9.15 — Vector Calculus (ভেক্টর ক্যালকুলাস)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: এক-চলকের calculus-এর মহাস্তম্ভ ছিল Fundamental Theorem — একটা derivative-কে অঞ্চলে সমাকল করলে সেটা কমে গিয়ে সীমানার তথ্যে দাঁড়ায়: \(\int_a^b f'\,dx = f(b)-f(a)\)। এই অধ্যায় সেই একই ধারণাকে দুই ও তিন মাত্রায় নিয়ে যায়। প্রথমে vector field (ভেক্টর ক্ষেত্র) — প্রতিটা বিন্দুতে একটা তীর (radial ক্ষেত্র \(\mathbf{R}\), spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}\), gradient ক্ষেত্র, velocity ক্ষেত্র)। তারপর line integral (রেখা সমাকল) — বক্ররেখা বরাবর কাজ \(\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}\) ও প্রবাহ; কখন সেটা পথ-নিরপেক্ষ (conservative (সংরক্ষী) ক্ষেত্র, potential (বিভব) \(f\), test D)। তারপর তিনটে যমজ উপপাদ্য — Green's Theorem, Divergence Theorem ও Stokes' Theorem — যাদের হৃদয়ে divergence (অপসারণ) ও curl (কার্ল/কুঁকড়ানো) এবং flux (প্রবাহ)। শেষে \(\nabla\) (del), Laplace-এর সমীকরণ, Cauchy–Riemann, Gauss-এর সূত্র, continuity সমীকরণ, আর curl grad f = 0 ও div curl F = 0 — ভেক্টর ক্যালকুলাসের দুই মূল অভেদ। সব লাইন-ধরে-ধরে, একদম বেসিক থেকে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

এতদিন আমরা কাজ করেছি scalar function (স্কেলার অপেক্ষক) নিয়ে: ইনপুট একটা সংখ্যা \(x\), আউটপুট একটা সংখ্যা \(f(x)\)। কিন্তু প্রকৃতির বেশিরভাগ জিনিস একটা সংখ্যা দিয়ে বোঝানো যায় না। বাতাসের বেগ — প্রতিটা বিন্দুতে একটা দিক আর একটা মান (তীর)। অভিকর্ষ বল — প্রতিটা বিন্দুতে কেন্দ্রের দিকে টান। তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্র — প্রতিটা বিন্দুতে একটা ভেক্টর। এদের বলে vector field (ভেক্টর ক্ষেত্র): ইনপুট একটা বিন্দু \((x,y)\), আউটপুট একটা ভেক্টর \(\mathbf{F}(x,y)\)।

এই অধ্যায় সেই ভেক্টর ক্ষেত্র নিয়ে দুটো মৌলিক প্রশ্নের উত্তর দেয়, যা পুরো পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলের ভিত্তি:

১) একটা বক্ররেখা বরাবর কতটা "কাজ" হয়? নদীর স্রোতের বিরুদ্ধে নৌকা টানলে কত শক্তি লাগে? চুম্বকের চারপাশে তারের বৃত্তে কত তড়িৎ-চালক-বল তৈরি হয়? উত্তর হলো line integral \(\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}\) — বল আর সরণের dot product-কে পথ বরাবর যোগ।

২) একটা বদ্ধ সীমানা দিয়ে কতটা "প্রবাহ" বেরোয়? একটা এলাকার সীমানা দিয়ে কত পানি ঢোকে-বেরোয়? একটা তল দিয়ে কত তড়িৎ-বলরেখা ভেদ করে? উত্তর হলো flux \(\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\) — আর সেটা ভেতরের উৎস (source) বা divergence-এর সমান।

এই দুই প্রশ্নের উত্তরই তিনটে মহান উপপাদ্যে গাঁথা — Green, Divergence, Stokes — যেগুলো আসলে এক-চলকের Fundamental Theorem-এরই তিন রূপ। এদের শিখলে তুমি Maxwell-এর সমীকরণ, তরল-বলবিদ্যা, তাপ-প্রবাহ, স্থিতিস্থাপকতা — সবের গাণিতিক ভাষাটা হাতে পেয়ে যাবে।

মূল স্বজ্ঞা: এক সুর, তিন গলা

• vector field = তীরের মাঠ। প্রতিটা বিন্দুতে একটা তীর — বাতাস, স্রোত, বল, তড়িৎ ক্ষেত্র।
• line integral = পথ বরাবর যোগফল। কাজ \(\int\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds\) (স্পর্শক দিক), প্রবাহ \(\int\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\) (লম্ব দিক)।
• conservative ক্ষেত্র = potential আছে। তখন কাজ শুধু শুরু \(P\) ও শেষ \(Q\)-এর ওপর নির্ভর করে, পথের ওপর নয়: \(\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=f(Q)-f(P)\)। বদ্ধ পথে কাজ শূন্য।
• divergence = উৎসের জোর ("কতটা ছড়িয়ে বেরোচ্ছে")। curl = ঘূর্ণনের জোর ("কতটা পাক খাচ্ছে")।
• এক ধারণা, তিন উপপাদ্য। derivative-কে অঞ্চলে সমাকল = সীমানার তথ্য। \(\int_a^b f'\,dx=f(b)-f(a)\)-ই বড় হয়ে Green → Divergence ও Stokes হয়।
• electromagnetism-এর মূল। Gauss-এর সূত্র = Divergence Theorem; Faraday-র সূত্র = Stokes' Theorem। তড়িৎ-চুম্বকত্ব পুরোটাই এই ভাষায় লেখা।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ Vector Fields — তীরের মাঠ

একটা plane vector field (সমতল ভেক্টর ক্ষেত্র) সমতলের প্রতিটা বিন্দু \((x,y)\)-কে একটা দুই-উপাংশের ভেক্টর দেয়:

\[\mathbf{F}(x,y) = M(x,y)\,\mathbf{i} + N(x,y)\,\mathbf{j}.\]

এখানে \(M\) ও \(N\) দুটো function of two variables — এরাই বিন্দু থেকে বিন্দুতে বদলায়। একটা সাধারণ vector-এর উপাংশ স্থির; একটা vector field-এর উপাংশ পরিবর্তনশীল। তিন মাত্রায় \(\mathbf{F} = M\,\mathbf{i} + N\,\mathbf{j} + P\,\mathbf{k}\), যেখানে \(M,N,P\) হলো \((x,y,z)\)-এর function।

উদাহরণ ১ — position ক্ষেত্র \(\mathbf{R}\). \((x,y)\) বিন্দুতে position vector \(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\)। এখানে \(M=x,\ N=y\)। origin থেকে যত দূরে, তীর তত লম্বা; দিক বাইরের দিকে, দৈর্ঘ্য \(\lvert\mathbf{R}\rvert=\sqrt{x^2+y^2}=r\)।

উদাহরণ ২ — একক radial ক্ষেত্র। \(\mathbf{R}/r\) হলো বাইরের দিকে মুখ করা একক ভেক্টর \(\mathbf{u}_r\) (origin ছাড়া সব বিন্দুতে)। আরেকটা ক্ষেত্র \(\mathbf{R}/r^2\), যার দৈর্ঘ্য \(1/r\)।

চিত্র 15.1: radial ক্ষেত্র \(\mathbf{R}\), \(\mathbf{R}/r\) ও \(\mathbf{R}/r^2\) — সবগুলো origin থেকে বাইরের দিকে; দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(r\), \(1\) ও \(1/r\)।

উদাহরণ ৩ — spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}\). origin থেকে দূরে না গিয়ে origin-কে ঘিরে ঘোরে:

\[\mathbf{S} = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}, \qquad \lvert\mathbf{S}\rvert = \sqrt{(-y)^2 + x^2} = r.\]

\(\mathbf{S}\) সবসময় \(\mathbf{R}\)-এর লম্ব — কারণ এদের dot product শূন্য: \(\mathbf{S}\cdot\mathbf{R} = (-y)(x)+(x)(y)=0\)। spin ক্ষেত্রের ভাইবোন \(\mathbf{S}/r\) (দৈর্ঘ্য \(1\)) ও \(\mathbf{S}/r^2\) (দৈর্ঘ্য \(1/r\))।

চিত্র 15.2: spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}\), \(\mathbf{S}/r\) ও \(\mathbf{S}/r^2\) — origin-কে ঘিরে ঘোরে; দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(r\), \(1\) ও \(1/r\)।

চিত্র (নিজের আঁকা): এই অধ্যায়ের দুই মৌলিক ক্ষেত্র। বাঁয়ে radial \(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\) (তীর বাইরের দিকে), ডানে spin \(\mathbf{S}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\) (তীর origin-কে ঘিরে পাক খায়)। বাকি সব ক্ষেত্র এই দুটোর মিশ্রণ।

উদাহরণ ৪ — gradient ক্ষেত্র. একটা সাধারণ function \(f(x,y)\) থেকে শুরু করো; তার gradient-ই একটা ভেক্টর ক্ষেত্র:

\[\mathbf{F} = \operatorname{grad} f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j}.\]

এখানে \(M=\partial f/\partial x,\ N=\partial f/\partial y\)। যেমন \(f=x^2y\) নিলে সঙ্গে সঙ্গে \(\mathbf{F}=2xy\,\mathbf{i}+x^2\,\mathbf{j}\)। এই gradient ক্ষেত্র সবসময় level curve (সমমান রেখা) \(f(x,y)=c\)-এর লম্ব, আর তার দৈর্ঘ্য \(\lvert\operatorname{grad} f\rvert\) বলে \(f\) কত দ্রুত বাড়ছে (যে দিকে সবচেয়ে দ্রুত)।

প্রতিটা vector field দেখলে জিজ্ঞেস করো: এটি কি gradient field, এবং domain কী? Radial field \(\mathbf R\), \(\mathbf R/r\), \(\mathbf R/r^2\) তাদের natural domain-এ gradient। Spin field \(\mathbf S\) ও \(\mathbf S/r\) gradient নয়। \(\mathbf S/r^2\) branch cut-সহ simply connected domain-এ locally \(\nabla\theta\); কিন্তু punctured plane \(\mathbb R^2\setminus\{0\}\)-এ single-valued global angle potential নেই, তাই সেখানে field-টি globally conservative নয়।

Gradient field-কে conservative বলা হয় এবং \(f\)-কে scalar potential বলা হয়। Physics-এ potential energy \(U\) convention সাধারণত \(\mathbf F=-\nabla U\); তাই mathematical gradient potential \(f=-U\)।

উদাহরণ ৫ — velocity ক্ষেত্র \(\mathbf{V}\) ও flow ক্ষেত্র \(\rho\mathbf{V}\). পাইপে তরল বইছে, নদী বইছে, বাতাস ঘুরছে — সময়ের সাথে ছবিটা বদলায় না (steady)। প্রতিটা বিন্দুতে velocity ভেক্টর \(\mathbf{V}\) দেয় প্রবাহের দিক ও গতি। ঘনত্ব \(\rho\) গুণ করলে পাই flow ক্ষেত্র \(\rho\mathbf{V}\) — ভরের চলাচলের হার (বাসের যাত্রী-সংখ্যা গুণ বাসের গতি)।

উদাহরণ ৬ — gravity field। Near Earth \(\mathbf F=-mg\mathbf k=\nabla f\) যেখানে mathematical potential \(f=-mgz\); physical potential energy \(U=mgz=-f\)। Central gravity \(\mathbf F=-mMG\mathbf R/r^3=\nabla(mMG/r)\), তাই \(U=-mMG/r\)।

চিত্র 15.3: একটা স্থির (steady) velocity ক্ষেত্র \(\mathbf{V}\) ও দুটো force ক্ষেত্র \(\mathbf{F}\)।

২.২ Streamlines ও Equipotentials

ভেক্টর ক্ষেত্র আঁকা কঠিন — তীর লম্বা হলে একে অপরের ওপর পড়ে জট পাকায়। বদলে আমরা আঁকি field line (ক্ষেত্র-রেখা) বা streamline (প্রবাহ-রেখা) — যে বক্ররেখার প্রতিটা বিন্দুতে \(\mathbf{F}\) স্পর্শক। বক্ররেখার ঢাল \(dy/dx\) সমান ভেক্টরের ঢাল \(N/M\):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{N(x,y)}{M(x,y)}.\]

spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}\)-এর জন্য \(dy/dx=-x/y\), যা দেয় \(x\,dx+y\,dy=0\), অর্থাৎ বৃত্ত \(x^2+y^2=\text{const}\)। \(\mathbf{S},\ \mathbf{S}/r,\ \mathbf{S}/r^2\) — তিনটেরই একই streamline (বৃত্ত), কারণ streamline-এ দৈর্ঘ্যের তথ্য হারিয়ে যায়।

উদাহরণ — velocity ক্ষেত্র \(\mathbf{V}=y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\)। এর streamline hyperbola: \(dy/dx=x/y\Rightarrow y\,dy=x\,dx\Rightarrow \tfrac12 y^2-\tfrac12 x^2=\text{const}\)। এটা একটা gradient ক্ষেত্রও (potential \(f=xy\))। যেখানে potential আছে, সেখানে equipotential (সমবিভব) রেখা \(f(x,y)=c\) থাকে; এখানে \(xy=c\) (আরেক জোড়া hyperbola)। gradient সবসময় level curve-এর লম্ব — তাই streamline ⟂ equipotential।

চিত্র 15.4: velocity ক্ষেত্র streamline-এ স্পর্শক; gradient ক্ষেত্রের equipotential-ও থাকে, যা streamline-কে লম্বভাবে কাটে (নদীর বাঁক)।

২.৩ Line Integrals — কাজ ও প্রবাহ

একটা line integral হলো বক্ররেখা বরাবর সমাকল। পদার্থবিজ্ঞানে দুটো সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ — বক্ররেখা বরাবর work (কাজ) এবং বক্ররেখা ভেদ করে flow (প্রবাহ):

\[\text{work} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds, \qquad \text{flow} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds.\]

প্রথমটায় \(\mathbf{F}\) একটা force ক্ষেত্র; \(\mathbf{T}\) একক tangent (স্পর্শক) ভেক্টর, তাই \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\) হলো পথ বরাবর বলের উপাংশ। দ্বিতীয়টায় \(\mathbf{F}\) একটা flow ক্ষেত্র; \(\mathbf{n}\) একক normal (লম্ব) ভেক্টর, তাই \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\) হলো পথের লম্বভাবে প্রবাহের উপাংশ (একেই বলে flux, ল্যাটিন শব্দ "প্রবাহ")।

কাজের সমাকলের একটা সুন্দর রূপ আছে। ছোট সরণ \(\mathbf{T}\,ds = d\mathbf{R} = dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}\) লিখলে:

\[\text{work} = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{R} = \int_C M\,dx + N\,dy.\]

স্থান-বক্ররেখায় (তিন মাত্রা) এতে \(+\,P\,dz\) যোগ হয়।

কেন \(d\mathbf{R}\) ভালো: \(\mathbf{T}\)-এ একটা ভাগ আছে \(ds/dt=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\) দিয়ে, আর \(ds\)-কে \((ds/dt)\,dt\)-তে বদলাতে গেলে আবার ওই বর্গমূল দিয়ে গুণ। বর্গমূল বের করে, ভাগ করে, আবার গুণ করা — অর্থহীন। \(\int M\,dx+N\,dy\) রূপে সেটা এড়ানো যায়।

উদাহরণ — spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\), \((1,0)\) থেকে \((0,1)\)। তিন পথে কাজ তিন রকম:

• সরলরেখা \(x=1-t,\ y=t\): \(\displaystyle\int_0^1 -y\,dx + x\,dy = \int_0^1 -t(-dt)+(1-t)\,dt = \int_0^1 1\,dt = 1\)।
• পাদ-বৃত্ত (quarter circle) \(x=\cos t,\ y=\sin t\): \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 t+\cos^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}\)।
• বাঁকানো পথ (আগে \(x\)-অক্ষ ধরে origin, পরে \(y\)-অক্ষ): \(0\)।

তিন উত্তর \(1,\ \pi/2,\ 0\) — আলাদা! তাই \(\mathbf{S}\) conservative নয়। খেয়াল করো: \(\mathbf{S}\cdot\mathbf{R}=0\) (বল \(\mathbf{R}\)-এর লম্ব) মানে \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=0\) নয় — বল \(\mathbf{R}\)-এর লম্ব হলেও \(\mathbf{R}\)-এর পরিবর্তনের লম্ব নাও হতে পারে।

চিত্র 15.6: \(\int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=\int -y\,dx + x\,dy\)-এর তিন পথ — মান যথাক্রমে \(1,\ \pi/2,\ 0\)। spin ক্ষেত্রের কাজ পথ-নির্ভর।

২.৪ Conservative Fields — কখন পথ ভুলে যাওয়া যায়

কিছু field-এ work path-independent। Open path-connected domain-এ নিচের A, B, C equivalent। যদি \(M,N\) continuously differentiable হয়, C থেকে D আসে। Domain additionally simply connected হলে D থেকেও C আসে; তখন চারটিই equivalent।

• A. প্রতিটা বদ্ধ পথে কাজ শূন্য: \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=0\)।
• B. \(\int_P^Q\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}\) শুধু \(P,Q\)-এর ওপর নির্ভর করে, পথের ওপর নয়।
• C. \(\mathbf{F}\) একটা gradient ক্ষেত্র: \(M=\partial f/\partial x,\ N=\partial f/\partial y\)।
• D. উপাংশ মেনে চলে \(\partial M/\partial y=\partial N/\partial x\) — এটাই দ্রুত test D।

force \(\mathbf{F}\) gradient হলে কাজ = potential-এর পরিবর্তন — এটাই line integral-এর Fundamental Theorem:

\[\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{R} = f(Q) - f(P), \qquad \text{when } \mathbf{F}=\nabla f.\]

চিত্র 15.7: conservative ক্ষেত্র — বদ্ধ পথে \(\oint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=0\), আর \(\int_P^Q\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=f(Q)-f(P)\)। এখানে \(f(P)=0\)।

চিত্র 15.5: বাতাসের বল \(M\mathbf{i}\) — সব পথে কাজ \(-2000M\) (conservative)। কিন্তু shear বল \(My\,\mathbf{i}\) — সোজা পথে কাজ শূন্য, অথচ অর্ধবৃত্তে বিশাল (conservative নয়)।

Energy conservation। Work-energy theorem দেয় \(\int\mathbf F\cdot d\mathbf R=\Delta K\)। যদি \(\mathbf F=\nabla f\), তবে work \(=\Delta f\), তাই \(K-f\) constant। Physical potential energy \(U=-f\) লিখলে পরিচিত form \(K+U=\text{constant}\)। Sign convention দুটো মেশানো যাবে না।

২.৫ Flux ও Divergence — বদ্ধ সীমানা দিয়ে প্রবাহ

কাজ ছিল streamline বরাবর; flux হলো curve ভেদ করে। tangent \(\mathbf{T}\)-কে \(90^\circ\) ঘোরালে normal \(\mathbf{n}\) পাই, তখন \(\mathbf{n}\,ds=dy\,\mathbf{i}-dx\,\mathbf{j}\), আর

\[\text{flux} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \int_C M\,dy - N\,dx.\]

চিত্র 15.12: লম্ব উপাংশ \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\) curve \(C\)-এর ভেতর দিয়ে প্রবাহিত হয়। খেয়াল করো \(\mathbf{n}\,ds=dy\,\mathbf{i}-dx\,\mathbf{j}\)।

steady প্রবাহে একটা মৌলিক ভারসাম্য-সমীকরণ (balance equation):

\[(\text{out through } C - \text{in}) = (\text{sources in } R - \text{sinks}).\]

উৎস-সিঙ্ক না থাকলে মোট flux শূন্য। একটা ছোট আয়তক্ষেত্র (বাহু \(dx,dy\)) ধরলে দেখা যায় বাক্স থেকে মোট বেরোনো প্রবাহ \(=(\partial M/\partial x+\partial N/\partial y)\,dx\,dy\)। এই \(\partial M/\partial x+\partial N/\partial y\)-কেই বলে divergence (অপসারণ) — উৎসের জোর, কারণ এটাই বহির্মুখী প্রবাহের হার।

চিত্র 15.13: \(\mathbf{F}=2x\,\mathbf{i}+3y\,\mathbf{j}\)-এ \(M_x+N_y=2+3=5\) দেয় flux \(=5\cdot(\text{area})=5ab\)। spin ক্ষেত্রের divergence শূন্য, তাই কোনো flux নেই।

চিত্র (নিজের আঁকা): flux \(=\oint_C\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)। বদ্ধ curve \(C\)-এর গায়ে বাইরের দিকে মুখ করা normal \(\mathbf{n}\); যেখানে \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}>0\) সেখানে প্রবাহ বেরোয় (লাল), \(<0\) হলে ঢোকে (সবুজ)। নিট flux = বেরোনো − ঢোকা।

চিত্র (নিজের আঁকা): একটা ক্ষেত্র দু'ভাবে আচরণ করতে পারে। বাঁয়ে divergence — ছোট বাক্স থেকে যা ঢোকে তার চেয়ে বেশি বেরোয় (উৎস)। ডানে curl — একটা paddlewheel পাক খায় (ঘূর্ণন)। এই দুই ধারণাই Green/Divergence/Stokes-এর হৃদয়।

২.৬ Surface Integrals — তল বরাবর প্রবাহ

তিন মাত্রায় যেতে আমাদের surface integral (তল সমাকল) লাগবে। যেমন রেখার দৈর্ঘ্যে ছিল \(ds\), তলে থাকে \(dS\)। একটা \(z=f(x,y)\) তলের ছোট টুকরো প্রায় সমতল; তার দুই বাহু \(\mathbf{A}\,dx=(\mathbf{i}+f_x\mathbf{k})\,dx\) ও \(\mathbf{B}\,dy=(\mathbf{j}+f_y\mathbf{k})\,dy\)। এদের cross product-ই normal ভেক্টর:

\[\mathbf{N} = \mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i} - \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j} + \mathbf{k}, \qquad dS = \lvert\mathbf{N}\rvert\,dx\,dy = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dx\,dy.\]

ছাদের ক্ষেত্রফল ভিত্তির চেয়ে বেশি — ঠিক এই বর্গমূলের গুণিতকেই বেশি। \(45^\circ\) ঢালু সমতলে অনুপাত \(\sqrt2\)।

চিত্র 15.14: ছাদের ক্ষেত্রফল = ভিত্তির ক্ষেত্রফল \(\times\ \lvert\mathbf{N}\rvert\)। parameter \(u,v\) সহ cone ও cylinder।

parameter দিয়ে তল। cone: \(x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=u\)। cylinder: \(x=\cos v,\ y=\sin v,\ z=u\)। parameter দুটো (\(u,v\)) বলে তল দ্বি-মাত্রিক। এতে তল নিজের ভেতর দিয়ে বন্ধ হতে পারে (গোলক, cylinder) — যা \(z=f(x,y)\) গ্রাফ কখনো পারে না।

চিত্র 15.15: সমতল দিয়ে কাটা cone ভিত্তিতে একটা "ছায়া (shadow)" ফেলে; সমাকলটা করি সেই ছায়ার ওপর।

চিত্র 15.16: গোলকের তলের ক্ষেত্রফল — (a) গোলকীয় স্থানাঙ্ক (b) \(xyz\) স্থানাঙ্ক (c) \(\phi\theta\)-স্থান। গোলকে \(dS=a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\), মোট ক্ষেত্রফল \(4\pi a^2\)।

flux-এর সুখবর — বর্গমূল কেটে যায়। \(\mathbf{n}=\mathbf{N}/\lvert\mathbf{N}\rvert\) আর \(dS=\lvert\mathbf{N}\rvert\,dx\,dy\) — গুণ করলে \(\lvert\mathbf{N}\rvert\) কাটাকুটি:

\[\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{\text{shadow}}\left(-M\frac{\partial f}{\partial x} - N\frac{\partial f}{\partial y} + P\right)dx\,dy.\]

চিত্র 15.18: \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\) = \(dS\)-এর ভেতর দিয়ে প্রবাহ। \(\mathbf{F}=\mathbf{k}\) হলে \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{n}\,dS=1\cdot dx\,dy\)।

চিত্র 15.18 (আরেক অংশ): সমতলের ঢাল যা-ই হোক, একই "বৃষ্টি" ভিত্তি ও ঢালু সমতল — দুটোতেই একই flux দেয়। ক্ষেত্রফল আলাদা, কিন্তু flux একই।

চিত্র 15.19: cylinder-এর ভেতর দিয়ে প্রবাহ। \(\mathbf{F}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\)-এর জন্য গায়ের flux = পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল।

চিত্র 15.19 (আরেক অংশ): cylinder-এর normal \(\mathbf{N}=\cos u\,\mathbf{i}+\sin u\,\mathbf{j}\) সোজা বাইরে বেরোয় (radially outward)।

তলের একটা কাঁটা আছে — orientation (অভিমুখ)। Möbius strip-এর মতো এক-পাশওয়ালা তলে \(\mathbf{n}\) ধারাবাহিকভাবে বেছে নেওয়া যায় না, তাই flux সংজ্ঞায়িত হয় না। বদ্ধ তলে (গোলক) প্রথা হলো \(\mathbf{n}\) বাইরের দিকে — তখন বহির্মুখী flux ধনাত্মক।

২.৭ Divergence Theorem-এর দিকে

দুই মাত্রায় প্রবাহ ছিল বদ্ধ curve \(C\) দিয়ে, ভেতরের অঞ্চল \(R\)। তিন মাত্রায় প্রবাহ ঢোকে-বেরোয় বদ্ধ তল \(S\) দিয়ে, ভেতরের ঘন অঞ্চল \(V\)। একটা ছোট বাক্সের ছয় তল দিয়ে flux যোগ করলে পাই \((\operatorname{div}\mathbf{F})\cdot(\text{volume})\) — এটাই তিন-মাত্রিক ভারসাম্য।

চিত্র (Divergence অধ্যায়): ছোট বাক্সের ওপর-নিচ, সামনে-পিছে, দুই পাশ — ছয় তলের flux যোগ করলে \((\partial M/\partial x+\partial N/\partial y+\partial P/\partial z)\,dV\) পাওয়া যায়। প্রতিবেশী বাক্সদের ভাগ-করা তলে flux কাটাকুটি হয়, শুধু বাইরের তল \(S\) টিকে থাকে।

চিত্র 15.21: বিন্দু-উৎস — চারপাশের যেকোনো ঘেরা তল দিয়ে flux \(4\pi\) (Gauss-এর সূত্র)। ওপরের নিট flux \(=\iiint(\partial P/\partial z)\,dV\)।

২.৮ Curl — ঘূর্ণনের পরিমাপ

দুই মাত্রায় "curl" ছিল একটা সংখ্যা \(\partial N/\partial x-\partial M/\partial y\)। তিন মাত্রায় এটা একটা ভেক্টর — curl F। spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}=\mathbf{a}\times\mathbf{R}\)-এর curl হলো \(2\mathbf{a}\): curl-এর দিক ঘূর্ণনের অক্ষ, curl-এর মান ঘূর্ণন-গতির দ্বিগুণ।

চিত্র 15.23: spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}=\mathbf{a}\times\mathbf{R}\) (curl \(=2\mathbf{a}\)), position ক্ষেত্র \(\mathbf{R}\) (curl \(=0\)), velocity/shear ক্ষেত্র \(\mathbf{V}=z\,\mathbf{i}\) (curl \(=\mathbf{j}\)), আর যেকোনো ক্ষেত্র \(\mathbf{F}\)।

চমক: সমান্তরাল তীরওয়ালা ক্ষেত্রেও spin থাকতে পারে। shear ক্ষেত্র \(\mathbf{V}=z\,\mathbf{i}\)-এর সব তীর \(x\)-দিকে, কিন্তু ওপরে তীর লম্বা, নিচে ছোট — তাই একটা চাকা ঘুরবে, curl \(\mathbf{V}=\mathbf{j}\)।

---

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য

সংজ্ঞা: Vector Field (ভেক্টর ক্ষেত্র)

অঞ্চল \(R\)-এর প্রতিটা বিন্দুকে একটা ভেক্টর দেওয়া একটা নিয়ম:

\[\mathbf{F}(x,y) = M(x,y)\,\mathbf{i} + N(x,y)\,\mathbf{j} \quad\text{(plane)}, \qquad \mathbf{F}(x,y,z) = M\,\mathbf{i} + N\,\mathbf{j} + P\,\mathbf{k} \quad\text{(space)}.\]

• radial ক্ষেত্র: \(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\)-এর গুণিতক।
• spin ক্ষেত্র: \(\mathbf{S}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\)-এর গুণিতক।
• gradient ক্ষেত্র (= conservative): \(M=f_x,\ N=f_y,\ P=f_z\); \(f\) হলো potential।

সংজ্ঞা: Line Integral (রেখা সমাকল)

\(\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\)-কে পথ বরাবর function \(g(x,y)\) ধরে সীমা হিসেবে:

\[\int_C g(x,y)\,ds = \lim_{(\Delta s)_{\max}\to 0}\sum_{i=1}^{N} g(x_i,y_i)\,\Delta s_i.\]

parameter \(t\) (\(t=a\) থেকে \(b\)) ব্যবহার করে সবকিছু \(t\)-তে বদলাই:

\[\int_C g\,ds = \int_a^b g\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\left(\tfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\tfrac{dy}{dt}\right)^2}\ dt.\]

কাজের রূপ (square-root ছাড়া, তাই সুবিধাজনক): \(\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=\int_C M\,dx+N\,dy\ (+\,P\,dz)\)।

উপপাদ্য: Conservative Field-এর চার ধর্ম (test D)

ধরো \(\Omega\subset\mathbb R^2\) open ও path-connected এবং \(\mathbf F=M\mathbf i+N\mathbf j\) continuously differentiable। তখন A, B, C equivalent, এবং C \(\Rightarrow\) D। যদি \(\Omega\) simply connected-ও হয়, তবে D \(\Rightarrow\) C; ফলে চারটিই equivalent:

• A. \(\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=0\) প্রতিটা বদ্ধ পথে।
• B. \(\int_P^Q\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}\) শুধু \(P,Q\)-নির্ভর।
• C. \(\mathbf{F}=\nabla f\) কোনো potential \(f\)-এর জন্য।
• D. \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\) (দ্রুত পরীক্ষা)।

তিন dimension-এ necessary local test হলো \(\operatorname{curl}\mathbf F=0\)। Simply connected open domain-এ suitable smoothness-সহ এটিও conservative হওয়ার sufficient condition।

Green's Theorem — এক-চলকের FTC-র দ্বি-মাত্রিক রূপ। এটাই এই অধ্যায়ের কেন্দ্র। এর দুটো রূপ:

উপপাদ্য: Green's Theorem (দুই রূপ)

সরল, বদ্ধ, খণ্ড-মসৃণ curve \(C\) দিয়ে ঘেরা অঞ্চল \(R\)-এ (মসৃণ \(M,N\)):

স্পর্শক / কাজ রূপ (curl form):

\[\oint_C M\,dx + N\,dy = \iint_R\left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)dx\,dy.\]

লম্ব / প্রবাহ রূপ (divergence form):

\[\oint_C M\,dy - N\,dx = \iint_R\left(\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}\right)dx\,dy.\]

এক রূপ থেকে অন্যটা পাওয়া যায় \(M\to -N,\ N\to M\) বসিয়ে (ক্ষেত্রটাকে \(90^\circ\) ঘুরিয়ে)।

Green-এর প্রমাণ (রূপরেখা)। এক-চলকের FTC-ই একমাত্র হাতিয়ার। \(M\) ও \(N\) আলাদা করে দেখাই। একটা "খুব সরল" অঞ্চলের উপরে \(y=f(x)\), নিচে \(y=g(x)\)। ভেতরের সমাকলে আগে \(y\)-এর সাপেক্ষে:

\[\int_{g(x)}^{f(x)} -\frac{\partial M}{\partial y}\,dy = -M\big(x,f(x)\big) + M\big(x,g(x)\big),\]

যা FTC (in \(y\))। বাইরের \(x\)-সমাকল নিলে এটা ঠিক \(\oint M\,dx\)-এর সমান (উপর ও নিচ মিলিয়ে)। একইভাবে \(N\)-এর অংশ দেয় \(\oint N\,dy=\iint N_x\,dx\,dy\)। দুই যোগ করলেই Green's Theorem। ভাঙা-রিং-এর মতো জটিল অঞ্চলকে কয়েকটা "খুব সরল" টুকরোয় ভাগ করি; ভাগ-রেখা (crosscut) দুবার ঢাকা পড়ে বলে কাটাকুটি হয়ে যায়, শুধু বাইরের সীমানা টিকে থাকে। \(\square\)

চিত্র 15.8: \(R\)-এর ক্ষেত্রফল ফালি-ফালি করে যোগ — \(\oint x\,dy=\iint dx\,dy\) এবং \(\oint y\,dx=-\iint dy\,dx\)। তাই ক্ষেত্রফল \(=\tfrac12\oint(x\,dy-y\,dx)\)।

চিত্র 15.9: Green's Theorem — ত্রিভুজের চারদিকে রেখা-সমাকল ভেতরের ক্ষেত্রফল-সমাকলের সমান; উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) একই নিয়মে।

চিত্র 15.10: "খুব সরল (very simple)" অঞ্চল (a, b); একটা সরল অঞ্চল (c) কয়েকটা খুব সরল অঞ্চলের সংযোগ — crosscut-গুলো কাটাকুটি হয়।

চিত্র 15.11: বদ্ধ পথ ক্ষেত্রফলের চিহ্ন ঠিক করে দেয়; আর origin-এ ছিদ্র থাকলে \(\mathbf{S}/r^2\) ক্ষেত্র non-conservative হয়ে যায় (\(\oint=2\pi\neq0\))।

ছিদ্রের চমক। \(\mathbf{S}/r^2=(-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j})/(x^2+y^2)\) test D "প্রায়" পাস করে — সব বিন্দুতে \(N_x=M_y=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2\)। তবু origin ঘেরা বৃত্তে \(\oint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=2\pi\neq 0\)! কারণ origin-এ ক্ষেত্র সংজ্ঞায়িত নয় (ফেটে যায়), derivative-গুলো অবিচ্ছিন্ন নয়, test D খাটে না। অঞ্চলে ছিদ্র থাকলে সব বদলে যায় — potential \(f=\theta\) origin ঘুরলে \(2\pi\) বাড়ে। এজন্যই test D-এর জন্য অঞ্চল ছিদ্রহীন হওয়া দরকার।

উপপাদ্য: Divergence Theorem (Gauss)

বদ্ধ তল \(S\) দিয়ে \(\mathbf{F}=M\,\mathbf{i}+N\,\mathbf{j}+P\,\mathbf{k}\)-এর flux ভেতরের \(V\)-তে divergence-এর সমাকলের সমান:

\[\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV = \iiint_V\left(\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial z}\right)dx\,dy\,dz.\]

এটা Green-এর প্রবাহ-রূপেরই তিন-মাত্রিক সম্প্রসারণ। নতুন পদ \(\partial P/\partial z\) ওপর-নিচের প্রবাহ ধরে।

Divergence Theorem-এর যুক্তি। ছোট বাক্সের ওপর-নিচ তল দিয়ে নিট flux \(\approx(\partial P/\partial z)\,dV\), দুই পাশে \((\partial N/\partial y)\,dV\), সামনে-পিছে \((\partial M/\partial x)\,dV\)। ছয় যোগ করলে বাক্স থেকে বেরোনো flux \(\approx(\operatorname{div}\mathbf{F})\,dV\)। সব বাক্স যোগ করলে ভেতরের ভাগ-করা তলে flux কাটাকুটি হয় (একটার \(\mathbf{n}=\mathbf{k}\), প্রতিবেশীর \(\mathbf{n}=-\mathbf{k}\)), শুধু বাইরের তল \(S\) টিকে থাকে। সীমায় বাঁ পক্ষ \(\iiint\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV\), ডান পক্ষ \(\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\)। \(\square\)

সংজ্ঞা: del (\(\nabla\)), Divergence ও Curl

"del" একটা প্রতীকী ভেক্টর-অপারেটর:

\[\nabla = \mathbf{i}\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j}\,\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k}\,\frac{\partial}{\partial z}.\]

• gradient (scalar \(\to\) vector): \(\nabla f = f_x\,\mathbf{i}+f_y\,\mathbf{j}+f_z\,\mathbf{k}\)।
• divergence (vector \(\to\) scalar): \(\nabla\cdot\mathbf{F}=M_x+N_y+P_z\)।
• curl (vector \(\to\) vector): \(\nabla\times\mathbf{F}\) (নিচে)।

\[\operatorname{curl}\mathbf{F} = \nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial M}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)\mathbf{k}.\]

মনে রাখার জন্য determinant (রীতিবিরুদ্ধ কিন্তু কার্যকর):

\[\operatorname{curl}\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] M & N & P \end{vmatrix}.\]

উপপাদ্য: Stokes' Theorem ও দুই মূল অভেদ

বাঁকানো তল \(S\)-এর সীমানা স্থান-বক্ররেখা \(C\) হলে:

\[\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{R} = \iint_S (\operatorname{curl}\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.\]

ডান পক্ষ তলের ছোট ছোট spin যোগ করে; বাঁ পক্ষ \(C\)-এর চারপাশে মোট circulation (আবর্তন)। Green's Theorem এর বিশেষ ক্ষেত্র (\(\mathbf{n}=\mathbf{k}\), সমতল তল)।

দুই মূল অভেদ (দুটোই mixed derivative সমান বলে):

\[\operatorname{curl}(\operatorname{grad} f) = \nabla\times\nabla f = \mathbf{0}, \qquad \operatorname{div}(\operatorname{curl}\mathbf{F}) = \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0.\]

Stokes-এর প্রমাণ (রূপরেখা)। তল \(S\)-কে ছোট ত্রিভুজে ভাঙি। প্রতিটা ত্রিভুজের সমতলে Green's Theorem খাটে (আলাদা \(\mathbf{n}\))। সব ত্রিভুজ যোগ করলে ভেতরের ভাগ-রেখায় (যেমন \(CA\) ও \(AC\)) রেখা-সমাকল কাটাকুটি হয়; শুধু বাইরের সীমানা \(C\) টিকে থাকে। ডান পক্ষ হয় \(\iint_S\operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\)। \(\square\)

চিত্র 15.24: তল \(S\) ও তার সীমানা-বক্ররেখা \(C\)। ত্রিভুজ \(ABC\) ও \(ACD\) জোড়া দিয়ে Stokes-এর প্রথম প্রমাণ — ভাগ-রেখা \(AC\) কাটাকুটি হয়ে যায়। (\(\mathbf{B}\)-এর পরিবর্তন \(\to\) curl \(\mathbf{E}\) \(\to\) তারে current: Faraday-র সূত্র।)

conservative ও source-free-এর যমজত্ব। conservative ক্ষেত্র (curl \(=0\)) থেকে potential \(f\); source-free ক্ষেত্র (div \(=0\)) থেকে stream function (প্রবাহ অপেক্ষক) \(g\)। দুটোই হলে Cauchy–Riemann সমীকরণ \(f_x=g_y,\ f_y=-g_x\) এবং Laplace-এর সমীকরণ \(f_{xx}+f_{yy}=0\) — গণিত ও বিজ্ঞানের কেন্দ্র।

চিত্র (নিজের আঁকা): এক পরিবার, চার পোশাক। এক-চলকের FTC থেকে Green (দুই রূপ), তারপর Stokes ও Divergence Theorem। সবার এক সুর: derivative-কে অঞ্চলে সমাকল = সীমানার তথ্য (বিন্দু \(\to\) curve \(\to\) তল)।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ — conservative ক্ষেত্রের potential খোঁজা। \(\mathbf{F}=2xy\,\mathbf{i}+x^2\,\mathbf{j}\)। আগে test D: \(M_y=\partial(2xy)/\partial y=2x\), \(N_x=\partial(x^2)/\partial x=2x\) — সমান, তাই gradient ক্ষেত্র। \(f\) বের করি \(\partial f/\partial x=2xy\) থেকে: \(f=x^2y+C(y)\)। এবার \(\partial f/\partial y=x^2+C'(y)\) মিলতে হবে \(N=x^2\)-এর সাথে, তাই \(C'(y)=0\), \(C\) ধ্রুব। উত্তর \(f=x^2y\)। যাচাই: \(\nabla(x^2y)=2xy\,\mathbf{i}+x^2\,\mathbf{j}=\mathbf{F}\)। \(\square\)

উদাহরণ ২ — Green দিয়ে উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল। ক্ষেত্রফল \(=\tfrac12\oint_C(x\,dy-y\,dx)\)। উপবৃত্তে \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\), \(t:0\to2\pi\)। তখন

\[x\,dy - y\,dx = (a\cos t)(b\cos t\,dt) - (b\sin t)(-a\sin t\,dt) = ab(\cos^2 t+\sin^2 t)\,dt = ab\,dt.\]

তাই ক্ষেত্রফল \(=\tfrac12\int_0^{2\pi}ab\,dt=\pi ab\)। বৃত্তে \(a=b=r\) দিলে \(\pi r^2\)। \(\square\)

উদাহরণ ৩ — Divergence Theorem দিয়ে সহজ flux। \(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\), div \(\mathbf{R}=1+1+1=3\)। যেকোনো ঘন অঞ্চল \(V\) দিয়ে flux \(=\iiint_V 3\,dV=3\cdot(\text{volume})\)। cylinder (\(x^2+y^2=1,\ 0\le z\le b\), আয়তন \(\pi b\)) দিয়ে flux \(=3\pi b\) — তল-সমাকল না করেই!

উদাহরণ ৪ — spin ক্ষেত্রের curl। \(\mathbf{S}=\mathbf{a}\times\mathbf{R}\) (অক্ষ \(\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}\))। হিসাব করলে \(\operatorname{curl}\mathbf{S}=2\mathbf{a}\)। আমাদের চেনা \(-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\)-এ \(\mathbf{a}=\mathbf{k}\), তাই curl \(=2\mathbf{k}\) — ঘূর্ণন-অক্ষ \(z\), কৌণিক বেগ \(1\)।

উদাহরণ ৫ — তিন-মাত্রিক conservative ক্ষেত্র। \(\mathbf{F}=2xy\,\mathbf{i}+(x^2+z)\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k}\)। test D (curl \(=0\)) পাস করে। তিনটে সমীকরণ সমাধান:

\[\frac{\partial f}{\partial x}=2xy \Rightarrow f=x^2y+C(y,z); \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+\frac{\partial C}{\partial y}=x^2+z \Rightarrow C=yz+c(z); \quad \frac{\partial f}{\partial z}=y+c'(z)=y \Rightarrow c'=0.\]

জোড়া দিয়ে \(f=x^2y+yz\)। \(\square\)

উদাহরণ ৬ — Gauss-এর সূত্র ও বিন্দু-উৎস। \(\mathbf{F}=\mathbf{R}/\rho^3\)-এর div \(=0\) সব জায়গায় — origin ছাড়া। তবু origin-ঘেরা যেকোনো তল দিয়ে flux \(=4\pi\)। কারণ origin-এ একটা বিন্দু-উৎস (delta function), Divergence Theorem সেখানে খাটে না। এটাই ভরের অভিকর্ষ বা আধানের তড়িৎ ক্ষেত্রের Gauss-সূত্রের ভিত্তি।

Analogy: চার ছবিতে পুরো অধ্যায়

• vector field = বাতাসের মানচিত্র। আবহাওয়ার মানচিত্রে প্রতিটা জায়গায় বাতাসের তীর — এটাই \(\mathbf{F}(x,y)\)।
• flux = বৃষ্টি, তাঁবু হোক বা মাটি। একই বৃষ্টি তাঁবুর ঢালু ছাদ ভেদ করুক বা নিচের সমতল মাটি — বৃষ্টির পরিমাণ (flux) একই, যদিও ক্ষেত্রফল আলাদা।
• divergence = কল আর ড্রেন। বেসিনে কল ছাড়লে ধনাত্মক divergence (উৎস), ড্রেন খুললে ঋণাত্মক (সিঙ্ক)। div \(=0\) মানে যা ঢোকে তাই বেরোয়।
• curl = কয়েনের ঘূর্ণন। একটা ঘূর্ণায়মান CD-তে কয়েন রাখলে CD একবার ঘুরলে কয়েনও একবার ঘোরে — কেন্দ্রে হোক বা কিনারায়। এই "নিজেকে ঘিরে ঘোরা"-ই curl।
• তিন উপপাদ্য = এক গল্পের তিন অনুবাদ। Green (সমতল), Divergence (ঘন আয়তনের flux), Stokes (বাঁকানো তলের circulation) — সবার মা এক-চলকের \(\int_a^b f'\,dx=f(b)-f(a)\)।

---

৫. Python-এ করো

quiver (তীর) ও streamplot (প্রবাহরেখা) দিয়ে ভেক্টর ক্ষেত্র আঁকব; numpy.gradient দিয়ে সংখ্যাসূচকভাবে divergence ও curl বের করব; আর দুই মূল অভেদ (curl grad f = 0, div curl F = 0) সংখ্যায় যাচাই করব।

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- ১) দুই মৌলিক ক্ষেত্র: radial R ও spin S ----------
g = np.linspace(-3, 3, 24)
X, Y = np.meshgrid(g, g)

# radial ক্ষেত্র R = x i + y j   (div = 2, curl = 0)
Rx, Ry = X, Y
# spin ক্ষেত্র S = -y i + x j     (div = 0, curl = 2)
Sx, Sy = -Y, X

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))
ax[0].quiver(X, Y, Rx, Ry, color="tab:blue")          # তীর দিয়ে radial
ax[0].set_title("radial field  R = x i + y j")
ax[1].streamplot(X, Y, Sx, Sy, color="tab:green")     # প্রবাহরেখা দিয়ে spin
ax[1].set_title("spin field  S = -y i + x j")
for a in ax: a.set_aspect("equal"); a.set_xlabel("x"); a.set_ylabel("y")
plt.tight_layout(); plt.show()

# ---------- ২) numpy দিয়ে divergence ও curl (finite difference) ----------
# 2D-তে: div F = ∂M/∂x + ∂N/∂y ,   curl_z F = ∂N/∂x − ∂M/∂y
def div_curl(M, N, dx, dy):
    dMdy, dMdx = np.gradient(M, dy, dx)   # np.gradient প্রথমে অক্ষ-0 (y) তারপর অক্ষ-1 (x)
    dNdy, dNdx = np.gradient(N, dy, dx)
    div  = dMdx + dNdy                    # অপসারণ (scalar)
    curl = dNdx - dMdy                    # কার্লের z-উপাংশ (scalar)
    return div, curl

dx = g[1] - g[0]
divR, curlR = div_curl(Rx, Ry, dx, dx)    # radial: div ≈ 2, curl ≈ 0
divS, curlS = div_curl(Sx, Sy, dx, dx)    # spin:   div ≈ 0, curl ≈ 2
print("radial : div ≈", round(divR.mean(), 3), " curl ≈", round(curlR.mean(), 3))
print("spin   : div ≈", round(divS.mean(), 3), " curl ≈", round(curlS.mean(), 3))

# ---------- ৩) অভেদ যাচাই: curl(grad f) = 0 ----------
# f = x^2 * y  ⇒  grad f = (2xy, x^2) ; এর curl_z = ∂(x^2)/∂x − ∂(2xy)/∂y = 2x − 2x = 0
f = X**2 * Y
gfy, gfx = np.gradient(f, dx, dx)         # grad f = (gfx, gfy)
_, curl_gradf = div_curl(gfx, gfy, dx, dx)
# কিনারা বাদ দিয়ে ভেতরের অংশ দেখি (finite difference কিনারায় দুর্বল)
print("curl(grad f) ভেতরে ≈", round(np.abs(curl_gradf[2:-2, 2:-2]).max(), 3))  # ≈ 0

# ---------- ৪) flux সংখ্যায়: div theorem-এর 2D রূপ ----------
# F = (2x, 3y) হলে div = 5 ; একক বর্গের ওপর ∬ div dA ≈ 5 × ক্ষেত্রফল
xs = np.linspace(0, 1, 200); ys = np.linspace(0, 1, 200)
XX, YY = np.meshgrid(xs, ys)
Mf, Nf = 2*XX, 3*YY
dd, _ = div_curl(Mf, Nf, xs[1]-xs[0], ys[1]-ys[0])
area = 1.0
print("∬ div dA ≈", round(dd.mean()*area, 3), " (তাত্ত্বিক 5·area = 5)")

কী দেখলাম: quiver তীর দিয়ে radial ক্ষেত্র (বাইরে ছড়ায়) আর streamplot প্রবাহরেখা দিয়ে spin ক্ষেত্র (পাক খায়) স্পষ্ট দেখায়। সংখ্যাসূচক np.gradient নিশ্চিত করে radial-এর div \(\approx 2\), curl \(\approx 0\); spin-এর ঠিক উল্টো — div \(\approx 0\), curl \(\approx 2\)। curl(grad f) ভেতরে \(\approx 0\) — অভেদটা সংখ্যায় মিলল। আর \(\iint\operatorname{div}\mathbf{F}\,dA\approx 5\) — Green-এর প্রবাহ-রূপের সংখ্যাসূচক যাচাই।

সতর্কতা: কিনারায় finite difference দুর্বল

np.gradient অভ্যন্তরে centered difference (ত্রুটি \(\sim h^2\)) কিন্তু grid-এর কিনারায় one-sided (ত্রুটি \(\sim h\))। তাই curl(grad f) ঠিক \(0\) না হয়ে কিনারায় ছোট মান দেখায় — বিশ্লেষণে [2:-2, 2:-2] দিয়ে ভেতরের অংশ নিলে সেটা \(\approx 0\) হয়। বাস্তব হিসাবেও তাই: বদ্ধ পথ/তলের কাছাকাছি grid ঘন করলে ফল ভালো হয়।

---

৬. সাধারণ ভুল

1. \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{R}=0\) থেকে \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=0\) ভাবা। spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}\) position \(\mathbf{R}\)-এর লম্ব (\(\mathbf{S}\cdot\mathbf{R}=0\)), তবু \(\mathbf{S}\) কাজ করে — কারণ \(d\mathbf{R}\) (\(\mathbf{R}\)-এর পরিবর্তন) \(\mathbf{R}\) থেকে আলাদা দিকে।

2. test D পাস করলেই conservative ভাবা — ছিদ্র ভুলে। \(\mathbf{S}/r^2\) সব বিন্দুতে \(M_y=N_x\), তবু origin-ঘেরা বৃত্তে \(\oint=2\pi\neq0\)। test D শুধু ছিদ্রহীন অঞ্চলে খাটে।

3. curl-কে সংখ্যা ভাবা (তিন মাত্রায়)। দুই মাত্রায় curl একটা scalar (\(N_x-M_y\)); তিন মাত্রায় এটা একটা ভেক্টর (তিন উপাংশ)। Green শুধু \(\mathbf{k}\)-উপাংশটা ব্যবহার করে।

4. divergence-কে ভেক্টর ভাবা। \(\operatorname{div}\mathbf{F}=M_x+N_y+P_z\) একটা scalar (সংখ্যা), ভেক্টর নয়। মনে রাখো: scalar-এর grad হয় vector, vector-এর div হয় scalar।

5. "সমান্তরাল তীর মানে spin নেই" ভাবা। shear ক্ষেত্র \(\mathbf{V}=z\,\mathbf{i}\)-এর সব তীর \(x\)-দিকে (সমান্তরাল), তবু ভিন্ন দৈর্ঘ্যের কারণে চাকা ঘোরে — curl \(\mathbf{V}=\mathbf{j}\neq\mathbf{0}\)।

6. Green-এর দুই রূপ গুলিয়ে ফেলা। কাজ-রূপে ভেতরে \(N_x-M_y\) (curl); প্রবাহ-রূপে ভেতরে \(M_x+N_y\) (divergence)। আর প্রবাহ-রূপের রেখা-সমাকল \(M\,dy-N\,dx\) (চিহ্ন ও অদলবদল খেয়াল রাখো)।

7. অ-orientable তলে flux বের করার চেষ্টা। Möbius strip-এ \(\mathbf{n}\) ধারাবাহিকভাবে বাছা যায় না, তাই \(\iint\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\) সংজ্ঞায়িত নয়।

8. \(\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\) আর \(\operatorname{grad}(\operatorname{div}\mathbf{F})\) মেশানো। \(\operatorname{div}\operatorname{grad} f=\nabla^2 f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\) (Laplacian, scalar) — এটাই Laplace-সমীকরণ। \(\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{F}\) সম্পূর্ণ আলাদা (vector)।

9. line integral-এর মান parameter-নির্ভর ভাবা। একই পথ দ্বিগুণ গতিতে গেলেও কাজ একই — মান নির্ভর করে পথের ওপর (non-gradient ক্ষেত্রে), parameter-এর ওপর নয়।

10. \(\oint\)-এর দিক ভুলে যাওয়া। Green/Stokes-এ বাইরের সীমানায় বামাবর্তে (counterclockwise), ছিদ্রের চারপাশে উল্টো — নিয়ম: হাঁটার সময় অঞ্চল সবসময় বাঁ পাশে রাখো (Stokes-এ \(\mathbf{n}\)-এর দিকে মাথা)।

---

৭. এক্সারসাইজ

সহজ থেকে কঠিন — ১০টা। কলম-কাগজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান মেলাও।

1. radial ক্ষেত্র \(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\) কি gradient ক্ষেত্র? test D করে দেখাও, তারপর potential \(f\) বের করো।

2. spin ক্ষেত্র \(\mathbf{S}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\)-এ test D প্রয়োগ করো। এটা কি conservative?

3. \(\mathbf{F}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\)-এর কাজ \((1,0)\) থেকে \((0,1)\): (ক) সরলরেখায় \(x=1-t,\ y=t\); (খ) পাদ-বৃত্তে \(x=\cos t,\ y=\sin t\)। মিলবে কি?

4. Green দিয়ে দেখাও শীর্ষ \((0,0),(1,0),(0,1)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\tfrac12\oint_C(x\,dy-y\,dx)=\tfrac12\)।

5. \(\mathbf{F}=2xy\,\mathbf{i}-y^2\,\mathbf{j}\)-এর divergence ও curl (z-উপাংশ) বের করো। এটা কি source-free? conservative?

6. Divergence Theorem দিয়ে \(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\)-এর flux একক ঘনক \([0,1]^3\)-এর বাইরে বের করো।

7. determinant দিয়ে \(\mathbf{F}=z\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k}\)-এর curl বের করো।

8. যাচাই করো \(\operatorname{curl}(\operatorname{grad} f)=\mathbf{0}\) যখন \(f=x^2y+yz\) (তিনটে উপাংশই হিসাব করো)।

9. তিন-মাত্রিক ক্ষেত্র \(\mathbf{F}=yz\,\mathbf{i}+xz\,\mathbf{j}+xy\,\mathbf{k}\) conservative কি? হলে potential \(f\) বের করো।

10. Stokes: \(\mathbf{F}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\), \(C=\) একক বৃত্ত (\(z=0\) সমতলে)। দুই পক্ষ — \(\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}\) ও \(\iint_S(\operatorname{curl}\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS\) — আলাদা করে বের করে মেলাও।

---

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{R}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\), তাই \(M=x,\ N=y\)। test D: \(M_y=\partial x/\partial y=0\) এবং \(N_x=\partial y/\partial x=0\) — সমান, তাই gradient ক্ষেত্র।

potential: \(\partial f/\partial x=x\Rightarrow f=\tfrac12 x^2+C(y)\); তারপর \(\partial f/\partial y=C'(y)=y\Rightarrow C=\tfrac12 y^2\)। উত্তর

\[f = \tfrac12(x^2+y^2) = \tfrac12 r^2.\]

২-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{S}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\), তাই \(M=-y,\ N=x\)। test D: \(M_y=\partial(-y)/\partial y=-1\) এবং \(N_x=\partial(x)/\partial x=+1\)। \(-1\neq +1\) — test D ব্যর্থ। তাই \(\mathbf{S}\) conservative নয়, কোনো \(f\) নেই। (এটাই কেন spin ক্ষেত্রের কাজ পথ-নির্ভর।)

৩-নং সমাধান দেখাও

কাজ \(=\int -y\,dx + x\,dy\)।

(ক) সরলরেখা \(x=1-t,\ y=t\), তাই \(dx=-dt,\ dy=dt\):

\[\int_0^1 -t(-dt) + (1-t)\,dt = \int_0^1 \big(t + 1 - t\big)\,dt = \int_0^1 1\,dt = 1.\]

(খ) পাদ-বৃত্ত \(x=\cos t,\ y=\sin t\), \(t:0\to\pi/2\), তাই \(dx=-\sin t\,dt,\ dy=\cos t\,dt\):

\[\int_0^{\pi/2} -\sin t(-\sin t\,dt) + \cos t(\cos t\,dt) = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = \int_0^{\pi/2} 1\,dt = \frac{\pi}{2}.\]

\(1\neq \pi/2\) — মেলে না, কারণ ক্ষেত্র conservative নয় (২-নং দ্রষ্টব্য)।

৪-নং সমাধান দেখাও

Boundary counterclockwise নিই: \((0,0)\to(1,0)\to(0,1)\to(0,0)\)। Coordinate-axis দুই বাহুতে contribution \(0\)। Hypotenuse-এ \(x=1-y\), \(dx=-dy\), এবং orientation অনুযায়ী \(y:0\to1\):

\[\frac12\int_0^1\big[(1-y)\,dy-y(-dy)\big]=\frac12\int_0^1 1\,dy=\frac12.\]

Clockwise orientation নিলে sign \(-1/2\) হতো। Green-এর positive orientation counterclockwise। \(\square\)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(M=2xy,\ N=-y^2\)।

divergence: \(M_x+N_y=\partial(2xy)/\partial x+\partial(-y^2)/\partial y=2y+(-2y)=0\) — তাই source-free (কোনো উৎস নেই)।

curl (z-উপাংশ): \(N_x-M_y=\partial(-y^2)/\partial x-\partial(2xy)/\partial y=0-2x=-2x\)।

Curl \(=-2x\mathbf k\) identically zero নয় (শুধু line \(x=0\)-তে zero), তাই \(\mathbb R^2\)-এ field conservative নয়। Source-free কিন্তু conservative নয়—দুটো আলাদা property।

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\operatorname{div}\mathbf{R}=\partial x/\partial x+\partial y/\partial y+\partial z/\partial z=1+1+1=3\)। Divergence Theorem:

\[\iint_S \mathbf{R}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_V 3\,dV = 3\cdot(\text{volume}) = 3\times 1 = 3.\]

(ছয় তল আলাদা করে হিসাব করলেও একই \(3\) আসে — কিন্তু এটা অনেক দ্রুত।)

৭-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{F}=z\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k}\), তাই \(M=z,\ N=x,\ P=y\)। determinant খুলি:

\[\operatorname{curl}\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] z & x & y \end{vmatrix} = (P_y-N_z)\mathbf{i} + (M_z-P_x)\mathbf{j} + (N_x-M_y)\mathbf{k}.\]

\(P_y=1,\ N_z=0,\ M_z=1,\ P_x=0,\ N_x=1,\ M_y=0\)। তাই

\[\operatorname{curl}\mathbf{F} = (1-0)\mathbf{i} + (1-0)\mathbf{j} + (1-0)\mathbf{k} = \mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.\]

৮-নং সমাধান দেখাও

\(f=x^2y+yz\), তাই \(\operatorname{grad} f=(2xy,\ x^2+z,\ y)\); ধরি \(M=2xy,\ N=x^2+z,\ P=y\)।

• \(\mathbf{i}\)-উপাংশ: \(P_y-N_z=\partial(y)/\partial y-\partial(x^2+z)/\partial z=1-1=0\)।
• \(\mathbf{j}\)-উপাংশ: \(M_z-P_x=\partial(2xy)/\partial z-\partial(y)/\partial x=0-0=0\)।
• \(\mathbf{k}\)-উপাংশ: \(N_x-M_y=\partial(x^2+z)/\partial x-\partial(2xy)/\partial y=2x-2x=0\)।

তিনটেই শূন্য। General identity \(\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)=\mathbf0\)-র জন্য \(f\)-এর mixed second partial-গুলো continuous হওয়ার মতো regularity ধরা হয়। \(\square\)

৯-নং সমাধান দেখাও

\(M=yz,\ N=xz,\ P=xy\)। test D (curl = 0):

\[P_y-N_z=x-x=0,\quad M_z-P_x=y-y=0,\quad N_x-M_y=z-z=0.\]

curl \(=\mathbf{0}\), তাই conservative। potential:

\[\frac{\partial f}{\partial x}=yz\Rightarrow f=xyz+C(y,z);\quad \frac{\partial f}{\partial y}=xz+C_y=xz\Rightarrow C_y=0;\quad \frac{\partial f}{\partial z}=xy+C_z=xy\Rightarrow C_z=0.\]

তাই \(C\) ধ্রুব, \(f=xyz\)। যাচাই: \(\nabla(xyz)=(yz,xz,xy)=\mathbf{F}\)। \(\square\)

১০-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf{F}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\) (\(P=0\))। প্রথমে curl: \(N_x-M_y=1-(-1)=2\), তাই \(\operatorname{curl}\mathbf{F}=2\,\mathbf{k}\)।

বাঁ পক্ষ (circulation): একক বৃত্তে \(x=\cos t,\ y=\sin t\):

\[\oint_C -y\,dx + x\,dy = \int_0^{2\pi}(\sin^2 t+\cos^2 t)\,dt = 2\pi.\]

ডান পক্ষ (curl-এর flux): সমতল চাকতিতে \(\mathbf{n}=\mathbf{k}\), তাই \((\operatorname{curl}\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=2\):

\[\iint_S 2\,dS = 2\cdot(\text{area of disk}) = 2\cdot\pi(1)^2 = 2\pi.\]

দুই পক্ষ \(=2\pi\) — Stokes' Theorem মিলল। \(\square\)

---

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এক-নজরে:

• vector field \(\mathbf{F}=M\,\mathbf{i}+N\,\mathbf{j}(+P\,\mathbf{k})\) — প্রতি বিন্দুতে তীর। মূল দুই: radial \(\mathbf{R}\) (curl \(0\), বাইরে ছড়ায়), spin \(\mathbf{S}\) (div \(0\), পাক খায়)।
• line integral: কাজ \(\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=\int M\,dx+N\,dy\); প্রবাহ (flux) \(\int_C M\,dy-N\,dx\)।
• conservative: path independence \(\Leftrightarrow\mathbf F=\nabla f\) (path-connected domain)। \(M_y=N_x\) বা curl \(\mathbf F=0\) necessary; converse-এর জন্য suitable smoothness ও simply connected domain লাগে।
• Green (কাজ-রূপ): \(\oint M\,dx+N\,dy=\iint(N_x-M_y)\,dA\)। (প্রবাহ-রূপ): \(\oint M\,dy-N\,dx=\iint(M_x+N_y)\,dA\)।
• divergence \(M_x+N_y+P_z\) local source density (scalar)। curl local circulation density (vector); rigid rotation-এ এটি angular-velocity vector-এর দ্বিগুণ।
• Divergence Theorem: \(\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV\) (Gauss)। Stokes: \(\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}=\iint_S\operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\)।
• দুই identity (sufficient smoothness-এ): \(\operatorname{curl}\operatorname{grad}f=\mathbf0\), \(\operatorname{div}\operatorname{curl}\mathbf F=0\)। Laplacian: \(\operatorname{div}\operatorname{grad}f=\nabla^2f\); harmonic function হলে অতিরিক্তভাবে \(\nabla^2f=0\)।
• এক পরিবার: FTC \(\to\) Green \(\to\) Divergence ও Stokes — derivative-কে অঞ্চলে সমাকল = সীমানার তথ্য।

Checklist — নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] radial ও spin ক্ষেত্র চিনি, দৈর্ঘ্য ও দিক বলতে পারি, streamline ও equipotential আঁকতে পারি।
• [ ] কাজ \(\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{R}\) parameter \(t\)-তে বদলে হিসাব করতে পারি।
• [ ] test D/curl-zero condition-এর domain assumptions check করে conservative conclusion দিই এবং potential বের করি।
• [ ] Green-এর দুই রূপ (কাজ ও প্রবাহ) লিখতে ও প্রয়োগ করতে পারি; ত্রিভুজ/উপবৃত্তে যাচাই করতে পারি।
• [ ] divergence (scalar) ও curl (vector) সংজ্ঞা থেকে ও determinant দিয়ে বের করতে পারি।
• [ ] flux \(\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\)-এ বর্গমূল কীভাবে কাটে বুঝি; orientation-এর ভূমিকা জানি।
• [ ] Divergence Theorem দিয়ে flux ও Stokes দিয়ে circulation বের করতে পারি।
• [ ] দুই অভেদ \(\operatorname{curl}\operatorname{grad} f=\mathbf{0}\), \(\operatorname{div}\operatorname{curl}\mathbf{F}=0\) প্রমাণ ও ব্যবহার করতে পারি।
• [ ] ছিদ্রের চমক (\(\mathbf{S}/r^2\)-এ \(\oint=2\pi\)) ও বিন্দু-উৎস (Gauss, flux \(4\pi\)) ব্যাখ্যা করতে পারি।
• [ ] Python-এ quiver/streamplot ও np.gradient দিয়ে ক্ষেত্র আঁকতে ও div/curl যাচাই করতে পারি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.16 — Mathematics after Calculus — ক্যালকুলাসের পরে কী।