9.12 — Motion along a Curve (বক্ররেখায় গতি)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: এতদিন আমরা এক-চলকের function \(f(x)\) নিয়ে কাজ করেছি। এবার একটা বস্তু space-এ ঘুরছে, আর তার প্রতিটা মুহূর্তের অবস্থান একটা vector function \(\mathbf{R}(t)\) দিয়ে ধরা হচ্ছে। এই অধ্যায়ে দেখব — position vector (অবস্থান ভেক্টর)-কে অন্তরিত করলেই পাই velocity (বেগ) \(\mathbf{v}=\mathbf{R}'\), যা সবসময় বক্ররেখার tangent (স্পর্শক); আবার অন্তরিত করলে acceleration (ত্বরণ) \(\mathbf{a}=\mathbf{v}'\)। এই এক ধারণা থেকেই বেরিয়ে আসে সরলরেখা ও বৃত্তে গতি, projectile (প্রক্ষেপ্য)-এর parabola, চাকার বিন্দুর cycloid, বাঁক মাপার curvature (বক্রতা) \(\kappa\) ও normal vector (অভিলম্ব ভেক্টর) \(\mathbf{N}\), আর সবশেষে polar coordinates (মেরু স্থানাঙ্ক) দিয়ে গ্রহের গতি ও Kepler-এর তিনটি সূত্র — যাকে বলা হয় "মানবজাতির সর্বকালের সেরা বৈজ্ঞানিক আবিষ্কার"। Strang-এর Chapter 12-এর চারটে section এখানে লাইন-ধরে-ধরে, একদম বেসিক থেকে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

বইয়ের শুরুতে গতি ছিল সরল — একটা সংখ্যা \(x(t)\) বলত বস্তু সরলরেখায় কোথায়। কিন্তু বাস্তবে একটা বল বাতাসে বাঁকা পথে ওড়ে, একটা গ্রহ সূর্যের চারদিকে ঘোরে, একটা চাকার প্রান্তের বিন্দু আশ্চর্য এক curve আঁকে। এসব গতিতে বস্তু একসাথে কোথায় আছে, কোন দিকে যাচ্ছে, আর কত দ্রুত যাচ্ছে — তিনটে তথ্যই দরকার। একটা সংখ্যায় এত কিছু ধরে না; দরকার vector।

মূল ধারণাটা এক লাইনে বলা যায়: বস্তুর অবস্থান একটা vector function

\[\mathbf{R}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} + z(t)\,\mathbf{k},\]

আর "differentiate কর" — calculus-এর চিরন্তন প্রথম প্রশ্ন — এখানে দেয় velocity vector \(\mathbf{v}=d\mathbf{R}/dt\)। এই একটা derivative-এ তিনটে তথ্যই বসে আছে: এর দিক বস্তু কোন দিকে যাচ্ছে (আর এটা সবসময় curve-এর tangent), আর এর দৈর্ঘ্য \(\lvert\mathbf{v}\rvert\) হলো speed (দ্রুতি)। আবার differentiate করলে পাই acceleration \(\mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt\) — যা Newton-এর \(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\)-র মাধ্যমে বলের সঙ্গে জোড়া।

কেন এত গুরুত্বপূর্ণ? কারণ এই সামান্য কাঠামো দিয়েই মানুষ চাঁদে গেছে, উপগ্রহ কক্ষপথে বসিয়েছে, বেসবলের curve ball বুঝেছে, আর সবচেয়ে বিস্ময়করভাবে — Kepler ষাট বছর ধরে যে গ্রহ-গতির তিনটে সূত্র হাজার হাজার পর্যবেক্ষণ থেকে অনুমান করেছিলেন, তা Newton কয়েক পৃষ্ঠার calculus দিয়ে প্রমাণ করে দেখিয়েছিলেন। আমরাও সেটা এই অধ্যায়েই করব।

মূল স্বজ্ঞা

একটাই সুতো পুরো অধ্যায়কে গেঁথে রাখে — অবস্থান থেকে বেগ থেকে ত্বরণ, দুইবার derivative:

\[\mathbf{R}(t) \;\xrightarrow{\;d/dt\;}\; \mathbf{v}(t) \;\xrightarrow{\;d/dt\;}\; \mathbf{a}(t).\]

এর মধ্যে দুটো জ্যামিতিক সত্য বারবার ফিরে আসবে: (১) velocity সবসময় curve-এর tangent বরাবর, আর (২) বৃত্তে সমগতিতে acceleration সবসময় কেন্দ্রের দিকে। এই দুটো ছবি মাথায় গেঁথে গেলে projectile, cycloid, curvature আর Kepler — সব নিজে থেকেই খুলে যাবে।

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ The Position Vector — অবস্থান, বেগ, ত্বরণ

একটা ধ্রুব vector যেমন \(2\mathbf{i}+4\mathbf{j}+8\mathbf{k}\) নড়ে না। কিন্তু \(\mathbf{R}(t)=t\,\mathbf{i}+t^2\,\mathbf{j}+t^3\,\mathbf{k}\) চলমান — এটা parameter (প্রাচল) \(t\)-এর function, যা প্রায়ই সময়। প্রতিটা মুহূর্তে \(\mathbf{R}(t)\) চলমান বস্তুর অবস্থান দেখায়:

\[\text{position vector} = \mathbf{R}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} + z(t)\,\mathbf{k}.\]

উপরের উদাহরণে \(x=t,\ y=t^2,\ z=t^3\)। \(t\) বদলালে এই বিন্দুগুলো space-এ একটা curve আঁকে; \(t\) বলে দেয় বস্তু কখন curve-এর কোন বিন্দুতে ছিল। ধ্রুব \(2\mathbf{i}+4\mathbf{j}+8\mathbf{k}\) হলো \(t=2\) মুহূর্তের অবস্থান \(\mathbf{R}(2)\)।

Velocity — derivative। যা নড়ে তাকে differentiate কর। \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) ধ্রুব বলে তাদের derivative শূন্য, তাই component-ভিত্তিক নিয়ম:

\[\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{R}}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\mathbf{i} + \frac{dy}{dt}\,\mathbf{j} + \frac{dz}{dt}\,\mathbf{k}.\]

কিন্তু এটা derivative-এর সংজ্ঞা নয়, শুধু হিসাবের নিয়ম। সংজ্ঞা coordinate-এর উপর নির্ভর করে না, বরং একদম মূলে ফিরে যায়:

\[\frac{d\mathbf{R}}{dt} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{R}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{R}(t+\Delta t)-\mathbf{R}(t)}{\Delta t}.\]

লক্ষ্য কর: \(\mathbf{R}\) একটা vector, \(\Delta\mathbf{R}\) একটা vector, তাই \(d\mathbf{R}/dt\)-ও একটা vector (কিন্তু \(t\) vector নয়!)। এই সংজ্ঞা থেকেই বেরোয় অধ্যায়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক সত্য: velocity \(\mathbf{v}=d\mathbf{R}/dt\) সবসময় curve-এর tangent বরাবর। কারণ \(\Delta\mathbf{R}\) curve-এর এক বিন্দু থেকে কাছের বিন্দুতে যায়; \(\Delta t\) দিয়ে ভাগ করলে দৈর্ঘ্য বদলায় কিন্তু দিক বদলায় না — আর বিন্দু দুটো কাছে এলে সেই দিক tangent-এর সঙ্গে মিলে যায়।

উদাহরণে \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+3t^2\,\mathbf{k}\)। \(t=0\)-তে \(\mathbf{v}=\mathbf{i}\) (tangent \(x\)-অক্ষ বরাবর); \(t=1\)-তে \(\mathbf{v}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}\), curve উপরে উঠছে।

কিড-চিত্র: একটা বৃত্তে সমগতি — position vector \(\mathbf{R}\) কেন্দ্র থেকে বাইরে, velocity \(\mathbf{v}\) সবসময় বৃত্তের tangent বরাবর (গতির দিক), আর acceleration \(\mathbf{a}\) সবসময় কেন্দ্রের দিকে ভেতরে। এই তিনটে vector-এর সম্পর্কই পুরো অধ্যায়ের মেরুদণ্ড।

উদাহরণ: সরলরেখায় সমগতি। velocity ধ্রুব হলে speed ও দিক বদলায় না:

\[\mathbf{R}(t) = \mathbf{R}_0 + t\,\mathbf{v} \qquad (\mathbf{R}_0\text{ fixed, }\mathbf{v}\text{ fixed, }t\text{ varying}).\]

এটাই vector-রূপে সরলরেখার সমীকরণ, আর নিশ্চিতভাবে \(d\mathbf{R}/dt=\mathbf{v}\)। component আলাদা করলে:

\[x = x_0 + t v_1,\qquad y = y_0 + t v_2,\qquad z = z_0 + t v_3.\]

speed \(\lvert\mathbf{v}\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\), দিক unit vector \(\mathbf{v}/\lvert\mathbf{v}\rvert\)। \(t\) বাদ দিলে (প্রতিটা সমীকরণ থেকে \(t\) বের করে সমান বসিয়ে) parameter ছাড়া রূপ পাই:

\[\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}.\]

space-এ একটা রেখার জন্য এক parameter বা দুটো সমীকরণ লাগে; একটা তল-এর (plane) জন্য উল্টো — এক সমীকরণ বা দুটো parameter। রেখা parameter দিয়ে সুন্দর, তল সমীকরণ দিয়ে সুন্দর।

চিত্র ১২.২: একই রেখার দুই লিখন — parameter \(t\) সহ (\(\mathbf{R}=\mathbf{R}_0+t\mathbf{v}\), বলে "কখন ও কত দ্রুত") এবং parameter ছাড়া (দুটো সমীকরণ, শুধু "কোথায়")।

চিত্র ১২.২(খ): দুই বিন্দু \(P,Q\)-র মধ্য দিয়ে রেখা — \(\mathbf{v}\) হলো \(P\) থেকে \(Q\) যাওয়ার vector, আর \(\mathbf{R}_0\) ঠিক করে কোথা থেকে শুরু। একই পথে ভিন্ন গতিতে চলা "যমজ" বস্তু ভিন্ন সময়ে একই বিন্দুতে পৌঁছায়।

Speed, distance, unit tangent। curve বরাবর দূরত্বকে বলে arc length (চাপ-দৈর্ঘ্য) \(s\)। speed হলো দূরত্বের হার:

\[\text{speed} = \lvert\mathbf{v}\rvert = \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2},\qquad s = \int \lvert\mathbf{v}(t)\rvert\,dt.\]

velocity-র দিক হলো unit tangent vector (একক স্পর্শক ভেক্টর) \(\mathbf{T}\):

\[\mathbf{T} = \frac{\mathbf{v}}{\lvert\mathbf{v}\rvert} = \frac{d\mathbf{R}/dt}{ds/dt} = \frac{d\mathbf{R}}{ds}.\]

রেখার জন্য \(\mathbf{T}\) ধ্রুব; curve-এর জন্য \(\mathbf{T}\)-এর দিক বদলায় — সেটাই পরের section-এর curvature-এর বিষয়।

Acceleration। velocity-র পরিবর্তনের হার (speed-এর নয়):

\[\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2} = \frac{d^2x}{dt^2}\,\mathbf{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\,\mathbf{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\,\mathbf{k}.\]

সরলরেখায় সমগতিতে সব দ্বিতীয়-derivative শূন্য, তাই \(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)। কিন্তু বৃত্তে সমগতিতে \(\mathbf{a}\ne\mathbf{0}\) — গাড়িতে গ্যাস বা ব্রেক ছাড়াও স্টিয়ারিং ঘুরিয়ে তুমি accelerate কর, কারণ velocity vector-এর দিক বদলাচ্ছে।

চিত্র ১২.৩: বৃত্তে সমগতি — \(\mathbf{v}\) tangent, \(\mathbf{a}\) কেন্দ্রমুখী। ডানে helix (কুণ্ডলী): বৃত্তাকার গতির সঙ্গে উপরের দিকে সরল গতি যোগ করলে পাক-খাওয়া helix তৈরি হয়।

Curve ball (বাঁকা বল)। পিচার বল ছাড়ে \(\mathbf{R}_0=5\mathbf{k}\) (মাটি থেকে ৫ ফুট উঁচুতে), \(\mathbf{v}_0=120\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}\)। acceleration মাধ্যাকর্ষণ থেকে \(-32\mathbf{k}\), প্লাস স্পিন থেকে একটা পাশের term — মিলে \(\mathbf{a}=16\mathbf{j}-32\mathbf{k}\)। integrate করে:

\[\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t = 120\,\mathbf{i} + (-2+16t)\,\mathbf{j} + (2-32t)\,\mathbf{k},\]

\[\mathbf{R}(t) = \mathbf{R}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac12\mathbf{a}t^2 = 120t\,\mathbf{i} + (-2t+8t^2)\,\mathbf{j} + (5+2t-16t^2)\,\mathbf{k}.\]

খেয়াল কর \(t^2\) পদটা প্রথমে ছোট, পরে হঠাৎ বড় — তাই ব্যাটসম্যান \(t=\tfrac14\)-এ দেখে বল সোজা আসছে (\(y\)-component শূন্য), কিন্তু \(t=\tfrac12\)-এ বল \(x=60\) ফুট পেরিয়ে হঠাৎ বাইরের কোণে নেমে যায়।

চিত্র ১২.৪: curve ball হোম প্লেটের দিকে আসছে। অর্ধেক পথে (\(t=\tfrac14\)) এটা সোজা লাইনে দেখায়, কিন্তু শেষে স্পিনের \(t^2\) পদ বড় হয়ে বল কোণে বেঁকে যায়।

২.২ Plane Motion — Projectiles ও Cycloids

আগের section-এ \(\mathbf{R}(t)\) থেকে \(\mathbf{v},\mathbf{a}\) বের করেছি। এবার উল্টো — আরও মৌলিক তথ্য (পদার্থবিদ্যার সূত্র) থেকে \(\mathbf{R}(t)\) খুঁজে বের করব। এই গতিগুলো একটা তলে ঘটে, তাই দুটো component: \(x\) (আড়াআড়ি) আর \(y\) (উপরে)।

Projectile (প্রক্ষেপ্য)। ঘর্ষণহীন উড়ন্ত বস্তুর উপর একমাত্র বল মাধ্যাকর্ষণ। শুরুর অবস্থান \((0,0)\), শুরুর বেগ \((v_0\cos\alpha,\ v_0\sin\alpha)\) যেখানে \(v_0\) speed আর \(\alpha\) অনুভূমিকের সঙ্গে কোণ। মাধ্যাকর্ষণ কেবল নিচের দিকে: \(d^2y/dt^2=-g\)। তাই অনুভূমিক বেগ ধ্রুব, উল্লম্ব বেগ \(gt\) হারে কমে:

\[\frac{dx}{dt} = v_0\cos\alpha,\qquad \frac{dy}{dt} = v_0\sin\alpha - gt.\]

integrate করলে projectile-এর পথ:

\[x(t) = (v_0\cos\alpha)\,t,\qquad y(t) = (v_0\sin\alpha)\,t - \tfrac12 g t^2.\]

এটা একটা parabola — কিন্তু \(y=ax^2+bx+c\) রূপে লেখা নেই। \(t\) বাদ দিলে সেই রূপ পাওয়া যায়, তবে তখন সময়ের হিসাব হারিয়ে যায়। parameter রাখার সুবিধা: বস্তু কোথায় পড়ল ছাড়াও কখন পড়ল জানা যায়। মাটিতে ফেরার সময় \(y=0\) থেকে:

\[T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\qquad \text{range } R = x(T) = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.\]

সর্বোচ্চ উচ্চতা \(dy/dt=0\) থেকে, অর্থাৎ ওঠার সময় \(=\) নামার সময় \(=\tfrac12 T\):

\[y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}.\]

\(\sin 2\alpha=1\) (অর্থাৎ \(\alpha=45^\circ\))-এ range সর্বোচ্চ। আর \(\sin 2\alpha\) একই থাকে \(\alpha\) ও \(90^\circ-\alpha\) দুই কোণে — তাই \(30^\circ\) ও \(60^\circ\) একই দূরত্বে পড়ে, তবে ভিন্ন সময়ে ও ভিন্ন উচ্চতায়।

চিত্র ১২.৫: সমান range \(R\) কিন্তু ভিন্ন উড়ান-সময় \(T\)। বিন্দুগুলো আধা-সেকেন্ড অন্তর; বাতাসের বাধা ছাড়া parabola প্রতিসম, বাধাসহ পথ আরও খাড়া নেমে আসে (Robert Adair-এর The Physics of Baseball থেকে)।

কিড-চিত্র: \(\alpha\) কোণে ছোঁড়া projectile parabola আঁকে। শুরুর বেগ ভাঙে অনুভূমিক \(v_0\cos\alpha\) (ধ্রুব, লাল) আর উল্লম্ব \(v_0\sin\alpha\) (মাধ্যাকর্ষণে কমে, সবুজ) অংশে। সর্বোচ্চ বিন্দুতে উল্লম্ব বেগ শূন্য, তাই ওঠা-নামার সময় সমান।

Cycloid। projectile-এর পথ সহজ parabola, কিন্তু একটা গড়ানো চাকার প্রান্তের বিন্দুর পথ থেকে \(t\) বাদ দেওয়া প্রায় অসম্ভব — cycloid হলো সেই curve যার সত্যিই parameter দরকার। ব্যাসার্ধ \(a\)-র একটা বৃত্ত \(x\)-অক্ষ বরাবর গড়াও; নিচের যে বিন্দুটা থেকে শুরু, সেটা এক পূর্ণ পাকের পর \(x=2\pi a\)-তে আবার নিচে আসে। parameter হলো ঘোরার কোণ \(\theta\)। বৃত্ত \(a\theta\) দূরত্ব গড়ায়, তাই কেন্দ্র \((a\theta,\ a)\)-তে; কেন্দ্র থেকে বিন্দুতে যেতে \(a\sin\theta,\ a\cos\theta\) বিয়োগ করি:

\[x = a(\theta - \sin\theta),\qquad y = a(1 - \cos\theta).\]

\(\theta=0\)-তে \((0,0)\), \(\theta=2\pi\)-তে \((2\pi a,0)\)। ঢাল chain rule দিয়ে:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin\theta}{a(1-\cos\theta)},\]

যা \(\theta=0\)-তে অসীম — বিন্দুটা সোজা উপরে ওঠে, cycloid-এ একটা cusp (তীক্ষ্ণ কোণ) তৈরি হয়। এক আর্চের নিচের ক্ষেত্রফল \(3\pi a^2\) আর আর্চের দৈর্ঘ্য \(8a\) — দুটোই কেবল parameter \(\theta\) দিয়ে সহজে বেরোয়।

চিত্র ১২.৬: গড়ানো বৃত্তের বিন্দু \(P\)-র পথ একটা cycloid — প্রতিটা পাকের শেষে cusp। উল্টে দিলে এই cycloid হলো \(O\) থেকে \(Q\)-তে সবচেয়ে দ্রুত পিছলে নামার পথ (brachistochrone)।

Brachistochrone (দ্রুততম-অবতরণ) সমস্যা। cycloid উল্টে দিয়ে (\(y\) নিচের দিকে) উপর থেকে ছেড়ে দিলে বস্তু কত দ্রুত নিচে পৌঁছায়? শক্তি সংরক্ষণে speed \(v=\sqrt{2gy}\), আর \(ds\) জানা, তাই:

\[\text{descent time} = \int \frac{ds}{\sqrt{2gy}} = \pi\sqrt{\frac{a}{g}}.\]

এটাই যেকোনো curve-এর মধ্যে সবচেয়ে কম সময়! সোজা রেখায় নামলে সময় \(\sqrt{\pi^2+4}\cdot\sqrt{a/g}\) — বেশি। যদিও সোজা পথ ছোট, তবু cycloid-এ শুরুতেই খাড়া নেমে দ্রুত গতি পাওয়ায় মোট সময় কম। John Bernoulli এটাকে আন্তর্জাতিক চ্যালেঞ্জ বানিয়েছিলেন; Newton নাম ছাড়াই সমাধান পাঠান, আর Bernoulli বলেছিলেন "নখ দেখেই সিংহ চিনি"। আরও বিস্ময়: cycloid-এর যেকোনো বিন্দু থেকে ছাড়লে তলদেশে পৌঁছাতে একই সময় লাগে।

চিত্র ১২.৬(খ): cycloid-এর একটা বিন্দুতে tangent রেখা গড়ানো বৃত্তের সবচেয়ে উপরের বিন্দু দিয়ে যায় — গড়ানো গতির একটা সুন্দর জ্যামিতিক ধর্ম।

চিত্র ১২.৬(গ): trochoid — বিন্দু \(P\) কেন্দ্র থেকে দূরত্ব \(d\)-তে থাকলে (\(d\ne a\)) cycloid-এর বদলে ঢেউ-খেলানো পথ। কাছাকাছি জাতভাই: epicycloid (বাইরে গড়ানো), hypocycloid (ভেতরে গড়ানো), astroid (১:৪ অনুপাত)।

২.৩ Curvature ও Normal Vector — বাঁক কত, কোন দিকে

গাড়ির চালক তিনভাবে accelerate করে — গ্যাস, ব্রেক (speed বদলায়), আর স্টিয়ারিং (দিক বদলায়)। এবার আমরা দিক বদলানো-টা মাপব। দুটো প্রশ্ন:

1. \(\mathbf{T}\) কত দ্রুত ঘুরছে? — এটা curvature (বক্রতা) \(\kappa\) (kappa)।
2. \(\mathbf{T}\) কোন দিকে ঘুরছে? — এটা normal vector (অভিলম্ব ভেক্টর) \(\mathbf{N}\)।

\(\kappa\) ও \(\mathbf{N}\) কেবল curve-এর আকৃতির উপর নির্ভর করে, speed-এর উপর নয় — \(t\)-কে \(2t\) বা \(t^2\) দিয়ে বদলালেও এরা একই থাকে। বৃত্তের জন্য উত্তর আগেই বলে দিই: \(\mathbf{N}\) কেন্দ্রের দিকে, আর \(\kappa = 1/\text{radius}\)। ছোট বৃত্ত মানে বেশি বাঁক, বেশি \(\kappa\)।

curvature হলো দিকের পরিবর্তন \(\lvert d\mathbf{T}\rvert\) ভাগ অবস্থানের পরিবর্তন \(\lvert ds\rvert\):

\[\text{definition: }\ \kappa = \left\lvert\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rvert,\qquad\qquad \text{formula: }\ \kappa = \frac{\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert}{\lvert\mathbf{v}\rvert^3}.\]

সংজ্ঞায় parameter \(t\) নেই, কিন্তু হিসাবে আছে। সূত্রটা কেন কাজ করে তা section ৩-এ প্রমাণ করব। একটা তল-বক্ররেখার (plane curve) জন্য component দিয়ে (এখানে \(x'=dx/dt\)):

\[\kappa = \frac{\lvert x'y'' - y'x''\rvert}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}.\]

আর \(y=f(x)\) graph-এর জন্য (parameter হলো \(x\) নিজেই) সবচেয়ে জনপ্রিয় সূত্র:

\[\kappa = \frac{\lvert d^2y/dx^2\rvert}{\left(1+(dy/dx)^2\right)^{3/2}}.\]

যেমন parabola \(y=\tfrac12 x^2\)-এর \(\kappa = 1/(1+x^2)^{3/2}\) — শীর্ষে (\(x=0\)) সর্বোচ্চ বাঁক \(\kappa=1\), দূরে গেলে \(\kappa\to 0\) (প্রায় সোজা)। জনপ্রিয় আসন্নীকরণ শুধু \(\lvert d^2y/dx^2\rvert\) (হর বাদ) — beam (কড়ি)-র বাঁকের রৈখিক সমীকরণে এটাই ব্যবহৃত।

Normal vector \(\mathbf{N}\)। যেখানে \(\kappa\) ঘোরার হার মাপে, \(\mathbf{N}\) ঘোরার দিক দেয়। এটা \(\mathbf{T}\)-এর লম্ব একক vector, \(d\mathbf{T}\)-এর দিকে:

\[\mathbf{N} = \frac{1}{\kappa}\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \frac{d\mathbf{T}/dt}{\lvert d\mathbf{T}/dt\rvert}.\]

কেন \(\mathbf{N}\perp\mathbf{T}\)? কারণ \(\mathbf{T}\) একক vector, \(\mathbf{T}\cdot\mathbf{T}=1\); দুই পাশ differentiate করলে \(2\,\mathbf{T}\cdot d\mathbf{T}/dt=0\), তাই \(d\mathbf{T}/dt\) (এবং \(\mathbf{N}\)) সবসময় \(\mathbf{T}\)-এর লম্ব। \(\mathbf{T}\) ও \(\mathbf{N}\)-এর লম্বে তৃতীয় একটা দিক binormal (দ্বি-অভিলম্ব) \(\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}\) — এই তিনটা মিলে curve-এর স্বাভাবিক স্থানাঙ্ক-কাঠামো।

চিত্র ১২.৭: বৃত্ত, parabola ও একক helix-এর জন্য normal \(\mathbf{N}\) এবং বক্রতা-ব্যাসার্ধ \(1/\kappa\)। যেখানে বাঁক বেশি সেখানে osculating circle (স্পর্শী বৃত্ত) ছোট, \(1/\kappa\) ছোট।

Acceleration-এর ভাগ। velocity \(\mathbf{v}=\lvert\mathbf{v}\rvert\mathbf{T}\)-কে differentiate করলে acceleration ভাগ হয়ে যায় tangent ও normal অংশে:

\[\mathbf{a} = \frac{d^2s}{dt^2}\,\mathbf{T} + \kappa\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\mathbf{N}.\]

প্রথম পদ (গ্যাস/ব্রেক) speed বদলায়; দ্বিতীয় পদ (স্টিয়ারিং) দিক বদলায়। কোণ ঘোরার সময় প্রয়োজনীয় বল curvature আর speed-এর উপর নির্ভর করে — যা সব চালকই জানে।

চিত্র ১২.৮: গাড়ি কোণ ঘোরার সময় acceleration \(\mathbf{a}\)-র দুই অংশ — \(\mathbf{T}\) বরাবর (\(d^2s/dt^2\), গতি বদল) আর \(\mathbf{N}\) বরাবর (\(\kappa\lvert\mathbf{v}\rvert^2\), দিক বদল, কেন্দ্রমুখী)।

২.৪ Polar Coordinates ও Planetary Motion — Kepler

এই section-এর দুটো উদ্দেশ্য: (১) polar coordinates-এ vector calculus, আর (২) গ্রহের গতি। গ্রহের উপর মূল বল সূর্য থেকে — এটা একটা central force (কেন্দ্রীয় বল), কেন্দ্র থেকে আসে। তাই polar coordinates স্বাভাবিক, আর দুই উদ্দেশ্য একসাথে চলে।

প্রথম সিদ্ধান্ত — central force-এ গতি সবসময় একটা তলে থাকে। central force \(\mathbf{F}\) হলো \(\mathbf{R}\)-এর গুণিতক, আবার \(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\), তাই \(\mathbf{R}\) ও \(\mathbf{a}\) একই দিকে এবং \(\mathbf{R}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}\)। তখন product rule-এ:

\[\frac{d}{dt}(\mathbf{R}\times\mathbf{v}) = \mathbf{v}\times\mathbf{v} + \mathbf{R}\times\mathbf{a} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}.\]

তাই \(\mathbf{R}\times\mathbf{v}=\mathbf{H}\) একটা ধ্রুব vector, আর \(\mathbf{R}\) সবসময় \(\mathbf{H}\)-এর লম্ব তলে থাকে।

Polar একক vector। কেন্দ্র ছাড়া প্রতিটা বিন্দুতে \(\mathbf{u}_r\) বাইরের দিকে একক vector, আর \(\mathbf{u}_\theta\) তার \(90^\circ\) ঘোরানো:

\[\mathbf{u}_r = \cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{j},\qquad \mathbf{u}_\theta = -\sin\theta\,\mathbf{i} + \cos\theta\,\mathbf{j}.\]

এদের \(\theta\)-derivative (r বদলালে এরা বদলায় না):

\[\frac{d\mathbf{u}_r}{d\theta} = \mathbf{u}_\theta,\qquad \frac{d\mathbf{u}_\theta}{d\theta} = -\mathbf{u}_r.\]

চিত্র ১২.৯: \(\mathbf{u}_r\) কেন্দ্র থেকে বাইরে, \(\mathbf{u}_\theta\) কেন্দ্রের চারদিকে ঘোরার দিকে (\(\mathbf{u}_r\cdot\mathbf{u}_\theta=0\))। এই দিকে \(\mathbf{v}\) ও \(\mathbf{a}\)-র component বসানো হয়।

Polar-এ velocity ও acceleration। যেহেতু \(\mathbf{R}=r\,\mathbf{u}_r\), chain rule \(d\mathbf{u}_r/dt=(d\theta/dt)\mathbf{u}_\theta\) ব্যবহার করে:

\[\mathbf{v} = \frac{d}{dt}(r\,\mathbf{u}_r) = \frac{dr}{dt}\,\mathbf{u}_r + r\frac{d\theta}{dt}\,\mathbf{u}_\theta.\]

বাইরের speed \(dr/dt\), বৃত্তাকার speed \(r\,d\theta/dt\)। আবার product rule-এ differentiate করলে সেই বিখ্যাত (কিন্তু কঠিন) সূত্র — যা মানুষকে চাঁদে পৌঁছে দিয়েছে:

\[\mathbf{a} = \left(\frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\mathbf{u}_r + \left(r\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\right)\mathbf{u}_\theta.\]

Kepler-এর তিন সূত্র। Johannes Kepler, Tycho Brahe-র বহু বছরের পর্যবেক্ষণ বিশ্লেষণ করে তিনটি empirical law বের করেন। Galileo ও Copernicus বৃত্ত আশা করেছিলেন; Kepler পেলেন ellipse।

• সূত্র ১: প্রতিটা গ্রহ একটা ellipse-এ চলে, যার এক focus (নাভি)-তে সূর্য।
• সূত্র ২: সূর্য-থেকে-গ্রহ vector সমান হারে ক্ষেত্রফল ঝাড়ে: \(dA/dt=\) ধ্রুব।
• সূত্র ৩: ideal two-body approximation-এ orbital period \(T = k\,a^{3/2}\), যেখানে \(a\) হলো ellipse-এর semi-major axis এবং \(k=2\pi/\sqrt{GM}\) যখন central mass \(M\) planet mass-এর তুলনায় dominant। Exact two-body form-এ \(M\)-এর জায়গায় total mass আসে।

চিত্র ১২.১০: গ্রহ একটা ellipse-এ, সূর্য এক focus-এ (কেন্দ্রে নয়!)। \(a\) অর্ধ-বৃহৎ অক্ষ, \(b\) অর্ধ-ক্ষুদ্র অক্ষ, \(c\) কেন্দ্র-থেকে-focus দূরত্ব (\(c^2=a^2-b^2\))। সূর্যের কাছে \(r\) ছোট, তাই গ্রহ দ্রুত ঘোরে।

সূত্র ২ সবচেয়ে সহজ। \(\mathbf{H}=\mathbf{R}\times\mathbf{v}\)-তে \(\mathbf{R}=r\mathbf{u}_r\) আর \(\mathbf{v}\) বসাই:

\[\mathbf{H} = r\mathbf{u}_r \times\left(\frac{dr}{dt}\mathbf{u}_r + r\frac{d\theta}{dt}\mathbf{u}_\theta\right) = r^2\frac{d\theta}{dt}\,(\mathbf{u}_r\times\mathbf{u}_\theta).\]

তাই দৈর্ঘ্য \(h = r^2\,d\theta/dt\) ধ্রুব। polar-এ ক্ষেত্রফল \(dA=\tfrac12 r^2\,d\theta\), তাই:

\[\frac{dA}{dt} = \tfrac12 r^2\frac{d\theta}{dt} = \tfrac12 h = \text{constant}. \qquad(\text{Law 2 proved})\]

Inverse-square gravity-তে orbit কোন conic? Central force একা plane motion ও equal-area law দেয়; ellipse নিশ্চিত করে না। এখন বিশেষভাবে attractive inverse-square acceleration \(-GM/r^2\) নিই। সুবিধার জন্য \(q=1/r\)। Chain rule ও \(d\theta/dt=h/r^2=hq^2\) ব্যবহার করে:

\[\frac{dr}{dt} = -h\frac{dq}{d\theta},\qquad \frac{d^2r}{dt^2} = -h^2 q^2\frac{d^2q}{d\theta^2}.\]

এবার Newton-এর সূত্র \(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\)-তে \(\mathbf{a}\)-র radial component (মাধ্যাকর্ষণ \(-GM/r^2\)):

\[-\frac{GM}{r^2} = \frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2.\]

\(r\to 1/q\) আর \(d\theta/dt\to hq^2\) বসিয়ে, \(-h^2q^2\) দিয়ে ভাগ করলে সব সরল হয়ে দাঁড়ায়:

\[\frac{d^2q}{d\theta^2} + q = \frac{GM}{h^2} = C \quad (\text{constant}).\]

সমাধান \(q=C-D\cos(\theta-\theta_0)\), যেখানে \(C=GM/h^2\)। Eccentricity \(e=|D|/C\) দিলে এটি conic:

• \(0\le e<1\): bound ellipse (বিশেষভাবে \(e=0\) circle),
• \(e=1\): parabola,
• \(e>1\): hyperbola।

তাই inverse-square central force-ও সব initial condition-এ ellipse দেয় না। Planet-এর bound negative-energy orbit-এ \(e<1\), তাই Kepler-এর first law-এর ellipse পাওয়া যায়; Sun focus-এ থাকে।

সূত্র ৩ — বছরের দৈর্ঘ্য। ellipse-এর ক্ষেত্রফল \(\pi ab\), আর সূত্র ২ বলে \(A=\tfrac12 hT\)। তাই \(T=2\pi ab/h\)। ellipse-এর ধর্ম থেকে \(b=\sqrt{a/C}\) আর \(C=GM/h^2\) বসিয়ে:

\[T = \frac{2\pi ab}{h} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\,a^{3/2}.\]

Kepler দীর্ঘ পর্যবেক্ষণ-data বিশ্লেষণ করে \(T\propto a^{3/2}\) relation আবিষ্কার করেছিলেন; inverse-square model থেকে calculus সেটি derive করে।

চিত্র (অনুশীলন): polar coordinates ও কেন্দ্রীয়-বল কক্ষপথ নিয়ে অনুশীলন-চিত্র — \(\mathbf{u}_r,\mathbf{u}_\theta\) কাঠামোয় বেগ-ত্বরণ বিশ্লেষণের জন্য।

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র

সংজ্ঞা ১২.১ — Position, Velocity, Acceleration

একটা চলমান বস্তুর জন্য parameter \(t\)-এর সাপেক্ষে:

\[\mathbf{R}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} + z(t)\,\mathbf{k},\]

\[\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{R}}{dt},\qquad \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2},\qquad \lvert\mathbf{v}\rvert = \frac{ds}{dt},\qquad \mathbf{T} = \frac{\mathbf{v}}{\lvert\mathbf{v}\rvert} = \frac{d\mathbf{R}}{ds}.\]

এখানে \(s\) হলো arc length (চাপ-দৈর্ঘ্য), \(\lvert\mathbf{v}\rvert\) হলো speed, আর \(\mathbf{T}\) হলো unit tangent। \(\mathbf{v}\) সবসময় curve-এর tangent বরাবর।

উপপাদ্য ১২.২ — জানা acceleration থেকে গতি (integration)

acceleration \(\mathbf{a}(t)\) এবং শুরুর বেগ \(\mathbf{v}_0\) ও অবস্থান \(\mathbf{R}_0\) জানা থাকলে গতি সম্পূর্ণ নির্ধারিত — প্রতিটা component আলাদা integrate করি। ধ্রুব \(\mathbf{a}\)-র জন্য:

\[\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t,\qquad \mathbf{R}(t) = \mathbf{R}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac12\mathbf{a}t^2.\]

এটাই projectile-এর (\(\mathbf{a}=-g\mathbf{j}\)) আর curve ball-এর ভিত্তি।

সংজ্ঞা ১২.৩ — Projectile-এর পথ (parabola)

শুরু \((0,0)\), speed \(v_0\), কোণ \(\alpha\), মাধ্যাকর্ষণ \(g\):

\[x(t) = (v_0\cos\alpha)\,t,\qquad y(t) = (v_0\sin\alpha)\,t - \tfrac12 g t^2.\]

উড়ান-সময় ও range (\(y=0\)-তে):

\[T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\qquad R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g},\qquad y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}.\]

range সর্বোচ্চ \(\alpha=45^\circ\)-এ; \(\alpha\) ও \(90^\circ-\alpha\) একই range দেয়।

সংজ্ঞা ১২.৪ — Cycloid ও এর ধর্ম

ব্যাসার্ধ \(a\)-র বৃত্ত \(x\)-অক্ষে গড়ালে প্রান্ত-বিন্দুর পথ:

\[x = a(\theta - \sin\theta),\qquad y = a(1 - \cos\theta).\]

এক আর্চ: cusp \(\theta=0,2\pi\)-তে, ক্ষেত্রফল \(3\pi a^2\), দৈর্ঘ্য \(8a\)। উল্টানো cycloid হলো brachistochrone — দুই বিন্দুর মধ্যে দ্রুততম-অবতরণ পথ, নামার সময় \(\pi\sqrt{a/g}\)।

উপপাদ্য ১২.৫ — Curvature \(\kappa\) ও এর সূত্র

unit tangent \(\mathbf{T}\) কত দ্রুত ঘোরে তার মাপ:

\[\kappa = \left\lvert\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rvert = \frac{\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert}{\lvert\mathbf{v}\rvert^3}.\]

তল-বক্ররেখা ও graph \(y(x)\)-এর জন্য:

\[\kappa = \frac{\lvert x'y'' - y'x''\rvert}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}} = \frac{\lvert d^2y/dx^2\rvert}{\left(1+(dy/dx)^2\right)^{3/2}}.\]

সূত্রের প্রমাণ: \(\mathbf{v}=\lvert\mathbf{v}\rvert\mathbf{T}\) থেকে product rule-এ

\[\mathbf{a} = \frac{d\lvert\mathbf{v}\rvert}{dt}\mathbf{T} + \lvert\mathbf{v}\rvert\frac{d\mathbf{T}}{dt}.\]

\(\mathbf{v}=\lvert\mathbf{v}\rvert\mathbf{T}\)-এর সঙ্গে cross product নিই; \(\mathbf{T}\times\mathbf{T}=\mathbf{0}\) বলে প্রথম পদ মুছে যায়:

\[\mathbf{v}\times\mathbf{a} = \lvert\mathbf{v}\rvert\mathbf{T}\times\lvert\mathbf{v}\rvert\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \lvert\mathbf{v}\rvert^2\,\mathbf{T}\times\frac{d\mathbf{T}}{dt}.\]

যেহেতু \(\mathbf{T}\perp d\mathbf{T}/dt\) (নিচের উপপাদ্য ১২.৬), cross product-এর দৈর্ঘ্যে \(\sin 90^\circ=1\), তাই \(\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert=\lvert\mathbf{v}\rvert^2\lvert d\mathbf{T}/dt\rvert\)। এখন chain rule-এ \(\lvert ds/dt\rvert=\lvert\mathbf{v}\rvert\) হর-এ যোগ হয়:

\[\kappa = \left\lvert\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\rvert = \frac{\lvert d\mathbf{T}/dt\rvert}{\lvert\mathbf{v}\rvert} = \frac{\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert}{\lvert\mathbf{v}\rvert^3}. \qquad\square\]

উপপাদ্য ১২.৬ — Normal Vector \(\mathbf{N}\) এবং \(\mathbf{N}\perp\mathbf{T}\)

\[\mathbf{N} = \frac{1}{\kappa}\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \frac{d\mathbf{T}/dt}{\lvert d\mathbf{T}/dt\rvert}.\]

\(\mathbf{T}\perp d\mathbf{T}/dt\)-এর প্রমাণ: \(\mathbf{T}\) একক vector, তাই \(\mathbf{T}\cdot\mathbf{T}=1\)। দুই পাশ differentiate (dot-product-এর product rule):

\[\frac{d\mathbf{T}}{dt}\cdot\mathbf{T} + \mathbf{T}\cdot\frac{d\mathbf{T}}{dt} = 0 \;\Rightarrow\; 2\,\mathbf{T}\cdot\frac{d\mathbf{T}}{dt} = 0.\]

তাই \(d\mathbf{T}/dt\) (এবং \(\mathbf{N}\)) সবসময় \(\mathbf{T}\)-এর লম্ব। বৃত্ত ও helix-এ \(\mathbf{N}\) কেন্দ্রের দিকে। \(\square\)

উপপাদ্য ১২.৭ — Acceleration-এর Tangential ও Normal ভাগ

\[\mathbf{a} = \frac{d^2s}{dt^2}\,\mathbf{T} + \kappa\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\mathbf{N}.\]

প্রমাণ: \(\mathbf{v}=\lvert\mathbf{v}\rvert\mathbf{T}=(ds/dt)\mathbf{T}\) differentiate করি:

\[\mathbf{a} = \frac{d^2s}{dt^2}\mathbf{T} + \frac{ds}{dt}\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}\mathbf{T} + \frac{ds}{dt}\frac{d\mathbf{T}}{ds}\frac{ds}{dt}.\]

যেহেতু \(d\mathbf{T}/ds = \kappa\mathbf{N}\), শেষ পদ \(\kappa(ds/dt)^2\mathbf{N}\) হয়। প্রথম পদ (গ্যাস/ব্রেক) speed বদলায়, দ্বিতীয় পদ (স্টিয়ারিং, কেন্দ্রমুখী) দিক বদলায়। \(\square\)

সংজ্ঞা ১২.৮ — Polar একক vector ও তাদের derivative

\[\mathbf{u}_r = \cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{j},\qquad \mathbf{u}_\theta = -\sin\theta\,\mathbf{i} + \cos\theta\,\mathbf{j},\]

\[\frac{d\mathbf{u}_r}{d\theta} = \mathbf{u}_\theta,\qquad \frac{d\mathbf{u}_\theta}{d\theta} = -\mathbf{u}_r.\]

এদের থেকে \(\mathbf{R}=r\mathbf{u}_r\)-এর derivative:

\[\mathbf{v} = \frac{dr}{dt}\mathbf{u}_r + r\frac{d\theta}{dt}\mathbf{u}_\theta,\qquad \mathbf{a} = \left(\ddot r - r\dot\theta^2\right)\mathbf{u}_r + \left(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\right)\mathbf{u}_\theta.\]

উপপাদ্য ১২.৯ — Kepler-এর তিন সূত্র

যেকোনো central force-এ (\(\mathbf F\) radial) angular momentum per unit mass \(\mathbf H=\mathbf R\times\mathbf v\) constant, তাই motion একটি plane-এ থাকে।

সূত্র ২ (ক্ষেত্রফল): \(h=r^2\dot\theta\) ধ্রুব, তাই

\[\frac{dA}{dt} = \tfrac12 r^2\dot\theta = \tfrac12 h = \text{constant}.\]

Inverse-square orbit: অতিরিক্তভাবে gravity \(\mathbf a=-GM\mathbf R/r^3\) হলে \(q=1/r\) equation হয়

\[\frac{d^2q}{d\theta^2} + q = \frac{GM}{h^2} = C,\]

যার solution conic \(1/r=C-D\cos(\theta-\theta_0)\)। Bound negative-energy initial condition-এ \(e=|D|/C<1\), তাই ellipse; \(e=1\) parabola, \(e>1\) hyperbola।

সূত্র ৩ (পর্যায়কাল): ক্ষেত্রফল \(\pi ab=\tfrac12 hT\) থেকে

\[T = \frac{2\pi ab}{h} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\,a^{3/2}.\]

সূত্র-সারণি (কোনো cell-এ literal পাইপ ব্যবহার নেই)

রাশি	সূত্র
velocity	\(\mathbf{v}=d\mathbf{R}/dt\)
speed	\(\lvert\mathbf{v}\rvert = ds/dt\)
unit tangent	\(\mathbf{T}=\mathbf{v}/\lvert\mathbf{v}\rvert\)
curvature	\(\kappa=\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert/\lvert\mathbf{v}\rvert^3\)
normal	\(\mathbf{N}=(d\mathbf{T}/dt)/\lvert d\mathbf{T}/dt\rvert\)
acceleration	\(\mathbf{a}=(d^2s/dt^2)\mathbf{T}+\kappa\lvert\mathbf{v}\rvert^2\mathbf{N}\)

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ (বৃত্তে সমগতি): \(\mathbf{v},\lvert\mathbf{v}\rvert,\mathbf{T},\mathbf{a}\) বের করো।

\(x=r\cos\omega t,\ y=r\sin\omega t\)। তাই \(\mathbf{R}=r\cos\omega t\,\mathbf{i}+r\sin\omega t\,\mathbf{j}\), এবং

\[\mathbf{v} = -\omega r\sin\omega t\,\mathbf{i} + \omega r\cos\omega t\,\mathbf{j},\qquad \lvert\mathbf{v}\rvert = \omega r.\]

unit tangent \(\mathbf{T}=-\sin\omega t\,\mathbf{i}+\cos\omega t\,\mathbf{j}\) (দৈর্ঘ্য \(1\))। acceleration

\[\mathbf{a} = -\omega^2 r\cos\omega t\,\mathbf{i} - \omega^2 r\sin\omega t\,\mathbf{j} = -\omega^2\mathbf{R},\]

যা কেন্দ্রের দিকে, দৈর্ঘ্য \(\lvert\mathbf{a}\rvert=\omega^2 r\)। গ্যাস-ব্রেক ছাড়াই এই ত্বরণ পুরোটা দিক বদলানো থেকে।

উদাহরণ ২ (helix): \(\mathbf{v},s,\mathbf{a}\) বের করো, \(\mathbf{R}=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}\)।

\[\mathbf{v} = -\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+\mathbf{k},\qquad \lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1} = \sqrt2.\]

তাই \(s=\sqrt2\,t\)। \(t=\pi\)-তে ছায়া (shadow) অর্ধবৃত্ত ঘোরে (দৈর্ঘ্য \(\pi\)), কিন্তু helix বরাবর দূরত্ব \(\sqrt2\,\pi\) — কারণ \(45^\circ\) ঢাল। acceleration \(\mathbf{a}=-\cos t\,\mathbf{i}-\sin t\,\mathbf{j}\), curvature \(\kappa=\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert/\lvert\mathbf{v}\rvert^3=\sqrt2/(\sqrt2)^3=\tfrac12\)।

উদাহরণ ৩ (projectile): জল কতদূর যায়?

হোস থেকে জল বেরোয় \(v_0=10\) মি/সে, কোণ \(\alpha\)। উড়ান-সময় \(T=(20\sin\alpha)/g\), আর অবতরণ-দূরত্ব \(R=(100\sin 2\alpha)/g\)। সর্বোচ্চ range (\(\alpha=45^\circ\)) \(=100/9.8\approx 10.2\) মিটার — তাই \(12\) মিটার দূরের গাড়িতে পৌঁছানো যায় না (মই-এ উঠলে ভিন্ন কথা)।

উদাহরণ ৪ (polar spiral): \(r=3t,\ \theta=2t\)।

\(\mathbf{R}=3t\,\mathbf{u}_r\)। সূত্র থেকে

\[\mathbf{v} = 3\,\mathbf{u}_r + 6t\,\mathbf{u}_\theta,\qquad \lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{9+36t^2},\qquad \mathbf{a} = -12t\,\mathbf{u}_r + 12\,\mathbf{u}_\theta.\]

গতি একসাথে বাইরে (\(dr/dt=3\)) ও চারদিকে (\(r\dot\theta=6t\)) — একটা প্রসারমাণ সর্পিল।

উদাহরণ ৫ (Kepler ৩ প্রয়োগ): বৃত্তাকার উপগ্রহের পর্যায়কাল।

ব্যাসার্ধ \(r\), কৌণিক বেগ \(\omega\)। মাধ্যাকর্ষণ-ত্বরণ \(GM/r^2\) এবং বৃত্তাকার-ত্বরণ \(r\omega^2\) সমান:

\[r\omega^2 = \frac{GM}{r^2} \;\Rightarrow\; \omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} \;\Rightarrow\; T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\,r^{3/2}}{\sqrt{GM}}.\]

ঠিক Kepler-এর \(T\propto a^{3/2}\)! বৃত্ত হলো ellipse-এর বিশেষ রূপ, তাই সূত্র মেলে।

Analogy — velocity যেন 'কোন দিকে হাঁটছি', acceleration যেন 'কে আমাকে টানছে'

কল্পনা কর তুমি একটা গোল মাঠে দড়ি ধরে ঘুরছ। প্রতিটা মুহূর্তে তোমার হাঁটার দিক (velocity) বৃত্তের কিনারা ঘেঁষে — একটুও কেন্দ্রের দিকে নয়। অথচ দড়িটা তোমাকে অনবরত কেন্দ্রের দিকে টানছে (acceleration) — নইলে তুমি সোজা ছিটকে বেরিয়ে যেতে। এই দুটো লম্ব দিক — সামনে-হাঁটা আর ভেতরে-টানা — গোটা অধ্যায়ের হৃৎপিণ্ড। গ্রহও তাই: সে সূর্যের tangent বরাবর ছুটতে চায়, কিন্তু মাধ্যাকর্ষণ তাকে ভেতরে টেনে ellipse-এ বেঁধে রাখে। দড়ি ছিঁড়লে (বল শূন্য) তুমি tangent বরাবর সরলরেখায় উড়ে যাও — Newton-এর প্রথম সূত্র।

৫. Python-এ করো

নিচের প্রোগ্রাম numpy দিয়ে বেগ হিসাব করে ও matplotlib দিয়ে projectile ও cycloid-এর পথ আঁকে। বাংলা comment সহ।

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- (i) Projectile-এর পথ ও velocity ----------
g = 9.8                       # মাধ্যাকর্ষণ (মি/সে^2)
v0 = 20.0                     # শুরুর speed
alpha = np.radians(45)        # কোণ (রেডিয়ানে)

T = 2*v0*np.sin(alpha)/g      # উড়ান-সময় (y=0 তে ফেরা)
t = np.linspace(0, T, 200)    # সময়ের নমুনা

x = (v0*np.cos(alpha))*t              # অনুভূমিক অবস্থান
y = (v0*np.sin(alpha))*t - 0.5*g*t**2 # উল্লম্ব অবস্থান

# velocity = position-এর derivative; numpy.gradient সংখ্যাসূচক derivative দেয়
vx = np.gradient(x, t)        # dx/dt (ধ্রুব থাকা উচিত)
vy = np.gradient(y, t)        # dy/dt (g হারে কমে)
speed = np.sqrt(vx**2 + vy**2)

print("range R      =", x[-1], "মিটার")
print("উড়ান-সময় T   =", T, "সেকেন্ড")
print("শুরুর speed   =", speed[0], "  শেষ speed =", speed[-1])

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(x, y, color="#1f77b4", lw=2.5, label="projectile path (parabola)")
# কয়েকটা বিন্দুতে velocity vector আঁকি (quiver = তীর)
for i in range(0, len(t), 40):
    plt.arrow(x[i], y[i], vx[i]*0.15, vy[i]*0.15,
              head_width=0.4, color="crimson")
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.8)
plt.title("Projectile: velocity সবসময় পথের tangent বরাবর")
plt.xlabel("x (মিটার)"); plt.ylabel("y (মিটার)")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.axis("equal")
plt.tight_layout()
plt.savefig("projectile_demo.png", dpi=150, bbox_inches="tight")
print("সেভ হলো: projectile_demo.png")

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- (ii) Cycloid: গড়ানো বৃত্তের বিন্দুর পথ ----------
a = 1.0                              # বৃত্তের ব্যাসার্ধ
theta = np.linspace(0, 4*np.pi, 400) # দুই আর্চ

x = a*(theta - np.sin(theta))        # cycloid-এর x
y = a*(1 - np.cos(theta))            # cycloid-এর y

plt.figure(figsize=(8, 3.2))
plt.plot(x, y, color="#2ca02c", lw=2.5, label="cycloid")
# আর্চের শেষে cusp (তীক্ষ্ণ কোণ) চিহ্নিত করি
for k in [0, 2*np.pi, 4*np.pi]:
    plt.plot(a*k, 0, "v", color="crimson", ms=9)
plt.title("Cycloid — প্রতি পাকের শেষে cusp; দৈর্ঘ্য 8a, ক্ষেত্রফল 3πa²")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.axis("equal")
plt.tight_layout()
plt.savefig("cycloid_demo.png", dpi=150, bbox_inches="tight")
print("এক আর্চের দৈর্ঘ্য (তত্ত্ব) =", 8*a)
print("এক আর্চের ক্ষেত্রফল (তত্ত্ব) =", 3*np.pi*a**2)
print("সেভ হলো: cycloid_demo.png")

প্রথম প্রোগ্রাম দেখায় অনুভূমিক বেগ শুরু ও শেষে প্রায় সমান (ধ্রুব), আর তীরগুলো (velocity) সবসময় parabola-র tangent বরাবর — সর্বোচ্চ বিন্দুতে অনুভূমিক। দ্বিতীয়টা দুই আর্চের cycloid আঁকে, প্রতি আর্চের শেষে cusp, আর সংখ্যায় যাচাই করে দৈর্ঘ্য \(8a\) ও ক্ষেত্রফল \(3\pi a^2\)।

৬. সাধারণ ভুল

1. speed আর velocity গুলিয়ে ফেলা। velocity একটা vector (দিক সহ), speed তার দৈর্ঘ্য \(\lvert\mathbf{v}\rvert\) — একটা সংখ্যা। বৃত্তে সমগতিতে speed ধ্রুব কিন্তু velocity প্রতি মুহূর্তে বদলায় (দিক ঘোরে)।
2. acceleration মানেই speed বাড়া ভাবা। \(\mathbf{a}\) হলো velocity-র পরিবর্তন, speed-এর নয়। বৃত্তে সমগতিতে speed অপরিবর্তিত, তবু \(\mathbf{a}\ne\mathbf{0}\) কারণ দিক বদলাচ্ছে। তাই \(\lvert\mathbf{a}\rvert\) সাধারণত \(d^2s/dt^2\)-এর সমান নয়।
3. projectile-এ \(y(x)\) আর \(y(t)\) গুলিয়ে ফেলা। parabola-য় \(y=0\) সমাধান করলে পাওয়া যায় কোথায় পড়ল; কিন্তু \(y(t)=0\) সমাধান করলে পাওয়া যায় কখন পড়ল। তারপর \(x(T)\) দিলে জায়গা। দুটো ধাপ, এক নয়।
4. cycloid থেকে \(t\) বাদ দিতে চাওয়া। cycloid-এর সৌন্দর্যই হলো এর parameter দরকার — \(x=a(\theta-\sin\theta)\) থেকে \(\theta\) বীজগণিতে বের করা যায় না। parameter রেখেই সব হিসাব (ঢাল, ক্ষেত্রফল, দৈর্ঘ্য) কর।
5. curvature-এ hর-এ ঘাত ভুল। graph-সূত্রে হর \((1+(y')^2)^{3/2}\) — ঘাত \(3/2\), বর্গ নয়। ভুলে \(2\) বসালে উত্তর বিগড়ে যায়।
6. \(\kappa\) speed-নির্ভর ভাবা। curvature কেবল curve-এর আকৃতির উপর নির্ভর করে। \(t\to 2t\) করলে \(\mathbf{v}\) দ্বিগুণ, \(\mathbf{a}\) চারগুণ, কিন্তু \(\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert\) ও \(\lvert\mathbf{v}\rvert^3\) দুটোই \(8\) গুণ — অনুপাত \(\kappa\) অপরিবর্তিত।
7. \(\mathbf{N}\) আর \(\mathbf{u}_r\) গুলিয়ে ফেলা। বৃত্তে \(\mathbf{u}_r\) বাইরের দিকে, কিন্তু \(\mathbf{N}\) (বাঁকের দিক) কেন্দ্রের ভেতরে — এরা বিপরীত। tangent-এর ক্ষেত্রে বৃত্তে \(\mathbf{T}=\mathbf{u}_\theta\)।
8. polar-এ সূর্যকে কেন্দ্রে বসানো। Kepler-এর সূত্র বলে সূর্য ellipse-এর focus-এ, কেন্দ্রে নয় (Royal Mint-এর ভুল!)। তাই \(a\) (কেন্দ্র থেকে) আর সূর্য-থেকে-দূরত্ব \(r\) আলাদা।
9. \(\mathbf{u}_r,\mathbf{u}_\theta\)-এর derivative শূন্য ভাবা। \(\mathbf{i},\mathbf{j}\) ধ্রুব, কিন্তু \(\mathbf{u}_r,\mathbf{u}_\theta\) ঘোরে — \(d\mathbf{u}_r/d\theta=\mathbf{u}_\theta\)। এই পদগুলো ভুলে গেলে polar-এ \(\mathbf{v},\mathbf{a}\) ভুল হয়।
10. cross product-এ ক্রম উল্টানো। \(\mathbf{v}\times\mathbf{a}\ne\mathbf{a}\times\mathbf{v}\) (চিহ্ন উল্টো)। curvature-এ দৈর্ঘ্য নেওয়ায় সমস্যা নেই, কিন্তু \(\mathbf{H}=\mathbf{R}\times\mathbf{v}\)-এর দিক ঠিক রাখতে ক্রম মেনে চল।

৭. এক্সারসাইজ

1. \(\mathbf{R}(t)=t\,\mathbf{i}+t^2\,\mathbf{j}\)-এর জন্য \(\mathbf{v},\ \lvert\mathbf{v}\rvert\) এবং \(t=1\)-এ speed বের করো।
2. \(P=(1,2,4)\) ও \(Q=(5,5,4)\)-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার parametric সমীকরণ লেখো। speed কত?
3. বৃত্ত \(x=\cos t,\ y=\sin t\)-এ \(\mathbf{v},\ \lvert\mathbf{v}\rvert,\ \mathbf{T},\ \mathbf{a}\) বের করো এবং দেখাও \(\mathbf{a}=-\mathbf{R}\)।
4. একটা projectile \(v_0=16\) ফুট/সে ও \(\alpha=30^\circ\)-এ ছোঁড়া। উড়ান-সময় \(T\), range \(R\) ও সর্বোচ্চ উচ্চতা বের করো (\(g=32\) ফুট/সে\(^2\))।
5. helix \(\mathbf{R}=3\cos t\,\mathbf{i}+3\sin t\,\mathbf{j}+4t\,\mathbf{k}\)-এর speed \(\lvert\mathbf{v}\rvert\) ও একটা পাকের দৈর্ঘ্য বের করো।
6. parabola \(y=\tfrac12 x^2\)-এর curvature \(\kappa\) বের করো এবং বলো কোথায় সর্বোচ্চ।
7. cycloid \(x=a(\theta-\sin\theta),\ y=a(1-\cos\theta)\)-এর ঢাল \(dy/dx\) বের করো এবং \(\theta=0\)-তে এর মান ব্যাখ্যা করো।
8. polar-এ \(r=1,\ \theta=t^2\) (বৃত্তে speed-up)-এর \(\mathbf{v}\) ও \(\mathbf{a}\) বের করো।
9. Kepler-এর তৃতীয় সূত্র থেকে দেখাও: দুটো গ্রহের পর্যায়কালের বর্গ তাদের \(a\)-এর ঘনফলের সমানুপাতিক, \(T^2\propto a^3\)।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{R}=t\,\mathbf{i}+t^2\,\mathbf{j}\), তাই

\[\mathbf{v} = \mathbf{i} + 2t\,\mathbf{j},\qquad \lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{1 + 4t^2}.\]

\(t=1\)-এ speed \(=\sqrt{1+4}=\sqrt5\approx 2.24\)। (এটা parabola \(y=x^2\)-এর পথ; velocity সবসময় tangent বরাবর।)

২-নং সমাধান দেখাও

\(P\) থেকে \(Q\) vector \(\mathbf{v}=(5-1,\,5-2,\,4-4)=4\mathbf{i}+3\mathbf{j}+0\mathbf{k}\)। শুরু \(\mathbf{R}_0=P\):

\[\mathbf{R}(t) = (1+4t)\,\mathbf{i} + (2+3t)\,\mathbf{j} + 4\,\mathbf{k}.\]

অর্থাৎ \(x=1+4t,\ y=2+3t,\ z=4\)। speed \(\lvert\mathbf{v}\rvert=\sqrt{16+9+0}=5\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{R}=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}\), তাই

\[\mathbf{v} = -\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j},\qquad \lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t} = 1.\]

unit tangent \(\mathbf{T}=\mathbf{v}\) (যেহেতু speed \(=1\))। acceleration

\[\mathbf{a} = -\cos t\,\mathbf{i}-\sin t\,\mathbf{j} = -\mathbf{R}.\]

তাই \(\mathbf{a}\) কেন্দ্রের দিকে, দৈর্ঘ্য \(1\) — একক বৃত্তে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ।

৪-নং সমাধান দেখাও

\(v_0=16,\ \alpha=30^\circ,\ g=32\)। \(\sin 30^\circ=\tfrac12,\ \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\)।

\[T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = \frac{2\cdot16\cdot\tfrac12}{32} = \frac{16}{32} = 0.5\ \text{s},\]

\[R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} = \frac{256\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}}{32} = 4\sqrt3 \approx 6.93\ \text{ft},\]

\[y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} = \frac{(8)^2}{64} = 1\ \text{ft}.\]

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{v}=-3\sin t\,\mathbf{i}+3\cos t\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}\), তাই

\[\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{9\sin^2 t+9\cos^2 t+16} = \sqrt{9+16} = 5\ (\text{constant}).\]

এক পাক \(t=0\) থেকে \(2\pi\), দৈর্ঘ্য \(s=\int_0^{2\pi}\lvert\mathbf{v}\rvert\,dt = 5\cdot 2\pi = 10\pi\)। (সংশ্লিষ্ট বৃত্তের পরিধি \(2\pi\cdot3=6\pi\); helix লম্বা কারণ এটা উপরেও ওঠে।)

৬-নং সমাধান দেখাও

\(y=\tfrac12 x^2\), তাই \(y'=x,\ y''=1\)। graph-সূত্রে:

\[\kappa = \frac{\lvert y''\rvert}{(1+(y')^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}.\]

\(x=0\)-তে (শীর্ষ) \(\kappa=1\) সর্বোচ্চ; দূরে গেলে \(\kappa\to 0\) (parabola প্রায় সোজা হয়ে যায়)।

৭-নং সমাধান দেখাও

chain rule-এ:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin\theta}{a(1-\cos\theta)} = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}.\]

\(\theta\to 0\)-তে হর \(\to 0\) আর লব \(\to 0\), কিন্তু সীমা অসীম (l'Hôpital বা \(1-\cos\theta\approx\tfrac12\theta^2\), \(\sin\theta\approx\theta\) দিলে \(\approx 2/\theta\to\infty\))। তাই ঢাল অসীম — বিন্দুটা সোজা উপরে ওঠে, cycloid-এ cusp তৈরি হয়।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(r=1\) (ধ্রুব, তাই \(\dot r=\ddot r=0\)), \(\theta=t^2\), তাই \(\dot\theta=2t,\ \ddot\theta=2\)। polar সূত্রে:

\[\mathbf{v} = 0\cdot\mathbf{u}_r + 1\cdot(2t)\,\mathbf{u}_\theta = 2t\,\mathbf{u}_\theta,\]

\[\mathbf{a} = (0 - 1\cdot(2t)^2)\,\mathbf{u}_r + (1\cdot 2 + 0)\,\mathbf{u}_\theta = -4t^2\,\mathbf{u}_r + 2\,\mathbf{u}_\theta.\]

এখানে \(\mathbf{u}_\theta=\mathbf{T}\) আর \(-\mathbf{u}_r=\mathbf{N}\); অর্থাৎ tangential ত্বরণ \(2\), কেন্দ্রমুখী ত্বরণ \(4t^2\) — মিলে \(\mathbf{a}=2\mathbf{T}+4t^2\mathbf{N}\)।

৯-নং সমাধান দেখাও

Kepler-এর তৃতীয় সূত্র \(T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{GM}}a^{3/2}\)। দুই পাশ বর্গ করি:

\[T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,a^3.\]

\(\dfrac{4\pi^2}{GM}\) সব গ্রহের জন্য একই ধ্রুবক, তাই \(T^2\propto a^3\)। দুটো গ্রহের জন্য \(\dfrac{T_1^2}{T_2^2}=\dfrac{a_1^3}{a_2^3}\) — এটাই Kepler-এর সূত্রের সবচেয়ে ব্যবহৃত রূপ।

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে \(\mathbf R(t)\)-কে differentiate করে velocity ও acceleration পেলাম। Acceleration force নয়; Newton-এর second law-এ net force \(\mathbf F_{\mathrm{net}}=m\mathbf a\)। Inverse-square gravity ও bound initial condition একসঙ্গে planet-এর elliptical orbit দেয়।

• [ ] position, velocity (\(\mathbf{v}=\mathbf{R}'\)), acceleration (\(\mathbf{a}=\mathbf{v}'\)) লিখতে পারি; জানি \(\mathbf{v}\) সবসময় tangent।
• [ ] speed \(\lvert\mathbf{v}\rvert=ds/dt\), unit tangent \(\mathbf{T}=\mathbf{v}/\lvert\mathbf{v}\rvert\), arc length \(s=\int\lvert\mathbf{v}\rvert\,dt\) বুঝি।
• [ ] সরলরেখা (\(\mathbf{R}=\mathbf{R}_0+t\mathbf{v}\)) ও বৃত্তে (\(\mathbf{a}=-\omega^2\mathbf{R}\), কেন্দ্রমুখী) গতি আলাদা করতে পারি।
• [ ] projectile-এর পথ (\(x=(v_0\cos\alpha)t,\ y=(v_0\sin\alpha)t-\tfrac12 gt^2\)), range \(R=v_0^2\sin2\alpha/g\), উড়ান-সময় \(T\) বের করতে পারি।
• [ ] cycloid \(x=a(\theta-\sin\theta),\ y=a(1-\cos\theta)\) চিনি; জানি cusp, দৈর্ঘ্য \(8a\), ক্ষেত্রফল \(3\pi a^2\), brachistochrone।
• [ ] curvature \(\kappa=\lvert\mathbf{v}\times\mathbf{a}\rvert/\lvert\mathbf{v}\rvert^3\) ও graph-সূত্র প্রয়োগ করতে পারি; জানি \(\kappa\) speed-নির্ভর নয়।
• [ ] normal vector \(\mathbf{N}\perp\mathbf{T}\) এবং acceleration-এর ভাগ \(\mathbf{a}=(d^2s/dt^2)\mathbf{T}+\kappa\lvert\mathbf{v}\rvert^2\mathbf{N}\) বুঝি।
• [ ] polar একক vector \(\mathbf{u}_r,\mathbf{u}_\theta\) ও তাদের derivative জানি; polar-এ \(\mathbf{v},\mathbf{a}\) লিখতে পারি।
• [ ] জানি central force থেকে planar motion ও equal-area law আসে; \(q''+q=GM/h^2\)-এর জন্য inverse-square law লাগে; bound case ellipse, unbound case parabola/hyperbola; \(T=2\pi a^{3/2}/\sqrt{GM}\) ellipse-এর period।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.13 — Partial Derivatives — এক-চলকের \(df/dx\) থেকে বহু-চলকের \(\partial f/\partial x,\ \partial f/\partial y\)-তে; তল-এর tangent plane, chain rule ও max-min। আপাতত Part 9 সূচি।