্রতি \(T\) সময়ে পরিমাণ অর্ধেক — \(y_0\to\tfrac{y_0}{2}\to\tfrac{y_0}{4}\to\tfrac{y_0}{8}\to\cdots\)। সমীকরণ \(y=y_0e^{ct}\) যেখানে \(c=-\tfrac{\ln2}{T}\)। এই সিঁড়ি-প্যাটার্নই dating-এর ভিত্তি।

উদাহরণ ৩: চক্রবৃদ্ধি সুদ ও অর্থের বর্তমান মূল্য (compound interest)

ধারাবাহিক (continuous) হারে \(c=5\%\)-এ:

• future value: এখনকার 1 ডলার = \(T\) বছর পরে \(e^{0.05T}\) ডলার।
• present value: \(T\) বছর পরের 1 ডলার = এখন \(e^{-0.05T}\) ডলার।
• doubling: \(e^{0.05T}=2\Rightarrow T=\dfrac{\ln2}{0.05}\approx14\) বছর।

মজার হিসাব: \(1626\)-তে 24 ডলারে Manhattan বিক্রি হয়েছিল। \(8\%\) চক্রবৃদ্ধিতে \(365\) বছর পরে \(24\,e^{0.08\times365}=24\,e^{29.2}\approx115\) ট্রিলিয়ন ডলার — exponential-এর ভয়ংকর শক্তি।

উদাহরণ ৪: source term \(y'=cy+s\) ও steady state

এবার বাইরে থেকে যোগ/বিয়োগ (deposit/withdraw) — একটা source \(s\):

\[\frac{dy}{dt}=cy+s,\qquad y=y_0\ \text{at}\ t=0.\]

সমাধান (Method 1, undetermined coefficients)। ধরি \(y=Ae^{ct}+B\) (exponential + ধ্রুব)। তাহলে \(y'=cAe^{ct}\)। সমীকরণে বসাই:

\[cAe^{ct}=c(Ae^{ct}+B)+s=cAe^{ct}+cB+s.\]

দুই পাশে \(cAe^{ct}\) কাটে, থাকে \(0=cB+s\Rightarrow B=-\dfrac{s}{c}\)। initial: \(A+B=y_0\Rightarrow A=y_0+\dfrac sc\)। অতএব

\[\boxed{\ y=\left(y_0+\frac sc\right)e^{ct}-\frac sc\ }\]

\(c<0\) হলে \(e^{ct}\to0\), তাই steady state \(y_\infty=-\dfrac sc\) — যেখানে source ঠিক decay-কে ভারসাম্য করে (\(cy+s=0\), তাই \(y'=0\))। লক্ষণীয়: \(y_\infty\) \(y_0\)-এর ওপর নির্ভর করে না।

চিত্র ১৮: \(y'=cy+s\) চার ভাবে সমাধান করা যায় — undetermined coefficients, Duhamel-এর যোগফল (integrating factor), difference \(y-y_\infty\), আর separation of variables। সবগুলো একই সূত্র (৪-এর বাক্স) দেয়।

Newton-এর শীতলীকরণ সূত্র (analogy)। বস্তুর তাপমাত্রা \(y\), চারপাশ \(y_\infty\); \(\dfrac{dy}{dt}=c(y-y_\infty)\)। পার্থক্য \(y-y_\infty\) একটা বিশুদ্ধ exponential-এর মতো ক্ষয় পায়: \(y-y_\infty=(y_0-y_\infty)e^{ct}\)। যত বড় পার্থক্য, তত দ্রুত তাপ প্রবাহ।

চিত্র ১৯: finance-এর ছয়টা মৌলিক প্রশ্ন। deposit \(s\) জমালে ভবিষ্যৎ মূল্য বাড়ে; loan/annuity শোধে \(y\) শূন্যে নামে। decay-র ক্ষেত্রে সব পথ steady state \(s/c\)-তে মেলে।

উদাহরণ ৫: separable equation (বিয়োজ্য সমীকরণ)

\(\dfrac{dy}{dt}=u(y)\,v(t)\) আকারের যেকোনো সমীকরণে \(y\) আর \(t\) আলাদা করে দুই দিকে integrate করা যায়:

\[\int\frac{dy}{u(y)}=\int v(t)\,dt+C.\]

উদাহরণ: \(\dfrac{dy}{dt}=y^2\) থেকে \(\dfrac{dy}{y^2}=dt\), integrate করে \(-\dfrac1y=t+C\); \(y_0\) বসিয়ে \(y=\dfrac{y_0}{1-ty_0}\) — যা \(t=1/y_0\)-তে অসীমে "বিস্ফোরিত" হয়। আরেকটা: \(\dfrac{dy}{dt}=ty\) থেকে \(\ln y=\tfrac12t^2+C\), তাই \(y=y_0e^{t^2/2}\)।

চিত্র ২০: বিয়োজ্য সমীকরণের সমাধান-curve। বাঁয়ে \(y'=y^2\) সসীম সময়ে বিস্ফোরিত হয়; ডানে \(dy/y=n\,dt/t\) দেয় power function \(y=y_1t^n\) (constant elasticity)।

উদাহরণ ৬: logistic equation ও S-curve (লজিস্টিক সমীকরণ)

exponential growth চিরকাল চলতে পারে না — খাদ্য-জায়গার প্রতিযোগিতা একটা \(-by^2\) পদ যোগ করে:

\[\frac{dy}{dt}=cy-by^2.\]

শুরুতে \(by^2\) ছোট, growth প্রায় \(e^{ct}\); পরে \(y\) বড় হলে \(-by^2\) থামিয়ে দেয়। steady state: \(cy=by^2\Rightarrow y_\infty=\dfrac cb\)। inflection point (S-এর মাঝ, ঢাল সর্বোচ্চ) \(y=\dfrac{c}{2b}\)। সমাধান (partial fractions দিয়ে, Section 7.4) একটা নিখুঁত S-curve:

\[y=\frac{c}{b+d\,e^{-ct}}\qquad\xrightarrow{\ t\to\infty\ }\qquad \frac cb.\]

চিত্র ২১: আদর্শ S-curve \(y=\dfrac{1}{1+e^{-t}}\) — \(t=-\infty\)-তে \(0\), \(t=0\)-তে \(\tfrac12\), \(t=+\infty\)-তে \(1\)। এটা \(y'=y-y^2\) সমাধান করে (\(c=b=1\))। ধীরে শুরু, দ্রুত ওঠা, তারপর সমতল।

জনসংখ্যায় \(c\approx0.029\), \(b\approx3\times10^{-12}\) দিলে \(y_\infty=c/b\approx10\) বিলিয়ন — Verhulst-এর মডেল অনুযায়ী পৃথিবীর জনসংখ্যা সেদিকেই যাচ্ছে।

চিত্র ২২: US জনসংখ্যা মডেল — Pearl ও Reed \(1790,1850,1910\)-র census দিয়ে \(c,b\) হিসাব করেছিলেন; মাঝের বছরগুলোতে মিল ভালো (যুদ্ধ/মন্দা/অভিবাসন কিছু বিচ্যুতি আনে)।

চিত্র ২৩: Michaelis–Menten সমীকরণ \(\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{cy}{y+K}\) — এনজাইম-চালিত বিক্রিয়ার হার। \(y\) বড় হলে হার \(\approx c\), \(y\) ছোট হলে হার \(\approx cy/K\)। জীবরসায়নের মৌলিক অরৈখিক মডেল।

উদাহরণ ৭: compound interest থেকে \(e\) — powers instead of exponentials

\(100\%\) বার্ষিক হারে 1000 ডলার যদি বছরে \(n\) বার চক্রবৃদ্ধি হয়, গুণক \(\left(1+\dfrac1n\right)^n\):

চক্রবৃদ্ধি	গুণক	\(\$1000\to\)
বার্ষিক (\(n=1\))	\(2.000\)	\(\$2000\)
ত্রৈমাসিক (\(n=4\))	\(2.441\)	\(\$2441\)
মাসিক (\(n=12\))	\(2.613\)	\(\$2613\)
দৈনিক (\(n=365\))	\(2.7146\)	\(\$2714.57\)
ধারাবাহিক (\(n\to\infty\))	\(e=2.71828\)	\(\$2718.28\)

quick method: \(\ln\left(1+\tfrac1n\right)^n=n\ln\left(1+\tfrac1n\right)\approx n\cdot\tfrac1n=1\), তাই সীমা সেই সংখ্যা যার logarithm \(1\) — অর্থাৎ \(e\)। base পরিবর্তন করে \(\left(1+\dfrac xn\right)^n\to e^x\), যা \(e^x\)-এর অসীম শ্রেণি \(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots\) দেয়। এই শ্রেণির derivative নিজেই — এটাই "নিজের derivative" ধর্মের সবচেয়ে পরিষ্কার রূপ।

চিত্র ২৪: difference equation \(y(t+1)=a\,y(t)\) দেয় \(y(t)=a^ty_0\) — differential equation-এর \(e^{ct}y_0\)-এর discrete সমান্তরাল। \(|a|>1\) হলে growth, \(|a|<1\) হলে decay। growth factor \(a\) তুলনীয় \(e^c\)-এর সাথে।

---

৫. Python-এ করো

numpy আর matplotlib দিয়ে exponential growth/decay এঁকে দেখি, আর half-life হাতে-কলমে যাচাই করি। (মন্তব্য বাংলায়।)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- growth vs decay: y = y0 * exp(c t) ----------
y0 = 100.0                      # শুরুর মান
t  = np.linspace(0, 10, 300)    # সময় 0 থেকে 10

y_growth = y0 * np.exp(0.30 * t)   # c = +0.30 : বৃদ্ধি (growth)
y_decay  = y0 * np.exp(-0.30 * t)  # c = -0.30 : ক্ষয় (decay)

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(t, y_growth, label="growth  c=+0.30", color="crimson")
plt.plot(t, y_decay,  label="decay   c=-0.30", color="navy")
plt.axhline(y0, ls=":", color="gray")
plt.xlabel("time t"); plt.ylabel("y")
plt.title("y = y0 * exp(c t)")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

# ---------- doubling time ও half-life হিসাব ----------
c = 0.30
T_double = np.log(2) / c        # দ্বিগুণ হওয়ার সময় = ln2 / c
print("doubling time T =", round(T_double, 3))   # ~ 2.310

# ---------- radioactive decay: half-life যাচাই ----------
T_half = 5568.0                 # carbon-14 এর half-life (বছর)
c_decay = -np.log(2) / T_half   # decay constant c (ঋণাত্মক)

# প্রতি half-life পরে পরিমাণ ঠিক অর্ধেক হয় কি না দেখি
for k in range(4):
    t_k = k * T_half
    frac = np.exp(c_decay * t_k)     # অবশিষ্ট ভগ্নাংশ = exp(c t)
    print(f"t = {k} half-life : অবশিষ্ট = {frac:.4f}  (প্রত্যাশিত {0.5**k:.4f})")

# ---------- carbon dating: বয়স নির্ণয় ----------
# নমুনায় জীবন্ত কাঠের 0.97/6.68 গুণ radiocarbon আছে
ratio = 0.97 / 6.68
age = np.log(ratio) / c_decay   # t = ln(ratio) / c
print("Lascaux গুহাচিত্রের বয়স ≈", round(age), "বছর")

# ---------- (1 + 1/n)^n কীভাবে e-তে পৌঁছায় ----------
for n in [1, 10, 100, 1000, 10000]:
    approx = (1 + 1.0/n) ** n
    print(f"n = {n:>6d} : (1+1/n)^n = {approx:.6f}")
print("প্রকৃত e =", np.e)

আউটপুট দেখাবে: doubling time T ≈ 2.31; প্রতি half-life-এ অবশিষ্ট ভগ্নাংশ ঠিক \(0.5,0.25,0.125,\ldots\); Lascaux-এর বয়স \(\approx14{,}400\) বছর; আর \((1+1/n)^n\) ধীরে ধীরে \(e=2.71828\ldots\)-এর দিকে উঠছে (কিন্তু ধীরে — \(n=10000\)-এও মাত্র \(2.7181\))।

---

৬. সাধারণ ভুল

এই ভুলগুলো এড়াও

• \(\dfrac{d}{dx}b^x=xb^{x-1}\) ❌। power rule এখানে খাটে না! exponent-এ ধ্রুব নয়, চলক আছে। সঠিক: \(\dfrac{d}{dx}b^x=(\ln b)\,b^x\), আর \(\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\)।
• \(\dfrac{d}{dx}\ln(3x)=\dfrac{3}{x}\) ❌। \(3\) কাটে যায়! \(\ln 3x=\ln3+\ln x\), তাই ঢাল \(\dfrac1x\) — \(\ln x\)-এর মতোই। (\(3/x\)-এর antiderivative \(\ln 3x\) নয়, \(3\ln x=\ln x^3\)।)
• \(\int e^{cx}\,dx=e^{cx}\) ❌। \(c\) দিয়ে ভাগ করতে ভুলো না: \(\int e^{cx}\,dx=\dfrac{e^{cx}}{c}+C\)। আর \(\int e^{-x^2/2}\,dx\)-এ \(du/dx\) হাজির নেই, তাই এটা elementary-ভাবে integrate হয় না।
• নির্দিষ্ট integral-এ \(f(0)=0\) ধরে নেওয়া ❌। power-এ সত্যি হলেও exponential-এ \(e^0=1\ne0\); নিচের সীমা বাদ দিলে চলবে না।
• \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) ❌। সঠিক নিয়ম গুণের জন্য: \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)। যোগের ভেতরের logarithm ভাঙা যায় না।
• doubling time-এ চিহ্ন গুলিয়ে ফেলা। growth-এ \(c>0\), \(T=\dfrac{\ln2}{c}>0\); decay-এ \(c<0\), half-life \(=\dfrac{\ln2}{|c|}\) (মান ধনাত্মক)। \(c\)-এর একক "\(1/\)সময়", তাই \(ct\) মাত্রাহীন।
• \(\ln\) ও \(\log_{10}\) মিশিয়ে ফেলা। calculus-এ "\(\log\)" মানে সাধারণত \(\ln\) (base \(e\)); calculator-এ "log" প্রায়ই base \(10\)। সন্দেহ হলে base পরিবর্তন: \(\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\)।
• \(e^{x+h}\)-কে যোগে ভাঙা ❌। \(e^{x+h}=e^x e^h\) (গুণ), \(e^x+e^h\) নয় — derivative-এর মূল কৌশলটাই এই গুণ-ভাঙায়।

---

৭. এক্সারসাইজ

সহজ থেকে কঠিন — ৯টা। কলম-কাগজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান মেলাও।

1. logarithm হিসাব করো (calculator ছাড়া): (ক) \(\log_2 32\) (খ) \(\log_2\tfrac1{32}\) (গ) \(\log_{10}1000\) (ঘ) \(\ln\tfrac1e\) (ঙ) \(\ln e^2\)।

2. derivative বের করো: (ক) \(e^{3x}\) (খ) \(x e^x\) (গ) \(e^{\sin x}\) (ঘ) \(2^x\) (ঙ) \(\ln(x^2+1)\)।

3. integral বের করো: (ক) \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx\) (খ) \(\displaystyle\int\frac{dx}{x+7}\) (গ) \(\displaystyle\int\tan x\,dx\) (ঘ) \(\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx\)।

4. একটা ব্যাকটেরিয়া-কালচার \(3\) ঘণ্টায় দ্বিগুণ হয়। প্রথমে \(c\) বের করো, তারপর \(10\) গুণ হতে কত ঘণ্টা লাগবে?

5. carbon-14-এর half-life \(5568\) বছর। একটা নমুনায় জীবন্ত কাঠের \(\tfrac14\) ভাগ radiocarbon আছে। নমুনার বয়স কত?

6. 1000 ডলার ধারাবাহিক \(8\%\) সুদে রাখা হলো। (ক) \(10\) বছর পরে মূল্য কত? (খ) দ্বিগুণ হতে কত বছর?

7. \(\dfrac{dy}{dt}=2y+6\) সমাধান করো \(y_0=0\) থেকে (ধরো \(y=Ae^{2t}+B\))। \(t\to\infty\)-তে আচরণ কী?

8. দেখাও \(y=\dfrac{1}{1+e^{-t}}\) সমীকরণ \(y'=y-y^2\) সিদ্ধ করে। এর steady state ও inflection point কোথায়?

9. (ক) সংজ্ঞা থেকে প্রমাণ করো \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)। (খ) \(\dfrac{d}{dx}\cosh(3x)\) বের করো।

---

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

"logarithm = exponent" মনে রেখে:

• (ক) \(\log_2 32\): \(2^5=32\), তাই \(=5\)।
• (খ) \(\log_2\tfrac1{32}=\log_2 2^{-5}=-5\)।
• (গ) \(\log_{10}1000=\log_{10}10^3=3\)।
• (ঘ) \(\ln\tfrac1e=\ln e^{-1}=-1\)।
• (ঙ) \(\ln e^2=2\) (কারণ \(\ln e=1\), ধর্ম ২ দিয়ে \(2\ln e=2\))।

২-নং সমাধান দেখাও

(ক) chain rule, \(u=3x\): \(\dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}\)।

(খ) product rule, \(\dfrac{d}{dx}(xe^x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(1+x)e^x\)।

(গ) chain rule, \(u=\sin x\): \(\dfrac{d}{dx}e^{\sin x}=e^{\sin x}\cos x\)।

(ঘ) \(2^x=e^{(\ln2)x}\), তাই \(\dfrac{d}{dx}2^x=(\ln2)\,2^x\)।

(ঙ) chain rule, \(u=x^2+1\): \(\dfrac{d}{dx}\ln(x^2+1)=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot2x=\dfrac{2x}{x^2+1}\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

(ক) \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\dfrac{e^{2x}}{2}+C\) (\(c=2\) দিয়ে ভাগ)।

(খ) \(\displaystyle\int\frac{dx}{x+7}=\ln|x+7|+C\) (\(u=x+7\), \(du/dx=1\))।

(গ) \(\displaystyle\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln|\cos x|+C\) (এখানে \(u=\cos x\), \(du/dx=-\sin x\) — তাই সামনে বিয়োগ)।

(ঘ) \(\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx\): \(u=x^2\), \(du/dx=2x\); একটা \(\tfrac12\) সাজিয়ে \(=\dfrac12 e^{x^2}+C\)।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(y=y_0e^{ct}\)। দ্বিগুণ: \(e^{c\cdot3}=2\Rightarrow 3c=\ln2\Rightarrow c=\dfrac{\ln2}{3}\approx0.231/\)ঘণ্টা।

\(10\) গুণ হতে সময় \(t\): \(e^{ct}=10\Rightarrow ct=\ln10\Rightarrow t=\dfrac{\ln10}{c}=\dfrac{\ln10}{\ln2/3}=3\cdot\dfrac{\ln10}{\ln2}=3\log_2 10\)।

সংখ্যায় \(\dfrac{\ln10}{\ln2}=\dfrac{2.303}{0.693}\approx3.32\), তাই \(t\approx3\times3.32\approx9.97\) ঘণ্টা — প্রায় \(10\) ঘণ্টা।

৫-নং সমাধান দেখাও

decay: \(\dfrac{y}{y_0}=\dfrac14\)। যেহেতু প্রতি half-life-এ অর্ধেক, \(\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^2\) — অর্থাৎ ঠিক \(2\)টা half-life পার:

\[t=2T=2\times5568=11{,}136\ \text{years}\]

ফর্মুলা দিয়ে যাচাই: \(c=-\dfrac{\ln2}{5568}\), \(t=\dfrac{\ln(1/4)}{c}=\dfrac{-2\ln2}{-\ln2/5568}=2\times5568\) — মেলে।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(c=0.08\), ধারাবাহিক।

(ক) \(y=1000\,e^{0.08\times10}=1000\,e^{0.8}\)। যেহেতু \(e^{0.8}\approx2.2255\), \(y\approx\$2225.54\)।

(খ) দ্বিগুণ: \(T=\dfrac{\ln2}{0.08}=\dfrac{0.6931}{0.08}\approx8.66\) বছর।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(y=Ae^{2t}+B\) ধরি। \(y'=2Ae^{2t}\); সমীকরণে বসাই:

\[2Ae^{2t}=2(Ae^{2t}+B)+6=2Ae^{2t}+2B+6.\]

\(2Ae^{2t}\) কাটে, থাকে \(0=2B+6\Rightarrow B=-3\)। initial \(y_0=0\): \(A+B=0\Rightarrow A=3\)। অতএব

\[y=3e^{2t}-3=3(e^{2t}-1).\]

এখানে \(c=2>0\) (growth), তাই \(t\to\infty\)-তে \(y\to\infty\) — অসীমে বাড়ে (কোনো সসীম steady state নেই, কারণ \(c>0\))।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(y=\dfrac{1}{1+e^{-t}}=(1+e^{-t})^{-1}\)। chain rule:

\[y'=-(1+e^{-t})^{-2}\cdot(-e^{-t})=\frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}.\]

এখন ডান পাশ \(y-y^2=y(1-y)\) হিসাব করি। \(y=\dfrac{1}{1+e^{-t}}\), তাই \(1-y=\dfrac{e^{-t}}{1+e^{-t}}\); গুণ করে:

\[y(1-y)=\frac{1}{1+e^{-t}}\cdot\frac{e^{-t}}{1+e^{-t}}=\frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}=y'.\qquad\square\]

এটা logistic (\(c=b=1\))। steady state: \(y'=0\Rightarrow y-y^2=0\Rightarrow y=1\) (অর্থাৎ \(y_\infty=c/b=1\))। inflection: \(y=\tfrac{c}{2b}=\tfrac12\), যা \(t=0\)-তে ঘটে (ঢাল সর্বোচ্চ)।

৯-নং সমাধান দেখাও

(ক) সংজ্ঞা বসাই:

\[\cosh^2x-\sinh^2x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2.\]

লব খুলি: \((e^x+e^{-x})^2=e^{2x}+2+e^{-2x}\) আর \((e^x-e^{-x})^2=e^{2x}-2+e^{-2x}\)। বিয়োগ করলে \(e^{2x}\) ও \(e^{-2x}\) কাটে, থাকে \(2-(-2)=4\):

\[=\frac{4}{4}=1.\qquad\square\]

(খ) chain rule, \(\dfrac{d}{dx}\cosh u=\sinh u\cdot u'\), এখানে \(u=3x\):

\[\frac{d}{dx}\cosh(3x)=3\sinh(3x).\]

---

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এক-নজরে:

• logarithm = exponent। \(b^x\) আর \(\log_b y\) inverse; \(\log(yz)=\log y+\log z\) (গুণ → যোগ)। base change: \(\log_a y=(\log_a b)(\log_b y)\)।
• \(e=\lim(1+1/n)^n=2.71828\ldots\) — সেই একমাত্র base যেখানে \(e^x\)-এর ঢাল \(x=0\)-তে \(1\)। ফলে \(\boxed{\tfrac{d}{dx}e^x=e^x}\) ও \(\boxed{\tfrac{d}{dx}\ln x=\tfrac1x}\)।
• সাধারণ base: \(\tfrac{d}{dx}b^x=(\ln b)b^x\); \(b^x=e^{(\ln b)x}\); \(\int e^{cx}dx=\tfrac{e^{cx}}{c}+C\); chain rule \(\tfrac{d}{dx}e^u=e^u u'\)।
• growth/decay: \(y'=cy\Rightarrow y=y_0e^{ct}\)। doubling \(T=\tfrac{\ln2}{c}\); half-life \(\tfrac{\ln2}{|c|}\); source term \(y'=cy+s\Rightarrow y=(y_0+\tfrac sc)e^{ct}-\tfrac sc\), steady state \(-\tfrac sc\)।
• \(\ln x=\int_1^x\tfrac{dt}{t}\) — \(1/x\)-এর ক্ষেত্রফল, তাই \(\ln1=0\); ধর্ম \(\ln ab=\ln a+\ln b\), \(\ln b^n=n\ln b\) ক্ষেত্রফল থেকে প্রমাণিত। \(\ln(1+x)\approx x\)।
• separable: \(\int\tfrac{dy}{u(y)}=\int v(t)dt\); logistic \(y'=cy-by^2\) দেয় S-curve, steady state \(c/b\), inflection \(c/2b\)।
• compound interest: \((1+x/n)^n\to e^x\); শ্রেণি \(e^x=\sum x^k/k!\) (নিজের derivative)।
• hyperbolic: \(\cosh x=\tfrac{e^x+e^{-x}}{2}\), \(\sinh x=\tfrac{e^x-e^{-x}}{2}\); \(\cosh^2-\sinh^2=1\); \((\cosh)'=\sinh\), \((\sinh)'=\cosh\); Euler \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)।

Checklist — নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] logarithm-এর তিন নিয়ম (গুণ→যোগ, ভাগ→বিয়োগ, ঘাত→গুণ) ও base change প্রয়োগ করতে পারি।
• [ ] \(e\)-এর অন্তত তিনটে সমতুল্য সংজ্ঞা বলতে পারি (\(\lim(1+1/n)^n\), ঢাল-\(1\), শ্রেণি)।
• [ ] \(\tfrac{d}{dx}e^x=e^x\) ও \(\tfrac{d}{dx}\ln x=\tfrac1x\) কেন — ব্যাখ্যা করতে পারি।
• [ ] \(e^{u(x)}\), \(b^x\), \(\ln u(x)\)-এর derivative ও \(e^{cx}\), \(1/x\)-এর integral বের করতে পারি।
• [ ] \(y'=cy\) থেকে \(y=y_0e^{ct}\) separation দিয়ে বের করতে পারি।
• [ ] doubling time ও half-life হিসাব করতে পারি, চিহ্ন ঠিক রেখে।
• [ ] source term \(y'=cy+s\) সমাধান ও steady state \(-s/c\) বের করতে পারি (Newton cooling সহ)।
• [ ] \(\ln x=\int_1^x dt/t\) সংজ্ঞা থেকে \(\ln ab=\ln a+\ln b\) প্রমাণ করতে পারি।
• [ ] logistic S-curve, তার steady state ও inflection point ব্যাখ্যা করতে পারি।
• [ ] \(\cosh^2-\sinh^2=1\) প্রমাণ ও hyperbolic derivative বের করতে পারি; Euler-এর সূত্র চিনি।
• [ ] Python-এ numpy/matplotlib দিয়ে growth/decay এঁকে half-life ও carbon dating যাচাই করতে পারি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.7 — Techniques of Integration — integration by parts, নতুন substitution ও partial fractions দিয়ে \(\int x\cos x\,dx\), \(\int\sqrt{1-x^2}\,dx\)-এর মতো integral জয় করা।